1. INTRODUCCION A LOS
DISEÑOS FACTORIALES
1 SEMANA 7

2. Diseños Factoriales
2
 Referencia en el Texto: Capítulo 5
 Principios generales de los experimentos factoriales
 El factorial con dos factores con efectos fijos
 La ANOVA para factoriales
 Extensiones a más de dos factores
 Factores Cuantitativos y Cualitativos - curvas y
superficies de respuesta

3. Diseños Factoriales
3
El objetivo de un diseño Los factores pueden
factorial es estudiar el efecto ser cualitativos,
de varios factores sobre una cuantitativos o
o varias respuestas, cuando mixtos
se tiene el mismo interés en
todos los factores
En el diseño factorial
Es necesario elegir
completo se corren
al menos dos niveles
aleatoriamente todas las
de prueba para cada
posibles combinaciones
factor.

4. Definiciones Básicas
4
Definición del efecto de un factor: El cambio en la respuesta
promedio cuando el factor es cambiado de nivel bajo a alto.
Líneas
paralelas
40 52 20 30
A yA yA 21
2 2
30 52 20 40
B yB yB 11
2 2
52 20 30 40
Efecto de la Interacción AB 1
Baja 2 2

5. El caso de la Interacción
5
Líneas se intersecan
50 12 20 40 Efecto de A depende del nivel
A yA yA 1 que se elige para el factor B
2 2
40 12 20 50
B yB yB 9
2 2
12 20 40 50 Efecto de la
AB 29 Interacción Alta
2 2

6. Diseños Factoriales (Ejemplo)
6
Problema
 Un vendedor de plástico para empaques flexibles esta
ayudando a uno de sus clientes, el que reclama que el
plástico que este le vende, no sella bien.
 La forma de medir este sello es por medio de la fuerza
requerida para separarlo, y las unidades con las que
esto se mide son: gramos entre centímetros cuadrados.

7. Diseños Factoriales (Ejemplo)
7
El proceso de sellado

8. Diseños Factoriales (Ejemplo)
8
 De acuerdo con su experiencia, el vendedor
considera que el cierre de este material
depende de las siguientes características:
 Temperatura
 Presión
 Grueso del plástico
 Tiempo de sellado.
 Y ha definido las siguientes variables para
realizar un experimento.

9. Diseños Factoriales (Ejemplo)
9
Ho: efecto de temperatura = 0 A esto se le conoce por matriz de arreglo
H1: efecto de temperatura 0 factorial
…
Variable respuesta: Y: fortaleza del sello (gr/cm2)
Factor Nivel alto (+1) Nivel bajo (-1)
Temperatura (°C) 300 250
Presión (psi) 100 80
Grueso del material 0.03 0.02
Pulgadas)
Tiempo sellado (s) 0.2 0.1

10. Diseños Factoriales (Ejemplo)
10
Se realiza el experimento en la planta del cliente y se obtuvo los
siguientes datos
Temperatura Presión Grosor Tiempo Fuerza
-1 -1 -1 -1 150
-1 -1 -1 1 158 Promedio
-1 -1 1 -1 141 temperatura
-1 -1 1 1 163 baja: 156.38
-1 1 -1 -1 160
-1 1 -1 1 164
-1 1 1 -1 147
-1 1 1 1 168
1 -1 -1 -1 153 Promedio
1 -1 -1 1 159
temperatura
1 -1 1 -1 149
alta: 162.88
1 -1 1 1 160
1 1 -1 -1 170
1 1 -1 1 163
1 1 1 -1 171
1 1 1 1 178

11. Diseños Factoriales (Ejemplo)
11

12. Diseños Factoriales (Ejemplo)
12
Efecto de un factor: es el cambio observado en la variable de respuesta debido 153
a un cambio de nivel de tal factor. 159
Temperatura alta
El efecto de “Temperatura”= 162.88 – 156.38 = 6.5 149
160
Efecto principal: Es el efecto de un factor en promedio sobre los niveles de otros
factores 170
163
171
178
162.88 Promedio
150
158
Temperatura baja
141
163
160
164
147
168
156.38 Promedio

