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1. CUARTA UNIDAD
RESISTENCIA
DE
MATERIALES

2. Esfuerzo y
deformación debido
a
cargas externas
Esfuerzos Mecánicos
y
Térmicos
Ley de Hooke

3. ¿Qué es la Mecánica de
Materiales?
• Es la rama de la mecánica aplicada
que estudia el comportamiento de
los cuerpos sólidos sometidos a
diversas cargas.
• Es la disciplina que estudia las
fuerzas internas y las deformaciones
que se producen en el cuerpo
sometido a cargas externas.
• Trata del comportamiento de los
cuerpos sólidos bajo la acción de
fuerzas.

5. El 28 de abril de 1988, un Boeing 737-200 matriculado
como N73711 de Aloha Airlines, se disponía a cubrir la
ruta entre el Aeropuerto de Hilo y el Aeropuerto
Internacional de Honolulu. Las hipótesis más aceptadas
de la causa del accidente fue:
El 737 involucrado tenía un historial de vibraciones
inusuales que se generaban al despegar, mucho ruido
de motores, sumado a los constantes despegues y
aterrizajes, el fuselaje actuaba como una especie de
globo de metal que se expande y se contrae gracias a la
presurización y despresurización, probablemente eso fue
creando micro fracturas en los paneles superiores del la
sección delantera del 737, además se hallaron que había
signos de corrosión evidente.

7. Para conveniencia dividiremos los miembros transmisores
de fuerza, en tres clases:
• Elementos
• Componentes
• Sistemas
Miembros transmisores de fuerzas
• La palabra elemento se refiere, generalmente,
a un cuerpo pequeño de materia o una pequeña
sección a través de una componente.
• Una componente de un sistema estructural es
un miembro aislado de dimensiones finitas.
• Un sistema estructural consiste de un
conjunto de componentes, unidos
convenientemente por articulaciones o
acoplamientos.

8. “La función primordial de una componente o sistema
estructural es la transmisión de fuerzas o cargas.”
Clasificación de estados de carga
Para miembros esbeltos un estado general de cargas se
puede dividir en los siguientes estados simples:
• Axial (tensión o compresión)
• Transversal (cortante)
• Momento (Flexión)
• Torsión (Alabeo)

9. Tipos de Esfuerzos

11. Elasticidad Se refiere a la propiedad
mecánica de un cuerpo para
revertir su deformación o volver
a su forma original.
El salto BUNGEE utiliza
una larga cuerda elástica
que se estira hasta que
llega a una longitud
máxima que es
proporcional al peso del
saltador. La elasticidad de
la cuerda determina la
amplitud de las vibraciones
resultantes. Si se excede el
límite elástico de la cuerda,
ésta se romperá.
Ejemplo:

12. Propiedades elásticas de la materia
Un cuerpo elástico es aquel que regresa a su forma
original después de una deformación.
Banda de
goma

13. Propiedades elásticas de la materia
Un cuerpo inelástico es aquel que no regresa a su forma
original después de una deformación.
Masa o pan Barro

14. Robert Hooke fue el primero en establecer esta relación
por medio de la invención de un volante para resorte
para reloj. En términos generales, Hooke descubrió que
cuando una fuerza F, actúa sobre un resorte, produce en
él un alargamiento s que es directamente proporcional a
la magnitud de la fuerza aplicada. La Ley de Hooke se
representa como:
F = ks Donde:
F= Fuerza
k= Constante de proporcionalidad
s= Alargamiento

15. Considere el resorte de longitud 1 de la
figura siguiente.
Podemos estudiar su elasticidad
añadiendo pesas sucesivamente y
observando el incremento de su
longitud. Una pesa de 2 N alarga el
resorte 1 cm, una pesa de 4 N alarga
el resorte 2 cm y una pesa de 6 N
alarga el resorte 3 cm. Es evidente que
existe una relación directa entre el
estiramiento del resorte y la fuerza
aplicada.
(a) posición
de
equilibrio
1
cm
2 N
4 N
2
cm
3
cm
l
6 N
La constante de proporcionalidad k varía
mucho de acuerdo con el tipo de material y
recibe el nombre de constante del resorte.
Para el ejemplo , la constante del resorte es
de:
k = F/s
F = ks
=6N/3cm = 2 N/cm

