1. Una introducción
a la teoría de grafos
Matemática Discreta
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2. Definición
Un grafo finito es una estructura
caracterizada por un conjunto de
vértices o nodos V = {v1, v2, …, vn}
y un conjunto de lados o aristas
A = {a1, a2, …, am} tal que cada arista
tiene como extremos dos vértices
sobre los cuales incide.
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3. Los grafos finitos pueden representarse
mediante un diagrama o esquema
Ejemplo de grafo:
Representación gráfica
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4. Un digrafo finito es una estructura
caracterizada por un conjunto de
vértices o nodos V = {v1, v2, …, vn} y
un conjunto de lados o aristas A =
{a1, a2, …, am} tal que cada arista tiene
fijado un sentido e incide sobre dos
vértices, negativamente sobre su origen
o extremo inicial y positivamente sobre
su destino o extremo final.
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Definición

5. Los digrafos finitos pueden
representarse gráficamente
Ejemplo de digrafo:
Representación gráfica
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6. Algunas definiciones
relativas a grafos y digrafos
 Dos vértices relacionados por medio
de una arista son adyacentes.
 Dos aristas con un único extremo en
común son adyacentes.
 Dos aristas con los mismos vértices
de incidencia son paralelas.
 Una arista cuyos extremos coinciden
es un lazo.
 Un grafo o digrafo que carece de
aristas paralelas y lazos es simple.
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7. Grado o valencia de un vértice
En grafos:
 El grado de un
vértice es la
cantidad de aristas
que inciden en ese
vértice (el lazo
cuenta doble).
 Se anota g(v)
 Se cumple que
= 2 |A|
En digrafos:
 El grado positivo
(negativo) de un
vértice es la
cantidad de aristas
que inciden
positivamente
(negativamente)
en ese vértice.
 Se anota g+(v)
(g -(v))
 )( ivg
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8.  El grado total de un vértice es la suma
del grado positivo y el grado negativo.
 El grado neto de un vértice es el grado
positivo menos el grado negativo.
 Se verifica que = = |A| 
)( ivg  
)( ivg
Grado o valencia de un vértice
en un digrafo
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9. Más definiciones
relativas a grafos y digrafos
o Un grafo o digrafo se dice k – regular
si todos sus vértices tienen grado k.
o Un vértice que tiene grado cero se
denomina aislado.
o Un vértice que tiene grado positivo cero
se denomina fuente.
o Un vértice que tiene grado negativo cero
se denomina pozo o sumidero.
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10. Representación matricial de grafos y
digrafos finitos: matriz de adyacencia
En grafos:
 M de orden nxn
 aij= cantidad de aristas con
extremos en los vértices vi y vj.
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11. Representación matricial de grafos y
digrafos finitos: matriz de adyacencia
En digrafos:
 M de orden nxn
 aij = cantidad de aristas con extremo
inicial vi y extremo final vj.
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12. Representación matricial de grafos
finitos: matriz de incidencia
 M de orden nxm
1 si aj incide en vi
 aij=
0 si aj no incide en vi
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13. Caminos en grafos y digrafos
Un camino es una sucesión de vértices
y aristas tal que cada arista incide en el
vértice que le precede y en el que le
sucede.
Inicia y finaliza con vértices, que son
los extremos del camino.
Tanto los vértices como las aristas
pueden repetirse.
El número de aristas que intervienen es
la longitud del camino.
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14.  Un camino cerrado es un camino en
el cual coinciden los extremos.
 Un camino simple es un camino en el
cual no hay repetición de aristas ni de
vértices (excepto quizás el primero y el
último).
 Un circuito es un camino cerrado en el
que las aristas no se repiten.
Caminos particulares
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15.  Un ciclo es un camino cerrado simple
de longitud mayor que dos en grafos y
mayor que uno en digrafos. Si un grafo
o digrafo carece de ciclos se denomina
acíclico.
 Un camino trivial es un camino que
carece de aristas.
Caminos particulares
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16. Conexidad en grafos y digrafos
 Un grafo es conexo si y sólo si dados
dos vértices cualesquiera v y w, existe
un camino con extremos en v y w.
La existencia de un camino entre dos
vértices define una relación de
equivalencia y esta relación induce
sobre el grafo una partición en
componentes conexas.
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17. Conexidad en grafos y digrafos
 Un grafo que no es conexo se
denomina disconexo.
 Un digrafo es conexo si y sólo si el
grafo subyacente lo es.
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18. Grafos isomorfos
 Dos grafos finitos son isomorfos si
pueden representarse a través de
diagramas idénticos.
 Para ello debe existir una aplicación
que haga corresponder los vértices
uno a uno de modo tal que si hay una
arista de G1 que incide sobre vi y vj
entonces hay una arista de G2 que
incide sobre los correspondientes wi y
wj.
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

19. Grafos isomorfos:
invariantes principales
 Cantidad de vértices
 Cantidad de aristas
 Valencia de un vértice
 Longitud de un ciclo
 Conexidad
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20. Grafos isomorfos:
matriz de adyacencia
G1 y G2 son dos grafos isomorfos
si y sólo si
existe un ordenamiento de vértices y
aristas tal que, con ese orden,
las matrices de adyacencia
de G1 y G2 son iguales.
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