La Declaración Universal de los Derechos Humanos establece los derechos y libertades fundamentales de todas las personas. Fue aprobada por la Asamblea General de las Naciones Unidas en 1948 e incluye 30 artículos que describen derechos civiles, políticos, económicos, sociales y culturales como el derecho a la vida, la libertad, la igualdad, la seguridad, la propiedad, la educación y la no discriminación. La Declaración busca promover la dignidad y el valor de todos los seres humanos.

2. DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó
la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:
Artículo 1.-
Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...)
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros.
Artículo 2.-
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica,
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de
cuya jurisdicción dependa una persona (...).
Artículo 3.-
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su
persona.
Artículo 4.-
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de
esclavos están prohibidas en todas sus formas.
Artículo 5.-
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o
degradantes.
Artículo 6.-
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su
personalidad jurídica.
Artículo 7.-
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación
que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8.-
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos
fundamentales (...).
Artículo 9.-
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado.
Artículo 10.-
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier
acusación contra ella en materia penal.
Artículo 11.-
1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia
mientras no se pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional.
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de
la comisión del delito.
Artículo 12.-
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques.
Artículo 13.-
1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia
en el territorio de un Estado.
2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y
a regresar a su país.
Artículo 14.-
1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a
disfrutar de él, en cualquier país.
2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y
principios de las Naciones Unidas.
Artículo 15.-
1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a
cambiar de nacionalidad.
Artículo 16.-
1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y
fundar una familia (...).
2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá
contraerse el matrimonio.
3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho
a la protección de la sociedad y del Estado.
Artículo 17.-
1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad.
Artículo 18.-
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de
religión (...).
Artículo 19.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...).
Artículo 20.-
1. Toda persona tiene derecho a la libertad de reunión y de asociación pacíficas.
2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Artículo 21.-
1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país,
directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las
funciones públicas de su país.
3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta
voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de
celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto
u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Artículo 22.-
Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida
cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los
derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al
libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23.-
1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a
condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el
desempleo.
2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por
trabajo igual.
3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y
satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme
a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por
cualesquiera otros medios de protección social.
4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa
de sus intereses.
Artículo 24.-
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una
limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas
pagadas.
Artículo 25.-
1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así
como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el
vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios;
tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad,
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de
subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales.
Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho
a igual protección social.
Artículo 26.-
1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita,
al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La
instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional
habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual
para todos, en función de los méritos respectivos.
2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana
y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades
fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre
todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el
desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento
de la paz.
3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que
habrá de darse a sus hijos.
Artículo 27.-
1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de
la comunidad, a gozar de las artes y a participar en el progreso científico y
en los beneficios que de él resulten.
2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y
materiales que le correspondan por razón de las producciones científicas,
literarias o artísticas de que sea autora.
Artículo 28.-
Toda persona tiene derecho a que se establezca un orden social e internacional
en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan
plenamente efectivos.
Artículo 29.-
1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona
estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único
fin de asegurar el reconocimiento y el respeto de los derechos y libertades
de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden
público y del bienestar general en una sociedad democrática.
3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en
oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 30.-
Nada en esta Declaración podrá interpretarse en el sentido de que confiere
derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y
desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los
derechos y libertades proclamados en esta Declaración.

3. 2
secundaria
Nombres: _________________________________________________
_________________________________________________________
Apellidos: _________________________________________________
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DNI: ____________________________________________________
Domicilio: _________________________________________________
__________________________________________________________
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álgebra
Matemática

4. Impreso en el PerÚ / Printed in Peru
La Editorial se hace responsable por el rigor
académico del contenido del texto de acuerdo con
los principios de la Ley General de Educación.
Título de la obra
® Matemática delta 2, secundaria
álgebra
© Derechos de autor reservados y registrados
Mauro Enrique Matto muzante
© Derechos de edición, arte y diagramación
reservados y registrados conforme a ley
delta editores s.a.c.
edición, 2020
Coordinador de área:
Mauro Enrique Matto Muzante
Diseño, diagramación y corrección:
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Ilustración general:
Banco de imágenes Delta Editores S.A.C.
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Impresión:
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Tels. 265 3974 251 7191
ISBN N.o 978-612-4354-33-5
Proyecto Editorial N.o 31501051900810
Ley N.o 28086
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú
N.o 2019-10448
PROHIBIDA
LA REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL
LEY DE LUCHA CONTRA LA PIRATERÍA LEY 28289
PUBLICADA EL 20 DE JULIO DE 2004
título vii
delitos contra los derechos intelectuales
capítulo i
delitos contra los derechos de autor
y conexos
Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la
autorización del autor.
Artículo 217.o.- Será reprimido con pena privativa de libertad no
menor de dos ni mayor de seis años y con treinta a noventa días-multa,
el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística,
un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una
grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier
forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y
escrita del autor o titular de los derechos:
a. La modifique total o parcialmente.
b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público.
c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios
o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho.
d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el
autorizado por escrito.
La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con
sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total
o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución
se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma
de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o
producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias,
en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior
importe cada uno.

5. Apertura
En esta sección
encontrarás
temas
novedosos que
propiciarán
sostener
una relación
cercana con la
Matemática.
Se aborda el
desarrollo del
tema, donde
encontrarás las
definiciones
organizadas
siguiendo una
secuencia
didáctica.
Marco
teórico
Conoce tu libro
Tema
163
MateMática DELTA 2 - álgebra
Relaciones
11
LaFIFAorganizalaseliminatoriasdelaCONMEBOL
(Confederación Sudamericana de Fútbol) o CSF
para el campeonato mundial.
¿Cuál sería el fixture de la eliminatoria?
¿Cuántos enfrentamientos en total tendrá la
eliminatoria?
Par ordenado
Es un conjunto de dos elementos donde se distingue un primer elemento y un segundo
elemento denotado por:
(a ; b)
Conceptos previos
Ejemplo:
• Son pares ordenados: (–7 ; 1)(2 ; 15)
• No es par ordenado: {3; 2}
Igualdad de pares ordenados
Dos pares ordenados son iguales si y solo si sus respectivas componentes son
iguales.
(a ; b) = (c ; d) ↔ a = c ∧ b = d
Ejemplo:
Si (7 ; 3b –1) = (2a + 3 ; 5), halla el valor de M = ab.
Resolución:
Por la propiedad de pares ordenados:
(7 ; 3b –1) = (2a + 3 ; 5)
2a + 3 = 7
2a = 4
a = 2
3b – 1 = 5
3b = 6
b = 2
Piden el valor de M = a . b = 2 . 2 = 4
Producto cartesiano
Dados dos conjuntos no vacíos A y B, definimos el producto cartesiano de A por B como
el conjunto de todos los pares ordenados (a ; b) donde el primer elemento se toma de
A y el segundo de B. Es decir:
A × B = {(a ; b) / a ∈ A ∧ b ∈ B}
El producto cartesiano se puede determinar de diferentes maneras, entre ellas tenemos
el diagrama del árbol, el diagrama sagital y el diagrama cartesiano.
primer elemento segundo elemento
Importante
Nota
Importante
(a ; b) (b ; a)
Relación: es
el resultado
de comparar
dos cantidades
expresadas en
números.
Fuente: RAE
A × B ≠ B × A
El producto
cartesiano de A por
A, es decir, A × A se
denota por A2.
Título del tema
Para una mejor
organización, los temas
están numerados.
Comentarios
y/o lecturas que
refuerzan el
desarrollo del tema
152
1
2
3
4
5
6
Resuelve la inecuación
Resolución:
2x + 5
3
+ 1 < 5.
Despeja la variable:
2x + 5
3
< 5 – 1
2x + 5 < 3(4)
2x < 12 – 5 ⇒ x <
7
2
3 7
2
4
x ∈ 〈–∞ ;
7
2
〉
Rpta. 〈–∞ ;
7
2
〉
Rpta. C.S. = [3 ; 9]
Rpta. 〈–∞ ; 5] ∪ [11 ; +∞ 〉
Resuelve la inecuación x2 + 27 ≤ 12x.
Resolución:
Tenemos: x2 – 12x + 27≤ 0
x –9
x –3
(x – 9)(x – 3) ≤ 0
P.C.: x – 9 = 0 ; x – 3 = 0
x = 9 x = 3
+ – +
3 9
P(x) ≤ 0 ↔ x ∈ [3 ; 9]
Resuelve la inecuación x2 + 55 ≥ 16x.
Resolución:
Tenemos: x2 – 16x + 55 ≥ 0
x –11
x –5
(x – 11)(x – 5) ≥ 0
P.C.: x – 11 = 0 ; x – 5 = 0
x = 11 x = 5
+ – +
5 11
P(x) ≥ 0 ↔ x 〈–∞ ; 5] ∪ [11 ; +∞ 〉
Indica el menor valor entero de x.
Resolución:
Multiplicamos por el MCM(2; 4; 5) = 20
Rpta. 21
Rpta. {–3; –1}
x
2
+
x
4
+
x
5
+ 1 < x
x
2
+
x
4
+
x
5
+ 1
20 < 20(x)
10(x) + 5(x) + 4(x) + 20(1) < 20x
19x – 20x < –20
–x < –20
× (–1): x > 20
19 20 21
El menor valor entero de x es 21.
Halla el conjunto solución de la igualdad.
|2x + 5| = |x + 4|
Resolución:
Sabemos que: |x| = |a| → x = a ∨ x = –a
Entonces:
2x + 5 = x + 4 ∨ 2x + 5 = –x – 4
2x – x = 4 – 5 2x + x = –4 – 5
x = –1 3x = –9
x = –3
Luego: C.S.= {–3; –1}
Rpta. 34
Calcula la suma de los valores enteros de x que
verifican la inecuación.
x
2
– 1 ≤ 4
Resolución:
Sabemos que: |x| ≤ a ⇒ –a ≤ x ≤ a
Entonces: –4 ≤
x
2
– 1 ≤ 4
+ 1 : –3 ≤
x
2
≤ 5
× 2 : –6 ≤ x ≤10
Los valores enteros de x:
x = {–6; –5; –4;...; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
Piden:
S = – 6 – 5 – 4 – ...+ 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
S = 7 + 8 + 9 + 10 = 34
Ejercicios resueltos
Nombre de la
sección
Algoritmo de
resolución
del problema
planteado.
Preguntas y/o
situaciones
problemáticas
reales o simuladas,
planteadas de
acuerdo al tema.
Ejercicios
resueltos
Se muestran
ejercicios que
están resueltos
didácticamente,
los mismos que
servirán para
el análisis del
estudiante.
3
Matemática Delta 2 - Álgebra

6. Síntesis
Contenido del tema,
que incluye teoremas,
postulados, fórmulas,
propiedades, leyes, etc.,
resumido en organizadores
gráficos para tener un
panorama general del
contenido.
Modela y resuelve
Los problemas con
numeración impar serán
resueltos por el docente,
mientras que los pares serán
resueltos por el estudiante
siguiendo la secuencia
realizada.
120
Síntesis
Modela y resuelve
2
4
1
3
Ecuaciones
cuadráticas
Forma
Ax2 + Bx + C = 0; A ≠ 0
Solución Propiedades de las raíces
Factorización Fórmula
Aspa simple
Agrupación
Identidades
x =
–B B2 – 4AC
2A
Discriminante
= D = B2 – 4AC
Reconstrucción de una
ecuación de raíces x1 y x2
x2 – Sx + P = 0
Donde: S = x1 + x2 ∧ P = x1 . x2
1. Suma de raíces : x1 + x2 =
–B
A
2. Producto de raíces: x1 . x2 =
C
A
Recuerda
(x1 + x2)2 – (x1 – x2)2 = 4x1 . x2
Raíces simétricas
(opuestas)
x; –x
Suma: 0
B = 0
Raíces recíprocas
(inversa multiplicativa)
x;
1
x
Producto:1
A = C
Resuelve la ecuación x2 = –3x. Resuelve la ecuación x2 = 11x.
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Desarrolla la ecuación 4x2 = 9. Desarrolla la ecuación 9x2 = 16.
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Nombre de la
sección
Nombre de la
sección
Espacio para resolver
el problema.
Organizador
visual
Enunciado del
problema o de la
situación planteada.
110
5
6
7
8
Practica y demuestra
1
4
2
3
Nivel I
Indica si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
( ) Si x + 5 = 3 x = 2
( ) La ecuación 3x + 6 = x – 2, es lineal
( ) {(2 ; 1)} es la solución de
( ) x = 4 es la solución de 2x – 3 = 9 – x
x + y = 3
x – y = 2
A VFVF B FFVV C VVFF
D FVFV E FFVV
Relaciona la ecuación con el valor que la verifica.
I. 2(x – 1) = x + 1
II. x
2
+ 1 = 3
III. 2 + x
3
= 4
IV. 2x – 5 = 1 – x
a. 2
b. 3
c. 4
d. 5
e. 6
A Ia; IIb; IIIc; IVe B Ib; IIe; IIIc; IVa
C Ib; IIa; IIId; IVe D Ic; IIe; IIIa; IVd
E Ib; IIc; IIIe; IVa
Resuelve la ecuación x – [–(x + 1) – 4 – x] = 11.
A {–1} B {2} C {0}
D {1} E {3}
Determina el valor de x que verifica la ecuación.
x + 1
3
2 + = 5
A 5 B 6 C 9
D 7 E 8
A 10 B 9 C 7
D 11 E 12
Resuelve la ecuación.
x + 2
3
x + 1
2
+ = x
A {7} B {8} C {9}
D {6} E {5}
Indica el valor de x que verifica la ecuación.
x – 3
2
+ 1
5
+ 6 = 7
Halla el valor de x en el sistema.
3x + 2y = 10
2x – y = 9
A –1 B 4 C –2
D 5 E 6
Resuelve el sistema.
4x + y = 14
3x – 2y = 5
A {(1 ; 4)} B {(2 ; 3)}
C {(2 ; 1)} D {(3 ; 2)}
E {(2 ; 4)}
Preguntas
planteadas,
estas pueden
ser situaciones
reales o
simuladas.
Espacio
para realizar
anotaciones de
resolución.
Alternativas
Nombre de la sección
Test
Esta evaluación incluye
preguntas del contenido de
los temas desarrollados en
la unidad y son de elección
múltiple.
Practica y
demuestra
En esta sección se
plantean preguntas que
han sido organizadas por
niveles de complejidad
y de elección múltiple
en la que el estudiante
demostrará lo aprendido
durante la sesión.
Preguntas y/o
situaciones
problemáticas reales o
simuladas, planteadas de
acuerdo a la unidad.
Número de test
Alternativas
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 4
191
MateMática DELTA 2 - álgebra
Relaciona cada inecuación con su conjunto
solución.
Determina el conjunto solución de la inecuación
x
4
+
x
3
–
x
2
> x – 11, si x es positivo.
Halla el número de valores enteros que verifican
la desigualdad.
(x – 4)(3x – 4) < 2(x – 4)
Si M = {2; 5; 2; 3; 6; 2} y N = {1; 4; 2; 1}, ¿cuántos
elementos tendrá M × N?
Si (n ; n) = (3x – 9 ; x + 7), calcula el valor de A.
A =
n
5
5
4
Luego de resolver la inecuación x2 + 1 ≤ 4x,
encuentra el mayor valor entero que puede tomar
la variable x.
1
2
3
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
6
A Ib; IIe; IIIc; IVa B Ie; IId; IIIc; IVb
C Ib; IIe; IIId; IVa D Ie; IIa; IIId; IVb
A 1 B 2
C 3 D 4
I. x2 > 9
II. x2 < 9
III. |x + 3| < 6
IV. –4x < –12
a. 〈–∞ ; 3〉
b. 〈3 ; +∞ 〉
c. 〈–9 ; 3〉
d. 〈–3 ; 3〉
e. 〈–∞ ; –3〉 ∪ 〈3 ; +∞ 〉
A 0 B 1
C 4 D 2
A 0 B 1
C 2 D 3
A 12 B 9
C 6 D 2
A [0 ; 12〉 B 〈0 ; 12]
C 〈0 ; 12〉 D [1 ; 12〉
4

7. 5
Matemática Delta 2 - Álgebra
1
3
2
4
Resuelve
problemas
de
regularidad,
equivalencia
y
cambio
Traduce datos
y condiciones
a expresiones
algebraicas y
gráficas.
Operaciones básicas en 8
El conjunto de números racionales ( )
Operaciones con números racionales
Número racional como decimal
Operaciones combinadas
Potenciación 23
Definiciones
Propiedades
Operaciones combinadas
Polinomios 37
Definiciones
Polinomios
Operaciones con polinomios
Productos notables 53
Productos de binomios
Identidades de Legendre
Binomio al cubo
Trinomio cuadrado perfecto
División algebraica 68
Métodos para dividir polinomios
Teorema del resto
Factorización 84
Factor primo
Métodos para factorizar
Ecuación lineal y Sistema de ecuaciones lineales 99
Definiciones
Sistema de ecuaciones lineales
Métodos para resolver sistemas lineales
Ecuación cuadrática 113
Análisis de las raíces
Propiedades de las raíces
Raíces especiales
Planteo de ecuaciones 128
Enunciado verbal
Enunciado algebraico
Desigualdades e inecuaciones 147
Definiciones
Sistema de inecuaciones
Planteo de inecuaciones
Relaciones 163
Conceptos previos
Tipos de relaciones
Funciones 176
Definición previa
Propiedades
Funciones especiales
Unidad
Competencia y
capacidades
Contenidos pedagógicos Páginas
Comunica su
comprensión
sobre las
relaciones
algebraicas.
Usa estrategias
y procedimientos
para encontrar
equivalencias y
reglas generales.
Argumenta
afirmaciones
sobre relaciones
de cambio y
equivalencia.
Índice

8. ysumétodo
paradividir
Luego, Ruffini fue elegido catedrático de Elementos de Matemáticas en 1791. Sin embargo,
Ruffini no era solo matemático. También, en 1791, obtuvo la licencia para ejercer la
medicina en Módena.
Algunos años más tarde, Napoleón Bonaparte fundó la República Cisalpina, en la que se
sugiere a Ruffini formar parte del consejo; este, al negarse a pronunciar el juramento de
fidelidad a la República, fue apartado de la docencia y cargos públicos.
Al verse en esta nueva situación, Ruffini asumió que si ya no podía enseñar Matemática,
podría dedicarle más tiempo a su profesión de médico y a sus pacientes. Así, ejerció la
medicina durante 6 años, hasta la caída del dominio napoleónico, año en que fue restituido
a su puesto por las tropas austriacas y retornó a las aulas a dar clases de matemáticas
aplicadas en la Escuela Militar.
Durante el año 1814 lo nombraron rector de la Universidad de Módena, y en 1816, presidente
de la Sociedad Italiana «Dei Quaranta». Un año más tarde, durante la epidemia de tifus,
contrajo esta enfermedad, la misma que lo acompañó hasta el día de su muerte el 9 de
mayo de 1822.
Paolo Ruffini nació el 22 de septiembre
de 1765 en Valentano (actualmente en
Italia), fue hijo de Maria Francesca Ippoliti
yelmédicoBasilioRuffini.EstudióMedicina,
Matemática, Filosofía y Literatura en la
Universidad de Módena, donde se graduó
en 1788. Tuvo como profesores a Luigui Fantini
en Geometría y a Paolo Cassiani en Cálculo.
Desde un año antes, empezó a dictar clases de
Matemática en la misma universidad.
Ruffini
Polinomios
6

9. Desempeños
• Establece relaciones entre valores desconocidos y las transforma a expresiones algebraicas, a
ecuaciones lineales, a inecuaciones, a funciones lineales con expresiones fraccionarias o decimales.
• Comprueba si la expresión algebraica o gráfica (modelo) que planteó le permitió solucionar el
problema, y reconoce qué elementos de la expresión representan las condiciones del problema:
datos, términos desconocidos, relaciones de equivalencia entre dos magnitudes.
• Expresa, con diversas representaciones, su comprensión sobre la solución de una ecuación lineal y
sobre el conjunto solución de una desigualdad, así como su comprensión de las diferencias entre una
proporcionalidad directa e inversa, para interpretarlas y explicarlas en el contexto de la situación.
• Selecciona y combina recursos, estrategias heurísticas y el procedimiento matemático para simplificar
expresiones algebraicas usando propiedades de la igualdad y propiedades de las operaciones,
solucionar ecuaciones e inecuaciones lineales, y evaluar el conjunto de valores de una función lineal.
• Plantea afirmaciones sobre las propiedades que sustentan la igualdad o la simplificación de expresiones
algebraicas para solucionar ecuaciones e inecuaciones lineales que descubre; también sobre las
diferencias entre la función lineal y una función lineal afín. Justifica la validez de sus afirmaciones
mediante ejemplos y sus conocimientos matemáticos.
Fuentes:
biografiasyvidas.com, buscabiografias.com, matesfacil.com, uptc.edu.co, rtve.es
El método de Ruffini
Paolo Ruffini es conocido por los
matemáticos por ser el descubridor del
método que lleva su nombre, el mismo
que permite hallar los coeficientes del
polinomio que resulta de la división de
un polinomio por el monomio x – a.
Otra de sus grandes contribuciones a la Matemática fue la demostración de la imposibilidad
de la solución general de las ecuaciones algebraicas superiores al cuarto grado, aunque
cometió ciertas inexactitudes que serían corregidas por el matemático noruego Niels
Abel. En aquella época, todo el mundo –incluido el matemático Lagrange– creía que
las ecuaciones de quinto grado podían resolverse por radicales. Sin embargo, Ruffini
aseguró todo lo contrario, basándose en la teoría de grupos siguiendo y superando a
Lagrange en el uso de permutaciones.
La mayoría de los matemáticos de su época ignoraron a Ruffini, pues se adelantó
a su tiempo con una demostración para la que no estaban preparados, incluido
Lagrange. Además se anticipó a la teoría de grupos, desarrollada más tarde
por Galois.
Entre sus obras destacan Teoría general de la ecuación general de grado
superior al cuarto y Reflexión en torno a la solución de la ecuación algebraica
general.
(3x3 – 5x2 + 2) : (x – 2)
Cociente = 3x2 + x + 2 Resto = 6
Multiplicamos
Sumamos ambas filas
Al faltar el
coeficiente en x,
ponemos 0
3 –5 0 2
2 6 2 4
3 1 2 6
•
7

10. 8
Tema 1
Operaciones básicas en
Es todo número que puede representarse como la división de dos números enteros,
es decir, una fracción común
a
b
con numerador a y denominador b diferente de cero.
Operaciones con números racionales
El conjunto de números racionales ( )
Importante
Las fracciones
homogéneas tienen
denominadores
iguales.
Las fracciones
heterogéneas tienen
denominadores
diferentes.
=
a
b / a ∈ Z, b ∈ Z – {0}
Ejemplos:
a)
–3
4
Es la división de dos
enteros, entonces es
racional.
b)
Se puede escribir como
24
10
, entonces es racional.
2,4
c)
Es la división de dos
enteros, entonces es
racional.
d)
El valor de p no puede
escribirse como una
división de enteros,
entonces NO es racional.
p
e)
Se puede escribir como
3
1
, entonces es racional.
f) No está definido, entonces
NO es racional.
1
7
3
3
0
¿Sabías que...?
Recuerda
es la inicial de la
palabra quotient
(cociente, en inglés).
a
b
Numerador
Denominador
Adición / Sustraccion
Para realizar adición y/o sustracción en Q, se debe tomar en cuenta el denominador.
• Con el mismo denominador, se suman y/o restan los numeradores.
Ejemplos:
x
y
±
z
y =
x ± z
y
• Con denominadores diferentes, se busca un denominador
común. Luego, se suman y/o restan los numeradores.
Ejemplos:
a)
5
3
+
1
3
–
4
3
=
5 + 1 – 4
3
=
2
3
b)
2
7
–
3
7
+
8
7
=
2 – 3 + 8
7
=
7
7
= 1
a)
7
2
+
2
3
=
7 × 3 + 2 × 2
2 × 3
=
25
6
Multiplicación
• Cuando se multiplican números racionales, se multiplican los
numeradores y los denominadores.
Ejemplos:
x
y
±
z
w =
xw ± zy
yw
a
0
, no está definido b)
8
5
–
3
4
=
8 × 4 – 5 × 3
5 × 4
=
=
21 + 4
6
=
17
20
32 – 15
20
a)
9
2
. 8
3
=
9 . 8
2 . 3
= 12
b)
12
25
. 10
18
=
12 . 10
25 . 18
=
=
3 . 4
1 . 1
=
4
15
2 . 2
5 . 3
x
y
. z
w
=
xz
yw
La constante
matemática pi (p)
su valor es:
p = 3,141592.....
Se llaman:

11. 9
Matemática Delta 2 - Álgebra
Importante
Recuerda
División
Cuando se dividen números racionales en forma horizontal, se
invierte el divisor y se multiplica.
Ejemplos:
x
y
÷
z
w =
x
y
. w
z dividendo
x
y
÷
z
w
divisor
a)
9
2
÷
6
5
=
9
2
=
3 . 5
2 . 2
=
15
4
b)
5
6
.
5
3
÷
25
9
=
5
3
=
5 . 9
3 . 25
=
1 . 3
1 . 5
9
25
. =
3
5
Cuando se dividen números racionales en forma vertical, se
multiplican los extremos y este se divide entre el producto de los
medios.
Ejemplos:
a)
8
30
=
4 . 15
8 . 30
=
1
4
=
1 . 1
2 . 2
15
4
b)
15
16
=
45 . 24
15 . 16
=
9
2
=
3 . 3
1 . 2
24
45
x
y
z
w
=
xw
yz
Observa
xy
a
÷
x2
a =
xya
axx =
y
x
a2b
xy
ab2
y2
=
aabyy
xyabb =
ay
bx
Los números racionales se caracterizan por tener una escritura decimal que solo puede
ser de tres tipos, exacta, periódica pura y periódica mixta.
Número racional como decimal
Exacta
La parte decimal tiene un número finito de cifras, expresión «finita» o «terminal».
Ejemplos:
a)
2
5
= 0,4 b)
1
125
= 0,008
Periódica pura
Toda la parte decimal se repite indefinidamente.
Ejemplos:
a)
1
11
= 0,090909... = 0,09 b)
2
3
= 0,6666... = 0,6
Periódica mixta
Tiene parte decimal exacta y parte decimal que se repite.
Ejemplos:
a)
1
30
= 0,033333... = 0,03 b)
11
90
= 0,1222... = 0,12
Responde:
De los siguientes números, cuáles son racionales:
a) 0,45 decimal exacto, se puede escribir como:
45
100
=
9
20
entonces es un número
racional.
b) 0,1234567... decimal no periódico, entonces NO es un número racional.
c) 0,23333... decimal periódico mixto, se puede escribir como:
23 – 2
90
=
21
90
=
7
30
;
entonces es un número racional.
Fracción generatriz
Transformación de
un decimal a fracción
• Decimal exacto
cifras significativas
0,ab =
ab
100
dos cifras
decimales
tantos ceros
como cifras
decimales
• Decimal periódico
puro
cifras periódicas
0,ab =
ab
99
dos cifras
periódicas
tantos nueves
como cifras
periódicas
• Decimal periódico
mixto
cifras significativas
menos cifras no
periódicas
0,abc =
abc – a
990
tantos nueves como cifras
periódicas, seguidas de
tantos ceros como cifras
decimales no periódicas.

12. 10
1 . 1
3 . 2
13
5
Operaciones combinadas
Cuando aparecen operaciones combinadas, es necesario seguir la prioridad de los
signos de operación en el siguiente orden:
1.° Se realizan las multiplicaciones y divisiones.
2.° Se realizan las adiciones y sustracciones.
3.° Si en un término aparecen operaciones de multiplicación y división, se evaluará de
izquierda a derecha.
4.° Si en la expresión aparecen signos de colección, deberá operarse primero la parte
interna, de acuerdo a los pasos anteriores.
Calcula el valor de
3
5
M = +
2
3
÷
5
6
×
10
4
Resolución:
Tenemos:
3
5
M = +
2
3
÷
5
6
×
10
4
Evaluamos la división.
3
5
M = +
.
2
3
×
6
5
×
10
4
Evaluamos la multiplicación.
3
5
M = +
2 . 6 . 10
3 . 5 . 4
=
3
5
+
1 . 1 . 10
1 . 5 . 1
3
5
M = +
10
5
=
.
Al final, sumamos las fracciones
homogéneas.
Determina el valor de
7
2
A = +
1
2
1
6
+
4
3
1
4
1
8
Resolución:
Tenemos:
7
2
A = +
1
2
1
6
+
4
3
1 . 2
4 . 2
1
8
Evaluamos el paréntesis interior, luego
de buscar fracciones homogéneas.
7
2
A = +
1
2
1
6
+
4
3
2 – 1
8
7
2
A = +
1
2
1
6
4 . 1
3 . 8
+ =
7
2
+
1
2
1
6
+
7
2
A = +
1
2
1 + 1
6
=
7
2
+
1 . 2
2 . 6
A =
7 . 3
2 . 3
+
1 . 1
1 . 6
=
21 + 1
6
=
22
6
=
11
3
Multiplicamos, dentro del paréntesis.
Sumamos, dentro del paréntesis.
Multiplicamos
Al final, sumamos y reducimos.
Importante
Signos de colección
( ) : paréntesis
[ ] : corchetes
{ } : llaves
Observa
Homogeneizar:
4
5
;
3
4
;
2
3
1.Buscamos el
menor número
que contiene a los
denominadores
(Mínimo común
múltiplo)
MCM(5; 4; 3) = 60
2.Buscamos
que todos los
denominadores
sean 60 (en este
caso) multiplicando
al numerador
y denominador
por una misma
cantidad en cada
fracción.
4 .12
5 .12
; ;
3 .15
4 .15
2 .20
3 .20
48
60
45
60
40
60
; ;
Ejemplo 2
Ejemplo 1

13. 11
Matemática Delta 2 - Álgebra
Encuentra el valor de R.
R =
1
3
1 +
5
3
+
5
2
1
2
+ 1
Resolución:
Tenemos:
R =
3
3
5
3
+
1
2
+
1
3
+
2
2
5
2
=
3 + 1
3
5
3
+
1 + 2
2
5
2
5
2
Homogeneizamos (denominador y
numerador) para sumar fracciones.
R =
5 . 3
3 . 4
+
2 . 3
2 . 5
=
3
5
+
5
4
R =
5 . 5
4 . 5
+
3 . 4
5 . 4
37
20
= =
25 + 12
20
Multiplicamos extremos, este dividimos entre
el producto de los medios para luego reducir.
Al final, homogeneizamos fracciones para
sumarlas.
Halla el perímetro de la figura (lados en centímetros).
3
2
2
5
1,7
0,3
3
4
7
5
Resolución:
Sabemos que el perímetro es la suma de las medidas de todos los lados.
P =
3
2
+ 1,7 +
7
5
+
3
4
+
2
5
+ 0,3
P =
3 . 2
2 . 2
+
3
4
+
7
5
+
2
5
+
17
10
+
3
10
=
6 + 3
4
+
7 + 2
5
+
17 + 3
10
P =
9 . 5
4 . 5
+
9 . 4
5 . 4
+
20 . 2
10 . 2
MCM(4; 5; 10) = 20, buscamos que los denominadores
sean 20.
P = = = 6,05 cm
45 + 36 + 40
20
121
20
Observa
En:
f =
todos los términos
(dos en el
numerador y dos
en el denominador)
tienen como factor
común a: n
Entonces:
n . b + n . c
n . d – n . e
f =
f =
nb + nc
nd – ne
b + c
d – e
Ejemplo 3
Ejemplo 4

14. 12
A = 1 +
1
2 –
1
1 +
3
2
2 –
1
L = 2 . ÷
Determina el valor de A.
Halla el valor de L.
Resolución:
Tenemos:
Resolución:
Tenemos:
A = 1 +
1
2 –
1
1 +
3
2
2 –
1
2 . 2
2
3
2
=
1
2
Primeroreduceeldenominador.
1
1
1
1
1
n
1
a
1
2
1
a
a
1
1
a
1
n
=
=
=
=
=
1 . 2
1 . 1
a . 1
1 . 1
1 . 1
n . a
= 2
• f =
• h =
Luego, realiza producto de
extremos sobre producto de
medios.
A = 1 +
1
2 –
1
1 + 2
= 1 +
1
1
–
2 +
2 . 3
3
1
3
1
3
= 1 +
1
5
3
1
A = 1 +
1 . 3
1 . 5
1 . 5
5
3
5
8
5
3
8
3
4
= +
+
L =
1 . 7
7
3
7
10
7
=
+
L = 1
1
7
3
+
L = 1
1 . 3
1 . 7
7
3
1
1
= 1 +
+
=
Observa
.
L =
1
+
1
3
2 . 3
3
4
3
3
4
+
Ejemplo 5
Ejemplo 6

15. 13
Matemática Delta 2 - Álgebra
Determina el valor de A + B.
7
9
–
2
9
+
4
9
A =
2
3
. 9
4
B =
Resolución:
Tenemos:
7
9
–
2
9
+
4
9
A =
7 – 2 + 4
9
= =
9
9
= 1
B =
2
3
. 9
4
=
2 . 9
3 . 4
1 . 3
1 . 2
= =
3
2
A + B = 1 +
3
2
2 + 3
2
= =
5
2 5
2
Encuentra el valor de la expresión R.
Rpta.
Halla el valor de S.
Resolución:
3
5
+
1
2
÷ ×
3
4
6
5
S =
Tenemos:
3
5
+
1
2
÷ ×
3
4
6
5
S = Producto y división de
izquierda a derecha
3
5
+
1
2
× ×
4
3
6
5
=
Simplificamos para
multiplicar
3
5
= +
1 . 4 . 1
1 . 1 . 5
=
3
5
+
4
5
3 + 4
5
= =
7
5
Rpta.
Calcula el valor de R.
R =
4
3
4
3
2 +
2 –
Resolución:
Tenemos:
R =
4
3
+
2 . 3
3
4
3
–
2 . 3
3
=
2 . 3 + 4
2 . 3 – 4
=
10
2
= 5
Rpta. 5
Homogeneizamos las fracciones;
luego, simplificamos.
Multiplicamos y sumamos
Resolución:
Buscamos el MCM(2; 3; 6) = 6 de los
denominadores para homogeneizarlos:
3
2
–
1
3
+
7
6
R = 2 –
R =
2 . 6
6
–
3 . 3
2 . 3
–
1 . 2
3 . 2
+
7
6
=
12 – 9 – 2 + 7
6
=
8
6
=
4
3
Rpta.
4
3
Indica el valor de E.
E =
1
2
1
3
1
2
+ 1 + 1
+ 1
Resolución:
Tenemos:
E =
1
2
=
1
2
=
1
2
=
1
2
1
3
1
2
2
2
+ + 1
+ 1
1
3
1 + 2
2
+ 1
+ 1
1 . 3
3 . 2
+ 1
+ 1
1
2
+ 1
+
2
2
=
1
2
3
2
+ 1 =
3
4
+
4
4
=
3 + 4
4
=
7
4
Rpta.
7
4
Descubre el valor de M.
M =
1
2
1 +
1
3
1 –
1
4
1 +
1
5
1 –
Resolución:
Tenemos:
M =
1
2
+
2
2
1
3
–
3
3
1
4
+
4
4
1
5
–
5
5
=
2 + 1
2
3 – 1
3
4 + 1
4
5 – 1
5
=
3
2
2
3
5
4
4
5
= 1
Rpta. 1
1 4
5
2
3
6
Ejercicios resueltos
7
5

16. 14
Determina el valor de H.
Resolución:
Tenemos:
H =
4
3
÷ +
8
6
2
3
1
. 3
1
3
H =
4
3
÷ +
8
6
2
3
1 3
. 1
1
3
1
=
4
3
. 6
8
+
1 . 1
2 . 3
. 3 . 3
1 . 1
=
1 . 2
1 . 2
+
3
2
=
5
2
Rpta.
5
2
Halla el denominador de la fracción equivalente a M.
M =
2
a
+
2
3a
–
1
6a
Resolución:
Buscamos el MCM(a; 3a; 6a) = 6a, de los
denominadores para homogeneizarlos:
M =
6 . 2
6 . a
+
2 . 2
2 . 3a
–
1
6a
=
12 + 4 – 1
6a
=
15
6a
=
5
2a
Luego, el denominador es 2a.
Rpta. 2a
Calcula el perímetro de la figura (medidas en cm).
1,1
2,4
5
2
2
3
1
3
2
5
Resolución:
Tenemos:
E = 2,4 +
5
2
+ 1,1 +
2
3
+
2
5
+
1
3
= 3,5 +
5
2
+
2
5
+
2 + 1
3
=
7
2
+
5
2
+
2
5
+
3
3
=
7 + 5
2
+
2
5
+ 1 = 7 +
2
5
=
7 . 5
5
+
2
5
=
37
5
cm
Rpta.
37
5
Reduce H.
H =
x – 1
x + 3
+
2x + 16
2x + 6
3x + 6
3x + 9
+
Resolución:
Simplificamos:
H =
x – 1
x + 3
+ +
2(x + 8)
2(x + 3)
3(x + 2)
3(x + 3)
=
x – 1
x + 3
+
x + 8
x + 3
+
x + 2
x + 3
=
x – 1 + x + 8 + x + 2
x + 3
=
3x + 9
x + 3
=
3(x + 3)
x + 3
= 3
Rpta. 3
Encuentra el valor de E.
E =
1
2
1 +
1
4
1 +
1
6
1 +
1
8
1 +
1
2
1 –
1
4
1 –
1
6
1 –
1
8
1 –
Resolución:
Tenemos:
E =
1
2
2
2
+
1
4
4
4
+
1
6
6
6
+
1
8
8
8
+
1
2
2
2
–
1
4
4
4
–
1
6
6
6
–
1
8
8
8
–
=
3
2
5
4
7
6
9
8
1
2
3
4
5
6
7
8
= 9
Rpta. 9
Indica el valor de la expresión E.
E = 1 +
2 +
1
1 –
1
2
1
Resolución:
Realizamos operaciones:
E = 1 +
2 +
1
1 –
1
2
1
= 1 +
2 +
1
1
1
1
2
= 1 +
1
2 + 2
= 1 +
1
4
= =
4 + 1
4
5
4
Rpta.
5
4
7
8
9
10
11
12
cm

17. 15
Matemática Delta 2 - Álgebra
Modela y resuelve
Síntesis
Operaciones
básicas en Q
Operaciones
Adición/Sustracción
Se busca un denominador común, luego
suma y/o resta los numeradores.
Multiplicación
Se multiplican los numeradores y los
denominadores.
División
Se invierte el divisor y se multiplica.
1.o ( ); [ ]; { } signos de colección
2.o × ; ÷ multiplicación y división (de izquierda a derecha)
3.o + ; – sumas y restas
x
y
z
w
± =
xw zy
yw
x
y
z
w
. =
xz
yw
x
y
z
w
÷ =
x
y
w
z
.
a
b
a
b
Donde:
a ∈ Z
b ∈ Z – {0}
Numerador
Denominador
Fracción
• Operaciones combinadas
Determina el valor de P. Determina el valor de A.
Resolución:
5
3
P = – +
7
3
14
3
3
5
A = – +
7
5
14
5
Resolución:
Halla el valor de E. Halla el valor de N.
Resolución:
12
15
E = ÷
6
5
15
6
N = ÷
10
9
Resolución:
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
1
3
2
4

18. 16
Encuentra el valor de T. Encuentra el valor de E.
Calcula el valor de R. Calcula el valor de V.
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
T =
1
4
+ –
5
8
3
2
E =
1
3
+ –
1
2
5
6
Determina el valor de R. Determina el valor de S.
S = + 2
4
5
. 10
6
÷
4
3
R =
4
3
5
6
+
3
5
V =
3
2
1
4
+
2
3
Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
5 6
7 8
9 10
+ 1
5
6
. 18
14
÷
5
7
R =

19. 17
Matemática Delta 2 - Álgebra
Halla el valor de E. Halla el valor de R.
Reduce A. Reduce A.
Efectúa N. Efectúa A.
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
E = +
2
3
1 +
2
3
2 –
2
2
1
R = +
2
3
2 +
2
3
1 –
2
1
2
A = ÷
1
3
÷ 2 +
3
2
9
4
×
2
3
A = ÷
1
2
÷ 3 +
5
3
10
9
×
4
3
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
11 12
13 14
15 16
A = 1 – 1 + 1 –
1
3
1
3
1
3
N = 1 + 1 – 1 +
1
2
1
2
1
2

20. 18
Encuentra el valor de L. Encuentra el valor de A.
Descubre el valor de L.
Determina el valor de C.
Descubre el valor de E.
Determina el valor de R.
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
L = 2 +
1
2
–
2
5
+
3
10
–
2
3
A = 1 +
2
3
–
1
2
+ –
5
6
2
5
E = +
x – 1
x + 3
3x + 12
3x + 9
+
2x + 12
2x + 6
L = +
x + 3
x – 4
2x – 16
2x – 8
+
3x – 21
3x – 12
C =
1 +
1
5
1 +
1
6
1 +
1
7
1 +
1
8
1 –
1
5
1 –
1
6
1 –
1
7
1 –
1
8
R =
1 +
1
7
1 +
1
8
1 +
1
9
1 +
1
10
1 –
1
7
1 –
1
8
1 –
1
9
1 –
1
10
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
17
21 22
18
19 20

21. 19
Matemática Delta 2 - Álgebra
Halla la suma del numerador y denominador de la
expresión reducida.
Halla la suma del numerador y denominador de la
expresión reducida.
23
25
24
26
Calcula el perímetro de la figura (medidas en
metros).
Calcula el perímetro de la figura (medidas en
metros).
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
1,3
2
3
5
4
3
2
4
5
1,2
6
5
1,4
3
5
3
2
2,1
5
4
2
3
7
5
M =
1
4
+
1
2
1 +
1 –
1
2
3
1 +
Y =
5
3
+
1
3
1 +
1 –
1
2
3
1 –
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.

22. 20
Practica y demuestra
Nivel I
6 Relaciona cada operación con su respuesta.
I.
3
2
– +
7
2
II.
5
4
+
7
4
III. 4 ×
3
2
IV.
4
3
÷
1
6
a. 8
b. 2
c. 1
d. 3
e. 6
A Ic; IId; IIIb; IVa B Ie; IId; IIIa; IVb
C Ib; IIa; IIId; IVe D Ib; IId; IIIe; IVa
E Id; IIa; IIIb; IVe
3 Ordena en forma ascendente los resultados.
E =
3
2
5
2
+
7
2
O =
4
3
8
3
+
L =
3
5
3 . . 15
9
V =
3
2
3
4
÷
A L-O-V-E B V-E-L-O
C V-O-L-E D L-E-V-O
E O-V-E-L
4 Calcula el valor de H.
A
2
3
B
4
3
C
5
6
D
1
3
E
3
2
1
2
H = +
1
3
–
1
6
5
A 2 B 5 C 6
D 3 E 1
Halla el valor de R.
R = 2 . .
3
5
25
6
. 9
15
2 Descubre el valor de x.
x = .
2
3
4
5
÷
2
5
A
5
2
B
4
3
C
3
4
D
2
3
E
5
3 7 Determina el valor de
indica la mitad de su valor.
A 3 B 1 C 5
D 2 E 4
N =
4
5
3
2
+
3
10
– + 2; luego,
1 Indica si la operación es verdadera (V) o falsa (F).
A VFVF B FFVV C VVFF
D FVFV E FFVV
2
3
+
5
2
=
7
5
( )
( )
( )
( )
4
3
–
1
2
=
5
6
3
4
. 1
6
=
1
12
5
2
÷ 3
4
=
10
3
8 Luego de reducir H =
3
4
+
2
5
1
6
; podemos afirmar:
A El valor de H está entre 1 y 2.
B El valor de H está en 2.
C El valor de H está entre 2 y 3.
D El valor de H es 1.
E El valor de H está entre 0 y 1.

