Introducción a la Probabilidad y Estadística

Nombre de la Materia: Probabilidad y estadística
Profesor: Dr. José Luis Martínez Toledo
Profesor de Salud Pública y Coordinador de Titulación por Tesis

Objetivo del tema: Probabilidad y estadística.
Revisar y actualizar aspectos básicos de estadística descriptiva y estadística inferencial.

GENERALIDADES Y CONCEPTOS
• Hace más de 4 mil años, los chinos utilizaban tablas de estadística agrícola.
• Los Egipcios y Romanos realizaban censos de personas y bienes.
• La estadística moderna se inicia con John Graunt al publicar en 1662 un libro
sobre nacimientos, matrimonios y defunciones.
• Halley en 1692 pública un artículo sobre tasas de mortalidad y esperanza de
vida.
• La estadística se consolida como una rama de las matemáticas con la teoría de
la probabilidad; a la que contribuyeron matemáticos como Laplace, Bernoulli,
Gauss, Pearson y Fisher.
• La palabra estadística nació cuando se utilizó para tabular los datos del Estado
relacionados con la planeación, reglamentación y recaudación de impuestos.
• A los cobradores de impuestos y encargados de analizar estos datos se le llamó
“Estadísticos”.
• A los estadísticos se les dio la responsabilidad de integrar las cifras para los
informes del Gobierno. JLMT

DEFINICIONES
ESTADÍSTICA: Rama de las matemáticas que estudia las técnicas para
procesar datos.
TÉCNICA: Procedimiento bien definido para realizar una actividad específica.
DATO, CIFRA, OBSERVACIÓN O HECHO: Es una fuente primaria de
información.
BIOESTADÍSTICA: Término que se utiliza para procesar datos obtenidos de las
ciencias biológicas, en especial del área médica.
POBLACIÓN: Total de personas, animales o cosas que conforman los
elementos en estudio, se le identifica con N.
MUESTRA: Es una parte de la población en estudio, calculada a partir de los
datos de la población. JLMT

VARIABLES
Definición de variable: Característica, fenómeno o atributo, que puede tomar
diferentes valores o modalidades entre los individuos y cosas estudiadas.
VARIABLES
CLASIFICACION DE VARIABLES
1. CUANTITATIVAS: Expresan números
2. CUALITATIVAS: Describen atributos de la población objeto de estudio.
3. DE CAUSALIDAD: Las que se utilizan en la investigación de las causas. (La
tendencia actual es estudiar factores de riesgo o enfoque multicausal el enfoque anterior
implica un enfoque unicausal)
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VARIABLES
1. VARIABLES CUANTITATIVAS: Expresan números
1.1) CUANTITATIVA CONTINUA: Se puede expresar en fracciones y pueden tomar valores
infinitos dentro de un rango. (edad, tensión arterial, talla, peso)
1.2) CUANTITATIVAS DISCONTINUAS o DISCRETAS: Se expresa solo con números
enteros (Número de hermanos, ingresos hospitalarios por día, eritrocitos por ml. Cúbico).
2. VARIABLES CUALITATIVAS: Describen atributos de la población objeto de estudio.
2.1) CUALITATIVA NOMINAL: No guardan ningún orden o jerarquía y son excluyentes
entre sí, dan nombre ejem: Sexo, ocupación, sano, enfermo.
2.2) CUALITATIVA ORDINAL: Existe un orden o jerarquía predeterminado, ejemplo:
Respuesta a un tratamiento (buena, regular, nula).
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VARIABLES
3. VARIABLES DE CAUSALIDAD: Las que se utilizan en la investigación de las
causas.
3.1) INDEPENDIENTE: La causa.
3.2 DEPENDIENTE: El efecto o enfermedad.
3.3) INTERVINIENTE: Las que están presentes entre la variable dependiente y la
independiente. Algunos autores identifican a estas variables como variables de
confusión.
La tendencia actual es estudiar factores de riesgo o enfoque multicausal,
porque el enfoque anterior implica un enfoque unicausal y en salud la etiología
es multifactorial.
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DEFINICIONES DE FRECUENCIAS
FRECUENCIA ABSOLUTA: Número de observaciones contenidas en un
determinado intervalo.
FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA: Es la suma de las frecuencias
absolutas anteriores de los intervalos.
FRECUENCIA RELATIVA: Es la proporción de la frecuencia absoluta,
multiplicada por cien. (Se divide la frecuencia absoluta entre el total de
observaciones por cien).
FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA: Es la suma de las frecuencias
relativas anteriores de cada intervalo. JLMT

Representación gráfica y tabular de frecuencias
El propósito de una tabla, cuadro, grafica o figura es representar en forma
resumida la información de los datos y tener una imagen objetiva, que facilite su
comprensión. Sus componentes son:
1.Titulo
2. Matriz del cuadro o tabla y tipo de grafica o figura
3. Notas explicativas
4. Fuente
1. Título: Reúne dos condiciones
A) Completo
B) Conciso
Un título completo indica claramente cuál es el contenido del cuadro o tabla.
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2. MATRIZ O CUADRO PROPIAMENTE DICHO. Está formado por un
conjunto de celdas, dispuestas en columnas y filas.
La primera columna y fila son de encabezamientos, en las cuales se
indican a que se refieren los datos registrados en las subsecuentes
celdas y deben ser breves y explicitas.
Se recomienda tener pocos renglones o filas y pocas columnas.
3. NOTAS EXPLICATIVAS. Las ubicadas en la parte superior se
refieren a todo el contenido del cuadro, en la parte inferior se ubican
las aclaraciones que sólo afectan a cifras de determinadas celdas.
4. FUENTE. De donde se obtuvieron los datos, para reconocimiento
de los autores y los lectores puedan acudir a la información original.

Tipos de graficas o figuras
1. Barras en sus diferentes modalidades.
2. Circular, pastel o torta. Incluir 100% de valores.
3. Histograma. Agrupa frecuencias
4. Polígono de frecuencias. Unión del centro de las
barras del histograma.
5. Lineal.
6. Mapas y pictogramas.
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Ejemplo de cuadro o tabla sobre frecuencias de edades de pacientes con cáncer colorrectal
Años de
Edad
Número de
Pacientes
Porcentaje
Porcentaje
acumulable
25 a 29 1 0.8 0.8
30 a 34 0 0.0 0.8
35 a 39 0 0.0 0.8
40 a 44 1 0.8 1.7
45 a 49 4 3.4 5.1
50 a 54 6 5.1 10.2
55 a 59 10 8.5 18.6
60 a 64 17 14.4 33.1
65 a 69 8 6.8 39.8
70 a 74 27 22.9 62.7
75 a 79 15 12.7 75.4
80 a 84 17 14.4 89.8
85 a 89 8 6.8 96.6
90 a 94 4 3.4 100.0
Total 118 100.0
Fuente: Illinois State Cancer Registry, Illinois Department of Public Health.
0
5
10
15
20
25
30
Núme
ro
de
p
aciente
s
25 35 45 55 65 75 85 95
Edades de pacientes al momento del diágnostico de cáncer colorrectal
Ejemplo de histograma de las edades de
pacientes con cáncer colorrectal
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Ejemplo de mapa: Incidencia de Diabetes Mellitus 2 por Municipio. Michoacán 2000
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MEDIDAS DE RESUMEN: Son aquellas que permiten obtener un solo valor, que
representa a todos los datos de un grupo o conjunto.
Se clasifican en:
1. TENDENCIA CENTRAL: Media, mediana y moda.
2. DE DISPERSIÓN: Rango, Varianza, Desviación estándar.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: Son aquellas que nos indican alrededor de
que valor se agrupan el mayor número de observaciones.
_
Simbología estadística para muestras: Σ = Sumatoria o total. X= Media
Md = Mediana Mo = Moda R = Rango S2 = Varianza
S= Desviación Estándar n=Total de Observaciones de una muestra.
N=Total de Observaciones de la población o universo
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1. MEDIA ARITMETICA, VALOR MEDIO ó PROMEDIO: Es la que se obtiene sumando todos los valores y
dividiendo el total entre el número de observaciones.
Formula: _
X = Σ Xi
n
2. MEDIANA.- Definición: Es el valor de la variable que divide en dos partes iguales al número total de
observaciones, su notación es Md. Corresponde al valor central de los valores ordenados de todas las
observaciones.
