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1. La Ley de Hooke
El físico inglés en los años de 1968 y 1969 anunciaría esta ley como la ley de la proporcionalidad entre las
deformaciones elásticas de un cuerpo y los esfuerzos a los que está sometido.
Matemáticamente se expresa mediante la siguiente forma:
Dónde:
= Fuerza que ejerce el resorte
= Constante de proporcionalidad
= Posición a la que se estira el resorte.
En la mayoría de los casos, la fórmula la encontraremos con un signo negativo, el signo negativo indica cuando el resorte se
encuentra comprimido, y será positivo cuando el resorte esté estirado.
Sería interesante hablar más de este tema, sin embargo lo dejaremos para el tema del Módulo de Young.
Por ahora, veamos algunos ejercicios.
Ejemplos Resueltos de la Ley de Hooke
Problema 1.- Si a un resorte se le cuelga una masa de 200 gr y se deforma 15 cm, ¿cuál será el valor de su constante?
Solución:

2. Para poder resolver el problema, convirtamos las unidades dadas a unidades del Sistema Internacional,
quedando así:
El problema nos proporciona una masa, pero hace falta una fuerza para poder realizar los cálculos,
entonces multiplicamos la masa por la acción de la aceleración de la gravedad para obtener el peso, que
finalmente es una fuerza.
Ahora solo queda despejar ” k ” en la fórmula de la Ley de Hooke.
Sustituyendo nuestros datos en la fórmula, tenemos:
Resultado:
Veamos otro ejemplo:

3. Problema 2.- Una carga de 50 N unida a un resorte que cuelga verticalmente estira el resorte 5 cm. El resorte se coloca ahora
horizontalmente sobre una mesa y se estira 11 cm. a) ¿Qué fuerza se requiere para estirar el resorte esta cantidad?
Solución:
Primeramente se debe considerar que el problema nos implica dos etapas, en la primera debemos saber
de que constante elástica se trata, para así en la segunda etapa resolver la fuerza necesaria cuando el
resorte esté horizontalmente y finalmente poder graficar.
Necesitamos conocer el valor de ” k ” cuando nuestro sistema se encuentra de manera vertical, entonces
despejamos y sustituimos nuestros datos:
Ahora pasamos a encontrar el valor de nuestra fuerza, esto ocurrirá cuando nuestro resorte esté de
manera horizontal, entonces.
Resultado:

4. Esto quiere decir, que nuestro resorte necesita de 110 N, para poder estirarse 11 cm de su posición
normal.
Veamos el último ejemplo:
Problema 3.- Se cuelga de un muelle una bola de masa de 15 kg, cuya constante elástica vale 2100 N/m, determinar el
alargamiento del muelle en centímetros.
Solución:
Si tenemos la masa, podemos calcular el peso que finalmente viene siendo nuestra fuerza ejercida.
Ahora despejamos a ” x ” de la fórmula de la ley de hooke, quedando así:
Pero el problema, nos pide los valores en centímetros, por lo que realizamos nuestra conversión.
Resultado:
Por lo que el alargamiento del muelle es de 7 centímetros.

5. Solución Problema 1 de la Ley de Hooke
Vamos a resolver el ejercicio propuesto para reforzar los conocimientos adquiridos en el tema de La ley de
Hooke en el área de Elasticidad, con este ejemplo resuelto el alumno podrá corroborar su respuesta y
verificar si ha llegado al mismo resultado.
Nivel de Dificultad:
Problema 4. Cuando una masa de 500 gr cuelga de un resorte, este se alarga 3 cm ¿cuál es la constante
elástica?
Solución:
Lo primero que tenemos que ver en un problema de la Ley de Hooke, es siempre verificar si la masa
cuelga de algún lado o si el resorte permanece totalmente horizontal, ¿por qué?, porque cuando el resorte
está en posición vertical junto con la masa, entonces tenemos qué hacer uso del peso, e involucrar a la
fórmula del peso basada en la segunda ley de Newton
 Calcular la constante elástica
Datos:

6. a) Obteniendo la constante elástica
Como bien sabemos, al tener el resorte de forma vertical, la gravedad se ve involucrada en el cálculo de la
fuerza o peso. Entonces lo primero que haremos será convertir nuestras unidades en las unidades del SI
“Sistema Internacional”, de tal forma que:
Y hacemos lo mismo con la masa del bloque:
Bien, ahora vemos la fórmula de la ley de hooke
Como es la constante la que necesitamos, entonces la despejamos de la fórmula, quedando así:
Pero la fuerza es igual que el peso, esto es por la segunda ley de newton:

