RAS

1. TEMA 9: LA SEGURIDAD EN LAS ESTRUCTURAS
ESTRUCTURAS I
VERIFICACIONES DE TENSIONES Y
DEFORMACIONES
ANTONIO DELGADO TRUJILLO
ENRIQUE DE JUSTO MOSCARDÓ
PURIFICACIÓN ALARCÓN RAMÍREZ
Departamento de Mecánica de Medios Continuos, Teoría de Estructuras e Ingeniería de
Terreno. E. T. S. de Arquitectura. Universidad de Sevilla.

2. ÍNDICE
[0] Objetivos de aprendizaje
[1] Seguridad estructural y exigencias estructurales
[2]Estados límite
[3] Valores característicos de acciones y resistencias
[4]Limitaciones de flechas
[5]Coeficientes de seguridad y valores de cálculo
[6]Hipótesis simples y combinaciones de acciones
[7]Comprobación y dimensionado de barras
[8]Problema resuelto
1

3. 0_OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
• Identificar las verificaciones de estados límite últimos (resistencia, equilibrio) y de estados
límite de servicio (deformación).
• Asignar coeficientes de seguridad a las acciones y a las resistencias.
• Asignar las acciones a hipótesis de carga y realizar combinaciones de hipótesis.
• Dimensionar y comprobar barras a partir de las tensiones y de las deformaciones.
2

4. 1_SEGURIDAD ESTRUCTURAL Y EXIGENCIAS ESTRUCTURALES
Según el art. 10 del Código Técnico de la Edificación (CTE), parte I:
“El objetivo del requisito básico "Seguridad estructural" consiste en asegurar que el edificio tiene un
comportamiento estructural adecuado frente a las acciones e influencias previsibles a las que pueda estar
sometido durante su construcción y uso previsto.”
Resumidamente, una estructura es segura si tiene un comportamiento adecuado. Pero, ¿qué es un
comportamiento adecuado?
La estructura se comporta adecuadamente si cumple estas exigencias:
• Resistencia.
• Estabilidad.
• Rigidez.
Por tanto, se puede establecer la siguiente definición de seguridad estructural:
Una estructura es segura si tiene un comportamiento adecuado ante las exigencias de resistencia,
estabilidad y rigidez.
3

5. 1_SEGURIDAD ESTRUCTURAL Y EXIGENCIAS ESTRUCTURALES
EXIGENCIAS BÁSICAS ESTRUCTURALES
• Resistencia
La estructura debe resistir las acciones a las que puede estar sometida a lo largo de su vida útil.
• Estabilidad (equilibrio)
La estructura debe permanecer en equilibrio estable, bajo las acciones a las que puede estar sometida a lo
largo de su vida útil.
• Rigidez
La estructura debe permanecer rígida bajo las acciones a las que puede estar sometida a lo largo de su vida
útil. En este contexto, una estructura es suficientemente rígida si las deformaciones que sufre son tan pequeñas
que no afectan al uso (servicio) del edificio.
4

6. 2_ESTADOS LÍMITE
DEFINICIÓN DE ESTADO LÍMITE
Según el art. 3.2 del CTE-DB-SE:
“Se denominan estados límite aquellas situaciones para las que, de ser superadas, puede considerarse que el
edificio no cumple alguna de los requisitos estructurales para las que ha sido concebido.”
Clasificación de estados límite (EL)
Estados límite últimos (ELU). Son los que, en caso de ser superados, constituyen un riesgo para las personas,
porque producen la rotura de algún elemento estructural, y con ello el colapso total o parcial de edificio.
Estados límite de servicio (ELS). Son los que, en caso de ser superados, disminuyen la capacidad de servicio
o utilidad del edificio, porque afectan al confort y al bienestar de los usuarios o de terceras personas, al
correcto funcionamiento del edificio o a la apariencia de la construcción.
5

7. 2_ESTADOS LÍMITE
CLASIFICACIÓN DE ESTADOS LÍMITE SEGÚN CTE:
ELU o ELS CLASE DE ESTADO LÍMITE
ESTADOS LÍMITE ÚLTIMOS
(ELU)
Equilibrio
Resistencia
ESTADOS LÍMITE DE SERVICIO
(ELS)
Deformaciones
Vibraciones
Durabilidad
Nota: los ELS de vibración y de durabilidad no los vamos a estudiar este curso.
6