13. Diseños Factoriales (Ejemplo)
13

14. Diseños Factoriales (Ejemplo)
14
Temperatura Presión Fuerza
1 -1 153
1 -1 159
1 -1 149
1 -1 160
155.25

15. Diseños Factoriales (Ejemplo)
15
Temperatura Presión Fuerza
-1 -1
150
-1 -1
158
-1 -1
141
-1 -1
163
153

16. Diseños Factoriales (Ejemplo)
16
Temperatura Presión Fuerza
-1 1
160
-1 1
164
-1 1
147
-1 1
168
159.75

17. Diseños Factoriales (Ejemplo)
17
Temperatura Presión Fuerza
1 1 170
1 1 163
1 1 171
1 1 178
170.5

18. Principios Básicos
18
Estudios de los efectos de dos
o más factores
Diseños
factoriales
En cada ensayo o réplica se
estudian todas las posibles
combinaciones de los niveles
de los factores

19. Principios Básicos
19
 Son ampliamente utilizados y de gran valor cuando
se sabe poco sobre los niveles óptimos de los
factores o no se sabe qué factores son importantes.
 Degran valor en campos de estudio donde se sabe
que la interacción de los factores es importante.

20. Ventajas y Desventajas
20
 Ventaja de los diseños factoriales
 Permite obtener más información que en un experimento de un solo
factor, se estudian efectos principales, efectos cruzados y de interacción
de los factores.
 Desventaja de los diseños factoriales
 Se requiere un mayor número de unidades experimentales que en
experimentos con un solo factor.
 Se obtendrán resultados de combinaciones que pueden no ser de
interés para el investigador.

21. Definición del experimento
21
factorial
 Un experimento factorial queda definido por el
número de factores y niveles de cada factor.
 Un experimento con 3 niveles del factor A, 4
del factor B y 2 del factor C, puede ser
denotado por:
 3A4B2C
 3X4X2

22. Tipos de interacciones
22
Efecto principal: Es el efecto de un factor en promedio
sobre los niveles de otros factores
Efecto simple: Es el efecto de un factor, en un nivel de
los demás factores
Efecto de Interacción: Está dado por la variación que
tiene un efecto simple de un factor al pasar de un nivel a
otro de otro factor
Efecto cruzado: Esta dado por las combinaciones
cruzadas de dos factores.
Veamos de
que se trata…

23. Tipos de interacciones
23
Ejemplo: Datos de un experimento factorial 2x2
Niveles factor A a1 a2
Niveles factor B b1 b2 b1 b2
Medias 54 38 45 56

24. Tipos de interacciones
24
Niveles factor A a1 a2
Niveles factor B b1 b2 b1 b2
Medias 54 38 45 56

25. Tipos de interacciones
25
+

26. Tipos de interacciones
26

27. Tipos de interacciones
27
Recuerde: Efecto de interacción sobre la variable de respuesta es el que
se produce cuando el efecto de un factor depende del nivel en que se
encuentra el otro.
Cada línea corresponde a un efecto simple, y la
interacción puede notarse cuando las líneas tienen
pendientes diferentes.

28. Tipos de interacciones
28
Ejemplos en los que NO hay
interacción

29. Modelo de Regresión y la Superficie de
Respuesta Asociada
29
y 0 x
1 1 2 x2
xx
12 1 2
The least squares fit is
ˆ
y 35.5 10.5 x1 5.5 x2
0.5 x1 x2
35.5 10.5 x1 5.5 x2

30. El efecto de la Interacción en la Superficie de
Respuesta
30
Suponer que se añadió un
término de interacción al
modelo:
ˆ
y 35.5 10.5 x1 5.5 x2
8x1 x2
Interacción es en
realidad una forma de
curvatura

31. Ejemplo 5-1 El Experimento de la Vida de
una Batería (pg. 175)
31
 Un ingeniero está diseñando una batería que se usará en un
dispositivo que se someterá a temperaturas extremas. El único
parámetro de diseño es el material de la placa o ánodo de la batería.
 El ingeniero no tendrá control sobre las temperaturas a las que
operará el dispositivo, pero las puede controlar en el laboratorio, para
efectos de experimentación.

32. Ejemplo 5-1 El Experimento de la Vida de una
Batería (pg. 175)
32
A = Tipo Material; B = Temperatura
1. Qué efectos tienen el tipo de material y la temperatura en la
vida útil?
2. Existe una escogencia de material que daría larga vida, a
pesar de la temperatura (un producto robusto) ?

