Juegos geométricos para ESO y Bachillerato

LAS MATEMÁTICAS DE ESO Y
BACHILLERATO A TRAVÉS DE LOS
JUEGOS
5. JUEGOS GEOMÉTRICOS.
MAURICIO CONTRERAS

Curso MATEMÁTICAS A TRAVÉS DE LOS JUEGOS Octubre−Noviembre 2004
Introducción
Vivir la Geometría en el aula puede ser una experiencia feliz si basamos su aprendizaje en
actividades constructivas, sensibles y lúdicas. De todas las disciplinas matemáticas, la
Geometría es la que mayores posibilidades ofrece a la hora de experimentar, mediante
materiales adecuados, sus métodos, sus conceptos, sus propiedades y sus problemas. Es por
ello que la enseñanza geométrica no debe sucumbir a las limitaciones formales, simbólicas y
algebraicas de los conocimientos matemáticos: será precisamente en este primer estadio
de sensibilidad donde el tacto, la vista, el dibujo y la manipulación permitirán familiarizar al
alumno con todo un mundo de formas, figuras y movimientos sobre el cual asentar
posteriormente los modelos abstractos.
El uso de los juegos en la educación matemática es, aparte de divertido, una estrategia
para abordar o consolidar conceptos y propiedades. La Geometría, en particular, ofrece una
gama interesante de juegos planos y espaciales en donde las figuras y las transformaciones
son protagonistas.
Jugar es, por tanto, una actividad escolar de primer rango. Lo que será importante será
saber sacar enseñanzas del juego. No hace mucho, millones de ciudadanos jugaban en sus
casas y en las calles con el cubo de Rubik. Se trata de un juego sencillo pero con enormes
posibilidades para estudios de rotaciones y combinatoria. Sin embargo, estas posibilidades
se vieron relegadas a una minoría. No hay que confundir el juego con el conocimiento del
mismo.
• Los juegos planos
Algunos juegos planos tienen una estructura que les hace adecuados para trabajar
conceptos y relaciones matemáticas aunque no han sido diseñados por ello. Tangrams y
poliminós ofrecen gran variedad de situaciones a investigar. Otros rompecabezas
geométricos son las disecciones de polígonos que permiten reorganizar sus piezas de modos
distintos, obteniéndose figuras planas sencillas.
Otros juegos planos que existen en los comercios especializados son útiles herramientas
lúdicas para ir interiorizando las posibilidades de orientación en un plano y la distribución
de regiones, así como relaciones geométricas tales como amplitud y superficie.
• Los juegos espaciales
Hay una cantidad enorme de juegos espaciales que se basan en propiedades estrictamente
geométricas. Los rompecabezas tridimensionales son los ejemplos paradigmáticos. Jugar
con dichos elementos puede contribuir a una mejor vivencia lúdica y conceptual del espacio.
Fabricar nuevos juegos puede ser un objetivo atractivo.
Se puede constatar cómo la intuición y la percepción espacial va paulatinamente
“frustrándose” a lo largo de la formación inicial y permanente de las personas. Las causas
pueden encontrarse en las pocas oportunidades que en nuestro sistema educativo ofrece
para desarrollar las habilidades espaciales.
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Juegos de arquitectura, juegos de estrategia, laberintos tridimensionales, recortables y
rompecabezas espaciales tienen como objetivo común suplir estas deficiencias y utilizar
este recurso motivador como medio que permite desarrollar estrategias para resolver
problemas espaciales.
En esta sesión nos centraremos, sobre todo, en los juegos de Geometría Plana, puesto que
en sesiones anteriores ya hemos analizado algunos juegos espaciales, como los
rompecabezas relacionados con el cubo. En particular, analizaremos algunos juegos
adaptados a la introducción de las coordenadas cartesianas y polares en el plano y también
en el espacio y otros juegos relativos a diferentes propiedades geométricas, o que, de
alguna forma, potencien el desarrollo de la actividad espacial.
1. Juegos geométricos
• JUEGO DE LOS TRIÁNGULOS
Juego JUEGO DE LOS TRIÁNGULOS
Tipo Juego de tablero
Material Tres dados
Nº de jugadores Variable, preferiblemente cuatro
Referencias
Nivel Desde primer curso de ESO
Objetivos Encontrar las relaciones entre las longitudes de
los lados de un triángulo.
• Descripción del material del juego.
Se necesitan tres dados normales y una hoja para ir apuntando los resultados.
• Reglas del juego
El número más conveniente de jugadores es cuatro, aunque puede ser menor o mayor.
• Cada uno de los jugadores, por turno, tira los tres dados a la vez y comprueba si los
números que le salen pueden ser las longitudes de un triángulo. En caso afirmativo tiene
que decir el tipo de triángulo (equilátero, isósceles o escaleno). Si con las longitudes
que salen no se puede formar un triángulo (tales como 2, 2, 4), entonces el jugador se
anota un cero.
• En la hoja de resultados se anotan las tiradas de cada jugador y la puntuación
correspondiente (columna P): un punto si el triángulo es escaleno, dos si es isósceles y
tres si es equilátero.
• Gana el jugador que más puntos consigue en un número prefijado de tiradas (veinte, por
ejemplo).
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• Posibles variantes
Se puede realizar el juego con la misma dinámica, pero siendo el objetivo obtener un
número prefijado de triángulos equiláteros, isósceles y escalenos (por ejemplo, 5, 10 y 5),
que se pueden registrar en la parte inferior del tablero. Este juego se termina con
