Guia 1-estadistica

Guía
Matemática MARZO 2010
Nombre del Profesor: Francisco Arratia Camus Guía N° 1
Nombre del Estudiante: ___________________________________ Nivel: NM4
Sector de Aprendizaje: Matemática.
Unidad: Estadística y probabilidad.
Para tener éxito en el desarrollo de este nuevo tema, debemos tener en cuenta los conceptos: de
Estadística Descriptiva y Probabilidades, como: Medidas de tendencia central, gráficos de frecuencias,
manejo de la información, probabilidad compuesta, probabilidad total y fórmula de Laplace en el cálculo
de las probabilidades.
En esta Unidad:
Estadística Descriptiva
 Aplicarás conceptos estadísticos: muestra, población y tipos de variables.
 Ordenarás y organizarás la información.
 Analizarás y construirás tablas y gráficos.
 Determinarás medidas de tendencia central: media aritmética, moda y mediana.
 Calcularás medidas de dispersión: rango, desviación estándar y varianza.
 Conocerás e interpretarás las medidas de posición: cuartiles, quintiles, deciles y percentiles.
Estadística Inferencial
 Determinarás la homogeneidad y heterogeneidad de una muestra.
 Compararás distribuciones de distintas muestras de poblaciones dependiendo del tipo de muestreo
aplicado.
 Determinarás y calcularás funciones de probabilidad y distribución de una variable aleatoria discreta.
 Estudiarás la correlación y regresión lineal de distribuciones bidimensionales.
 Reconocerás distribuciones normales y binominales. Y calcularás probabilidades con ellas.
Francisco Arratia Camus
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Estadística y Probabilidad

Introducción
Existen diferentes razones por las cuales los profesionales deben conocer los fundamentos de la estadística
como instrumento del trabajo cotidiano. En esta guía se pretende dar a conocer algunas nociones estadísticas que
nos ayudarán a explorar y describir, en un primer momento, nuestros datos.
Poblaciones y Muestras
Cuando se realiza un estudio de investigación, se pretende generalmente inferir o generalizar resultados de una
muestra a una población. Se estudia en particular a un reducido número de individuos a los que tenemos acceso
con la idea de poder generalizar los hallazgos a la población de la cual esa muestra procede. Este proceso de
inferencia se efectúa por medio de métodos estadísticos basados en la probabilidad.
La población representa el conjunto grande de individuos que deseamos estudiar y generalmente suele ser
inaccesible. Es, en definitiva, un colectivo homogéneo que reúne unas características determinadas.
La muestra es el conjunto menor de individuos (subconjunto de la población accesible y limitado sobre el que
realizamos las mediciones o el experimento con la idea de obtener conclusiones generalizables a la población). El
individuo es cada uno de los componentes de la población y la muestra. La muestra debe ser representativa de la
población y con ello queremos decir que cualquier individuo de la población en estudio debe haber tenido la misma
probabilidad de ser elegido.
Las razones para estudiar muestras en lugar de poblaciones son diversas y entre ellas podemos señalar:
a. Ahorrar tiempo. Estudiar a menos individuos es evidente que lleva menos tiempo.
b. Como consecuencia del punto anterior ahorraremos costes.
c. Estudiar la totalidad de los pacientes o personas con una característica determinada en muchas ocasiones
puede ser una tarea inaccesible o imposible de realizar.
d. Aumentar la calidad del estudio. Al disponer de más tiempo y recursos, las observaciones y mediciones
realizadas a un reducido número de individuos pueden ser más exactas y plurales que si las tuviésemos
que realizar a una población.
e. La selección de muestras específicas nos permitirá reducir la heterogeneidad de una población al indicar
los criterios de inclusión y/o exclusión.
Tipos de datos
Lo que estudiamos en cada individuo de la muestra son las variables (edad, sexo, peso, talla, tensión arterial
sistólica, etcétera). Los datos son los valores que toma la variable en cada caso. Lo que vamos a realizar es medir,
es decir, asignar valores a las variables incluidas en el estudio. Deberemos además concretar la escala de medida
que aplicaremos a cada variable.
