Análisis Numérico

1. ANÁLISIS NUMÉRICO
ELABORADO POR:
ING. CARLOS MALAVÉ CARRERA

2. UNIDAD TEMÁTICA I
FUNDAMENTOS DE LOS
MÉTODOS NUMÉRICOS

3. UNIDAD TEMÁTICA # 1
FUNDAMENTOS DE LOS
MÉTODOS NUMÉRICOS
RESULTADOS DE APRENDIZAJE
1.1 Modelo matemático simple.
Construye un modelo matemático a partir
información de campo.
1.2 Exactitud y precisión.
Identifica la diferencia entre exactitud y
precisión.
1.3 Definiciones de error. Estima errores absolutos y relativos
1.4 Errores de redondeo.
Desarrolla operaciones de errores por
redondeo.

4. UN MODELO MATEMÁTICO SIMPLE
Un modelo matemático se define, de manera general, como una formulación o una
ecuación que expresa las características esenciales de un sistema físico o de un
proceso en términos matemáticos. En general, el modelo se representa mediante una
relación funcional de la forma:
donde la variable dependiente es una característica que generalmente refleja el
comportamiento o estado de un sistema; las variables independientes son, por lo
común, dimensiones tales como tiempo y espacio, a través de las cuales se determina
el comportamiento del sistema; los parámetros son el reflejo de las propiedades o la
composición del sistema; y las funciones de fuerza son influencias externas que actúan
sobre el sistema.

5. UN MODELO MATEMÁTICO SIMPLE
Representación esquemática de las fuerzas
que actúan sobre un paracaidista en
descenso. 𝐹 𝐷 es la fuerza hacia abajo debida
a la atracción de la gravedad. 𝐹 𝑈 es la fuerza
hacia arriba debida a la resistencia del aire.
Newton formuló su segunda ley del
movimiento, que establece que la razón de
cambio del momentum con respecto al
tiempo de un cuerpo, es igual a la fuerza
resultante que actúa sobre él. La expresión
matemática, o el modelo, de la segunda ley
es la ya conocida ecuación:
𝐹 = 𝑚𝑎 1.1
𝑭 𝑫
𝑭 𝑼

6. UN MODELO MATEMÁTICO SIMPLE
La segunda ley puede escribirse en el formato de la ecuación (1.1), dividiendo,
simplemente, ambos lados entre m para obtener:
𝑎 =
𝐹
𝑚
donde 𝒂 es la variable dependiente que refleja el comportamiento del sistema, 𝑭 es la
función de fuerza y 𝒎 es un parámetro que representa una propiedad del sistema.
Observe que en este caso específico no existe variable independiente porque aún no
se predice cómo varía la aceleración con respecto al tiempo o al espacio.

7. UN MODELO MATEMÁTICO SIMPLE
Se utiliza la segunda ley de Newton para determinar la velocidad final de la caída libre
de un cuerpo que se encuentra cerca de la superficie de la Tierra.
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝐹
𝑚
Para un cuerpo que cae a distancias cercanas a la Tierra, la fuerza total está compuesta
por dos fuerzas contrarias: la atracción hacia abajo debida a la gravedad 𝐹 𝐷 y la fuerza
hacia arriba debida a la resistencia del aire 𝐹 𝑈.
𝐹 = 𝐹 𝐷 + 𝐹 𝑈

8. UN MODELO MATEMÁTICO SIMPLE
Si a la fuerza hacia abajo se le asigna un signo positivo, se usa la segunda ley de Newton
para expresar la fuerza debida a la gravedad como:
𝐹 𝐷 = 𝑚𝑔
La resistencia del aire puede expresarse de varias maneras. Una forma sencilla consiste en
suponer que es linealmente proporcional a la velocidad, y que actúa en dirección hacia
arriba tal como:
𝐹 𝑈 = −𝑐𝑣
donde c es una constante de proporcionalidad llamada coeficiente de resistencia o arrastre
(kg/s).