dificultad por la poca probabilidad de aparición de triángulos equiláteros.
• Objetivos
Encontrar las relaciones entre las longitudes de los lados de un triángulo; cada lado ha de
ser menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
JUEGO DEL TRIÁNGULO
nº Jugador 1 P Jugador 2 P Jugador 3 P Jugador 4 P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Total Total Total Total
• Observaciones
La puntuación de cero puntos cuando el triángulo no se puede formar no hay que explicitarla
al comienzo del juego, al menos hasta que esa situación es planteada por algún jugador. En
el momento que aparezca será cuestión de ver la primera condición para que exista el
triángulo. Es conveniente, al menos al principio de practicar el juego, tener tres barras de
mecano (que con sus agujeros posibilitan longitudes diferentes) o barras de longitudes
entre 1 y 6, al objeto de poder experimentar si los triángulos se pueden formar en realidad.
Tras haber jugado algunas veces es el momento de intentar encontrar alguna relación que
se cumpla siempre entre las longitudes de los lados que permiten formar triángulos. Una
vez hecha la discusión, habrá que generalizar el resultado para otras longitudes mayores o
menores, y no enteras.
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Después de haber jugado varias partidas (o jugando la variante reseñada), se pueden
contar las apariciones (absolutas o relativas) de cada uno de los tipos de triángulos. Y
comprobar si son las mismas para cada uno o sumando los resultados de todos los
jugadores. Ello nos puede llevar a tratar un caso experimental más de probabilidad de
obtención de diferentes resultados.
TRIÁNGULOS Jugador 1 Jugador 2 Jugador 3 Jugador 4
EQUILÁTEROS
ISÓSCELES
ESCALENOS
• FORMANDO TRIÁNGULOS
Juego FORMANDO TRIÁNGULOS
Tipo Papel y lápiz
Material Útiles de dibujo
Nº de jugadores Solitario
Referencias Corbalán−Gairín (1988)
Nivel Desde cuarto curso de ESO
Objetivos Desarrollar el sentido geométrico.
Obtener expresiones generales.
Se necesitan útiles de dibujo como papel, lápiz y regla.
Si tienes una hoja de papel en blanco y dibujas una recta no se forma ningún triángulo. Si
dibujas dos sigue sin haberlos. Con tres rectas ya se puede formar un triángulo, aunque
según como estén situadas las rectas no formen ninguno (por ejemplo cuando dos son
paralelas). Es decir, que tres rectas forman como máximo un triángulo. Con cuatro rectas
ya se pueden formar muchos triángulos. Se trata, en primer lugar, que busques el número
máximo de triángulos que se pueden formar con cuatro rectas.
Una vez que lo tengas, tienes que hacer lo mismo con cinco rectas. Después con seis. Y así
seguir mientras lo consideres necesario, hasta llegar al caso general: obtener el número
máximo de triángulos que se pueden formar con un número cualquiera n de rectas.
En las primeras aproximaciones al juego se puede limitar el número de rectas hasta el
número que se considere oportuno (6 u 8, por ejemplo). Y dibujar además, no solo la
configuración que permite obtener el mayor número de triángulos, sino también otras que
forman menos triángulos, e investigar las posibilidades que existan.
• Objetivos
• Desarrollar el sentido geométrico, estudiando las posiciones relativas de varias rectas
en el plano.
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• Obtener expresiones generales, por inducción a partir de los ejemplos que se
consideren necesarios.
• Observaciones
La obtención de la expresión general del número máximo de triángulos que se pueden
obtener con n rectas, T(n)=n(n−1)(n−2)/6 tiene un grado de dificultad que depende de las
actividades que se hayan hecho antes. Es necesaria la búsqueda de estrategias para ir
formando todos los triángulos.
• JOKAN
Juego JOKAN
Tipo Tablero
Material Tablero, fichas y dados especiales
Nº de jugadores Dos o tres
Referencias
Objetivos Distinguir tipos de ángulos
Se necesitan un tablero, fichas de tres colores y dados en cuyas caras haya las
inscripciones 2A, 2O, 2R, 3A, 3O, 3R (las letras A, O y R son las iniciales de agudo, obtuso
y rectángulo).
Es un juego para un máximo de tres jugadores, pero pueden jugar también dos.
• Se sortea el orden de salida. El primer jugador coloca su ficha en la casilla A, el
segundo en la B y el tercero en la C.
• Cada jugador tira el dado y, según el resultado, mueve su ficha a otro vértice
(entendiendo por vértice la intersección de dos o más rectas sobre el tablero, incluído
el contorno), que no esté ocupado por ninguna ficha, de la siguiente forma:
Dos segmentos a su elección, a partir del vértice en que está situado, que formen un
ángulo agudo, recto u obtuso, según que el dado marque 2A, 2R o 2O,
respectivamente.
Tres segmentos a su elección, a partir del vértice en que está situado, que formen
un ángulo agudo, recto u obtuso, según que el dado marque 3A, 3R o 3O,
respectivamente.
• Gana el primer jugador que llega a la casilla F. El orden de los otros es el de llegada a F.
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• Cada uno de los jugadores puede tener más de una ficha (por ejemplo, dos). En este
caso, se permite comer fichas o no hacerlo (se puede comer una ficha cuando podemos
llegar al vértice en el que está situada otra ficha; en ese caso se envía la ficha a la
salida y se juega otra vez).