23. 21
Matemática Delta 2 - Álgebra
Nivel II
9
10
11
12
13
14
15
16
Encuentra el valor de G.
G =
1
3
+
2
3
. 3
4
÷
3
4
A 1 B 2 C
1
3
D
2
3
E 3
Descubre el valor de M.
M =
1
2
+
1
2
3
2
–
2
3
A
5
6
B
1
2
C
3
8
D
4
5
E
11
12
Calcula el valor de M.
M =
1
3
1 +
1
2
1 +
A
1
2
B 2 C
3
2
D
5
2
E 3
Halla el valor de L.
L =
1
2
+ 1
1 –
1
2
+ 2
A 3 B 4 C 2
D 5 E 1
Determina el valor de A.
A =
1
2
1 –
1
3
1 +
1
4
1 –
A
1
8
B
1
4
C
4
3
D
3
4
E
1
2
Encuentra el valor de E.
E =
2
5
+
1
2
–
2
3
+
1
10
A
2
3
B
1
3
C
3
5
D
4
15
E
3
10
Calcula el valor de H.
2 +
1
3
H =
3 –
1
3
+
4
2
1
D
1
4
E
3
4
A 1 B
1
8
C
2
3
Descubre el valor de L.
A
5
2
B
7
3
C
4
3
D
8
7
E
7
6
L =
2
3
+
1
3
1 +
1
3
1
2
+ 1

24. 22
18
19
20
21
22
23
24
17 Halla el numerador reducido de A.
A =
4
3
2 +
3
2
+ 1 –
1
3
1
2
A 4 B 5 C 3
D 6 E 7
Determina el valor de M.
M =
5
4
÷ ÷
3
2
× +
2
3
1
5
5
9
A
17
3
B
8
3
C
9
2
D
7
2
E
10
3
Encuentra el valor de L =
1
2
1
2
1
2
+ 1
+ 1 + 1;
A
3
2 B
5
4
C
15
8
D
11
4
E
13
8
luego, indica los dos tercios de L.
Reduce la expresión ; luego,
A =
3
x
+
5
2x
–
1
4x
A 2x B 8x C 3x
D 6x E 4x
indica su denominador.
Descubre el valor de R.
A
5
3 B
3
5
C 5
D 15 E 18
R =
1 +
1
2
1 +
1
3
1 +
1
4
1 +
1
5
1 –
1
2
1 –
1
3
1 –
1
4
1 –
1
5
Calcula el valor de A.
A 1 B x + 1 C 2
D x – 1 E 3
Halla el valor de P.
P = 1 +
1
1
1 +
1 –
1
3
A
5
3
B
3
2
C
2
3
D
7
5
E
7
3
Determina el valor de H.
H = 1 +
2 +
1
3
2 –
1
1 –
1
3
D
11
3
E
11
3
A
17
3
B
13
6 C 5
Nivel III
A =
x – 3
x + 1
+
2x + 14
2x + 2
+
3x – 3
3x + 3

25. Tema
23
Matemática Delta 2 - Álgebra
Potenciación
2
Los átomos son muy pequeños; los tamaños típicos
son alrededor de 100 pm (diez mil millonésima parte
de un metro = 10–10 m).
¿Sería cómodo hacer cálculos con cantidades muy
grandes o muy pequeñas sin expresarlas como
potencia?
Potenciación
Es la operación que permite encontrar la cantidad llamada potencia P dadas las
cantidades b (base) y n (exponente).
bn = P
bn = b × b × b × ... × b
n factores
Definiciones
Exponente entero positivo
Si b es cualquier número real y n es un número entero positivo, entonces la enésima
potencia de b es:
Ejemplos:
a) 53 = 5 . 5 . 5 = 125 b) –35 = –3 . 3 . 3 . 3 . 3 = –243
3 factores 5 factores
c) (–2)4 = (–2)(–2)(–2)(–2) = 16
4 factores
d)
2
3
–
3
= =
2
3
– . 2
3
–8
27
– . 2
3
–
3 factores
Exponente cero
Si a es un número real diferente de cero, elevado al exponente cero, entonces el
resultado es 1.
a0 = 1; a ≠ 0
Ejemplos:
a) 340 = 1 b)
c) (–7)0 = 1 d) –90 = –1
3
5
0
= 1
Exponente entero negativo
Si b es un número real diferente de cero y n es un número entero positivo, entonces:
b–n = ; b ≠ 0
1
b
n
=
1
bn
Ejemplos:
a) 3–2 =
1
3
2
=
1
3
. 1
3
=
1
9
c) = 23 = 2 . 2 . 2 = 8
1
2
–3
b) (–5)–3 =
1
–5
–1
125
1
–5
1
–5
=
d)
2
3
–
–2
=
3
2
–
2
=
3
2
–
3
2
– =
9
4
(+)par = +
(–)par = +
(+)impar = +
(–)impar = –
• 24 = 16
• (–2)4 = 16
• 23 = 8
• (–2)3 = –8
Recuerda
Observa

26. 24
Exponentes racionales
Si n es cualquier entero positivo, entonces la raíz enésima principal de a se define
como:
a
n
= r, significa rn = a
Para cualquier exponente racional
m
n donde m y n son enteros y n > 1, definimos:
b
m
n = ( b
n
)m = bm
n
Ejemplos:
a) 9
1
2 = 9 = 3
c) 125
1
3 = 125
3
= 5
b) 4
3
2
= ( 4)3 = 23 = 8
d) 32
–1
5 =
1
32
1
5
=
1
32
5
=
1
2
Propiedades
Multiplicación de potencias de bases iguales
bm . bn = bm + n
Ejemplos:
a) 34 . 35 = 34 + 5 = 39
c)
1
2
2
. 1
2
6
=
1
2
2 + 6
=
1
2
8
b) 42 . 4–3 . 45 = 42 – 3 + 5 = 44
d)
–1
3
4
. –1
3
3
=
–1
3
4 + 3
=
–1
3
7
División de potencias de bases iguales
bm
bn
= bm – n ; b 0
Ejemplos:
a)
26
24
= 26 – 4 = 22 = 4
c)
x5
x2
= x5 – 2 = x3
b)
57
5–2
= 57 – (–2) = 59
d)
b–2
b–5
= b–2 – (–5) = b3
Potencia de una multiplicación
(a . b)n = an . bn
Ejemplos:
a) (4 × 3)3 = 43 × 33
c) (3 × 2)–4 = 3–4 × 2–4
b) (2 × 3 × 5)4 = 24 × 34 × 54
d) (x . y . z)5 = x5 . y5 . z5
Observa
Importante
(+)
(–)
(+)
(–)
impar
impar
par
par
= (+)
= (–)
= (+)
= ∃ R
b
n
= b
n
m
m
Nota
5n × 2n = (5 × 2)n
= 10n

27. 25
Matemática Delta 2 - Álgebra
Potencia de potencia
(bn)m = bn . m
Ejemplos:
a) (34)5 = 34 . 5 b) ((52)–2)3 = 52 . (–2) . 3 = 5–12
c) ((2)2)–2 = 22 . (–2) = 2–4 d) ((x2)–4)–1 = x2 . (–4)(–1) = x8
Potencia de una división
a
b
n
=
an
bn
; b 0
Ejemplos:
a) b)
4
5
3
=
43
53
x
y
4
=
x4
y4
c) d)
3
5
6
=
36
56
2
w
n
=
2n
wn
Exponentes sucesivos
bnmp
= b
nq
= ar
Ejemplos:
a) 3501
= 35
0
= 31 = 3 b) x304
= x3
0
= x1 = x
c) 12270
= 122
1
= 122 = 144 d) y2340
= y2
31
= y23
= y
8
Raíz de un producto
a . b = .
n
a
n
b
n
a) 9 . 25 = 9 . 25 = 3 . 5 = 15
b) –8 . 27 =
3
–8
3
. 27
3
= (–2) . 3 = –6
Raíz de un cociente
a
b
n
=
a
n
b
n
Ejemplos:
Ejemplos:
a)
25
9
5
3
=
25
9
=
b)
81
16
3
2
= =
4 81
4
16
4
Importante
103
23
=
10
2
3
= 53
Observa
a
n
. b
n
= a . b
n
a
b
n
=
a
n
b
n

28. 26
Raíz de raíz
n
m p
a =
n . m . p
a
b) x5 = x5
3 . 2
= x5
6
3
d)
3
Ejemplos:
a) 81 = 81
2 . 2
= 81
4
c) 25 = 25
2 . 3 . 2
= 25
12
3
4
xy
3 . 2 . 4
xy
= = xy
24
Operaciones combinadas
Cuando aparecen operaciones combinadas, es necesario seguir la prioridad de los
signos de operación en el siguiente orden:
1.° Si en la expresión aparecen signos de colección, deberá operarse primero la parte
interna.
2.° Se realizan las potencias y radicales.
3.° Se realizan las multiplicaciones y divisiones evaluando de izquierda a derecha.
4.° Se realizan las adiciones y sustracciones.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Determina el valor de
Calcula el valor de M.
Resolución:
Tenemos: H =
5
2
–
1
2
16
9
÷ +
24 – 3 + 2
1
1
3
H =
5
2
–
1
2
4
3
. 1
8
+ +
1
3
=
5
2
–
1
2
1 . 1
3 . 2
1 . 2
3 . 2
H =
5
2
– – =
1
2
1 + 2
6
=
5 . 2
2 . 2
1 . 1
2 . 2
10 – 1
4
=
9
4
H =
5
2
–
1
2
16
9
÷ +
24
23 . 2–2
1
3
9
4
M = 2–1 – (–2) . 3 – + 33 – 4 – (–2) . 2
. 2
1
2
÷
M =
2–1
2–2
. 3 – +
1
2
9
4
÷
33
34 . 3–2
M = 2 . 3 – + 3 .
1
2
2
3
. 2
M = 6 – 5 = 1
M = 6 – + 2
1
2
5
2
. 2 = 6 – . 2
.

29. 27
Matemática Delta 2 - Álgebra
1
2
3
4
5
6
Indica la suma de todos los valores que faltan. Reduce la expresión R.
5
53
5
53
= 54
= 54
x3
x3
8
8
x3
x3
=
=
(a3) = a–6
(a3) = a–6
III.
II.
I.
III.
II.
I.
Resolución:
Completamos:
7
4
–2
Efectúa E.
E =
x10 . y12 . z6
x8 . y–4 . z5
Resolución:
Reducimos bases iguales.
Piden: 7 + 4 + (–2) = 11 – 2 = 9
E =
x10
x8
. y12
y–4
. z6
z5
= x10 – 8 . y12 – (–4) . z6 – 5 = x2 . y16 . z1
Rpta. x2 . y16 . z
Rpta. 9
Reduce E.
Resolución:
Tenemos:
E =
310
3 . 81
=
310
3 . 34
=
310
31 . 34
=
310
31 + 4
= 310 – 5 = 35
Rpta. 35
R =
x3
4
. x2
4
x–5
4
R =
x3
4
. x2
4
x–5
4
Resolución:
Tenemos:
=
x3 . x2
x–5
4
x3 + 2 – (–5)
4
=
= x10
4
= x5
Rpta. x5
Halla el valor de N.
N =
2
3
–2 2
+ +
4
9
–1
–1
7
4
Resolución:
Tenemos:
=
9
4
+
9
4
+
7
4
=
9 + 9 + 7
4
=
25
4
=
25
4
=
5
2 5
2
Rpta.
Calcula el valor de M.
M = 27
–9–2
–1
Resolución:
Realizamos operaciones:
M =
1
27
1
27
1
9
1
2
=
1
9
=
1
27
3
= =
Rpta.
1
3 1
3
N =
3
2
2
+ +
9
4
1
7
4
1
2
1
2
1
2
E =
3 × 3 × 3. ... × 3
3 + 3 + 3 + ... + 3
10 factores
81 veces
E =
3 × 3 × 3. ... × 3
3 + 3 + 3 + ... + 3
10 factores
81 veces
1
27
1
3
Ejercicios resueltos

30. 28
218 . 1036 . 10–24
210 . 1012
[26 . 1012 . 10–8]3
210 . 1012
[(23 . 106)2 . (104)–2]
3
1024 . 1012
7 10
11
12
8
9
Determina el valor de H.
98 + 18 – 8
8
H =
Resolución:
Tenemos:
Rpta. 4
H =
49.2 + 9.2 – 4.2
4.2
=
49 . 2 + 9 . 2 – 4 . 2
4 . 2
7. 2 + 3. 2 – 2. 2
2 . 2
=
(7 + 3 – 2) . 2
2 . 2
=
8 . 2
2 2
= = = 4
8
2
Encuentra el valor de L.
L =
[(8 000 000)2 . 10 000–2]3
1 024 000 000 000 000
Resolución:
Tenemos:
L =
= = 218 – 10 . 1036 – 24 – 12
=
= 28 = 256
Rpta. 256
Halla el valor de G.
G =
63 . 95 . 43
1084
Resolución:
Tenemos:
G =
(2 . 3)3 . (32)5 . (22)3
(22 . 33)4
=
23 . 33 . 310 . 26
28 . 312
= 23 + 6 – 8 . 33 + 10 – 12
= 21 . 31 = 6
Rpta. 6
Realiza la operación A.
A = 46 ÷ [(12 ÷ 6)4 × 3 – (13 – 7)2 + 64
3
]2 – 49
Resolución:
Tenemos:
A = 46 ÷ [(2)4 × 3 – (6)2 + 64
3
]2 – 49
= 46 ÷ [16 × 3 – 36 + 4]2 – 7
= 46 ÷ [48 – 36 + 4]2 – 7
= 46 ÷ [16]2 – 7
= 46 ÷ [42]2 – 7
= 46 – 4 – 7 = 16 – 7 = 9
Rpta. 9
Reduce R.
(((xy)3y)2x)5
((x2y)3y)8
R =
Resolución:
Tenemos:
R =
(((x1y1)3y1)2x1)5
((x2y1)3y1)8
=
((x3y3y1)2x1)5
(x6y3y1)8
=
(x6y6y2x1)5
(x6y3y1)8
(x6 + 1y6 + 2)5
(x6y3 + 1)8
=
=
x7 . 5y8 . 5
x6 . 8y4 . 8
= x35 – 48 . y40 – 32 = x–13y8 =
Rpta.
y8
x13
y8
x13
Reduce la expresión V.
V = x3 . x2
3
. x3
V = x3 . x2
3
. x3
Resolución:
Tenemos:
= x3 . x2
3
.
2 3 2
x3
2
=
2
x3 .
2 3
x2 .
3 2
x3
2
= x3
2
. x2
6
. x3
12
= x
3
2
. x
2
6
. x
3
12
= x
3 . 6
2 . 6
+
2 . 2
6 . 2
3
12
+
= x
18 + 4 + 3
12 = x
25
12 = x25
12
Rpta. x25
12

31. 29
Matemática Delta 2 - Álgebra
3 4
2
Síntesis
1
Modela y resuelve
Cero
Entero negativo
Fraccionario
Potenciación
Exponente Propiedades
Entero positivo
b0 = 1; b ≠ 0
b–n =
1
bn
; b ≠ 0
bn . bm = bn + m
Multiplicación de
bases iguales
División de bases
iguales
(ab)n = an . bn
(bn)m = bn . m
Potencia de una
multiplicación
Potencia de
potencia
Potencia de una
división
bn = b × b × b × b × ... × b
n factores
= bm
n
donde
n ≠ 0
bn
bm
= bn – m
=
a
b
n an
bn
Operaciones
combinadas
Raíz de una
multiplicación a.b = .
n
a
n
b
n
Raíz de una
división
a
b
n =
a
n
b
n
m n
a =
n . m
a
Raíz de
raíz
1.° ( ); [ ]; { }
2.° ( )n; n
3.° × ; ÷
4.° + ; –
Primero parte interna de los signos de colección
Potenciación y radicación
Multiplicación y división de izquierda a derecha
Finalmente, sumas y restas
b
m
n
Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
( ) ab–2 =
1
ab2
( ) x2
6
= x1
3
( ) x3
x–2
= x5
( ) –42 = 16
Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
( ) xy–3 =
x
y3
( ) x3
12
= x1
3
( )
a5
a–3
= a2
( ) –52 = –25
Calcula el valor de H. Calcula el valor de O.
Resolución: Resolución:
H =
56 . 53 . 5–3
25
47 . 43 . 4–5
16
O =
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

32. 30
9 10
11 12
5 6
7 8
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Halla el valor de L.
L = 64 + 64
3
Halla el valor de A.
A = 81 + 125
3
Determina la expresión equivalente a C.
C = (3–2)3 . (33)4 . (35)–1
Determina la expresión equivalente a R.
R = (2–3)3 . (25)2 . (2–2)–1
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Encuentra el valor de M. Encuentra el valor de P.
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
M = 36
3
. 60
3
80
3
P = 12
4
. 40
4
30
4
Reduce E. Reduce E.
E =
((a2b)3b)2
(a3 . b2)3
E =
((x3y)2x)3
(x2 . y3)2

33. 31
Matemática Delta 2 - Álgebra
13
17 18
19 20
14
15 16
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Calcula el valor de N. Calcula el valor de A.
N =
16
9
–2
–1
A =
8
27
–3
–1
Efectúa H. Efectúa O.
H =
2n + 1 + 6 . 2n
2 . 2n O =
3n + 1+ 12 . 3n
3 . 3n
Halla el valor de Y.
Y = 232
– 231
+ 230
Halla el valor de E.
E = 223
– 222
+ 221
– 220
Reduce la expresión S. Reduce la expresión T.
S =
x3
3
x
6
. x
x
3 T =
a5
4
a
8
.
a
a
3

34. 32
21 22
23 24
25 26
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Determina el valor de R. Determina el valor de A.
Encuentra el valor de M. Encuentra el valor de M.
M =
353 . 126
283 . 152 . 64
Calcula el valor de R. Calcula el valor de N.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
M =
206 . 215
355 . 123 . 62
R =
3
5
–2 –1
+ +
9
4
7
9
0,5
R = 16
4
– 2
6
5
5
6
2
.
3
A =
5
4
–2 –1
– +
25
8
1
25
0,5
N = 27
3
– 10
3
5
5
3
4
.
3

35. 33
Matemática Delta 2 - Álgebra
Rpta.
27 28
¿Cuánto tiempo en minutos demoraría el viaje del
Halcón Milenario (a su velocidad máxima), de la
Tierra a la estrella Alfa Centauro?
29 30
Rpta. Rpta.
Reduce y halla el valor de S. Reduce y halla el valor de F.
x2
S = x3 x
3 4
.
. n3
F = n2 n3
3 4
.
.
El carguero ligero YT-1300 fue uno de los diseños más famosos de la Corporación de Ingeniería Corelliana. El
ejemplo más notable de este modelo era el Halcón Milenario, un YT-1300 modificado capitaneado por Han
Solo. Esta nave puede alcanzar una velocidad de 1,5c. Si tenemos las distancias aproximadas a las estrellas:
• De la Tierra a Alfa Centauro: 45 000 000 000 000 km.
• De la Tierra a Barnard : 60 000 000 000 000 km.
• De la Tierra a Wolf359 : 75 000 000 000 000 km.
Si el Halcón Milenario viajara a su velocidad
máxima de la Tierra a la estrella Wolf359, ¿cuánto
tiempo demoraría en segundos?
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
distancia = velocidad × tiempo
1c = 3 . 105 km/s

36. 34
5
6
7
8
Practica y demuestra
1
4
2
3
Nivel I
Indica si la operación es verdadera (V) o falsa (F).
( ) 3 . 23 = 63
( ) 27 = 3 3
( ) 34 + 32 = 36
( ) 5
3
. 25
3
= 5
A VFVF B FFVV C VVFF
D FVFV E FFFV
A Ia; IId; IIId; IVc
B Ie; IId; IIIa; IVb
C Ib; IIa; IIId; IVe
D Ia; IId; IIIb; IVe
E Ic; IIb; IIIb; IVc
Relaciona cada operación con su respuesta.
I. 42–1 a. 2
II. 612
6
b. 12
III. 3 × 22
c. 1
16
IV. 4
2–1 e. 8
d. 36
Determina el valor de M.
M =
4 . 8 . 25
27
A 1 B 4 C 16
D 8 E 2
Calcula el valor de R.
R =
2
5
–2
+
4
3
–1
+ 3
A 7 B 10 C 8
D 9 E 6
Reduce E.
E =
2 × 2 × 2 × ... × 2
2 + 2 + 2 + ... + 2
10 factores
32 veces
A 8 B 16 C 32
D 4 E 64
Halla el valor de N.
A 512 B 36 C 128
D 48 E 64
N =
105
55
+ ((2–2
)
1
3 )–6
Encuentra el valor de Q.
A
5
2
B
13
2
C
11
2
D
17
2 E
7
2
Q =
5 . 6 . 8
15
+
27
3
4
Descubre el valor de M.
A 14 B 15 C 16
D 81 E 13
M =
36 + 2 . 35 – 34
34

37. 35
Matemática Delta 2 - Álgebra
9
10
11
12
13
14
15
16
Nivel II
Determina el valor del exponente de x, luego de
reducir S.
S = x . x . x . ... . x
x2 . x2 . x2 . ... . x2
48 factores
10 factores
A 8 B 4 C 6
D 5 E 10
Indica el doble del valor de P.
P = 15 . 6–1 +
2
3
–2
– (–2)3
A 10 B 20 C 8
D 30 E 15
H =
Calcula el valor de H.
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
61 +
3
12 – 27
3
Halla el valor de a para que B sea 5.
A 5 B 8 C 6
D 9 E 7
B =
2a + 1 + 3 . 26
2a
Si I = 40 000 000 000 y Z = 0,00005, encuentra el
valor de L.
L = I . Z2
A 10 B 0,1 C 1
D 4 E 100
Descubre el valor de M.
M =
1
4
–2 –2
–1
+
1
9
+
1
6
–1 –2
–1
A
1
6
B
1
3
C
1
5
D
1
4
E 2
Simplifica A.
A =
(xx + 1)y
xy
xy
A 1 B x C x–1
D x2 E x
Determina el valor de L.
A 1 B 2 C 4
D 8 E
1
2
2m + 3 . 4m + 2n
8m – 2 . 16n + 2
L =
1
x

38. 36
17
21
22
23
24
18
19
20
Calcula el valor de A.
A 3 B 4 C 6
D 9 E 12
A =
63 . 95 . 43
1084
Halla el valor de E.
E = (16–4–2–1
)–2–1
A 2 B –2 C
1
2
D
1
4
E 4
Encuentra el valor de Z.
Z = 1 –
1
6
1
2
50
2
32
3–1
+
–2
– 2(–2)3
0
A – 6 B 12 C 10
D 4 E 8
Si el exponente de x al reducir F es 2, descubre
el valor de a.
F =
x
3
xa
3
x2
A 12 B 8 C 6
D 10 E 4
Nivel III
Simplifica y determina el valor de T.
Indica cuántas proposiciones son incorrectas.
• x4
1
2
= x2
• x =
x x3
4
• (xa
b
)
c
= xc . a
b
• –a3
3
= –a
A una B tres C dos
D cuatro E ninguna
T =
202 . 32 . (213)2
45 . 123 . 982 . 49
A 20 B 10 C 50
D 30 E 120
Si se sabe que abc = 4, calcula el valor de Q.
a b
Q = . b c . c a
A 7 B 9 C 11
D 8 E 10
El USS Enterprise NCC-1701 es una nave del
universo de Star Trek, tiene una velocidad máxima
de 9 Warp, si conocemos las equivalencias:
1 Warp = 2,5 . 104 c (velocidad de la luz)
1 c = 3 . 108 m/s (metros por segundos)
1 año luz = 9 . 1015 m
En cuánto tiempo viajando a velocidad máxima
llegará a la galaxia de Andrómeda, si esta dista
del planeta Tierra 2,7 . 106 años luz.
Nota: distancia = velocidad × tiempo
A 5 . 104 horas. B 106 horas
C 2 . 105 horas D 105 horas
E 3 . 106 horas

39. Matemática Delta 2 - Álgebra
Tema
37
Polinomios
3
María compra 8 manzanas y 6 naranjas,
Elena compra 7 naranjas y 5 peras,
Lorena compra 8 peras y 4 manzanas.
¿Cómo podemos sumar lo comprado?
René Descartes
Francia: 1596
Suecia: 1650
¿Sabías que...?
René Descartes,
fue quien comenzó
la utilización de las
últimas letras del
alfabeto (x, y ∧ z)
para designar
las cantidades
desconocidas.
Importante
La notación
algebraica nos
permite reconocer
cuáles son las
variables en una
expresión.
P(x) = x3 + xy + y3
Una expresión algebraica es una combinación de números (coeficientes) y letras
(variables) enlazadas por la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y
radicación, pero un número limitado de veces.
Ejemplos:
a) V(r) = 1,25pr3 Expresión algebraica de variable r
b) P(x) = 2x5 + 6x – 9 Expresión algebraica de variable x
c) Q(x; y) = –3x5 + 5xy2 + 16y4 Expresión algebraica de variables x e y
d) A(x) = 1 + x + x2 + x3 + .... No es una expresión algebraica, porque tiene infinitos términos
Definiciones
Término algebraico
Es la mínima expresión algebraica, está formada por el producto de números
(coeficientes) y letras (variables).
– 6x2y3
exponentes
variables
signo
coeficiente
variable
A(x; y) = 2x2 + xy + y4
variables
Observa
M(x; y) = –4x3y5
Coeficiente: –4
Parte literal: x3y5
Términos semejantes
Dos o más términos son semejantes si presentan las mismas variables con exponentes
iguales.
a) –15x5y7 ; 1x7y5 ; 3x5y5 No son términos semejantes
b) 19x3y6 ; –6y6x3 ; 33x3y6 Son términos semejantes
c) 10x2y5 ; 3y5x2z ; 42x2y5w No son términos semejantes
Ejemplo:
Calcula el valor de a . b si los siguientes términos son semejantes:
P(x; y) = 12x7y2b – 1z2; Q(x; y) = 7x3a – 2y9z3
Resolución:
Si P(x; y) y Q(x; y) son semejantes, tienen igual parte literal (exponentes de sus
respectivas variables son iguales).
Entonces: 3a – 2 = 7 ∧ 2b – 1 = 9
a = 3 b = 5
Nos piden: a . b = 3 . 5 = 15

40. 38
Reducción de términos semejantes
Para reducir dos o más términos semejantes sumamos o restamos los coeficientes
(según indique el signo) con la misma parte literal.
Ejemplo:
Reduce la siguiente expresión H(x) = 3x3 – 5x + 6x2 – x + x3 – 4x2.
Resolución:
Juntamos los términos semejantes:
H(x) = 3x3 + 1x3 + 6x2 – 4x2 – 5x – 1x
H(x) = (3 + 1)x3 + (6 – 4)x2 + (–5 – 1)x
H(x) = 4x3 + 2x2 – 6x
Polinomios
Es aquella expresión algebraica finita, formada por uno o más términos, ligados entre
sí por operaciones de suma y/o resta, cuyos exponentes de las variables son números
enteros positivos.
En el general:
P(x) = a0xn + a1xn – 1 + ... + an – 1x + an ; a0 ≠ 0
nombre del
polinomio
mayor
exponente
variable coeficiente
principal
grado
término
independiente
Donde: a0; a1; ... ; an son coeficientes del polinomio.
Definiciones
1. Si a0 = 1, entonces P(x) es llamado mónico.
2. Si a0 = a1 = ... = an – 1 = an = 0, entonces P(x) es llamado polinomio idénticamente nulo.
3. Si los exponentes son consecutivos, entonces P(x) es llamado completo y ordenado
(creciente o decreciente).
Propiedades
1. Suma de coeficientes: a0 + a1 + ... + an – 1 + an = P(1)
2. Término independiente (T. I.): an = P(0)
Ejemplos:
Sean los polinomios:
a) P(x) = 1x4 – 2x3 + x2 – 5x + 7
El polinomio es mónico: a0 = 1
Es de grado 4: el mayor exponente es 4.
Es completo y ordenado: exponentes consecutivos.
Su término independiente es 7.
b) Q(x) = 3x5 + 3x4 – x2 + 17
El polinomio no es mónico: a0 ≠ 1
Es de grado 5: el mayor exponente es 5.
No es completo pero sí ordenado.
Su término independiente es 17.
c) R(x) = 3x2 + 9x4 – x6 + 11
El polinomio no es mónico: a0 ≠ 1(a0 = –1)
Es de grado 6: el mayor exponente es 6.
No es completo ni ordenado.
Su término independiente es 11.
Recuerda
Se reducen
términos solo si son
semejantes.
En un polinomio
los exponentes son
enteros positivos
Polinomio con:
• Un término:
Monomio
4xy3
• Dos términos:
Binomio
4x3 – 7xy
• Tres términos:
Trinomio
2x3 – 4xy2 + 6y4
• Con n términos:
Polinomio de n
términos.
3x – 5 + 7x2 – 2x5 + x7
Importante
El número de
términos de un
polinomio completo
es igual a su grado
más uno.
Observa
Exponentes
consecutivos desde
el mayor hasta el
T. I. (completo y
ordenado en forma
decreciente).
P(x) = 2x3 + x2 – 4x1 + 7x0
Exponentes
consecutivos desde
el T.I. hasta el mayor
(completo y ordenado
en forma creciente).
P(x) = 2x0 + 3x1 – x2 + x3

41. 39
Matemática Delta 2 - Álgebra
Valor numérico (V.N.)
Es el número que se obtiene luego de reemplazar las variables del polinomio por números.
Ejemplo 1
Sea el polinomio: R(x) = x3 + 3x2 – 6x – 7
Halla el valor de: R(2)
Resolución:
Tenemos: R(x) = x3 + 3x2 – 6x – 7
Entonces: R(2) = (2)3 + 3(2)2 – 6(2) – 7 = 8 + 3 . 4 – 12 – 7
R(2) = 8 + 12 – 12 – 7 = 1
Ejemplo 2
Sea el polinomio: P(x; y) = 3xy2 + 5x2y – 5xy + 1
Halla el valor de: P(2; 1)
Resolución:
Tenemos: P(x; y) = 3xy2 + 5x2y – 5xy + 1
Entonces: P(2; 1) = 3 . 2 .12 + 5 . 22 . 1 – 5 . 2 . 1 + 1 = 6 + 5 . 4 – 10 + 1
R(2; 1) = 6 + 20 – 10 + 1 = 17
Grado de un polinomio
Grado relativo (G.R.)
Es el mayor valor del exponente de una variable.
Ejemplo:
P(x; y) = 5x5y7 G.R.(x) = 5
G.R.(y) = 7
Q(x; y) = 2x2y3 – 5x7y + 11x5y5 G.R.(x) = 7
G.R.(y) = 5
Grado absoluto (G.A.)
- De un monomio: Es la suma de exponentes de sus variables.
- De un polinomio: Es el mayor grado absoluto de los términos del polinomio.
A(x; y) = 7x5y4
⇒ G.A.(A) = 9
B(x; y) = 3x2y7 + 7x7y6 – 13x9y2
⇒ G.A.(B) = 13
5 + 4 = 9 2 + 7 = 9 7 + 6 = 13 9 + 2 = 11
Dado el polinomio: P(x; y) = 15a4x3y9 + 9y10x5 – x12y.
Halla M = G.R.(x) + G.R.(y) + G.A.(P)
Resolución:
P(x; y) = 15a4x3y9 + 9y10x5 – x12y
G.R.(x) = 12
G.R.(y) = 10
G.A.(P) = 15
3 + 9 10 + 5 12 + 1
Luego: M = 12 + 10 + 15 ⇒ H = 37
Polinomios idénticos
Dos polinomios P(x) y Q(x) son idénticos cuando tienen los mismos valores numéricos
para cualquier valor que se asigne a sus variables. Es decir:
V.N.[P(x)] = V.N.[Q(x)] ⇒ P(x) ≡ Q(x)
Ejemplo:
Encuentra el valor de a + b + c, si 2x2 – 3x + 1 ≡ a(x + 1)2 + b(x + 1) + c
Resolución:
En los polinomios idénticos hacemos que x = 0
Entonces: 2 . 02 – 3 . 0 + 1 = a(0 + 1)2 + b(0 + 1) + c
0 – 0 + 1 = a + b + c ⇒ a + b + c = 1
Importante
Sea:
P(x) = 3x +5
Si: x → x + 1
P(x + 1) = 3(x + 1) + 5
Si: x → x2
P(x2) = 3x2 +5
Desafío
P(x; y) = 2n2x3y4z5
- ¿Es de grado 14?
- No, es de grado 7
- ¿Por qué?
Nota
Si:
P(x) Q(x)
axn + b = cxn + d
Entonces:
a = c b = d
Los coeficientes de
los términos con igual
grado son iguales.

42. 40
Polinomios homogéneos
Un polinomio es homogéneo cuando sus términos tienen igual grado.
Ejemplos:
a) 3x2y4 – 5x6 + 2x5 y Sus términos tienen grado 6, entonces es homogéneo.
2 + 4 = 6 = 5 +1
b) 5x3y5 – 7x6y2 + 2x4y4 Sus términos tienen grado 8, entonces es homogéneo.
3 + 5 = 6 + 2 = 4 + 4
Importante
(+)(+) = (+)
(–)(–) = (+)
(–)(+) = (–)
(+)(–) = (–)
Operaciones con polinomios
Adición y sustracción de polinomios
Para sumar o restar polinomios, reducimos sus términos semejantes.
Ejemplo:
Sean los polinomios:
P(x) = 2x2 – 5x + 3; Q(x) = 3x2 + 5x – 9; R(x) = 5x2 + 2x – 5
Determina: P(x) + Q(x) – R(x)
Resolución:
Piden: P(x) + Q(x) – R(x) = 2x2 – 5x + 3 + 3x2 + 5x – 9 – (5x2 + 2x – 5)
P(x) + Q(x) – R(x) = 2x2 – 5x + 3 + 3x2 + 5x – 9 – 5x2 – 2x + 5
P(x) + Q(x) – R(x) = 0x2 – 2x – 1 = –2x – 1
Multiplicación de polinomios
Multiplicación de monomios
Multiplicamos los coeficientes (parte numérica), luego la parte literal.
Ejemplo:
(–5x2y)(7x3y2) = (–5)(7)x2 + 3y1 + 2 = –35x5y3
Multiplicación de polinomio por polinomio
Se aplica la propiedad distributiva, luego multiplicamos los monomios.
Ejemplos:
Desarrolla (x2 – x + 2)(x + 2).
(x2 – x + 2)(x + 2) = x2(x + 2) – x(x + 2) + 2(x + 2)
= x2(x) + x2(2) – x(x) – x(2) + 2(x) + 2(2)
= x3 + 2x2 – x2 – 2x + 2x + 4
= x3 – x2 + 4
Desarrolla (2x – 5)(x3 + 3x – 8).
(2x – 5)(x3 + 3x – 8) = 2x(x3 + 3x– 8) – 5(x3 + 3x – 8)
= 2x(x3) + 2x(3x) + 2x(–8) – 5(x3) – 5(3x) – 5(–8)
= 2x4 + 6x2 – 16x – 5x3 – 15x + 40
= 2x4 – 5x3 + 6x2 – 31x + 40
a)
b)
Recuerda
bn . bm = bn + m
Propiedad distributiva
a(b ± c) = ab ± ac

43. 41
Matemática Delta 2 - Álgebra
1
2
3
4
5
6
Dado el polinomio P(x) = 2x3 + x4 – 2x2 + 6 – x.
Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
( V ) El polinomio es mónico.
El coeficiente principal es 1(1x4).
( F ) La suma de coeficientes es 7.
P(1) = 2 + 1 – 2 + 6 – 1 = 6.
( V ) El término independiente es 6.
P(0) = 0 + 0 – 0 + 6 – 0 = 6.
( F ) P(x) es de grado 3.
El mayor exponente es 4.
( F ) Es idénticamente nulo.
Los coeficientes tendrían que ser iguales a
cero.
Rpta. VFVFF
Si los términos 3axa + 3b y7 ; 5bx9y2a + 1
son semejantes, determina el valor de M = 2a – b.
Resolución:
Si los términos son semejantes, tienen igual parte
literal:
a + 3b = 9 (1)
2a + 1 = 7 (2)
De (2): 2a = 7 – 1 ⇒ a = 3
En (1): 3 + 3b = 9 ⇒ b = 2
Nos piden: M = 2(3) – 2 = 6 – 2 = 4
Rpta. 4
Sea F(x) =
2x + 1
x – 1
, halla el valor de A = F(F(2)).
Resolución:
Tenemos:
2x + 1
x – 1
F(x) = 2 . 2 + 1
2 – 1
F(2) = =
5
1
= 5
Entonces: A = F(F(2)) = F(5)
Para: x = 5
Para: x = 2
2x + 1
x – 1
F(x) = 2 . 5 + 1
5 – 1
F(5) = =
11
4
Luego: A = F(5) =
11
4
Rpta.
11
4
Si el polinomio
P(x) = 2xa – b + 3 – 3xb – c + 1 + 7xc – 2
es ordenado y completo en forma ascendente,
calcula el valor de H = 2a – 3b + 4c.
Resolución:
Tenemos el polinomio completo y ordenado en
forma ascendente:
P(x) = 2xa – b + 3 – 3xb – c + 1 + 7xc – 2
Entonces:
• c – 2 = 2 ⇒ c = 4
• b – c + 1 = 1 ⇒ b – 4 + 1 = 1 ⇒ b = 4
• a – b + 3 = 0 ⇒ a – 4 + 3 = 0 ⇒ a = 1
Nos piden: H = 2(1) – 3(4) + 4(4) = 6
0 1 2
Rpta. 6
Sea P(x – 2) = x3 – x2, reduce la expresión E.
E =
P(–1) + P(1)
P (0)
Resolución:
Tenemos: P(x – 2) = x3 – x2
• x – 2 = –1 ⇒ x = 1: P(1 – 2) = 13 – 12 ⇒ P(–1) = 0
• x – 2 = 1 ⇒ x = 3: P(3 – 2) = 33 – 32 ⇒ P(1) = 18
• x – 2 = 0 ⇒ x = 2: P(2 – 2) = 23 – 22 ⇒ P(0) = 4
Entonces: E =
0 + 18
4
=
9
2
Rpta.
9
2
Dada la identidad en x, encuentra el valor de nm.
11x – 1 ≡ n(x – 2) + m(2x + 3)
Resolución:
Tenemos polinomios idénticos (tienen igual valor
numérico)
x = 2 : 11 . 2 – 1 = n(2 – 2) + m(2 . 2 + 3)
21 = n . 0 + m . 7
3 = m
x = 1 : 11 . 1 – 1 = n(1 – 2) + 3(2 . 1 + 3)
10 = n(–1) + 15
n = 15 – 10 = 5
Piden: n . m = 5 . 3 = 15
Rpta. 15
Ejercicios resueltos

44. 42
7
8
9
10
11
12
Si el polinomio
P(x) = (a – b + 1)x2 + (b – 2c + 1)x + c – 2
Es idénticamente nulo, descubre el valor de M.
M = a + b + c
Resolución:
Un polinomio idénticamente nulo tiene todos los
coeficientes cero.
Entonces:
c – 2 = 0 ⇒ c = 2
b – 2c + 1 = 0 ⇒ b = 2(2) – 1
b = 3
a – b + 1 = 0 ⇒ a = (3) – 1
a = 2
Piden: M = 2 + 3 + 2 = 7
Rpta. 7
Sea H(x – 1) = 2x – 1 ∧ F(x + 1) = 2x + 3.
Determina el valor de M = F(H(2)).
Resolución:
Tenemos: H(x – 1) = 2x – 1
x – 1 = 2 ⇒ x = 3: H(x – 1) = 2x – 1
H(3 – 1) = 2 . 3 – 1
H(2) = 5
Entonces: M = F(H(2)) = F(5)
F(x + 1) = 2x + 3
x + 1 = 5 ⇒ x = 4 : F(4 + 1) = 2 . 4 + 3
F(5) = 11
Luego: M = F(5) = 11
Rpta. 11
Si el término independiente del polinomio
P(x + 1) = x2 – 3x + 2n, vale 3n + 5.
Halla la su suma de coeficientes de dicho polinomio.
Resolución:
Término independiente de P(x): P(0) = 3n + 5
x + 1 = 0 ⇒ x = –1 : P(–1 + 1) = (–1)2 – 3 (–1) + 2n
3n + 5 = 1 + 3 + 2n
n = –1
Piden:
Suma de coeficientes de P(x): P(1)
x + 1 = 1 ⇒ x = 0 : P(0 + 1) = 02 – 3(0) + 2(–1)
P(1) = 0 + 0 – 2 = –2
Rpta. –2
Calcula el valor de n, de tal manera que la
siguiente expresión:
P(x; y) = xn – 6 + xy
n
5 + 5x11 – n
sea un polinomio.
Resolución:
En un polinomio los exponentes son enteros
positivos o cero, entonces:
n – 6 ≥ 0 ⇒ n ≥ 6
n = {6; 7; 8; 9; 10; ...}
n
5
: n es múltiplo de 5 ⇒ n = {5; 10; ...}
11 – n ≥ 0 ⇒ 11 ≥ n ⇒ n ≤ 11
n = {0; 1; 2; ... ; 10; 11}
Luego: n = 10
Rpta. 10
Encuentra la suma de los coeficientes del
siguiente polinomio:
G(x – 1) = (3mx – 4m)2 + (3x – 4)2m + x2 + 4
Sabiendo que es el cuádruple de su término
independiente.
Resolución:
Dato: G(1) = 4G(0). Tenemos:
G(x – 1) = (3mx – 4m)2 + (3x – 4)2m + x2 + 4
x – 1 = 1 ⇒ x = 2: G(1) = (2m)2 + (2)2m + 22 + 4
x – 1 = 0 ⇒ x = 1: G(0) = (–m)2 + (–1)2m + (–1)2 + 4
Entonces:
4m2 + 22m + 4 + 4 = 4(m2 + 1 + 1 + 4)
4m2 + 22m + 8 = 4m2 + 24 ⇒ 22m = 22 . 2 ⇒ m = 2
Piden: G(1) = 42 + 22 . 2 + 22 + 4 = 40
Rpta. 40
Sea f(x) = ax + b un polinomio lineal tal que f(1) = 5
y f(3) = 7. Descubre el valor de f(12).
Resolución:
Tenemos: f(x) = ax + b
x = 1: f(1) = a . 1 + b ⇒ a + b = 5
b = 5 – a (1)
x = 3: f(3) = a . 3 + b ⇒ 3a + b = 7 (2)
(1) en (2): 3a + 5 – a = 7 ⇒ a = 1
En (1) : b = 5 – 1 ⇒ b = 4
Luego: f(x) = x + 4
Piden: f(12) = 12 + 4
f(12) = 16
Rpta. 16

45. 43
Matemática Delta 2 - Álgebra
Síntesis
Modela y resuelve
Polinomios
Grado Valor numérico (V.N.) Especiales
Términos semejantes
G.r.
Monomio Polinomio
G.A.
Exponente de
la variable.
Mayor exponente
de la variable.
Se suman o restan
Valor del polinomio cuando sus
variables son reemplazadas con
números.
Suma de
exponentes.
Mayor suma de
exponentes.
exponentes
enteros positivos
Suma de coeficientes de P(x): P(1)
Término independiente de P(x): P(0)
Tienen igual parte literal (variables y
sus respectivos exponentes iguales)
Ordenado
completo
Exponentes
consecutivos
hasta/desde
CERO
Homogéneo Términos de
igual grado
Idénticos
Igual valor
numérico
Idénticamente
nulo
Coeficientes
igual a cero
3
5
4
6
2
1 Dado el polinomio P(x) = (2x2 – x + 1)(3x2 + 2) + 5.
Entonces:
Dado el polinomio Q(x) = (4x2 – x + 2)(2x2 + 3) + 1.
Entonces:
• El grado del polinomio es
• El término independiente es
• La suma de coeficientes es
• El coeficiente principal es
• El grado del polinomio es
• El término independiente es
• La suma de coeficientes es
• El coeficiente principal es
Dado el polinomio P.
P(x; y; z) = 5x4y6z2 – 3x5y4z7 + 8x3y5z4w4
Entonces:
Si P(x) = 3x2 – 2x + 1, indica el valor de P(3).
Dado el polinomio P.
P(x; y; z) = 3x7y6z4 – 11x3y7z3 + 6x2y4z5w5
Entonces:
Si Q(x) = 4x2 – 3x + 2, indica el valor de Q(2).
• Grado relativo a x es
• Grado relativo a z es
• Grado relativo a y es
• Grado absoluto es
• Grado relativo a x es
• Grado relativo a z es
• Grado relativo a y es
• Grado absoluto es
Rpta. Rpta.