La naturaleza de las observaciones será de gran importancia a la hora de elegir el método estadístico más
apropiado para abordar su análisis. Con este fin, clasificaremos las variables, a grandes rasgos, en dos tipos 3-5
:
variables cuantitativas o variables cualitativas.
a. Variables cuantitativas. Son las variables que pueden medirse, cuantificarse o expresarse
numéricamente. Las variables cuantitativas pueden ser de dos tipos:
o Variables cuantitativas continuas, si admiten tomar cualquier valor dentro de un rango numérico
determinado (edad, peso, talla).
o Variables cuantitativas discretas, si no admiten todos los valores intermedios en un rango. Suelen
tomar solamente valores enteros (número de hijos, número de partos, número de hermanos, etc).
b. Variables cualitativas. Este tipo de variables representan una cualidad o atributo que clasifica a cada
caso en una de varias categorías. La situación más sencilla es aquella en la que se clasifica cada caso en
uno de dos grupos (hombre/mujer, enfermo/sano, fumador/no fumador). Son datos dicotómicos o
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binarios. Como resulta obvio, en muchas ocasiones este tipo de clasificación no es suficiente y se requiere
de un mayor número de categorías (color de los ojos, grupo sanguíneo, profesión, etcétera).
En el proceso de medición de estas variables, se pueden utilizar dos escalas:
o Escalas nominales: ésta es una forma de observar o medir en la que los datos se ajustan por
categorías que no mantienen una relación de orden entre sí (color de los ojos, sexo, profesión,
presencia o ausencia de un factor de riesgo o enfermedad, etcétera).
o Escalas ordinales: en las escalas utilizadas, existe un cierto orden o jerarquía entre las
categorías (grados de disnea, estadiaje de un tumor, etcétera).
Estadística descriptiva
Una vez que se han recogido los valores que toman las variables de nuestro estudio (datos), procederemos al
análisis descriptivo de los mismos. Para variables categóricas, como el sexo o la estatura, se quiere conocer el
número de casos en cada una de las categorías, reflejando habitualmente el porcentaje que representan del total,
y expresándolo en una tabla de frecuencias.
Para variables numéricas, en las que puede haber un gran número de valores observados distintos, se ha de optar
por un método de análisis distinto, respondiendo a las siguientes preguntas:
a. ¿Alrededor de qué valor se agrupan los datos?
b. Supuesto que se agrupan alrededor de un número, ¿cómo lo hacen? ¿muy concentrados? ¿muy dispersos?
a. Medidas de tendencia central
Las medidas de centralización vienen a responder a la primera pregunta. La medida más evidente que podemos
calcular para describir un conjunto de observaciones numéricas es su valor medio. La media no es más que la suma
de todos los valores de una variable dividida entre el número total de datos de los que se dispone.
Como ejemplo, consideremos 10 pacientes de edades 21 años, 32, 15, 59, 60, 61, 64, 60, 71, y 80. La media de
edad de estos sujetos será de:
Más formalmente, si denotamos por (X1, X2,...,Xn) los n datos que tenemos recogidos de la variable en cuestión, el
valor medio vendrá dado por:
Otra medida de tendencia central que se utiliza habitualmente es la mediana. Es la observación equidistante de
los extremos.
La mediana del ejemplo anterior sería el valor que deja a la mitad de los datos por encima de dicho valor y a la
otra mitad por debajo. Si ordenamos los datos de mayor a menor observamos la secuencia:
15, 21, 32, 59, 60, 60,61, 64, 71, 80.
Como quiera que en este ejemplo el número de observaciones es par (10 individuos), los dos valores que se
encuentran en el medio son 60 y 60. Si realizamos el cálculo de la media de estos dos valores nos dará a su vez
60, que es el valor de la mediana.
Si la media y la mediana son iguales, la distribución de la variable es simétrica. La media es muy sensible a la
variación de las puntuaciones. Sin embargo, la mediana es menos sensible a dichos cambios.
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Cálculo de la mediana para datos agrupados
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la
suma de las frecuencias absolutas .
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre .
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
es la semisuma de las frecuencias absolutas.
Fi - 1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
ai es la amplitud de la clase.
La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.
Por último, otra medida de tendencia central, no tan usual como las anteriores, es la moda, siendo éste el valor de
la variable que presenta una mayor frecuencia.
En el ejemplo anterior el valor que más se repite es 60, que es la moda
Cálculo de la moda para datos agrupados
Li es el límite inferior de la clase modal.
fi es la frecuencia absoluta de la clase modal.
fi - 1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal.
fi + 1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.
b. Medidas de dispersión
Tal y como se adelantaba antes, otro aspecto a tener en cuenta al describir datos continuos es la dispersión de
los mismos. Existen distintas formas de cuantificar esa variabilidad. De todas ellas, la varianza (S2
) de los datos
es la más utilizada. Es la media de los cuadrados de las diferencias entre cada valor de la variable y la media
aritmética de la distribución.
Esta varianza muestral se obtiene como la suma de las de las diferencias de cuadrados y por tanto tiene como
unidades de medida el cuadrado de las unidades de medida en que se mide la variable estudiada.