• Se puede exigir pasar por algún vértice prefijado, tal como el marcado con un círculo en
el centro del tablero.
• Objetivos
• Distinguir en la práctica los tres tipos de ángulos.
• Buscar caminos más ventajosos.
JOKAN
• Observaciones
A lo largo del juego es fácil que surjan discusiones sobre cuándo un ángulo es agudo u
obtuso (el mismo ángulo según el sentido en que se observe puede ser de uno u otro tipo).
En el momento en que aparezcan (y no antes), es cuando hay que tratar el tema y entonces
se pueden tomar acuerdos.
• BUSCÁGONO
Juego BUSCÁGONO
Tipo Juego de cartas
Material Baraja de cartas
Nº de jugadores Dos
Referencias J. Antolín, F. Corbalán y J. M. Gairín (1987)
Objetivos Clasificar figuras planas. Identificar figuras con
su nombre. Localizar figuras basándose en sus
propiedades
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El juego está formado por 39 cartas, con información por ambas caras. En la cara anterior
hay una figura y en la posterior tres características de la misma (que permiten
identificarla) y su nombre, resultante de ellas. Las características son: número de lados; si
los lados y los ángulos son iguales o desiguales, lo que permite decir si el polígono es regular
o irregular, y si al prolongar algún lado corta a la figura, que nos permite asegurar si el
polígono es convexo o cóncavo.
Se pueden elegir polígonos diferentes en función de las necesidades o intereses. La
elección realizada en el juego que presentamos es la siguiente: siete triángulos (equilátero,
isósceles rectángulo, isósceles acutángulo, isósceles obtusángulo, escaleno acutángulo,
escaleno rectángulo y escaleno obtusángulo); once cuadriláteros (cuadrado, rectángulo,
paralelogramo no rectángulo, trapecio, rombo, trapecio isósceles, trapecio rectángulo,
cuadrilátero convexo, cuadrilátero cóncavo, flecha y deltoide o cometa); seis pentágonos
(regular, convexo de ángulos rectos, irregular convexo, equilátero convexo, equilátero
cóncavo e irregular cóncavo); siete hexágonos (regular, flecha hexagonal, irregular cóncavo,
cóncavo de ángulos rectos, irregular convexo de lados paralelos dos a dos, equilátero
convexo de lados paralelos dos a dos y estrella equilátera de tres puntas); cinco octógonos
(regular, estrella equilátera de 4 puntas, estrella de cuatro puntas, convexo de lados
paralelos dos a dos y cóncavo de ángulos rectos) y tres dodecágonos (regular, estrella
equilátera de seis puntas y cruz griega).
Es un juego para dos jugadores. En una mesa se extienden todas las cartas con la figura
hacia arriba. Por turno, uno de los jugadores (sin que lo vea el otro) elige una de las cartas y
anota su nombre (pero no lo retira de la mesa).
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Una vez elegida la figura el otro jugador por medio de preguntas (a las que el primero
contestará con un “sí” o un “no”) tiene que adivinar la carta elegida. Una vez que se ha
encontrado, se invierten los papeles de los dos jugadores. Gana el jugador que localice la
figura correspondiente con el menor número de preguntas.
Si el jugador que pregunta lo desea, puede ir quitando cartas de la mesa según la respuesta
a sus preguntas (por ejemplo, si pregunta “¿es regular?” y la respuesta es afirmativa, puede
retirar todos los polígonos no regulares). Si un jugador responde equivocadamente a alguna
de las preguntas se le penaliza con la pérdida de la partida.
• Es para jugar cuatro jugadores. Se reparten el mismo número de cartas a cada jugador
(por ejemplo, 5) y cada uno, eligiendo el criterio de clasificación que quiera y que tiene
que explicitar, intenta obtener la mayor jugada posible, dentro de la gama pareja, doble
pareja, trío, trío más pareja, póker, etc. En el caso del juego original, los criterios de
clasificación ya están prefijados. En esa variante, cada uno de los jugadores escoge, en
función de sus cartas, la manera de clasificar más favorable a sus intereses.
• Otra posibilidad es que se descubra un número de cartas (cinco por ejemplo) y que cada
uno de los jugadores (que aquí puede ser cualquiera hasta un máximo de unos cinco) las
clasifique utilizando los criterios que quiera. Gana el que obtenga la mayor jugada (de la
misma gama que en la variante anterior).
• Objetivos
• Clasificar polígonos planos según las propiedades de regularidad, concavidad, número de
lados, igualdad de lados o ángulos, etc.
• Localizar figuras por medio de sus propiedades. La necesidad de responder a preguntas
sobre propiedades de polígonos fijándose en casos concretos, hace fijar los conceptos.
• Identificar las figuras con su nombre. Se constata en el juego la necesidad de precisar
la denominación de las figuras para poder referirse a ellas.
• Búsqueda de estrategias favorecedoras. La práctica del juego muestra que no todas las
clasificaciones son equivalentes, puesto que hay preguntas que discriminan más que
otras.
• Observaciones
Este juego (en el que se pueden quitar o añadir los polígonos que se desee, atendiendo a las
propiedades que se quiera trabajar) sirve en primer lugar como una colección de polígonos,
y una muestra de los muchos tipos que se pueden obtener utilizando solo tres o cuatro
características. Es conveniente que en algún momento se haga una reflexión sobre estas
posibilidades, porque si no, sobre todo en los polígonos con más de cuatro lados, parece
como si sollo pudieran ser regulares o irregulares.
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El hecho de lo novedoso de las clasificaciones resultantes, hace que la fase siempre
necesaria de manipular el juego, para familiarizarse con él, imprescindible en todos los