Formulas: a) Cuando n= número non Md = n+1 / 2 b) Cuando n=número par: Md = Promedio de los valores
centrales.
3. MODA O VALOR MODAL. Definición: Es el valor de la variable que se presenta con mayor frecuencia. Su
notación es Mo.
Interpretación: Media, Mediana y Moda se interpretan en relación el parámetro o valores normales.
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MEDIDAS DE DISPERSION: Son aquellas que registran la variedad que presentan los valores de las
observaciones, es decir, informan sobre la dispersión de los datos.
1) RANGO ABSOLUTO: Definición: Es la diferencia entre el valor mayor y el valor menor de un grupo
de datos.
Fórmula: R = X mayor – X menor (Su interpretación se realiza comparándose con el rango del parámetro)
2) VARIANZA: Definición: Mide la dispersión de los valores respecto la media y se expresa en unidades
cuadradas, su notación es S2 para una muestra. Fórmula S2 = Σ(Xi-X)2 Interpretación: El resultado es
lo que se aleja el grupo de la media en unidades al cuadrado. n-1
3) DESVIACION ESTANDAR: Definición: Es la raíz cuadrada de la varianza. Representa todas las
diferencias de las observaciones respecto a la media, se expresa en unidades originales o simples.
Interpretación el resultado es lo que se aleja el grupo en unidades normales de la variable estudiada.
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Ejemplo: Calcular e interpretar las medidas de tendencia central y dispersión de los valores de glucosa de 5
pacientes: 140, 150, 100, 110 y 100 , teniendo como parámetro (valores normales) un rango de 60 a 110 mg
de glucosa/dl/sangre.
_
X = Σ Xi = 600 = 120 Interpretación: La media de glucosa del grupo está 10 mg por arriba del parámetro.
n 5
Md = n+1/2 = 5 +1/2= 3 = 110. Interpretación: La mediana de glucosa está en el límite de lo normal.
Mo= moda = 100 Interpretación: La moda de glucosa está dentro de lo normal.
Rango del grupo = X mayor – X menor R = 150-100= 50 Rango del parámetro= 110 -60= 50
_ Interpretación: El rango de glucosa del grupo es igual al rango de glucosa del parámetro.
Varianza= Σ(Xi-X)2 = 2200/4 = 550 Interpretación: Los valores de glucosa del grupo se alejan de la media,
n-1 en promedio 550 unidades al cuadrado
Desviación estándar: = Raíz cuadrada de la varianza en este caso raíz cuadrada de 550= 23.45 mg de glucosa.
Interpretación: Los valores de glucosa del grupo se alejan o dispersan en promedio 23.45 mg de glucosa en
relación de la media
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PERCENTILES
• Corresponden a las medidas de posición, que son las que permiten
localizar un dato específico en relación con el resto de la población o
muestra, a la que dividen en grupos, se clasifican en:
Percentiles (P) o centiles (C): Números que dividen a los datos ordenados
en 100 partes, (p1,p2,...p99).
Deciles (D): Dividen a los datos ordenados en 10 partes, (D1, D2, D3,...D9).
Cuartiles (Q): Dividen a los datos ordenados en 4 partes. (Q1,Q2,Q3).
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Ejemplo percentiles
Índice de masa corporal y edad para
evaluar el estado nutricional.
Debe definirse los criterios
diagnósticos
Normal= Percentiles 10 al 85
Sobrepeso= Percentiles 85-99
Obesidad= Superior a percentil 99
Desnutrición = Debajo del percentil 10
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CARDINALIDAD DEL ESPACIO MUESTRAL
INFERENCIA ESTADÍSTICA: Es el procedimiento por medio del cual se llegan a decisiones
acerca de una población con base en los resultados obtenidos de una muestra.
PROBABILIDAD: Es el estudio de fenómenos puramente aleatorios (al azar)
FENÓMENOS DETERMINISTICOS: Ocurren cuando están presentes un conjunto de condiciones,
Ejemplos: agua + trióxido de azufre = Ácido sulfúrico Trisomía 21= Síndrome de Down
FENÓMENOS ALEATORIOS. Aquellos en los que no se pueden predecir con certeza absoluta el
resultado bajo un conjunto de condiciones.