8. 2_ESTADOS LÍMITE
TIPOS DE COMPROBACIÓN DE LOS ESTADOS LÍMITE QUE SE ESTUDIAN ESTE CURSO
Nota: Hay otras comprobaciones ELU (resistencia a la torsión, resistencia al pandeo, etc.) que no se analizan
este curso.
ELU o ELS CLASE DE ESTADO LÍMITE TIPO DE COMPROBACIÓN
ESTADOS LÍMITE ÚLTIMOS
(ELU)
Equilibrio
comprobación de equilibrio
de la estructura y sus partes
Resistencia a la rotura de
secciones
(agotamiento o plastificación)
Resistencia al esfuerzo axil (N)
(σN)
Resistencia al esfuerzo cortante (V)
( )
Resistencia al momento flector (M)
(σM)
Resistencia a esfuerzos combinados
(flexión compuesta, M y N)
(σN +σM)
ESTADOS LÍMITE DE SERVICIO
(ELS)
Deformaciones
flecha total
flecha activa
7

9. 2_ESTADOS LÍMITE
ESTADO LÍMITE ÚLTIMO (ELU) DE EQUILIBRIO
Se cumple si se cumplen estas dos condiciones:
• El número de coacciones es c ≥ 3 (estructura isostática o hiperestática)
• los movimientos permitidos por las coacciones no son compatibles
Estas estructuras son mecanismos. Bajo determinadas acciones, no es posible alcanzar el equilibrio:
no se cumple el ELU de equilibrio.
P A B
Mecanismo: C=2
P
RAX
RAY
A B RB
Mecanismo:
C = 3, pero las coacciones no impiden el
desplazamiento.
8

10. 2_ESTADOS LÍMITE
ESTADO LÍMITE ÚLTIMO (ELU) DE RESISTENCIA
Se cumple si las tensiones debidas al efecto de las acciones no superan la resistencia del material.
σd ≤ fd
siendo:
σd = valor de cálculo de la tensión producido por las acciones
fd = valor de cálculo de la resistencia correspondiente
Rotura en viga de madera
(incumplimiento del ELU de
resistencia)
9

11. 2_ESTADOS LÍMITE
Rotura en vigueta de
hormigón pretensado
(incumplimiento del ELU de
resistencia)
Rotura en arco de fábrica de
ladrillo (incumplimiento del
ELU de resistencia)
10

12. 2_ESTADOS LÍMITE
ESTADO LÍMITE DE SERVICIO (ELS) DE DEFORMACIÓN
Se cumple si las flechas de la barra no superan la flecha límite a partir de la que se producen deterioros o
anomalías, que afectan a la utilización del edificio.
fmax ≤ flim
siendo
fmax = valor de la máxima flecha producida por las acciones
flim = valor de la flecha límite que no debe superarse
Grietas en tabiques y cerramientos por flecha excesiva en vigas
(incumplimiento del ELS de deformación)
11

13. 3_VALORES CARACTERÍSTICOS DE ACCIONES Y RESISTENCIAS
Los valores característicos de acciones y resistencias son los valores que van a alcanzar estas magnitudes a lo
largo de la vida útil de la estructura.
Los valores característicos de acciones y resistencias están en las normativas.
Valores característicos de las acciones
Se recogen en el CTE-DB-SE-AE (Código Técnico de la Edificación, Documento Básico, Seguridad Estructural,
Acciones en la Edificación).
Valores característicos de las resistencias
Se recogen en los DB de cada material del CTE (acero, madera, fábrica), y en la norma EHE (hormigón).
12