16. La Ley de Hooke, establece:
Siempre que no se exceda el límite elástico, una deformación
elástica es directamente proporcional a la magnitud de la
fuerza aplicada por unidad de área (esfuerzo).
Si llamamos a la constante de proporcionalidad
el módulo de elasticidad, podemos escribir la Ley
de Hooke en su forma más general:
Módulo de elasticidad = esfuerzo
Deformación
Los esfuerzos y deformaciones son longitudinales
cuando se aplican a alambres, varillas, o barras.
El esfuerzo longitudinal está dado por:
Esfuerzo longitudinal = F/A (área de la sección
transversal)
La unidad del esfuerzo longitudinal en el
Sistema Internacional es el Newton/metro2, el
cual se redefine como Pascal: 1 Pa = 1 N/m2.

17. Relaciones fuerza - Desplazamiento
Considérese el miembro
cargado axialmente con una
fuerza P que actúa en
tensión.
Lo
P
Lf
P
d
o
f L
L 

d
0
0
0 L
L
L
L
f 


d

Donde:
L0= Longitud inicial
Lf= Longitud final
d= Incremento o cambio de longitud
ε= Deformación unitaria (adimensional)
Por lo tanto, la deformación se define
como el cambio
de forma de un cuerpo debido a la acción
de un esfuerzo.

19. Esta sencilla relación lineal entre fuerzas y deformaciones fue
enunciada por primera vez por el investigador Inglés Robert
Hooke en 1678.
Con experimentos realizados sometiendo ha cargas de tensión
ha miembros estructurales han hecho ver que entre ciertos
límites el alargamiento de la barra es proporcional a la fuerza
extensora.
La ley de Hooke se expresa por la siguiente relación:
AE
Pl

d
Donde:
P: Fuerza total de extensión
l: Longitud de la barra
A: Área de la sección transversal
d : Alargamiento total de la barra
E: Constante elástica del material,
llamada módulo de elasticidad

20. P
Sección transversal
AE
Pl

d
l
a
b
A=(a)(b)
m n
P
m n
σ
Para encontrar la magnitud de las fuerzas
interiores imaginemos la barra dividida en
dos partes por una sección recta mn y
consideremos el equilibrio de la barra. En el
extremo inferior de este trozo se tiene la
fuerza P. En la parte superior actúan
fuerzas que representan la acción de las
partículas de la parte superior de la barra
cargada sobre las partículas de la parte
inferior. Estas fuerzas están distribuidas de
modo continuo sobre la sección recta.
Donde:
P: Fuerza total de extensión
l: Longitud de la barra
A: Área de la sección transversal
d : Alargamiento total de la barra
E: Constante elástica del material,
llamada módulo de elasticidad

21. La suma de las fuerzas σ para cumplir las condiciones de
equilibrio deben ser igual a la fuerza P. Recuérdese que la
fuerza σ es una fuerza que actúa en un área.
A
P


A esta fuerza por unidad
de área se llama esfuerzo
Por lo tanto: el esfuerzo es la magnitud de la
reacción interna producida
En un sólido bajo la acción de una carga externa.
Donde:
σ: Esfuerzo
P: Fuerza total de extensión
A: Área de la sección transversal

22. AE
Pl

d
0
0
0 L
L
L
L
f 


d

A
P


Ley de Hooke
Deformación
unitaria




d
E
E
E
A
P
l





1
1
Ley de Hooke
Donde:
E: Módulo de elasticidad
σ: Esfuerzo
ε: Deformación unitaria
P: Fuerza total de extensión
A: Área de la sección
transversal