EXPERIMENTO: Todo proceso que produce un resultado u observación.
ENSAYO: Es una sola ejecución del experimento.
ESPACIO MUESTRAL (S): Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento.
FINITO: Se conoce el número de elementos.
INFINITO: Es incontable el número de elementos.
PUNTO MUESTRAL: Es el valor individual de un espacio muestral (agua al lanzar una moneda)
4
2
3
2 SO
H
SO
O
H =
+
4
2
3
2 SO
H
SO
O
H =
+
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….CARDINALIDAD DEL ESPACIO MUESTRAL
EVENTO: Es cualquier subconjunto del espacio muestral (al lanzar un dado que aparezca
número par e= (2, 4,6)
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES: Cuando la ocurrencia de uno impide que los demás
se presenten. (Al lanzar un dado que caiga par: 2, 4, 6. Si así ocurre es imposible que también
caiga impar)
PROBABILIDAD CLÁSICA: La ocurrencia de un evento es igual al número de casos posibles
del evento entre el número total de casos.
Fórmula: P (E) = n/N P (E) = Probabilidad de que ocurra el evento.
n = Número de casos favorables.
N = Número total de casos posibles.
CONDICIONES: 1) Eventos mutuamente excluyentes.
2) Eventos con igual probabilidad.
Ejemplo: Probabilidad de que al lanzar una moneda caiga águila.
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TEORÍA DE CONJUNTOS
• Es el estudio de los atributos y relaciones (unión, intersección,
complemento), que tienen determinados grupos o conjuntos.
• Un conjunto es una agrupación de elementos, principalmente
números, letras, palabras, funciones, símbolos y figuras
geométricas.
• Para elaborar las relaciones y atributos, es necesario definir la
característica que tienen en común los elementos que integran el
conjunto, por ejemplo, el conjunto B con los números enteros,
positivos y pares menores a 12 su notación es B= {2, 4, 6, 8, 10}
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• El matemático y filósofo inglés John Venn fue de los más estudiosos
de la teoría de conjuntos.
• En su honor se origina el diagrama de Venn.
• Características del diagrama de Venn:
1) Permite ilustrar la relación entre dos o más conjuntos de elementos.
2) Cada conjunto de elementos se representa mediante círculos.
3) En las intersecciones de los círculos se ubican aquellos elementos
que forman parte de más de un grupo a la vez.
4) Es una herramienta que se utiliza particularmente en el campo de la
estadística, las matemáticas y la lógica.
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De un conjunto: El circulo Incluye los
elementos que pertenecen al conjunto y
fuera de dicho circulo, están los elementos
que no pertenecen al conjunto
De dos conjuntos: Tiene 2 regiones de elementos que solo
pertenecen al conjunto A o solo al conjunto B, región de
elementos que pertenecen a los dos conjuntos (sombreado con
el color plomo más oscuro) y la región donde están los
elementos que no pertenecen a ninguno de los dos conjuntos.
De tres conjuntos: Tiene tres regiones donde están los
elementos que pertenecen a solo uno de los tres conjuntos,
incluye cuatro intersecciones (3 entre dos conjuntos y una
entre los tres conjuntos), más una región donde se ubican los
elementos que no pertenecen a ningún conjunto.
Diagramas
de Venn
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TECNICAS DE CONTEO, PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
Las técnicas de conteo son las que permiten calcular la probabilidad de que se presente un número de eventos que
satisfacen ciertas condiciones, principalmente cuando es grande el número total de eventos posibles.
FACTORIAL: ¡Dado el entero positivo n, es la multiplicación de todos los números enteros desde n hasta 1 y se escribe
así n! Ejemplo: 5! = 5*4*3*2*1= 120. En general: n! = n (n-1) (n-2) (n-3) …1
Por definición: 0! = 1 (Factorial de cero es igual a uno)
Ejemplo: En un avión viajan 4 médicos en una fila, ¿De cuantas maneras diferentes se pueden sentar? 4! = 4*3*2*1= 24
PERMUTACIONES: Arreglo ordenado de objetos en el que sí importa la posición o el lugar. Formula: nPr = n!
(n-r)!.