juegos, sea todavía más importante en este caso.
Aunque este es un juego fundamentalmente de conocimientos, la práctica del juego permite
darse cuenta que también se pueden utilizar estrategias que favorecen para ganar, puesto
que no todas las preguntas discriminan de la misma manera, y por consiguiente no son igual
de rentables. Todo ello permite una reflexión global sobre las estrategias de clasificación,
una de las tareas fundamentales del conocimiento. En concreto, las variantes del juego
incitan a buscar la mejor manera de clasificar para obtener fines prefijados (en este caso,
lograr la mejor jugada, y, por consiguiente, ganar la partida).
• PICTIONARY MATEMÁTICO
Juego PICTIONARY MATEMÁTICO
Tipo Lápiz y papel
Material Fichas, lápiz y papel.
Nº de jugadores Varios
Referencias Thiry, 1990
Objetivos Identificar términos o conceptos matemáticos
por medio de dibujos
Se necesitan tarjetas con las palabras (términos) a representar. Se pueden clasificar por
temas (por ejemplo haciéndolas de colores diferentes).
Se enfrentan dos o más equipos formados cada uno por cuatro o cinco jugadores, en cada
uno de los cuales hay uno que es el “primer dibujante”. Se colocan las tarjetas boca abajo
sobre la mesa. Se sortea el equipo que comienza el juego.
• El primer dibujante del equipo que comienza el juego coge la primera tarjeta, y sin que
la vean los demás hace un dibujo para ilustrar el término que aparece en ella, pero no
puede utilizar letras, números ni los símbolos habituales (sí que se pueden utilizar
símbolos que no aparezcan en los teclados comunes de máquina de escribir ni en los
libros de texto). Hay un tiempo limitado para realizar el dibujo (por ejemplo un minuto).
• Una vez hecho el dibujo, el “dibujante”, sin hablar ni hacer gestos de ningún tipo, debe
intentar en un tiempo limitado (por ejemplo, otro minuto) que sus compañeros de equipo
acierten el término que había en la tarjeta. Si lo consigue se anota un punto el equipo, y
otro miembro del equipo pasa a ser el “dibujante”. No se repite el papel de “dibujante”
hasta que no lo hayan ejercido todos los miembros del equipo. Si no lo aciertan en el
tiempo límite, no se anotan ningún punto y pasan a hacer la misma mecánica el equipo
siguiente.
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• Algunas de las tarjetas llevan marcado “para todos los equipos”. Cuando un jugador
levanta una de estas tarjetas, lo comunica a los restantes equipos y un “dibujante” de
cada uno de ellos realiza su dibujo, que enseña a los miembros de su equipo. El primer
equipo que la acierte es el que se apunta el punto y el que continua jugando.
• Gana la partida el equipo que más puntos tenga cuando se acaba un tiempo prefijado.
• Se puede utilizar tarjetas de un solo tema o mezclando tarjetas de temas diferentes.
Se pueden realizar competiciones entre equipos que se vayan eliminando entre ellos.
• Objetivos
• Identificar términos o conceptos matemáticos por medio de dibujos. Es un método muy
bueno para desarrollar las habilidades visual y espacial.
• Observaciones
Se pueden ir añadiendo tarjetas conforme se vayan añadiendo conceptos o resultados
susceptibles de representarse, y sobre los cuales se quiera volver cada cierto tiempo. Es un
buen método para repasar y/o repensar todo tipo de términos matemáticos.
A título indicativo, indicamos una posible tabla de términos matemáticos para poner en las
tarjetas (Thiry, 1990), a la que se pueden añadir o quitar los que interesen.
GEOMETRÍA
Coordenadas, distancia, ecuación, ángulos complementarios, área,
circunferencia inscrita, circunferencia circunscrita, diagonal, mediana,
puntos alineados, polígonos cóncavos, polígonos convexos, polígonos
semejantes, pie de una recta, prisma, secante, suma de los ángulos de un
triángulo, tangentes comunes, triángulo acutángulo, triángulo escaleno,
tangente, vértice, volumen, abcisa, círculo trigonométrico, etc.
• MEMORY GEOMÉTRICO
Recortando las cartas que aparecen dibujadas a continuación vamos a jugar a un memory
geométrico por parejas:
• Sitúa boca abajo todas las cartas.
• Un jugador levanta una carta, la mira y la vuelve a dejar como estaba. A continuación
levanta otra, si su desarrollo plano se corresponde con la figura, se queda las dos y
vuelve a levantar otras dos de la misma manera, y así sucesivamente. En caso contrario
la vuelve a situar boca abajo y pasa el turno al otro jugador.
• Gana aquel que tenga mayor número de cartas cuando no quede ninguna oculta o ya no se
puedan emparejar.
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• LA ISLA DEL TESORO
Juego LA ISLA DEL TESORO
Tipo Tablero y fichas
Material Tablero, reproducciones y fichas de colores
Nº de jugadores Tres
Referencias Grupo Cero, 1990
Objetivos Trabajar la localización en el plano mediante coordenadas.
Desarrollar estrategias de localización.
Se necesita un tablero grande (por ejemplo de 14×14 cuadrículas), en el que hay dibujada
una isla de piratas y en el que se han marcado unos ejes de coordenadas; reproducciones
reducidas del anterior para que los jugadores puedan hacer sus anotaciones a lo largo del
juego; una ficha roja y un número suficiente de fichas de otros colores (por ejemplo 8
verdes, 16 azules y 24 negras).
• Reglas del juego.
Es un juego para tres jugadores: 1 pirata y 2 buscadores del tesoro.
• El pirata esconde el tesoro (la ficha roja), lo anota en su mapa y guarda todas las fichas
de colores. Por ejemplo, supongamos que lo ha escondido en la casilla (2, −3).
• Los otros dos jugadores comienzan la búsqueda del tesoro, para lo cual van señalando