E
d : Alargamiento total de la barra

24. Ejercicio:
Si a un resorte se le cuelga una masa de 400 gr y se deforma 35 cm,
¿cuál será el valor de su constante?
m = 400 gr (1kg/1000gr) = 0.40 kg
s = 55 cm (1m/100cm) = 0.35 m
g = 9.8 m/s²
Para poder resolver el problema, convirtamos las unidades dadas a
unidades del Sistema Internacional, quedando así:
El problema nos proporciona una masa, pero hace falta
una fuerza para poder realizar los cálculos, entonces
multiplicamos la masa por la acción de la aceleración de
la gravedad para obtener el peso, que finalmente es una
fuerza.
F = w = m. g = (0.40kg) (9.8 m/s²) = 3.92 N
Ahora solo queda despejar ” k ” en la
fórmula de la Ley de Hooke.
k = F/s
k = 3.92N /0.35m = 11.2 Nm

25. Ejercicio:
Una carga de 150 N unida a un resorte que cuelga verticalmente estira
el resorte 15 cm. El resorte se coloca ahora horizontalmente sobre una
mesa y se estira 40 cm.
a) ¿Qué fuerza se requiere para estirar el resorte esta cantidad?
Solución:
Primeramente se debe considerar que el problema nos implica dos
etapas, en la primera debemos saber de que constante elástica se
trata, para así en la segunda etapa resolver la fuerza necesaria
cuando el resorte esté horizontalmente y finalmente poder graficar.
w = 150N
Xf= 0.15m

26. Necesitamos conocer el valor de ” k ” cuando nuestro sistema se
encuentra de manera vertical, entonces despejamos y sustituimos
nuestros datos:
k = F/x =
150N / 0.15m= 1000Nm
Ahora pasamos a encontrar el valor de nuestra fuerza, esto ocurrirá
cuando nuestro resorte esté de manera horizontal, entonces.
F = (k)(x) = (1000Nm) (0.40m) = 400 N
Esto quiere decir, que nuestro resorte necesita de
400 N, para poder estirarse 40 cm de su posición
normal.

27. Ejercicio:
Se cuelga de una grúa una bola de masa de 3500 kg, cuya constante
elástica vale 2100 N/m, determinar el alargamiento del muelle en
centímetros.
Ejercicio:
Cuando una masa de 950 gr cuelga de un resorte, este se alarga 7.5 cm ¿cuál es
la constante elástica?
m = 950 gr
x = 7.5 cm
Datos:
m = 950 gr
x = 7.5 cm
x = 7.5 cm (1m/100cm) = 0.075m
m = 950 gr (1kg/1000gr) = 0.95kg
F = kx
k = F/x La F es igual al peso (9.8m/s2)
k = F/x = mg/ x
k = mg/x
k = mg/x = (0.95kg)(9.8m/s2)/0.075m = 124.13 N/m
w = (m)(g)= 3500kg (9.8m/s2) = 34300N
F = kx x = F/k = 34300N/2100N/m = 16.33m
x =16.33m (100/1m) = 1633cm

28. Ejercicio:
La constante elástica de un resorte resultó ser de 1800 N/m ¿Qué
fuerza se requiere para comprimir el resorte hasta una distancia de
23 cm?
k = 1800 N/m
x = 23cm
Datos:
k = 1800 N/m
x = 23 cm
x = 23 cm (1m/100cm) = 0.23 m
F = kx = 1800 N/m (0.23 m)= 414N

29. La deformación de un objeto elástico es directamente
proporcional a la fuerza que se ha ejercido sobre el.
De acuerdo con la tercera Ley de Newton, la fuerza elástica con
que este objeto responde a la fuerza que lo deforma TIENE
SIEMPRE SENTIDO CONTRARIO A LA DEFORMACIÓN.
Fel = -k x Donde:
Fel= Fuerza elástica
k= Constante de proporcionalidad
x= Alargamiento

30. F
Δx
k
Ley de Hooke
F=(k)(x)
Energía Potencial Elástica
Por lo tanto la F es variable
y esta es el producto de
F= Ff + Fi
2
El trabajo sobre el objeto ELASTICO es
W = F (Δx)
W = ½ (Ff + Fi) (Δx)
W = ½ (kxf+ kxi) (xf-xi) Sacamos el factor común de k
W = ½ k (x²f + x²i) (x²f - x²i) Productos notables
obtenemos la diferencia de sus cuadrados
W = ½ k x²f - x²i
Ep ͤ f - Ep ͤ i
Por lo tanto:
Epᵉ = ½ (k) (x²)
ó
W= ½ (k) (x²)

31. Ejercicio
Se aplica una fuerza de magnitud 9.0 N a un resorte, logrando que se
estire a una longitud de 5.8 cm a partir de su longitud natural.
a) ¿Qué tanto se estira cuando la fuerza aplicada es de 4.5 N?
b) Encuentre el trabajo que realiza la fuerza aplicada para estirar al
resorte 5.8 cm a partir de su longitud natural.