7. Sustituyendo nuestros datos en la fórmula:
Es decir que la constante elástica del resorte es de 163.33 Newtons
Resultado:
En este segundo ejercicio resuelto, nuevamente vamos a reforzar los conocimientos adquiridos en el tema
de La ley de Hooke en el área de Elasticidad, con este ejemplo resuelto, el alumno podrá corroborar su
respuesta y verificar si ha llegado al mismo resultado.
Nivel de Dificultad:
Problema 5. La constante elástica de un resorte resultó ser de 3000 N/m ¿Qué fuerza se requiere para
comprimir el resorte hasta una distancia de 5 cm?
Solución:
En este ejemplo de la ley de hooke vemos claro como la masa que está sujeta al resorte está en posición
horizontal, es decir que no tenemos porque involucrar a la gravedad para obtener la fuerza necesaria para
comprimir 5 centímetros, esto es algo totalmente relevante porque podemos diferenciar los dos tipos de

8. problemas, cuando el resorte está vertical y cuando está horizontal, entonces su solución es muy más
simple.
 Cálculo de la fuerza necesaria para comprimir cierta distancia
Datos:
a) Calculando la fuerza
Con el simple hecho de analizar la fórmula, sabemos que nuestros datos tenemos que ponerlos en la
fórmula y listo. Pero antes de poder realizar el cálculo, es necesario que las unidades de distancia estén en
el Sistema Internacional por lo cual, realizaremos la conversión:
Ahora si podemos sustituir en la fórmula de la ley de hooke
Es decir que la fuerza necesaria tiene que ser de 150 Newtons.

9. Módulo de Young: cálculo, aplicaciones,
ejemplos, ejercicios
Por
Fanny Zapata
El módulo de Young o módulo de elasticidad es la constante que relaciona el esfuerzo de
tracción o compresión con el respectivo aumento o disminución de longitud que tiene el objeto
sometido a estas fuerzas.
Las fuerzas externas aplicadas a los objetos no solamente pueden cambiar el estado de
movimiento de estos, sino que también son capaces de cambiar su forma o incluso romperlos o
fracturarlos.

10. Figura 1. Los movimientos del gato están llenos
de elasticidad y gracia. Fuente: Pixabay.
El módulo de Young sirve para estudiar los cambios producidos en un material cuando se le aplica
una fuerza de tracción o de compresión a nivel externo. Es muy útil en materias como la ingeniería
o la arquitectura.
El modelo debe su nombre al científico británico Thomas Young (1773-1829), que fue quien llevo a
cabo estudios de materiales proponiendo una medida de la rigidez de distintos materiales.
Índice del artículo [Mostrar]

11. ¿En qué consiste el modelo de Young?

12. El modelo de Young es una medida de rigidez. En los materiales con baja rigidez
(rojo) hay más deformación ante una carga de extensión o de comprensión. Tigraan / CC BY-SA
(https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

13. ¿Cuánto se puede deformar un objeto? Esto es algo que los ingenieros con frecuencia quieren
saber. La respuesta dependerá de las propiedades del material y de las dimensiones que tenga.
Por ejemplo, se pueden comparar dos barras hechas de aluminio con distintas dimensiones. Cada
una tiene diferente área de sección transversal y longitud, y ambas son sometidas a una misma
fuerza de tracción.
El comportamiento esperado será el siguiente:
– A mayor grosor (sección transversal) de la barra, menos estiramiento.
– A mayor longitud inicial, mayor estiramiento final.
Esto tiene sentido, porque al fin y al cabo, la experiencia señala que no es igual intentar deformar
una liga de goma que intentar hacerlo con una varilla de acero.
Un parámetro llamado módulo de elasticidad del material es un indicativo de su respuesta elástica.
¿Cómo se calcula?
Siendo médico, Young quería conocer el papel de la elasticidad de las arterias en el buen
desempeño de la circulación sanguínea. De sus experiencias concluyó la siguiente relación
empírica:
El esfuerzo es proporcional a la deformación, mientras no se supere el límite elástico del material.

