Este documento trata sobre la teoría de grafos. Explica las representaciones de grafos mediante matrices de adyacencia y de incidencia, así como el concepto de isomorfismo de grafos. También define qué son grafos planos y explica teoremas como el de Euler y el de Kuratowski para determinar si un grafo es plano o no.

1. TEORIA DE GRAFOS
REPRESENTACIONES DE GRAFICAS.
ISOMORFISMO DE GRAFICAS.
GRAFICAS PLANAS.

2. REPRESENTACIONES DE
GRAFICAS.
TEORIA DE GRAFOS

3. REPRESENTACIONES DE
GRAFICAS.
Consiste en un gráfico en el que los vértices se representan
mediante puntos.
Las conexiones se representarán de diferentes maneras,
dependiendo de que el grafo sea orientado o no.
Para representar un grafo de una manera no gráfica, como por
ejemplo en una computadora al analizar un grafo, se necesita
una representación más formal. Existen dos métodos para
representar una gráfica:
Matriz de adyacencia: Se etiquetan en filas y columnas los
vértices.
Matriz de incidencia: Se etiquetan en las filas los vértices, y en
las columnas las aristas.

4. MATRIZ DE ADYACENCIA
En este método para formar la matriz, primero
elegimos los vértices siguiendo un orden cualquiera.
A continuación etiquetamos las filas y las columnas
de una matriz con los vértices ordenados.
La entrada en esta matriz de adyacencia es uno si
los vértices del renglón y la columna son adyacentes
y cero en caso contrario.
Llamamos vértices adyacentes a aquellos vértices
que están formados por la misma arista. Llamamos
aristas adyacentes a aquellas aristas que convergen
en un mismo vértice.

5. Ejemplo de la matriz de
adyacencia
A B C
A 2 1 1
B 1 0 2
C 1 2 0
En la matriz de adyacencia del grafico presentado en este ejemplo se
va ha determinar si los vértices son adyacentes, y mediante que
aristas.
Ahora, una vez encontrada la matriz de adyacencia podemos calcular
el grado de cada uno de los vértices.

6. Ejemplo de la matriz de
adyacencia
A B C D E
A 0 1 0 0 0
B 1 0 0 1 0
C 1 0 0 1 0
D 0 1 1 1 0
E 0 0 1 0 0

7. Ejemplo de la matriz de
adyacencia
A B C D E
A 0 0 0 1 0
B 0 0 1 0 0
C 0 1 0 0 0
D 0 1 1 0 1
E 1 1 0 0 0

8. MATRIZ DE INCIDENCIA
Los elementos de esta matriz están dados por la incidencia
entre un vértice y una arista. Cuando existe esta incidencia se
coloca uno, caso contrario cero.
Dado un grafo simple G = (V, E) con n=|V| vértices {v1, ..., vn} y
m=|E| aristas {e1, ..., em}, su matriz de incidencia es la matriz de
orden nxm,
B(G)=(bij), donde bij=1 si vi es incidente con ej y bij=0 en caso
contrario.
PROPIEDADES
 Permite representar lazos y lados paralelos
La columna con único valor diferente de 0 es un lazo
Las columnas que no son lazos deben tener (2) unos
 La valencia de un vértice es igual a la suma de la fila

9. MATRIZ DE INCIDENCIA
a b c d e f g h
1 1 0 0 0 0 0 0 0
2 1 1 1 0 0 0 0 0
3 0 1 0 1 1 0 0 1
4 0 0 1 1 0 1 1 0
5 0 0 0 0 1 1 0 0
6 0 0 0 0 0 0 1 1

10. MATRIZ DE INCIDENCIA
La matriz de incidencia sólo contiene
ceros y unos (matriz binaria). Como
cada arista incide exactamente en dos
vértices, cada columna tiene
exactamente dos unos. El número de
unos que aparece en cada fila es igual al
grado del vértice correspondiente.
Una fila compuesta sólo por ceros
corresponde a un vértice aislado.