33. El Experimento General de Dos Factores
33
a niveles de factor A; b niveles de factor B; n réplicas
Este es un diseño completamente aleatorizado

34. El Experimento General de Dos Factores
34
Modelo estadístico (efectos):
i 1, 2,..., a
yijk i j ( )ij ijk j 1, 2,..., b
k 1, 2,..., n
Otros modelos (modelo de medias, modelo de regresión) pueden ser útiles

35. Extensión de ANOVA a Factoriales (Caso de
Efectos Fijos) – pg. 178
35
a b n a b
( yijk y... ) 2 bn ( yi .. y... ) 2 an ( y. j . y... ) 2
i 1 j 1 k 1 i 1 j 1
a b a b n
2
n ( yij . yi.. y. j . y... ) ( yijk yij . ) 2
i 1 j 1 i 1 j 1 k 1
SST SS A SS B SS AB SS E
df breakdown:
abn 1 a 1 b 1 (a 1)(b 1) ab (n 1)

36. Tabla ANOVA – Caso Efectos Fijos
36
Texto da detalles del cálculo manual – ver pp. 180 & 181

37. Ejemplo 5-1 El Experimento de la Vida de
una Batería (pg. 175)
37
Fuentes de Cuadrado
Variación Suma de Cuadrados Grados de Libertad Medio F0 Valor P
Tipos de
Materiales SSA 10683.72 a-1 2 5341.86 7.91 0.002
Temperatura SSB 39118.72 b-1 2 19559.36 28.97 0.0001
Interacción SAB 9613.78 (a-1)(b-1) 4 2403.445 3.56 0.0186
Error SSE 18230.75 ab(n-1) 27 675.212963
Total SST 77646.97 abn-1 35

38. Ejemplo 5-1 El Experimento de la Vida de
una Batería (pg. 175) Resuelto con Minitab
38
Se debe definir la interacción de
las variables en el modelo (A*B)

39. Ejemplo 5.1 Salida Minitab
39
Modelo lineal general: Vida de la batería vs. Tipo de Mate,
Temperatura
Factor Tipo Niveles Valores
Tipo de Material fijo 3 A1, A2, A3
Temperatura fijo 3 15, 70, 125
Análisis de varianza para Vida de a batería, utilizando SC ajustada para
pruebas
Fuente GL SC sec. SC ajust. MC ajust. F P Conclusione
Tipo de Material 2 10683.7 10683.7 5341.9 7.91 0.002
Temperatura 2 39118.7 39118.7 19559.4 28.97 0.000 s?
Tipo de Material*Temperatura 4 9613.8 9613.8 2403.4 3.56 0.019
Error 27 18230.8 18230.8 675.2
Total 35 77647.0
S = 25.9849 R-cuad. = 76.52% R-cuad.(ajustado) = 69.56%
Observaciones inusuales de Vida de a batería
Vida de a Residuo
Obs batería Ajuste Ajuste SE Residuo estándar
3 74.000 134.750 12.992 -60.750 -2.70 R
4 180.000 134.750 12.992 45.250 2.01 R
R denota una observación con un residuo estandarizado grande.

40. Ejemplo 5.1 Salida Minitab
40

41. Análisis Residual – Ejemplo 5-1
41
DESIGN-EXPERT Plot Normal plot of residuals
Life DESIGN-EXPERT Plot Residuals vs. Predicted
Life
45.25
99
95
90 18.75
Norm al % probability
80
70
Res iduals
50 -7.75
30
20
10
-34.25
5
1
-60.75
49.50 76.06 102.62 129.19 155.75
-60.75 -34.25 -7.75 18.75 45.25
Predicted
Res idual
Conclusiones?

42. Análisis Residual – Ejemplo 5-1
42
DESIGN-EXPERT Plot Residuals vs. Material
Life
45.25
Conclusiones?
18.75
Res iduals
-7.75
DESIGN-EXPERT Plot Residuals vs. Run
Life
-34.25
45.25
-60.75 DESIGN-EXPERT Plot Residuals vs. Temperature
18.75 Life
45.25
1 2 3
Res iduals
Material
18.75
-7.75
Res iduals
-7.75
-34.25
-34.25
-60.75
-60.75
1 6 11 16 21 26 31 36
1 2 3
Run Num ber Tem perature

43. Ejemplo 5.1 Salida Minitab
43
La temperatura posee una
relación indirectamente
proporcional con respecto a
la vida útil, cuando aumenta
la temperatura la vida de la
batería disminuye
Cuál es la mejor
combinación ?
Podríamos decir que el material
A3 y la temperatura a 15?
El tipo de Material es un factor significativo en
el diseño de las baterías

44. Ejemplo 5.1 Salida Minitab
44
Hay que tomar en cuenta que si
el lugar a donde se va a utilizar
es mayor a 70 grados
centígrados el material
adecuado es el 3
Analizando el efecto de la interacción, el cuál no se logra analizar en el gráfico
de efectos principales se puede concluir para los datos evaluados que la
combinación que maximiza la vida de la batería es el tipo de material 2 a 15

45. Factores Cuantitativos y Factores
Cualitativos
45
 El procedimiento básico ANOVA trata cada factor como si
fueran cualitativos
 Algunas veces un experimento involucra factores
cuantitativos y cualitativos, como el Ejemplo 5.1
 Esto puede ser tomado en cuenta en el análisis para producir
un modelo de regresión para los factores cuantitativos en
cada nivel (o combinación de niveles) de los factores
cualitativos.
 Estas curvas de respuesta y/o superficies de respuesta son
de considerable ayuda en las interpretaciones prácticas de
los resultados.