14. Es posible representar gráficamente el comportamiento de un material ante la aplicación de un
esfuerzo, como se aprecia en la figura siguiente.
Figura 2. Gráfica del esfuerzo versus la
deformación para un material. Fuente: elaboración propia.
Del origen hasta el punto A
En el primer tramo, que va desde el origen hasta el punto A, la gráfica es una línea recta. Allí es
válida la Ley de Hooke:
F = kx

15. Donde F es la magnitud de la fuerza que retorna al material a su estado original, x es la
deformación experimentada por éste y k es una constante que depende del objeto sometido al
esfuerzo.
Las deformaciones consideradas aquí son pequeñas y el comportamiento es perfectamente
elástico.
Desde A hasta B
Desde A hasta B el material también se comporta de manera elástica, pero la relación entre
esfuerzo y deformación ya no es lineal.
Desde B hasta C
Entre los puntos B y C, el material experimenta una deformación permanente, siendo incapaz de
regresar a su estado original.
A partir de C
Si el material se sigue estirando a partir del punto C, finalmente sufre una ruptura.
Matemáticamente, las observaciones de Young pueden resumirse así:
Esfuerzo ∝ Deformación

16. Donde la constante de proporcionalidad es precisamente el módulo de elasticidad del material:
Esfuerzo = Módulo de elasticidad x Deformación
Existen muchas maneras de deformar los materiales. Los tres tipos de esfuerzo más comunes a
los cuales someter un objeto son:
– Tensión o estiramiento.
– Compresión.
– Corte o cizalla.
Un esfuerzo al que comúnmente están sometidos los materiales, por ejemplo en la construcción
civil o en las partes automotrices, es la tracción.
Fórmulas
Cuando un objeto de longitud L se estira o se tensa, está siendo sometido a una tracción que
ocasiona una variación en su longitud. Un esquema de esta situación se representa en la figura 3.
Ello requiere que se aplique una fuerza de magnitud F por unidad de área a sus extremos, para
causar el estiramiento, de tal manera que su nueva longitud pasa a ser L + DL.

17. El esfuerzo realizado para deformar al objeto será justamente esta fuerza por unidad de área,
mientras que la deformación unitaria experimentada es ΔL/L.
Figura 3. Un objeto sometido a una
tracción o estiramiento, experimenta un alargamiento. Fuente: elaboración propia.
Denotando al módulo de Young como Y, y de acuerdo a lo dicho anteriormente:
La respuesta está en el hecho de que la deformación unitaria indica la deformación relativa
respecto a la longitud original. No es igual que una barra de 1 m se estire o se encoja 1 cm, a que
una estructura de 100 metros de longitud se deforme igualmente 1 cm.
Para el buen funcionamiento de piezas y estructuras, hay una tolerancia en cuanto a las
deformaciones relativas permitidas.

18. Ecuación para calcular la deformación
Si la ecuación anterior se analiza de la siguiente forma:
– A mayor área de sección transversal, menor deformación.
– A mayor longitud, mayor deformación.
– A mayor módulo de Young, menor deformación.
Las unidades del esfuerzo corresponden a newton/metro cuadrado (N/m2
). Son también las
unidades de la presión, que en Sistema Internacional llevan el nombre de Pascal. La deformación
unitaria ΔL/L en cambio, es adimensional por ser el cociente entre dos longitudes.
Las unidades del sistema inglés son lb/plg2
y también se emplean con mucha frecuencia. El factor
de conversión para ir de una a otra es: 14.7 lb/plg2
= 1.01325 x 105
Pa
Esto lleva a que el módulo de Young tenga también unidades de presión. Finalmente, la ecuación
anterior puede expresarse para despejar Y:

19. En la ciencia de los materiales, la respuesta elástica de estos ante diversos esfuerzos es
importante para seleccionar los más adecuados en cada aplicación, ya sea fabricar el ala de un
avión o un rodamiento automotriz. Las características del material a emplear son decisivas en la
respuesta que se espera de él.
Para escoger el mejor material, es necesario conocer los esfuerzos a los que va a estar sometida
determinada pieza; y en consecuencia seleccionar el material que tenga las propiedades más
acordes con el diseño.
Por ejemplo, el ala de un avión debe ser resistente, liviana y capaz de flexionarse. Los materiales
empleados en la construcción de edificaciones han de resistir movimientos sísmicos en buena
medida, pero también deben poseer cierta flexibilidad.
Los ingenieros que diseñan las alas de los aviones y también quienes escogen los materiales de
construcción, deben hacer uso de gráficas de esfuerzo-deformación como la mostrada en la figura
2.
Es posible llevar a cabo las mediciones para determinar las propiedades elásticas más relevantes
de un material en laboratorios especializados. Así, existen pruebas estandarizadas a las que se
someten las muestras, a las que se aplican diversos esfuerzos, midiendo después las
deformaciones resultantes.