46. 44
9
11
13
10
12
14
8
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
7 Dado el polinomio Q(x) = (2x – 3)(x + 5), determina
el término independiente de Q(x).
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Dado el polinomio M(x) = (3x – 5)(x + 2), determina
el término independiente de M(x).
Resolución:
Halla el grado del polinomio P.
P(x) = 5(x3)4 – 3x5 . x4 + 3x9 – 2
Halla el grado del polinomio Q.
Q(x) = 3x – 4(x4)2 – 7x4 . x5 + 7x6
Si P(x) = 2x2 – x + 5, encuentra el valor de P(P(2)). Si H(x) = 2x2 – 3x + 1, encuentra el valor de H(H(2)).
Si el polinomio P(x) = 2xa – 2 + 3xb – 1 + 4xc – 3 + 5
es completo y ordenado, calcula el valor de abc.
Si el polinomio P(x) = 7 + 3xa – 2 + 5xb – 1 – 11xc – 3
es completo y ordenado, calcula el valor de abc.

47. 45
Matemática Delta 2 - Álgebra
15
17
19
16
18
20
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Descubre el valor de E(3).
A(x) = 2x – 5
V(x) = x2 – 4x + 7
E(x) = V(x – 2) + A(x)
Descubre el valor de L(2).
Z(x) = 3x – 2
I(x) = x2 – 2x + 6
L(x) = I(x – 1) + Z(x)
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Dada la identidad en x: 4x + 22 = a(x + 3) + b(3x – 1),
determina el valor de (a + b).
Dada la identidad en x: 5x + 11 = a(x + 4) + b(2x – 1),
determina el valor de (a + b).
Si el término independiente del polinomio P es
4n + 6 y P(x + 3) = x2 – 5x + n.
Halla la suma de coeficientes de dicho polinomio.
Si el término independiente del polinomio Q vale
4n + 7 y Q(x + 2) = x2 + 3x + n.
Halla la suma de coeficientes de dicho polinomio.

48. 46
23
25
24
26
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
21 22
Si el G.A.(F) = 15 y G.R.(x) = 2, calcula el
coeficiente del monomio.
F(x; y) = m(n + 1)xm – ny2m + n
Si el G.A.(M) = 9 y G.R.(y) = 2, calcula el coeficiente
del monomio.
M(x; y) = a(b + 2) xa + by2a – b
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Sea el polinomio P(x) = x2 + 7, encuentra el valor
de E.
Sea el polinomio H(x) = x2 + 3, encuentra el valor
de A.
E =
P(x + 1) – P(x – 1)
2x
A =
H(x + 2) – H(x – 2)
4x
Descubre la suma de valores de n, de tal manera
que la siguiente expresión P(x; y) sea un polinomio.
Descubre la suma de valores de a, de tal manera
que la expresión Q(x; y) sea un polinomio.
P(x; y) = x
n
3 + xy
n
2 + 5x13 – n Q(x; y) = 3x
a
5 + 5xy
a
2 – 7y22 – a

49. 47
Matemática Delta 2 - Álgebra
29 30
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
27 28
Si el polinomio P(x) = ax + b es tal que
P(1) = 5; P(–1) = 9, determina el valor de P(P(4)).
Si el polinomio P(x) = ax + b es tal que
P(2) = 1; P(–1) = 10, determina el valor de P(P(3)).
Resolución: Resolución:
Sean los polinomios P y Q; de tal manera que
P(x) Q(x), halla el valor de ab.
P(x + 1) = x2 + ax + b
Q(x – 1) = x2 + 3x ‒ 5
Sean los polinomios A y C; de tal manera que
A(x) B(x), halla el valor de mn.
A(x + 1) = x2 + 2x + 7
B(x – 1) = x2 + mx + n
Resolución: Resolución:

50. 48
2
3
4
Practica y demuestra
1
5
6
7
Nivel I
Dado el polinomio D(x) = x4 – x5 + 3x3 – 3 + x2 + 7x,
indica el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las
proposiciones:
( ) El polinomio es mónico.
( ) El grado del polinomio es 5.
( ) El término independiente es 3.
( ) La suma de coeficientes es 8.
A VFVF B FFVV C VVFV
D FVFV E FFFV
Relaciona correctamente.
P(x; y; z) = 3x2y3z – 7x5y2z3 + 8xy5z2w4
I. Grado relativo a x a. 3
II. Grado absoluto b. 5
III. Grado relativo a z c. 6
IV. Grado relativo a y d. 10
e. 12
A Ib; IIe; IIIa; IVc
B Ic; IId; IIIa; IVb
C Ib; IIe; IIIb; IVe
D Ib; IId; IIIa; IVb
E Ic; IIe; IIIb; IVc
Si P(x) = 2x2 + x – 4, indica el valor de M.
M = P(1) + P(–1)
A –2 B 4 C 2
D –4 E 0
Dado el polinomio P(x; y) = 7x9y5 – 12xy12 – 9x6y10,
halla el valor de M = G.A.(P) – G.R.(y).
A 4 B 7 C 16
D 12 E 9
Calcula el valor de A(x) = 3E(x) – 2C(x).
E(x) = 2x2 + 3x + 5
C(x) = 3x2 – 3x – 2
A 3x2 + 3x + 7 B 15x + 19
C 14x + 16 D 12x2 + 11
E 2x2 + x – 3
Encuentra el grado del polinomio P.
P(x) = 2(x2)3 – 3x2 . x3 + 5x4 – 7
A 4 B 3 C 5
D 7 E 6
Si P(x) = x2 – 4x + 4, determina el valor de A.
A = P(P(4))
A 1 B 4 C 3
D 16 E 2
Descubre el valor de R = P(Q(–1)) + 5,
si P(x) = 3x2 – 5x + 1 ∧ Q(x) = 3x + 5.
A 5 B 8 C 3
D 2 E 4
Si el polinomio P(x) = 3xa + 4xb + 7xc – 1, es
completo y ordenado en forma creciente, indica
el valor de B.
B = a + b + c
A 6 B 4 C 3
D 5 E 2
8
9

51. 49
Matemática Delta 2 - Álgebra
11
12
13
15
16
14
17
10
Nivel II
En el polinomio homogéneo
P(x; y) = 3x2ya – 1 + 7x5y2 – 11xb + 2y3, halla el
valor de N = 2a – b.
A 12 B 8 C 14
D 4 E 10
Calcula el coeficiente del monomio
A(x; y) = 3(a + b)xa + 2yb – 5, si el grado absoluto
es 5.
A 6 B 18 C 24
D 36 E 48
Dado el polinomio
P(x) = 3xa – 5 + 2xb – a + 2 – 5xc – b – 3
completo y ordenado en forma decreciente,
encuentra el valor de N.
N = a + 2b + c
A 24 B 26 C 28
D 30 E 32
Respecto a los polinomios:
Q(x; y) = 3x3 – 2x2y + 5xy2 – 3y3
P(x) = (x2 + 1)(x + 3)
Indica el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las
proposiciones:
( ) Grado P(x) = Grado Q(x; y).
( ) El polinomio Q(x; y) es homogéneo.
( ) El término independiente de P(x) es 3.
( ) El grado relativo a x de Q(x; y) es 2.
A VVFF B FFVV C VVVF
D FVFV E FFFV
Si P(x – 1) = x2 + x – 3, descubre el valor de H.
H = P(1) + P(–2)
A 1 B 0 C 2
D ‒2 E 3
Determina el coeficiente del monomio
A(x; y) = m(n + 1) xm – n y2m + n, si el G.A.(A) = 15
y G.R.(x) = 2.
A 10 B 20 C 15
D 18 E 24
Halla el valor de H = a + 2b – c, si se cumple que
3x2 + 5x + 2 = (a – 2)x2 + (b + 3)x + c.
A 9 B 11 C 1
D 7 E 5
Si el polinomio P(x; y) = 2xm – 3y5 + 3x2yn + 2 se
reduce a un monomio, calcula el valor de E.
E = m + n
A 7 B 8 C 10
D 12 E 5

52. 50
19
20
21
Determina el valor de Q(3), si P(x) = x2 – 5 y
Q(x – 2) = P(x) + x – 1.
A 25 B 5 C 16
D 20 E 24
El término independiente del polinomio P(x) es 5.
Si P(x + 1) = x2 – 2x + n, descubre la suma de
coeficientes de dicho polinomio.
A 1 B 0 C 2
D 3 E 5
Nivel III
Halla el valor de n, de tal manera que la siguiente
expresión:
P(x; y) = xn – 7 + xy
n
4 + 5x11 – n, sea un polinomio.
A 12 B 10 C 15
D 8 E 6
18 22
23
24
Si el polinomio P es idénticamente nulo, encuentra
el valor de H = a + 2b + c + d.
P(x) = (a – b)x3 + (b + 2)x2 + (3c – 12)x + d – 5
A 5 B 3 C 6
D 4 E 7
Sea el polinomio f(x) = (x – 5)2 + 31; calcula el
valor de M.
A 10 B –10 C 5x
D 5 E –10x
M =
f(x) – f(x + 10)
2x
Sean los polinomios P(x + 1) = x2 + ax + 4,
Q(x – 1) = x2 + bx + c, de tal manera que
P(x) Q(x). Determina el valor de H.
H = a + b + c
A 0 B 2 C 4
D 6 E 10
Sea el polinomio P(x) = ax + b, tal que P(1) = 2 y
P(–2) = –7. Encuentra el valor de P(3).
A 8 B 9 C 7
D 10 E 12

53. Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 1
51
Matemática Delta 2 - Álgebra
Encuentra el valor de S.
S =
1
7
+
3
2
–
11
14
–
5
14
S =
2 × 2 × 2 × ... × 2
2 + 2 + 2 + ... + 2
Halla el perímetro de la figura (medidas en metros). 5
4 Luego de reducir P, determina el valor de P–1 + 3.
P =
1
3
2 –
1
5
2 –
2
9
1 –
14
Calcula el valor reducido de M.
M =
2x + 10
2x + 14
+
x + 5
x + 2
+
3x + 15
3x + 18
1
2
3
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
0
A
2
C
1
B
3
D
Descubre el valor de H.
6
A
7
4
B
1
2
C 3
5
D 1
A 32 B 8
C 16 D 64
A 2 m B 4 m
C 6 m D 8 m
A 1 B 2
C 3 D 4
A 0 B 1
C 2 D 3
Reduce S.
1
2
2,7
1,3
3
2
11
7
3
7
12 factores
128 veces
H = 21 + 2
3
5 + 16

54. 52
Dado P(x) =
x – 1
x + 3
, halla el valor de P(P(2)).
7 10
11
12
9
8
Dado el polinomio:
P(x; y; z) = 3x3y4z2w2 + 3x2y6z3w4 – 3x4y5z4w5
A = Grado absoluto de P
B = Grado relativo a z
C = Grado relativo a y
Calcula el valor de M = A + BC.
Dado el polinomio P(x; y) = 3x4y2 – 2x5y6 + 11x2y8,
determina el valor de T.
T = G.A.(P) + G.R.(x)
Sea P(x) = x2 – 3x + 2 y P(x + 3) = ax2 + bx + c;
calcula el valor de S.
S = a + b + c
Simplifica y encuentra el valor de F.
F =
1252 × 272 × 16
152 × 253 × 64
Por curiosidades de la vida, María observó que
su edad era el triple del valor de M. ¿Qué edad
tiene María?
25
A
15
C
20
B
60
D
4 años
A
8 años
C
6 años
B
10 años
D
24
A
32
C
8
B
16
D
0
A
4
C
2
B
6
D
24
A
37
C
30
B
52
D
2
A
6
C
4
B
8
D
M =
+ +
72
32 50
18

55. Tema
53
Matemática Delta 2 - Álgebra
Productos notables
4
Son multiplicaciones conocidas en las que no se realizan operaciones previas de la
multiplicación, entre ellas tenemos:
Observa
Producto de binomios con término común
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Tenemos:
x + b
x + a
(x + a)(x + b)
x b
x
a
x2 bx
ax ab
Ejemplos:
a) (x + 4)(x + 7) = x2 + (4 + 7)x + (4)(7) = x2 + 11x + 28
b) (y – 2)(y + 5) = y2 + (–2 + 5)y + (–2)(5) = y2 + 3y – 10
c) (n – 5)(n – 9) = n2 + (–5 – 9)n + (–5)(–9) = n2 – 14n + 45
x2 + (a + b)x + ab
Binomio suma al cuadrado
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Sea un cuadrado de lado x + y.
x + y
x + y
y
x
y x
y2
xy
xy
x2
Se observa que: (x + y)2 = x2 + xy + xy + y2 = x2 + 2xy + y2
Ejemplos:
a) (x + 5)2 = x2 + 2(x)(5) + 52 = x2 + 10x + 25
b) (2n + 3m)2 = (2n)2 + 2(2n)(3m) + (3m)2 = 4n2 + 12nm + 9m2
Binomio diferencia al cuadrado
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
Ejemplos:
a) (x – 2)2 = x2 – 2 . x . 2 + 22 = x2 – 4x + 4
b) 2a –
b
2
= (2a)2 – 2 . 2a . b
2
+
b
2
2
= 4a2 – 2ab +
b2
4
ac × bc
= (ab)[(a + b)c](c2)
Ejemplo:
32 . 42 = 1344
U : 22 = 4
D : (3 + 4) . 2 = 14
C : 1 + 3 . 4 = 13
UM: 1 = 1
Importante
ab2 = (a2)(2ab)(b2)
Ejemplo 1
CDU
212 = 441
U: 12 = 1
D: 2 . 2 . 1 = 4
C: 22 = 4
Ejemplo 2
672 = 4489
U : 72 = 49
D : 4 + 2 . 6 . 7 = 88
C : 8 + 62 = 44
UM : 4 = 4
2

56. 54
Producto de suma por diferencia
(x – y)(x + y) = x2 – y2
Tenemos:
Se observa la equivalencia: (x – y)(x + y) = x2 – y2
y
x
y
x
x2 – y2 (x – y)(x + y)
x
y
y
x
x – y
x y
x
y
x – y
Ejemplos:
a) (x – 5)(x + 5) = x2 – 52 = x2 – 25
b) (n2 – 6)(n2 + 6) = (n2)2 – 62 = n4 – 36
c) (3a – 7)(3a + 7) = (3a)2 – 72 = 9a2 – 49
Identidades de Legendre
(x + y)2 – (x – y)2 = 4xy (x + y)2 + (x – y)2 = 2(x2 + y2)
Tenemos:
R = (x + y)2 – (x – y)2
R = x2 + 2 . x . y + y2 – (x2 – 2 . x . y + y2)
R = x2 + 2xy + y2 – x2 + 2xy – y2
R = 4xy
Tenemos:
P = (x + y)2 + (x – y)2
P = x2 + 2 . x . y + y2 + (x2 – 2 . x . y + y2)
P = x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2
P = 2x2 + 2y2
Binomio suma al cubo
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Sea un cubo de lado x + y.
También:
x3
3x2y 3xy2
y3
y
x
x y
y
x
Se observa que: (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Ejemplos:
a) (x + 2)3 = x3 + 3x22 + 3x22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8
b) (2a + 3)3 = (2a)3 + 3(2a)23 + 3(2a)32 + 33 = 8a3 + 36a2 + 54a + 27
(x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y)
Observa
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
Ejemplo:
E = 13652 – 13632
Entonces:
E = 2728 . 2
1365 + 1363
1365 – 1363
E = 5456
Nota
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Ejemplo:
F = 3072 – 2932
F = (300 + 7)2 – (300 – 7)2
F = 4 . 300 . 7 = 8400

57. 55
Matemática Delta 2 - Álgebra
Binomio diferencia al cubo
(x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
Sea un cubo de lado x – y.
(x – y)3
x – y
y
x – y
x
x
y
x
x – y
y3
x – y
y
x – y
x
x
x
x – y
(x – y)3 + y3 + 3xy(x – y) = x3 ⇒ (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
Ejemplos:
a) (x – 3)3 = x3 – 3x2 . 3 + 3x . 32 – 33 = x3 – 9x2 + 27x – 27
b) (3a – 1)3 = (3a)3 – 3(3a)21 + 3(3a)12 – 13 = 27a3 – 27a2 + 9a – 1
También: (x – y)3 = x3 – y3 – 3xy(x – y)
Producto de binomio por trinomio
(x + y)(x2 – xy + y2) = x3 + y3 (x – y)(x2 + xy + y2) = x3 – y3
Tenemos:
A = (x + y)(x2 – xy + y2)
A = x(x2 – xy + y2) + y(x2 – xy + y2)
A = x3 – x2y + xy2 + yx2 – xy2 + y3
A = x3 + y3
Tenemos:
B = (x – y)(x2 + xy + y2)
B = x (x2 + xy + y2) – y(x2 + xy + y2)
B = x3 + x2y + xy2 – yx2 – xy2 – y3
B = x3 – y3
Ejemplos:
a) (x + 2)(x2 – 2x + 4) = x3 + 23 = x3 + 8
b) (a – 3)(a2 + 3a + 9) = a3 – 33 = a3 – 27
Trinomio al cuadrado
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz
(x + y + z)2 x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz
z
y
x
x y z
z
y
x
x y z
xz
xy
xx
yz
yy
xy
zz
yz
xz
Observa
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
Ejemplo:
x3 + 23 = (x + 2)(x2 – 2x + 42)
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Ejemplo:
n3 – 13 = (n – 1)(n2 + n . 1 + 12)
= (n – 1)(n2 + n + 1)

58. 56
Importante
a
n
. b
n
= a . b
n
Ejemplos:
a) (x + y + 2)2 = x2 + y2 + 22 + 2xy + 2x . 2 + 2y . 2 = x2 + y2 + 4 + 2xy + 4x + 4y
b) (a + b + 1)2 = a2 + b2 + 12 + 2ab + 2a1 + 2b . 1 = a2 + b2 + 1 + 2ab + 2a + 2b
c) (x – y + 3)2 = x2 + (–y)2 + 32 + 2x(–y) + 2x . 3 + 2(–y)3 = x2 + y2 + 9 – 2xy + 6x – 6y
Ejemplo 1
Si a2 + b2 + c2 = 20 ∧ ab + ac + bc = 8, calcula el valor de M.
M = (a + 2b)2 + (b + 2c)2 + (c + 2a)2
Resolución:
Tenemos:
M = (a + 2b)2 + (b + 2c)2 + (c + 2a)2
M = a2 + 2 . a . 2b + (2b)2 + b2 + 2 . b . 2c + (2c)2 + c2 + 2 . c . 2a + (2a)2
M = a2 + 4ab + 4b2 + b2 + 4bc + 4c2 + c2 + 4ca + 4a2
M = 5a2 + 5b2 + 5c2 + 4ab + 4ac + 4bc
M = 5(a2 + b2 + c2) + 4(ab + ac + bc)
M = 5(20) + 4(8) = 132
Ejemplo 2
Sea P(x) = (x + 1)(x – 1)(x2 + x + 1)(x2 – x + 1), halla el valor numérico de P(x) para
x = 4 + 15 – 4 – 15.
Resolución:
Tenemos:
P(x) = (x + 1)(x – 1)(x2 + x + 1)(x2 – x + 1)
P(x) = (x3 + 1)(x3 – 1) = x6 – 1
También:
x = 4 + 15 – 4 – 15 Elevando al cuadrado
x2 = ( 4 + 15 – 4 – 15 )2 = 4 + 15
2
– 2 4 + 15 . 4 – 15 + 4 – 15
2
x2 = 4 + 15 – 2 (4 + 15)(4 – 15) + 4 – 15 = 8 – 2 16 – 152 = 8 – 2(1) = 6
Piden: N = P(x) = (x2)3 – 1, cuando: x = 4 + 15 – 4 – 15
N = (6)3 – 1 = 216 – 1 = 215

59. 57
Matemática Delta 2 - Álgebra
1
2
3
4
5
6
Rpta. VVFFF
Rpta. 2
Indica si la equivalencia es verdadera (V) o falsa (F).
( V ) (x – 4)(x + 4) = x2 – 16
( V ) (x + 2)(x + 5) = x2 + 7x + 10
( F ) (x – 3)(x – 1) = x2 – 4x – 3
x2 + (–3 – 1)x + (–3)(–1) = x2 – 4x + 3
( F ) (a – 3)(a + 3) = a2 – 6
a2 – 32 = a2 – 9
( F ) (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 3
x3 + 3x2 . 1 + 3x . 12 + 13
x3 + 3x2 + 3x + 1
Desarrolla.
• (4x – 5)2 = (4x)2 – 2(4x)(5) + 52
= 16x2 – 40x + 25
• (5a – 2)(5a + 3) = (5a)2 + (–2 + 3)(5a) + (–2)3
= 25a2 + 5a – 6
• (a2 + 3)2 + (a2 – 3)2 = 2[(a2)2 + 32]
= 2[a4 + 9]
= 2a4 + 18
• (5 + 2a)2 – (5 – 2a)2 = 4(5)(2a)
= 40a
• (2a + 1)3 = (2a)3 + 3(2a)21 + 3(2a)12 + 13
= 8a3 + 12a2 + 6a + 1
Determina con productos notables.
a) E = 12452 – 12432
b) L = 6052 – 5952
c) I = 4502 . 4498
Resolución:
a) E = 12452 – 12432
= (1245 + 1243)(1245 – 1243)
= 2488 . 2 = 4976
b) L = 6052 – 5952
= (600 + 5)2 – (600 – 5)2
= 4 . 600 . 5 = 12 000
c) I = 4502 . 4498
= (4500 + 2)(4500 – 2)
= 45002 – 22
= 20 250 000 – 4
= 20 249 996
Halla el valor de E.
E =
(2x + y)2 – (2x – y)2
4xy
Resolución:
Según Legendre, sabemos que:
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Entonces:
(2x + y)2 – (2x – y)2 = 4(2x)(y)
Luego:
E =
8xy
4xy
= 2
Si x + y = 7 ∧ xy = 2, calcula el valor de:
a) L = x2 + y2
b) M = x3 + y3
Resolución:
a) Tenemos: x + y = 7
( )2 : (x + y)2 = 72
x2 + 2xy + y2 = 49
x2 + y2 = 49 – 2(2)
L = 45
b) Tenemos: x + y = 7
( )3 : (x + y)3 = 73
x3 + y3 + 3xy(x + y) = 343
x3 + y3 + 3 . 2 . 7 = 343
M + 42 = 343
M = 301
Rpta. 301
Rpta. 45
Reduce la expresión F.
n3 – 27
n2 + 3n + 9
F = +
n2 – 36
n – 6
Resolución:
Sabemos que:
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
n3 – 33
n2 + 3n + 9
F = +
n2 – 62
n – 6
(n – 3)(n2 + 3n + 9)
n2 + 3n + 9
= +
(n – 6)(n + 6)
n – 6
= n – 3 + n + 6 = 2n + 3
Rpta. 2n + 3
Ejercicios resueltos
Rpta. 4976
Rpta. 12 000
Rpta. 20 249 996

60. 58
7 10
11
12
8
9
Rpta. –27
Encuentra el valor del cuadrado de x.
x = 3 + 8 – 3 – 8
Resolución:
Piden:
x2 = ( 3 + 8 – 3 – 8 )2
= ( 3 + 8)
2
– 2( 3 + 8 . 3 – 8) + ( 3 – 8)
2
= 3 + 8 – 2 32 – 8 + 3 – 8
= 6 – 2 1
= 4
Rpta. 4
Si x2 + 5x + 3 = 0, descubre el valor de N en la
expresión.
N = (x + 6)(x + 3)(x + 2)(x – 1)
Resolución:
Tenemos: x2 + 5x = –3
También:
N = (x + 6)(x – 1)(x + 3)(x + 2)
Recuerda: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Entonces:
N = (x2 + (6 – 1)x + 6(–1))(x2 + (3 + 2)x + 3 . 2)
= (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6)
Reemplazando:
N = (–3 – 6)(–3 + 6)
= (–9)(3)
= –27
Si x + y = 4 ∧ xy = 1, determina el valor de N.
N = x2 – y2
Resolución:
Piden: N = x2 – y2 = (x + y)(x – y)
Sabemos que:
(x + y)2 – (x – y)2 = 4xy
Entonces: 42 – (x – y)2 = 4 . 1
16 – 4 = (x – y)2
(x – y)2 = 12
(x – y) = 12 = 4 . 3 = 4 . 3
(x – y) = 2 3
Luego:
N = 4(2 3)
N = 8 3
Rpta. 8 3
Si a + b = 6 ∧ a2 + b2 = 20, halla el valor de E.
E = a3 + b3
Resolución:
Tenemos: a + b = 6
( )2 : a2 + 2ab + b2 = 36
20 + 2ab = 36 ⇒ ab = 8
( )3 : a3 + b3 + 3ab(a + b) = 216
E + 3 . 8 . 6 = 216
= 216 – 144
= 72
Rpta. 72
Si
a
b
+
b
a
= 2, ¿cuánto es el valor de H?
7a2 + 3ab
ab + b2
H =
Resolución:
Tenemos
a
b
+
b
a
= 2 ⇒ a2 + b2
ab
= 2
a2 + b2 = 2ab
a2 – 2ab + b2 = 0
(a – b)2 = 0 ⇒ a = b
Luego:
7a2 + 3aa
aa + a2
7a2 + 3a2
a2 + a2
H = =
H =
10a2
2a2 = 5
Rpta. 5
Calcula el valor de H; si x3 = 8, x ≠ 2.
(x + 1)2
(x + 4)(x – 2)
H =
Resolución:
x3 – 23 = 0
(x – 2)(x2 + 2x + 4) = 0
• x = 2 (No se cumple por dato)
x2 + 2x + 4 = 0
x2 + 2x = –4
Piden:
x2 + 2 . x . 1 + 12
x2 + (4 – 2)x + 4(–2)
H =
x2 + 2x + 1
x2 + 2x – 8
=
–4 + 1
–4 – 8
= =
–3
–12
=
1
4
Rpta.
1
4

61. 59
Matemática Delta 2 - Álgebra
3 4
2
Síntesis
1
Modela y resuelve
Completa la tabla. Completa la tabla.
Productos notables
Legendre
(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
4
5
6
7
8
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)
1 (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
3 (a + b)(a – b) = a2 – b2
2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
x + 2 x – 3
x – 2
x + 2
x + 5
x + 7
F1
F2
F3
F4
×
c1 c2
x – 1 x + 3
x + 1
x – 1
x – 3
x + 5
F1
F2
F3
F4
×
c1 c2
Desarrolla.
H = (n – 2)3
Desarrolla.
E = (a + 1)3
Resolución: Resolución:
Rpta.
Rpta.

62. 60
7 8
9 10
5 6
Resuelve.
a) (2x – 3)2
b) (4x – 5)(4x + 5)
c) (2x + 3)(2x + 5)
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resuelve.
a) (3a + 2)2
b) (5x – 2)(5x + 2)
c) (3x + 1)(3x + 4)
Desarrolla M.
M = (x + 1)3 + (x – 1)3
Desarrolla N.
N = (a + 1)3 – (a – 1)3
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Aplicando productos notables, efectúa.
a) E = 4252 – 4242
Aplicando productos notables, efectúa.
a) E = 5322 – 5312
b) V = 9082 – 8922 b) V = 8092 – 7912
Rpta. Rpta.
Rpta.

63. 61
Matemática Delta 2 - Álgebra
11
15 16
12
13 14
Rpta.
Rpta.
Calcula H. Calcula T.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta. Rpta.
3
2
+
x
3
2 2
3
2
–
–
x
3
H =
x
5
+
5
2
2 2
x
5
−
−
5
2
T =
Determina el valor de K.
K = ( 11 + 7)2 + ( 11 ‒ 7)2
Determina el valor de N.
N = ( 13 + 5)2 + ( 13 ‒ 5)2
Halla el valor de R.
R = (2a + 4)(2a + 2) – (2a + 3)2
Halla el valor de T.
T = (2n + 6)(2n + 2) – (2n + 4)2
Rpta. Rpta.

64. 62
17 18
19 20
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Reduce la expresión N. Reduce la expresión T.
x3 – 8
x2 + 2x + 4
x2 – 9
x – 3
N = +
x3 + 1
x2 – x + 1
x2 – 4
x + 2
T = +
Rpta. Rpta.
Sea x + y = 6 ∧ xy = 3.
Efectúa.
Sea a + b = 5 ∧ ab = 2.
Efectúa.
a) E = x – y a) M = a – b
b) L = x2 + y2 b) V = a2 + b2
c) A = x3 + y3 c) L = a3 + b3
Rpta. Rpta.

65. 63
Matemática Delta 2 - Álgebra
21 22
23
25
24
26
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Si x2 + 3x + 1 = 0, halla el valor de H.
H = (x + 5)(x + 4)(x – 1)(x – 2)
Si x2 + 4x + 2 = 0, halla el valor de T.
T = (x + 5)(x + 6)(x – 1)(x – 2)
Rpta. Rpta.
Calcula el valor de R. Calcula el valor de Q.
Rpta. Rpta.
R = 20
6 + + 20
6 –
2
24
5 + + 24
5 –
2
Q =
Si
x
y
+
y
x = 2, encuentra el valor de M. Si
a
b
+
b
a
= 2, encuentra el valor de N.
Rpta. Rpta.
4x2 + 5xy
3xy – y2
M =
5a2 – ab
ab + b2
N =

66. 64
27 28
29 30
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Si x3 = y3 ∧ x ≠ y, determina el valor de A. Si a3 = b3 ∧ a ≠ b, determina el valor de M.
(x – y)2
xy
(a + b)2
ab
Rpta. Rpta.
Si x + 1
x
= 4, halla el valor de: Si a + 1
a
= 6, halla el valor de:
a) E = x –
1
x
a) V = a –
1
a
b) M = x3 –
1
x3
b) E = a3 –
1
a3
Rpta. Rpta.
A = M =

67. 65
Matemática Delta 2 - Álgebra
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
5
6
7
8
9
Practica y demuestra
1
4
2
3
Nivel I
Indica si la operación es correcta (C) o incorrecta (I).
( ) 732 = 5329
( ) 51 × 31 = 1571
( ) 132 – 122 = 1
( ) 104 × 96 = 1600
A CICI B CIIC C CCII
D ICIC E CIII
De los desarrollos:
I. (1 + x)(1 – x) = x2 – 1
II. a3 – 1 = (a – 1)(a2 + a + 1)
III. (2 + x)2 = 4 + 2x + x2
IV. (n + 1)3 = n3 + 1 + 3(n + 1)n
V. (x + 1)(x – 3) = x2 + 2x – 3
¿Cuáles son incorrectos?
A II y IV B I, III y IV
C I, II y V D I, III y V
E I, III
Descubre el valor de E = (x + 2)2 – 2(x + 1)2 + x2.
A 3 B 2 C 4
D 5 E 1
Determina el valor de R.
R = ( 5 + 1)( 5 – 1) + ( 7 – 1)( 7 + 1)
A 12 B 16 C 10
D 15 E 11
A 3 B 2 C 4
D 6 E 1
Reduce la expresión A.
A =
(2x + y)2 – (2x – y)2
(x + y)2 – (x – y)2
Si x + y = 5 ∧ xy = 2, calcula el valor de A.
A = x2 + y2
A 1 B 3 C 2
D 5 E 7
Si x + y = 3, xy = 2; encuentra el valor de M = x – y.
Reduce la expresión E.
E = ( 15 + 3)2 + ( 15 – 3)2
A 18 B 36 C 12
D 26 E 48
Si a – b = 5 ∧ ab = 1, halla el valor de P.
P = a3 – b3
A 125 B 135 C 150
D 110 E 140

68. 66
10 14
15
16
17
11
12
13
Nivel II
Si x +
1
x
= 3, descubre el valor de H.
H = x2 +
1
x2
A 9 B 7 C 12
D 11 E 6
Dada la condición a +
1
a = 5, determina el valor
de E.
E = a3 +
1
a3
A 125 B 90 C 115
D 110 E 120
El cuadrado de la suma de dos números es 10 y la
suma de sus cuadrados es 6. Calcula el producto
de dichos números.
A 4 B 3 C – 2
D 2 E 1
Indica si la equivalencia es correcta (C) o
incorrecta (I).
( )
x
y
y
x
+
x
y
y
x
– =
x2
y2
y2
x2
–
( )
a
b
b
a
a2
b2
b2
a2
+
2
= +
( )
x
y
x
y
y
x
y
x
+ –
2 2
+
( )
a
b
a3
b3
b
a
+
3
= + 3
+
b3
a3
a
b
b
a
+
A CICI B CIIC C CCII
D ICIC E CIII
= 4
Reduce la expresión H.
H = (x4 + 1)(x2 + 1)(x + 1)(x – 1) + 1
4
A x B x8 C x2
D 1 E x4
Efectúa E.
E = (a + b + c)(a + b – c)
A a2 – 2ab + b2– c2
B a2 – 2ab + b2 + c2
C a2 – 2ab – b2 – c2
D a2 + 2ab + b2 – c2
E a2 + 2ab + b2 + c2
Encuentra el valor de P.
P = 7 + 40 + 7 – 40
2
A 12 B 23 C 16
D 18 E 20
Reduce M = (xn + 8)(xn + 2) – (xn + 3)(xn + 7);
luego, indica el doble de su valor.
A –6 B –5 C –12
D 20 E –10

69. 67
Matemática Delta 2 - Álgebra
18
19
20
21
22
23
24
Simplifica la expresión B.
B =
x3 – 8
x – 2
x2 – 16
x + 4
A x2 + x + 8 B x2 – x + 8
C x2 + 3x D x2 + x
E x2 + 3x + 8
Halla el valor de L.
1 + 3 . 5 .17 . 257
L =
4
A 2 B 16 C 4
D 32 E 8
Si el volumen de un cubo es
V(x) = x3 + 6x2 + 12x + 8, descubre el área de una
de las caras de dicho cubo.
A x2 + 2x + 1 B x2 – 1
C x2 + 4x + 4 D x2 + 4
E x2 – 2x + 4
Determina el valor de H, si (a + b)2 = 4ab.
A 1 B 6 C 2
D 8 E 3
Nivel III
Si x2 + 2x + 5 = 0, calcula el valor de R.
R = (x + 5)(x + 7)(x – 3)(x – 5)
A 1000 B 6000 C 800
D 400 E 200
Siendo n > 0, encuentra el equivalente simplificado
de E.
A n B n + 1 C 2n
D 2n – 1 E n – 1
E =
(n + 1)4 – (n – 1)4
(2n + 1)2 – (2n – 1)2
– 1
Si a2 + b2 = 6; además, a4 + b4 = 30, halla el valor
de P.
P =
a4
b2
+
b4
a2
A 42 B 54 C 542
D 65 E 72
H =
2a2 + 4ab
3a2 – ab

70. 68
Tema 5
Halla el área de la base de la piscina, si
su volumen es 2x3 + 7x2 + x + 20 y su
altura es x + 4.
¿Qué operación matemática realizaremos
para hallar lo pedido?
¿Cómo la desarrollaremos cuando
tenemos variables?
¿Sabías que...?
Dividir (del latín
dividere) es repartir
en partes iguales.
División de un polinomio por un monomio
Para realizar esta operación, dividimos cada término del polinomio entre el monomio.
Ejemplo:
Calcula el cociente de la división
12x4y3 – 8x5y + 14x6y2
2x3y
.
Resolución:
Dividimos cada término del polinomio entre el monomio.
12x4y3
2x3y
– + = 6xy2 – 4x2 + 7x3y
8x5y
2x3y
14x6y2
2x3y
División de un polinomio por un polinomio
Al dividir dos polinomios D(x) llamado dividendo y d(x) llamado divisor, se obtienen
otros dos polinomios Q(x) llamado cociente y R(x) llamado residuo, donde se cumple:
D(x) d(x)
R(x) Q(x)
D(x) ≡ d(x) . Q(x) + R(x)
Propiedades de grados
1. El grado del cociente es el grado del dividendo menos el grado del divisor:
o[Q] = o[D] – o[d]
2. El grado máximo del resto es el grado del divisor disminuido en 1.
o[R]máx = o[d] – 1
Ejemplo:
Halla el grado del cociente y el grado del residuo sabiendo que es máximo en la división.
3x7 + 2x5 + x4 – 7x2 + x – 1
x3 + 3x2 – x – 2
Resolución:
• El grado del cociente es o[Q] = o[D] – o[d] = 7 – 3 = 4
• El grado del resto como máximo es o[R]máx = o[d] – 1 = 3 – 1 = 2
Recuerda
Para dividir monomios
A =
–18x7y4
6x4y
1.° Dividimos
coeficientes
–18
6
= –3
2.° Dividimos variables
x7y4
x4y1
= x3y3
Luego, A = –3x3y3
(+)
(+)
= (+)
(–)
(+)
= (–)
(–)
(–)
= (+)
(+)
(–)
= (–)
División algebraica
Dividendo
Residuo Cociente
divisor

71. 69
Matemática Delta 2 - Álgebra
Métodos para dividir polinomios
Para realizar una división entre polinomios, el dividendo y divisor deben ser completos
y ordenados. Los métodos más usados son el de Ruffini y el de Horner.
Método de Ruffini
Este método se utiliza cuando el divisor es un polinomio de primer grado de la forma
x ± a.
Ejemplo 1
Divide el polinomio (x5 – 4x3 + 16x2 – 1) entre (x + 3).
Resolución:
Completamos y ordenamos los polinomios dividendo y divisor.
(x5 + 0x4 – 4x3 + 16x2 + 0x – 1) ÷ (x + 3)
Esquema de Ruffini.
Luego: Q(x) = x4 – 3x3 + 5x2 + x – 3
R(x) = 8
5o 4o 3o 2o 1o T.I.
1 0 –4 16 0 –1
+ + + + +
–3 9 –15 –3 9
1 –3 5 1 –3 8
Opuesto del término
independiente del
divisor d(x).
Escribe los coeficiente
(con sus signos) del
dividendo D(x).
Residuo
1
2
Coeficientes del
cociente
Suma los elementos de cada
columna y multiplica por el valor
del paso 2. Repite el proceso.
Baja el coeficiente, multiplica por el
valor del paso anterior. Escribe el
resultado en la siguiente columna.
3 4
–3
×
Ejemplo 2
Divide el polinomio (3x3 + x4 – 5x – 6) entre (x + 2).
Resolución:
Completamos y ordenamos los polinomios dividendo y divisor.
(1x4 + 3x3 + 0x2 – 5x – 6) ÷ (x + 2)
Esquema de Ruffini.
1 3 0 –5 –6
+ + + +
–2 –2 –2 4 2
× 1 1 –2 –1 –4
1
2
3 4
Luego: Q(x) = 1x3 + 1x2 – 2x – 1
R(x) = –4
¿Sabías que...?
Paolo Ruffini
Italia
(1765 -1822)
Vivía una vida con
filosofía.
Ruffini era un
hombre tranquilo
que se tomaba la
vida con filosofía
por lo que asumió
su separación de
la docencia de una
forma positiva. Si
no podía enseñar
Matemáticas, tenía
más tiempo para
dedicarse a la
medicina y a sus
pacientes.

