El documento introduce el filtro de Kalman, desarrollado por Rudolf Kalman en los años 50. Explica que es un algoritmo óptimo recursivo para procesar datos de sistemas dinámicos lineales sometidos a ruido. Describe cómo el filtro de Kalman estima el estado de un sistema usando medidas ruidosas de forma recursiva, actualizando la estimación a medida que se obtienen nuevas medidas. Finalmente, presenta un ejemplo simple de aplicación del filtro de Kalman para estimar una constante a partir de medidas ruidosas de un sensor.

1. Introducción al filtro de KalmanJhon James Quintero Osorio

2. Rudolf E. Kalman nació en Budapest en 1930, emigró a Estados Unidos durante la Segunda Guerra Mundial y se doctoró en el M.I.T. en Ingeniería Eléctrica en 1954.En 1958 cuando viajaba en tren de Princeton a Baltimore el tren se detuvo durante una hora a las 11 pm en las afueras de Baltimore, entonces se le ocurrió aplicar el concepto devariables de estado al filtro de Wiener.

3. DefiniciónUn algoritmo optimo recursivo para procesamiento de datos [Maybeck79].Usado para la estimación eficiente del estado de un proceso.Optimalestimate of systemstatesUso común de filtro de Kalman

4. Introducción al filtro de KalmanSuponga que usted conoció a alguien, pacta una cita con ella, y usted no sabe que tan puntal será. Basado lo que le dijo, usted hace un estimado de cuando esa persona llegará, usted no quiere llegar temprano pues odia esperar y tampoco quiere llegar tarde, desea llegar en el momento exacto.El día de la cita ella llega 30 minutos tarde, esa información usted la puede usar para predecir a que hora llegará ella para la próxima cita. El filtro de Kalman funciona de una forma parecida, se utiliza la información disponible con el fin de hacer un estimado inicial y a medida que se tiene más información se usa para mejorar el estimado inicial.

5. Sistemas dinámicos lineales El filtro de Kalman se usa para estimar el estado de sistemas dinámicos lineales regidos por un modelo como el siguiente:Del cual se pueden realizar medidas segúnLos últimos términos de las ecuaciones anterioresrepresentan el ruido en el proceso en las medidas tomadas al mismo respectivamente, los cuales tiene media cero, matrices de covarianza conocidas y no están correlacionados.

6. Sistemas dinámicos lineales Un ejemplo simple es el caso de tomar la medida de una cierta cantidad constante con un sensor ruidoso, en cuyo caso la ecuación del sistema sería :Si se tiene una sola medida lo más lógico es pensar que el valor medido es el correcto, pero en caso de tener múltiples medidas de la cantidad nos gustaría hacer uso de la información dada por ellas para estimar de la mejor forma posible el valor de x. Típicamente se toma un promedio y listo.Si lo que tenemos es una cantidad que varía con el tiempo y hemos tomado una cierto número de medidas (N), de tal modo que en algún momento en el tiempo se tiene

7. Sistemas dinámicos linealesDeseamos conocer el conjuntoNo podemos obtener el vector anterior mediante el cálculo de la media, pues el resultado es solo un valor, además se promedia también sobre la variación de x, lo que introduce una nueva fuente de error.Podemos proceder entonces de la siguiente manera, para estimar el valor de no vamos a usar todos los datos de , sino algunos pocos,y promediemos este conjunto de valores. Si x cambia lentamente y el ruido rápidamente tiene sentido usar una ventana grande de valores para la estimación. Si ocurre que la señal cambia rápidamente y el nivel del ruido es bajo, lo mejor es solo usar el valor medido como estimación.

8. Sistemas dinámicos linealespodríamos hacer algo mejor aun, realizar un promedio ponderado (filtrado).Los anteriores planteamientos intuitivos, son plausibles pero no son sistemáticos, por eso se propone un modelo probabilístico que capture la evolución en el tiempo y el proceso de medida y se procede entonces a aplicar inferencia y aprendizaje.El modelo planteado tiene como parámetros Donde las matrices son determinísticas y generalmente provienen del análisis del problema.Las matrices son las matrices de covarianza de respectivamente.

9. Derivación del Filtro de Kalman discretoSi como dijimos antes tenemos todas las medidas hasta un tiempo k, podemos usarlas todas para estimar , lo que se llama el estimado a posterioriSi lo que tenemos es todas las medidas pero sin incluir el tiempo k, tenemos el estimado a prioriLas covarianzas de los errores de estimación son

10. Derivación del Filtro de Kalman discretoEl primer objetivo es encontrar una ecuación que permita para calcular el estimado del estado a posteriori como una combinación lineal de un estimado a priori y la diferencia ponderada entre la medida actual y una predicción de dicha medida . Es decirEl último termino de la ecuación es llamado comúnmente innovación de medida o residual. Y la matriz K es una ganancia que minimiza la covarianza del error, dada por Existen otras formas de presentar la ecuación anterior.Los resultados anteriores se obtienen de mínimos cuadrados recursivos.

11. Algoritmo del Filtro de Kalman discretoEl filtro de Kalman estima un proceso usando una forma de control realimentado, el filtro estima el proceso y se realimenta de las medidas (ruidosas) , de este modo las ecuaciones que rigen el filtro de Kalman se clasifican en dos grupos actualización en tiempo o predicción y actualización de observación o corrección.Las primeras son las encargadas de obtener las estimaciones del estado y la covarianza y las siguientes de responsables de la realimentación, para tener en cuenta las últimas medidas para el estimado a priori con el fin de obtener una mejora en la estimación posteriori .

12. Algoritmo del Filtro de Kalman discretoLas ecuaciones de actualización en tiempo:Las ecuaciones de actualización en medidas

13. Algoritmo del Filtro de Kalman discreto Se supone que para el primer instante (k=1) se conocen y . Es decir y , llamados estimados iniciales, estos se calculan de las condiciones del problema a resolver. Recordando que :Usamos las ecuaciones de predicción.Usamos las ecuaciones de corrección.Vamos al paso 2.

14. Ejemplo 1El ejemplo típico para experimentar con el filtro de Kalman es la estimación del valor de una constante inmersa en un ruido, digamos, medir una variable con un sensor ruidoso (con media cero y una varianza conocida dada por las características del sensor). El modelo es entoncesEscribir un programa en matlab para realizar la estimación dando como datos de entrada: El número de datos, el valor real de la constante, la varianza del sensor, valor de la estimación inicial, varianza de la medida y varianza de los estados.

15. Ejemplo 2Estimación de una variable inmersa en ruido.