Problema de la XXIX Olimpiada Matemática Thales Provincial

1. Azulejos orienTHALESAzulejos orienTHALES

2. SoluciónSolución MenúMenú
Azulejos orienTHALES
Todos los zócalos de todas las calles de Todolandia están
alicatados con azulejos cuadrados de 30 cm de lado.
Sin embargo, todas las ciudades de las regiones orienTHALES se
han querido diferenciar de las demás y para ello han diseñado sus
propios azulejos, pero por falta de recursos han reciclado todos los que
poseían.
Todos los azulejos orienTHALES han sido construidos cortando a
los cuadrados dos esquinas opuestas (a 15 cm de distancia de los
vértices), a continuación han girado 90º el resto del azulejo y les han
pegado estos dos trozos cortados encima, en el centro (de la forma en
que se ve la figura) y por último han coloreado el resto del azulejo.
Calcula la superficie de uno de estos azulejos orienTHALES y el
área de la zona que tiene coloreada. Razona las respuestas.

3. Solución:
Vamos a comenzar calculando la superficie del azulejo original.
Área del azulejo = Área del cuadrado = l2
= 302
= 900 cm2
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El siguiente paso será hallar la superficie de los trozos cortados.

4. Solución:
Si observas la figura te daras cuenta que con las esquinas que
se cortan a cada azulejo original (que son triángulos rectángulos
isósceles cuyos catetos miden 15 cm) se puede formar un cuadrado
de 15 cm de lado.
Área trozos cortados = Área del cuadrado = l2
= 152
= 225 cm2
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Ya podemos calcular la superficie del azulejo.

5. Solución:
La superfice de cada uno de los azulejos orienTHALES se
calcularía quitándole al área del azulejo original el área de los
trozos cortados.
Área azulejos orienTHALES = 900 – 225 = 675 cm2
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Vayamos ahora a resolver la segunda parte del problema, ¿cuál
es el área de la zona coloreada?

6. Solución:
Es fácil apreciar que para calcular el área que se colorea en cada
uno de los azulejos solamente tenemos que restarle al área de los
azulejos orienTHALES la parte central sin colorear (que son los
trozos que anteriormente se habian cortado de las esquinas).
Área coloreada = 675 – 225 = 450 cm2
(Como puedes observar el área de la parte coloreada es exactamente
la mitad del área del azulejo original)
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Hagamos un resumen de todo lo conocido y veamos cuáles son
las respuestas a las preguntas del problema.

7. Solución:
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Los azulejos originales de Todolandía miden 900 cm2
.
Los dos trozos recortados de las esquinas miden en total 225 cm2
(112.5 cm2
cada uno).
Los azulejos orienTHALES miden 675 cm2
.
El área de la zona coloreada es de 450 cm2
.
YA TENEMOS LAS SOLUCIONES
… pero ¿habrá más formas de encontrarlas?
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