72. 70
Método de Horner
Este método se emplea para dividir polinomios cuyos divisores sean de grado mayor
o igual a uno.
Ejemplo:
Calcula el cociente y el residuo de la división.
Resolución:
• Ordenamos y completamos los polinomios.
• En el esquema de división.
6x5 + 7x3 – 10x4 + 4x2 + 10 – 11x
2x3 + x + 3
6x5 – 10x4 + 7x3 + 4x2 – 11x +10
2x3 + 0x2 + x + 3
1
2 6 –10 7 4 –11 10
–0
–1
–3
En columna los
coeficientes
del divisor d(x),
el primero con
su signo y los
restantes con el
signo contrario
Separamos con una línea vertical tantas columnas
como el grado del divisor.
3
2 Coeficientes del
cociente
Coeficientes del
residuo
divisor de grado 3
Colocamos los coeficientes
del dividendo D(x) con su
respectivo signo.
William G. Horner
Reino Unido
(1786 - 1837)
¿Sabías que...?
Cuando cumplió
14 años, se convirtió
en maestro auxiliar
de su colegio y,
4 años más tarde, en
su director.
En 1809 se trasladó
a Bath, donde fundó
su propio colegio.
2 –1 3
7
2
+ + +
–1
2
–1 1 –2
× 2 –2 4
3
2
1
2
3 4
Ejemplo 3
Halla el cociente de dividir (4x3 – 2x2 + 6x + 7) entre (2x + 1).
Resolución:
Completamos y ordenamos los polinomios dividendo y divisor, luego de dividirlos
entre 2: (2x3 – 1x2 + 3x +
7
2
) ÷ (x +
1
2
)
Esquema de Ruffini
Luego: para tener el resto final, multiplicamos por 2: 2 . 3
2
= 3
Q(x) = 2x2 – 2x + 4
R(x) =
3
2
Sabemos:
D(x)=(ax+b).Q(x)+R(x)
Importante
Entonces:
D(x)
a =
ax + b
a . Q(x)
+
R(x)
a
D(x)
a =
b
a
x + . Q(x)
+
R(x)
a

73. 71
Matemática Delta 2 - Álgebra
÷ 6 –10 4 + + +
2 6 –10 7 4 –11 10
0 0 –3 –9
–1 0 5 15
–3 0 –2 –6
× 3 –5 2 0 2 4
Multiplica este resultado por los coeficientes
del divisor con el signo cambiado, coloca los
productos en las columnas siguientes.
Sumamos los números de
cada columna y obtenemos los
coeficientes del residuo.
Sumamos los elementos de la columna, dividimos el
resultado entre el primer coeficiente del divisor y colocamos
el resultado en la parte inferior de la columna.
Repetimos los pasos 4 y 5
4
5 6
En la división de polinomios completos y ordenados en forma decreciente, los polinomios
cociente Q(x) y residuo R(x) también son completos y ordenados. Entonces:
• Coeficientes del cociente: 32
o
; –51
o
; 2 T.I. Q(x) = 3x2 – 5x + 2
• Coeficientes del residuo : 02
o
; 21
o
; 4 T.I. R(x) = 0x2 + 2x + 4
fila
columna
Importante
Recuerda
Si la división:
D(x) = d(x) . Q(x) + R(x),
es exacta, entonces:
R(x) = 0
T.I.: Término
independiente
Teorema del resto (o teorema de René Descartes)
Se aplica para hallar el residuo en una división sin efectuarla.
Teorema:
En toda división de la forma D(x) ÷ (ax + b), su resto es igual al valor numérico del
polinomio dividendo D(x) cuando x = –
b
a
; es decir: R(x) = D(– b
a
).
Ejemplo 1
Halla el resto de la división
3x5 – 2x + 6
x + 1
.
Resolución:
1.° Igualamos el divisor a cero: x + 1 = 0 ⇒ x = –1.
2.° Determinamos el valor numérico del dividendo, para este valor de x.
R(x) = D(–1) = 3(–1)5 – 2(–1) + 6
R(x) = D(–1) = 3(–1) + 2 + 6 = –3 + 2 + 6 = 5
Ejemplo 2
Halla el resto de la división
2x3 – 3x2 + 3x + 6
x + 2
.
Resolución:
1.° Igualamos el divisor a cero: x + 2 = 0 ⇒ x = –2.
2.° Determinamos el valor numérico del dividendo, para este valor de x.
R(x) = D(–2) = 2(–2)3 – 3(–2)2 + 3(–2) + 6 = 2(–8) – 3(4) – 6 + 6 = –28

74. 72
1
2
3
4
5
6
Determina el cociente de la división.
2x4 + 5x3 + x2 + 3x + 4
x + 2
Resolución:
El divisor es de la forma (x + a), por lo que elegimos
el método de Ruffini.
Los polinomios D(x) y d(x) son completos y
ordenados, entonces:
Esquema de Ruffini.
Luego: Q(x) = 2x3 + 1x2 – 1x + 5
R(x) = –6
Rpta. 2x3 + x2 – x + 5
Rpta. –4
Rpta. –5
2 5 1 3 4
–2 –4 –2 2 –10
2 1 –1 5 –6
Al dividir
x5 – x4 + 4x3 – 7x + 2
x2 + 2x + 2
como cociente y de resto R(x). Halla el valor de
Q(1).
Resolución:
Dividimos con el método de Horner, luego de
completar y ordenar el D(x) y d(x).
1 1 –1 4 0 –7 2
–2 –2 –2
–2 6 6
–16 –16
20 20
1 –3 8 –10 –3 22
Piden Q(1) (Suma de coeficientes del cociente)
⇒ 1 – 3 + 8 – 10 = –4
Encuentra el resto de la división.
(x2 + x + 1)2(3x – 1) + 2x + 1
x + 1
El divisor es de la forma (ax + b), por lo que
elegimos el método del resto.
1.° x + 1 = 0 ⇒ x = –1
2.° R(x) = D(–1)
R(x) = [(–1)2 + (–1) + 1]2[3(–1) – 1] + 2(–1) + 1
= [1 – 1 + 1]2[–3 – 1] – 2 + 1
= (1)2(–4) – 2 + 1 = –4 – 2 + 1 = –5
Rpta. 3
Rpta. 1
Rpta. 2
Al dividir
2x4 – 4x3 – x2 + 7x – n – 2
x – 2
como resto 3n, calcula el valor de n + 1.
Resolución:
Como el divisor es de la forma (x + a), elegimos el
método de Ruffini. Esquema de Ruffini.
2 –4 –1 7 –n – 2
2 4 0 –2 10
2 0 –1 5 –n + 8
Por dato: 3n = R(x) ⇒ 3n = –n + 8
4n = 8 ⇒ n = 2
Piden: n + 1 = 2 + 1 = 3
Al dividir
4x5 – 5x3 – 5x2 + 8
x3 – 2
ax2 + bx + c. Descubre el valor de a + b + c.
Resolución:
Dividimos por el método de Horner, luego de
completar y ordenar el D(x) y d(x).
1 4 0 –5 –5 0 8
0 0 0 8
0 0 0 0
2 0 0 –10
4 0 –5 3 0 –2
Luego: R(x) = 3x2 + 0x – 2 = ax2 + bx + c
x = 1: R(1) = 3 – 2 = a + b + c ⇒ a + b + c = 1
Determina el término independiente del cociente
en la división.
3x4 – 2x3 – 3x2 + 8x – 1
3x – 2
Resolución:
Aplicamos el método de Horner.
3 3 –2 –3 8 –1
2 2
0
–2
4
1 0 –1 2 3
Luego: Q(x) = 1x3 + 0x2 – 1x + 2
Piden : Q(0) = 2
Ejercicios resueltos
, se obtiene
, se obtiene Q(x)
, el resto es
Resolución:

75. 73
Matemática Delta 2 - Álgebra
7 10
11
12
8
9
Halla el resto de
Resolución:
Aplicamos el método de Horner, luego de
completar y ordenar el D(x) y d(x).
Luego: R(x) = 8x – 2
3x5 – 2x4 + 3x3 + 2x + 6
x2 + 2
.
Encuentra el residuo de la división.
x6 – (4 + 2)x4 – 3x – 2 2
x – 2 – 1
Resolución:
El divisor es de la forma (x + a), por lo que elegimos
el método de Ruffini, luego de completar y ordenar
el D(x).
Resolución:
Observa que:
( 2 + 1)( 2 + 1) = 2 + 2 2 . 1 + 1 = 3 + 2 2
( 2 + 1)( 2 – 1) = ( 2)2 – 12 = 2 – 1 = 1
Luego: R(x) = 4
1 0 –4 – 2 0 0 –3 –2 2
2 + 1 2 + 1 3 + 2 2 1 2 + 1 3 + 2 2 4 + 2 2
1 2 + 1 –1 + 2 1 2 + 1 2 2 4
1 3 –2 3 0 2 6
0 0 –6
–2 0 4
0 6
0 –8
3 –2 –3 4 8 –2
Calcula el resto en la división.
(x – 1)(x + 2)(x – 3)(x + 4)
x2 + x + 2
Resolución:
Tenemos:
(x – 1)(x + 2)(x – 3)(x + 4)
x2 + x + 2
(x2 + x – 2)(x2 + x – 12)
x2 + x + 2
Hacemos: x2 + x = n
(n – 2)(n – 12)
n + 2
Aplicamos el teorema del resto.
1.° n + 2 = 0 n = –2
2.° R(x) = D(–2) = (–2 – 2)(–2 – 12) = (–4)(–14) = 56
Rpta. 8x – 2
Rpta. 4
Rpta. 56
Si
x5 + 3x4 + 4x3 + 5x2 + nx + m
x2 + 2x + 1
Descubre el valor de n + m.
Resolución:
Dividimos por el método de Horner.
1 1 3 4 5 n m
–2 –2 –1
–1 –2 –1
–2 –1
–4 –2
1 1 1 2 0 0
Luego: n – 1 – 4 = 0 ⇒ n = 5
m – 2 = 0 ⇒ m = 2
Piden: n + m = 5 + 2 = 7
Determina el cociente de la división.
x3 + (3 – a)x2 + (4 – 3a)x + 5 – 4a
x – a
Resolución:
Dividimos por el método de Ruffini.
1 3 – a 4 – 3a 5 – 4a
a a 3a 4a
1 3 4 5
Luego: Q(x) = 1x2 + 3x + 4
R(x) = 5
En la división
3x5 – x4 + ax3 + 9x2 + bx + c
x3 – 3x + 2
; se
obtuvo un cociente cuya suma de coeficientes es
3 y un residuo igual a 2x – 1, halla el valor de abc.
Resolución:
Dividimos por el método de Horner.
Tenemos:
3 – 1 + a + 9 = 3 ⇒ a + 9 = 1 ⇒ a = –8
b + 2 + 3(1) = 2 ⇒ b = –3
c – 2(1) = –1 ⇒ c = 1
Piden: a . b . c = –8 . (–3) . 1 = 24
1 3 –1 a 9 b c
0 0 9 –6
3 0 –3 2
–2 0 3(a + 9) –2(a + 9)
3 –1 a + 9 0 2 –1
Rpta. 7
Rpta. x2 + 3x + 4
Rpta. 24
, es exacta.

76. 74
Síntesis
Modela y resuelve
2
1
Polinomio ÷ monomio
Polinomio ÷ Polinomio
Dividimos cada término del polinomio entre
el monomio.
Polinomios dividendo y divisor completos y
ordenados en forma decreciente.
Método de Ruffini Método de Horner
Coeficientes del
dividendo
repetir
Multiplica
por (–a) en
la siguiente
columna
opuesto
de a
Forma:
D(x)
x + a
Esquema:
–a
×
2
1
3 3
Coeficientes del
dividendo
Resultado
de (4)
separa
esquema
Coeficientes
del divisor
cambian de
signo
multiplica
repetir
(4) al (7)
Esquema:
×
÷
Divide
Suma
Suma
7
1
3 8
5
6
2
4
Teorema del resto
1 Igualamos el divisor con cero: ax + b = 0 ⇒ x =
–b
a
D(x)
ax + b
Forma:
2 El resto es el valor numérico del dividendo: r(x) = D(
–b
a
)
División
algebraica
D(x) d(x)
R(x) Q(x)
D(x) = d(x) . Q(x) + R(x)
Algoritmo de la división
Dividendo
residuo
divisor
cociente
Determina el cociente. Determina el cociente.
Resolución: Resolución:
3x3 + 4x2 + x – 1
x + 2
2x3 + 4x2 – 5x – 1
x + 3
Rpta. Rpta.

77. 75
Matemática Delta 2 - Álgebra
3 4
7
5
8
6
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
Halla la suma de coeficientes del cociente. Halla la suma de coeficientes del cociente.
x4 – 3x3 – 6x2 + 7x – 1
x – 4
x4 – 3x3 – 6x2 – 18x – 5
x – 5
Encuentra el resto de la división. Encuentra el resto de la división.
2x3 – x2 + 3x – 4
x2 + x + 1
2x3 + x2 – 3x – 5
x2 – x + 2
Calcula el cociente de la división. Calcula el cociente de la división.
2x5 – 3x4 – 11x2 + 5
x2 – 2x – 1
3x5 – 4x4 – 2x2 + 5
x2 – 2x + 1
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

78. 76
11
13
12
14
10
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
9
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Calcula el término independiente del residuo. Calcula el término independiente del cociente.
6x4 + x3 + x2 + 7x – 10
2x2 + x – 2
6x4 + x3 + 2x2 + 2x – 3
3x2 + 2x – 1
Rpta. Rpta.
Halla el residuo de la división. Halla el residuo de la división.
x5 – 20x3 – 100x – 80
x – 5
x5 – 8x3 + 6x – 2
x – 3
Encuentra el residuo de la división. Encuentra el residuo de la división.
4x4 – 12x3 + 7x2 – 7x + 4
2x – 1
9x4 – 12x3 + 3x2 – 6x + 4
3x – 1

79. 77
Matemática Delta 2 - Álgebra
15
17
16
18
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Determina el valor de E = Q(1) + R(0); si Q(x) es el
cociente y R(x) el residuo en la división.
Determina el valor de M = Q(0) + R(1); si Q(x) es el
cociente y R(x) el residuo en la división
6x4 + 2x5 – 2x2 + x + 1
3x2 + x3 – x – 2
5x4 + 3x5 – 10x3 + 7x2 – 2
2x2 + x3 – 2x + 3
Si la división
15x3 + 29x2 – 2nx – 3m
3x2 + 4x – 5
, es exacta;
calcula el valor de S = 2n + m.
Si la división
15x3 + 4x2 – ax + 2b
3x2 + 2x – 5
, es exacta;
calcula el valor de N = a + 2b.

80. 78
21 22
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
19 20
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Si el resto de la división es 3x – 2, halla el valor
de a + b.
Si el resto de la división es 2x + 5, halla el valor
de n + m.
6x5 – 7x4 + 3x3 + 5x2 + ax + b
2x2 – x + 1
6x5 + 7x4 – 9x3 – 4x2 + nx + m
3x2 + 2x – 1
Determina el resto de la división. Determina el resto de la división.
x15 + 2x9 + 3x6 – x3 + 5
x3 – 2
x12 + 2x8 + 3x6 – 4x2 – 3
x2 + 2

81. 79
Matemática Delta 2 - Álgebra
25 26
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
23 24
Resolución: Resolución:
Encuentra el resto de la división. Encuentra el resto de la división.
x6 + 2x5 – 2 3x4 – 2 3x3 + 2x2 + 1
x – 3
x6 + 2x5 – 2 2x4 – 2x3 + 2x2 + 3
x – 2
Resolución: Resolución:
Indica el valor de (a + b), si la división es exacta. Indica el valor de (n + m), si la división es exacta.
2x4 + ax2 + bx – 12
x2 + 3x – 4
3x4 + nx2 + mx – 15
x2 + 2x – 3

82. 80
29 30
Rpta. Rpta.
27 28
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Encuentra el residuo de la división. Encuentra el residuo de la división.
(2x + 1)(3x + 1)(4x + 1)(6x + 1) + 36x2
12x2 + 7x
(x + 1)(3x + 1)(2x + 1)(6x – 1) + 12x2
6x2 + 5x
Rpta. Rpta.
En la división algebraica la suma de coeficientes
del cociente es 10, calcula el residuo; si a ≠ 0.
En la división algebraica la suma de coeficientes
del cociente es 10, calcula el residuo; si n ≠ 0.
3ax3 + (2a – 3)x2 + 6x + 4
ax – 1
4nx3 + (3n + 4)x2 + 5x + 6
nx + 1

83. 81
Matemática Delta 2 - Álgebra
2
3
Practica y demuestra
1
4
5
6
Nivel I
7
8
Luego de completar el esquema:
A VFVF B FVVV C FVVF
D FVFF E FFFV
Indica si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
( ) El término independiente del cociente es 5.
( ) El resto es 10.
( ) El dividendo es x + 3.
( ) La suma de coeficientes del dividendo es 8.
2 –5
6
3
–2
Halla el cociente y el residuo de la división.
x4 – 2x3 – x2 + 4x + 5
x + 1
A Q(x) = x3 – 2x2 + x + 2; R(x) = 3
B Q(x) = x3 – 3x2 + 2x + 2; R(x) = 3
C Q(x) = x3 + 2x2 + x – 1; R(x) = 2
D Q(x) = x3 – 3x2 + 2x – 1; R(x) = –3
E Q(x) = x3 – 2x2 – 2x + 2; R(x) = –1
Determina el resto de la división.
6x5 + 2x4 – 7x3 + 8x2 + 7x – 9
2x3 – x + 3
A 2x – 1 B x2 + 3x – 2
C x2 + 2x – 3 D 3x – 2
E 2x – 3
Indica el resto de .
x7 + 2x – 4
x + 1
A –3 B –1 C –2
D –7 E 5
Calcula el residuo de la división.
A 4 B 6 C –2
D 2 E –4
3x9 – 5x6 + 2x2 – 2
x – 1
Encuentra el término independiente del cociente.
3x5 – x3 + 6x2 + 3
3x2 + 2
A 3 B 2 C 4
D –1 E 1
Indica el resto de la división.
x4 + 4x3 + 6x2 – 7x + 2
x2 + 2x + 1
A 1 + 11x B 1 – 11x
C 10x – 2 D 4x – 1
E 1 – 10x
Halla la suma de coeficientes del cociente de la
división.
6x5 + 9x4 – 5x3 + x2 + 9x + 3
2x2 + 3x – 1
A 3 B 6 C –2
D 5 E 4

84. 82
Nivel II
Indica el término lineal del cociente en la división.
x3 – x + 6
x – 2
A x B 2x C –x
D 4x E 3x
Indica el resto de la división.
5x6 – 3x4 + x2 + 3
x2 + 1
A 0 B –6 C –4
D –8 E –2
Determina el valor de n en la división exacta.
3x3 – 8x2 + 8x + n
x – 2
A –4 B –8 C –2
D 6 E 8
Sean Q(x) el cociente y R(x) el residuo de la
división. Calcula el valor de N(x) = Q(x) + R(x).
A 3x3 – 4x – 4 B 3x3 + 4
C 3x3 + 4x + 4 D 3x3 + 6
E x3 + 2x + 3
6x5 + 3x4 – 7x3 + 5x + 4
2x2 + x – 1
9
13
14
15
16
10
11
12
Indica la suma de coeficientes del resto.
4x6 – 2x4 – 7x3 – 9x + 10
x3 + 2
A 30 B 40 C 35
D 45 E 25
Completa el esquema.
A VVFF B VFFF C FVVF
D VVVF E VVVV
Luego, indica si la proposición es verdadera (V)
o falsa (F).
( ) La suma de coeficientes del cociente es 9.
( ) El resto es 5x + 2.
( ) El divisor es 2x2 + 4x – 3.
( ) La suma de coeficientes del dividendo es 8.
2
–3
6 –4
12 –9
16 –12
8 –6
8
2 5
Si el resto de la división es 5,
2x3 – 7x2 + nx – 1
x – 3
encuentra el valor de n.
A 2 B 4 C 5
D 6 E 7
Si la división
6x3 – 11x2 + 6x – (a – 5)
3x – 1
halla el valor de a.
es exacta,
A 6 B –2 C 3
D –3 E 1

85. 83
Matemática Delta 2 - Álgebra
17
21
22
23
24
18
19
20
En la división exacta, determina el valor de
E = nm.
6x5 + 2x4 – 11x3 + 5x2 + nx – m
2x2 – 3
A 32 B 36 C 42
D 28 E 40
Calcula el valor de n + m, si la división tiene como
residuo 70x.
6x3 + 4x2 + nx + m
x2 – 3x +1
A 22 B 42 C 12
D 32 E 18
Encuentra el valor de m + n, si la división es exacta.
15x5 + 11x4 – 12x3 – 2x2 + mx + n
3x2 + x – 1
A 5 B 4 C 3
D 6 E 7
Dada la división algebraica de residuo
R(x) = 3 – 2x, halla el valor de a + b + c.
A –1 B 5 C 20
D 10 E 30
Nivel III
Al dividir P(x) entre (x2 – ax + 3), se obtiene como
cociente a (mx2 + nx + 4) y como resto a (bx + 6).
Descubre el término independiente de P(x).
A 15 B 18 C –20
D –12 E 10
Determina el valor de a + b de manera que el
polinomio P(x) = x3 + ax + b sea divisible por (x – 1)2.
A –1 B –2 C –5
D 5 E 1
Calcula el resto de la división.
A 24 B 15 C 56
D 42 E 35
(x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)
x2 – 5x – 1
Dada la división exacta, encuentra el valor de
a + b.
A 6 B 9 C 12
D 8 E 10
x5 + 2x3 + 2x2 – 3x + a
x2 + b
3x5 – 2x4 + 10x3 + ax2 – bx + c
x3 – 2x – 1

86. 84
Tema 6
Factorización
Ambos resultados son iguales porque representa la misma área:
polinomio x . y + z . y = (x + z)y producto de factores
Factorización un polinomio es la transformación del mencionado polinomio en un
producto de factores primos con coeficientes enteros.
Ejemplos:
a) x3 – 8 = x3 – 23 Diferencia de cubos
x3 – 8 = (x – 2)(x2 + x . 2 + 22) Producto de factores primos
b) x2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1) Producto de factores primos
Expresa algebraicamente el
área del rectángulo.
Expresamos el área del
rectángulo de dos formas:
M N
y
x z
1.a Forma: Suma del área M y el área N
Área = Área M + Área N
= x . y + z . y
2.a Forma: Aplicamos la fórmula de área
Área = base × altura
= (x + z)y
Factor primo
Es aquel polinomio no constante (con variable) que es divisible entre sí mismo y la
unidad, es decir, no se puede descomponer.
Ejemplos:
a) En el polinomio:
P(x; y) = 3 . x . y2 . (x + 4) . (y – 3)2
Los factores primos son: x; y; x + 4; y – 3
b) Sea el polinomio factorizado:
Q(x; y) = 2 . x2 . y3 . (x2 + 1)5 . (y – 1)2 . (x + 3y)
Los factores primos son: x; y; x2 + 1; y – 1; x + 3y
Métodos para factorizar
Método del factor común
Para extraer el factor común monomio, se saca el mayor número que está contenido
en los coeficientes dados (MCD), luego se sacan las letras comunes con los menores
exponentes, finalmente se divide cada uno de los términos del polinomio entre el
monomio común y los resultados se escriben dentro de un signo de agrupación.
Ejemplos:
a) P(x; y) = x2y – xy2 + xy
= xy(x – y + 1), factores primos: {x; y; x – y + 1}
b) Q(a; b) = 2a3b2 + 8a2b2 – 4a4b
= 2a2b(ab + 4b – 2a2), factores primos: {a; b; ab + 4b – 2a2}
Recuerda
Número primo:
Es un número natural
mayor que 1 y tiene
únicamente dos
divisores distintos: el
mismo y la unidad.
Importante
MCD (Máximo común
divisor).
Mayor número que
divide exactamente a
dos o más números.
El número de factores
primos se obtiene
contando los factores
que se encuentran
como base de cada
potencia.

87. 85
Matemática Delta 2 - Álgebra
Método de agrupación
En algunos casos los factores comunes se consiguen agrupando términos en forma
conveniente; luego, se procede a su factorización.
Ejemplos:
a) E(x; y)= xy + ay + bx + ab
= x(y + b) + a(y + b)
= (y + b) (x + a)
Factores primos: 2
y + b; x + a
b) H(x; y) = x2 – 3xy + 4x – 12y
= x(x – 3y) + 4(x – 3y)
= (x – 3y)(x + 4)
Factores primos: 2
x – 3y ; x + 4
Método de identidades
Realizaremos el proceso inverso de la multiplicación algebraica. Se utilizan los
principales productos notables.
Diferencia de cuadrados
a2 – b2 = (a + b) . (a – b)
Ejemplos:
a) R(x)= 4x2 – 9
R(x) = 22x2 – 32
R(x) = (2x)2 – 32
R(x) = (2x + 3)(2x – 3)
b) T(x) = x4 – 1
T(x) = (x2)2 – 12
T(x) = (x2 + 1)(x2 – 12)
T(x) = (x2 + 1)(x + 1)(x – 1)
Trinomio cuadrado perfecto (TCP)
a2 2ab + b2 = (a b)2
Ejemplos:
a) A(x) = x2 + 6x + 9
A(x) = x2 + 2 . x . 3 + 32
A(x) = (x + 3)2
b) E(n)= 4n2 – 4n +1
E(n) = (2n)2 – 2(2n)(1) + 12
E(n) = (2n – 1)2
Suma de cubos
a3 + b3 = (a + b) . (a2 – ab + b2)
Ejemplos:
a) F(a) = 1 + a3
F(a) = 13 + a3
F(a) = (1 + a)(12 – 1 . a + a2)
F(a) = (1 + a)(1 – a + a2)
b) H(n) = n3 + 27
H(n) = n3 + 33
H(n) = (n + 3)(n2 – 3 . n + 32)
H(n) = (n + 3)(n2 – 3n + 9)
Diferencia de cubos
a3 – b3 = (a – b) . (a2 + ab + b2)
Ejemplos:
a) M(x) = x3 – 8
M(x) = x3 – 23
M(x) = (x – 2)(x2 + x . 2 + 22)
M(a) = (x – 2)(x2 + 2x + 4)
b) N(a) = 8a3 – 1
N(a) = (2a)3 – 13
N(a) = (2a – 1)((2a)2 + (2a)(1) + 12)
N(a) = (2a – 1)(4a2 + 2a + 1)
Observa
La factorización es
útil para realizar
con mayor rapidez
algunas operaciones.
Ejemplo 1:
Calcula.
N = 212 . 124 – 212 . 24
N = 212(124 – 24)
N = 441 × 100
Ejemplo 2:
Calcula.
A = 242 – 8 × 24 + 42
A= 242 – 2 × 24 × 4 + 42
A = (24 – 4)2
A = (20)2
A = 400

88. 86
P(x; y) = (pxn + rym)(qxn + sym)
Método de aspa simple
Se utiliza para factorizar trinomios de la forma:
P(x; y) = Ax2n + Bxnym + Cy2m
pxn
qxn
rym
sym
2.°
1.°
1.°
3.°
1.° (pxn)(qxn) = Ax2n
(rym)(sym) = Cy2m
2.° (pxn)(sym) + (qxn)(rym) = Bxnym
Regla:
1.° Se descomponen los extremos y se colocan las cantidades una debajo de la otra,
respectivamente; multiplicadas en forma vertical deben reproducir los términos
indicados.
2.° La suma de los productos en aspa debe reproducir el término central. Si no se
obtiene el mencionado término, se tendrá que descomponer de otra manera los
extremos.
3.° Después de obtener el término central, los factores se obtienen escribiendo los
términos descompuestos «en forma horizontal».
Ejemplo 1
Factoriza P(x) = x2 – 7x – 18
Resolución:
P(x) = x2 – 7x – 18
x –9
x 2
P(x) = (x – 9)(x + 2)
Ejemplo 2
Factoriza R(x; y) = 12x2 + 25xy + 12y2
Resolución:
R(x; y) = 12x2 + 25xy + 12y2
3x 4y
4x 3y
R(x; y) = (3x + 4y)(4x + 3y)
1.° (x)(x) = x2
(–9)(2) = –18
2.° (x)(2) + (x)(–9) = –7x
1.° (3x)(4x) = 12x2
(4y)(3y) = 12y2
2.° (3x)(3y) + (4x)(4y) = 25xy
Recuerda
Cuando un polinomio
no se puede
factorizar, se dice
que es un polinomio
primo.
Por ejemplo:
• x2 + 1
• x + 2y
• x3 + 3
• x + 7

89. 87
Matemática Delta 2 - Álgebra
1
3
4
5
6
Factoriza aplicando factor común.
a) P(x; y) = 2x2y + 3xy3 + 4x2y2
1.° Variables comunes con sus menores
exponentes.
2.° Divide cada término entre el factor común.
P(x; y) = xy(2x + 3y2 + 4xy)
b) Q(a; b) = 15a2b + 5a3b2 – 25a4b3
1.° Halla el MCD de los coeficientes.
2.° Variables comunes con sus menores
exponentes.
3.° Divide cada término entre el factor común.
Q(a; b) = 5a2b(3 + ab – 5a2b2)
c) H(x; y) = 18x2y3 – 24x5y2 + 12x3y4
H(x; y) = 6x2y2(3y – 4x3 + 2xy2)
2 Factoriza aplicando agrupación de términos.
a) f(x; y) = ax + bx + ay + by
1.° Busca grupos iguales
f(x; y) = ax + bx + ay + by
f(x; y) = x(a + b) + y(a + b)
2.° Factoriza el grupo común
f(x; y) = (a + b)(x + y)
b) A(x; y) = 6xy + 4x + 9y + 6
1.° Busca grupos iguales
A(x; y) = 6xy + 4x + 9y + 6
A(x; y) = 2x(3y + 2) + 3(3y + 2)
2.° Factoriza el grupo común
A(x; y) = (3y + 2)(2x + 3)
Calcula aplicando la factorización.
a) M = 92 . 34 + 92 . 56
= 92(34 + 56)
= 92(90) = 8280
b) R = 53 . 142 – 53 . 42
= 53(142 – 42)
= 53(100) = 5300
c) F = 37 . 132 + 37 . 23 – 37 . 55
= 37(132 + 23 – 55)
= 37(100) = 3700
d) J = 64 . 33 + 86 . 33 + 64 . 67 + 86 . 67
= 33(64 + 86) + 67(64 + 86)
= (64 + 86)(33 + 67)
= (150)(100) = 15 000
Factoriza aplicando identidades.
a) H(n) = n2 – 25
Diferencia de cuadrados:
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
H(n) = n2 – 52 = (n + 5)(n – 5)
b) R(x) = 8x3 + 1
Suma de cubos: a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
R(x) = (2x)3 + 13
= (2x + 1)((2x)2 – (2x)1 + 12)
= (2x + 1)(4x2 – 2x + 1)
c) N(a) = a6 – 8
Diferencia de cubos: a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
N(a) = (a2)3 – 23
= (a2 – 2)((a2)2 + a2 . 2 + 22)
= (a2 – 2)(a4 + 2a2 + 4)
Factoriza aplicando el método de aspa simple.
a) P(x) = x2 + 5x + 6
x + 2
x + 3
P(x) = (x + 2)(x + 3)
b) H(x; y) = 2x2 + 7xy + 6y2
2x + 3y
x + 2y
H(x; y) = (2x + 3y)(x + 2y)
c) M(a; b) = 6a2 – 13ab + 6b2
3a –2b
2a –3b
M(a; b) = (3a – 2b)(2a – 3b)
Factoriza el polinomio A(x; y) e indica el número de
sus factores primos.
A(x; y) = x3y2 + xy4 – x4y – x2y3
Resolución:
Tenemos:
A(x; y) = x3y2 + xy4 – x4y – x2y3
= xy[x2y + y3 – x3 – xy2]
= xy[y(x2 + y2) – x(x2 + y2)]
= xy(x2 + y2) . (y – x)
Factores primos: {x; y; x2 + y2; y – x}
Número de factores primos: 4
Rpta. 4
Ejercicios resueltos

90. 88
Factoriza el polinomio M(a; c) e indica el término
independiente de un factor primo.
M(a; c) = –a2 – b2 + c2 + 2a – 2b + 2c + 2ab
Resolución:
Tenemos:
M(a; c) = c2 – a2 + 2ab – b2 + 2a – 2b + 2c
= c2 – (a2 – 2ab + b2) + 2a – 2b + 2c
= c2 – (a – b)2 + 2(a – b + c)
= (c + a – b)(c – a + b) + 2(a – b + c)
= (a + c – b)(c – a + b + 2)
Piden el término independiente de un factor primo
Entonces: –b ∨ b + 2
9
8
7 Indica la suma de factores primos.
P(a; b) = (a + b)2 + n(a + b) – 2n2
Resolución:
Tenemos un trinomio de grado par, entonces
aplicamos aspa simple:
P(a; b) = (a + b)2 + n(a + b) – 2n2
a + b 2n
a + b –n
P(a; b) = (a + b + 2n)(a + b – n)
Piden la suma de factores primos:
E = a + b + 2n + a + b – n
= 2a + 2b + n
Si S(x; y) es la suma de factores primos del
polinomio P(x; y) = 9x4 – 37x2y + 4y4, determina
S(1; 2).
Resolución:
Tenemos un trinomio de grado par, entonces
aplicamos aspa simple:
P(x; y) = 9x4 – 37x2y + 4y4
9x2 –y2
x2 –4y2
P(x; y) = (9x2 – y2)(x2 – 4y2)
= ((3x)2 – y2)(x2 – (2y)2)
= (3x + y)(3x – y)(x + 2y)(x – 2y)
Entonces: S(x; y) = 3x + y + 3x – y + x + 2y + x – 2y
= 8x
Piden: S(1; 2) = 8(1) = 8
Factoriza el polinomio H(x) y luego indica la suma
de coeficientes de sus factores primos.
H(x) = x6 – x2 – 8x – 16
Resolución:
Tenemos:
H(x) = x6 – (x2 + 8x + 16)
= (x3)2 – (x2 + 2 . x . 4 + 42)
= (x3)2 – (x + 4)2
= (x3 + x + 4)(x3 – x – 4)
Piden:
E = 1 + 1 + 4 + 1 – 1 – 4 = 2
Rpta. 2a + 2b + n
Rpta. 8
Rpta. 2
Halla la suma de coeficientes de un factor primo.
P(x) = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) + 1
Resolución:
Tenemos:
P(x) = (x + 2)(x + 5)(x + 3)(x + 4) + 1
= (x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12) + 1
Hacemos: x2 + 7x + 10 = n
P(x) = (n)(n + 2) + 1
= n2 + 2n + 1
= (n + 1)2
Ahora: n = x2 + 7x + 10
P(x) = (x2 + 7x + 10 + 1)2
= (x2 + 7x + 11)2
Factor primo: x2 + 7x + 11
Piden la suma de coeficientes: 1 + 7 + 11
12
10
Rpta. –b ∨ b + 2
11 Factoriza el polinomio P(x) y luego indica el
número de factores primos.
P(x) = x4 + 3x3 + 2x2 + 3x + 1
Resolución:
Tenemos:
P(x) = x4 + 2x2 + 1 + 3x3 + 3x
= (x2)2 + 2(x2)1 + 12 + 3x3 + 3x
= (x2 + 1)2 + 3x(x2 + 1)
= (x2 + 1)(x2 + 1 + 3x)
Factores primos: x2 + 1; x2 + 3x + 1
Número de factores primos: 2
Rpta. 2
Rpta. 19

91. 89
Matemática Delta 2 - Álgebra
Síntesis
Modela y resuelve
2
4
1
3
Factorización
Factor común Agrupación Identidades Criterio de
aspa simple
1.o MCD de los
coeficientes.
2.o Variables
comunes con
sus menores
exponentes.
Se buscan grupos
convenientes
(iguales).
• a2 – b2 = (a + b)(a – b)
• a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
• a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
• a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
• a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Trinomio:
ax2 + bx + c
Factoriza aplicando factor común. Factoriza aplicando factor común.
a) P(x) = 5x3 + 2x2 – x4
b) Q(x; y) = 12x3y2 + 16x2y3– 20x2y2
c) M(a; b) = 14a4b3 – 18a2b4 – 10a3b5
a) M(x) = 3x4 + 5x5 – x3
b) A(x; y) = 16x2y2 + 32x3y3 – 24x4y4
c) L(a; b) = 12a3b3 – 15a5b5 – 9a4b7
Calcula aplicando factorización. Calcula aplicando factorización.
a) H = 23 . 142 + 23 . 58
b) P = 63 . 94 + 63 . 32 – 63 . 26
a) L = 32 . 137 + 32 . 63
b) B = 39 . 69 + 39 . 43 – 39 . 12
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.

92. 90
6
8
10
5
7
9
Factoriza por diferencia de cuadrados. Factoriza por diferencia de cuadrados.
Factoriza por suma de cubos. Factoriza por suma de cubos.
a) H(x) = x2 – 49 a) M(x) = x2 – 100
b) J(a) = 4 – a2 b) L(n) = 9 – n2
Resolución: Resolución:
Factoriza por diferencia de cubos. Factoriza por diferencia de cubos.
a) R(x) = x3 – 27
a) F(x) = x3 + 216
a) D(x) = x3 – 125
a) E(x) = x3 + 64
b) H(z) = 8 – z3 b) N(y) = 27 – y3
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
b) Q(y) = 1 + y3 b) G(a) = 8 + a3
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.

93. 91
Matemática Delta 2 - Álgebra
12
14
16
11
13
15 Indica el número de factores primos de P.
P(x) = x8 – 1
Indica el número de factores primos de Q.
Q(a) = a16 – 1
Resolución: Resolución:
Si F(x) es la suma de factores primos del polinomio
P(x) = 2x2 – x – 6, determina el valor de F(2).
Si H(x) es la suma de factores primos del polinomio
F(x) = 3x2 – 7x – 6, determina el valor de H(3).
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Factoriza por aspa simple. Factoriza por aspa simple.
a) T(x) = x2 + 3x – 10 a) L(x) = x2 + 2x – 8
b) R(x) = x2 – 5x + 6 b) H(x) = x2 – 5x – 6
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.

94. 92
18
20
22
17
19
21 Calcula el número de factores primos de E.
E(a; b) = a12 – a8b4 – a4b8 + b12
Calcula el número de factores primos de P.
P(x; y) = x9 – x6y3 – x3y6 + y9
Resolución: Resolución:
Luego de factorizar P(x; y), halla la suma de sus
factores primos.
P(x; y) = (3x + 2y)2 – (x + y)2
Luego de factorizar E(x; y), halla la suma de sus
factores primos.
E(x; y) = (4x + y)2 – (2x – y)2
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Indica la suma de términos independientes de los
factores primos.
P(a) = a2 + ab + 2a + b + 1
Indica la suma de términos independientes de los
factores primos.
H(x) = x2 + nx + 4x + 2n + 4
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.

95. 93
Matemática Delta 2 - Álgebra
23
25
27
24
26
28
Indica el número de factores primos de H.
H(x) = x3 + x2 – 64x – 64
Determina A(x), si es la suma de factores primos
del polinomio P(x) = (x + 5)3 – 8.
Reduce e indica el valor de F.
Indica el número de factores primos de E.
E(a) = a3 + a2 – 36a – 36
Determina S(z), si es la suma de factores primos
del polinomio Q(z) = (z + 4)3 – 27.
Reduce e indica al valor de A.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
x2 + 5x + 6
x2 – x – 6
2x2 – 19x + 9
2x2 – 7x + 3
F = +
x2 + 4x + 3
x2 + 5x + 6
2x2 + 9x + 9
2x2 + 7x + 6
A = +
Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.

96. 94
A Id; IIb; IIIc; IVa
B Ia; IId; IIIa; IVb
C Id; IIe; IIIa; IVc
D Ia; IIe; IIIa; IVd
E Id; IIb; IIIa; IVc
2
3
Practica y demuestra
1
4
5
6
Nivel I
7
8
9
Indica si las equivalencias son verdaderas (V) o
falsas (F).
A VFVF B FFVF C FFVV
D FVFV E FFFV
( ) x3 + 2x2 + x = x(x2 + x)
( ) 4x2 + 2y = 4(x2 + y)
( ) 2xy2 + 2x2y + 4xy = 2xy(y + x + 2)
( ) x2 + 2x + 3 = (x + 3)(x + 1)
Relaciona cada polinomio con su transformación
a producto.
I. x2 – 4
II. x2 – x – 6
III. x2 + 4x + 4
IV. x2 + 4
a. (x + 2)2
b. (x + 3)(x – 2)
c. x2 + 4
d. (x + 2)(x – 2)
e. (x – 3)(x + 2)
Luego de factorizar H(x; y), indica un factor primo.
H(x; y) = xy – bx + ay – ab
A y – a B y + b
C x + y D x + b
E x + a
Halla la suma de factores primos de S(x) = 25 – x2.
A 2x B 2x – 10
C 2x + 10 D 10
E 0
Indica un factor primo.
P(x) = 2ab + ax + 2bx + x2
A x + 2a B x + b
C x – 2b D x – a
E x + 2b
Luego de factorizar H(z), calcula la suma de
coeficientes de un factor primo.
H(z) = z3 + 27
A 3 B 7 C 9
D 13 E –2
Indica un factor primo de E.
E(a) = a2 – 2a – 8
A a + 4 B a – 2
C a + 8 D a – 4
E a – 1
Dado el polinomio F(x; y), encuentra la suma de
factores primos.
F(x; y) = (3x + y)2 – (x + 3y)2
A 2y B 2x
C x – y D x + y
E 2x + 2y
Sea f(x) la suma de factores primos del polinomio
P(x) = 12x2 – x – 6, determina f(2).
A 6 B 11 C 17
D 15 E 13

97. 95
Matemática Delta 2 - Álgebra
10 14
15
16
17
11
12
13
Indica un factor primo de P(x).
P(x) = 12x2 + 19x – 18
A 3x + 2 B 2x – 6
C 4x + 3 D 3x – 2
E 6x – 1
Si A(x) es la suma de factores primos de
P(x) = 3x2 + 4x – 4, halla el valor de A(2).
A 5 B 2 C 9
D 7 E 8
Indica el perímetro del cuadrado, siA(x) representa
su área.
A(x) = x4 + 4x2 + 4
A 4x2 + 2 B 4x2 + 8
C x2 + 4 D 2x2 + 4
E x2 + 2
Nivel II
Indica si los polinomios están transformados
correctamente (C) a producto, de lo contrario
marca incorrecto (I).
( ) x3 – 125 = (x – 5)(x2 – 5x + 25)
( ) x2 + 3x – 10 = (x + 5)(x – 2)
( ) x2 – 81 = (x – 9)(x + 9)
( ) 1 + 2x + x2 = (1 – x)2
( ) x4 + 2x2 + 1 = (x2 + 1)2
( ) 216 + x3 = (6 + x)(x2 + 6x + 36)
A IICCII B CCICCC
C IICICI D CCCICI
E ICCICI
Si f(x; z) es la suma de factores primos de
P(x; z) = 6x2 – 11xz – 10z2, indica f(x; z).
A 5x – 3z B 3x – 5z
C 6x + 7z D 2x + z
E x – 3z
Indica un factor primo de A.
A(m; n) = m2 – n2 + 2n – 1
A m – n + 1 B m + n
C m + 1 D m + n + 1
E m – n – 1
A (x + 1)(2x + 1)(x2 + x + 1)
B (x – 1)2(2x – 1)(x2 – x + 1)
C (x + 1)(2x – 1)2(x2 + x + 1)
D (x – 1)(2x + 1)2(x2 + x + 1)
E (x + 1)2(2x – 1)(x2 – x + 1)
Factoriza el polinomio M(x).
M(x) = 2x5 + x4 – x3 + 2x2 + x – 1
Indica uno de los factores primos del polinomio P(x).
P(x) = x5 – 8x2 – x – 8, es:
A x + 1 B x2 + x +1
C x2 + 1 D x3 + 2
E x – 2

98. 96
Indica el factor primo que más se repite al
factorizar P(x).
P(x) = x2(x + 7) + 2x(x + 7) + x + 7
A x + 7 B x + 1 C x + 8
D x + 3 E x
Si A(x) y B(x) representan el área de los
rectángulos mostrados, determina la medida del
lado común (con variable x).
Indica la suma del numerador y denominador
reducido de R.
A(x) = 2x2 + x – 6 B(x) = 4x2 – 9
A x + 2 B 2x + 3 C 2x + 4
D 2x – 3 E x + 4
A 2x – 6 B x + 1 C 2x + 3
D x – 3 E 3x + 1
Si f(x) = ax + 2 es un factor algebraico del polinomio
P(x) = (ax)2 + (ab)x – 2b, evalúa el valor de f
b
a
.
A 1 B 3 C 0
D
1
2
E 2
19
20
21
22
23
24
Nivel III
18 Factoriza el polinomio P(x; y) e indica un factor
primo.
P(x; y) = 2x4 + 2xy3 – 3y4 – 3x3y
A x – y B 2x + 3y
C x2 – xy + y2 D 3x – 2y
E x2 + xy + y2
Luego de factorizar el polinomio P(x), indica la
proposición incorrecta.
P(x) = x4 + 3x3 + 2x2 + 3x + 1
A P(x) tiene dos factores primos.
B La suma de coeficientes de un factor
primo es 5.
C Un factor primo de P(x) es x2 + 1.
D P(x) tiene tres factores primos.
E La suma de factores primos de P(x) es
2x2 + 3x + 2.
Factoriza el polinomio N(a; b; c).
N(a; b; c) = (a + b + c)(ab + ac + bc) ‒ abc
A (a + b)(c – b)
B (a + b)(b – c)(c – a)
C (a + c)(b – a)
D (a + b)(b + c)(a + c)
E (a – b)(b – c)(a – c)
4x2 – 9
2x2 – x – 6
x2 – 2x – 3
x2 – 5x + 6
R = –

99. Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 2
97
Matemática Delta 2 - Álgebra
Encuentra el valor reducido de S.
S = 7(32 + 2)(34 + 4)(38 + 16) + 256
8
Determina el valor de P.
P = ( 5 + 2 )2 + ( 5 ‒ 2 )2
5
4 Si x2 – 2x – 25 = 0; descubre el valor de T.
T = (x + 3)(x + 4)(x – 5)(x – 6)
Halla el cociente de la división.
1
2
3
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
Encuentra el cociente de la división.
6
A 47 B 42
C 39 D 18
A 14 B 12
C 10 D 8
A Q(x) = x3 + 2x2 + x + 2
B Q(x) = x3 + 2x2 + 2x – 1
C Q(x) = x3 + 2x2 – 2x + 1
D Q(x) = x3 + 2x2 – x + 1
A Q(x) = 4x2 + x + 3
B Q(x) = 4x2 + 2x – 1
C Q(x) = 4x2 – 2x + 1
D Q(x) = 4x2 – x + 2
A 14 B 10
C 12 D 8
La suma de dos números es 7 y su producto es 5;
calcula el valor de la suma de sus cuadrados de
dichos números.
x – 4
–2x3 + x4 – 9x2 + 5x + 2
x – 1 + 2x2
8x4 – x2 + 2x3 + 3
A 3 B 5
C 7 D 9

100. 98
Luego de factorizar el polinomio P(x), calcula el
valor de f(2), si f(x) es el factor primo de mayor
suma de coeficientes de P(x) = x2 – 64.
7 10
11
12
9
8
Indica un factor primo de Q.
Q(x) = x2 – xy + y – 1
Halla la suma de coeficientes de un factor primo
del polinomio P(x).
P(x) = x3 – 2x2 + 5x – 10
Encuentra la suma de coeficientes de todos los
factores primos del polinomio P(x).
P(x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1
Determina el resto de la división.
x + 3
x3 + 2x2 – 5x + 1
Si Q(x) es el cociente y R(x) el residuo de la
división, descubre el valor de H = Q(1) + R(0).
4x2 + x + 3
8x5 + 14x4 + 5x3 + 16x2 + 3x + 2
7
A
5
C
8
B
9
D
6
A
7
C
1
B
2
D
3
A
6
C
5
B
11
D
3
A
9
C
6
B
10
D
y – 1
A
x + 1
C
y + 1
B
x – y + 1
D
2
A
5
C
6
B
7
D

101. Tema
99
Matemática Delta 2 - Álgebra
Ecuación lineal y Sistema de
ecuaciones lineales
7
Ecuación
Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en las que al menos está presente
una variable (incógnita).
Los problemas, las adivinanzas y las recreaciones
matemáticas han formado parte de las culturas en todas
las épocas, entre ellas las tablillas mesopotámicas
(2100 a. C. - 300 a. C.). Existen tabillas cuneiformes
relacionadas con las matemáticas, en las que se
encuentran problemas de ecuaciones como la siguiente:
Si se multiplica el largo por el ancho se obtiene un área
de 600. Cuando se multiplica por sí misma la diferencia
entre el largo y el ancho, y ese resultado se multiplica
por 9, da una superficie equivalente al cuadrado del
largo. ¿Cuáles son el largo y el ancho?
Donde:
x es la variable (incógnita)
x
2
Primer
miembro
Segundo
miembro
+ 5 = +
x
3
1
2
Ecuación lineal
En esta ecuación en la que el exponente de la variable es uno y tiene la forma:
ax + b = 0 ; a ≠ 0
Ejemplos:
a) 5x – 3 = x – 2 Ecuación lineal
b)
x + 1
2
– 3 = 5x2 Ecuación no lineal
c) (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 Identidad, verifica para todo valor de la incógnita, ecuación no lineal
d) 5 –
x – 1
3
= 2 Ecuación lineal
Solución de una ecuación
Es el valor que toma la incógnita de una ecuación y verifica la igualdad.
Ejemplos:
a) Dada la ecuación:
x + 3
2
– 5 = 1
Si x = 9 ⇒
9 + 3
2
– 5 =
12
2
– 5 = 6 – 5 = 1 Luego, 9 es solución de la ecuación.
b) Dada la ecuación:
x
3
+
x – 1
2
= x – 2
Si x = 9:
9
3
+
9 – 1
2
= 9 – 2 ⇒ 3 +
8
2
= 7 ⇒ 3 + 4 = 7
Luego, 9 es solución de la ecuación.
Francisco Vieta
(1540 - 1603)
Considerado como
uno de los principales
precursores del
álgebra.
Fue el primer
matemático que
utilizó letras para
designar las
incógnitas y las
constantes de
las ecuaciones
algebraicas.
¿Sabías que...?

