El documento presenta el problema de la "rana saltarina de Thales", donde una rana debe cruzar los lados de diferentes figuras geométricas (triángulo, cuadrado, pentágono, hexágono) exactamente una vez, empezando y terminando ya sea dentro o fuera de la figura. Se demuestra que la rana puede hacerlo en triángulos y pentágonos, pero no en cuadrados. Se concluye que para polígonos regulares e irregulares con un número impar de lados, la rana puede trazar un itinerario dentro

1. XXV Olimpiada Thales La rana saltarina de Thales

2. Solución Menú Thales tenía una rana saltarina y les planteó un juego a sus discípulos: Si la rana se encuentra en el interior de cada una de las figuras e intenta cruzar todos los lados de las mismas una y sólo una vez, terminando fuera de la figura , ¿en cuántas de esas figuras puede la rana trazar un itinerario de dentro a fuera? Thales le demuestra a los amigos que la rana puede hacerlo en el caso del triángulo. ¿Puedes encontrar una regla general para otras figuras? Justifica las respuestas . Utilizando las mismas figuras geométricas que el caso anterior, si la rana empieza y termina dentro de las figuras, ¿podría cruzar todos los lados una y solo una vez? ¿Se podría encontrar análogamente una regla general como en el caso anterior? Justifica las respuestas. LA RANA SALTARINA DE THALES

3. Solución Menú Enunciado ¡Vayamos por parte para resolver el problema de la rana saltarina! ¿Cómo le demostró Thales a sus amigos que la rana puede hacerlo en el caso del triángulo? Parte 1 Itinerario: Dentro - Fuera La rana empieza dentro y termina fuera pasando una sola vez por cada lado del triángulo

4. Solución Menú Enunciado Llamemos A al primer punto de cruce donde la rana pasa de Dentro ( D ) a Fuera ( F ) ¡Ahora la rana está Fuera ( F )! Parte 1 Itinerario: Dentro - Fuera Caso del triángulo A

5. Solución Menú Enunciado ¡De nuevo la rana está Dentro ( D )! Llamemos B al segundo punto de cruce donde la rana pasa de Fuera ( F ) a Dentro ( D ) B Parte 1 Itinerario: Dentro - Fuera Caso del triángulo

6. Solución Menú Enunciado Si llamamos C al tercer punto de cruce donde la rana pasa de nuevo de Dentro ( D ) a Fuera ( F ) ¡Y con el nuevo salto la rana de nuevo está fuera! C Parte 1 Itinerario: Dentro - Fuera Caso del triángulo

7. Solución Menú Enunciado Por lo tanto en el caso del triángulo la rana puede trazar un itinerario de dentro -a- fuera , pasando una y solo una vez por los tres lados Tenía razón Thales! A B C En definitiva en el triángulo tenemos el itinerario D _ F _ D _ F Parte 1 Itinerario: Dentro - Fuera Caso del triángulo

8. Solución Menú Enunciado ? Seguimos con el cuadrado: ¿Sucederá lo mismo que con el triángulo? ¿Se podrá trazar un itinerario de dentro a fuera pasando una sola vez por cada lado del cuadrado? Parte 1 Itinerario: Dentro - Fuera Caso del triángulo

9. Solución Menú Enunciado Veamos la secuencia del itinenario de dentro a fuera de forma análoga con el cuadrado: Llamemos A al primer punto de cruce donde la rana pasa de Dentro ( D ) a Fuera ( F ) A Parte 1 Itinerario: Dentro - Fuera Caso del cuadrado

10. Solución Menú Enunciado Llamemos B al segundo punto de cruce donde la rana pasa de Fuera ( F ) a Dentro ( D ) B Parte 1 Itinerario: Dentro - Fuera Caso del cuadrado

11. Solución Menú Enunciado Parte 1 Itinerario: Dentro - Fuera Llamemos C al tercer punto de cruce donde la rana pasa de Dentro ( D ) a Fuera ( F ) Caso del cuadrado C

12. Solución Menú Enunciado Parte 1 Itinerario: Dentro - Fuera Llamemos D al cuarto punto de cruce donde la rana pasa de Fuera ( F ) a Dentro ( D ) ¡Y con el nuevo salto la rana de nuevo está Dentro ( D ) ! Caso del cuadrado D

13. Solución Menú Enunciado Por lo tanto ,en el caso del cuadrado la rana no puede trazar un itinerario de dentro -a- fuera , pasando una y solo una vez por los cuatro lados En definitiva, en el cuadrado tenemos el itinerario D _ F _ D _ F _ D A B D C Parte 1 Itinerario: Dentro - Fuera Caso del cuadrado