cuadrículas, por turno. Ante cada elección, el pirata la señala con una ficha de un color
diferente según su distancia al tesoro. Si es una de las ocho cuadrículas del primer
cuadrado alrededor del tesoro, lo marcará con una ficha verde; si es una de las 16 del
segundo cuadrado, lo marcará con una ficha azul; si su cuadrícula pertenece al tercer
cuadrado que rodea al tesoro, lo marcará con una ficha negra. Si está más lejos del
tesoro, no pondrá ninguna ficha. Si el jugador A elige la casilla (4, 1) el pirata la
señalará con una ficha negra. Si el jugador B en su turno escoge la casilla (1, −2)
recibirá del pirata una ficha verde. Cada jugador es testigo de todas las jugadas.
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• Gana el jugador que recibe del pirata la ficha roja, es decir, el que encuentra el tesoro
al decir la casilla en la que lo había colocado.
• Se puede realizar el mismo juego con tableros más pequeños (para empezar) o más
grandes (cuando ya se está entrenado).
• Se pueden cambiar los diseños de la isla (puesto que el tesoro sólo se puede esconder
en tierra firme).
• Se puede también variar el tamaño del tesoro escondido, que puede abarcar dos o más
cuadrículas contiguas (aunque hay que saberlo al comenzar).
• Se pueden esconder varios tesoros en distintos tamaños. Gana el jugador que encuentra
más cuadrículas de tesoro.
• Objetivos
• Trabajar la localización de puntos (o cuadrículas) en el plano mediante coordenadas
cartesianas, de valores positivos y negativos.
• Desarrollar estrategias de localización de puntos (o cuadrículas) en el plano conociendo
informaciones de la “distancia” de otros puntos al mismo.
• Observaciones
Este juego complementa o reemplaza al de barcos, más conocido; añade la información de la
“distancia” del algunos puntos próximos al buscado.
Si se tiene el tablero sin coordenadas pero con cuadrículas, se pueden hacer
aproximaciones sobre la manera de señalar de la forma más fácil posible una cuadrícula en
un mapa del tesoro, y discutir las ventajas e inconvenientes de cada una de ellas, antes de
introducir formalmente las coordenadas cartesianas.
• LA CAZA DEL TESORO
Juego LA CAZA DEL TESORO
Tipo Tablero
Material Papel cuadriculado
Referencias Shell Centre (1984)
Objetivos Trabajar la localización en el plano mediante
coordenadas. Buscar estrategias fovorecedoras.
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Se necesita una hoja de papel cuadriculado, en la que se han representado unas
coordenadas. Representa un territorio en el que hay que buscar un tesoro oculto.
Es un juego para dos jugadores. Uno de ellos, por turno, esconde un tesoro en un punto,
dado por su par de coordenadas, y el otro ha de encontrarlo lo antes posible.
• El primer jugador esconde el tesoro y escribe las coordenadas del mismo. (Por ejemplo,
lo esconde en (63, 52)).
• El segundo jugador va "cavando agujeros" en distintos lugares (señalizados por sus
coordenadas), para localizar el tesoro.
• Ante cada agujero cavado, el primer jugador le da una de las indicaciones siguientes
para dirigirle al tesoro: "ve hacia el norte", "ve hacia el sur", "ve hacia el este", "ve
hacia el oeste", "ve hacia el nordeste", etc. (Ante el tesoro anterior, si el primer
agujero es en (70, 60), le dirá que vaya hacia el Suroeste; si el siguiente agujero es en
(60, 50), la indicación sería Nordeste).
• Al desempeñar una vez cada uno de los dos jugadores el papel de buscador del tesoro,
gana el que lo haya encontrado con un número menor de agujeros.
• Se puede variar el tipo de pistas que se ofrecen. Algunas alternativas son:
La distancia al tesoro, contada en horizontal y vertical sobre la cuadrícula ("estas a
8 unidades del tesoro").
Con los habituales "frío", "caliente", "ardiendo", aunque tal vez habría que precisar
de antemano a qué distancia se le aplica cada calificativo.
• Puede hacerse otra historia para el juego, como un blanco que hay que localizar en una
cuadrícula, al que se van realizando disparos.
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• Objetivos
• Trabajar la localización en el plano mediante coordenadas.
• Buscar estrategias favorecedoras. Una forma rápida de buscar el tesoro es ir haciendo
agujeros cada vez en el centro del rectángulo que buscamos. Empezar en (50, 50). Si la
indicación es sur o norte, pasar a (50, 25) o (50, 75). Si la pista es nordeste, el
siguiente agujero es (75, 75).
• Observaciones
Hay que estudiar, después de haber jugado algunas partidas, las mejores maneras de
buscar el tesoro, por medio de búsquedas organizadas.
• LLEGAR EL PRIMERO
Juego LLEGAR EL PRIMERO
Tipo Papel y lápiz
Material Papel cuadriculado y una ficha
Referencias Shell Centre (1984)
Objetivos Trabajar la localización en el plano mediante
coordenadas. Buscar estrategias ganadoras.
Se necesita una hoja grande de papel cuadriculado y una ficha.
Es un juego para dos jugadores.
• Uno de los jugadores, por orden, sitúa la ficha en una casilla cualquiera del tablero, a su
elección.
• Mueve en primer lugar el otro jugador, y a partir de ese momento van haciendo
movimientos alternativamente.
• Cada movimiento consiste en desplazar la ficha en horizontal, vertical o diagonal (hacia
abajo y la izquierda) cualquier número de casillas, como se muestra en el tablero.
• Gana el jugador que consigue llevar la ficha a la casilla marcada con FINAL (la (1, 1) en
el ángulo inferior izquierdo).
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• Que el jugador que lleve la ficha a la casilla final sea el perdedor.
• Limitar el número de casillas que se puede mover la ficha en cada movimiento.