102. 100
Solución de una ecuación lineal
Para resolver una ecuación, aplicamos el método de transposición de términos.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resuelve la ecuación
x + 4
2
– 1
5
+ 1 = 3
Resolución:
x + 4
2
– 1
5
+ 1 = 3 ⇒
x + 4
2
– 1
5
= 3 – 1
x + 4
2
– 1 = 5(2) ⇒
x + 4
2
= 10 + 1
x + 4
2
= 11 ⇒ x + 4 = 2(11)
x = 22 – 4 ⇒ x = 18
Luego x = 18 es la solución de la ecuación.
Calcula el valor de x en
x + 6
5
+
x
2
+ x = + 7.
x
4
Resolución:
Tenemos:
x + 6
5
+
x
2
+ x = + 7
x
4
MCD(5; 2; 4) = 20
4(x + 6) + 10(x) + 20(x) = 5(x) + 20(7)
4x + 24 + 10x + 20x = 5x + 140
34x – 5x = 140 – 24 ⇒ 29x = 116 ⇒ x = 4
Hallamos el MCD de los denominadores
Este número se divide por cada denominador y el
resultado se multiplica por su respectivo numerador.
Sistema de ecuaciones lineales
Es un conjunto formado por dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas. Su
solución verifica todas las ecuaciones del sistema.
Ejemplos:
a) Sistema lineal con 2 variables
3x – 5y = 18
4x + y = 1
x + 2y – 3z = 8
x – 2y + z = –4
2x + 3y – z = 9
C.S. = {(1 ; –3)}
b) Sistema lineal con 3 variables
C.S. = {(1 ; 2 ; –1)}
Verificando:
C.S. = {(1 ; –3)} ⇒ x = 1; y = –3
3(1) – 5(–3) = 3 + 15 = 18
4(1) + (–3) = 4 – 3 = 1
Verificando:
C.S. = {(1 ; 2 ; –1)} ⇒ x = 1; y = 2; z = –1
(1) + 2(2) – 3(–1) = 1 + 4 + 3 = 8
(1) – 2(2) + (–1) = 1 – 4 – 1 = –4
2(1) + 3(2) – (–1) = 2 + 6 + 1 = 9
El método de
transposición de
términos consiste
en pasar los términos
de un miembro a
otro con la operación
contraria.
Transposición
+ = –
– = +
× = ÷
÷ = ×
Nota
MCD (Máximo
común divisor)
de dos o más
números es el mayor
número entero que
los divide en forma
exacta.
Recuerda
Conjunto solución
(C.S.)
Si:
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
⇒ C.S. = {(x ; y)}
Importante
Par ordenado
El valor de x que verifica la igualdad es 4.

103. 101
Matemática Delta 2 - Álgebra
Se busca obtener una ecuación con una sola variable.
Algunos métodos para resolver sistemas lineales
Método de reducción
Consiste en buscar que la incógnita que se desea eliminar tenga el mismo coeficiente
(con signos diferentes) en ambas ecuaciones. Se suman estas ecuaciones y nos queda
una ecuación con una incógnita (variable).
Ejemplo:
Resuelve
5x – 3y = 11 (1)
2x + y = 11 (2)
Resolución:
Observación:
Como la variable y es la que tiene en este caso menores coeficientes y signos diferentes,
es la que vamos a eliminar.
Entonces, la ecuación (2) la multiplicamos por 3.
5x – 3y = 11
6x + 3y = 33
11x = 44 ⇒ x = 4
2(4) + y = 11 ⇒ y = 3
En (2):
(2) × 3:
(1) :
Entonces, el conjunto solución es: C.S. = {(4 ; 3)}
Método de sustitución
Consiste en despejar de una de las ecuaciones, una de las incógnitas y sustituirla
(reemplazarla) en la otra ecuación.
(+)
Ejemplo:
Resuelve
5x + 3y = 11 (1)
x – 2y = 10 (2)
Resolución:
De (2) Despejamos x: x = 10 + 2y
sustituimos el equivalente de x en la ecuación (1):
5(10 + 2y) + 3y = 11
50 + 10y + 3y = 11 ⇒ 13y = –39 ⇒ y = –3
En (1): 5x + 3(–3) = 11 ⇒ 5x = 20 ⇒ x = 4
Entonces, el conjunto solución es: C.S. = {(4 ; –3)}
Método de igualación
Despejamos la misma variable en ambas ecuaciones, luego las igualamos.
Ejemplo:
Halla el conjunto solución del sistema:
3x + y = 17 (1)
4x – y = 18 (2)
Resolución:
Despejamos y de ambas ecuaciones:
De (1): y = 17 – 3x
De (2): 4x – 18 = y
(2) = (1): 4x – 18 = 17 – 3x ⇒ 4x + 3x = 17 + 18
7x = 35 ⇒ x = 5
En (1): 3(5) + y = 17 ⇒ y = 17 – 15 ⇒ y = 2
Entonces, el conjunto solución es: C.S. = {(5 ; 2)}
Observa:
Es conveniente despejar la variable
con menor coeficiente.
Observa:
Elegimos la ecuación (2) porque es
más fácil despejar una incógnita.
Carl Friedrich
Gauss
30 de abril 1777
23 febrero 1855
Gauss, considerado
«el príncipe de los
matemáticos», fue
un matemático
y físico alemán
que contribuyó en
muchos campos,
entre ellos, el
álgebra.
Nota

104. 102
Otros casos
Es importante observar lo que piden calcular, en algunos casos llegaremos a la
respuesta con pocas operaciones.
Ejemplo 1
Halla el valor de x + y si
5x + 2y = 23 (1)
4x + 7y = 40 (2)
Resolución:
Nos piden calcular el valor de x + y.
Tenemos:
(1): 5x + 2y = 23
(2): 4x + 7y = 40
9x + 9y = 63
÷9: x + y = 7
+
Piden: x + y = 7
Ejemplo 2
Al resolver el sistema
Ejemplo 3
Calcula el valor de T = m + n, si {(–4 ; 3)} es el conjunto solución del sistema
mx + 5y = –5 (1)
–4x + (n – 1)y = 7 (2)
Resolución:
Reemplazamos los valores de x e y.
En (1): m(–4) + 5(3) = –5
–4m = –20
m = 5
En (2): –4(–4) + (n – 1)(3) = 7
(n – 1)3 = 7 – 16
n – 1 = –3
n = –2
Piden: T = m + n = 5 + (–2) = 3
El valor de T es 3.
4x + 3y = 26 (1)
2x + ny = 34 (2)
Se halla que y es el triple de x, determina el valor de A = x + y + n
Resolución:
En (1): 4x + 3(3x) = 26
13x = 26 ⇒ x = 2
Luego: y = 3x ⇒ y = 3 . 2 ⇒ y = 6
En (2): 2 . 2 + n . 6 = 34
6n = 34 – 4 ⇒ n = 5
Piden el valor de:
A = x + y + n ⇒ A = 2 + 6 + 5 = 13
Observa:
La solución de un sistema con dos
variables es un par ordenado:
(x ; y) = (–4 ; 3)
Entonces:
x = –4 y = 3
Observa:
Los coeficientes de las variables
suman 9.
Recuerda
Incógnita
Cantidad
desconocida que es
preciso determinar
en una ecuación o
en un problema para
resolverlos.
Fuente: RAE
Observa:
Por dato del problema: y = 3x.
Entonces, reemplazamos todas las
variables y.

105. 103
Matemática Delta 2 - Álgebra
1
2
3
4
5
6
Resuelve y halla el valor de H = 2x – 1.
x – 3[1 – 2x – (2 – x)] = –5
Resolución:
Tenemos:
x – 3(1 – 2x – 2 + x) = –5
x – 3(–1 – x) = –5
x + 3 + 3x = –5
4x = –5 – 3
x = –2
Piden: H = 2x – 1
H = 2(–2) – 1 = –5
Rpta. –5
Resuelve el sistema de ecuaciones.
x = 2y + 3
4x + y = 21
Resolución:
Tenemos: x = 2y + 3 (1)
4x + y = 21 (2)
Observa que la variable x está despejada en (1),
por lo que aplicamos el método de sustitución:
(1) en (2): 4(2y + 3) + y = 21
8y + 12 + y = 21
9y = 21 – 12 ⇒ y = 1
En (1): x = 2(1) + 3 ⇒ x = 5
Luego: C.S. = {(5 ; 1)}
Rpta. {(5 ; 1)}
Calcula el valor de N = xy, dado el sistema de
ecuaciones.
5x + 3y = 34 (1)
2x – y = 7 (2)
Resolución:
La variable y es la que tiene signos diferentes, por
lo tanto, es la que vamos a eliminar. Entonces:
(1) : 5x + 3y = 34
(2) × 3: 6x – 3y = 21
11x = 55 ⇒ x = 5
En (1): 5(5) + 3y = 34
3y = 34 – 25
y = 3
Piden: xy = 5 . 3 = 15
Rpta. 15
Resuelve
x + 5
2
– 1
3
+ 4 = 5.
Resolución:
Tenemos una ecuación lineal en la que aplicamos
transposición, entonces:
x + 5
2
– 1
3
= 5 – 4 ⇒
x + 5
2
– 1 = 3(1)
x + 5
2
= 3 + 1 ⇒ x + 5 = 2(4)
Luego: C.S. = {3}
x = 8 – 5
x = 3
Rpta. {3}
Determina el valor de N = 3a – 2b, si {(4 ; –2)},
es el conjunto solución del sistema:
ax + 3y = 14 (1)
2x + (b – 1)y = 2 (2)
Resolución:
Reemplazamos los valores de x e y.
En (1): a(4) + 3(–2) = 14
4a = 14 + 6
a = 5
En (2): 2(4) + (b – 1)(–2) = 2
8 – 2b + 2 = 2
10 – 2 = 2b ⇒ b = 4
Piden: N = 3(5) – 2(4) = 15 – 8
El valor de N es 7.
Rpta. 7
Encuentra el valor de n, si el valor de x es el triple
del valor de y en el sistema:
3x – 2y = 3n – 7 (1)
2x + y = n + 3 (2)
Resolución:
Tenemos: x = 3y
En (1): 3(3y) – 2y = 3n – 7
7y = 3n – 7
En (2): 2(3y) + y = n + 3
7y = n + 3
Luego: 3n – 7 = n + 3
2n = 10 ⇒ n = 5
Rpta. 5
Ejercicios resueltos

106. 104
7 10
11
12
8
9
Resuelve e indica el doble del valor de x.
Resolución:
Buscamos el MCM(10; 5; 4) = 20, multiplicamos y
simplificamos a todos los términos por este valor.
Entonces:
2(x + 2) + 4(x – 3) + 5(x) = 20(x) – 20(4)
2x + 4 + 4x – 12 + 5x = 20x – 80
80 – 8 = 20x – 11x
9x = 72 ⇒ x = 8
Piden: 2x = 2(8) = 16
x + 2
10
+
x – 3
5
+
x
4
= x – 4
Halla el valor que verifica la ecuación.
2x – 4
5
+ 4
2
+ 4 = x
Resolución:
Aplicando el criterio de transposición tenemos:
2x – 4
5
+ 4
2
= x – 4
2x – 4
5
+ 4 = 2(x – 4) ⇒
2x – 4
5
= 2x – 8 – 4
2x – 4 = 5(2x – 12)
2x – 4 = 10x – 60
60 – 4 = 10x – 2x
56 = 8x ⇒ 7 = x
Luego, el valor que verifica la igualdad es 7.
Calcula el valor de x.
3
x
4
x
+ = 12
– = 2
2
y
2
y
Resolución:
Aplicamos el método de reducción:
(1) :
(2) × 2:
3 + 4
x
= 14 ⇒ 7 = 14x
+
x = =
7
14
1
2
Rpta.
1
2
3
x
2
x
+ = 12
– = 1
2
y
1
y
(1)
(2)
Rpta. 16
Rpta. 7
Determina el valor de xy.
x
5
z
3
= = – 1
2x + y – z = 32
y + 1
2
(1)
(2)
Resolución:
De (1):
x
5
z
3
= = – 1 = k
y + 1
2
x = 5k
y = 2k – 1
z = 3(k + 1)
Sustituimos en (2):
2(5k) + (2k – 1) – 3(k + 1) = 32
10k + 2k – 1 – 3k – 3 = 32
9k = 32 + 4
k = 4
Piden: xy = (5k)(2k – 1) = 20 . 7 = 140
2x + y – z = 9 (1)
3x + 2z = 11 (2)
x – 2z = 1 (3)
Resolución:
Resolviendo por reducción (2) y (3):
(2) + (3): 4x = 12 ⇒ x = 3
En (2): 3(3) + 2z = 11
2z = 11 – 9 ⇒ z = 1
En (1): 2(3) + y – (1) = 9
y = 9 – 6 + 1
y = 4
Dado el sistema, descubre el valor de N = xyz.
Encuentra el valor de y.
Resolución:
Observamos que los coeficientes de las variables
son iguales, entonces:
(1) + (2) + (3): 7x + 7y + 7z = 49
÷ 7: x + y + z = 7 (4)
(1) – (4) : 4y = 8 ⇒ y = 2
(2) – (4) : 4x = 16 ⇒ x = 4
(3) – (4) : 4z = 4 ⇒ z = 1
Piden: x . y . z = 4 . 2 . 1 = 8
x + 5y + z = 15 (1)
5x + y + z = 23 (2)
x + y + 5z = 11 (3)
Rpta. 140
Rpta. 4
Rpta. 8

107. 105
Matemática Delta 2 - Álgebra
3 4
2
Síntesis
1
Modela y resuelve
Resolución: Resolución:
Ecuación lineal
Forma
Solución
Transposición
+ = –
– = +
× = ÷
÷ = ×
ax + b = 0; a ≠ 0
Valor que verifica la igualdad.
Igualdad con variable
Sistema de ecuaciones
Método de reducción
1.° Busca una variable con igual
coeficiente y signos diferentes.
2.° Suma miembro a miembro
ambas ecuaciones.
3.° Resuelve la ecuación.
Método de igualación
1.° Despeja la misma variable en
ambas ecuaciones.
2.° Iguala las ecuaciones
obtenidas.
Método de sustitución
1.° Despeja una variable en una
ecuación.
2.° Sustituye esta variable en la
otra ecuación.
C.S. = {(x ; y)}
Conjunto solución
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Conjunto de ecuaciones
Halla el valor de x que verifica la ecuación.
2(x – 5) + 7(2 – (x – 2)) = x
Halla el valor de x que verifica la ecuación.
3(x – 5) + 4(2 – (x – 3)) = 1
Resolución: Resolución:
Resuelve la ecuación. Resuelve la ecuación.
x + 2
3
+
x – 1
2
= x – 1
x + 3
4
+
x + 1
3
= x – 1
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

108. 106
7 8
9
11
10
12
5 6
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Determina el valor de y en el sistema lineal. Determina el valor de x en el sistema lineal.
Resolución: Resolución:
3x + 2y = 25
2x – y = 12
2x + 3y = 16
x + 2y = 9
Calcula el valor de x en el sistema lineal. Calcula el valor de y en el sistema lineal.
5x + y = 14
x – 2y = 5
3x + 2y = 19
2x – y = 15
Encuentra el valor de x + y en el sistema. Encuentra el valor de x + y en el sistema.
5x + 2y = 17
x + 4y = 7
6x + 5y = 40
2x + 3y = 16
Descubre el valor de y en el sistema lineal.
4x – 3y = 17
x = 5 + y
Descubre el valor de y en el sistema lineal.
5x – 2y = 21
x = 3 + y
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

109. 107
Matemática Delta 2 - Álgebra
13
17 18
14
15 16
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Halla el valor de z que verifica la igualdad. Halla el valor de a que verifica la igualdad.
z – 2
5
z
3
+ =
z + 3
10
– 2
a – 2
3
a
4
+ =
a + 2
5
+ 2
Resolución: Resolución:
Determina el valor de N = 2x + y. Determina el valor de H = x + 3y.
x
2
=
y + 1
3
x + 2y = 22
x
3
=
y + 1
2
x + 2y = 26
Calcula el valor de y.
2
x
1
y
+ = 8
1
y
3
x
+ = 11
Calcula el valor de x.
1
x
2
y
+ = 11
3
y
1
x
+ = 13
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

110. 108
19 20
21
23
22
24
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Encuentra el valor de x + y, dado el sistema. Encuentra el valor de x + y, dado el sistema.
3x + y = 27
2x – 3y = 18
2x – y = 7
3x + 4y = 27
Resuelve Resuelve
x – 1
3
+ 4
2
+ 4 = x.
x + 1
3
+ 5
4
+ 6 = x.
Descubre el valor de z en el sistema lineal. Descubre el valor de y en el sistema lineal.
x + y + 2z = 15
2x – y = 1
x + y = 5
x + 2y + z = 3
x – z = 5
2x + z = –2
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

111. 109
Matemática Delta 2 - Álgebra
=
25 26
27
29
28
30
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Halla el valor de x que verifica la igualdad. Halla el valor de x que verifica la igualdad.
1
2
1
2
x
2
– 1 – 1 – 1 = 3 1
3
1
2
x
3
– 1 – 4 – 1 = 2
Determina el valor de x + y + z. Determina el valor de x + y + z.
x
3
y – 1
2
= =
z
5
– 1
2x + y – z = 8
x
2
y + 2
3
=
z
4
+ 1
2x – y + z = 13
Calcula el valor de N = (a + b + c)2. Calcula el valor de H = (x + y + z)2.
a + 2b + c = 14
a + b + 2c = 19
2a + b + c = 15
x + 3y + z = 12
x + y + 3z = 10
3x + y + z = 8
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

112. 110
5
6
7
8
Practica y demuestra
1
4
2
3
Nivel I
Indica si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
( ) Si x + 5 = 3 x = 2
( ) La ecuación 3x + 6 = x – 2, es lineal
( ) {(2 ; 1)} es la solución de
( ) x = 4 es la solución de 2x – 3 = 9 – x
x + y = 3
x – y = 2
A VFVF B FFVV C VVFF
D FVFV E FFVV
Relaciona la ecuación con el valor que la verifica.
I. 2(x – 1) = x + 1
II. x
2
+ 1 = 3
III. 2 + x
3
= 4
IV. 2x – 5 = 1 – x
a. 2
b. 3
c. 4
d. 5
e. 6
A Ia; IIb; IIIc; IVe B Ib; IIe; IIIc; IVa
C Ib; IIa; IIId; IVe D Ic; IIe; IIIa; IVd
E Ib; IIc; IIIe; IVa
Resuelve la ecuación x – [–(x + 1) – 4 – x] = 11.
A {–1} B {2} C {0}
D {1} E {3}
Determina el valor de x que verifica la ecuación.
x + 1
3
2 + = 5
A 5 B 6 C 9
D 7 E 8
A 10 B 9 C 7
D 11 E 12
Resuelve la ecuación.
x + 2
3
x + 1
2
+ = x
A {7} B {8} C {9}
D {6} E {5}
Indica el valor de x que verifica la ecuación.
x – 3
2
+ 1
5
+ 6 = 7
Halla el valor de x en el sistema.
3x + 2y = 10
2x – y = 9
A –1 B 4 C –2
D 5 E 6
Resuelve el sistema.
4x + y = 14
3x – 2y = 5
A {(1 ; 4)} B {(2 ; 3)}
C {(2 ; 1)} D {(3 ; 2)}
E {(2 ; 4)}

113. 111
Matemática Delta 2 - Álgebra
9
12
13
14
15
Encuentra el valor de M = x + 2y, luego de resolver
el sistema lineal.
A 22 B 18 C 24
D 26 E 20
11 Resuelve la ecuación y luego indica como
respuesta la mitad del valor de x.
x
6
x
20
x
12
+ + = 6
A 10 B 18 C 30
D 15 E 20
x
2
=
y
3
4x – y = 15
10 Resuelve y luego indica el valor de x + y.
A 10 B 12 C 15
D 9 E 11
3x – 2y = 13
7x + 4y = 65
Calcula el valor de n, si {9} es la solución de la
ecuación de variable x.
A 5 B 6 C 4
D 2 E 3
x + 1
5
+
x – n
3
= n + 1
Nivel II
Relaciona cada sistema con su solución.
I.
2x + y = 5
x – y = 1
a. {(1 ; 3)}
b. {(2 ; 1)}
c. {(1 ; 2)}
d. {(2 ; 2)}
e. {(3 ; 1)}
II.
3x + y = 5
x + y = 3
III.
2x – y = 5
y + x = 4
IV.
x + 2y = 7
x – y = –2
Resuelve la ecuación y luego indica el valor de x – 1.
2x – 1
3
+ 1
2
+ 3 = x
A 3 B 4 C 5
D 6 E 7
En la ecuación, indica el doble del valor de x.
(x + 5)2 + 4 = (x + 3)2
A –5 B 10 C 4
D –10 E –8
16 Descubre el valor de x + 3y en el sistema.
A 26 B 28 C 30
D 32 E 35
x – 2
3
=
2x – y = 17
y
5
+ 2
A Ic; IIb; IIIa; IVe B Ib; IIc; IIIe; IVa
C Ia; IIc; IIId; IVe D Ib; IIa; IIId; IVb
E Ia; IIa; IIIb; IVe

114. 112
20
21
22
23
24
17
18
19
Nivel III
Determina el valor de x en el sistema.
A 3 B 1
3
C 1
2
D 4 E 2
2
x
+
1
y
= 7
1
x
+
2
y
= 8
Indica la solución de la ecuación.
A {12} B {2} C {3}
D {8} E {6}
2 + =
2 +
x
3
1
2 +
3 +
x
6
1
Halla el valor de xy en el sistema.
A 8 B 9 C 15
D 12 E 18
5x + 3y = 27
3x + 4y = 25
Encuentra el valor de a + b, si {(–2 ; 4)} es el
conjunto solución del sistema.
A 5 B 7 C 6
D 8 E 9
3x + ay = 10
ax + by = 4
A 4 B 5 C 3
D 6 E 2
En el sistema de ecuaciones, el valor de x es el
doble de y. Calcula el valor de n.
2nx – 3y = 63
4x + ny = 42
Encuentra el conjunto solución de la ecuación.
a
b
(x – a) + (x + b) = –x; a 0; b 0
b
a
A {a} B {b} C {a + b}
D {a2 + b2} E {a – b}
Descubre el valor de x en el sistema.
A 5 B 9 C 6
D 10 E 8
x + 2y – z = 18
y + 3z = 10
y – 4z = 3
Resuelve e indica el valor de N = x2 + y2 + z2.
x + 4y + z = 19
4x + y + z = 16
x + y + 4z = 25
A 28 B 36 C 32
D 38 E 42

115. Tema
113
Matemática Delta 2 - Álgebra
Ecuación cuadrática
8
Son aquellas ecuaciones que adquieren la forma:
Ecuación cuadrática
La aplicación común de una
ecuación cuadrática es la
descripción del movimiento de
proyectiles, desde una pelota de
tenis, de baloncesto, de fútbol
(por ejemplo al realizar un tiro
libre), hasta el propio cuerpo de
un atleta al dar un salto.
Ax2 + Bx + C = 0
Donde: Ax2: Término cuadrático
Bx : Término lineal
C : Término independiente
Se debe cumplir que: A ≠ 0
Toda ecuación de segundo grado tiene dos raíces o valores que verifican la igualdad,
las que obtendremos aplicando los dos métodos siguientes:
Por factorización
Consiste en factorizar por el método apropiado y luego se iguala cada factor a cero,
despejando en cada caso el valor de la variable.
Ejemplos:
a) Halla el conjunto solución de x2 + 4x = 0.
• Factorizamos por agrupación: x(x + 4) = 0
• Igualamos cada factor a cero: x1 = 0 ∨ x + 4 = 0 ⇒ x2 = –4
• Conjunto solución: C.S. = {–4; 0}
b) Halla el conjunto solución de x2 – 16 = 0
• Factorizamos por identidades: x2 – 42 = 0
(x + 4)(x – 4) = 0
• Igualamos cada factor a cero: x + 4 = 0 ∨ x – 4 = 0
x1 = –4 x2 = 4
• Conjunto solución: C.S. = {–4; 4}
c) Halla el conjunto de 3x2 – 7x – 6 = 0
• Factorizamos por aspa simple: 3x2 – 7x – 6 = 0
3x 2
x –3
(3x + 2)(x – 3) = 0
• Igualamos cada factor a cero: 3x + 2 = 0 ∨ x – 3 = 0
x1 = –2
3
x2 = 3
• Conjunto solución: C.S. = {–2
3
; 3}
Forma práctica
x2 – 16 = 0
x2 = 16
x = ± 16
x = ± 4
Ecuación cuadrática
Completa:
Ax2 + Bx + C = 0
Incompleta:
Ax2 = 0
Ax2 + Bx = 0
Ax2 + C = 0
Observa
La ecuación
cuadrática y la
solución de estas
tienen origen antiguo,
ya que se conocieron
algoritmos para
resolverla en
Babilonia y Egipto.
¿Sabías que...?

116. 114
Por fórmula
Las raíces de la ecuación de segundo grado:
Ax2 + Bx + C = 0
se obtienen mediante la fórmula: x =
–B ± B2 – 4AC
2A
Denominaremos discriminante: ∆ = B2 – 4AC
Ejemplo:
Halla el conjunto solución de x2 – 4x + 2 = 0.
Dado que no se puede factorizar, aplicamos la fórmula.
Identificando coeficientes: 1x2 – 4x + 2 = 0 ⇒ A = 1; B = –4; C = 2
Entonces:
x =
–B ± B2 – 4AC
2A
⇒ x =
–(–4) ± (–4)2 – 4 . 1 . 2
2 . 1
⇒ x =
4 ±
2
16 – 8
⇒ x = ⇒ x =
4 ±
2
8 4 ± 2 2
2
⇒ x = 2 ± 2
Luego: C.S. = {2 – 2; 2 + 2}
En la ecuación cuadrática Ax2 + Bx + C = 0 de coeficientes reales y discriminante
∆ = B2 – 4AC. Se cumple:
Análisis de las raíces
Si ∆ > 0
La ecuación Ax2 + Bx + C = 0 tiene 2 raíces reales y diferentes.
Ejemplo:
Luego de analizar las raíces de la ecuación x2 – 3x – 4 = 0, determina cuál es la mayor raíz.
Resolución:
Analizamos con el discriminante: ∆ = B2 – 4AC
A = 1; B = –3; C = –4 ⇒ ∆ = (–3)2 – 4(1)(–4)
∆ = 25
Buscando la mayor raíz, como es positivo el discriminante entonces podemos
determinarlo: x2 – 3x – 4 = 0
x –4
x 1
x – 4 = 0 ˅ x + 1 = 0
x = 4 x = –1 ∴ Mayor raíz: 4
Si ∆ = 0
La ecuación tiene 2 raíces reales e iguales (solución única).
Ejemplo:
Determina el valor de m si la ecuación cuadrática tiene solución única.
x2 – 7x + m = 0
• Como tiene solución única: ∆ = 0
49 – 4m = 0 ⇒ 49 = 4m ∴ m =
49
4
Recuerda
Raíz: es el valor que
verifica la ecuación
cuadrática, para esta
siempre son dos.
Conjunto solución
(C.S.): conjunto
de valores que
verifican la ecuación
cuadrática, a lo más
tiene dos elementos.
¿Sabías que...?
∆: es la letra griega
delta mayúscula.

117. 115
Matemática Delta 2 - Álgebra
Si ∆ < 0
La ecuación cuadrática tiene 2 raíces no reales y diferentes.
Ejemplo:
Resuelve la ecuación x2 + x + 1 = 0; x ∈ R y determina cuál es la mayor raíz.
Resolución:
Analizamos con el discriminante: ∆ = (1)2 – 4(1)(1)
∆ = 1 – 4
∆ = –3
Como la ecuación tiene soluciones no reales pero x ∈ R, concluimos que el C.S. = ∅.
Propiedades de las raíces
Sea la ecuación Ax2 + Bx + C = 0; A ≠ 0 de raíces x1; x2.
Se cumple:
Suma de raíces
x1 + x2 =
–B
A
Ejemplos:
a) Halla la suma de las raíces en la ecuación 2x2 – 5x + 3 = 0.
Observa que A = 2; B = –5; C = 3
Luego: x1 + x2 =
–B
A
⇒ x1 + x2 =
–(–5)
2
⇒ x1 + x2 =
5
2
b) Halla la suma de las raíces en la ecuación 3x2 + 7 = 12x + 2.
Primero compara con cero: 3x2 – 12x + 5 = 0.
Observa que A = 3; B = –12; C = 5
Luego: x1 + x2 =
–B
A
⇒ x1 + x2 =
–(–12)
3
⇒ x1 + x2 =
12
3
= 4
Producto de raíces
x1 . x2 =
C
A
Ejemplo:
Halla el producto de raíces en la ecuación 2x2 – 5x + 3 = x – x2 + 7.
Primero, compara con cero: 3x2 – 6x – 4 = 0
Observa que A = 3; B = –6; C = –4
Luego: x1 . x2 =
C
A
⇒ x1 . x2 =
–4
3
Importante
En una ecuación
cuadrática, para
resolver o aplicar
propiedades, primero
debemos comparar
con cero y reducirla.

118. 116
Raíces especiales
Raíces simétricas (opuestas)
x ; –x x1 + x2 = 0 ⇒ B = 0
Ejemplo:
Si las raíces de la ecuación 2nx2 + (3n – 9)x + 6 = 0 son simétricas, determina el valor
de n.
Resolución:
Observa que:
A = 2n; B = 3n – 9; C = 6
Como las raíces son simétricas: B = 0, entonces 3n – 9 = 0 ⇒ n = 3
Raíces recíprocas (inversas multiplicativas)
x ;
1
x
x1 . x2 = 1 ⇒ A = C
Ejemplo:
Si las raíces de la ecuación (2n – 1)x2 + (5n + 12)x + 3n – 7 = 0 son recíprocas,
determina el valor de n.
Resolución:
Observa que A = 2n – 1; B = 5n + 12; C = 3n – 7. Como las raíces son recíprocas:
A = C, entonces: 2n – 1 = 3n – 7 ⇒ n = 6
Sea la ecuación Ax2 + Bx + C = 0; A ≠ 0 de raíces x1; x2, si estas son:
Importante
Recuerda
Inverso aditivo de a:
–a
Propiedad:
a + (–a) = 0
Inverso multiplicativo
de a:
1
a
Propiedad
a ×
1
a
= 1
Diferencia de raíces
Ejemplo:
Halla la diferencia de raíces en la ecuación x2 – 4x + 2 = 0.
Resolución:
Observa que A = 1; B = –4; C = 2.
Luego:
x1 – x2 = ± 8
x1 – x2 = ±2 2
x1 – x2 = ±
B2 – 4AC
A
x1 – x2 = ±
(–4)2 – 4(1)(2)
1
La diferencia de
raíces se puede
obtener usando
la equivalencia de
legendre.
(x1 +x2)2 –(x1 –x2)2 =4x1x2

119. 117
Matemática Delta 2 - Álgebra
Ejemplo:
Reconstruye las ecuaciones cuadráticas cuyas raíces son: x1 = 2; x2 = 8.
Sabemos: x2 – (x1 + x2)x + x1 . x2 = 0
Entonces: x2 – (2 + 8)x + 2 . 8 = 0
x2 – 10x + 16 = 0
Ecuaciones reductibles a cuadráticas
Existen ecuaciones no cuadráticas, que al resolverlas se convierten en cuadráticas.
Ejemplo 1
Resuelve la ecuación
3x + 3
x – 1
=
x + 3
x – 2
.
Observa que es una ecuación
fraccionaria x ≠ 1; x ≠ 2
Resolución:
Multiplicamos en aspa:
(3x + 3)(x – 2) = (x + 3)(x – 1) Desarrollamos
3x2 – 6x + 3x – 6 = x2 – x + 3x – 3 Reducimos términos semejantes
3x2 – 3x – 6 = x2 + 2x – 3 Comparamos con cero
2x2 – 5x – 3 = 0 Tenemos una ecuación cuadrática, aplicamos aspa simple
(2x + 1)(x – 3) = 0
2x + 1 = 0 ⇒ x = –
1
2
∨ x – 3 = 0 ⇒ x = 3
C.S. = {–
1
2
; 3}
Ejemplo 2
Resuelve la ecuación x + x – 2 = 4. Observa que es una ecuación con radical
Resolución:
Despejamos el radical:
x – 2 = 4 – x Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad
x – 2 = (4 – x)2 Desarrollamos el binomio al cuadrado
x – 2 = 16 – 8x + x2 Comparamos con cero
0 = x2 – 9x + 18 Tenemos una ecuación cuadrática, aplicamos aspa simple
0 = (x – 6)(x – 3)
x – 6 = 0 ⇒ x = 6 ∨ x – 3 = 0 ⇒ x = 3
Verificamos en la ecuación inicial:
x = 6: 6 + 6 – 2 = 6 + 4 = 6 + 2 = 8 No verifica la igualdad, x = 6 no es solución
x = 3: 3 + 3 – 2 = 3 + 1 = 3 + 1 = 4 Verifica la igualdad, x = 3 es solución
Importante
Cuando se resuelva
ecuaciones
fraccionarias, verifica
que el denominador
sea diferente de cero.
Cuando una ecuación
se resuelve elevando
al cuadrado,
es posible que
se introduzcan
soluciones extrañas,
por lo que se debe
verificar en la
ecuación inicial.
Reconstrucción de la ecuación
Teniendo como datos las raíces x1 y x2 ,la reconstrucción de la ecuación cuadrática se
efectúa reemplazando en la siguiente expresión:
x2 – (x1 + x2)x + x1 . x2 = 0
C.S. = {3}

120. 118
1
2
3
4
5
6
Resuelve las ecuaciones.
a) x2 – 64 = 0
Factorizamos por diferencia de cuadrados.
x2 – 82 = 0 ⇒ (x + 8)(x – 8) = 0
Cada factor primo lo igualamos con cero:
• x + 8 = 0 ⇒ x = –8
• x – 8 = 0 ⇒ x = 8
∴ C.S. = {–8; 8}
b) x2 = 6x
Movemos los términos al primer miembro.
x2 – 6x = 0
Factorizamos por factor común.
x(x – 6) = 0
Cada factor primo igualamos con cero:
x = 0 ∨ x – 6 = 0 ⇒ x = 6
∴ C.S. = {0; 6}
Efectúa la ecuación.
6x2 + 3 = 11x
Resolución:
Comparamos a cero y ordenamos, para luego
factorizar por el método de aspa simple.
6x2 – 11x + 3 = 0
3x –1
2x –3
(3x – 1)(2x – 3) = 0
• 3x – 1 = 0 ⇒ x = 1
3
• 2x – 3 = 0 ⇒ x =
3
2
∴ C.S. =
Rpta.
Determina el valor de n en la ecuación cuadrática,
sabiendo que una de sus raíces es 2.
2x2 – (n + 2)x + 4 = 0
Resolución:
Sabemos que su raíz es el valor que verifica la
igualdad, entonces: x = 2.
2(2)2 – (n + 2)(2) + 4 = 0
8 – 2n – 4 + 4 = 0
8 = 2n
4 = n
Rpta. 4
Resuelve la ecuación.
(x – 2)(x – 4) = 15
Resolución:
Desarrollamos, luego comparamos con cero para
factorizar por aspa simple.
x2 + (–2 – 4)x + (–2)(–4) = 15
x2 – 6x + 8 – 15 = 0
x2 – 6x – 7 = 0
x 1
x –7
(x + 1)(x – 7) = 0
• x + 1 = 0 ⇒ x = –1
• x – 7 = 0 ⇒ x = 7
∴ C.S. = {–1; 7}
Rpta. {–1; 7}
Rpta. {–8; 8}
Rpta. {0; 6} Calcula la suma y producto de las raíces de la
ecuación.
2x2 + 6x – 15 = 0
Resolución:
Observa que A = 2; B = 6; C = –15.
Sabemos que:
S = x1 + x2 =
–B
A
=
–6
2
= –3
P = x1
. x2 =
C
A
=
–15
2
Luego, la suma es –3 y el producto
–15
2
Rpta. –3;
–15
2
Halla el discriminante de la ecuación.
(x + 5)(x – 2) = 2(x + 1)
Resolución:
Desarrollamos, luego comparamos con cero y
ordenamos.
x2 + (5 – 2)x + 5(–2) = 2x + 2
x2 + 3x – 10 – 2x – 2 = 0
x2 + x – 12 = 0
Observa que:
A = 1; B = 1; C = –12
Sabemos que: ∆ = B2 – 4AC
⇒ ∆ = 12 – 4(1)(–12)
∆ = 1 + 48 = 49
Rpta. 49
Ejercicios resueltos
1
3
3
2 1
3
3
2

121. 119
Matemática Delta 2 - Álgebra
7 10
11
12
8
9
Resuelve la ecuación.
x2 – 6x + 4 = 0
Resolución:
No es posible factorizar por aspa simple.
Observa que A = 1; B = –6; C = 4.
Sabemos que:
x =
–B ± B2 – 4AC
2A
–(–6) ± (–6)2 – 4(1)(4)
2(1)
=
=
6 ± 36 – 16
2
=
6 ± 4 . 5
2
6 ± 2 5
2
= = 3 ± 5
Rpta. {3 + 5; 3 – 5}
Rpta. 15
Rpta. –
1
2
;
2
3
Encuentra el valor de H = a2b + ab2, si {a; b} es el
conjunto solución de la ecuación.
x2 – 3x + 5 = 0
Resolución:
Piden: H = ab(a + b)
Observa que A = 1; B = –3; C = 5.
Sabemos:
x1 + x2 =
–B
A
⇒ a + b =
–(–3)
1
= 3
x1
. x2 =
C
A
⇒ a . b =
5
1
= 5
H = 5(3) = 15
Resuelve la ecuación.
x =
1
6
+
1
3x
Resolución:
El MCM(6; 3x) = 6x
Entonces multiplicamos por 6x a ambos lados de
la ecuación:
6x . x = 6x . 1
6
+
1
3x
6x2 = x + 2
6x2 – x – 2 = 0
(3x – 2)(2x + 1) = 0
• 3x – 2 = 0 ⇒ x =
2
3
• 2x + 1 = 0 ⇒ x = –
1
2
C.S.= –
1
2
;
2
3
Rpta. 2x2 – 7x + 3 = 0
Forma la ecuación cuadrática de coeficientes
enteros con raíces 3 y 1
2
.
Resolución:
Sabemos que: x2 – Sx + P = 0.
S = 3 +
1
2
=
6 + 1
2
=
7
2
P = 3 . 1
2
=
3
1
. 1
2
=
3
2
Reemplazamos: x2 –
7
2
x +
3
2
= 0
Con coeficientes enteros, entonces:
×2 : 2x2 – 7x + 3 = 0
Rpta. {4}
Resuelve la ecuación.
x + 2x + 1 = 7
Resolución:
Tenemos: 2x + 1 = 7 – x
( )2 : 2x + 1
2
= (7 – x)2
2x + 1 = 49 – 14x + x2
0 = x2 – 16x + 48
0 = (x – 12)(x – 4)
• x – 12 = 0 ⇒ x = 12
• x – 4 = 0 ⇒ x = 4
Comprobamos:
x = 12: 12 + 2 . 12 + 1 = 12 + 25 = 17
x = 4 : 4 + 2 . 4 + 1 = 4 + 9 = 7
Luego, el valor que verifica es x = 4.
Rpta. 3
En la ecuación 9x2 – 18x + 2n + 2 = 0, una de las
raíces es el doble de la otra; descubre el valor de n.
Resolución:
Por dato: C.S. = {r; 2r}
Tenemos: 9x2 – 18x + 2n + 2 = 0
Observa que: A = 9; B = –18; C = 2n + 2
Sabemos:
x1 + x2 =
–B
A
⇒ r + 2r =
–(–18)
9
⇒ 3r = 2 ⇒ r =
2
3
x1
. x2 =
C
A
⇒ r . 2r =
2n + 2
9
2
2
3
=
2n + 2
9
⇒
8
9
=
2n + 2
9
8 – 2 = 2n ⇒ 3 = n
2

122. 120
Síntesis
Modela y resuelve
2
4
1
3
Ecuaciones
cuadráticas
Forma
Ax2 + Bx + C = 0; A ≠ 0
Solución Propiedades de las raíces
Factorización Fórmula
Aspa simple
Agrupación
Identidades
x =
–B B2 – 4AC
2A
Discriminante
= D = B2 – 4AC
Reconstrucción de una
ecuación de raíces x1 y x2
x2 – Sx + P = 0
Donde: S = x1 + x2 ∧ P = x1 . x2
1. Suma de raíces : x1 + x2 =
–B
A
2. Producto de raíces: x1 . x2 =
C
A
Recuerda
(x1 + x2)2 – (x1 – x2)2 = 4x1 . x2
Raíces simétricas
(opuestas)
x; –x
Suma: 0
B = 0
Raíces recíprocas
(inversa multiplicativa)
x;
1
x
Producto:1
A = C
Resuelve la ecuación x2 = –3x. Resuelve la ecuación x2 = 11x.
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Desarrolla la ecuación 4x2 = 9. Desarrolla la ecuación 9x2 = 16.
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.

