2. EL TESTAMENTO DEL JEQUE II
Un jeque dejó escrito en su testamento que se distribuyeran
sus camellos entre sus tres hijos de la siguiente forma: la
mitad para el primogénito, la tercera parte para su segundo
hijo y la novena parte para el hijo más pequeño.
Pero como el jeque tenía diecisiete camellos sus hijos no
sabían cómo repartirse la herencia. los tres hermanos
estaban discutiendo sobre el reparto cuando vieron llegar a
un viejo beduino, famoso en aquellos lugares por su
sabiduría, a lomos de su camello. le pidieron consejo y el
beduino les dijo:
- Tomad mi camello, haced el reparto y no os preocupéis que
yo nada perderé.
3. DERIVACIÓN: Noción de derivada
• Es un método abreviado de calcular límites de
funciones se le conoce como derivación o
diferenciación.
• El estudio de la derivada de funciones reales
inicia con el cálculo del límite de una función.
4. • El cociente diferencial alternativo: Lo definió
Newton y es el límite de la función cuando h
se acerca al cero.
• Sea f una función real. La pendiente entre dos
puntos de la curva está definida como:
𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑚 = 𝑡𝑔 𝜃 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0)
ℎ
5. La pendiente 𝑚 𝑡 de la recta tangente a la gráfica de
f en un punto 𝑥0 se define como:
𝑚 𝑡 = 𝑡𝑔 𝛼 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0)
ℎ
6. Siempre que el limite exista. Más aún se tiene la
siguiente definición.
Sea f una función, se llama derivada de f en x y
se escribe al limite:
𝑓′
𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
9. Reglas para la derivación
• Derivada de una función constante:
Si y=f(x)=c ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
y‘=f‘(x)=lim
ℎ→0
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑐−𝑐
ℎ
= lim
ℎ→0
0 = 0
entonces :
𝒅
𝒅𝒙
𝒄 = 𝟎
10. • Derivada de la función potencia de exponente entero
positivo:
Sea f la función definida por f(x)=𝑥 𝑛 ∀𝑥 ∈ ℝ, n ∈ 𝑍+
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:
f‘(x)=lim
ℎ→0
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑥+ℎ 𝑛−𝑥 𝑛
ℎ
El resultado es:
𝒅
𝒅𝒙
𝒙 𝒏
= 𝒏𝒙 𝒏−𝟏
11. • Derivada del factor constante:
Si y=c∙ 𝑓 𝑥
∀𝑥 ∈ ℝ entonces la derivada de y es:
𝒅
𝒅𝒙
(𝒄 ∙ 𝒇‘(x))=c∙ 𝒇′ 𝒙
12. • Derivada de una suma o de una diferencia de
funciones:
Sean f, g funciones reales derivables
Si G = f + g
Entonces:
G‘(x)=f‘(x)+g‘(x)
Si G = f – g
Entonces:
G‘(x)=f‘(x)-g‘(x)
13. Producto de una función por una constante
Dada una función f (x) continua y derivable y un número
real l, la derivada del producto de ambos es igual al
producto de la constante por la derivada de la función.
Dada una función:
𝑓 𝑥 = λ ∙ 𝑢(𝑥)
Entonces la derivada será:
𝒇′ 𝒙 = 𝝀 ∙ 𝒖′(𝒙)
14. Producto de funciones:
Dadas dos funciones continuas y derivables, la
derivada del producto de las dos es igual a la
derivada de la primera por la segunda, sin
derivar, más la primera por la derivada de la
segunda.
Dada una función:
𝑓 𝑥 = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥)
Entonces su derivada se calcula como:
𝒇′ 𝒙 = 𝒖′ 𝒙 ∙ 𝒗 𝒙 + 𝒖(𝒙) ∙ 𝒗′(𝒙)
15. • Cociente de funciones:
Dadas dos funciones continuas y derivables u (x) y v
(x), donde la segunda es distinta de cero, la
derivada del cociente de la primera por la segunda
se determina con arreglo a la expresión dada a
continuación.
Dada una función:
𝑓 𝒙 =
𝑢(𝑥)
𝑣(𝑥)
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣(𝑥) ≠ 0
Se cumple que su derivada es:
𝒇′ 𝒙 =
𝒖′ 𝒙 ∙ 𝒗 𝒙 − 𝒖 𝒙 ∙ 𝒗′ 𝒙
𝒗(𝒙) 𝟐
16. Composición de funciones
Dada una función f (u) derivable con respecto a u,
siendo u derivable con respecto a x, la derivada de
la composición de funciones f [u(x)] con respecto a
x es igual al producto de la derivada de f con
respecto a u por la derivada de u con respecto a x.
Es decir, si
𝑦 = 𝑓 𝑢(𝑥)
Se cumple:
𝒚′ = 𝒇′(𝒖) ∙ 𝒖′(𝒙)
A este principio se le conoce como LA REGLA DE LA
CADENA de la derivación de funciones compuestas.
