Este documento presenta el diseño de un observador de estados para un convertidor Buck. Primero introduce los conceptos de observadores de estado y su aplicación al diagnóstico de fallas. Luego, describe el diseño de un observador de orden completo para el convertidor Buck usando la fórmula de Ackerman. Finalmente, presenta los resultados de la simulación del observador diseñado en MatLab.

1. 2
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo
Tecnológico
Asignatura:
Diagnóstico de fallas
Profesor:
Dr. Luis Gerardo Vela Valdés
Tarea:
Observador para convertidor Buck
Presenta:
Adolfo Valdez Bahena
Patricia de los Ángeles Quijano Hau
Cuernavaca, Morelos, octubre de 2018.

2. 3
Índice
1. Introducción....................................................................................................................... 4
2. Objetivo............................................................................................................................... 4
3. Observador de estados .................................................................................................. 4
3.1. Observadores de estado para sistemas lineales............................................. 5
3.1.1. Observador de orden completo............................................................................ 5
3.2. Diseño de observadores ........................................................................................ 7
3.2.1. Diseño de observadores........................................................................................ 9
3.2.2. Fórmula de Ackerman............................................................................................ 9
4.3. Diseño del observador de estados.................................................................... 14
4.3.1. Representación en variables de estado............................................................ 14
4.3.2. Modelo del Convertidor Buck en espacio de estados ......................................... 15
4.3.2. Prueba de observabilidad.................................................................................... 15
4.3.3. Cálculo de los polos del sistema........................................................................ 15
4.3.4. Asignación de polos............................................................................................. 16
4.3.5. Cálculo de la matriz Ke........................................................................................ 16
4.3.6. Ecuación de estado de orden completo............................................................ 16
4.3.7. Diagrama a bloques del observador de estados............................................. 16
5. Resultados ....................................................................................................................... 17
5.1. Simulación en MatLab ............................................................................................. 17
5.2. Código........................................................................................................................ 17
5.3. Diagrama a bloques................................................................................................. 18
5.4. Gráficas...................................................................................................................... 19
6. Conclusiones................................................................................................................... 19
Referencias.............................................................................................................................. 20

3. 4
1. Introducción
El diagnóstico de fallas basado en modelos se basa en comprobar la
consistencia de los comportamientos observados (mediciones de los sensores)
con los estimados mediante modelos (llamado redundancia analítica), Dicha
consistencia se basa en el cálculo de la diferencia entre el valor predicho a partir
del modelo y del valor real medido por los sensores. Esta diferencia se conoce
como residuo. Por lo tanto, el residuo lleva el mensaje más importante para que
un diagnóstico de fallas sea exitoso.
El procedimiento de construir la diferencia entre las salidas medidas y sus
estimados es llamado generación de residuos. Después de este proceso, los
residuos son procesados con el fin de extraer la información de la falla, este
procedimiento se llama evaluación de residuos. Los métodos más populares de
evaluación son los métodos estadísticos y los métodos basado en la norma.
Ambos métodos tienen en común que crean un límite, llamado umbral, el cual
considera todas las posibles incertidumbres del modelo, entradas desconocidas
(perturbaciones) y ruido. Si se excede este umbral, entonces existe una falla en
el proceso
Después de detectada la falla, se procede al aislamiento de la misma, con el fin
de poder determinar cuál de las posibles fallas (sensores, actuadores o
componentes del sistema) ha ocurrido (Castello et al., 2016). Aunque para
detectar una falla solo es necesario un residuo, para efectuar el aislamiento se
necesita un conjunto (o vector) de residuos (Gertler, 1998). Los métodos
basados en modelos para la detección de fallas se suelen clasificar en:
 Ecuaciones de paridad
 Observadores de estado
 Estimación paramétrica
Entre los esquemas existentes de diagnóstico de fallas basado en modelos, la
técnica basada en observadores de estado ha recibido bastante atención desde
los años1990, impulsada por el desarrollo de la teoría de control avanzado (Ding,
2013).
Es por ello que en este trabajo se realiza el diseño de un observador de estados
para un convertidor Buck
2. Objetivo
Diseñar un observador en el espacio de estados para el convertidor Buck, así
como realizar la simulación del mismo.
3. Observador de estados
En determinadas circunstancias resulta necesario estimar el valor de ciertas
variables de estado que no son medidas en un sistema. La estimación de este