14. 3_VALORES CARACTERÍSTICOS DE ACCIONES Y RESISTENCIAS
Resistencias características y módulos de elasticidad
de materiales estructurales frecuentes
Material
Resistencia
fk (N/mm
2
)
Resistencia
a la tensión
tangencial
fvk (N/mm2
)
Módulo de
elasticidad
E (N/mm2
)
Madera
C24 24 4 11.000
Hormigón
H25
25 7,5 27.000
Acero
S235
235 fk / 3 = 136 210.000
DESIGNACIÓN DE LOS MATERIALES
En la designación de los materiales, según normativas, el número es la resistencia característica o tensión
2
normal máxima que se puede alcanzar, en N/mm :
• Madera: el número es la resistencia característica a flexión.
• Hormigón: el número es la resistencia característica a compresión.
• Acero: el número es la resistencia característica a tracción y a compresión.
1
NOTA: EN ACERO, LA RESISTENCIA A LA TENSIÓN NORMAL SE DENOMINA fyk.
13
a la tensión
1
normal

15. 4_LIMITACIONES DE FLECHAS
Para cumplir el estado límite de servicio (ELS) de deformación hay que comprobar la flecha total y la
flecha activa. La limitación de flecha total se refiere a la apariencia de la obra, y la limitación de flecha
activa a la integridad de los elementos constructivos.
Verificación de flecha total
fmax-t ≤ flim-t
siendo:
fmax-t = valor de cálculo de la máxima flecha producida por todas las cargas
flim-t = valor de la flecha límite total
Verificación de flecha activa
fmax-a ≤ flim-a
siendo
fmax-a = valor de cálculo de la máxima flecha producida solamente por las cargas que se colocan sobre la
viga tras la construcción de los elementos constructivos que puede dañarse con la deformación
(pavimentos, cerramientos, particiones, carpinterías).
flim-a = valor de la flecha límite activa
14

16. 4_LIMITACIONES DE FLECHAS
LIMITACIONES DE FLECHA
Las limitaciones de flecha se fijan en el CTE, en relación a la luz L (distancia entre apoyos) de la barra:
Flecha total
flim-t = L/300
Flecha activa
flim-a = L/500 en pisos con tabiques frágiles (como los de gran formato, rasillones, o placas) o pavimentos
rígidos sin juntas
flim-a = L/400 en pisos con tabiques ordinarios o pavimentos rígidos con juntas
flim-a = L/300 en el resto de casos
Nota: en caso de voladizos, en la fórmula la flecha límite se debe introducir el doble de la luz (2L) en vez de L (ej: 2L/500).
15

17. 5_COEFICIENTES DE SEGURIDAD Y VALORES DE CÁLCULO
• Si calculamos a partir de los valores característicos, es posible que nos quedemos del lado de la inseguridad
(que se superen los estados límite), debido a las incertidumbres en los valores reales de las acciones y las
resistencias, de las dimensiones de la estructura, del modelo de cálculo que seguimos, etc.
• El coeficiente de seguridad es un factor, en general mayor que la unidad, que sirve para ponderar los
valores característicos, de modo que se alcance la seguridad buscada.
• El valor de cálculo es el que se obtiene al aplicar el coeficiente de seguridad al valor característico.
• Aplicando los coeficientes de seguridad a las acciones y las resistencias, là probabilidad global de fallo es
muy pequeña (del orden de 1/10 o 1/10 ).
16
5 6

18. 5_COEFICIENTES DE SEGURIDAD Y VALORES DE CÁLCULO
COEFICIENTES DE SEGURIDAD Y VALORES DE CÁLCULO
Para las acciones:
Fd = Fk · g
siendo
Fd valor de cálculo de la acción
Fk valor característico de la acción
coeficiente parcial de seguridad, o coeficiente de mayoración de acciones
g
Para las resistencias:
fd = fk / gM
siendo
fd valor de cálculo de la resistencia
fk valor característico de la resistencia
M coeficiente parcial de seguridad, o coeficiente de minoración de resistencias
g
17

19. 5_COEFICIENTES DE SEGURIDAD Y VALORES DE CÁLCULO
Valores habituales de los coeficientes de seguridad de acciones
• Para los estados límite últimos, el coeficiente de seguridad de las acciones variables (1,50) es mayor que el de
las acciones permanentes (1,35) debido a que hay más incertidumbre sobre los valores de las acciones
variables.
• Para los estados límite de servicio las cargas no se mayoran (el coeficiente de seguridad de las acciones es 1,0
para los estados límite de servicio). La razón está en que es más grave superar un estado límite último que un
estado límite de servicio.
Tipo de estado límite Tipo de acción
Coeficiente
de seguridad
g
estados límite últimos
permanente 1,35
variable 1,50
estados límite de servicio
permanente 1,00
variable 1,00
18