123. 121
Matemática Delta 2 - Álgebra
5 6
9
11
7
10
12
8
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Halla el conjunto solución de la ecuación.
2x2 + 5x – 12 = 0
Halla el conjunto solución de la ecuación.
3x2 – 10x – 8 = 0
Determina el valor de n, si 3 es una raíz de la
ecuación x2 + 2x – (2n + 1) = 0.
Determina el valor de n, si 2 es una raíz de la
ecuación 3x2 + (2n – 1)x + 2 = 0.
Si a y b son raíces de la ecuación x2 + 2x – 9 = 0,
encuentra el valor de H = 3a + 3b.
Si a y b son raíces de la ecuación 2x2 + 6x – 13 = 0,
encuentra el valor de N = 4a + 4b.
Si a y b son raíces de la ecuación 2x2 + 5x + 10 = 0,
calcula el valor de M = (2a)(3b).
Si a y b son raíces de la ecuación 3x2 + 7x – 9 = 0,
calcula el valor de R = (4a)(2b).
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.

124. 122
15
17
16
18
14
13
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Halla la mayor raíz de x2 + 7 = 6x. Halla la menor raíz de x2 = –1 – 4x.
Determina el conjunto solución de la ecuación.
10x2 = 36a2 – 2ax
Determina el conjunto solución de la ecuación.
24x2 + 16bx = 30b2
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Siendo {a; b} las raíces de la ecuación x2 + 3x + 4 = 0,
encuentra la ecuación cuadrática de C.S. = {a + b; ab}.
Siendo {m; n} las raíces de la ecuación x2 + 5x + 7 = 0,
encuentra la ecuación cuadrática de C.S. = {m + n; mn}.
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.

125. 123
Matemática Delta 2 - Álgebra
19
21
23
20
22
24
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Calcula el valor de H = (n + 2)(m + 2), si n y m son
las raíces de la ecuación 2x2 – 3x – 8 = 0.
Calcula el valor de E = (a + 3)(b + 3), si a y b son
las raíces de la ecuación 3x2 – 5x + 12 = 0.
Halla el valor de E =
a + 3b
b
; si
a
b
+
2b
a
= 3. Halla el valor de Q =
x + 2y
y
; si
x
y
+
3y
x
= 4.
Determina la menor solución de la ecuación.
x +
5
3
=
4
x
Determina la mayor solución de la ecuación.
z +
5
2
=
6
z
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

126. 124
25
27
29
26
28
30
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Encuentra el valor de P, siendo a un valor que
verifica la igualdad x2 – 5x + 1 = 0.
a2 + 1
a
+ 3
3
P =
Encuentra el valor de B, siendo n un valor que
verifica la igualdad x2 – 10x + 3 = 0.
n2 + 3
2n
+ 4
B =
Indica el valor que verifica la ecuación. Indica el valor que verifica la ecuación.
x – 1 = 3x + 1
5x – 14 = x – 4
Calcula el valor de n, si una raíz de la ecuación
x2 + (n + 1)x + 8 = 0 es el doble de la otra.
Calcula el valor de k, si una raíz de la ecuación
x2 – (5k + 2)x + 27 = 0 es el triple de la otra.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

127. 125
Matemática Delta 2 - Álgebra
2
3
Practica y demuestra
1
4
5
6
Nivel I
7
8
9
Dada la ecuación 2x2 – 8x = 0, indica si las
proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F).
( ) La ecuación tiene una raíz.
( ) La suma de las raíces es 4.
( ) Una raíz es 0.
( ) Un valor que verifica la ecuación es –4.
Relaciona cada ecuación con su mayor raíz.
I. x2 = 1
II. x2 = 5x
III. x2 = 0
IV. (x + 1)(x – 2) = 0
a. –1
b. 0
c. 1
d. 2
e. 5
A Ia; IIe; IIIb; IVa B Ic; IIe; IIIb; IVd
C Ia; IIb; IIId; IVa D Ic; IIe; IIIc; IVd
E Ia; IIb; IIIb; IVa
Indica la menor raíz de la ecuación.
x2 + 2x – 15 = 0
A 5 B 1 C 3
D –3 E –5
A VFVF B FFVV C VVFF
D FVVF E FFVV
Indica la mayor raíz de la ecuación.
x2 = x + 12
A –6 B –4 C 4
D 3 E 6
Determina el valor de n, si 1 es un valor que
verifica la ecuación 3x2 + (n + 1)x – 1 = 0.
A –3 B 1 C 2
D –1 E –2
A 12 B –12 C 5
D 6 E –6
Calcula la suma de raíces de la ecuación.
2x2 + 12x – 5 = 0
Indica el menor valor de x en la ecuación.
12x2 + 5x = 3
A
2
3
B
3
4
C
1
4
D
1
3
E 1
Halla el discriminante de la ecuación.
x2 + 2x – 1 = 0
A 6 B 7 C 8
D 12 E 10
Encuentra el valor de n, si una de las raíces de la
ecuación x2 – nx + 6n – 3 = 0, es igual a 3.
A –1 B –2 C 2
D 3 E 4

128. 126
Nivel II
10 14
15
16
17
11
12
13
Sea {a; b} el conjunto solución de la ecuación
3x2 – 5x + 9 = 0. Descubre el valor de N = a2b + ab2.
A 3 B 6 C –
5
3
D 5 E 9
Determina la ecuación cuadrática cuyas raíces son
–3 y 5, y cuyo coeficiente de segundo grado es 1.
Calcula el valor de E =
1
a
1
b
+ ; si a y b son las
raíces de la ecuación x2 – 5x – 10 = 0.
A –2 B 2 C –
1
2
D
1
2
E 1
Indica si las proposiciones son verdaderas (V) o
falsas (F).
( ) En la ecuación –x2 + 4x + 6 = 0, la suma
de sus raíces es 4.
( ) La ecuación x2 + 5x + 1 = 0, tiene raíces
simétricas.
( ) En la ecuación –2x2 + 5x – 8 = 0, el
producto de sus raíces es 4.
( ) La ecuación 2x2 + 5x + 2 = 0, tiene raíces
recíprocas.
A VFVF B FFVV C VFVV
D FVVV E FFFV
Si n es la solución común de las ecuaciones:
• x2 – x – 6 = 0
• x2 – 5x + 6 = 0
Indica la ecuación cuadrática de coeficiente
principal uno y C.S. = {n; 2n}.
Resuelve las ecuaciones, y luego indica como
respuesta la suma de todas las soluciones.
• 2x2 + 3x – 5 = 0
• 3x2 + 2x – 7 = 0
A –
11
3
B –
11
4
C –
17
6
D –
13
6
E –
9
2
Determina el valor de n, si en la ecuación
(3n – 1)x2 + 7 = 4nx la suma de sus raíces es 3
2
.
A 2 B 4 C –2
D 3 E 5
Resuelve la ecuación cuadrática en x y luego
indica una raíz.
x2 – 2ax = 6ab – 3bx
A 2a B –2b C 6a
D ab E 3b
A x2 + 2x – 8 = 0 B x2 + 8x – 15 = 0
C x2 + 2x + 15 = 0 D x2 – 2x – 15 = 0
E x2 – 8x – 15 = 0
A x2 + 2x – 8 = 0 B x2 + 8x – 15 = 0
C x2 + 2x + 15 = 0 D x2 – 2x – 15 = 0
E x2 – 8x – 15 = 0

129. 127
Matemática Delta 2 - Álgebra
18
21
22
23
24
19
20
Encuentra el producto de las raíces de la
ecuación x2 – (2n – 1)x + n2 + 5 = 0, si la suma
de sus raíces es 3.
A 7 B 9 C 12
D 8 E 10
Indica la menor raíz de la ecuación.
x2 – 6x + 1 = 0
Los rectángulos mostrados tienen áreas iguales,
si estas son más de 20 u2, descubre el perímetro
de un rectángulo.
A 22 u B 26 u C 36 u
D 14 u E 32 u
x + 7
x – 2
2x – 1
x – 1
Si la ecuación cuadrática x2 + ax + b – 1 = 0,
tiene como conjunto solución a {a – b; a + b – 3},
encuentra el valor de R = a2 + b2.
A 1 B 2 C 3
D 4 E 6
Halla el conjunto solución de x + 4x + 1 = 5.
A {2; 12} B {2; 8} C {12}
D {2} E { }
Determina el valor de n, si en la ecuación
10x2 – 4(n + 1)x – 6 + n = 0 la suma de raíces es
el doble del producto.
A 4 B –6 C –8
D –12 E 6
Calcula la ecuación cuadrática de coeficiente
principal uno y C.S. = {2ab; 3a + 3b}, siendo a y b
raíces de la ecuación x2 + 4x + 5 = 0.
Nivel III
A 3 + 2 2 B –3 – 2 2
C 3 – 2 2 D 3 – 2
E –3 + 2 2 A x2 ‒ 2x – 20 = 0 B x2 + 2x – 120 = 0
C x2 + 5x + 60 = 0 D x2 + 3x + 80 = 0
E x2 + 12x + 90 = 0

130. 128
Tema 9
Planteo de ecuaciones
Para resolver un problema mediante ecuación lineal, sistema lineal o ecuación
cuadrática se debe:
1.o Comprender el problema:
• Lea detenidamente el enunciado.
• Identifica los datos conocidos y las incógnitas.
2.o Plantear el problema:
• Elija las operaciones y anota el orden en que se deben realizar.
• Expresa las condiciones del problema mediante ecuaciones.
3.o Resolver el problema y verificar:
• Resuelve las operaciones en el orden establecido.
• Resuelve la ecuación o sistema de ecuaciones planteada y comprueba.
4.o Redactar la respuesta:
• Escribe la respuesta pedida en el problema.
Enunciado verbal y algebraico
Observa:
Ejemplo:
Traduce los enunciados del lenguaje verbal al lenguaje algebraico.
a) La suma de tres números: x + y + z
b) La suma de tres números consecutivos: x + (x + 1) + (x + 2)
c) El exceso de mi edad (x) sobre tu edad (y): x – y
d) Mi edad (x) excede a tu edad (y) en 5: x – y = 5
e) Un número (x) menos 30: x – 30
f) Hace dos años, mi edad (x) era el triple de tu edad (y): x – 2 = 3(y – 2)
g) N veces mi edad (e): N × e
h) El dinero que tengo en a billetes de S/ 10 y b de S/ 20: a . 10 + b . 20
i) Mi edad (x) aumentada en su mitad: x +
1
2
x
j) Manuel tiene S/ 32 más que el triple de Luis: M = 3L + 32
Ejemplos:
• Tengo doce billetes de S/ 50 ⇒ Total = 12 × 50, tengo S/ 600.
• Compro quince libros a S/ 40 cada uno ⇒ Total = 15 × 40, gasto S/ 600.
Importante
El cuadrado de tu
edad excede al triple
de la misma en 160.
x2 – 3x = 160
Se transforma a
Variables y número relacionados
por operaciones aritméticas
Lenguaje verbal Lenguaje algebraico
Total = (cantidad) × (valor unitario)
Aquí un problema
de hace 2000 a. C.,
encontrado en las
tablillas dejada por
los babilonios:
«He sumado el
área y el lado de
un cuadrado y
he obtenido 3/4.
¿Cuánto mide el
lado del cuadrado?».
Ecuación universal
Total
Recuerda
¿Sabías que...?
(cantidad) ×
valor
unitario

131. 129
Matemática Delta 2 - Álgebra
Ejemplo 1
La suma del doble de la edad de Frida y el triple de la edad de Lucrecia es 86 años, si
la edad de Frida excede a la edad de Lucrecia en 13 años, ¿cuántos años tiene Frida?
Resolución:
1.o Comprender el problema:
Edad de Frida: x
Edad de Lucrecia: y
2.o Plantear el problema:
La suma del doble de la edad de Frida y el triple de la edad de Lucrecia es 86
años:
2x + 3y = 86
la edad de Frida excede a la edad de Lucrecia en 13 años: x – y = 13
3.o Resolver el problema y verificar:
Tenemos: 2x + 3y = 86 (1)
x – y = 13 (2)
De (2): x – 13 = y
En (1): 2x + 3(x – 13) = 86
2x + 3x – 39 = 86
5x = 125 ⇒ x = 25
4.o Redactar la respuesta:
La edad de Frida es: 25 años
Observa:
En la ecuación (2) por los coeficientes de
las variables es fácil despejarlos, por lo que
aplicamos el método de sustitución.
Ejemplo 2
En un examen de 100 preguntas, la nota de Nicole ha sido 520. Si cada acierto vale 8
puntos y por cada error le restan 2 puntos, ¿cuántas respuestas ha acertado y cuántas
ha fallado; sabiendo que ha contestado todas?
Resolución:
1.o Comprender el problema:
Número de respuestas acertadas: x
Número de respuestas falladas: y
2.o Plantear el problema:
Un examen de 100 preguntas: x + y = 100
La nota ha sido 520. Si cada acierto vale 8 puntos y por cada error le restan 2
puntos: x(8) + y(–2) = 520
3.o Resolver el problema y verificar:
Tenemos: x + y = 100 (1)
8x – 2y = 520
÷ 2 : 4x – y = 260 (2)
(1) + (2): x + y + 4x – y = 100 + 260
5x = 360
x = 72
En (1): 72 + y = 100
y = 28
Comprobamos la solución:
(1): 72 + 28 = 100
(2): 8 . 72 – 2 . 28 = 520
4.o Redactar la respuesta:
Ha acertado en 72 preguntas y ha fallado en 28 preguntas.
Observa:
En las ecuaciones (1) y (2) la variable y tiene
coeficientesdesignosdiferentesyvaloresiguales,
por lo que aplicamos el método de reducción.
¿Sabías que...?
El tratado
matemático chino
elaborado alrededor
del siglo II a. C. está
ligado a la vida real.
1. Fangtian - Áreas
de campos.
2. Sumi - Mijo y arroz.
Intercambio de
bienes.
3. Cuifen -
Distribución
proporcional.
4. Shaoguang - El
menor largo.
5. Shanggong -
Volumen de sólidos
de varias formas.
6. Junshu - Impuesto
equitable.
7. Yingbuzu -
Excedente y déficit.
8. Fangcheng -
La disposición
rectangular.
9. Gougu - Base y
altura.
Tablas de edades
Hace
n años
Presente
A a – n a
B b – n b
Presente
Dentro de
m años
A a a + m
B b b + m
Observa
Los nueve capítulos
sobre el arte
matemático

132. 130
Ejemplo 3
El señor Wiles dispone de un terreno en forma rectangular de 42 metros de largo y 36
metros de ancho. Él desea tener en la parte posterior un jardín en forma triangular y en
el resto del terreno va a construir su casa. En el plano mostrado, M es el punto medio
del lado correspondiente. ¿Cuál debe ser el valor de x para que el área de la casa sea
el séxtuplo del área del jardín?
Resolución:
1.o Comprender el problema:
Base del rectángulo: 42
Altura del rectángulo: 36
Base del triángulo: x
Altura del triángulo: 18 (M es punto medio)
2.o Plantear el problema:
área del rectángulo: AR = 42 . 36 (1)
área del triángulo: AT =
x . 18
2
(2)
área de la casa: AR – AT
el área de la casa sea el séxtuplo del área del jardín: AR – AT = 6(AT)
3.o Resolver el problema y verificar:
Tenemos:
AR – AT = 6(AT) ⇒ AR = 7(AT)
42 . 36 = 7
x . 18
2
Luego:
7 . 9x = 42 . 36 ⇒ x =
42 . 36
7 . 9
x = 6 . 4
x = 24
4.o Redactar la respuesta:
El valor de x debe ser 24 m.
Recuerda
b
h
Área = b . h
Rectángulo
Triángulo
h
b
h
b
Área =
b . h
2
42 m
jardín
36 m
x
M

133. 131
Matemática Delta 2 - Álgebra
Una cantidad de S/ 5200 se paga con billetes de
S/ 100 y S/ 20. ¿Cuántos billetes se han dado de
S/ 100 si los billetes de S/ 20 son 8 más que los de
S/ 100?
Resolución:
Número de billetes de S/ 100: x
Número de billetes de S/ 20 : y
los billetes de S/ 20 son 8 más que los de S/ 100:
y = x + 8
Una cantidad de S/ 5200: x(100) + y(20) = 5200
÷ 20: 5x + y = 260
Entonces: y = x + 8 (1)
5x + y = 260 (2)
(1) en (2): 5x + x + 8 = 260
6x = 252
x = 42
Son 42 billetes de S/ 100.
1
2
3
4
Plantea mediante un sistema las siguientes
situaciones:
a) Un pantalón y una camisa cuestan S/ 260. El
pantalón cuesta S/ 20 más que la camisa.
b) El equipo de natación ganó 12 medallas entre
oro y plata. Se sabe que las de plata fueron el
doble que las de oro.
Resolución:
a) Precio de un pantalón: x
Precio de una camisa: y
Un pantalón y una camisa cuestan S/ 260:
x + y = 260 (1)
El pantalón cuesta S/ 20 más que la camisa:
x = y + 20 (2)
b) Número de medallas de oro: x
Número de medallas de plata: y
las de plata fueron el doble que las de oro:
y = 2x (1)
El equipo de natación ganó 12 medallas entre
oro y plata:
x + y = 12 (2)
En un rectángulo el largo excede al ancho en 4 cm.
Si el perímetro es 56 cm, halla su área.
Resolución:
largo excede al ancho en 4 cm:
x – y = 4
El perímetro (suma de todos los lados) es 56 cm:
2x + 2y = 56
Entonces: x – y = 4 (1)
2x + 2y = 56
÷ 2 : x + y = 28 (2)
(1) + (2): 2x = 32 ⇒ x = 16
En (2) : 16 + y = 28 ⇒ y = 12
Piden el área del rectángulo:
x . y = 16 . 12 = 192
ancho: y
largo: x
Rpta. 192 cm2
Determina la suma de medidas de los menores
ángulos de los triángulos:
Resolución:
Se observa:
x + y + 3y + x + 20° = 180°
2x + 4y = 160°
÷ 2: x + 2y = 80° (1)
2x – y + 3x + 2x + y + 40° = 180°
7x = 140°
x = 20° (2)
(2) en (1): 20° + 2y = 80°
2y = 60° ⇒ y = 30°
ángulos: Fig. 1: 50°; 90°; 40°
Fig. 2: 60°; 10°; 110°
Piden: 40° + 10° = 50°
Rpta. 42 billetes
Rpta. 50°
3x 2x – y
2x + y + 40°
Figura 2
Ejercicios resueltos
x + y
3y
Figura 1
x + 20°

134. 132
En un estacionamiento de vehículos motorizados
se cuentan 100 vehículos entre motos y
automóviles. Si se cuentan 316 llantas en total,
¿cuántas motos hay en el estacionamiento?
Resolución:
Números de motos: x
Número de automóviles: y
se cuentan 100 vehículos: x + y = 100
se cuentan 316 llantas en total: 2x + 4y = 316
(cada moto tiene 2 llantas y cada automóvil 4)
Entonces:
x + y = 100 (1)
2x + 4y = 316
÷ 2: x + 2y = 158 (2)
Luego:
(2) : x + 2y = 158
(1) × (–1): –x – y = –100
y = 58
En (1): x + 58 = 100
x = 42
En el estacionamiento hay 42 motos.
8
6
5 7
Actualmente la edad de Martín es el triple de la
edad de José, pero hace 4 años la edad de Martín
era el cuádruple de la edad de José. ¿Cuál es la
edad actual de Martín?
ONEM 2014 - Primera fase - Nivel 1
Resolución:
Edad de Martín: x
Edad de José: y
Edad de Martín es el triple de la edad de José:
x = 3y
Hace cuatro años:
Edad de Martín: 3y – 4
Edad de José: y – 4
Edad de Martín era el cuádruple de la edad de
José: 3y – 4 = 4(y – 4)
3y – 4 = 4y – 16
–4 + 16 = 4y – 3y
Entonces: y = 12
Piden:
x = 3y
x = 3 . 12 = 36
La edad de Martín es 36 años.
Rpta. 36 años
Rpta. 42 motos
+
En un examen, cada respuesta correcta vale
4 puntos; cada respuesta incorrecta vale –1 punto.
Si Mariana responde las 50 preguntas del examen
y ha obtenido 110 puntos, ¿cuántas preguntas ha
respondido correctamente y cuántas ha fallado?
Resolución:
Número de respuestas correctas: x
Número de respuestas incorrectas: y
Las 50 preguntas del examen: x + y = 50
Ha obtenido 110 puntos, si cada respuesta
correcta vale 4 puntos; cada respuesta incorrecta
vale –1 ⇒ 4x – 1y = 110
Tenemos:
x + y = 50 (1)
4x – y = 110 (2)
(1) + (2): 5x = 160
x = 32
En (1): 32 + y = 50
y = 18
Luego:
Respondió 32 preguntas correctas y 18 incorrectas.
En mi último viaje compré 20 cajas de bombones,
cada una contenía 12 bombones. Para regalar
algunos bombones a mis amigos y familiares
realicé el siguiente procedimiento: abrí todas las
cajas y de cada una saqué 2 o 3 bombones. Si
en total saqué 47 bombones, ¿de cuántas cajas
saqué 3 bombones?
ONEM 2013 - Primera fase - Nivel 1
Resolución:
n.° de cajas de las que sacó 2 bombones: x
n.° de cajas de las que sacó 3 bombones: y
compré 20 cajas de bombones:
x + y = 20 (1)
Si en total saqué 47 bombones:
2x + 3y = 47 (2)
Piden el valor de y, por el método de sustitución:
De (1): x = 20 – y
En (2): 2(20 – y) + 3y = 47
40 – 2y + 3y = 47
y = 7
Luego, de 7 cajas retiré 3 bombones.
Rpta. 32 y 18
Rpta. 7

135. 133
Matemática Delta 2 - Álgebra
12
10
9 11
Vincent ordena sus canicas formando un cuadrado
y ve que le sobran 15 canicas. Si coloca una
canica más por cada lado observa que le faltan
6 canicas para completar el cuadrado. ¿Cuántas
canicas tiene Vincent?
Resolución:
Número de canicas: T
Tenemos:
x
x
T = x . x + 15 (1)
x + 1
x + 1
T + 6 = (x + 1)(x + 1) (2)
(1) en (2): x2 + 15 + 6 = (x + 1)2
x2 + 21 = x2 + 2x + 1
20 = 2x ⇒ x = 10
En (1): T = 10 . 10 + 15
T = 115
Vincent tiene 115 canicas.
Rpta. 115
De un saco de arroz se han vendido
2
5
de su
peso durante la mañana y
1
3
del resto por la tarde,
¿cuántos kilogramos tenía el saco si quedan 36 kg?
Resolución:
Observa que el total y lo que queda lo vamos a
dividir entre 5 y 3, como MCM(5; 3) = 15, decimos
que el número de kilogramos en el saco es 15x.
Entonces:
Tenemos – Vendemos = Queda
Mañana: 15x
2
5
(15x) = 6x 9x
Tarde : 9x
1
3
(9x) = 3x 6x
en el saco quedan 36 kg: 6x = 36
x = 6
Luego:
15x = 15 . 6 = 90
El saco tenía 90 kg de arroz.
Rpta. 90 kg
Dentro de 10 años la edad de Alejandro será el
doble de la de Ana. Si hace 2 años la edad de
Alejandro era el triple de la de Ana, calcula la
suma de las edades actuales de ambos.
Resolución:
Elaboramos la tabla:
Dentro de 10 años la edad de Alejandro será el
doble de la de Ana: x + 10 = 2(y + 10)
x = 2y + 10
hace 2 años la edad de Alejandro era el triple de la
de Ana: x – 2 = 3(y – 2) ⇒ x = 3y – 4
Entonces:
x = 2y + 10 (1)
x = 3y – 4 (2)
(2) = (1): 3y – 4 = 2y + 10
y = 14
En (1) : x = 2(14) + 10
x = 38
Piden: x + y = 38 + 14 = 52
Hace 2 años Presente
Dentro de
10 años
Alejandro x – 2 x x + 10
Ana y – 2 y y + 10
Rpta. 52 años
A una reunión asistieron 110 varones y
194 mujeres entre solteras y casadas. Se sabe
que el número de varones casados fue igual al
número de mujeres solteras; además el número
de mujeres casadas fue igual al triple del número
de varones solteros. ¿Cuántas mujeres solteras
asistieron a la reunión?
Resolución:
Número de varones solteros: x
Número de varones casados: y
Esquema:
Por dato:
x + y = 110 (1)
3x + y = 194 (2)
(2) – (1) : 2x = 84
x = 42
En (1) : 42 + y = 110 ⇒ y = 68
Asistieron 68 mujeres solteras.
Varones Mujeres
solteros x y
casados y 3x
Rpta. 68

136. 134
Síntesis
Modela y resuelve
2
4
1
3
Ecuación
universal
Total = (cantidad) × (valor unitario)
Planteo de
ecuaciones
Identifica los datos del problema.
Comprender el problema
1
Traduce al lenguaje algebraico.
Plantear el problema
2
Resuelve la ecuación o sistema de ecuaciones planteadas.
Resolver el problema
3
Observa lo pedido en el problema.
Redactar la respuesta
4
Traduce al lenguaje algebraico: Traduce al lenguaje algebraico:
a) El exceso de A sobre B es 5:
b) Mi edad es la mitad de tu edad:
c) La suma de tres números pares consecutivos
es 42:
d) El cuadrado de un número, más 20:
e) Vincent tiene el doble de la edad de Alan
aumentado en 5 años:
f) Dos veces lo que tengo es lo que tienes:
a) El exceso de M sobre 7 es N:
b) Mi edad es un tercio de tu edad:
c) La suma de tres números impares consecutivos
es 33:
d) El cuadrado de un número, menos 30:
e) Claudia tiene el triple de la edad de Eva
disminuido en 7 años:
f) Lo que tengo es el triple de lo que tienes:
El doble de un número, más el triple de su
consecutivo es 28, ¿cuál es el número?
Resolución:
El triple de un número, más el doble de su
consecutivo es 32, ¿cuál es el número?
Resolución:
Rpta. Rpta.

137. 135
Matemática Delta 2 - Álgebra
6
8
10
5
7
9
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Mariana tiene en su cuenta de ahorros S/ 242. Cada
mes su padre le deposita S/ 86 y ella retira S/ 58.
¿Cuánto dinero tendrá al cabo de año y medio?
Hace cinco años la edad de Marisa era el triple de
la edad de Rocío. Si sus edades suman 58 años,
¿cuántos años tiene Marisa?
María Paula ha recorrido los
3
4
de la distancia entre
dos ciudades. Si le falta 16 km para llegar a su
destino, ¿cuánto es la distancia entre las ciudades?
Pablo tiene en su cuenta de ahorros S/ 538. Cada mes
su padre le deposita S/ 74 y él retira S/ 42. ¿Cuánto
dinero tendrá al cabo de un año y dos meses?
Hace seis años la edad de Paola era el doble de la
edad de Hortensia. Si sus edades suman 48 años,
¿cuántos años tiene Paola?
Kimberly ha recorrido los
2
5
de la distancia entre
dos distritos. Si le falta 18 km para llegar a su
destino, ¿cuánto es la distancia entre los distritos?
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

138. 136
12
14
16
11
13
15
Un hotel tiene habitaciones dobles y simples. Si
en total hay 64 habitaciones y 92 camas, ¿cuántas
habitaciones dobles hay en el hotel?
Resolución:
Resolución:
Resolución:
El hotel «La Noche» tiene habitaciones simples y
triples. Si en total hay 48 habitaciones y 80 camas,
¿cuántas habitaciones triples hay en el hotel?
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Se paga una deuda de S/ 760 con 20 billetes de
S/ 20 y S/ 50. ¿Cuántos billetes son de S/ 20?
Se paga por un TV de S/ 520 con 40 billetes de S/ 10
y S/ 20. ¿Cuántos billetes son de S/ 20?
Carmen y María tienen juntas S/ 1500. Si Carmen
tiene el doble de lo que tiene María, ¿cuánto tiene
María?
Ada y Bárbara tienen juntas S/ 1400. Si Ada tiene
el triple de lo que tiene Bárbara, ¿cuánto tiene
Bárbara?
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

139. 137
Matemática Delta 2 - Álgebra
18
20
17
19
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Juan, por 4 kilogramos de plátanos y 7 kilogramos
de manzanas paga S/ 29. Si Roberta, en la
misma tienda, por un kilogramo de plátanos y 4
kilogramos de manzanas paga S/ 14, ¿cuánto se
paga por un kilogramo de plátanos y un kilogramo
de manzanas?
Salvador, por 7 kilogramos de naranjas y
5 kilogramos de uvas paga S/ 46. Si Anna Mary, en
la misma tienda por 3 kilogramos de naranjas y un
kilogramo de uvas paga S/ 14, ¿cuánto se paga por
un kilogramo de naranjas y un kilogramo de uvas?
Alannis desea enviar por avión 18 cajas (el doble
de pequeñas que de grandes); el pago total por las
cajas, incluyendo los gastos de envío e impuestos,
es S/ 240. Si el flete de una caja grande cuesta
S/ 4 más que el de una caja pequeña, ¿cuál es el
costo del flete de cada tamaño de caja?
Stephany desea enviar por correo 24 cajas (el triple
de pequeñas que de grandes); el pago total por las
cajas, incluyendo los gastos de envío e impuestos,
es S/ 174. Si el flete de una caja grande cuesta
S/ 5 más que el de una caja pequeña, ¿cuál es el
costo del flete de cada tamaño de caja?
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

140. 138
22
24
21
23
Resolución: Resolución:
Determina el área de la casa, si con 44 m de malla
podemos cercar el patio (ver figura).
Nota: Para el cerco del patio, no considerar la
parte que colinda con la pared de la casa.
16 m
Casa
2a
x
24 m
Patio
a
a
Vereda
2x
4 m
a
Casa
30 m
20 m
3a Patio
x a
a
Vereda 5 m
3x
Determina el área del patio, si con 54 m de malla
podemos cercar el patio (ver figura).
Nota: Para el cerco del patio, no considerar la
parte que colinda con la pared de la casa.
Resolución: Resolución:
Miguel tiene una copiadora que le costó S/ 8000 y
Leonardo tiene otra copiadora que le costó S/ 5000.
Cada año, la máquina de Miguel pierde S/. 400 de
su valor y cada año la máquina de Leonardo pierde
S/ 200 de su valor. ¿Dentro de cuántos años las
máquinas tendrán el mismo valor?
Joaquín tiene una copiadora que le costó S/ 6000
y Alberto tiene otra copiadora que le costó S/ 4800.
Cada año la copiadora de Joaquín pierde S/ 280
de su valor y cada año la copiadora de Alberto
pierde S/ 80 de su valor. ¿Dentro de cuántos años
las copiadoras tendrán el mismo valor?
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

141. 139
Matemática Delta 2 - Álgebra
25
27
26
28
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
En un colegio, el director ordena a sus alumnos
formando un cuadrado y ve que sobran 14 alumnos.
Entonces aumenta un alumno más a cada lado
y ve que le faltan 15 alumnos para completar el
cuadrado. ¿Cuántos alumnos hay en el colegio?
Los soldados de un cuartel se ordenan formando
un cuadrado y sobran 18 de ellos. Entonces
aumentan un soldado más a cada lado y ahora
faltan 13 soldados para completar el cuadrado.
¿Cuántos soldados hay en el cuartel?
En un colegio, los estudiantes están matriculados
en dos niveles: 200 en el nivel primario y 140 en
el nivel secundario. Se sabe que el número de
varones del nivel primario es el triple del número de
mujeres del nivel secundario; además el número
de mujeres del nivel primario es igual a la mitad del
número de varones del nivel secundario. ¿Cuántas
mujeres están matriculadas en el nivel secundario?
A un concurso de Matemática asisten 202 alumnos
decolegiosparticularesy150decolegiosestatales.
Se sabe que el número de varones de colegios
particulares es el doble del número de mujeres de
colegios estatales; además el número de mujeres
de colegios particulares es igual al número de
varones de colegios estatales. ¿Cuántas mujeres
de colegios particulares asisten al concurso?
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

142. 140
29 30
Luis, que cursa el segundo de secundaria, debe
consumir por día 750 mg de vitamina C, 850 mg
de fósforo y 2400 g de calorías. Un determinado
día consume solo plátano, mandarina y uva,
¿cuántas frutas, de cada una, consumió en el día
según la tabla?
María, que cursa el segundo de secundaria, debe
consumir por día 250 mg de vitamina C, 500 mg
de calcio y 2400 g de calorías. Un determinado día
consume solo plátano, mango y sandía, ¿cuántas
frutas, de cada una, consumió en el día según la
tabla?
Tabla nutricional de las frutas
El grupo de ciencias de tu colegio elabora la siguiente tabla nutricional de algunas frutas
Frutas (1 unidad) Mandarina Mango Papaya Pera Sandía Plátano Uva
Calorías (g)
Calcio (mg)
Fósforo (mg)
Vitamina C (mg)
45
25
20
30
60
15
20
5
35
20
15
60
55
9
10
5
30
5
10
5
90
10
30
10
60
15
15
5
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.

143. 141
Matemática Delta 2 - Álgebra
2
3
Practica y demuestra
1
4
5
6
Nivel I
El perímetro de un rectángulo es 32 cm. Si el largo
es el triple del ancho, ¿cuánto mide el área del
rectángulo?
Relaciona.
I.
9 veces n, más 1
II. 20 veces n
III. 9 veces la suma de n y 1
IV. El exceso de n sobre 20
a. n – 20
b. 20n
c. 9n + 1
d. 9(n + 1)
e. 20n + n
A Ia; IIb; IIIe; IVc
B Ic; IIb; IIId; IVa
C Ia; IId; IIIe; IVc
D Ic; IIe; IIIb; IVa
E Ia; IIb; IIId; IVc
La suma de cuatro números pares consecutivos
es 60, indica el mayor de ellos.
A 12 B 18 C 14
D 20 E 16
La diferencia de dos números es 28 y la suma de
los mismos es 218. Indica el mayor de ellos.
A 89 B 125 C 93
D 123 E 95
Determina el valor de M = x . y, si ABCD es un
cuadrado.
A 6 B 12 C 8
D 9 E 10
A S/ 24 B S/ 28 C S/ 30
D S/ 32 E S/ 36
A 32 cm2 B 42 cm2 C 36 cm2
D 54 cm2 E 48 cm2
B C
A D
3y – x 10
x + 2y
Dos libros y tres cuadernos cuestan S/ 66; si
4 cuadernos cuestan lo mismo que un libro,
¿cuánto cuesta un libro y un cuaderno?

144. 142
9
10
11
12
En una granja, entre gallinas y conejos se cuentan
42 animales. Si en total se ha contado 132 patas,
¿cuántos conejos hay en la granja?
Elena tiene tres veces lo que tiene Maura; si Elena
le da S/ 18 a Maura, entonces tendrían la misma
cantidad. ¿Cuánto dinero tienen entre las dos?
Se observa el plano de una casa.
Hace cinco años la suma de las edades de María
y su hermana era 12 años; si la edad de María
excede a la de su hermana en 6 años, ¿qué edad
tiene María?
A 12 años B 14 años
C 15 años D 13 años
E 9 años
A 26 B 24 C 21
D 18 E 16
A S/ 82 B S/ 60 C S/ 68
D S/ 75 E S/ 72
Se tiene 33 m de malla para cercar el patio.
Entonces no es cierto que:
Nota: Para el cerco del patio, no considerar la
parte que colinda con la pared de la casa.
Casa
12
m
20 m 2x
x
Vereda 4 m
Patio
A El valor de x es 5 m.
B El área de la vereda es 40 m2.
C El área del terreno es 360 m2.
D El área de la casa es 200 m2.
E El área del patio no se puede determinar.
7
8
Se tiene S/ 129 en 36 monedas de S/ 5 y de S/ 2.
¿Cuántas monedas son de S/ 5 y cuántas son de
S/ 2, respectivamente?
A 17 y 19 B 15 y 21
C 21 y 15 D 19 y 17
E 18 y 18
Un caminante ha recorrido los
2
3
de la distancia
entre dos pueblos. Si le falta 12 km para llegar a su
destino, ¿cuánto es la distancia entre los pueblos?
A 32 km B 39 km
C 36 km D 45 km
E 42 km

145. 143
Matemática Delta 2 - Álgebra
13
14
15
Nivel II
Los ángulos de un triángulo son A, B y C. Si
la m A (medida del ángulo A) es el doble de la
m C; y la m C es la diferencia de la mitad de
la m B y 20º, entonces:
I. El mayor ángulo es A.
II. El ángulo C mide menos de 45º.
III. El ángulo B mide más de 70º.
Son ciertas:
Bruno tiene una máquina que le costó S/ 10 000
y César tiene una máquina que le costó S/ 6700.
Cada año la máquina de Bruno pierde S/ 500 de
su valor y cada año la máquina de César pierde
S/ 200 de su valor. ¿Dentro de cuántos años las
máquinas tendrán el mismo valor?
ONEM 2015 - Primera fase - Nivel 1
Laura y su hija Julia tienen entre las dos S/ 880. Al
ir de compras Julia gasta S/ 80 y Laura el doble,
ahora Laura tiene el triple de lo que tiene Julia.
¿Cuánto dinero tiene ahora, Laura?
A 13 B 7 C 8
D 14 E 11
A S/ 152 B S/ 184 C S/ 276
D S/ 125 E S/ 138
A S/ 640 B S/ 520 C S/ 240
D S/ 480 E S/ 560
A Solo I B Solo II C I y III
D II y III E Todas
16
17
18
José y Mario trabajan en la misma oficina y tienen
el mismo sueldo básico. Además, a cada uno le
pagan la misma cantidad por cada hora adicional
de trabajo. En el mes de marzo José trabajó
6 horas adicionales y su sueldo fue S/ 2570,
mientras que Mario trabajó 11 horas adicionales
y su sueldo fue S/ 2670. ¿Cuánto fue el sueldo
de José en el mes de abril, si en ese mes trabajó
3 horas adicionales?
ONEM 2014 - Segunda fase - Nivel 1
En cuatro días, José Antonio ganó en total S/ 1035.
Si cada día ganó el doble de lo que ganó el día
anterior, ¿cuánto ganó el segundo día?
A S/ 2510 B S/ 2520
C S/ 2530 D S/ 2570
E S/ 2550
El triple de la edad de Juana junto al doble de la
edad de Elvira es 111 años y el doble de la edad
de Juana junto al triple de la edad de Elvira es
104 años. Halla la suma de las edades (en años)
de Juana y Elvira.
A 37 B 45 C 39
D 47 E 43

146. 144
Nivel III
21
19 22
23
24
20
Al ser preguntado Ángel por su edad, contestó:
Si al doble de mi edad le quito 17 años, tendría
lo que me faltan para tener 100 años, ¿qué edad
tiene Ángel?
Por 17 cuadernos y 3 plumones se ha pagado
S/ 71 y en una segunda compra de los mismos
artículos a los mismos precios, se ha pagado
S/ 21 por 4 cuadernos y 5 plumones. ¿Cuánto
dinero se paga por un plumón y un cuaderno?
Claudia tuvo trillizos a los 26 años. Si actualmente
las edades de los cuatro suman 82 años, ¿cuánto
es la edad de cada trillizo?
A 17 años B 39 años
C 52 años D 71 años
E 61 años
A 12 años B 13 años
C 14 años D 15 años
E 16 años
Roberto, hace 5 años tenía la mitad de la edad
actual de Sandro, su hermano mayor. Si dentro
de 5 años la edad de Sandro será un cuadrado
perfecto menor que 40, calcula la edad actual de
Roberto.
Aclaración: Un cuadrado perfecto es un número
de la forma k2, donde k es un número entero.
ONEM 2015 - Segunda fase - Nivel 1
A 7 años B 15 años
C 4 años
D 12 años
E 20 años
Un comandante dispone sus tropas formando un
cuadrado y ve que le quedan fuera 36 hombres.
Entonces pone un hombre más en cada lado y
ve que le faltan 75 hombres para completar el
cuadrado. ¿Cuántos hombres hay en la tropa?
A S/ 6 B S/ 5 C S/ 7
D S/ 8 E S/ 9
A 55 B 61 C 100
D 3000 E 3061
A 150 cm B 120 cm
C 130 cm D 140 cm
E 160 cm
La cabeza de un pescado mide 20 cm, la cola
mide tanto como la cabeza más medio cuerpo
y el cuerpo mide tanto como la cabeza y la cola
juntas. ¿Cuál es la longitud del pescado?

147. Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 3
145
Matemática Delta 2 - Álgebra
Indica el valor que verifica la igualdad.
Resuelve el sistema.
Encuentra el valor de x. Resuelve (x – 2)(x + 1) = 10, luego indica una
solución.
5
4 Determina la suma de cuadrados de a y b,
si {(a ; b)} es el conjunto solución del sistema.
Halla la mayor raíz de la ecuación.
6x2 – 13x + 6 = 0
1
2
3
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
6
A 26 B 32
C 22 D 18
A {(5 ; 2)} B {(4 ; 1)}
C {(3 ; 2)} D {(4 ; 4)}
A 8 B 34
C 64 D 125
A 6 B
3
2
C
1
6
D –5
A 5 B 16
C 8 D 24
A – 1 B – 2
C 0 D – 3
1
2
x
3
– 2 + 1 = 4
2x + y = 12
x – y = 3
5x + 2y = 31
x + 4y = 17

148. 146
Si las edades de mis cuatro hijos son números
impares consecutivos y los tres menores suman
45 años, ¿qué edad tiene el mayor de mis hijos?
7 10
11
12
9
8 De un saco de azúcar se han vendido los
4
9
de
su peso durante la mañana y
1
3
del resto por
la tarde, ¿cuántos kilogramos tenía el saco si
quedan 20 kg?
Descubre el valor de M = x . y, si ABCD es un
cuadrado.
Indica la solución común de las ecuaciones.
20 cm2
A
44 cm2
C
30 cm2
B
48 cm2
D
2
A
–2
C
11
B
4
D
30 kg
A
45 kg
C
37 kg
B
54 kg
D
13 años
A
15 años
C
18 años
B
19 años
D
169
A
12
C
49
B
6
D
x2 + x – 6 = 0
2x2 – 3x – 2 = 0
A –3 B 2
C
1
2
D 3
Calcula el valor de E = n2 – 5, si la diferencia de
las raíces de la ecuación x2 – nx + 2 = 0 es 1.
El perímetro de un rectángulo es 32 cm. Si el
largo es el triple del ancho, ¿cuánto mide el área
del rectángulo?
B C
A D
3x + 2y 13
5x – y
13

149. Tema
147
Matemática Delta 2 - Álgebra
Desigualdades e inecuaciones
10
Si las medidas de los lados
de la pizarra rectangular son
valores enteros, ¿cuáles son las
medidas de esta, si su área es la
menor posible?
Desigualdad
Es una relación de orden (comparación) entre dos números, mediante los símbolos
<; >; ≤; ≥.
Ejemplos:
4 < 7 ;
2
5
>
4
11
; –5 < –3 ; 3 ≥ 3
Intervalos
Es el conjunto de números que están comprendidos entre dos extremos, pueden ser:
Nombre
Notación de
intervalo
Notación de
desigualdad
Gráfica
Intervalo
acotado
Intervalo abierto 〈a ; b〉 a < x < b
Intervalo cerrado [a ; b] a ≤ x ≤ b
Intervalos
semi abiertos
〈a ; b] a < x ≤ b
[a ; b〉 a ≤ x < b
Intervalos
no
acotados
〈a ; +∞〉 x > a
[a ; +∞〉 x ≥ a
〈–∞ ; b〉 x < b
〈–∞ ; b] x ≤ b
12 – x
x + 7
a < b se lee:
a es menor que b
a > b se lee:
a es mayor que b
a ≤ b se lee:
a es menor o igual
que b
a ≥ b se lee:
a es mayor o igual
que b
Notación
Importante
Acotar
a ≤ b ↔ a < b ∨ a = b
a ≥ b ↔ a > b ∨ a = b
Para que estas
sean verdaderas es
suficiente que se
verifique una de las
condiciones.
Condicionar la
extensión de un
conjunto.
Fuente: RAE
Propiedades
1. Si a ambos miembros se les suma o resta el mismo
número, la desigualdad se mantiene.
2. Si a ambos miembros se les multiplica o divide
el mismo número positivo, la desigualdad se
mantiene.
3. Si a ambos miembros se les multiplica o divide el
mismo número negativo, el sentido del símbolo se
invierte.
Si a > b ⇒ a ± c > b ± c
Si a < b ∧ c > 0 ⇒
ac < bc
a
c
<
b
c
Si a < b ∧ c < 0 ⇒
ac > bc
a
c
<
b
c
a b
a b
a b
a b
a
b
a
b

150. 148
Inecuación lineal
Forma general: P(x) = ax + b 0 a ≠ 0
Consideramos: a > 0
ax + b < 0 ⇔ ax < –b ⇔ x <
–b
a –b
a
x ∈
x ∈
–∞ ;
–b
a
Ejemplos:
a) Resuelve la siguiente inecuación:
x + 4
3
– 2 < 1
x + 4
3
< 3
5
〈–∞ ; 5〉
x + 4 < 9
x < 5
b) Resuelve la siguiente inecuación:
Observa:
Despejamos la variable aplicando transposición.
x + 3
2
+ >
x
5
x
3
+ 7
30 > 30
x + 3
2
x
5
+
x
3
+ 7
15(x + 3) + 6(x) > 10(x) + 30(7)
15x + 45 + 6x > 10x + 210
21x – 10x > 210 – 45
11x > 165
x > 15
Observa:
El MCM(2; 5; 3) = 30, multiplicamos ambos
miembros por 30.
Luego despeja la variable x.
15
x ∈ 〈15 ; +∞〉
Dado a ∈ Q
a es positivo, si y solo
si a > 0
a es negativo, si y
solo si a < 0
Observa
Importante
Para resolver una
inecuación lineal
debemos dejar la
variable en un solo
lado del símbolo de
la desigualdad y las
constantes en el otro.
Criterio de los puntos de corte
Es utilizado para analizar la variación de los signos de los factores lineales en una
multiplicación indicada.
Ejemplo:
Sea P(x) = (x – 5)(x + 3)
Hacemos: x – 5 = 0 ∧ x + 3 = 0, entonces las raíces del polinomio son 5 y –3, ubicamos
en la recta.
III II I
–3 5
Recuerda
Punto cerrado
≤ o ≥
[ ]
〈 〉
] [
Punto abierto
< o >
Se forman tres intervalos. Analicemos el signo de P(x) en cada intervalo.
Si x ∈ I
Si x ∈ II
Si x ∈ III
(x + 3) (x – 5)
× P (x)
=
es positivo
es positivo
es negativo
es positivo
es negativo
es negativo
es positivo
es negativo
es positivo
De forma práctica + – +
–3 5
Entonces:
P(x) > 0 ↔ x ∈ 〈–∞ ; –3〉 ∪ 〈5 ; +∞〉 (zonas con signo +)
P(x) < 0 ↔ x ∈ 〈–3 ; 5〉 (zonas con signo –)
Importante
Si la discriminante
D = b2 – 4ac
es positiva, el
polinomio
cuadrático es
factorizable con
coeficientes reales.

151. 149
Matemática Delta 2 - Álgebra
Inecuación cuadrática
Forma general: P(x) = ax2 + bx + c 0 a ≠ 0
Para resolver una inecuación cuadrática, seguimos los siguientes pasos:
1.o Compara con cero la expresión (todos los términos al primer miembro).
2.o Busca que el coeficiente principal sea positivo (a > 0).
3.o Factoriza (transforma a producto).
4.o Iguala todos los factores primos con cero y ubica estos puntos en la recta numérica
(criterio de puntos de corte).
5.o Observa la desigualdad para tomar los intervalos positivos o negativos.
Ejemplo 1
Resuelve la inecuación P(x) = x2 – 5x – 14 < 0.
Resolución:
1.o En la inecuación todos los términos están en el primer miembro, ya está comparada
con cero.
2.o El coeficiente principal es positivo.
3.o Factorizamos por aspa simple: (x + 7)(x – 2) < 0
4.o Hacemos: x + 7 = 0 y x – 2 = 0, entonces las raíces del polinomio son –7 y 2.
5.o P(x) < 0 ↔ x ∈ 〈–7 ; 2〉
∴ C.S. = 〈–7 ; 2〉
+ – +
–7 2
+ – +
–7 2
Ejemplo 2
Resuelve la inecuación: (x + 4)(x – 3) + (x – 1)2 ≥ 4.
Resolución:
1.o x2 + x – 12 + x2 – 2x + 1 – 4 ≥ 0 desarrollamos y reducimos en el primer miembro
2x2 – x – 15 ≥ 0
2.o El coeficiente principal es positivo.
3.o (2x + 5)(x – 3) ≥ 0 ⇒ 2x2 – x – 15 ≥ 0
2x 5
x –3
Importante
∩
Se lee: intersección
A ∩ B
Significa: elementos
comunes de A y B.
El símbolo ⇔
Se lee: Si y solo si,
es la implicación
doble, la condición
necesaria y
suficiente.
4.o Puntos de corte: 2x + 5 = 0; x – 3 = 0, entonces: x = –
5
2
; x = 3
5.o P(x) ≥ 0 ⇒ x = 〈–∞ ; –
5
2
] ∪ [3 ; ∞〉
∴ C.S = 〈–∞ ; –
5
2
] ∪ [3 ; ∞〉
+ – +
–
5
2
3
+ – +
–
5
2
3

152. 150
Sistema de inecuaciones
Si tenemos dos o más inecuaciones, el conjunto solución (C.S.) es la intersección de
todas ellas.
Ejemplo:
Resuelve el sistema de inecuaciones: 5x – 3 < 2x + 8 ∧ 3x + 7 ≥ x – 1
Resolución:
Resolvemos las inecuaciones:
5x – 2x < 8 + 3
3x < 11
x <
11
3
3x + 7 ≥ x – 1
2x ≥ –8
x ≥ –4
÷ 3: ÷ 2:
Buscamos la intersección:
Entonces: C.S. = [–4 ;
11
3
〉
– 4
Planteo de inecuaciones
Ejemplo:
La edad de Elvira es tal que su mitad aumentada en 4 es mayor que 30, pero su quinta
parte disminuida en 1 es menor que 10. Halla la edad de Elvira, si esta es par.
Resolución:
1.o Comprender el problema:
Edad de Elvira : x
2.o Plantear el problema:
Su mitad aumentada en 4 es mayor que 30:
x
2
+ 4 > 30
Su quinta parte disminuida en 1 es menor que 10:
x
5
–1 < 10
3.o Resolver las inecuaciones:
Tenemos:
•
x
2
+ 4 > 30 •
x
5
– 1 < 10
x
2
> 26 ⇒ x > 52
x
5
< 11 ⇒ x < 55
⇒ x = {53; 54}
4.o Redactar la respuesta:
La edad de Elvira es 54 años.
Teorema:
proposición
demostrable
lógicamente
partiendo de
axiomas, postulados
o de otras
proposiciones ya
demostradas.
Fuente: RAE
Definición
11
3
–4 11
3

153. 151
Matemática Delta 2 - Álgebra
Valor absoluto
El valor absoluto de un número x se denota como |x| y se define del siguiente modo:
|x| =
x; x ≥ 0
–x; x < 0
Ejemplos:
a) |3| = 3, porque 3 > 0 b) |–5| = –(–5) = 5, porque –5 < 0
Ecuaciones con valor absoluto
Sean x y n expresiones algebraicas, se cumplen los siguientes teoremas:
Ejemplo: Ejemplo:
Resuelve: Resuelve:
|2x – 3| = 7 |3x – 5| = |x + 1|
Resolución: Resolución:
7 ≥ 0 ∧ (2x – 3 = 7 ∨ 2x – 3 = –7) 3x – 5 = x + 1 ∨ 3x – 5 = –x – 1
x = 5 x = –2 x = 3 x = 1
∴ C.S. = {–2 ; 5} ∴ C.S. = {1 ; 3}
Inecuaciones con valor absoluto
Sean x y n expresiones algebraicas, se cumplen los siguientes teoremas:
Observa:
|x| ≤ n ↔ n > 0 ∧ (–n ≤ x ≤ n)
1. |x| ≥ 0
2. |x| = |–x|
3. |x|2 = x2
4. x2 = |x|
Si:
|x| < a ∧ a < 0
→ C.S. = ∅
Ejemplo:
|x| < –5
–5 < 0 → C.S. = ∅
Propiedades
Importante
Ejemplos:
a) |x – 1| < 4 b) |x + 3| ≤ 6
–4 < x –1 < 4 –6 ≤ x + 3 ≤ 6
–3 < x < 5 –9 ≤ x ≤ 3
∴ C.S. = 〈–3 ; 5〉 ∴ C.S. = [–9 ; 3]
Ejemplos:
a) |x + 2| > 5
⇔ x + 2 < –5 x + 2 > 5
x < –7 x > 3
∴ C.S. = 〈–∞ ; –7〉 ∪ 〈3 ; +∞〉
b) |x – 3| ≥ 4
⇔ x – 3 ≤ –4 x –3 ≥ 4
x ≤ –1 x ≥ 7
∴ C.S. = 〈–∞ ; –1] ∪ [7 ; +∞〉
Si:
|x| > a ∧ a < 0
→ C.S. =
Ejemplo:
|x| > –8
–8 < 0 → C.S. =
Importante
Si |x| > |a|
→ x2 > a2
→ (x + a)(x – a) > 0
Observa:
|x| n ↔ x ≤ –n ∨ x ≥ n
Otros casos
Resuelve la inecuación:
|x + 5| < |x + 1| Como ambos miembros son positivos (propiedad 1), elevamos al cuadrado.
Resolución:
|x + 5|2 < |x + 1|2 → (x + 5)2 < (x + 1)2 Por la propiedad 3, desarrollamos
x2 + 10x + 25 < x2 + 2x + 1
8x < –24 → x < –3
∴ C.S. = 〈–∞ ; –3〉
1. |x| = n ↔ n ≥ 0 ∧ (x = n ∨ x = –n) 2. |x| = |n| ↔ x = n ∨ x = –n
1. |x| < n ↔ n > 0 ∧ (–n < x < n )
2. |x| > n ↔ x < –n ∨ x > n

154. 152
1
2
3
4
5
6
Resuelve la inecuación
Resolución:
2x + 5
3
+ 1 < 5.
Despeja la variable:
2x + 5
3
< 5 – 1
2x + 5 < 3(4)
2x < 12 – 5 ⇒ x <
7
2
3 7
2
4
x ∈ 〈–∞ ;
7
2
〉
Rpta. 〈–∞ ;
7
2
〉
Rpta. C.S. = [3 ; 9]
Rpta. 〈–∞ ; 5] ∪ [11 ; +∞ 〉
Resuelve la inecuación x2 + 27 ≤ 12x.
Resolución:
Tenemos: x2 – 12x + 27≤ 0
x –9
x –3
(x – 9)(x – 3) ≤ 0
P.C.: x – 9 = 0 ; x – 3 = 0
x = 9 x = 3
+ – +
3 9
P(x) ≤ 0 ↔ x ∈ [3 ; 9]
Resuelve la inecuación x2 + 55 ≥ 16x.
Resolución:
Tenemos: x2 – 16x + 55 ≥ 0
x –11
x –5
(x – 11)(x – 5) ≥ 0
P.C.: x – 11 = 0 ; x – 5 = 0
x = 11 x = 5
+ – +
5 11
P(x) ≥ 0 ↔ x 〈–∞ ; 5] ∪ [11 ; +∞ 〉
Indica el menor valor entero de x.
Resolución:
Multiplicamos por el MCM(2; 4; 5) = 20
Rpta. 21
Rpta. {–3; –1}
x
2
+
x
4
+
x
5
+ 1 < x
x
2
+
x
4
+
x
5
+ 1
20 < 20(x)
10(x) + 5(x) + 4(x) + 20(1) < 20x
19x – 20x < –20
–x < –20
× (–1): x > 20
19 20 21
El menor valor entero de x es 21.
Halla el conjunto solución de la igualdad.
|2x + 5| = |x + 4|
Resolución:
Sabemos que: |x| = |a| → x = a ∨ x = –a
Entonces:
2x + 5 = x + 4 ∨ 2x + 5 = –x – 4
2x – x = 4 – 5 2x + x = –4 – 5
x = –1 3x = –9
x = –3
Luego: C.S.= {–3; –1}
Rpta. 34
Calcula la suma de los valores enteros de x que
verifican la inecuación.
x
2
– 1 ≤ 4
Resolución:
Sabemos que: |x| ≤ a ⇒ –a ≤ x ≤ a
Entonces: –4 ≤
x
2
– 1 ≤ 4
+ 1 : –3 ≤
x
2
≤ 5
× 2 : –6 ≤ x ≤10
Los valores enteros de x:
x = {–6; –5; –4;...; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
Piden:
S = – 6 – 5 – 4 – ...+ 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
S = 7 + 8 + 9 + 10 = 34
Ejercicios resueltos

155. 153
Matemática Delta 2 - Álgebra
7 10
11
12
8
9
Rpta. –8
Rpta. 9
Rpta. 〈–∞ ; a – b〉
Resuelve la inecuación en x.
a(x – a) + b(x + b) > 0, si a < b < 0
Resolución:
Desarrollamos para despejar la variable aplicando
propiedades.
ax – a2 + bx + b2 > 0
ax + bx > a2 – b2
Recuerda a2 – b2 = (a + b)(a – b)
x(a + b) > (a + b)(a – b)
Si a < b < 0, entonces a + b < 0
x <
(a + b)(a – b)
(a + b)
x < a – b
a – b
x ∈ 〈–∞ ; a – b〉
Determina el número de enteros que verifican la
inecuación.
(x + 3)(x – 5) < 2(x + 3)
Resolución:
Comparamos con cero para factorizar
(x + 3)(x – 5) – 2(x + 3) < 0
(x + 3)(x – 5 – 2) < 0
P:C: x + 3 = 0 ; x – 7 = 0
x = –3 x = 7
+ – +
–3 7
Enteros para x = {–2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}
Número de enteros: 2 + 1 + 6 = 9
Encuentra el mayor valor entero de x que verifica
la inecuación.
2x + 3
3
+
x
2
+
1
4
< x
Resolución:
Multiplicamos por MCM(3; 2; 4) = 12
4(2x + 3) + 6(x) + 3(1) < 12(x)
8x + 12 + 6x + 3 < 12x
14x – 12x < –15
2x < –15 ⇒ x <
–15
2
–15
2
–8 –7
El mayor valor entero de x es –8.
Rpta. Juan tiene 6 hijas.
Rpta. 24
Halla la suma del mayor y menor valor entero de x
que satisfacen la inecuación.
(3x + 2)2 > (3x – 2)2 + x2
Resolución:
Tenemos:
(3x)2 + 2 . 3x . 2 + 22 > (3x)2 – 2 . 3x . 2 + 22 + x2
12x > –12x + x2 ⇒ 0 > x2 – 24x
Entonces: x(x – 24) < 0
P.C.: x = 0 ; x = 24
+ – +
0 24
Enteros: x = {1; 2; 3;...; 22 ; 23}
Piden: 1 + 23 = 24
Resuelve x2 + 9 ≥ 8x.
Resolución:
Tenemos: x2 – 8x + 9 ≥ 0
Observa que: a = 1; b = –8; c = 9
P.C.: x =
–b ± b2 – 4ac
2a
P.C.: x = =
–(–8) ± (–8)2 – 4 . 1 . 9
2 . 1
8 ± 64 – 36
2
Rpta. 〈–∞ ; 4 – 7] ∪ [4 + 7 ; +∞〉
+ – +
4 – 7 4 + 7
Juan dispone de S/ 200 para ir al cine con sus
hijas de los cuales S/ 50 gasta en bebidas. Si
compra entradas de S/ 20 le sobraría dinero pero
si compra entradas de S/ 25 le faltaría dinero.
¿Cuántas hijas tiene Juan?
Resolución:
Dinero para entradas: 200 – 50 = 150
Número de hijas: x
20(x + 1) < 150 25(x + 1) > 150
x + 1 < 7,5 x + 1 > 6
x < 6,5 x > 5
5 6 6,5 7
P.C.: x = =
8 ±
2
8 ± 2 7
2
= 4 ± 7
4 . 7
∧

156. 154
2
Síntesis
1
Modela y resuelve
Desigualdades e inecuaciones
Si a < b ⇒ a ± c < b ± c
ax + b < 0
ax + b > 0
Despejamos la variable
aplicando propiedades.
Resuelve las inecuaciones e indica los
valores comunes (intersección).
Si a < b ∧ c > 0
Si a < b ∧ c < 0
1.
2.
3.
Propiedades
Forma Solución
Sistema de inecuaciones
Inecuación lineal Inecuación cuadrática
<
>
a
c
a
c
b
c
b
c
⇒ ac < bc;
⇒ ac > bc;
Todos los términos al primer
miembro (compara con cero).
1.º
Busca que el coeficiente principal
sea positivo.
2.º
Factoriza.
3.º
Iguala cada factor primo con cero
y ubica estos en la recta numérica.
4.º
Indica los intervalos que
verifican la inecuación.
5.º
Valor absoluto
Definición Propiedades Inecuación
Ecuación
|x| =
x; x ≥ 0
–x; x < 0
1. |x| ≥ 0
2. |x| = |–x|
3. |x|2 = x2
4. x2 = |x|
• Si |x| = a ∧ a ≥ 0
⇒ x = a ∨ x = –a
• Si |x| = |a|
⇒ x = a ∨ x = –a
• Si |x| < a ʌ a > 0
⇒ –a < x < a
• Si |x| > a
⇒ x > a ∨ x < –a
Completa la tabla. Completa la tabla.
Enunciado Desigualdad
x es menor que 21
x es mayor que 32
x es al menos 25
x es cuanto mucho 42
x es como mínimo 32
x es como máximo 34
x no es mayor que 18
x no es menor que 8
x es mayor que 5 pero
menor que 12
x es mayor que su doble
disminuido en 12
Enunciado Desigualdad
z es menor que 15
z es mayor que 25
z es al menos 5
z es cuanto mucho 18
z es como mínimo 12
z es como máximo 54
z no es mayor que 12
z no es menor que 28
z es mayor que 2 pero
menor que 15
z es mayor que su triple
disminuido en 28

157. 155
Matemática Delta 2 - Álgebra
7 8
4
6
3
5
Resolución: Resolución:
Determina la suma de valores enteros de x. Determina la suma de valores enteros de x.
Halla el mayor valor entero de x que verifica la
inecuación.
Resolución:
Resolución:
3x + 5
2
– 4 < 7
Halla el mayor valor entero de x que verifica la
inecuación.
2x + 7
3
+ 2 < 8
Resolución:
Resolución:
Calcula el menor valor entero de x que verifica la
inecuación.
Calcula el menor valor entero de x que verifica la
inecuación.
x
2
+ 3 + 6
x
4
x
2
– 1 < 5
x
3
+ 2 + 4
x
5
x
3
+ 1 < 2
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

158. 156
11 12
13 14
9 10
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Encuentra el conjunto solución de la inecuación.
x2 < 9x
Encuentra el conjunto solución de la inecuación.
x2 < –12x
Resolución: Resolución:
Resuelve la inecuación x2 > 5x + 24. Resuelve la inecuación x2 > 4x + 45.
Halla el intervalo que representa los valores de
y = 3x + 4, si –3 < 2x + 5 < 7.
Halla el intervalo que representa los valores de
y = 5x – 2, si –2 < 3x + 4 < 13.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

159. 157
Matemática Delta 2 - Álgebra
15
19 20
16
17 18
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
Calcula el menor valor entero de x. Calcula el menor valor entero de x.
x
2
+
x
3
+
x
4
> 26
x
3
+
x
2
+
x
9
≥ 34
Resuelve la inecuación.
x + 1
2
+ <
x + 1
3
x + 1
4
Resuelve la inecuación.
x – 3
5
+ >
x – 3
2
x – 3
4
Efectúa la inecuación y determina el C.S.
(x + 5)(2x + 1) ≥ 7(x + 5)
Efectúa la inecuación y determina el C.S.
(x + 4)(3x – 1) > 8(x + 4)
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

160. 158
21 22
23
25
24
26
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Indica la suma de soluciones.
|3x – 5| = |x + 7|
Indica la suma de soluciones.
|4x + 5| = |x – 4|
Resuelve la inecuación.
12x + 4 ≤ (x + 5)(2x –1)
Resuelve la inecuación.
3x – 2 ≤ (x – 2)(2x – 3)
Efectúa la inecuación.
(x + 7)2 – 21 < 4(x + 7)
Efectúa la inecuación.
(x – 6)2 – 18 < 7(x – 6)
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

161. 159
Matemática Delta 2 - Álgebra
27 28
29 30
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resuelve la inecuación x2 + 6 ≤ 6x. Resuelve la inecuación x2 + 23 ≤ 10x.
Luciana adquirió cierto número de polos para
venderlos en esta temporada. Antes de fin de mes,
vende la sexta parte; de esta manera, le quedan
más de 90 polos. Sin embargo, si hubiera vendido
35 polos, le quedarían menos de 80. ¿Cuántos
polos adquirió Luciana en total?
Elena adquirió cierta cantidad de camisas para
venderlas. Antes de fin de semana, vende la
quinta parte; de esta manera, le quedan más de
80. Sin embargo, si hubiera vendido 42 camisas,
le quedarían menos de 64. ¿Cuántas camisas
adquirió Elena en total?
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

162. 160
5
6
7
8
Practica y demuestra
1
4
2
3
Nivel I
Indica si las proposiciones son verdaderas (V) o
falsas (F).
( ) x2 < 4 → x < 2
( ) |x| = 4 → x = {–4; 4}
( ) –2x ≥ –6 → x ≥ 3
( ) |x| = –2 → C.S. = ∅
Resuelve la inecuación y luego indica el mayor
valor entero del conjunto solución.
x + 3
2
– 1 < 4
A 9 B 6 C 5
D 7 E 8
A VFVF B FFVV C VVFF
D FVFV E FVVV
Resuelve la inecuación x2 + 3x – 28 < 0.
A 〈–4 ; 7〉 B 〈4 ; 7〉
C 〈–7 ; – 4〉 D 〈–7 ; 4〉
E 〈–7 ; 0〉
Al hallar el conjunto solución de –2 <
2x + 4
3
≤ 6,
es cierto que:
A El menor valor entero de su C.S. es –5.
B Su C.S. tiene 5 valores enteros.
C Cero es parte de su C.S.
D El mayor valor entero de su C.S. es 6.
E No tiene soluciones enteras.
Luego de resolver x2 – 2x – 35 ≥ 0, indica el
conjunto solución de la inecuación.
A 〈–∞ ; –7] ∪ [5 ; +∞〉
B 〈–∞ ; –5] ∪ 〈7 ; +∞〉
C 〈–∞ ; –7] ∪ [–5 ; +∞〉
D 〈–∞ ; 5〉 ∪ 〈7 ; +∞〉
E 〈–∞ ; –5] ∪ [7 ; +∞〉
Resuelve la ecuación.
|x – 5| = 3
A {8} B {0 ; 8} C {2}
D {2 ; 8} E { }
Calcula el número de valores enteros que verifica
la inecuación x2 ≤ 25.
A 10 B 9 C 11
D 8 E 12
Determina la cantidad de valores enteros que
verifican la inecuación.
A 17 B 18 C 16
D 19 E 15
x
2
+ 2 ≤ 4

163. 161
Matemática Delta 2 - Álgebra
9
10
11
12
13
14
15
Nivel II
Descubre la suma de soluciones.
|3x – 2| = |x + 6|
16
Luego de resolver
A 11 B 12 C 13
D 14 E 15
se obtiene x < a; encuentra el valor de a.
x
2
+ +
x
3
x
4
– 1 < x,
Resuelve la inecuación (2x + 1)(x – 3) < x + 5.
A 〈–4 ; 1〉 B 〈–2 ; 3〉
C 〈–3 ; 2〉 D 〈–1 ; 4〉
E 〈–4 ; –1〉
Indica la suma de valores enteros que verifican la
inecuación 5x + 3 ≥ 2x2.
. .
Una pareja de esposos dispone de S/ 450 para
ir al teatro con sus hijos. Si compran entradas de
S/ 40 les sobraría dinero pero si compra entradas
de S/ 45 les faltaría dinero. ¿Cuántos hijos tiene
dicho matrimonio?
A 11 B 10 C 8
D 9 E 7
A 5 B 7 C 4
D 8 E 6
A –1 B 3 C –5
D –4 E 5
Resuelve la inecuación y halla el mayor valor
entero que toma x.
(2x + 1)(3x – 1) ≤ (3x + 2)(2x – 3).
A –2 B 2 C –1
D 1 E 0
Calcula la suma de valores enteros que verifican
la inecuación 3x – 5 < 2x + 7 < 4x + 1.
A 45 B 64 C 48
D 60 E 56
Resuelve |3x + 1| < x + 2.
A –
3
4
;
1
2
B –
3
2
;
1
4
C –1
4
;
3
2
D –
1
2
;
3
4
E –
1
8
; 3

164. 162
20
21
22
23
24
17
18
19
Nivel III
Resuelve el sistema, luego; indica un valor de x.
x2 – 36 < 0
A –10 B –6 C –7
D –9 E –3
Indica el mayor valor entero que verifica la
inecuación.
x + 5
2
+
x – 3
3
– 3 <
x
4
+
x – 1
6
A 3 B 4 C 2
D 5 E 6
Determina el conjunto solución del siguiente
sistema.
x2 + 2x – 15 ≥ 0
x2 + 5x – 14 < 0
A 〈2 ; 1] B 〈–7 ; –5]
C [3 ; 5] D 〈–7 ; –2〉
E [–5 ; 2]
El lado de un cuadrado mide (x – 10) cm,
donde x es entero. Encuentra el área de dicho
cuadrado, sabiendo que su valor es menor que el
semiperímetro de dicho cuadrado.
Resuelve la inecuación (x – a)2 < (x – b)2, si a < 0 < b.
A x <
a + b
2
B x >
a + b
2
C x <
b – a
2
D x >
b – a
2
E x <
a – b
2
Encuentra el conjunto solución de la siguiente
inecuación en la variable x.
A [a + b ; +∞〉 B 〈–∞ ; a + b]
C 〈–∞ ; a + b〉 D 〈–∞ ; a – b]
E [a – b ; +∞〉
x
b
+
b
a
≥
x
a
+
a
b
, 0 < a < b
Resuelve la inecuación ab(x2 + 1) + (a2 + b2)x ≥ 0,
si b < a < 0.
A 〈–∞ ; –
a
b
] ∪ [-
b
a
; +∞〉
B 〈–∞ ; –
b
a
] ∪ [
a
b
; +∞〉
C 〈–∞ ;
a
b
] ∪ [
b
a
; +∞〉
D 〈–∞ ; –
1
b
〉 ∪ [–
1
a
; +∞〉
E 〈–∞ ; –
b
a
] ∪ [–
a
b
; +∞〉
Lady compró cierto número de artículos de los
cuales vendió 70, y le quedaron más de la mitad
de artículos. Al día siguiente, le devolvieron
6 artículos y luego, vendió 36, después de lo cual
le quedaron menos de 42 artículos. ¿Cuántos
artículos compró Lady, inicialmente?
A 140 B 142 C 130
D 141 E 143
A 16 cm2 B 9 cm2 C 4 cm2
D 1 cm2 E 25 cm2
x
5
+
x + 8
2
+ 5 ≥ –8 – x

165. Tema
163
Matemática Delta 2 - Álgebra
Relaciones
11
LaFIFAorganizalaseliminatoriasdelaCONMEBOL
(Confederación Sudamericana de Fútbol) o CSF
para el campeonato mundial.
¿Cuál sería el fixture de la eliminatoria?
¿Cuántos enfrentamientos en total tendrá la
eliminatoria?
Par ordenado
Es un conjunto de dos elementos donde se distingue un primer elemento y un segundo
elemento denotado por:
(a ; b)
Conceptos previos
Ejemplo:
• Son pares ordenados: (–7 ; 1)(2 ; 15)
• No es par ordenado: {3; 2}
Igualdad de pares ordenados
Dos pares ordenados son iguales si y solo si sus respectivas componentes son
iguales.
(a ; b) = (c ; d) ↔ a = c ∧ b = d
Ejemplo:
Si (7 ; 3b –1) = (2a + 3 ; 5), halla el valor de M = ab.
Resolución:
Por la propiedad de pares ordenados:
(7 ; 3b –1) = (2a + 3 ; 5)
2a + 3 = 7
2a = 4
a = 2
3b – 1 = 5
3b = 6
b = 2
Piden el valor de M = a . b = 2 . 2 = 4
Producto cartesiano
Dados dos conjuntos no vacíos A y B, definimos el producto cartesiano de A por B como
el conjunto de todos los pares ordenados (a ; b) donde el primer elemento se toma de
A y el segundo de B. Es decir:
A × B = {(a ; b) / a ∈ A ∧ b ∈ B}
El producto cartesiano se puede determinar de diferentes maneras, entre ellas tenemos
el diagrama del árbol, el diagrama sagital y el diagrama cartesiano.
primer elemento segundo elemento
Importante
Nota
Importante
(a ; b) (b ; a)
Relación: es
el resultado
de comparar
dos cantidades
expresadas en
números.
Fuente: RAE
A × B ≠ B × A
El producto
cartesiano de A por
A, es decir, A × A se
denota por A2.

166. 164
Ejemplo:
Sean A = {–1; 3; 5} y B = {2; 4}. Halla A × B.
Resolución:
Por el diagrama sagital
A B
–1 .
3 .
5 .
. 2
. 4
Por el diagrama del árbol
A B A × B
2 (–1 ; 2)
4 (–1 ; 4)
–1
2 (3 ; 2)
4 (3 ; 4)
3
2 (5 ; 2)
4 (5 ; 4)
5
Por el diagrama cartesiano
4
2
– 1 3 5
A
B
Entonces:
A × B = {(–1 ; 2), (–1 ; 4), (3 ; 2), (3 ; 4), (5 ; 2), (5 ; 4)}
Relación binaria
Se llama relación binaria entre los elementos del conjunto A y los elementos del
conjunto B, a todo subconjunto R del producto cartesiano A × B.
R : A → B ↔ R ⊂ A × B
Si (a ; b) ∈ R, se escribe a R b y se lee «a está en relación con b».
Ejemplo:
Si A = {2; 4; 5; 8} y B = {1; 3; 6; 7}, algunas relaciones de A en B son:
R1 = {(2 ; 3), (4 ; 6), (5 ; 3), (8 ; 7)}
R2 = {(2 ; 6), (4 ; 7), (5 ; 1), (4 ; 1)}
Dominio de una relación
El dominio de una relación es el conjunto de todas las primeras componentes de los
pares ordenados que pertenecen a la relación. Se denota Dom(R).
Dom(R) = {a ∈ A / b ∈ B, (a ; b) ∈ R}
Rango de una relación
El rango de una relación es el conjunto de todas las segundas componentes de los
pares ordenados que pertenecen a la relación. Se denota Ran(R).
Ran(R) = {b ∈ B / a ∈ A, (a ; b) ∈ R}
Ejemplo 1
Sea la relación R = {(1 ; 5), (2 ; 3), (1 ; 4), (3 ; 4), (6 ; 6)}, entonces:
Dom(R) = {1 ; 2 ; 3 ; 6} y Ran(R) = {3 ; 4 ; 5 ; 6}
Importante
Nota
Propiedad
n(A × B)
Se lee:
Cardinal de A × B
Significa:
Número de elementos
del producto.
n(A × B) = n(A) × n(B)
En el par ordenado
(a ; b)
a: abscisa
b: ordenada
Recuerda
El símbolo:
Se lee: existe

167. 165
Matemática Delta 2 - Álgebra
Ejemplo 2
Dados A = {–1; 0; 2} y B = {1; 4}, determina el dominio y el rango de la relación
R: A → B definida por R = {(x ; y) ∈ A × B / y = x + 2}.
Resolución:
Determinamos el producto cartesiano:
A × B = {(–1 ; 1), (–1 ; 4), (0 ; 1), (0 ; 4), (2 ; 1), (2 ; 4)}
De este conjunto tomamos los pares que cumplan con la regla de correspondencia:
y = x + 2
⇒ R = {(–1 ; 1), (2 ; 4)}
Luego: Dom(R) = {–1; 2} y Ran(R) = {1; 4}.
Tipos de relaciones
Sea el conjunto A para el cual se define la relación R.
Relación reflexiva
R: A → A es reflexiva ↔ { a ∈ A → (a ; a) ∈ R}
Ejemplos:
Dado el conjunto A = {2; 3; 4; 6} y R : A → A
R = {(2 ; 2), (3 ; 3), (4 ; 4), (6 ; 6)}
R es reflexiva pues tenemos que:
• Para 2 ∈ A → (2 ; 2) ∈ R • Para 3 ∈ A → (3 ; 3) ∈ R
• Para 4 ∈ A → (4 ; 4) ∈ R • Para 6 ∈ A → (6 ; 6) ∈ R
Relación simétrica
R: A → A es simétrica ↔ { (a ; b) ∈ R → (b ; a) ∈ R}
Ejemplos:
a) Dado el conjunto A = {1; 3; 5; 6} y R: A → A
• R = {(1 ; 1), (3 ; 6), (1 ; 5), (6 ; 3), (5 ; 1)}
Vemos que: (3 ; 6) ∈ R ∧ (6 ; 3) ∈ R
(1 ; 5) ∈ R ∧ (5 ; 1) ∈ R, entonces R es simétrica.
• R = {(3 ; 1), (5 ; 6), (6 ; 5), (1 ; 6)}
Vemos que: (3 ; 1) ∈ R pero (1 ; 3) R, entonces R no es simétrica.
b) La relación por «x es hermano de y» es simétrica, porque si «x es hermano de y»
entonces, «y es hermano de x».
Relación reflexiva
Relación simétrica
Relación transitiva
A
. a
. b
. c
A
a .
A
a .
b .
Importante

168. 166
Relación de equivalencia
Una relación R: A ↔ A es de equivalencia si y solo si se verifican las siguientes
propiedades.
I. (a ; a) ∈ R, a ∈ A, es reflexiva.
II. Si (a ; b) ∈ R → (b ; a) ∈ R, es simétrica.
III. Si (a ; b) ∈ R ∧ (b ; c) ∈ R → (a ; c) ∈ R, es transitiva.
Ejemplo 1
Para el conjunto A = {1; 3; 5} definimos la relación R: A → A como
R = {(1 ; 1), (3 ; 3), (5 ; 5), (1 ; 3); (3 ; 1)}, verifica si es de equivalencia
Resolución:
Observamos en R que:
I. Tiene entre sus elementos a todos los pares de la forma (a ; a), donde a ∈ A.
Es decir, R es reflexiva.
II. Tiene como elementos dos pares de la forma (a ; b), (b ; a), donde a ∈ A y b ∈ B. Es
decir, R es simétrica.
III. R también es transitiva, dado que:
(1 ; 1) ∈ R ∧ (1 ; 3) ∈ R → (1 ; 3) ∈ R
(3 ; 3) ∈ R ∧ (3 ; 1) ∈ R → (3 ; 1) ∈ R
Por lo tanto, R es una relación de equivalencia.
Ejemplo 2
La relación de igualdad R = {(a ; b) ∈ A × B / a = b } es una relación de equivalencia,
porque se verifica siempre:
I. a = a, es reflexiva.
II. a = b → b = a, es simétrica.
III. a = b y b = c → a = c, es transitiva.
Recuerda
El símbolo ∀
Se lee: para todo
Relación transitiva
R: A → A es transitiva ↔ {[(a ; b) ∈ R ∧ (b ; c) ∈ R] → (a ; c) ∈ R}
Ejemplo:
Dado el conjunto A = {1; 2; 4; 7} y R: A → A
• R = {(1 ; 2), (2 ; 4), (1 ; 4), (7 ; 2), (7 ; 4)}
Vemos que: (1 ; 2) ∈ R ∧ (2 ; 4) ∈ R → (1 ; 4) ∈ R
(7 ; 2) ∈ R ∧ (2 ; 4) ∈ R → (7 ; 4) ∈ R
Entonces R es transitiva
• R = {(2 ; 4), (4 ; 5), (7 ; 1), (2 ; 7)}
Vemos que: (2 ; 7) ∈ R ∧ (7 ; 1) ∈ R; sin embargo (2 ; 1) R.
Entonces R no es transitiva.