4. 5
tipo de variables se determina observación. Un dispositivo (o programa) que
estima u observa las variables de estado se llama observador de estados (o
simplemente observador). Según Ogata “Un observador de estados estima las
variables de estado con base en las mediciones de las variables de salida y de
control”.
A la hora de dar una clasificación de los tipos de observadores, Ogata se fija en
el número de variables que son observadas. De esta manera propone una
clasificación de observadores en tres tipos:
 Orden completo: el observador capta todas las variables del sistema, sin
importar si algunas están disponibles para una medición directa.
 Orden reducido: el observador estima menos de n variables de estado, en
donde n es la dimensión del vector de estado.
 Orden mínimo: es un observador de orden reducido con el mínimo orden
posible, es decir, si n es la dimensión del vector de estado y m es la
dimensión del vector de salidas, el observador de orden mínimo observa
n-m variables.
Dentro de cada una de estas familias, podemos tener, a su vez, otras
subdivisiones. Por ejemplo, si consideramos el tipo de sistema que estamos
tratando podemos tener observadores para sistemas lineales y observadores
para sistemas no lineales.
A continuación, se mostrará los fundamentos de observadores de estados para
el caso más general, el de observadores de orden completo para sistemas
lineales.
3.1.Observadores de estado para sistemas lineales
3.1.1. Observador de orden completo
Consideramos que tenemos un sistema en espacio de estados de la siguiente
forma:
     X t Ax t Bu t

  (1)
   y t Cx t (2)
En donde x(t) es el vector de estado (vector de dimensión n), u(t) es el vector de
entradas, y(t) es el vector de salidas, y A, B y C son matrices de coeficientes
constantes. Podemos definir un observador de estados genérico para dicho
sistema como:

5. 6
         X t Ax t Bu t Ke y t Cx t

    
 
(3)
   y t Cx t (4)
El último término, es un valor de corrección que contiene la diferencia entre la
salida medida y la salida estimada. El término de corrección ayuda a reducir los
efectos producidos por la diferencia entre el modelo dinámico y el sistema real.
La matriz Ke funciona como una matriz de ponderación.
En la Figura 1 se puede ver de manera esquemática el sistema en espacio de
estados y su observador genérico correspondiente.
Figura 1.Diagrama a bloques de un observador de estados de orden completo
Podemos obtener la dinámica del error en la estimación del estado restando la
ecuación 1 de la ecuación 3:
           X t X t Ax t Ax t Ke Cx t Cx t

     
 
(5)
         X t X t A KeC x t x t

    
 
(6)

6. 7
Y definiendo la diferencia entre  x t y  X t

como el vector de error  xe t :
     xe t x t x t  (7)
Entonces el error en la estimación del estado, nos queda:
     x xe t A KeC e t

  (8)
A partir de la ecuación 8 podemos ver que el comportamiento dinámico del vector
de error se determina mediante los valores característicos de la matriz A KeC
. Si la matriz es estable, el vector convergerá a cero para cualquier vector de
error inicial (e(0)). Es decir que  X t

convergerá a  x t sin considerar los valores
de  X t

) y  x t . Si se eligen los valores característicos de la matriz A KeC de
manera que el comportamiento dinámico del vector de error sea asintóticamente
estable y suficientemente rápido, cualquier vector de error tenderá a 0 con una
velocidad adecuada. Al igual que para el error en la estimación del estado,
podemos obtener el error en la estimación de la salida como:
     ye t y t Cx t  (9)
Que está directamente relacionado con el error en la estimación del estado:
   y xe t Ce t (10)
3.2.Diseño de observadores
El problema a la hora de diseñar un observador es determinar la matriz Ke tal
que la dinámica del error sea asintóticamente estable con una velocidad de
respuesta suficiente, es decir, determinar Ke, tal que A KeC tenga los valores
característicos deseados. Este problema se corresponde con el problema de
ubicación de polos. Consideramos el siguiente sistema lineal en espacio de
estados:
X Ax Bu

  (11)
y Cx (12)

7. 8
Al diseñar el observador de estados de orden completo, solucionamos el
problema de ubicación de polos para el sistema dual:
* *
z A z B v