En el ejemplo anterior la varianza sería:
Sx
2
=
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La desviación típica (S) es la raíz cuadrada de la varianza. Expresa la dispersión de la distribución y se expresa
en las mismas unidades de medida de la variable. La desviación típica es la medida de dispersión más utilizada en
estadística.
Aunque esta fórmula de la desviación típica muestral es correcta, en la práctica, la estadística nos interesa para
realizar inferencias poblacionales, por lo que en el denominador se utiliza, en lugar de n, el valor n-1.
Por tanto, la medida que se utiliza es la cuasidesviación típica, dada por:
Aunque en muchos contextos se utiliza el término de desviación típica para referirse a ambas expresiones.
En los cálculos del ejercicio previo, la desviación típica muestral, que tiene como denominador n, el valor sería
20.678. A efectos de cálculo lo haremos como n-1 y el resultado seria 21,79.
El haber cambiado el denominador de n por n-1 está en relación al hecho de que esta segunda fórmula es una
estimación más precisa de la desviación estándar verdadera de la población y posee las propiedades que
necesitamos para realizar inferencias a la población.
Cuando se quieren señalar valores extremos en una distribución de datos, se suele utilizar la amplitud como
medida de dispersión. La amplitud es la diferencia entre el valor mayor y el menor de la distribución.
Por ejemplo, utilizando los datos del ejemplo previo tendremos 80-15 =65.
Como medidas de variabilidad más importantes, conviene destacar algunas características de la varianza y
desviación típica:
• Son índices que describen la variabilidad o dispersión y por tanto cuando los datos están muy alejados de
la media, el numerador de sus fórmulas será grande y la varianza y la desviación típica lo serán.
• Al aumentar el tamaño de la muestra, disminuye la varianza y la desviación típica. Para reducir a la mitad
la desviación típica, la muestra se tiene que multiplicar por 4.
• Cuando todos los datos de la distribución son iguales, la varianza y la desviación típica son iguales a 0.
• Para su cálculo se utilizan todos los datos de la distribución; por tanto, cualquier cambio de valor será
detectado.
Otra medida que se suele utilizar es el coeficiente de variación (CV). Es una medida de dispersión relativa de los
datos y se calcula dividiendo la desviación típica muestral por la media y multiplicando el cuociente por 100. Su
utilidad estriba en que nos permite comparar la dispersión o variabilidad de dos o más grupos. Así, por ejemplo, si
tenemos el peso de 5 pacientes (70, 60, 56, 83 y 79 Kg) cuya media es de 69,6 kg. y su desviación típica (s) =
10,44 y la TAS de los mismos (150, 170, 135, 180 y 195 mmHg) cuya media es de 166 mmHg y su desviación típica
de 21,3. La pregunta sería: ¿qué distribución es más dispersa, el peso o la tensión arterial? Si comparamos las
desviaciones típicas observamos que la desviación típica de la tensión arterial es mucho mayor; sin embargo, no
podemos comparar dos variables que tienen escalas de medidas diferentes, por lo que calculamos los coeficientes
de variación:
CV de la variable peso =
CV de la variable TAS =
A la vista de los resultados, observamos que la variable peso tiene mayor dispersión.
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Cuando los datos se distribuyen de forma simétrica (y ya hemos dicho que esto ocurre cuando los valores de su
media y mediana están próximos), se usan para describir esa variable su media y desviación típica. En el caso de
distribuciones asimétricas, la mediana y la amplitud son medidas más adecuadas. En este caso, se suelen utilizar
además los cuartiles y percentiles.
Los cuartiles y percentiles no son medidas de tendencia central sino medidas de posición. El percentil es el valor
de la variable que indica el porcentaje de una distribución que es igual o menor a esa cifra.
Así, por ejemplo, el percentil 80 es el valor de la variable que es igual o deja por debajo de sí al 80% del total de
las puntuaciones. Los cuartiles son los valores de la variable que dejan por debajo de sí el 25%, 50% y el 75% del
total de las puntuaciones y así tenemos por tanto el primer cuartil (Q1), el segundo (Q2) y el tercer cuartil (Q3).
Cálculo de los cuartiles
1 Ordenamos los datos de menor a mayor.
2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión .
Número impar de datos
2, 5, 3, 6, 7, 4, 9
Número par de datos
2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9
Cálculo de los cuartiles para datos agrupados
En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las
frecuencias acumuladas.
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra el cuartil.
N es la suma de las frecuencias absolutas.
Fi - 1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase del cuartil.
Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.
Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos.
D5 coincide con la mediana.
Cálculo de los deciles
En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias
acumuladas.
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Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra el decil.
Fi - 1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase el decil.
Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.
Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos.
P5 0 coincide con la mediana.
Cálculo de los percentiles
En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias
acumuladas.
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra el percentil.