20. 5_COEFICIENTES DE SEGURIDAD Y VALORES DE CÁLCULO
Valores habituales de los coeficientes de seguridad de resistencias
• Los coeficientes de seguridad de resistencias se definen en la normativa de cada material.
• Los coeficientes son menores cuanto más uniforme y fiable es el material (por eso los mínimos son los del
acero).
• En el caso de la fábrica de ladrillo (CTE-F) los coeficientes están entre 1,70 y 3,00, según el control de la
fabricación del ladrillo y el control de la ejecución de la obra.
Material
Coeficiente
de seguridad
gM
acero 1,05
acero para armar
(en hormigón armado)
1,15
hormigón 1,50
madera 1,80
fábrica de ladrillo 2,20
19

21. 6_HIPÓTESIS SIMPLES Y COMBINACIONES DE ACCIONES
Hipótesis simple es el conjunto de acciones del mismo tipo, que agrupamos a efectos del cálculo.
Las hipótesis simples que contemplamos habitualmente son las siguientes:
Acciones permanentes:
• Carga permanente.
Acciones variables:
• Sobrecarga de uso. Si hay varios usos distintos, cada uso debe considerarse en una hipótesis
simple distinta.
• Nieve.
• Viento. Si el cálculo es en 2D (un pórtico plano o similar), hay dos hipótesis simples: +x, -x. Si el
cálculo es en 3D (la estructura completa), hay cuatro hipótesis simples: +x, -x +y, -y.
Además, podemos considerar la acción variable de la temperatura, y las acciones accidentales de sismo,
incendio e impacto, todo ello según lo que prescriben las normativas correspondientes.
20

22. 6_HIPÓTESIS SIMPLES Y COMBINACIONES DE ACCIONES
EJEMPLOS DE HIPÓTESIS SIMPLES EN UNA VIGA
30 kN/m
12 kN/m 8 kN/m
Hipótesis simple 1
Cargas permanentes
Hipótesis simple 2
Sobrecarga de uso
Hipótesis simple 3
Nieve
21

23. 6_HIPÓTESIS SIMPLES Y COMBINACIONES DE ACCIONES
EJEMPLOS DE HIPÓTESIS SIMPLES EN UN PÓRTICO PLANO
30
kN/m
30
kN/m
12
kN/m
12
kN/m
8
kN/m
30 kN
30 kN
10 kN
10 kN
30 kN
30 kN
10 kN
10 kN
Hipótesis simple 1
Cargas permanentes
Hipótesis simple 2
Sobrecarga de uso
Hipótesis simple 3
Nieve
Hipótesis simple 4
Viento +X
Hipótesis simple 5
Viento -X
22

24. 6_HIPÓTESIS SIMPLES Y COMBINACIONES DE ACCIONES
23
COMBINACIÓN DE HIPÓTESIS
Combinación de hipótesis es la suma de varias hipótesis simples, aplicando los coeficientes de seguridad
que correspondan a las acciones de cada hipótesis simple.
q
Hipótesis simple 1
Cargas permanentes
Hipótesis simple 2
Sobrecarga de uso
Combinación de
hipótesis
G qU
q x1.35
G
q x1,50
U

25. 6_HIPÓTESIS SIMPLES Y COMBINACIONES DE ACCIONES
24
COMBINACIÓN DE HIPÓTESIS
• Cada comprobación de ELU y ELS hay que hacerla con la combinación que sea más desfavorable para el
elemento y sección que estemos comprobando. Sucede habitualmente que las combinación más
desfavorable para un elemento no es la más desfavorable para otro.
• ¿Cómo sabemos qué combinación es la más desfavorable para un elemento? Debemos analizar todas
las combinaciones posibles, hasta obtener la que es más desfavorable. Actualmente esto lo hacen las
aplicaciones informáticas, lo que nos ahorra mucho tiempo y trabajo.
• Ejemplo de combinación de hipótesis de carga:
Peso propio + sobrecarga de uso (mayoradas) ® 1.35·G + 1.5 ·Q