• Usar una trama hexagonal en vez de cuadrada.
• Objetivos
• Trabajar la localización en el plano mediante coordenadas.
• Buscar estrategias ganadoras. Hay una serie de cuadrículas en que si conseguimos
poner la ficha habremos ganado. Se trata de encontrarlas.
• Observaciones
Es muy interesante el estudio de la localización de las casillas ganadoras, así como el hecho
de que haya una sola en cada fila, columna y diagonal principal. También es de destacar que
esas casillas son simétricas respecto de la diagonal principal.
Es fácil ver que las casillas son (1, 1), (2, 3), (4, 6), (5, 8), (7, 11), etc. y sus simétricas
respecto de la diagonal. Esta búsqueda nos permitirá hablar de la simetría.
• TIC−TAC−TOE−POLAR
Juego TIC−TAC−TOE−POLAR
Tipo Tablero
Material Tablero y fichas
Referencias J. B. Browne, 1981
Nivel Final de la ESO y Bachillerato
Objetivos Introducir o practicar las coordenadas polares.
Buscar estrategias.
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Un tablero con cuatro círculos concéntricos, de radios 1, 2, 3 y 4, con radios marcados cada
30º, que pueden marcarse también en radianes. Fichas de dos colores distintos.
Es un juego para dos jugadores, que sortean el orden de salida y por turno van colocando
una de sus fichas en las intersecciones de las líneas. Antes de hacerlo dice o escribe las
coordenadas del punto en que la va a colocar. Si después de hacerlo no coinciden, pierde su
turno.
Gana el primer jugador que consigue colocar cuatro fichas de su color en línea a lo largo de
un radio, una circunferencia o una diagonal (o espiral), como se ve en las figuras.
Se puede empezar a jugar con un tablero más sencillo, con solo tres círculos, de radios 1, 2
y 3. Pueden también, con tres o cuatro círculos, marcarse los radios cada 45º.
Puede quitarse la posibilidad de que valga como posición ganadora las fichas en espiral.
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• Objetivos
• Introducir o practicar las coordenadas polares.
• Buscar estrategias.
• NAVES ESPACIALES
Juego NAVES ESPACIALES
Tipo Juego de ubicación en el espacio
Material Tablero y cubos engarzables
Referencias F. Corbalán
Nivel Segundo ciclo de ESO y Bachillerato
Objetivos Entrenar la imaginación espacial. Búsqueda de
estrategias ganadoras
• Cubos de dos colores, con algún dispositivo que permita unirlos entre sí por sus caras.
Los de uno de ellos (por ejemplo blanco) sirven para formar las naves propiamente
dichas. Los del otro color (por ejemplo negros) se utilizan como elementos auxiliares
sobre los que colocar la nave cuando ésta no esté situada en el suelo (la primera planta).
• Un tablero plegable para cada jugador, formado por tres cuadrados cuadriculados y
articulados, como muestra la figura, que nos permitirán colocar tres semiplanos
perpendiculares entre sí, en los que situar un cubo cualquiera en el espacio por medio de
sus coordenadas respecto a los tres ejes. Las aristas de intersección están marcadas
en cada una de las tres direcciones (una de ellas con los primeros números; otra con las
primeras letras y la vertical con “plantas” 1ª, 2ª, 3ª, etc), tomando como unidad la
arista de los cubos. Así la situación de cada cubo viene dada por las coordenadas en
cada uno de los tres ejes; por ejemplo 2, C, 2ª planta.
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Hay dos jugadores. Antes de empezar se ponen de acuerdo en el número de naves
espaciales (conjunto de cubos unidos entre sí por una o varias caras) que van a colocar cada
uno, así como su tamaño (es decir, el número de cubos que forman cada una de ellas). Cada
uno de los dos jugadores las coloca en la posición que desee, con la condición de que dos
naves distintas no tengan ningún punto en común. Es decir, en cualquiera de las direcciones
ha de haber al menos un espacio equivalente a un cubo entre dos naves.
Alternativamente, cada jugador lanza tandas de tres disparos consecutivos, debiendo
situar el cubo al que lana el disparo mediante un número y una letra, que de la situación en
el plano horizontal y añadiendo el piso en el que quiere situarlo (por ejemplo, A4 1ª planta,
C3 3ª planta, etc). El contrario responderá: “Eter” si no hay ninguna nave situada en ese
lugar, “Tocado” en el caso de que el disparo haya dado en un lugar en el que hay situada una
nave; o “Derribado” cuando el disparo le haya dado a una nave de un solo cubo o sea el
último que quedaba por acertar.
El vencedor es el jugador que derribe todas las naves de su adversario con el menor número
de disparos. Si se realiza en el mismo número, la partida finaliza en tablas.
• Objetivos
• Entrenar la utilización de coordenadas en el espacio y de la ubicación en el mismo.
• Entrenar la imaginación espacial, así como la búsqueda de posibilidades en el mismo.
• Búsqueda de estrategias favorecedoras.
• Observaciones
Ante las dificultades de ubicación en el espacio, parece conveniente empezar el juego
limitando la longitud de los ejes a 4 ó 5 unidades en cualquier de las tres dimensiones, e ir
aumentándolas gradualmente. Asimismo serían pocas (2 ò 3) y pequeñas las naves a colocar.
Una posibilidad realizable para unir los cubos es hacerles unas hendiduras en todas las
caras y unos pequeños cilindros nos servirán para engarzar los cubos entre sí teniendo en
contacto dos caras cualesquiera (una de cada cubo). Puede utilizarse cualquier otra que se
considere realizable, o utilizar cubos ya comercializados como los policubos.
• COORDENADAS
Es un juego para cuatro jugadores.
• Dos ruletas de 10 sectores.
• Dos dados ( +, +, +, −, −, − ).
• Fichas de distinto color para cada jugador.
Página 19