11. Ejemplo de la matriz de
incidencia
e1 e2 e3 e4 e5
A 1 1 1 0 0
B 1 0 0 1 0
C 0 1 1 1 1
En la matriz de incidencia del gráfico presentado en este
ejemplo va ha determinar la incidencia de las aristas con los
vértices.
Cuando una arista incide con un vértice toma el valor de uno,
y cuando no incide el valor de cero.

12. LISTAS DE ADYACENCIA
En esta estructura de datos la idea es asociar a cada vertice i
del grafo una lista que contenga todos aquellos vértices j
que sean adyacentes a él. De esta forma sólo reservará
memoria para los arcos adyacentes a i y no para todos los
posibles arcos que pudieran tener como origen i. El grafo,
por tanto, se representa por medio de un vector de n
componentes (si |V|=n) donde cada componente va a ser
una lista de adyacencia correspondiente a cada uno de los
vértices del grafo. Cada elemento de la lista consta de un
campo indicando el vértice adyacente. En caso de que el
grafo sea etiquetado, habrá que añadir un segundo campo
para mostrar el valor de la etiqueta.

13. LISTAS DE ADYACENCIA

14. LISTAS DE ADYACENCIA

15. ISOMORFISMO DE
GRAFICAS.
TEORIA DE GRAFOS

16. Isomorfismo de gráficas
Dos grafos son isomorfos si existe correspondencia
uno a uno entre los nodos
de los dos grafos, y además conservan la
adyacencia entre los nodos así como la dirección
de los ejes, si existen.
De acuerdo con la definición de isomorfismo nos
damos cuenta que un par cualquiera de nodos que
esta unido por un eje debe de tener los nodos
correspondientes en el otro grafo también unidos
por un eje, así mismo debe existir una
correspondencia uno a uno entre los ejes.

17. Isomorfismo de gráficas
Dos graficas simples G1 y G2 son isomorfas si y solo si para cierto orden de
sus vértices las matrices de adyacencia son iguales.
A B C D E
A 0 1 0 1 0
B 1 0 1 1 1
C 0 1 0 1 1
D 1 1 1 0 0
E 0 1 1 0 0

18. Isomorfismo de gráficas
A B C D E
A 0 1 0 1 1
B 1 0 0 1 0
C 0 0 0 1 1
D 1 1 1 0 1
E 1 0 1 1 0

19. Isomorfismo de gráficas
A B C D E
A 0 1 0 1 0
B 1 0 1 1 1
C 0 1 0 1 1
D 1 1 1 0 0
E 0 1 1 0 0
A B C D E
A 0 1 0 1 1
B 1 0 0 1 0
C 0 0 0 1 1
D 1 1 1 0 1
E 1 0 1 1 0
RTA/ Estas no son graficas
isomorfas

20. Isomorfismo de gráficas
A B C D
A 0 1 1 1
B 1 0 1 1
C 1 1 0 1
D 1 1 1 0
A B C D
A 0 1 1 1
B 1 0 1 1
C 1 1 0 1
D 1 1 1 0
RTA/ Son isomorfos

21. GRAFICAS PLANAS.
TEORIA DE GRAFOS

22. GRAFICAS PLANAS
Una gráfica puede pensarse como un diagrama que
consiste de una colección de puntos y líneas que se
unen entre sí. Esta idea puede caracterizarse
definiendo a cualquier gráfica G como un par de
conjuntos (V(G),E(G)) donde V(G) es un conjunto
finito no vacío de elementos llamados vértices y
E(G) es un conjunto finito de pares no ordenados de
elementos de V(G) llamados líneas o aristas.
A continuación presentamos dos ejemplos de gráficas
que si bien parecen bastante diferentes a primera
vista son esencialmente iguales (isomorfas).

23. GRAFICAS PLANAS
En la gráfica de la figura 1 hay dos aristas que se intersectan en
un punto que no es un vértice de ésta, mientras que en la
segunda gráfica las aristas no se intersectan más que en un
vértice. Es de notarse que a pesar de que dos gráficas puedan
parecer tan distintas posean la misma estructura;
observemos que ambas tienen el mismo conjunto de puntos
y vértices, es decir, son la “misma” gráfica pero dibujada de
diferente manera.