9. UN MODELO MATEMÁTICO SIMPLE
La fuerza total es la diferencia entre las fuerzas hacia abajo y las fuerzas hacia arriba.
Combinando obtenemos:
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑚𝑔 − 𝑐𝑣
𝑚
O también,
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑔 −
𝑐
𝑚
𝑣
La ecuación (1.9) es un modelo que relaciona la aceleración de un cuerpo que cae con
las fuerzas que actúan sobre él.

10. UN MODELO MATEMÁTICO SIMPLE
Lo que tenemos es una ecuación diferencial ordinaria, que puede ser resuelta
aplicando conocimientos de cálculo diferencial e integral, y suponiendo como
condiciones iniciales que el paracaidista parte del reposo 𝑣0 = 0 en un tiempo 𝑡 = 0.
Al final obtenemos:
𝑣 =
𝑚𝑔
𝑐
1 − 𝑒− 𝑐 𝑚 𝑡
Que representa la solución analítica de la caída de un paracaidista, antes que se abra
el mismo.

11. UN MODELO MATEMÁTICO SIMPLE
Planteamiento del problema. Un paracaidista con una masa de 68.1 kg salta de un
globo aerostático fijo. Aplique la ecuación obtenida para calcular la velocidad antes de
que se abra el paracaídas. Considere que el coeficiente de resistencia es igual a 12.5
kg/s.

12. UN MODELO MATEMÁTICO SIMPLE
A la ecuación 𝑣 =
𝑚𝑔
𝑐
1 − 𝑒− 𝑐 𝑚 𝑡
se le llama solución analítica o exacta ya que
satisface con exactitud la ecuación diferencial original. Por desgracia, hay muchos
modelos matemáticos que no pueden resolverse con exactitud. En muchos de estos
casos, la única alternativa consiste en desarrollar una solución numérica que se
aproxime a la solución exacta.
Los métodos numéricos son aquellos en los que se reformula el problema matemático
para lograr resolverlo mediante operaciones aritméticas. Esto puede ilustrarse para el
caso de la segunda ley de Newton, observando que a la razón de cambio de la
velocidad con respecto al tiempo se puede aproximar mediante:
𝑑𝑣
𝑑𝑡
≅
∆𝑣
∆𝑡
=
𝑣(𝑡𝑖+1) − 𝑣(𝑡𝑖)
𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖

13. UN MODELO MATEMÁTICO SIMPLE

14. UN MODELO MATEMÁTICO SIMPLE
𝑑𝑣
𝑑𝑡
≅
∆𝑣
∆𝑡
=
𝑣(𝑡𝑖+1) − 𝑣(𝑡𝑖)
𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖
A la ecuación descrita, se le denomina una aproximación en diferencia finita dividida
de la derivada en el tiempo 𝑡𝑖. Sustituyendo en la ecuación descrita, obtenemos:
𝑣(𝑡𝑖+1) − 𝑣(𝑡𝑖)
𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖
= 𝑔 −
𝑐
𝑚
𝑣(𝑡𝑖)
Al reordenar despejando 𝑣(𝑡𝑖+1), tenemos:
𝑣(𝑡𝑖+1) = 𝑣 𝑡𝑖 + 𝑔 −
𝑐
𝑚
𝑣(𝑡𝑖) 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖

15. UN MODELO MATEMÁTICO SIMPLE
𝑣(𝑡𝑖+1) = 𝑣 𝑡𝑖 + 𝑔 −
𝑐
𝑚
𝑣(𝑡𝑖) 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖
Así, la ecuación diferencial se ha transformado en una ecuación que puede utilizarse
para determinar algebraicamente la velocidad en 𝑡𝑖+1, usando la pendiente y los
valores anteriores de 𝑣 y 𝑡. Si se da un valor inicial para la velocidad en algún tiempo
𝑡𝑖, es posible calcular con facilidad la velocidad en un tiempo posterior 𝑡𝑖+1.
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 × 𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑠𝑜
Esta aproximación formalmente se conoce como 𝒎é𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝑬𝒖𝒍𝒆𝒓