26. 7_COMPROBACIÓN Y DIMENSIONADO DE BARRAS
25
Predimensionado: consiste en elegir una sección o perfil inicial para una barra, para posteriormente realizar
las comprobaciones.
1
El más habitual es el predimensionado geométrico que se realiza utilizando, como único dato, la luz
(longitud entre apoyos) de la barra.
El predimensionado inicial es necesario porque, para realizar las comprobaciones, la barra debe tener
asignado algún perfil. No obstante, los perfiles obtenidos por predimensionado geométrico son solo una
aproximación.
El perfil definitivo de la barra depende de muchas variables que no se tienen en cuenta en el
predimensionado (carga, uniones, ...) y por tanto su valor puede sufrir variaciones importantes respecto a
la estimación inicial.
Comprobación: consiste en verificar que se cumplen los estados límite (ELU y ELS) en una barra de la que se
conoce la sección o perfil.
Dimensionado: consiste en verificar todos los estados límite que sean de aplicación a una barra, modificando
la sección o perfil si es necesario. Si no se conoce la sección o perfil, el dimensionado debe incluir un
predimensionado.
1
Nota: también existe el predimensionado mecánico, que se realiza a partir de los esfuerzos, tensiones o flecha de la barra; si no los conocemos,
tenemos que hacer una estimación previa.

27. 7_COMPROBACIÓN Y DIMENSIONADO DE BARRAS
26
PASOS A REALIZAR EN LA COMPROBACIÓN DE BARRAS
a) Identificar los estados límite que es necesario verificar.
b) Determinar las hipótesis simples a utilizar y las cargas de cada hipótesis.
c) Determinar los coeficientes de mayoración de acciones ( ) y las combinaciones de hipótesis a emplear.
g
d) A partir de las combinaciones, obtener los valores de cálculo de los esfuerzos, las tensiones ( ) y las
σ ,
d d
deformaciones ( ) necesarios para las verificaciones.
fmax-t, fmax-a
e) Determinar los coeficientes de minoración de resistencias ( ) y obtener los valores de cálculo de las
gM
resistencias ( ), y las limitaciones de flechas ( ).
f , f flim-t, flim-a
d vd
f) Verificar los estados límite últimos (ELU) y de servicio (ELS):
• ELU de tensión normal σ ≤ f
d d
• ELU de tensión tangencial ≤ f
d vd
• ELS de flecha total fmax-t ≤ flim-t
• ELS de flecha activa fmax-a ≤ flim-a

28. 7_COMPROBACIÓN Y DIMENSIONADO DE BARRAS
27
PASOS A REALIZAR EN EL DIMENSIONADO DE BARRAS
Son los mismos pasos que en la comprobación de barras, y además:
• Previamente a la comprobación:
Predimensionado, si todavía no tenemos sección o perfil que comprobar.
• Posteriormente a la comprobación:
Cambio a una sección mayor (si la sección comprobada no cumple) o a una sección menor (si la
sección comprobada cumple con mucha holgura), y nueva comprobación, en un proceso iterativo,
hasta obtener una sección que cumple con poca holgura (sección bien aprovechada).
Es decir:
Predimensionado comprobación ajustar perfiles (si no cumplen) nueva comprobación
® ® ® ®
obtención de perfiles definitivos

29. 7_COMPROBACIÓN Y DIMENSIONADO DE BARRAS
28
PREDIMENSIONADO GEOMÉTRICO DE BARRAS
Vigas principales h = L/15 a L/20
Vigas de 2º orden h = L/20 a L/25
Viguetas de forjados h = L/25 a L/30
siendo
h = canto de la sección
L = luz de la barra (distancia entre apoyos)
Si la sección es de acero, para el tipo de perfil elegido buscamos en la tabla correspondiente un perfil con canto
h igual o mayor al predimensionado. En las tablas se recogen todas las características geométricas de cada
perfil.
Si la sección es una sección rectangular de madera, buscamos en un catálogo del fabricante elegido una
sección con h igual o mayor al predimensionado. Si la sección la van a fabricar para nuestra obra, una vez
establecido h estimamos b (ancho de la sección) de modo que b = h/3 a 2h/3.
Nota: el predimensionado geométrico está pensado para barras a flexión (vigas), por tanto no es válido para barras a
compresión (pilares). En el caso de barras a compresión, podría realizarse un predimensionado mecánico, si se conoce el valor
del esfuerzo axil de la barra.