24. GRAFICAS PLANAS
Dependiendo de cómo dibujemos una gráfica,
ésta puede ser plana si puede ser dibujada en
el plano de manera que sus aristas no se
intersectan geométricamente mas que en un
vértice. Por ejemplo, en la figura anterior
tenemos dos formas de dibujar la misma
gráfica: en la primera el dibujo no es una
gráfica plana, mientras que en la segunda si.

25. GRAFICAS PLANAS
Cuando una gráfica es plana, es decir, que
podemos dibujarla en el plano sin que
sus aristas se intersectan, entonces
todos los puntos del plano que no están
en G forman caras o regiones.

26. GRAFICAS PLANAS
Regiones de un grafo plano:
Una representación plana de un grafo
divide el plano en regiones, entre ellas
una región no acotada.

27. GRAFICAS PLANAS
Existen teoremas que nos ayudan a determinar
si una gráfica es plana o no, los teoremas son:
• TEOREMA DE EULER.
• TEOREMA DE KURATOWSKI .

28. GRAFICAS PLANAS
Teorema de Euler
Una gráfica plana, divide al plano en distintas regiones
llamadas caras. Si se denota el número de caras por C, el
número de vértices por V y el número de aristas por A, en la
figura se tiene que C = 4, V = 4 y A = 6.
En toda gráfica conexa y plano que esté representado se
verifica que el número de caras más el de vértices menos el
de aristas vale 2. Es decir
C – A + V = 2.

29. GRAFICAS PLANAS
Teorema de Kuratowski
Un grafo es plano si no contiene como
subgrafo a K5 (grafo completo de 5 vértices)
ni a K3,3 (bipartito completo de 6 vértices).

30. GRAFICAS PLANAS
Teorema de Kuratowski
En la práctica, es difícil usar el teorema de Kuratowski
para decidir rápidamente si un grafo es plano. Sin
embargo, existe un algoritmo rápido para este
problema: dado un grafo de n vértices y e el
número de aristas, es posible determinar si el grafo
es plano o no, utilizando los dos teoremas
siguientes:
Teorema 1. Si n ≥ 3 entonces e ≤ 3n - 6
Teorema 2. Si n > 3 y no existen ciclos de longitud 3,
entonces e ≤ 2n - 4

31. GRAFICAS PLANAS
Teorema de Kuratowski
El grafo K3,3, por ejemplo, tiene 6 vértices, 9
aristas y ningún ciclo de longitud 3. Por el
teorema 2, no puede ser plano. Nótese que
estos teoremas están construidos con una
implicación unidireccional (si), y no
bicondicional (si y solo si) y por tanto,
solamente pueden ser usados para probar
que el grafo no es plano, pero no que sea
plano.

32. GRAFICAS PLANAS
Teorema de Kuratowski
Ejemplo: El grafo de Petersen no es plano,
porque contiene un subgrafo de K3,3.

33. GRAFICAS PLANAS
Ejemplos

34. GRAFICAS PLANAS
Ejemplo

35. GRAFICAS PLANAS
Ejemplo

36. GRAFICAS PLANAS
Ejemplo

37. GRAFICAS PLANAS
Ejemplo

38. GRAFICAS PLANAS
Ejemplo

39. GRAFICAS PLANAS
Ejemplo

40. GRAFICAS PLANAS
Ejemplo

41. GRAFICAS PLANAS
Ejemplo

42. GRAFICAS PLANAS
Ejemplo

43. GRAFICAS PLANAS
Ejemplo
Vértices = 5, Aristas = 7, Regiones = 4
Aplicando Euler: R – A + V = 2 ó R = A – V + 2
-> 4 – 7 + 5 = 2 ó 4 = 7 - 5 + 2
2 = 2 ó 4 = 4

44. GRAFICAS PLANAS
Aplicación
Las gráficas se utilizan al dibujar circuitos integrados impresos
en chips de silicón, que son usados en dispositivos
electrónicos, ésta es una de las aplicaciones más
importantes de las gráficas planas, ya que estos chips deben
estar diseñados de tal modo que las porciones conductoras
no se crucen entre si.