16. UN MODELO MATEMÁTICO SIMPLE
SOLUCIÓN NUMÉRICA AL PROBLEMA DE LA CAÍDA DE UN PARACAIDISTA
Realice el mismo cálculo del ejemplo anterior, pero usando la ecuación obtenida para
calcular la velocidad. Emplee un tamaño de paso de 2 s para el cálculo.
𝑣(𝑡𝑖+1) = 𝑣 𝑡𝑖 + 𝑔 −
𝑐
𝑚
𝑣(𝑡𝑖) 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖

17. CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Se denomina cifras significativas al conjunto de dígitos que se conocen con
seguridad de una cantidad medida.
Una cantidad medida es aquella obtenida a partir de procesos de medición y tienen
un grado de error o incertidumbre.

18. CIFRAS SIGNIFICATIVAS
REGLAS PARA OBTENER EL NÚMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS
1. Cualquier cifra diferente de cero, se considera cifra significativa. Ej.
25,4 cm  3 c.s.
2456 m  4 c.s.
2456 m  4 c.s.
2. Se consideran cifras significativas los ceros situados entre dos dígitos distintos de
cero. Ejemplo.
1050,5 cm  5 c.s.
2066,22 mm  6 c.s.
204,2 ft  5 c.s.

19. CIFRAS SIGNIFICATIVAS
REGLAS PARA OBTENER EL NÚMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS
3. Los ceros al final de un número, después de la coma decimal son significativos. Ej.
25,40 cm  4 c.s.
25,0 m  3 c.s.
2.00 x 10³ m  2 c.s.
4. Los ceros al principio de un número no son significativos, tan solo indican la colocación
de la coma decimal, incluidos aquellos después de la coma decimal. Ejemplo.
0,0254 m  3 c.s.
0,00065 ml  2 c.s.
0,20 ft  2 c.s.

20. CIFRAS SIGNIFICATIVAS
REGLAS PARA OBTENER EL NÚMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS
5. Para un número mayor que uno, todos los ceros que aparecen a la derecha del
punto decimal cuentan como cifras significativas. Ej.
0,20 ft  2 c.s.
4320 m  4 c.s.

21. EXACTITUD Y PRECISIÓN
Los errores en cálculos y
medidas se pueden caracterizar
con respecto a su exactitud y su
precisión. La exactitud se refiere
a qué tan cercano está el valor
calculado o medido del valor
verdadero. La precisión se
refiere a qué tan cercanos se
encuentran, unos de otros,
diversos valores calculados o
medidos.

22. DEFINICIONES DE ERROR
Los errores numéricos surgen del uso de aproximaciones para representar operaciones y
cantidades matemáticas exactas.
Para los errores, la relación entre el resultado exacto, o verdadero, y el aproximado está
dada por:
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 + 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟
Reordenando se encuentra que el error numérico es igual a la diferencia entre el valor
verdadero y el valor aproximado, es decir:
𝐸𝑡 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 – 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜
Este último valor también es conocido como error absoluto.

23. DEFINICIONES DE ERROR
Una manera de tomar en cuenta las magnitudes de las cantidades que se evalúan
consiste en normalizar el error respecto al valor verdadero, es decir:
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 = 𝐸𝑡 =
𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜
El error relativo también se puede multiplicar por 100% para expresarlo como:
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 = 𝜀𝑡 =
𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜
× 100%

24. DEFINICIONES DE ERROR
Sin embargo, en muchas aplicaciones reales, no se conoce a priori la respuesta
verdadera. Entonces en dichos casos, una alternativa es normalizar el error, usando
la mejor estimación posible al valor verdadero; es decir, para la aproximación misma,
como en
𝜀 𝑎 =
𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜
100%
donde el subíndice 𝒂 significa que el error está normalizado a un valor aproximado.