30. 8_PROBLEMA RESUELTO
30
ENUNCIADO
Comprobar la viga de la figura.
La viga está biapoyada, tiene 6 m de longitud, y es un perfil IPE360 de acero S275. Está sometida a una carga
permanente de 24 kN/m y a una sobrecarga de uso de 10 kN/m.
qQ=10 kN/m
qG=24 kN/m
6m
IPE360
S275
y
x

31. 8_PROBLEMA RESUELTO
SOLUCIÓN
Verificaciones de estados límite a realizar
• ELU de tensión normal σ ≤ f
d d
• ELU de tensión tangencial ≤ f
d vd
• ELS de flecha total f ≤ f
max-t lim-t
• ELS de flecha activa f ≤ f
max-a lim-a
Ç
Procedimiento:
Calcular carga dibujar diagramas de esfuerzos calcular reacciones calcular esfuerzos máximos
® ® ® ®
realizar comprobaciones de tensiones (ELU) calcular flecha máxima realizar comprobación de
® ®
flecha (ELS).
31

32. 8_PROBLEMA RESUELTO
32
CALCULAR CARGA EN HIPÓTESIS SIMPLES Y COMBINACIONES DE HIPÓTESIS
a) Hipótesis simples
Hipótesis simple 1. Carga permanente q = 24 kN/m
G
•
Hipótesis simple 2. Sobrecarga de uso q = 10 kN/m
Q
•
b )Combinaciones de hipótesis para las comprobaciones ELU
Para las combinaciones de hipótesis de los estados límite últimos (ELU) hay que emplear los coeficientes
•
de seguridad:
• Para la carga permanente γ = 1,35
G
• Para la sobrecarga de uso γ = 1,50
Q
• En este caso la combinación más desfavorable es cuando actúan las dos hipótesis simples a la vez:
• Combinación de hipótesis: q = γ · q + γ · q = 1,35·24 + 1,50·10 = 47,4 kN/m
G G Q Q
c) Combinaciones de hipótesis para las comprobaciones ELS
•Para las combinaciones de hipótesis de los estados límite de servicio (ELS) no se emplean los coeficientes
de seguridad (equivalente a que los coeficientes de seguridad valgan 1):
•Combinación de hipótesis: q = q + q = 24 + 10 = 34 kN/m
G Q

33. 47.4 kN/m
6 m
V =142,2 kN
B
M =213.3 kN·m
A
2
flecha máxima
f
DIBUJAR DIAGRAMAS DE ESFUERZOS
En una viga biapoyada con carga uniforme, el cortante es lineal
(decreciente) y el flector es una parábola de 2º grado.
• El cortante en los extremos = reacción vertical.
• El flector tiene un máximo en el centro, donde el cortante es = 0.
CÁLCULO DE LOS VALORES MÁXIMOS DE LOS ESFUERZOS
a) Cálculo de reacciones
Para calcular las reacciones aplicamos las ecuaciones de equilibrio.
• Por simetría, las dos reacciones son iguales: Ra = Rb = R.
• Equilibrio F. Vert.: q·L=2·R ® R=q·L/2=47.4·6/2=142.2 kN
b ) Cálculo del cortante máximo en la viga
En los extremos, el cortante es igual a la reacción vertical:
• V = V = 142.2 kN
B C
c ) Cálculo de flector máximo en la viga
El flector máximo se produce en este caso en el centro de la viga. Su
cálculo se explica en la página siguiente.
• M = 213.3 kN·M
A
V =142,2 kN
C
B C
FLECTOR
CORTANTE
DEFORMADA
8_PROBLEMA RESUELTO
33
RA
RB