  (13)
*
n B z (14)
Suponiendo que la señal de control v es (realimentación de estado):
v Kz  (15)
Si el sistema dual es de estado completamente controlable, la matriz de
ganancias de realimentación del estado K se determina de tal modo que la matriz
* *
A z C K produzca un conjunto de los valores característicos deseados.
Si µ1, µ2,…, µn son los valores característicos de la matriz del observador de
estado, tomando los mismos µi que los valores característicos deseados de la
matriz de ganancias de realimentación del estado del sistema dual, obtenemos:
      * *
1 2 nsI A C K s s ,..., s      (16)
Considerando que los valores característicos de * *
A C K y los de * *
A K C son
iguales, tenemos que:
   * * * *
sI A C K sI A K C     (17)
Comparando el polinomio característico  * *
sI A K C  y el polinomio
característico  sI A KeC  para el sistema observador, encontramos que Ke y
K∗ se relacionan mediante:
*
Ke K (18)
Por tanto, usando la matriz K determinada mediante el enfoque de ubicación de
polos en el sistema dual, la matriz de ganancias del observador Ke para el
sistema original se determina a partir de la relación Ke = K∗
Condición necesaria y suficiente para la observación del estado La condición
necesaria y suficiente para la determinación de la matriz de ganancias del

8. 9
observador Ke para los valores característicos deseados de A-KeC es que el
dual del sistema original:
* *
z A z C v

  (19)
Sea de estado completamente controlable. La condición de controlabilidad
completa del estado para este sistema dual es que el rango de:
 
n 1
* * * * *
C A C A C

 
  
(20)
Sea n, por tanto, ésta es la condición para una observabilidad completa del
sistema original.
3.2.1. Diseño de observadores
La señal de realimentación a través de Ke funciona como una señal de
corrección para el modelo de la planta. Si tenemos implícitos factores
desconocidos de la planta con valores significativos, la señal de realimentación
debería ser grande (es decir, el valor de Ke). Sin embargo, si la salida está
excesivamente contaminada con ruidos o perturbaciones, esta señal ya no es
confiable y por lo tanto la señal de realimentación debería ser relativamente
pequeña. A la hora de diseñar la matriz Ke debemos prestar atención a los
efectos de perturbaciones y ruido. Habitualmente se suele diseñar como un
compromiso una respuesta rápida y la sensibilidad frente a perturbaciones y
ruido. Existen diversas técnicas que podemos destacar a la hora de realizar un
diseño automático de la matriz de ganancias. Según Ogata podemos destacar
principalmente tres técnicas para el diseño:
 Enfoque directo
 Enfoque de sustitución
 Fórmula de Ackerman
Debido a que la Fórmula de Ackerman es la más genérica, así como la más
usada, a continuación, se procederá a describir esta técnica.
3.2.2. Fórmula de Ackerman
La fórmula de Ackerman para la determinación de la matriz de ganancias del
observador Ke, viene dada por la siguiente ecuación:

9. 10
 
1
n 1
C 0
CA 0
Ke A
CA 1


   
   
    
   
   
   
(21)
En donde φ(A) es igual a φ(S) que es el polinomio característico deseado para
el observador de estado. Viene dado por la expresión 22:
        
n
i 1 2 n
i 1
S S S S S

            (22)
En donde µ1, µ2,…, µn son los valores característicos deseados. La elección de
dicho conjunto de valores en muchos casos, no es única. Por tanto, podrían
elegirse muchas ecuaciones características diferentes como ecuaciones
características deseadas. Para cada ecuación característica deseada, tenemos
una matriz Ke diferente. A la hora de diseñar un observador de estado, resulta
conveniente calcular varias matrices de ganancias del observador Ke con base
en varias ecuaciones características deseadas distintas.
Para cada una de las matrices de ganancias que obtenemos, deben realizarse
pruebas en simulación con el fin de ver el comportamiento y la respuesta del
observador generado. Como se ha comentado previamente, en muchos casos
prácticos la elección de la mejor matriz Ke se resuelve en un compromiso entre
la respuesta rápida y la sensibilidad ante perturbaciones y ruidos.
4. Desarrollo
4.1.Diagrama eléctrico
La Figura 2.muestra el diagrama eléctrico del convertidor Buck.
Figura 2. Diagrama de circuito del convertidor Buck
4.2.Modelado del convertidor Buck
Para obtener el modelo matemático del circuito primeramente se obtuvo el
circuito equivalente utilizando interruptores ideales como se muestra en la Figura
3.

