Esta presentación le pertenece a Paola Remache.

1. Grafos, Representación y
Operaciones
PROGRAMACIÓN 3
REALIZADO POR:
PAOLA REMACHE

2. • Conceptos
• Grafo
• Nodo(Grado)
• Camino
• Representación de los Grafos
• Lista de adyacencia
• Recorrido de un grafo
• Conexiones en un grafo
• Matriz de caminos
• Puntos de articulación

3. DIRIGIDO
NO DIRIGIDO -> DIGRAFO
Un grafo permite modelar relaciones
arbitrarias entre objetos. Un grafo G
= (V,A) es un par formado por un
conjunto de vértices o nodos, V, y un
conjunto de arcos o aristas, A. Cada
arco es el par (u,w), siendo u, w dos
vértices relacionados.

4. Un Grafo Dirigido G consiste de un conjuntoV de vértices y un conjunto
E al conjunto de aristas del grafo.
V={a, b, c, d}
E={(a,c), (a,b), (b,c), (b,d), (c,d)}

5. Un enlace es un par ordenado de vértices (v, w), donde v es la cola y w
corresponde a la cabeza del enlace.
Los vértices de un grafo dirigido pueden usarse para representar
objetos y los enlaces relaciones entre los objetos, ejemplo de ello que
los vértices pueden representar ciudades y los enlaces vuelos aéreos
entre ciudades.

6. Sea G un Grafo no Dirigido, donde G=(V,E) y V corresponde al conjunto
de vértices y E al conjunto de aristas del grafo.Se diferencia de un Grafo
Dirigido debido a que cada arista en E es un par no ordenado de
vértices. Si (v,w) es una arista no dirigida -> (v,w) = (w,v).
V={a, b, c, d}
E={(a,c),(c,a),(a,b),(b,a) (b,c),(c,b),(b,d),(d,b), (c,d),(d,c)}

7. Número de Aristas que tiene el nodo Grado ENTRADA:Aristas que llegan al nodo.
Grado SALIDA:Aristas que salen del nodo.
BUCLE arco al mismo vértice.

8. Los enlaces tanto para los grafos Dirigidos como No Dirigidos tienen un
costo (valor), por lo tanto son grafos etiquetados.

9. Secuencia deVértices
LONGITUD: Suma de los pesos de las aristas
que conectan dichos vértices
LONGITUD: Numero de aristas
que conectan dichos vértices

10. a b c d
a 1 1 1 1
b 1 1 1 1
c 1 1 1 1
d 0 0 0 0

11. • arista (u, v). Añade el arco o arista (u,v) al grafo..
• adyacente(u,v). Operación que devuelve cierto si los vértices u, v
forman un arco.
• nuevoVértice(u). Añade el vértice u al grafo G..

14. La forma más sencilla de representación
es mediante una matriz, de tantas
filas/columnas como nodos, que permite
modelar fácilmente. En los grafos no
dirigidos la matriz de adyacencia siempre
es simétrica
Es una matriz de unos y ceros, que
indican si dos vértices son adyacentes o
no.
En un grafo valorado, cada elemento
representa el peso de la arista, y por ello
se la denomina matriz de pesos.
D F K L R

16. Ventajas
Se puede determinar en un tiempo fijo y constante si un enlace(arco)
pertenece o no al grafo.
Es fácil determinar si existe o no un arco o enlace, solo se debe posicionar en la
matriz.
Es fácil determinar si existe un ciclo en el grafo, basta multiplicar la matriz por
ella misma n veces hasta obtener la matriz nula(no hay ciclos) o bien una
sucesión periódica de matrices(hay ciclo)
Desventajas Se requiere un almacenamiento |v|*|v|. Es decir O(n^2).
Solo al leer o examinar la matriz puede llevar un tiempo de
O(n^2).

17. Las listas de adyacencia son una estructura multienlazada formada por
una tabla directorio en la que cada elemento representa un vértice del
grafo, del cual emerge una lista enlazada con todos sus vértices
adyacentes. Es decir, cada lista representa los arcos con el vértice
origen del nodo de la lista directorio, por eso se llama lista de
adyacencia.