46. Factoriales con más de dos factores
46
 Procedimiento básico es similar al caso de dos
factores; todos los abc…kn combinaciones de
tratamientos son corridos en orden aleatorio
 ANOVA es también similar:
SST SS A SSB  SS AB SS AC 
SS ABC  SS ABK SSE
 Ejemplo completo de tres factores en Sección
5-4 del texto

47. Otras consideraciones para el diseño
factorial de dos factores
47
• Cuando se concluye que una interacción de dos factores tiene un efecto
estadísticamente importante sobre la respuesta, su interpretación tiene
prioridad sobre los efectos principales, aunque estos también sean
significativos.
• La verificación de la adecuación del modelo: mediante el análisis residual
ya conocido (supuestos de normalidad, varianza constante e
independencia de los residuos)
• En el caso de no asegurarse la normalidad y homogeneidad en los
residuos, se pueden utilizar métodos de análisis alternativos: no
paramétricos; modelos lineales generalizados y de análisis de respuesta
transformada. Estas situaciones exceden el alcance del curso, pero
pueden ser objeto de estudio individual posterior.

48. 49 Diseño factorial general

49. Diseño factorial general
50
 Los resultados del diseño factorial de dos factores pueden aplicarse
al caso general:
 a niveles del factor A, b niveles del factor B, c niveles del factor C.
Dispuestos en un diseño general.
 Habrá abc…n observaciones totales si se hacen n réplicas del
experimento total.
 Se necesitan al menos n≥2 para determinar una suma de
cuadrados debida al error si todas las interacciones están
incluidas en el modelo (si n=1 la varianza del error es no
estimable, es decir, no se puede separar el efecto de la
interacción del del error experimental)

50. Diseño factorial general
51
 El Modelo del análisis de varianza de tres
factores es
yijkl i j k ij ik jk ijk
ijk
Dónde:
i = 1,2,3,… , a.
j = 1,2,3,… , b.
k = 1,2,3,… , c.
l = 1,2,3,… , n.

51. Tabla del análisis de varianza del modelo de tres factores
con efectos fijos
52
Tabla de la página 195 del Montgomery, Tabla 5-
12.

52. Práctica en grupos para la casa
53
A continuación se presenta los tiempos de supervivencia en horas de
animales asignados aleatoriamente a tres venenos (v1, v2, v3) y tres
antídotos (a1, a2, a3). El experimento fue parte de una investigación
para combatir los efectos de ciertos agentes tóxicos y fue un diseño
completamente al azar.

53. Práctica en grupos para la casa
54
a) Efectúe el análisis de varianza y analice sus efectos
con respecto al enunciado.
b) Realice el análisis gráfico de la interacción.
c) Se cree que el antídoto a2 es más efectivo que el a1
para contrarrestar el veneno v1, verifíquelo.

54. 55 Superficies de respuesta
Modelos de efectos aleatorios

55. Superficie de respuesta
56
 Hasta el momento nos hemos enfocado en
experimentos que permiten:
 Identifican
unas pocas variables importantes de
un gran número de candidatos.
 Asegurar cómo unas pocas variables impactan
una respuesta.
Pero, ¿cuáles son los niveles de estas variables que
generan una respuesta óptima?..
Responder esto es lo que se busca con las superficies de
respuesta.

56. Superficie de respuesta
57
 Cuando varios de los factores de un experimento
factorial son cuantitativos, puede utilizarse una
superficie de respuesta para modelar la relación entre
“y” y los factores de diseño.
 Las gráficas se obtienes por medio de ecuaciones
lineales o cuadráticas. La forma más fácil de obtener
estas ecuaciones es por medio de software
especializado.

57. Superficie de respuesta
58
Cuando al menos dos de
los factores son
cuantitativos, resultan útiles
para predecir la respuesta a
niveles intermedios entre
los factores

58. Superficie de respuesta
59
(Ejemplo)
 Se desea conocer el % de conversión de una sustancia
química como consecuencia de tres factores
(temperatura, tiempo y % de catalizador.
 El ingeniero desea conocer a
profundidad el impacto de los factores
en la variable respuesta.