34. CÁLCULO DEL FLECTOR EN A:
PARA CALCULAR EL FLECTOR EN A, CALCULO MOMENTOS RESPECTO AL CENTRO DE GRAVEDAD DE LA SECCIÓN.
142.2 kN 142.2 kN
A
47.4kN/m
6 m
Resultante de la carga
continua a la izquierda de A
Resultante de la carga
continua a la derecha de A
EL FLECTOR EN LA REBANADA A POR LA IZQUIERDA ES IGUAL AL MOMENTO RESULTANTE DE LAS FUERZAS VERTICALES A
LAIZQUIERDADEARESPECTOALCDGDELASECCIÓN → M = (142.2x3)-(142.2x1.5)=213.3 kN·m
A
EL FLECTOR EN LA REBANADA A POR AL DERECHA ES IGUAL AL MOMENTO RESULTANTE DE LAS FUERZAS VERTICALES
A LA DERECHA DE A RESPECTO AL CDG DE LA SECCIÓN → M = (142.2 x 3) - (142.2 x 1.5) = 213.3 kN·m
A
142.2 kN 142.2 kN
47.4 · 3 = 142.2 kN 142.2 kN
1.5 m 1.5 m
MA
3 m 3 m
213.3
213.3
213.3
kN·m
213.3
kN·m
A
47.4kN/m
8_PROBLEMA RESUELTO
34

35. 8_PROBLEMA RESUELTO
35
VERIFICACIÓN DE LA TENSIÓN NORMAL
Se debe cumplir:
σ ≤ f
d d
a) Tensión normal de cálculo
• La tensión normal la produce el momento flector.
• Momento flector de cálculo (momento flector máximo mayorado):
6
M = 213,3 kN·m = 213,3·10 N·mm
d
(Pasamos las unidades a N y mm porque son las unidades habituales en las verificaciones de tensiones
y de flechas).
• Tensión normal máxima debida al momento flector:
σ = M / W
• El módulo resistente de un IPE360 se toma de un catálogo de perfiles IPE. Es el módulo resistente
respecto al eje y (en el catálogo es W ):
el·y
3 3
W = 903,6·10 mm
• Por tanto la tensión normal de cálculo, para la comprobación, es:
6 3 3 2
σ = M / W = 213,3·10 N·mm / 903,6·10 mm = 236,1 N/mm
d d
SECCIÓN MF
EJE NEUTRO
ESFUERZO DEFORMACIÓN TENSIONES
σ
EJE Y

36. 8_PROBLEMA RESUELTO
36
b) Resistencia de cálculo a tensión normal
f = f / γ
d k M
• La resistencia característica del acero, f , es el límite elástico.
k
2
Acero S275 → f = 275 N/mm
k
• Coeficiente de seguridad del acero:
γ = 1,05
M
• Resistencia de cálculo (tensión normal resistente, minorada):
2
f = f / γ = 275/1,05 = 261,9 N/mm
d k M
c) Verificación de la tensión normal
Se debe cumplir: σ ≤ f
d d
2 2
236,1 N/mm < 261,9 N/mm → es válido

37. 8_PROBLEMA RESUELTO
37
VERIFICACIÓN DE LA TENSIÓN TANGENCIAL
Se debe cumplir:
≤ f
d vd
a) Tensión tangencial de cálculo
La tensión tangencial la produce el esfuerzo cortante.
• Esfuerzo cortante de cálculo (esfuerzo cortante máximo mayorado):
3
V = 142,2 kN = 142,2·10 N
d
• Tensión tangencial (en secciones doble T hacemos la simplificación de que la tensión se distribuye en el área
del alma de modo uniforme):
= V / Aa
• El área del alma de un IPE360 se toma de un catálogo de perfiles IPE (se denomina A , que es área de cortante
vz
para eje z):
2 2
A = 35,14·10 mm
a
• Por tanto la tensión tangencial de cálculo, para la comprobación, es:
3 2 2 2
= V / A = 142,2·10 N / 35,14·10 mm = 40,5 N/mm
d d a
ESFUERZO DEFORMACIÓN TENSIONES
V
SECCIÓN
EJE Y