19. Ventajas La lista de adyacencia requiere un espacio proporcional a la
suma del número de vértices más el número de
enlaces(arcos). Hace buen uso de la memoria.
Se utiliza bastante cuando el número de enlaces es mucho
menor que O(n^2).matrices(hay ciclo)
Desventajas La representación con lista de adyacencia es que
puede llevar un tiempo O(n) determinar si existe un
arco del vértice i al vértice j, ya que pueden haber O(n)
vértices en la lista de adyacencia. Para el vértice i.

20. • Nuevo vértice Si el vértice ya está en la tabla no hace nada si es nuevo, se
asigna a continuación del último.
• Arista Esta operación da entrada a un arco del grafo. El método tiene como
entrada el vértice origen y el vértice destino. El método adyacente()
determina si la arista ya está en la lista de adyacencia, y, por último, el Arco
se inserta en la lista de adyacencia del nodo origen. Para añadir una arista
en un grafo valorado, se debe asignar el factor de peso al crear el Arco.
• Borrar arco La Consiste en eliminar el nodo de la lista de adyacencia del
vértice origen que contiene el arco del vértice destino. Una vez encontrada
la dirección de ambos vértices en la lista de nodos se accede a la
correspondiente lista de adyacencia para proceder a borrar el nodo
quecontiene el vértice destino.

21. • Adyacente La operación determina si dos vértices, v1 y v2, forman
un arco. En definitiva, si el vértice v2 está en la lista de adyacencia de
v1. El método buscarLista() devuelve la dirección del nodo que
contiene al arco, si no está devuelve null.
• Borrar vértice Eliminar un vértice de un grafo es una operación que
puede ser considerada costosa en tiempo de ejecución, ya que
supone acceder a cada uno de los elementos de la multiestructura.

22. Hay dos formas de recorrer un grafo: recorrido en profundidad y recorrido en
anchura. Si el conjunto de nodos marcados se trata como una cola, el
recorrido es en anchura; si se trata como una pila, el recorrido es en
profundidad.
El orden en el recorrido en profundidad es el que determina la estructura pila.
Utiliza una cola en la que se guardan los vértices adyacentes al que se ha procesado. Para determinar
si un vértice está o no marcado se pueden seguir varias alternativas.

23. Si existe un camino entre cualquier par de nodos.
Dirigido
FUERTEMENTE
CONEXO
No Dirigido
CONEXO

24. Subconjuntos de vértices que mutuamente están conectados; es decir, las
componentes conexas del mismo.
1. Realizar un recorrido del grafo a partir de cualquier vértice w.
2. Si en el recorrido se han marcado todos los vértices, entonces el grafo es
conexo.
3. Si el grafo no es conexo, los vértices marcados forman una componente
conexa.
4. Se toma un vértice no marcado, z, y se realiza de nuevo el recorrido del
grafo a partir de z. Los nuevo vértices marcados forman otra componente
conexa.
5. El algoritmo termina cuando todos los vértices han sido marcados
(visitados).

25. De no ser fuertemente conexo se pueden determinar componentes fuertemente
conexas del grafo.
1. Obtener el conjunto de vértices descendientes del vértice de partida.
Recorrido en profundidad.
2. Obtener el conjunto de ascendientes.
3. Los vértices comunes del conjunto de descendientes y ascendientes es el
conjunto de vértices que forman la componente fuertemente conexa a la que
pertenece v. Si este conjunto es el conjunto de todos los vértices del grafo,
entonces es fuertemente conexo
4. Si no es un grafo fuertemente conexo se selecciona un vértice cualquiera y se
procede de la misma manera, es decir, se repite a partir del primer paso hasta
obtener todas las componentes fuertes del grafo.

26. Un punto de articulación de un grafo no dirigido es un vértice v que tiene la
propiedad de que si se elimina junto a sus arcos, el componente conexo en
que está el vértice se divide en dos o más componentes.

27. El algoritmo de búsqueda se basa en el recorrido en profundidad para
encontrar todos los puntos de articulación. Los sucesivos vértices por los
que se pasa en el recorrido en profundidad de un grafo se puede
representar mediante un árbol de expansión. La raíz del árbol es el vértice
de partida, A y cada arco del grafo será una arista en el árbol.