32. Esfuerzos de Origen Térmico
Es bien conocido el hecho de que los
cambios de temperatura provocan en
los objetos dilataciones (alargamientos)
o contracciones, de manera que la
deformación lineal , viene dada por la
ecuación:
Donde:
α: es el coeficiente de dilatación lineal, que
se expresa en º C-1,
L: es la longitud
ΔT: es la variación de temperatura en º C.
Por la ecuación de dimensiones de la
fórmula anterior, se deduce que δT, se
expresa en las mismas unidades que la
longitud.
)
( T
L
T 

d
d : Alargamiento total de la barra

33. Los esfuerzos originados por estas fuerzas internas se llaman
esfuerzos térmicos o esfuerzos de origen térmico.
A continuación se indica el procedimiento general
para determinar las fuerzas y los esfuerzos
originados cuando se impide la deformación
térmica.
3. Las relaciones geométricas entre las
deformaciones debidas a la temperatura y las
debidas a las fuerzas aplicadas en el esquema
proporcionan unas ecuaciones, que junto con las
del equilibrio estático permiten determinar las
fuerzas desconocidas.
1.-Se considera a la estructura descargada de toda fuerza aplicada y sin
ligaduras que impidan la libre deformación térmica. Representar en un
esquema estas deformaciones, ahora ya posibles, exagerando sus
magnitudes.
2. Se aplica ahora a la estructura las fuerzas necesarias
(desconocidas) para que vuelva a las condiciones iniciales de
restricción de movimientos. Representar estas fuerzas en el
esquema anterior.

34. Ejercicio:
1. Una varilla de acero de 2.5 metros de longitud está firmemente sujeta
entre dos muros. Si el esfuerzo en la varilla es nulo a 20 º C,
determinar el esfuerzo que aparecerá al descender la temperatura a –
20º C. El área es de 1.2 cm2, α= 11.7 x 10ˉ⁶ º C-1, el esfuerzo E = 200 x
10⁹ N/m2.
Resolver el problemas en los dos casos siguientes:
a) muros completamente rígidos e indeformables
b) muros que ceden ligeramente, acortándose ligeramente su
distancia 0.5 mm al descender la temperatura de la barra.

35. Solución:
Caso a) Imaginemos que se suelta la varilla del muro derecho, en estas
condiciones puede producirse libremente la deformación térmica. El
descenso de la temperatura origina una contracción representada por
δT en la figura siguiente.
δT
P
δP
Para volver a unir la varilla al muro, se necesitará
aplicar a la varilla una fuerza de tensión P que
produzca una deformación por carga δ. Del
esquema de deformaciones se deduce en este caso
que δT = δ, o bien,
E
L
AE
PL
L
T

 

 )
(

36. De donde: σ = = (200 x 109 N/m2) (11.7 x 10-6)(40) = 93.6 x 106 N/m2.
Obsérvese que longitud L no interviene en La ecuación. Esto quiere
decir que el esfuerzo es independiente de la longitud y sólo depende de
las características físicas de la barra y de la variación de la
temperatura, y no de sus características geométricas.
Caso b) Si el muro derecho cede acercándose al otro, se observa que la
contracción térmica libre es igual a la suma de la deformación debida a
la carga y del acercamiento de los muros.
Es decir:
Sustituyendo los valores de las deformaciones resulta:
to
acercamien
P
T 
d
d
to
acercamien
E
L
T
L 



 )
(
o bien:
(11.7 x 10-6)(2.5)(40) = de donde: σ = 53.6 x 106 N/m2.
d : Alargamiento total de la barra

37. ¿Qué paso en el accidente de
la línea 12 del metro?