• Previamente se acuerda (diferenciándolas) la ruleta y el dado que indicarán ordenadas y
abcisas.
• Se tira por turnos alternos.
• El resultado de cada tirada se marca en el tablero con una ficha, cada jugador de su
color.
• Cuando el resultado de una tirada ya está marcado con ficha en el tablero, el jugador
en turno gana la ficha que había y coloca la suya; si la ficha es de su color pasa el turno
sin ganar ni poner ficha. Las fichas ganadas las coloca en su casillero (A, B, C, D).
• Gana quien primero consiga 5 fichas en su casillero.
Página 20

• ROMPECABEZAS Y PUZZLES
a) Divide la siguiente región en cuatro partes congruentes:
b) Copia y recorta las siguientes piezas y forma con ellas una letra T. Intenta formar
también con esas piezas un trapecio isósceles.
c) Como puedes ver en la siguiente figura, es relativamente fácil construir un cuadrado
usando las cuatro piezas que se indican. Intenta construir un cuadrado más grande
utilizando esas piezas más el cuadrado que está fuera (cinco piezas en total).
Página 21

d) Muestra cómo se puede cortar la figura A en dos partes, de manera que, al volver a
reunirlas, se pueda formar cualquiera de las figuras B, C, E, F y G.
e) A cuatro cubos se les han cortado algunas esquinas. Sólo quedan dos cubos iguales.
¿Cuáles son?.
f) ¿Cómo puede descomponerse un triángulo equilátero en cuatro partes de modo que
éstas puedan reordenarse para formar un cuadrado?.
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• DOMINÓ DE ÁREAS Y UNIDADES CUADRADAS
Es un juego para un máximo de cuatro jugadores.
En la carpeta de material dispones de un dominó de áreas y unidades cuadradas. Con él
puedes utilizar las unidades de área del sistema métrico decimal y practicar la intuición,
identificando cada área con su medida en unidades cuadradas.
a) Identifica las fichas dobles de este dominó.
b) Juega varias partidas.
• DOMINÓ DE ÁREAS Y FÓRMULAS
Es un juego para un máximo de cuatro jugadores.
En la carpeta de material dispones de un dominó de áreas y fórmulas. Con él podrás
identificar cada figura geométrica plana con la fórmula que permite calcular su área. De
esta forma adquirirás soltura en el manejo de fórmulas para calcular áreas.
c) Identifica las fichas dobles de este dominó.
d) Juega varias partidas.
• DOMINÓ DE CAPACIDAD Y VOLUMEN
En este dominó se han elegido siete medidas de capacidad: ml, cl, dl, l, Dl, Hl y Kl. Para cada
una, se dan ocho equivalencias expresadas en medidas de capacidad y volumen de manera
que, a todas ellas, se les asigna su valor en cm3
, dm3
y m3
, y las cuatro equivalencias
restantes, se expresan en distintas medidas de capacidad. Identifica las fichas dobles y
juega varias partidas.
Página 23