Fi - 1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase del percentil.
Ejercicios
Leer atentamente el siguiente resumen, del artículo de investigación titulado:
Competencias docentes en los profesores de medicina de la Universidad
Michoacana de San Nicolás de Hidalgo
Resumen
Para la identificación de un grupo de competencias docentes básicas en los profesores que se desempeñan en la
licenciatura en medicina en la Facultad de Medicina “Dr. Ignacio Chávez”, objetivo fundamental del presente
trabajo, se utilizaron métodos teóricos y empíricos. Se aplicó una encuesta a una muestra seleccionada de
docentes y alumnos. Se emplearon procedimientos estadísticos para el análisis de los resultados y se elaboraron
tablas. A partir de la identificación de las necesidades de aprendizaje de los profesores estudiados, en relación
con la dirección del proceso enseñanza-aprendizaje y los referentes teóricos sobre el tema, se realizó un análisis
integrador para valorar los datos obtenidos, lo que permitió la caracterización de los docentes objeto de
investigación, en relación con las competencias docentes básicas propias de una gestión formativa pertinente. Se
tomaron en consideración los principios metodológicos más actuales acerca de la formación de recursos humanos
en la educación superior en sentido general y en particular en la educación médica superior.
A partir de este resumen:
a. Define la población.
b. Define la muestra.
c. Define la(s) variable(s) aleatoria(s).
1. Indica que variables son cualitativas y cuales cuantitativas:
1 Comida Favorita.
2 Profesión que te gusta.
3 Número de goles marcados por tu equipo favorito en la última temporada.
4 Número de alumnos de tu Instituto.
5 El color de los ojos de tus compañeros de clase.
6 Coeficiente intelectual de tus compañeros de clase.
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2. De las siguientes variables indica cuáles son discretas y cuales continuas.
1 Número de acciones vendidas cada día en la Bolsa.
2Temperaturas registradas cada hora en un observatorio.
3 Período de duración de un automóvil.
4 El diámetro de las ruedas de varios coches.
5 Número de hijos de 50 familias.
6 Censo de la población chilena.
3. Clasificar las siguientes variables en cualitativas y cuantitativas discretas o continuas.
1 La nacionalidad de una persona.
2 Número de litros de agua contenidos en un depósito.
3 Número de libros en un estante de librería.
4 Suma de puntos tenidos en el lanzamiento de un par de dados.
5 La profesión de una persona.
6 El área de las distintas baldosas de un edificio.
4. Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba han sido:
15, 20, 15, 18, 22, 13, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 16, 20, 16, 15, 18, 16, 14, 13.
Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el gráfico más adecuado.
5. El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie:
3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1.
6. Las calificaciones de 50 alumnos en Matemáticas han sido las siguientes:
5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6, 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4,
6, 3, 5, 5, 6, 7.
7. Los pesos de los 65 empleados de una fábrica vienen dados por la siguiente tabla:
Peso [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80,90) [90, 100) [100, 110) [110, 120)
fi 8 10 16 14 10 5 2
8. Los 40 alumnos de una clase han obtenido las siguientes puntuaciones, sobre 50, en un examen de Física.
3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 23, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37,
34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.
1 Construir la tabla de frecuencias.
2 Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias.
9. Sea una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
Página 8

xi 61 64 67 70 73
fi 5 18 42 27 8
Calcular:
1 La moda, mediana y media.
2 El rango, varianza y desviación típica .
10. Considérense los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 2. Se pide:
1. Calcular su media y su varianza.
2. Si los todos los datos anteriores los multiplicamos por 3, cuál será la nueva media y desviación típica.
11. El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla:
Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Veces 3 8 9 11 20 19 16 13 11 6 4
1. Calcular la media y la desviación típica .
2. Hallar el porcentaje de valores comprendidos en el intervalo (x − σ, x + σ).
12. De esta distribución de frecuencias absolutas acumuladas, calcular:
Edad Fi
[0, 2) 4
[2, 4) 11
[4, 6) 24
[6, 8) 34
[8, 10) 40
1. Media aritmética y desviación típica.
2. ¿Entre qué valores se encuentran las 10 edades centrales?
3. Representar el polígono de frecuencias absolutas acumuladas .
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Información recopilada en:
• “Estadística Descriptiva” Vitutor 2010 España, 14 de marzo de 2010.
http://www.vitutor.com/estadistica.html
“Estadística descriptiva de los datos“ Pita Fernández S, Pértega Díaz, S. Unidad de Epidemiología Clínica y
Bioestadística. Complexo Hospitalario Universitario de A Coruña (España).
http://www.fisterra.com/mbe/investiga/10descriptiva/10descriptiva.asp
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