25. DEFINICIONES DE ERROR
Ciertos métodos numéricos usan un método iterativo para calcular los resultados. En
tales métodos se hace una aproximación considerando la aproximación anterior.
Este proceso se efectúa varias veces, o de forma iterativa, para calcular en forma
sucesiva, esperando cada vez mejores aproximaciones.
En tales casos, el error a menudo se calcula como la diferencia entre la aproximación
previa y la actual. Por lo tanto, el error relativo porcentual está dado por:
𝜀 𝑎 =
aproximación actual – aproximación anterior
aproximación actual
× 100%

26. DEFINICIONES DE ERROR
A menudo, cuando se realizan cálculos, no importa mucho el signo del error, sino
más bien que su valor absoluto porcentual sea menor que una tolerancia porcentual
prefijada 𝜀 𝑠. Por lo tanto, es útil emplear el valor absoluto de las ecuaciones de
errores. En tales casos, los cálculos se repiten hasta que
𝜀 𝑎 < 𝜀 𝑠
Es conveniente también relacionar estos errores con el número de cifras
significativas en la aproximación. Es posible demostrar (Scarborough, 1966) que si el
siguiente criterio se cumple, se tendrá la seguridad que el resultado es correcto en
al menos n cifras significativas.
𝜀 𝑠 = 0,5 × 102−𝑛 %

27. CÁLCULO DE ERRORES
Planteamiento del problema. Suponga que se tiene que medir la longitud de un
puente y la de un remache, y se obtiene 9 999 y 9 cm, respectivamente. Si los
valores verdaderos son 10 000 y 10 cm, calcule a) el error verdadero y b) el error
relativo porcentual verdadero en cada caso.

28. ERRORES DE REDONDEO
Los errores de redondeo se originan debido a que la computadora emplea un
número determinado de cifras significativas durante un cálculo. Los números tales
como 𝜋, 𝑒 o 2 no pueden expresarse con un número fijo de cifras significativas. Por
lo tanto, no pueden ser representados exactamente por la computadora.
Además, debido a que las computadoras usan una representación en base 2, no
pueden representar exactamente algunos números en base 10. Esta discrepancia por
la omisión de cifras significativas se llama error de redondeo.

29. ERRORES DE REDONDEO
REGLAS DE REDONDEO
1. Si la primera cifra que se omite es menor que 5, se eliminan sin más las cifras
innecesarias.
2. Si la primera cifra que se omite es mayor o igual que 5, se aumenta en uno la
última cifra obtenida
Ejemplos:
 Redondear a la unidad las siguientes cantidades:
3,752 2,32 49,7801 0,75
 Redondear a un decimal las siguientes cantidades:
0,732 1,4525 0,278
 Redondear a dos decimales las siguientes cantidades:
0,3752 2,5733 0,6471

30. ACTIVIDAD EN CLASE
TALLER No. 1
1. Calcule la velocidad de un paracaidista en
caída libre con el empleo del método de
Euler para el caso en que m = 80 kg y c =
10 kg/s. Lleve a cabo el cálculo desde t =
0 hasta t = 20 s con un tamaño de paso
de 1 s. Use una condición inicial en que el
paracaidista tiene una velocidad hacia
arriba de 20 m/s en t = 0. Suponga que
el paracaídas se abre instantáneamente
en t = 10 s, de modo que el coeficiente
de arrastre sube a 50 kg/s.
𝑭 𝑫
𝑭 𝑼

31. ACTIVIDAD EN CLASE
La ley de Newton del enfriamiento establece que la temperatura de un cuerpo cambia
con una tasa que es proporcional a la diferencia de su temperatura y la del medio que
lo rodea (temperatura ambiente)
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= −𝑘(𝑇 − 𝑇𝑎)
donde T = temperatura del cuerpo (°C), t = tiempo (min), k = constante de
proporcionalidad (por minuto), y Ta = temperatura del ambiente (°C). Suponga que
una tasa de café tiene originalmente una temperatura de 68°C. Emplee el método de
Euler para calcular la temperatura desde t = 0 hasta 10 min, usando un tamaño de
paso de 1 min, si Ta = 21°C y k = 0.017/min.