• PENTAMINÓS
Juego PENTAMINÓS
Tipo Tablero
Material Tablero y pentaminós
Nº de jugadores Uno o dos
Referencias
Nivel A partir del inicio de la ESO
Objetivos Desarrollar la intuición geométrica
• Para el Juego I, un tablero rectangular 6×10 y los doce pentaminós diferentes que se
pueden formar (se pueden fabricar con facilidad recortándolos en cartulina dura).
• Para el Juego II, como tablero un cuadrado (de 6, 7, 8 ó 9 cuadrados de lado) y varios
ejemplares de cada uno de los pentaminós.
Con pentaminós se pueden realizar diferentes juegos. A continuación desarrollamos dos.
Página 24

• Juego I.− Es un juego solitario
• Se trata de llenar el rectángulo 6×10 utilizando una sola vez cada uno de los 12
pentaminós diferentes.
Puede parecer sencillo, pero no lo es tanto, aunque hay miles de formas diferentes de
hacerlo. Habrá que desarrollar también alguna notación para diferenciar las distintas
posibilidades de llenado.
• Juego II.− Es un juego para dos personas
• Cada uno de los dos jugadores va poniendo alternativamente un pentaminó en el tablero.
Gana el último jugador que pueda colocar.
En el Juego II se pueden variar las maneras de repartir los pentaminós entre los dos
jugadores:
• Se pueden repartir arbitrariamente el igual número a ambos jugadores.
• Se pueden dejar todos juntos y que los jugadores elijan los que quieran para cada
tirada.
• Objetivos
• Desarrollar el sentido geométrico
• Utilizar sistemas de notación
• Estudiar todas las posibilidades de construcción.
• Observaciones
Es conveniente que antes de jugar a cualquiera de las variantes de este juego, se hayan
tratado las maneras de construir todos los triminós, tetraminós y pentaminós, y se haya
estudiado con detenimiento la igualdad entre cada tipo de poliminós. Una buena manera de
hacerlo es viendo las maneras en que a partir de un poliminó de un orden se obtienen los de
orden superior; y después eliminar los que aparezcan repetidos.
Los criterios de igualdad de pentaminós nos mostrarán la necesidad de que, una vez que se
construyan, habrá que pintarlos de formas diferentes por ambas caras para que no se les
de la vuelta en el desarrollo de los juegos.
• CUBRIR TABLEROS CON POLIMINÓS
a) Un tablero de ajedrez consta de 8×8 cuadrados. Le quitamos dos cuadrados de las
esquinas, A y B. Muestra que es imposible cubrir los restantes 62 cuadrados con 31
fichas de dominó.
Página 25

A
B
b) Utiliza tableros 3×3, 4×4, ... ¿Con qué triminós se puede rellenar el tablero?. ¿Con qué
tetraminós?.
Página 26

JUEGO DEL TRIÁNGULO
nº Jugador 1 P Jugador 2 P Jugador 3 P Jugador 4 P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Total Total Total Total
JOKAN
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LA ISLA DEL TESORO
LA CAZA DEL TESORO
Página 28

Página 29

TIC−TAC−TOE POLAR
COORDENADAS
Página 30

ROMPECABEZAS Y PUZZLES
Página 31

Página 32

DOMINÓ DE ÁREAS Y UNIDADES CUADRADAS
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Página 34

Página 35

Página 36

DOMINÓ DE ÁREAS Y FÓRMULAS
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DOMINÓ DE CAPACIDAD Y VOLUMEN
PENTAMINÓS
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CUBRIR TABLEROS CON POLIMINÓS
A
B
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Juegos geométricos para ESO y Bachillerato

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