20. Ejemplos
Como ya se mencionó anteriormente, Y no depende del tamaño o la forma del objeto, sino de las
características del material.
Otro apunte muy importante: para que la ecuación dada anteriormente sea aplicable, el material
debe ser isótropo, es decir, sus propiedades deben permanecer invariables en toda su extensión.
No todos los materiales son isótropos: los hay cuya respuesta elástica depende de ciertos
parámetros direccionales.
La deformación analizada en los segmentos anteriores es apenas una de las muchas a las que se
puede someter un material. Por ejemplo, en cuanto al esfuerzo de compresión, es el opuesto al
esfuerzo de tensión.
Las ecuaciones dadas se aplican a ambos casos, y casi siempre los valores de Y son los mismos
(materiales isótropos).
Una excepción notable es el concreto o cemento, el cual resiste mejor la compresión que la
tracción. Por eso, debe reforzarse cuando se precisa resistencia al estiramiento. El acero es el
material indicado para ello, pues resiste muy bien los estiramientos o tracciones.
Como ejemplos de estructuras sometidas a esfuerzos están las columnas de las edificaciones y los
arcos, elementos clásicos de construcción en muchas civilizaciones antiguas y modernas.

21. Figura 4. El Pont Julien, una construcción romana del año 3 a.d.C.
en el sur de Francia.
Ejercicios resueltos
Ejercicio 1
Un alambre de acero de 2.0 m de largo en un instrumento musical tiene un radio de 0.03 mm.
Cuando el cable está bajo una tensión de 90 N: ¿cuánto cambia su longitud?Dato: el módulo de
Young del acero es 200 x 109
N/m2
Solución
Se requiere calcular el área de la sección transversal A = πR2
= π. (0.03 x 10-3
m)2
=2.83 x 10-9
m2

22. El esfuerzo es la tensión por unidad de área:
Como la cuerda se encuentra bajo tensión, esto significa que se alarga.
La nueva longitud es L = Lo + DL, donde Lo es la longitud inicial:
L=2.32 m
Ejercicio 2
Una columna de mármol, cuya área de sección transversal es de 2.0 m2
sostiene una masa de
25.000 kg. Encontrar:
a) El esfuerzo en la columna.
b) La deformación unitaria.

23. c) ¿En cuánto se acorta la columna si su altura es de 12 m?
Dato: el módulo de Young del mármol es 50 x 109
N/m2
Solución
a) El esfuerzo en la columna es debido al peso de los 25000 kg:
P = mg = 25000 kg x 9.8 m/s2
= 245.000 N
Por lo tanto el esfuerzo es:
b) La deformación unitaria es ΔL/L:
c) ΔL es la variación de la longitud, dada por:
ΔL = 2.45 x 10-6
x 12 m =2.94 x10-5
m = 0.0294 mm.

24. No se espera que la columna de mármol se encoja significativamente. Obsérvese que si bien el
módulo de Young es menor en el mármol que en el acero, y que además la columna soporta una
fuerza mucho mayor, su longitud casi no varía.
En cambio, en la cuerda del ejemplo anterior la variación bastante más apreciable, aunque el
acero tiene un módulo de Young mucho mayor.
En la columna interviene su gran área de sección transversal, y por eso es mucho menos
deformable.
Sobre Thomas Young

25. Retrato de 1822 de Thomas Young. Thomas Lawrence / Public
domain
El módulo de elasticidad recibe su nombre en honor a Thomas Young (1773-1829), versátil
científico británico que realizó grandes aportes a la ciencia en numerosas áreas.

26. Como físico, Young no solamente estudió la naturaleza ondulatoria de la luz, puesta de manifiesto
con el famoso experimento de la doble rendija, sino que también fue médico, lingüista y hasta
contribuyó a descifrar parte de los jeroglíficos egipcios de la famosa piedra Rosetta.
Fue miembro de la Royal Society, la Real Academia de las Ciencias de Suecia, la Academia
Estadounidense de las Artes y las Ciencias o de la Academia de Ciencias de Francia, entre otras
nobles instituciones científicas.
Sin embargo, es de reseñar que el concepto del modelo ya fue desarrollado previamente por
Leonhar Euler (1707-1873), y que científicos como Giordano Riccati (1709-1790) ya llevaron a
cabo algún experimento que hubiese puesto en práctica el modelo de Young.