Ejemplo: Un avión tiene filas de 4 asientos, viajan los médicos Alma, Bertha, Carlos y Daniel ¿De cuantas maneras
diferentes se pueden sentar formando parejas?
4P2 = _4!_
(4-2)!
4P2= 4*3*2*1 = 24 = 12
2*1 2
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COMBINACIONES: Es un arreglo de objetos sin tomar en cuenta la posición o lugar.
Fórmula: ( n ) = n!
r r! ( n-r )!
Del ejemplo anterior: ¿Cuantas parejas se pueden formar con los 4 médicos?
4C2 = 4x3x2x1 = 24 = 24 = 6
2! (4- 2)! 2x2 4
Otro ejemplo: ¿Cuantas combinaciones se pueden hacer con 5 blusas y 7 pantalones?
5C1 = 5x4x3x2x1 / 1(4x3x2x1) = 120/24 = 5
7C1=7x6x5x4x3x2x1 / 1(6x5x4x3x2x1) = 5040/720=7
5 x 7 = 35
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AXIOMAS EN LA PROBABILIDAD
También se les conoce como definición axiomática o matemática de kolmogorov de la probabilidad son tres:
1) La probabilidad de cualquier evento es igual o mayor que cero; por lo que la probabilidad de cualquier
evento no debe ser menor que cero ni mayor que 1
2) La suma de todas las probabilidades es igual a 1; es decir que la suma de las probabilidades de todos los
resultados mutuamente excluyente es igual a 1. Probabilidad de todos los sucesos P(S) = 1
Ejemplo Probabilidad de águila y sol de una moneda = 0.5+0.5=1
3) La probabilidad de 2 o más eventos es igual a la suma de las probabilidades individuales; lo cual significa
que la probabilidad de dos o más eventos es igual a la suma de las probabilidades individuales.
Ejemplo Probabilidad de que salga un 2 y un 4 en un dado = 1/6 + 1/6 = 2/6
PROBABILIDAD EMPÍRICA “A POSTERIORI” O FRECUENCIAL. La probabilidad de un evento depende de
la frecuencia relativa, cuando el número de pruebas o ensayo tiende al infinito.
Número de ocurrencias del evento / número total de pruebas realizadas JLMT

TIPOS Y CALCULOS DE DISTRIBUCION
DISTRIBUCION DE LA CURVA NORMAL GAUSSIANA: 1) Es simétrica en torno a su media. 2) Media, Mediana y Moda
son iguales. 3) El área total bajo la curva es una unidad. 4) Entre la media más y menos una desviación estándar se
encuentra el 68% del área total; a más y menos 2 desviaciones estándar de la media se encontrará el 95% y a más y
menos 3 desviaciones estándar el 99.7%. 5) Está distribución es determinada por los valores de Media y Desviación
Estándar.
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….TIPOS Y CALCULOS DE DISTRIBUCION
DISTRIBUCION NORMAL UNITARIA O NORMAL ESTANDAR.
• Tiene una Media = 0, y una
• Desviación Estándar = 1.
• Determina el valor Z
Cualquier Distribución Normal se puede transformar en Normal Unitaria, convirtiendo los valores en valor Z a
través de la siguiente fórmula.
Z = X – MEDIA
Desviación Estándar
DISTRIBUCION BINOMINAL: Un solo proceso o experimento puede conducir sólo a uno de dos resultados
mutuamente excluyentes.
P = Probabilidad de éxito
Q = Probabilidad de fracaso (1-P)
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….TIPOS Y CALCULOS DE DISTRIBUCION
Una aplicación de la distribución normal en medicina es cuando se estudian personas aparentemente normales y se realizan
algunas mediciones como por ejemplo determinar la glucosa en sangre de un grupo de personas normales, suponga que se
obtiene una media de 85 mgs de glucosa por decilitro de sangre, con una desviación estándar de 12.5 mgs de glucosa. Al restar
y sumar dos desviaciones estándar a la media (85-25 y 85+25) se obtiene el rango de normalidad que va de 60 a 110 mg de
glucosa. Quienes estén por arriba o por debajo de este rango estarán a menos y más tres desviaciones estándar de la media y
serán los anormales en las cifras de glucosa en sangre.
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