14. Solución Menú Enunciado ? ¿Qué pasará con el pentágono? ¿Se podrá trazar un itinerario de dentro a fuera pasando una sola vez por cada lado del pentágono? Parte 1 Itinerario: Dentro - Fuera Caso del pentágono

15. Solución Menú Enunciado Siguiendo un razonamiento análogo veamos la secuencia del itinerario de dentro a fuera en el pentágono A D C B E Parte 1 Itinerario: Dentro - Fuera Caso del pentágono

16. Solución Menú Enunciado Por lo tanto, en el caso del Pentágono, la rana sí puede trazar un itinerario de dentro -a- fuera , pasando una y solo una vez por los cinco lados A D C B E Parte 1 Itinerario: Dentro - Fuera Caso del pentágono

17. Solución Menú Enunciado A D C B E En definitiva, en el pentágono tenemos el itinerario D _ F _ D _ F _ D _ F Parte 1 Itinerario: Dentro - Fuera Caso del pentágono

18. Solución Menú Enunciado ? Parte 1 Itinerario: Dentro - Fuera ¿Qué pasará con el hexágono? ¿Se podrá trazar un itinerario de dentro a fuera pasando una sola vez por cada lado del hexágono? Caso del hexágono

19. Solución Menú Enunciado A D C B E F Parte 1 Itinerario: Dentro - Fuera Siguiendo el mismo razonamiento en el hexágono, tenemos el itinerario D _ F _ D _ F _ D _ F _ D Caso del hexágono

20. Solución Menú Enunciado Tenemos la serie de resultados para las figuras: 1. El itinerario es: D - F - D - F 2. El itinenario es: D - F - D - F - D 3. El itinerario es: D - F - D - F - D - F 4. El itinerario es: D - F - D - F - D - F - D Parte 1 Itinerario: Dentro - Fuera

21. Solución Menú Enunciado ¡Con todo lo anterior, es muy fácil dar una respuesta a la pregunta: ¿Puedes encontrar una regla general para otras figuras? Parte 1 Itinerario: Dentro - Fuera Para un polígono regular con un número “n” impar de lados la rana puede seguir un itinerario de Dentro ( D ) a Fuera ( F ) pasando una sola vez por cada lado del polígono: D _ F _ D _ F _ D _ F _ D _..........._ F

22. Solución Menú Enunciado Se ha estudiado el itinerario de la rana cuando se trata de polígonos regulares. ¿Pasaría lo mismo con otras figuras como los polígonos irregulares? n=5 n=7 Parte 1 Itinerario: Dentro - Fuera n=4 n=6

23. Solución Menú Enunciado n=4 La secuencia en el itinerario empezando saliendo por A es D _ F _ D _ F _ D A La secuencia en el itinerario empezando saliendo por A es D _ F _ D _ F _ D _ F Parte 1 Itinerario: Dentro - Fuera * * * * n=5 A * * * * *

24. Solución Menú Enunciado n=6 La secuencia en el itinerario empezando saliendo por A es D _ F _ D _ F _ D _ F _ D A La secuencia en el itinerario empezando saliendo por A es D _ F _ D _ F _ D _ F _ D _ F * * * * * * n=7 A * * * * * * * Parte 1 Itinerario: Dentro - Fuera

25. Solución Menú Enunciado En resumen hemos llegado a un importante resultado como regla general: Parte 1 Itinerario: Dentro - Fuera Para un polígono regular o irregular con un número “n” impar de lados la rana puede seguir un itinerario de Dentro ( D ) a Fuera ( F ) pasando una sola vez por cada lado del polígono: D _ F _ D _ F _ D _ F _ D _..........._ F

26. Solución Menú Enunciado ¡Una vez estudiados los casos del itinerario dentro ( D )-fuera( F ) parece fácil responder al itinerario dentro( D )-dentro( D ) con las mismas figuras anteriores Parte 2 Itinerario: Dentro - Dentro La rana empieza dentro y termina dentro pasando una sola vez por cada lado del triángulo

27. Solución Menú Enunciado Solo tenemos que utilizar los resultados obtenidos; sabemos que la serie de resultados para las figuras: 1. El itinerario es: D - F - D - F 2. El itinenario es: D - F - D - F - D 3. El itinerario es: D - F - D - F - D - F 4. El itinerario es: D - F - D - F - D - F - D Parte 2 Itinerario: Dentro - Dentro

28. Solución Menú Enunciado CONCLUSIÓN : Problema resuelto! Es muy fácil dar una respuesta al itinerario dentro( D )-dentro( D ) Parte 1 Itinerario: Dentro - Dentro Para un polígono regular e irregular con un número “n” par de lados la rana puede seguir un itinerario de Dentro ( D ) a Dentro ( D ) pasando una sola vez por cada lado del polígono: D _ F _ D _ F _ D _ F _ D _ F _..........._ D