38. 8_PROBLEMA RESUELTO
38
b) Resistencia de cálculo (a tensión tangencial)
f = f /
vd vk M
g
• La resistencia tangencial característica del acero, f , es:
vk
2 2
f = f / √3 = 275 N/mm / √3 = 158,8 N/mm
vk k
• Coeficiente de seguridad del acero:
γ = 1,05
M
• Resistencia de cálculo (tensión tangencial resistente, minorada):
2
f = f / = 158,8/1,05 = 151,2 N/mm
vd vk M
g
c) Verificación de la tensión tangencial
Se debe cumplir: ≤ f
d vd
2 2
40,5 N/mm < 151,2 N/mm → es válido

39. VERIFICACIÓN DE LA FLECHA TOTAL
Se debe cumplir:
f ≤ f
max-t lim-t
a) Flecha máxima total
La flecha máxima se debe calcular a partir de las fórmulas del prontuario (al final del tema 8)
4
f = 5·q·L / 384·E·I (para el caso de viga biapoyada con carga uniforme)
max-t
Siendo
q es la carga total. Sin mayorar, pues es un estado límite de servicio.
2
E = 210.000 N/mm
I es la inercia respecto a eje y del IPE360. Lo consultamos en un catálogo:
4 4
I = 16.270·10 mm
y
4 4 2 4 4
f = 5 · 34 N/mm · 6.000 mm / 384 · 210.000 N/mm · 16.270·10 mm = 16,8 mm
max-t
b) Flecha límite total
f = L / 300 = 6.000 mm / 300 = 20 mm
lim-t
c) Verificación de la flecha total
Se debe cumplir: f ≤ f
max-t lim-t
16,8 mm < 20 mm → es válido
8_PROBLEMA RESUELTO
39
f=5.q.L /384.E.I
4
f

40. VERIFICACIÓN DE LA FLECHA ACTIVA
Se debe cumplir:
f ≤ f
max-a lim-a
a) Flecha máxima activa
• Se calcula con la misma expresión que f, pero q es la carga que se coloca después de la construcción de
los elementos constructivos que se pueden dañar con la deformación. En este caso q es la sobrecarga
de uso, que actuará después que la carga permanente.
4 4 2 4 4
f = 5 · 10 N/mm · 6.000 mm / 384 · 210.000 N/mm · 16.270·10 mm = 4,9 mm
max-a
b) Flecha límite activa
• Desconocemos el tipo de tabiques. Vamos a suponer lo más desfavorable: que son frágiles. Entonces:
f = L / 500 = 6.000 mm / 500 = 12 mm
lim-a
c) Verificación de la flecha activa
Se debe cumplir: f ≤ f
max-a lim-a
4,9 mm < 12 mm → es válido
8_PROBLEMA RESUELTO
40
f=5.q.L /384.E.I
4
f

41. COMENTARIOS FINALES: ÍNDICES DE APROVECHAMIENTO.
• En las comprobaciones es frecuente emplear índices de aprovechamiento. Son la relación entre el efecto actuante y el
límite.
• Tensión normal:
2 2
→ = 236,1 N/mm / 261,9 N/mm = 0,90 < 1 →
σ ≤ f i = σ / f < 1 es válido
d d σ d d → iσ
• Tensión tangencial:
2 2
→ → i = 40,5 N/mm / 151,2 N/mm = 0,27 < 1 →
≤ f i = / f < 1 es válido
d vd d vd
• Flecha total:
→ → i = 16,8 mm / 20 mm = 0,84 < 1 →
f-t
f ≤ f i = f / f < 1 es válido
max-t lim-t f-t max-t lim-t
• Flecha activa:
→ → i = 4,9 mm / 12 mm = 0,41 < 1 →
f-a
f ≤ f i = f / f < 1 es válido
max-a lim-a f-a max-a lim-a
• Los índices de aprovechamiento sirven para localizar fácilmente cuál es la comprobación más desfavorable. En esta
viga ha sido la tensión normal, y después la flecha total. Esto es frecuente en vigas. La tensión tangencial, en cambio,
casi nunca es lo más desfavorable.
• Estos índices también sirven para detectar si la sección está muy aprovechada o no. Si el índice más desfavorable es
superior a 0,8 o 0,9 hay buen aprovechamiento. Por tanto la viga de este caso está bien aprovechada.
8_PROBLEMA RESUELTO
41