59. Superficie de respuesta
60 (Ejemplo)
Comentarios
?
Cómo se predice el comportamiento de la
variable respuesta ?

60. Superficie de respuesta (Gráfico de
Contorno)
61
Qué pasa cuando el % del catalizador pasa de 2.50 a 3?
Design-Expert® Software
Factor Coding: Actual Conversión
Conversión 90.00
Design Points 88
97
51 86
88.00
84
X1 = A: Tiempo
X2 = B: Temperatura
B : T e m p e ra tu ra
Actual Factor
C: Catalizador = 2.50 86.00 82
6
Nos ayuda a entender
el impacto de los 84.00
80
factores en la variable
respuesta, la 80
simbología de los 82.00
colores representan el 78
impacto en la variable
respuesta 80.00
Es la proyección de 40.00 42.00 44.00 46.00 48.00 50.00
la superficie de
respuesta A: Tiempo

61. Superficie de respuesta (Gráfico de
Contorno)
62
Design-Expert® Software
Factor Coding: Actual Conversión
Conversión 90.00
Design Points
97
51
88.00
X1 = A: Tiempo
X2 = B: Temperatura
B : T e m p e ra tu ra
Actual Factor 70
C: Catalizador = 3.00 86.00
90
80
Se puede observar en
la gráfica de contorno 84.00
como los colores más
cálidos se alcanza más
rápido, con los mismos 82.00
niveles de tiempo y
temperatura.
El % de Canalización 80.00
es significativo e 40.00 42.00 44.00 46.00 48.00 50.00
interactúa con los
demás factores A: Tiempo

62. Superficie de respuesta (Gráfico de
Contorno)
63

63. Superficie de respuesta
64
Design-Expert® Software
Factor Coding: Actual
Conversión
Design points above predicted value
Design points below predicted value
97
51
95
X1 = A: Tiempo
X2 = B: Temperatura
90
Actual Factor
C: Catalizador = 2.50
C o n v e rs ió n
85
80
75
90.00
40.00 88.00
42.00 86.00
44.00
84.00
46.00
48.00 82.00 B: Temperatura
A: Tiempo 50.00 80.00

64. Superficie de respuesta (Cubo)
65
Design-Expert® Software
Factor Coding: Actual Cube
Conversion
X1 = A: time Conversion
X2 = B: temperature
X3 = C: catalyst
69.1696 98.2265
B+: 90.00 87.2617 70.8186
B : te m p e ra tu re
6
73.0885 93.6454 C+: 3.00
C: catalyst
B-: 80.00 75.6805 50.7374 C-: 2.00
A-: 40.00 A+: 50.00
A: time

65. 66
¿Cómo se maneja el experimento factorial si la
programación de producción del ejemplo de la
selladora, no permite correr todas las muestras
en la misma máquina?

66. 67
Formación de Bloques en un diseño
Factorial
Cuando no es factible o práctico hacer la
aleatorización completa de las corridas,
utilizamos bloques.

67. Formación de bloques en un
68
diseño factorial
 Las máquinas de sellado se convierten en una
restricción sobre la aleatorización o un bloque.
 El modelo de los efectos para este nuevo diseño
es:
yijkl i j k ij ik jk ijk m ijkm
Donde:
δm: es el efecto del m-ésimo bloque.
Es importante que dentro de cada bloque el orden en que
se corren las combinaciones de los tratamientos está
totalmente aleatorizadas

68. Formación de bloques en un
69
diseño factorial
 Se supone que la interacción entre los bloques y los
tratamientos es insignificante.
 Si estas interacciones existen no pueden separarse del
error.

69. Tabla del análisis de varianza de un diseño factorial de
dos factores en bloques completos aleatorizados
70
Tabla de la página 208 del Montgomery, Tabla 5-
18.

70. Práctica en grupos para la casa
71
Se realizó un experimento con un arreglo factorial 2A3B en
4 campos de cultivo, para evaluar el efecto en el
rendimiento de maíz obtenido con dos tipos de abono (a1 y
a2) y tres dosis (b1=20, b2=30, b3=40 kg/ha). Los
resultados obtenidos en TM/ha se presentan a
continuación:

71. Práctica en grupos para la casa
72
Realice el análisis de los efectos y el análisis de
varianza para este caso.
¿A qué conclusiones se puede llegar?

72. GRACIA
S
73 SEMANA 7