10. 11
Figura 3.Circuito equivalente del convertidor reductor utilizando interruptores ideales
Del análisis del circuito equivalente con interruptores ideales, se obtuvo la tabla
de verdad correspondiente a los estados de los interruptores y la función de
conmutación.
Tabla 1. Estados de conmutación, voltajes y corrientes del convertidor Buck.
De donde:
Obtenemos la función de conmutación para los estados de cada uno de los
interruptores.
𝑆𝑊1 → 𝑆1
𝑆𝑊2 → 𝑆2
Si 𝑆 = 𝑆1 = 𝑆2 obtenemos la descripción matemática de 𝑖1 y 𝑉2 en función de 𝑖 𝐿 y
𝑉𝑖 , descritas en las ecuaciones 23 y 24.
i1 = SiL (23)
𝑉2 = −𝑆𝑉𝑖 (24)
Las ecuaciones anteriores se representan por medio de una fuente de corriente
dependiente de corriente y una fuente de voltaje dependiente de voltaje como se
observa en la Figura 4.
𝑺 𝟏 𝑺 𝟐 𝒊 𝟏 𝒊 𝟐 𝑽 𝟏 𝑽 𝟐
0 1 0 𝑖 𝐿 𝑉𝑖 0
1 0 𝑖 𝐿 0 0 -𝑉𝑖

11. 12
Figura 4. Circuito equivalente del convertidor Buck con fuentes dependientes de voltaje y
corriente, y la función de conmutación S
Se realiza el análisis del circuito en la malla donde se encuentra el inductor
como se muestra en la Figura 5.
Figura 5.Trayectoria para la aplicación de la LVK y LCK
Aplicando LVK:
−SVi + VL + Vc = 0 (25)
VL = SVi − Vc (26)
VL = L ∗
dil
dt (27)
L ∗
diL
dt
= SVi − Vc (28)
𝐝𝐢 𝐋
𝐝𝐭
= −
𝟏
𝐋
𝐕𝐜 +
𝟏
𝐋
𝐒𝐕𝐢 (29)
Aplicando LCK en el nodo a:
iL − ic − iR = 0 (30)

12. 13
ic = C ∗
dVc
dt
(31)
iL − C ∗
dVc
dt
−
Vc
R
= 0 (32)
C ∗
dVc
dt
= iL −
Vc
R
(33)
𝐝𝐕𝐜
𝐝𝐭
=
𝟏
𝐂
𝐢 𝐋 −
𝟏
𝐑𝐂
𝐕𝐜
(34)
Así las ecuaciones 29 y 34 describen el modelo conmutado del convertidor
Buck.
4.2.1. Modelo conmutado:
𝐝𝐢 𝐋
𝐝𝐭
= −
𝟏
𝐋
𝐕𝐜 +
𝟏
𝐋
𝐒𝐕𝐢 (29)
𝐝𝐕𝐜
𝐝𝐭
=
𝟏
𝐂
𝐢 𝐋 −
𝟏
𝐑𝐂
𝐕𝐜
(34)
A partir del modelo conmutado se obtiene el modelo promediado, sustituyendo
la función de conmutación S por la señal moduladora U.
4.2.2. Modelo promediado:
𝐝𝐢̃ 𝐋
𝐝𝐭
= −
𝟏
𝐋
𝐕̃𝐜 +
𝟏
𝐋
𝐔𝐕𝐢
(35)
𝐝𝐕̃𝐜
𝐝𝐭
=
𝟏
𝐂
𝐢̃ 𝐋 −
𝟏
𝐑𝐂
𝐕̃𝐜
(36)

13. 14
4.2.3. Modelo lineal
Es necesario llevar a cabo la linealizacion de los modelos, en el caso del
convertidor Buck el modelo promediado es lineal por lo tanto no es necesario
llevar a cabo ninguna linealizacion.
4.3. Diseño del observador de estados
4.3.1. Representación en variables de estado
A partir del modelo promediado el cual es lineal para el convertidor Buck, las
ecuaciones deben representarse en el espacio de estados mediante las
ecuaciones 11 y 12:
X Ax Bu

  (11)
y Cx (12)
A continuación, según las ecuaciones 35 y 36, se definen las matrices utilizadas
en las ecuaciones 11 y 12.
L
1
c
2
di
x dt
X
dVx
dt



 
   
    
    
   
 
(37)
1
0
L
A
1 1
C RC
 
 
  
  
 
(38)
L1
c2
x i
X
x V
  
         
(39)
D
B L
0
 
 
  
 
(40)

14. 15
iu V (41)
0 1
C
1 0
 
  
 
(42)
4.3.2. Modelo del Convertidor Buck en espacio de estados
Las ecuaciones 43 y 44 representan el modelo del convertidor Buck en el
espacio de estados
L
i
c
1
D0
iL
X VL
1 1 V 0
C RC

 
    
             
 
(43)
L
c
0 1 i
y
1 0 V
  
      
(44)
4.3.2. Prueba de observabilidad
Es necesario determinar la condición de observabilidad completa. Un sistema es
observable si la matriz pobs de observabilidad es de rango completo, es decir,
el rango de pobs es igual a n; el número de estados: La matriz pobs se construye
de la siguiente manera:
1
n 1
C
CA
pobs
CA


 
 
 
 
 
 
(45)
Con los datos ingresados en el programa Matlab la matriz es de rango 2 lo que
la hace totalmente observable.
4.3.3. Cálculo de los polos del sistema
Se calculan los polos del sistema. Siendo A la matriz del sistema, entonces:
(46)

15. 16
4.3.4. Asignación de polos
Normalmente se escogen polos deseados para el observador de estados 10
veces mayores que la parte real de los polos de realimentación de estado:
ro 10*rs (47)
Se asignan las raíces:
   V ro 1 ro 2    (48)
4.3.5. Cálculo de la matriz Ke
Para aplicar la fórmula de Ackerman se separa la matriz de coeficientes de
salida:
 
 
1
2
C 0 1
C 1 0


(49)
4.3.6. Ecuación de estado de orden completo
Finalmente, se obtiene el observador de estados para dicho sistema como:
 x Ax Bu Ke y Cx

    (230)
4.3.7. Diagrama a bloques del observador de estados
En la Figura 6 se muestra el diagrama a bloques del observador de estados.

16. 17
Figura 6. Diagrama a bloques del observador
5. Resultados
5.1.Simulación en MatLab
Se asignaron los siguientes valores al sistema:
Vi = 120v
C = 100μF
R = 10Ω
fSw = 40mHz
D = 0.5s
5.2.Código
% OBSERVADOR EN LAZO ABIERTO PARA CONVERTIDOR BUCK
% Se limpia el espacio de trabajo
clear all
close all
clc
% Asignar valores a los elementos
L = 100e-6

17. 18
Cap = 100e-6
R = 10
Vi = 120
fsw = 40e3
D = 0.5
% Definir las matrices del sistema
A = [ 0 -1/L ; 1/Cap -1/(R*Cap) ]
B = [ D/L 0 ; 0 0 ]
C = [ 0 1 ; 1 0 ]
% Prueba de observabilidad
pobs= [ C' ; A'*C' ]
% Determinar el rango
rangoA = rank(A)
rangopobs = rank(pobs)
% Si el rangoA = rangopobs entonces el sistema es completamente observable
% Se calculan las raíces del sistema
rs = eig(A)
% Se calculan las raíces para el observador (10 veces más rápido que el
sistema)
ro = 10*rs
% Se asignan las raíces
V = [ ro(1) ro(2) ]
% Se separa la matriz de coeficientes de la salida
% en 2 vectores para aplicar la fórmula de Ackerman
C1 = [ 0 1 ]
C2 = [ 1 0 ]
% Calcular la matriz de ganancias Ke con la fórmula de Ackerman
Ke = [ -(acker(A',C2',V))' (acker(A',C1',V))' ]
5.3.Diagrama a bloques
En la Figura 7 se muestra el diagrama a bloques del convertidor Buck con
realimentación de estado observado para la simulación en MatLab.

18. 19
Figura 7. Observador en lazo abierto del convertidor Buck
5.4.Gráficas
6. Conclusiones
En este trabajo se muestra la importancia de diseñar y analizar un observador
de estados porque a través de ellos podemos obtener una estimación de los
estados no medibles basados en las entradas y salidas y diseñar un controlador
para cualquier aplicación.
Figura 8.Graficas obtenidas de la simulación en Matlab

19. 20
Referencias
▪ J. Beristain, Electrónica de potencia: modelado y control de convertidores
CD-CD,1ª Ed., México ,Pearson Educación de México S.A.de C.V., 2016.
▪ Lakshmi, S., & Raja, T. S. R. (2014). Design and implementation of an
observer controller for a buck converter. Turkish Journal of Electrical
Engineering and Computer Sciences, 22(3), 562–572.
https://doi.org/10.3906/elk-1208-41.
• C.Salazar, “Simulación de técnicas de control avanzado aplicadas a
casos de estudio”, Estudio, A. A. C. D. E. (2010). Escuela politécnica
nacional.
• Capítulo 5. Observador de estados:
https://www.tel.uva.es/descargar.htm;jsessionid...?id=21692