169. 167
Matemática Delta 2 - Álgebra
1
2
3
4
5
6
Sea el conjunto A = {1; 2; 3; 4}; B = {2; 3; 4; 5}.
Determina el número de relaciones de A en B.
• R1 = {(2 ; 5), (3 ; 2), (4 ; 1), (1 ; 3)}
• R2 = {(4 ; 2), (3 ; 2), (2 ; 2), (1 ; 5)}
• R3 = {(1 ; 3), (3 ; 2), (4 ; 4), (2 ; 3)}
Resolución:
Debemos observar que los primeros elementos
pertenezcan al conjunto A y los segundos
elementos pertenezcan al conjunto B.
R1: No es relación de A en B, porque en el par
ordenado (4 ; 1), 1 no pertenece a B.
R2: Es relación de A en B.
R3: Es relación de A en B.
Si (2x + y ; 10) = (11 ; 3y + 1), encuentra el valor
de E = xy.
Resolución:
Tenemos: (2x + y ; 10) = (11 ; 3y + 1)
Entonces: • 3y + 1 = 10
3y = 9
y = 3
• 2x + y = 11
2x = 11 – 3
x = 4
Piden el valor de xy: 4(3) = 12
Dados los conjuntos: A = {3; 5; 7; 9} y B = {1; 2; 3},
halla el producto de A × B.
Resolución:
Por el diagrama sagital:
A × B = {(3 ; 1), (3 ; 2), (3 ; 3), (5 ; 1), (5 ; 2), (5 ; 3),
(7 ; 1), (7 ; 2), (7 ; 3), (9 ; 1), (9 ; 2), (9 ; 3)}
A B
3
5
7
9
1
2
3
Rpta. 2
Rpta. 12
Si A = {x ∈ N / 3 ≤ x < 7}, B = {x ∈ N / –2 < x ≤ 7},
calcula el cardinal de A × B.
Resolución:
Determinamos por extensión los conjuntos:
A = {3; 4; 5; 6} → n(A) = 4
B = {–1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} → n(B) = 9
Sabemos que:
n(A × B) = n(A) × n(B)
n(A × B) = 4 × 9 = 36
Descubre el dominio de R, si A = {3; 5; 7},
B = {1; 2; 4} y R = {(a ; b) ∈ A × B / a + b = 7}.
Resolución:
Hallamos A × B:
A × B = {(3 ; 1), (3 ; 2), (3 ; 4), (5 ; 1), (5 ; 2), (5 ; 4),
(7 ; 1), (7 ; 2), (7 ; 4)}
Escogemos todos los pares que cumplan a + b = 7
R = {(3 ; 4), (5 ; 2)}
Luego:
Dom(R) = {3; 5}
Según la gráfica, determina el valor de a + b.
(6 ; 9)
(3 ; b)
(–9 ; 3)
(a ; –6)
Resolución:
• Como (–9 ; 3) y (3 ; b) pertenecen a la misma
recta horizontal, sus ordenadas son iguales,
entonces 3 = b.
• Como (6 ; 9) y (a ; –6) pertenecen a la misma
recta vertical, sus abscisas son iguales,
entonces 6 = a.
Piden:
a + b = 6 + 3 = 9
Rpta. 36
Rpta. {3; 5}
Rpta. 9
Ejercicios resueltos

170. 168
7
10
8
9
Encuentra el valor de n(R), si B = {2; 4; 6; 8} y
R = {(a ; b) ∈ B × B / a ≥ 2b}.
Resolución:
Determinamos B × B y luego R.
Diagrama del árbol:
R = {(4 ; 2), (6 ; 2), (8 ; 2), (8 ; 4)}. Luego n(R) = 4
B B a ≥ 2b
2 2 ≥ 2(2)
4 2 ≥ 2(4)
6 2 ≥ 2(6)
8 2 ≥ 2(8)
2 4 ≥ 2(2)
4 4 ≥ 2(4)
6 4 ≥ 2(6)
8 4 ≥ 2(8)
2 6 ≥ 2(2)
4 6 ≥ 2(4)
6 6 ≥ 2(6)
8 6 ≥ 2(8)
2 8 ≥ 2(2)
4 8 ≥ 2(4)
6 6 ≥ 2(4)
8 8 ≥ 2(4)
2
4
6
8
Se sabe que A = {–1; 1; 2; 4} y B= {–2; 0; 1; 4}, halla
el valor de M . N, si M es la suma de elementos del
dominio y N es la suma de elementos del rango de
la relación:
R = {(a ; b) ∈ A × B / a + b = 2}
Resolución:
Determinamos A × B y luego R.
Por el diagrama sagital:
Los pares que cumplen con: a + b = 2
R = {(1 ; 1), (2 ; 0), (4 ; –2)}
• Dom(R) = {1; 2; 4}
M = 1 + 2 + 4 = 7
• Ran(R) = {1; 0; –2}
N = 1 + 0 – 2 = –1
Piden: M . N = 7(–1) = –7
Rpta. –7
Rpta. 4
A B
–1
1
2
4
–2
0
1
4
Calcula el Ran(R), si A = {x / x ∈ N; 2 < x ≤ 8} y
R = {(a ; b) ∈ A × A / (a + b) es par; a > b}.
Resolución:
Tenemos A = {3; 4; 5; 6; 7; 8}
Determinamos A × A, luego R.
Diagrama cartesiano:
A
8
7
6
5
4
3
3 4 5 6 7 8
a > b
a + b: par
⇒ R = {(5 ; 2), (6 ; 4), (7 ; 3), (7 ; 5), (8 ; 4), (8 ; 6)}
Luego:
Dom(R) = {5; 6; 7; 8}
Sea A = {3; n; 4} con n(A) = 3. Se define en A la
relación R = {(3 ; a), (b ; b), (3 ; b), (5 ; 3), (c ; c)},
con n(R) = 5, sabiendo que R es de equivalencia,
descubre el valor de a + b + c.
Resolución:
Tenemos:
A = {3; n; 4} con n(A) = 3 ⇒ n ≠ 3; n ≠ 4
R = {(3 ; a), (b ; b), (3 ; b), (5 ; 3), (c ; c)}
R es de equivalencia ⇒ R es reflexiva, R es
simétrica y transitiva.
• Simétrica
(5 ; 3) ∈ R ⇒ (3 ; 5) ∈ R
(3 ; b) = (3 ; 5) ⇒ b = 5
(b ; b) = (5 ; 5)
• Reflexiva
x ∈ A ⇒ (x ; x) ∈ R
(3 ; a) = (3 ; 3) ⇒ a = 3
(c ; c) = (4 ; 4) ⇒ c = 4
Piden: a + b + c = 3 + 5 + 4 = 12
Rpta. {5; 6; 7; 8}
Rpta. 12

171. 169
Matemática Delta 2 - Álgebra
Relaciones
Par ordenado Producto cartesiano Relación R: A → A
Reflexiva
a ∈ A → (a ; a) ∈ R
Simétrica
(a ; b) ∈ R → (b ; a) ∈ R
Transitiva
(a ; b) ∈ R ∧ (b ; c) ∈ R
→ (a ; c) ∈ R
Equivalencia
Si R es reflexiva,
simétrica y transitiva.
A × B = {(a ; b) / a ∈ A ∧ b ∈ B}
Propiedad
n(A × B) = n(A) × n(B)
Relación binaria
R = {(a ; b) ∈ A × B / b = R(a)}
Dom(R) = {a ∈ A / ∃ b ∈ B, (a ; b) ∈ R}
Ran(R) = {b ∈ B / ∃ a ∈ A, (a ; b) ∈ R}
Regla de
correspondencia
(a ; b)
Donde:
a: primera componente
b: segunda componente
Propiedad
Si: (a ; b) = (c ; d)
→ a = c ∧ b = d
Síntesis
Modela y resuelve
2
4
1
3
Si (2x + 5 ; 7) = (9 ; 1 – 3y). Determina el valor
de xy.
Si (3x + 2 ; 7) = (11 ; 1 + 2y). Determina el valor
de xy.
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Halla el valor de x, si (5x – 1 ; x – 9) = (n ; n). Halla el valor de x, si (4x + 2 ; x – 7) = (a ; a).
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

172. 170
5 6
9
11
7
10
12
8
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Si A = {1; 2} y B = {3; 4; 5}, calcula A × B. Si M = {0; 1} y N = {4; 6; 8}, calcula M × N.
Si N = {2; 4} y M = {1; 3; 5}, descubre M × N. Si A = {5; 7} y B = {2; 4; 6}, descubre B × A.
Sea A= {2; 2; 3; 3; 4} y B = {4; 4; 5; 5; 5}, encuentra
el cardinal de A × B.
Sea A = {1; 1; 2; 3; 1; 2; 4} y B = {1; 2; 3; 3; 3},
encuentra el cardinal de A × B.
Determina el dominio y el rango de R.
R = {(4 ; 5), (–2 ; 1), (3 ; 1), (4 ; 2), (–1 ; 3)}
Determina el dominio y el rango de R.
R = {(–3 ; 7), (–1 ; 4), (2 ; 7), (–1 ; 3), (1 ; 4)}
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

173. 171
Matemática Delta 2 - Álgebra
13 14
15
17
16
18
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Según la gráfica mostrada, halla el valor de xy. Según la gráfica mostrada, halla el valor de ab.
(x ; –1)
(–3 ; y)
(–1 ; 3)
(4 ; 1)
(2 ; 6)
(6 ; 4)
(a ; –2)
(–6 ; b)
Si A = {x ∈ / 1 < x ≤ 6} y B = {x ∈ / –3 < x < 9},
calcula el cardinal de A × B.
Si M = {x ∈ / 1 ≤ x < 8} y N = {x ∈ / –4 ≤ x < 8},
calcula el cardinal de M × N.
Sea A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} y R = {(a ; b) ∈ A2 / a < b},
descubre el cardinal de R.
Sea B = {0; 1; 2; 3; 4; 5} y R = {(x ; y) ∈ B2 / x ≥ y},
descubre el cardinal de R.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

174. 172
21
23
22
24
20
19
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Sea A = {3; 7; 10; 18; 22}; B = {1; 2; 3; 7} y
R = {(a ; b) ∈ A × B / a = 3b + 1}. Calcula la suma de
los elementos del dominio de R.
Sea A = {4; 5; 9; 15; 21}; B = {1; 3; 5; 9} y
R = {(x ; y) ∈ A × B / x = 2y + 3}. Calcula la suma
de los elementos del rango de R.
Si A = {5; 9; 13; 16} ∧ R = {(a ; 3a + 1), (2b – 5 ; b)}.
Determina el máximo valor de a + b, si R es una
relación de A en A.
Si B = {3; 6; 11; 20} ʌ R = {(a ; 4a – 1), (3b + 2 ; b)}.
Determina el máximo valor de a + b, si R es una
relación de B en B.
Dados los conjuntos A = {6; 7; 8}, B = {3; 5; 9} y la
relación R ={(x ; y) ∈ A × B / 11 ≤ x + y ≤ 15}.
Halla la suma de los términos del rango de R.
Dados los conjuntos A = {5; 6; 8}, B = {2; 4; 7} y la
relación R = {(a ; b) ∈ A × B / 8 ≤ a + b ≤ 12}.
Halla la suma de los términos del dominio de R.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

175. 173
Matemática Delta 2 - Álgebra
2
3
Practica y demuestra
1
4
5
6
Nivel I
7
8
Sean los conjuntos A = {2; 4; 5; 6; 8},
B = {1; 3; 4; 5; 7} y las relaciones:
A I y III B II y IV
C Solo III D Solo II
E Todas
I. R = {(2 ; 7), (4 ; 3), (5 ; 1), (6 ; 8)}
II. R = {(2 ; 1), (8 ; 4), (5 ; 3), (6 ; 7)}
III. R = {(2 ; 5), (6 ; 3), (7 ; 4), (8 ; 3)}
IV. R = {(2 ; 5), (4 ; 3), (5 ; 1), (7 ; 8)}
Indica qué relaciones R de A en B son correctas.
Si (3a + b ; 5) = (11 ; 2b + 1), determina el valor
de a . b.
A 9 B 12 C 6
D 15 E 8
Si (n ; n) = (3x + 5 ; x – 1), calcula el valor de
M = x2 + 3.
A 12 B 15 C 6
D –6 E –3
Halla el cardinal de R, si A = {2; 4; 6}, B = {3; 5; 7}
y R = {(a ; b) ∈ A × B / a < b}.
A 4 B 7 C 5
D 8 E 6
Si A = {x ∈ / 3 < x ≤ 8} y B = {x ∈ / –2 ≤ x < 5},
encuentra el cardinal de A × B.
A 24 B 28 C 32
D 35 E 40
Según la gráfica mostrada, descubre el valor de
a + b.
(–6 ; 6)
(–2 ; a) (6 ; 2)
(b ; –4)
A –2 B 8 C 0
D –4 E –1
Dado el conjunto A = {1; 2; 3}, determina la suma
de elementos del rango de R.
R = {(a ; b) ∈ A × A / a + b ≤ 4}
A 3 B 5 C 4
D 6 E 7
La relación R está definida en el conjuntoA= {7; 8; 9},
siendo R = {(7 ; 7), (8 ; 8), (9 ; 9), (7 ; 8), (8 ; 9), (9 ; 8)}.
¿Qué propiedad o propiedades cumple R?
A Reflexiva
B Simétrica
C Transitiva
D Reflexiva y simétrica
E Reflexiva y transitiva

176. 174
Nivel II
9
13
14
15
16
10
11
12
Sea B = {1; 2; 3; 4} y R = {(a ; b) ∈ B2 / b < a},
calcula el cardinal de R.
A 8 B 9 C 7
D 4 E 6
A VVVV B FFVV C FFVF
D FFFV E FVVV
Si A = {x / x es impar menor que 15} y
R = {(a ; b) ∈ A × A / a < b}, entonces R será:
A reflexiva
B simétrica
C transitiva
D reflexiva y simétrica
E reflexiva y transitiva
Sea A = {1; 2; 3; 4; 5} y R = {(x ; y) ∈ A2/ x + y ≠ 6},
halla n(R).
A 25 B 20 C 22
D 16 E 18
Sea A un conjunto no vacío y R es una relación
definida en A, tal que:
R = {(a ; a), (b ; b), (a ; b), (b ; a)} es reflexiva.
Además, la suma de los elementos del dominio es
22 y la diferencia de los mismos es 2.
Encuentra el producto de los elementos de A.
A 144 B 120 C 132
D 150 E 112
Sobre la relación R = {(a ; b) ∈ × / a b + 2},
indica si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
( ) R es de equivalencia.
( ) R es transitiva.
( ) R es simétrica.
( ) R es reflexiva.
Si R es una relación en A = {2; 3; 9}, tal que
R = {(a ; b) ∈ A × A / b + 1 ≤ a2}, descubre el
cardinal de R.
A 4 B 7 C 5
D 8 E 6
Determina el número de elementos de la relación
R = {(a ; b) ∈ × / a < b ∧ a > 3 ∧ b < 10}.
A 15 B 12 C 13
D 10 E 7
Sean A = {1; 2; 3; 7}, B = {4; 6; 8; 9} y la relación
R = {(a ; b) ∈ A × B / a + b es par}. Calcula n(R).
A 5 B 6 C 9
D 8 E 10

177. 175
Matemática Delta 2 - Álgebra
Nivel III
17
21
18
19
20
Dado A = {4; 7; 5; 13} y R = {(a ; 2a – 1), (3b – 2 ; b)}.
Halla el máximo valor de a + b, si R es una relación
de A en A.
A 10 B 12 C 8
D 9 E 13
Sea A = {8; 10; 12; 14; 16}, B = {3; 5; 7; 11} y
R = {(a ; b) ∈ A × B / a = 2b + 2}, encuentra la suma
de los elementos del dominio de R.
A 32 B 36 C 38
D 40 E 30
Sea B = {2; 3; 4; 5; 6; 7} y R = {(a ; b) ∈ B2 / b > a},
descubre el cardinal de R.
A 20 B 12 C 18
D 15 E 16
Dados los conjuntos A = {3; 4; 5}, B = {2; 4; 6}
y la relación R = {(x ; y) ∈ A × B / 7 ≤ x + y ≤ 9},
determina la suma de los términos de los pares
ordenados que pertenecen a dicha relación.
A 25 B 36 C 32
D 20 E 40
Calcula n(R), si A = {x / x ∈ ; 0 < x ≤ 10} y
R = {(a ; b) ∈ A × A / (a + b) es impar, a < b}.
A 23 B 24 C 25
D 27 E 26
A VVVV B FFVV C FVFV
D VVVF E FVVV
Indica si las proposiciones son verdaderas (V) o
falsas (F).
( ) La relación a es padre de b es simétrica.
( ) La relación x ≤ y en los números naturales
es reflexiva.
( ) La perpendicularidad entre rectas de un
plano es una relación de simetría.
( ) La relación R = {(a ; b) ∈ 2 / a = b} es una
relación de equivalencia.
Dado el conjunto A = {2; 5; 8} se define la relación
R de A en A tal que:
R = {(b ; b}, (5 ; 5), (b + 6 ; 8), (c ; x), (x ; c)} es
reflexiva y simétrica, donde x es impar.
Encuentra el valor de b + c + x.
A 10 B 11 C 12
D 15 E 14
Sea A = {n ∈ / 0 < n < 9} es una relación en
R = {(x ; y) ∈ A2 / x + y ≤ 7}, halla la suma de
elementos del rango de R.
A 36 B 63 C 84
D 52 E 21
22
23
24

178. 176
Tema 12
Funciones
Observa
R = Q ∪ I
Conjunto de números reales
La unión del conjunto de los números racionales () y el conjunto de los números
irracionales ( ) forman un nuevo conjunto que se denomina «conjunto de los números
reales» y se denota así:
Definición previa
Las funciones forman parte de
nuestras actividades cotidianas;
por ejemplo, llegar a tiempo al
colegio depende de la velocidad, o
situaciones más complejas como el
aumento del nivel del mar debido al
deshielo polar en 120 años.
Observa
⊂ ⊂ ⊂
• El conjunto de los racionales está formado por los números que pueden escribirse
como una división de enteros.
• El conjunto de los números irracionales está formado por los números que no
pueden escribirse como una división de enteros. Entre ellos tenemos a los radicales
inexactos, las constantes matemáticas y decimales que no tienen fracción generatriz.
Ejemplos:
3; 5; p; 0,1234567......
5
3
4
10
3
2
; 6; 0,4;
a) b) c)
6 =
6
1
0,4 =
Ejemplos:
¿Sabías que...?
La letra N es la inicial
de la palabra número
(o natural). La letra
Z es la inicial de la
palabra zahl, que
significa número en
alemán. La letra Q es
la inicial de la palabra
quotient (cociente en
inglés). Y la letra R es
la inicial de la palabra
real.
a
b
/ a ∈ Z ∧ b ∈ Z – {0}
Q =
Cambios
de
nivel
del
mar
(cm)
Aumento reciente
del nivel del mar
La recta numérica real o recta real es una recta geométrica que nos permite ordenar a
los números reales.
La recta numérica real
3
–3 –2 –1 0 1 2 3
p
2
positivos
negativos

179. 177
Matemática Delta 2 - Álgebra
Una función de A en B es un conjunto de pares ordenados (x ; y), tal que para cada
elemento x ∈ A le corresponde un solo elemento y ∈ B.
Función
Dominio: conjunto de valores que puede
tomar x (variable independiente).
Dom(f) = {1 ; 2 ; 6 ; 8}
Rango: conjunto de valores que puede
tomar y (variable dependiente).
Ran(f) = {6 ; 8 ; 9}
1.
2.
6.
8.
. 2
. 6
. 8
. 9
.15
A B
f
Dominio
De las correspondencias, analiza si cada una es o no función.
f no es función porque un elemento del conjunto de
salida, (3), no está relacionado.
g es función porque más de un elemento de salida
está relacionado con un único elemento de llegada.
h no es función porque un elemento del conjunto
de salida, (2), está relacionado con dos elementos.
Como en una función los elementos de salida están relacionados con un único elemento,
estos no se repiten.
Importante
(a ; b) ≠ (b ; a)
El conjunto
A = {2; 3; 2; 3; 4; 5}
Se escribe:
A = {2; 3; 4; 5}
Los elementos
repetidos se escriben
una sola vez.
2.
3.
5.
7.
. 5
. 6
. 7
. 8
A B
f
1.
3.
5.
7.
. 5
. 6
. 7
. 8
A B
g
2.
4.
6.
8.
. 5
. 6
. 7
. 8
A B
h
Rango
Ejemplos:
Sean las correspondencias:
a) f = {(2 ; 4), (4 ; 6), (6 ; 8), (8 ; 1)} f es función, los primeros componentes no se repiten.
b) g = {(2 ; 3), (3 ; –1), (2 ; 8), (5 ; 2)} g no es función, el primer componente (2) se repite.
c) h = {(0 ; 3), (1 ; 2), (3 ; 7), (1 ; 2), (5 ; 3)} h es función, el par repetido se escribe una sola vez,
entonces los primeros elementos no se repiten.

180. 178
Ejemplo 2
Dada la función f = {(–2 ; 3), (3 ; –2), (5 ; 7), (–5 ; 6), (7 ; 1)}. Halla f(f(3)) y f(f(5)).
Resolución:
Se tiene:
Dom(f)= {–2; 3; 5; –5; 7} y Ran(f) = {3; –2; 7; 6; 1}
(–2 ; 3) ⇒ f (–2) = 3
( 3 ; –2) ⇒ f (3) = –2
( 5 ; 7) ⇒ f (5) = 7
(–5 ; 6) ⇒ f (–5) = 6
( 7 ; 1) ⇒ f (7) = 1
(x ; y) = (x ; f(x))
Observa:
• f(f(3)) = f(–2) = 3
• f(f(5)) = f(7) = 1
Ejemplo 3
Se define la función f : {1; 3; 5; 6; 8} → B / y = f(x) = 4x – 7. Indica el rango de la función.
Resolución:
Evaluamos el dominio con la regla de correspondencia (tabulación).
Entonces: Ran(f) = {–3; 5; 13; 17; 25}
x 1 3 5 6 8
y
4(1) – 7
–3
4(3) – 7
5
4(5) – 7
13
4(6) – 7
17
4(8) – 7
25
Ejemplo 4
Sean f(x – 3) = 3x – 7 y g(x + 2) = 5x + 4. Determina g(f(x)).
Resolución:
En: f(x – 3) = 3x – 7
x – 3 = n ⇒ x = n + 3 Luego: f(n + 3 – 3) = 3(n + 3) – 7 ⇒ f(n) = 3n + 2
En: g(x + 2) = 5x + 4
x + 2 = n ⇒ x = n – 2 Luego: g(n – 2 + 2) = 5(n – 2) + 4 ⇒ g(n) = 5n – 6
Entonces: g(f(x)) = g(3x + 2)
g(3x + 2) = 5(3x + 2) – 6 = 15x + 10 – 6 = 15x + 4
Propiedad
(x ; y)
(x ; f(x))
Si:
(3 ; 6) ⇒ f(3) = 6
Sean los pares ordenados (a ; b) y (a ; c) que pertenecen a la función f, entonces: b = c.
Ejemplo 1
Sea la función g = {(2 ; 5), (1 ; a – b), (2 ; 2a + b), (6 ; 5), (1 ; 4)}.
Halla el valor de a . b.
Resolución:
Se observa que: 2a + b = 5 (1)
a – b = 4 (2)
(1) + (2): 3a = 9, en (1): 2(3) + b = 5
a = 3 b = –1
Piden: a . b = 3 . (–1) = –3
Propiedad
Atención
Si:
(a ; b) ∧ (a ; c) ∈ f
⇒ b = c

181. 179
Matemática Delta 2 - Álgebra
Sea una función f: A → B / y = f(x), f es una función real de variable real si A y
B con regla de correspondencia y = f(x). La variable x recibe el nombre de variable
independiente o preimagen; y la variable y o f(x) es la variable dependiente o imagen.
Ejemplos:
a) f: → / y = 4x + 6 b) g: → / y = x2 + 2x – 8
Función real de variable real
Funciones especiales
Función constante
f: → / y = f (x) = k
• Dom(f) =
• Ran(f) = {k}
y
x
k > 0
k
y
x
k < 0
k
Notación
f: A → B / y = f(x)
Donde:
f: nombre de la
función
A: conjunto de salida
B: conjunto de
llegada
y: regla de
correspondencia
Función lineal afín
f: → / y = f(x) = mx + b, m ≠ 0
• Dom(f) =
• Ran(f) =
y
b
x
Gráfica de una función lineal afín.
Para graficar una función lineal se debe tabular dos puntos.
Ejemplos:
a) Grafica f(x) = –2x + 8.
Resolución:
Tabulamos: y = –2x + 8
x
x
y
y
0
0
8
b
(0 ; 8)
(4 ; 0)
4 0
0
y
8
4 x
Observa:
Ubicamos los puntos (4 ; 0) y
(0 ; 8) en el plano cartesiano y
graficamos la función.
Importante
Plano cartesiano
Eje x (abscisas)
Eje y (ordenadas)
y
y
II
cuadrante
I
cuadrante
III
cuadrante
IV
cuadrante
–
b
m
–
b
m
Para esta gráfica:
b > 0 ∧ m > 0

182. 180
b) Dada la función f: [–3 ; 5〉 → / y = f(x) = –2x + 7.
Determina el rango de f.
Resolución:
Tenemos: –3 ≤ x < 5 El conjunto de salida es el dominio de la función.
× (–2) : 6 ≥ –2x > –10 Buscamos y a partir del dominio.
+ 7: 13 ≥ –2x + 7 > –3
Luego: –3 < y ≤ 13
∴ Ran(f) = 〈–3 ; 13]
Función identidad
Es aquella función lineal afín f(x) = mx + b, donde m = 1 y b = 0.
f: → / y = f(x) = x
• Dom(f) =
• Ran(f) =
Observa:
• Siempre pasa por el origen
de ordenadas.
• Su gráfica es la recta que es
bisectriz de los cuadrantes
I y III.
y
x
f(x) = x
Ejemplo:
Sea f(x) = (x – 2)(x + m) – (x + 2)2 + n – 1 una función identidad, halla m . n.
Resolución:
Función identidad: f(x) = x
Desarrollando: f(x) = x2 + (m – 2)x – 2m – (x2 + 4x + 4) + n – 1
f(x) = (m – 6)x – 2m + n – 5
Por definición de función identidad:
m – 6 = 1 ∧ –2m + n – 5 = 0
m = 7 ⇒ –2(7) + n – 5 = 0
n = 19
∴ m . n = 7 ∙ 19 = 133

183. 181
Matemática Delta 2 - Álgebra
Halla el valor de ab, si el conjunto de pares
ordenados representa una función.
f = {(2 ; 3), (3 ; a – b), (2 ; a + b), (3 ; 1)}
Resolución:
En una función si los primeros elementos son
iguales, sus segundos elementos son iguales.
Entonces: a + b = 3 (1)
a – b = 1 (2)
(1) + (2): 2a = 4 ⇒ a = 2
En (1): 2 + b = 3 ⇒ b = 1
Piden: a . b = 2 . 1 = 2
Rpta. 2
1
2
3
4
6
5
De las correspondencias:
f = {(3 ; 4), (5 ; 7), (2 ; 4), (11 ; 4), (3 ; 3)}
g = {(5 ; 7), (2 ; 1), (1 ; 3), (3 ; 4), (4 ; 8)}
h = {(–1 ; 3), (3 ; 7), (–2 ; 5), (6 ; 6), (8 ; 6)}
r = {(2 ; 3), (3 ; 3), (4 ; 2), (5 ; 3), (2 ; 3)}
¿Cuántas son funciones?
Resolución:
Un conjunto de pares ordenados es una función
cuando los primeros elementos son diferentes,
esto indica que a cada primer elemento le
corresponde un único segundo elemento.
Entonces:
f no es función porque se repite 3: (3 ; 4), (3 ; 3)
g es una función
h es una función
r es función porque los pares (2 ; 3) son iguales
por lo que se escribe una sola vez en el conjunto.
Rpta. Hay 3 funciones.
Dada la función
f = {(3 ; 5), (2 ; 3), (5 ; 4), (4 ; 2), (7 ; 3)}.
Determina:
a) Dominio y rango de la función
b) H = f(f(f(7))) + f(f(4))
Resolución:
a) Dom(f) = {3; 2; 5; 4; 7}
Ran(f) = {5; 3; 4; 2}
b) Se observa:
• f(3) = 5 • f(2) = 3 • f(5) = 4
• f(4) = 2 • f(7) = 3
H = 4 + 3 = 7
Grafica la función f definida por f(x) = –4x + 5.
Resolución:
Tabulamos: y = –4x + 5
(0 ; 5)
(
5
4
; 0)
y
5
x
Calcula el valor de M = f(g(5)),
si f(x + 2) = 4x + 5 y g(x + 3) = 5x – 3.
Resolución:
Tenemos:
• g(x + 3) = 5x – 3
x + 3 = 5 ⇒ x = 2
g(2 + 3) = 5(2) – 3 ⇒ g(5) = 7
⇒ M = f(g(5)) = f(7)
• f(x + 2) = 4x + 5
x + 2 = 7 ⇒ x = 5
f(5 + 2) = 4(5) + 5 ⇒ f(7) = 25
Luego: M = f(7) = 25
Encuentra el valor de f(7), si la función lineal f está
representada por:
Resolución:
Sabemos que f(x) = y = ax + b, tenemos:
(1 ; 3) f(x): 3 = 1 ∙ a + b (1)
(2 ; 8) f(x): 8 = 2 ∙ a + b (2)
(2) – (1): 5 = a
En (1): 3 = 5 + b ⇒ b = –2
Luego: f(7) = 5(7) – 2 = 33
Rpta. 25
Rpta. 33
A B
f
1. .3
2. .8
3. .13
9. .43
5
4
x y
0 5
0
5
4
Ejercicios resueltos

184. 182
Resolución:
Sea la función constante: g(x) = k
Entonces:
g(13) = g(17) = g(7) = g(2020) = k
Luego:
11
12
8
9
7 10
Halla la suma de los elementos enteros del rango
de la función.
f: [–4 ; 3〉 → R / y = f(x) = –2x + 5
Resolución:
Tenemos:
–4 ≤ x < 3
× (–2) : 8 ≥ –2x > –6
+ 5 : 13 ≥ –2x + 5 > –1
Luego: –1 < f(x) ≤ 13
Elementos enteros del rango.
Ran(f) = {0; 1; 2; 3; 4; ...; 12; 13}
Piden:
S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 13 =
13 ∙ 14
2
= 13 ∙ 7 = 91
Determina el valor de H = g(2020) + 3, siendo g(x)
una función constante, que cumple la siguiente
igualdad.
g(13) + g(17)
g(7) – 3
= 3
k + k
k – 3
= 3
2k = 3(k – 3) ⇒ 2k = 3k – 9 ⇒ k = 9
Piden:
H = g(2020) + 3 = 9 + 3 = 12
Si f(2x + 3) = 4x2 + 10x + 7, calcula f(x).
Resolución:
Hacemos:
2x + 3 = n ⇒ x =
n – 3
2
Entonces:
f(n) = 4
n – 3
2
n – 3
2
2
+ 10 + 7
= 4 + 5(n – 3) + 7
(n – 3)2
4
= n2 – 6n + 9 + 5n – 15 + 7
= n2 – n + 1
Hacemos: x = n
⇒ f(x) = x2 – x + 1
Encuentra el rango de la función h.
h : {–2; –1; 0; 3; 4} → / h(x) = –x2 + 2x + 7
Resolución:
Evaluamos para el dominio:
x y = –x2 + 2x + 7
–2 –(–2)2 + 2(–2) + 7 = –4 – 4 + 7 = –1
–1 –(–1)2 + 2(–1) + 7 = –1 – 2 + 7 = 4
0 –(0)2 + 2(0) + 7 = –0 + 0 + 7 = 7
3 –(3)2 + 2(3) + 7 = –9 + 6 + 7 = 4
4 –(4)2 + 2(4) + 7 = –16 + 8 + 7 = –1
Luego:
Ran(h) = {–1; 4; 7}
A partir de la gráfica, halla f(–5).
Resolución:
Tenemos: y = f(x) = –x + n
(–a ; c = 3) f(x): 3 = –(–a) + n
3 = a + n (1)
(3a ; b = –1) f(x):–1 = –(3a) + n (2)
(1) – (2) : 4 = 4a ⇒ a = 1
En (1) : 3 = 1 + n ⇒ n = 2
Luego: f(–5) = –(–5) + 2 = 7
y
y = 3
(–a ; c)
y = –1
x
(3a ; b)
y = f(x) = –x + n
La función g se define como:
g(x) =
–x + 6 ; x < –1
5 ; –1 ≤ x < 6
2x – 7 ; x ≥ 6
Determina E = g(g(–2)) + g(g(1)).
Resolución:
–2 < –1: g(–2) = –(–2) + 6 = 8
8 ≥ 6 : g(8) = 2(8) – 7 = 9
⇒ g(g(–2)) = g(8) = 9
–1 ≤ 1 < 6: g(1) = 5
–1 ≤ 5 < 6: g(5) = 5
⇒ g(g(1)) = g(5) = 5
Luego: E = 9 + 5 = 14
Rpta. 91
Rpta. {–1; 4; 7}
Rpta. 7
Rpta. 14
Rpta. 12
Rpta. x2 – x + 1

185. 183
Matemática Delta 2 - Álgebra
Síntesis
Modela y resuelve
2
4
1
3
Resolución: Resolución:
Funciones
f asigna a todo elemento de A un único
elemento de B
Si (a ; b) ∧ (a ; c) ∈ f ⇒ b = c
Propiedad
Definición
Dominio: conjunto de valores que puede tomar x.
Rango: conjunto de valores que puede tomar y.
f: A → B / y = f(x)
Nombre de la función
Regla de
correspondencia
Conjunto
de salida
Conjunto
de llegada
Función lineal
f: R → R / y = f(x) = mx + b
Función constante
f: R → R / y = f(x) = k
Dada la función:
f = {(2 ; 5), (4 ; 1), (5 ; 3), (3 ; 6), (1 ; 1)}
Dada la función:
g = {(1 ; 3), (7 ; 2), (8 ; 3), (5 ; 7), (4 ; 1)}
Determina: Determina:
a) Dom(f) =
b) Ran(f) =
c) f(f(5)) =
d) Suma de elementos del rango:
a) Dom(g) =
b) Ran(g) =
c) g(g(4)) =
d) Suma de elementos del rango:
Del siguiente diagrama: Del siguiente diagrama:
Calcula el valor de Calcula el valor de
H = .
F(1) + G(F(3))
G(2) + F(G(2))
H = .
g(5) + h(g(3))
h(2) + g(h(6))
1
2
3
2
5
3
4
2
1
F G
1
3
5
2
4
6
4
3
2
g h
Funciones especiales
Rpta. Rpta.

186. 184
6
8
10
5
7
9
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Si f = {(1 ; 5), (2 ; b), (1 ; a), (3 ; a + 1), (b ; a)} es
una función, halla el valor de M = f(3) + f(b).
Si g = {(4 ; 9), (2 ; n), (4 ; m), (5 ; m + 1), (n ; m)} es
una función, halla el valor de A = g(5) + g(n).
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Encuentra el valor de b – a, dada la función g.
g = {(2 ; a2), (3 ; 9), (2 ; 9), (3 ; a + b), (a ; 5)}
Encuentra el valor de m – n, dada la función f.
f = {(5 ; n2), (2 ; 11), (5 ; 4), (2 ; n + m), (n ; 7)}
Determina el dominio de la función h.
h = {(3 ; 3a – b), (b ; 7), (a ; 11), (3 ; 5), (a ; 5a + b)}
Determina el dominio de la función g.
g = {(1 ; 4a + b), (b ; 5), (a ; 8), (1 ; 10), (a ; 2a – b)}
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.

187. 185
Matemática Delta 2 - Álgebra
12
14
16
11
13
15
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Se define la función f: [–3 ; 5] → R / f(x) = 5x + 2,
calcula el número de elementos enteros del rango
de la función.
Se define la función f: [–1 ; 3] → R / f(x) = 7x – 4,
calcula el número de elementos enteros del rango
de la función.
Sea la función h: A → R / h(x) = 4x – 2, halla la
suma de elementos enteros del dominio de la
función, si Ran(h) = [–22 ; 10].
Sea la función f: A → R / f (x) = 5x – 9, halla la suma
de elementos enteros del dominio de la función, si
Ran(f) = [–29 ; 1].
Sea f(x + 3) = x2 + x – 4 ∧ g(x – 1) = 3x + 1,
encuentra el valor de E = g(f(5)).
Sea g(x + 4) = x2 + 2x – 7 ∧ h(x + 2) = 2x + 7,
encuentra el valor de M = h(g(7)).
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

188. 186
18
20
22
17
19
21
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Sea f(x) una función constante, determina el valor
de f(–3), si:
f(–5) + f(7)
f(–1) – 3
= 4
Sea h(x) una función constante, determina el valor
de h(1872), si:
h(25) + h(31)
h(41) + 4
=
3
2
Calcula el rango de la función g.
g: {–2; –1; 3; 4; 5} → R / g(x) = x2 + 4x + 1
Calcula el rango de la función f.
f: {–2; –1; 1; 2; 3} → R / f(x) = x2 + 3x – 2
Sea g(x + 3) = x2 + 5x – 6, halla g(2x – 1). Sea h(x + 4) = x2 + 6x + 10, halla h(2x + 1).
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

189. 187
Matemática Delta 2 - Álgebra
24
26
23
25
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Encuentra, de la gráfica, el valor de a + b + c.
y
x
–2
y = f(x) = 3x + b
(a ; c) y = g(x)= –b
Encuentra, de la gráfica, el valor de a + b + c.
y = g(x) = –2b
y
y = f(x) = –3x + b
–1
(a ; c)
x
Grafica la función f definida por: Grafica la función h definida por:
Rpta. Rpta.
f(x) =
–x + 4 ; x < 0
4 ; 0 ≤ x < 5
2x – 6 ; x ≥ 5
h(x) =
–x + 2 ; x < –2
4 ; –2 ≤ x < 2
–x + 6 ; x ≥ 2

190. 188
2
3
4
Practica y demuestra
1
5
6
7
8
9
Nivel I
Dada la función f = {(3 ; 4), (2 ; 5), (1 ; 4), (5 ; 3)},
indica si las proposiciones son verdaderas (V) o
falsas (F).
( ) La suma de elementos del rango es 16.
( ) Dom(f) = {1; 2; 3; 5}.
( ) f(f(5)) = 3.
( ) El cardinal del rango de f es 3.
Dado f = {(2 ; 3), (3 ; 4), (4 ; 1), (5 ; 2), (1 ; 6)},
calcula el valor de H = f(f(2)) + f(f(f(3))).
A 5 B 10 C 6
D 7 E 8
A VFVF B FFVV C VVFF
D FVFV E FFFV
A 3 B 8 C 5
D
8
5
E
7
5
Del diagrama que se muestra, halla el valor de E.
F(1) + G(F(1))
F(3) +G(F(3))
E =
1
3
2
2
3
5
5
3
2
F G
De la siguiente función:
f = {(1 ; 1 + b), (3 ; ab), (1 ; 7), (4 ; 6), (3 ; 6)},
encuentra el valor de a – b.
A –3 B –5 C 1
D –5/2 E –4
Determina el valor de H = a2 + b2, dada la función
f = {(3 ; 4), (2 ; a – 4b), (2 ; 1), (ab ; b2), (3 ; a – b)}.
A 26 B 20 C 10
D 13 E 4
Descubre el producto de elementos del rango de
la función f = {(7 ; 3), (b ; a + 3), (3 ; 3), (b ; 7), (5 ; a)}.
A 92 B 84 C 115
D 76 E 42
Sea f(x) = x2 + 1 y g(x + 1) = 3x – 12, calcula el
valor de M = g(f(–3)).
A 12 B 18 C 15
D 25 E 23
Se define la función f: [2 ; 6] → Z / f(x) = 5x – 9,
indica el cardinal del rango de la función.
A 18 B 19 C 22
D 21 E 20
Se define la función g: A → R / g(x) = 3x – 1.
Si Ran(g) = [5 ; 11], halla la suma de los elementos
enteros del dominio de g.
A 5 B 0 C 9
D –1 E 5

191. 189
Matemática Delta 2 - Álgebra
10 14
15
16
17
11
12
13
Dado el conjunto A = {x ∈ R / –2 < x < 4}, se define
f: A Z / f(x) = –2x + 5. Encuentra el rango de la
función.
A Ran(f) = {–3; –2; –1; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
B Ran(f) = {–1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
C Ran(f) = {–3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
D Ran(f) = {–2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
E Ran(f) = {–4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
Si f(x) = x2 – 4x + 5 y g(x + 3) = 4x + 5, determina
el valor de M = g(f(g(2))).
.
A –1 B 2 C 3
D 1 E –2
Descubre el valor de H = 3g(5) – g(2) + 5, siendo g
una función constante, y además se cumple que:
A 18 B 20 C 21
D 25 E 17
g(–3) + 2g(4)
g(–8) – 2
= 4
Sea f(x + 4) = x2 + 4x – 5, calcula el valor de f(x).
A f(x) = x2 + 4x + 8
B f(x) = x2 – 4x – 5
C f(x) = x2 + 8x + 5
D f(x) = x2 – 8x – 10
E f(x) = x2 + 4x – 5
Nivel II
Halla la función lineal o afín que pasa por los
puntos P(6 ; –1) y Q(3 ; 5).
La gráfica de la función lineal f(x) = ax + b es como
se muestra en la figura. Encuentra el valor de ab.
y
x
4
a – 4
A 4 B 6 C 8
D 9 E 12
Observa la gráfica y determina el valor de a + b.
y
x
f(x) = y = 5
g(x) = y = –x + 2
(a ; b)
A 2 B –3 C 1
D 3 E 4
Descubre una función lineal f(x) = ax + b, tal que
f(3) = –2 y f(–3) = 4f(1).
A f(x) = –5x + 13
B f(x) = –2x + 4
C f(x) = –x + 1
D f(x) = –3x + 7
E f(x) = –4x + 10
A y = –2x + 13 B y = –2x + 20
C y = –2x + 9 D y = –2x + 11
E y = –2x + 7

192. 190
A –1 B –2 C 2
D 5 E 4
Siendo h(x) = nx – n + 6, halla h(–1) sabiendo que
la gráfica de la función h pasa por el punto (3 ; –4).
A 6 B 8 C 12
D 10 E 16
18 22
23
24
19
20
Si f(g(x)) = 12x – 13 y f(x) = 4x + 7, calcula el valor
de A = g(2) + f(–1).
Si f(x) = ax + 3, a < 0, x ∈ [1 ; 3]; además,
Ran(f) = [b ; 1], determina el valor de a + b.
La gráfica de la función f(x) = 2x + 5, no pasa por el:
A III cuadrante
B IV cuadrante
C III y IV cuadrante
D II cuadrante
E I y III cuadrante
Nivel III
Encuentra el valor de a + b + c, a partir del gráfico
de las funciones g y f.
21
A 4 B 5 C 6
D 7 E 8
y
x
f(x) = y = x + 1
(a; b)
3
g(x) = y = –3x + c
A –2 B –5 C –3
D –6 E –4
La función h se define como:
A 40 B 29 C 44
D 52 E 36
Calcula el valor de E = h(h(–2)) + h(h(–5)).
Sea el conjunto B = {x + 2 ∈ Z / –6 ≤ 2x – 3 < 4} y
la función f: B → R / y = f(x) = x2 – 8x + 6, descubre
la suma de elementos de su rango.
A –32 B –32 C –25
D –30 E –35
–2x + 2 ; x < –3
8 ; –3 ≤ x < 4
3x – 10 ; x ≥ 6
h(x) =

193. Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 4
191
Matemática Delta 2 - Álgebra
Relaciona cada inecuación con su conjunto
solución.
Determina el conjunto solución de la inecuación
x
4
+
x
3
–
x
2
> x – 11, si x es positivo.
Halla el número de valores enteros que verifican
la desigualdad.
(x – 4)(3x – 4) < 2(x – 4)
Si M = {2; 5; 2; 3; 6; 2} y N = {1; 4; 2; 1}, ¿cuántos
elementos tendrá M × N?
Si (n ; n) = (3x – 9 ; x + 7), calcula el valor de A.
A =
n
5
5
4
Luego de resolver la inecuación x2 + 1 ≤ 4x,
encuentra el mayor valor entero que puede tomar
la variable x.
1
2
3
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
6
A Ib; IIe; IIIc; IVa B Ie; IId; IIIc; IVb
C Ib; IIe; IIId; IVa D Ie; IIa; IIId; IVb
A 1 B 2
C 3 D 4
I. x2 > 9
II. x2 < 9
III. |x + 3| < 6
IV. –4x < –12
a. 〈–∞ ; 3〉
b. 〈3 ; +∞ 〉
c. 〈–9 ; 3〉
d. 〈–3 ; 3〉
e. 〈–∞ ; –3〉 ∪ 〈3 ; +∞ 〉
A 0 B 1
C 4 D 2
A 0 B 1
C 2 D 3
A 12 B 9
C 6 D 2
A [0 ; 12〉 B 〈0 ; 12]
C 〈0 ; 12〉 D [1 ; 12〉

194. 192
Indica la suma de elementos del dominio de la
función g.
g = {(5 ; a + b), (a ; 5), (3 ; 7), (5 ; b + 2), (2 ; 5)}
b
a 5
f(x) = 2x – 5
g(x) = c – 3x
7 10
11
12
9
8 Encuentra el valor de A = f(2) + f(4), siendo f una
función constante, y además se cumple que:
f(34) + 3f(26)
f(11) + 2
= 3
Calcula el valor de a + b + c, a partir del gráfico
de las funciones f y g.
Descubre el cardinal de A × B.
5
A
11
C
8
B
14
D
2
A
6
C
5
B
7
D
5
A
10
C
8
B
12
D
17
A
10
C
8
B
12
D
22
A
14
C
18
B
10
D
A = {x2 – 1 ∈ Z / –2 ≤ x ≤ 3}
B = {x ∈ Z / –2 < x < 4}
A 43 B 50
C 65 D 74
Si A = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} y R = {(a ; b) ∈ A2 / a2 – 2 < b},
halla el cardinal de R.
Sea la función f(x) = x2 + 2 y g(x + 2) = 3x – 1,
determina el valor de P = g(f(–2))

195. EL ACUERDO NACIONAL
El 22 de julio de 2002, los representantes de las
organizaciones políticas, religiosas, del Gobierno y de la
sociedad civil, firmaron el compromiso de trabajar, todos,
para conseguir el bienestar y desarrollo del país. Este
compromiso es el Acuerdo Nacional.
El Acuerdo persigue cuatro objetivos fundamentales.
Para alcanzarlos, todos los peruanos de buena voluntad
tenemos, desde el lugar que ocupemos o el rol que
desempeñemos, el deber y la responsabilidad de decidir,
ejecutar, vigilar o defender los compromisos asumidos.
Estos son tan importantes que serán respetados como
políticas permanentes para el futuro.
Por esta razón, como niños, niñas, adolescentes o
adultos, ya sea como estudiantes o trabajadores,
debemos promover y fortalecer acciones que garanticen
el cumplimiento de esos cuatro objetivos que son los
siguientes:
1. Democracia y Estado de Derecho
La justicia, la paz y el desarrollo que necesitamos los
peruanos solo se pueden dar si conseguimos una
verdadera democracia. El compromiso del Acuerdo
Nacional es garantizar una sociedad en la que los
derechos son respetados y los ciudadanos vivan
seguros y expresen con libertad sus opiniones a partir
del diálogo abierto y enriquecedor; decidiendo lo mejor
para el país.
2. Equidad y justicia social
Para poder construir nuestra democracia, es necesario
que cada una de las personas que conformamos esta
sociedad, nos sintamos parte de ella. Con este fin, el
Acuerdo promoverá el acceso a las oportunidades
económicas, sociales, culturales y políticas. Todos los
peruanos tenemos derecho a un empleo digno, a una
educación de calidad, a una salud integral, a un lugar
para vivir. Así, alcanzaremos el desarrollo pleno.
3. Competitividad del país
Para afianzar la economía, elAcuerdo se compromete
a fomentar el espíritu de competitividad en las
empresas, es decir, mejorar la calidad de los productos
y servicios, asegurar el acceso a la formalización de las
pequeñas empresas y sumar esfuerzos para fomentar
la colocación de nuestros productos en los mercados
internacionales.
4. Estado eficiente, transparente y descentralizado
Es de vital importancia que el Estado cumpla con sus
obligaciones de manera eficiente y transparente para
ponerse al servicio de todos los peruanos. El Acuerdo
se compromete a modernizar la administración pública,
desarrollar instrumentos que eliminen la corrupción o
el uso indebido del poder. Asimismo, descentralizar
el poder y la economía para asegurar que el Estado
sirva a todos los peruanos sin excepción.
Mediante el Acuerdo Nacional nos comprometemos a
desarrollar maneras de controlar el cumplimiento de
estas políticas de Estado, a brindar apoyo y difundir
constantemente sus acciones a la sociedad en general.
LEY DEL 25-02-1825 LEY DEL 25-02-1825
LOS SÍMBOLOS DE LA PATRIA
BANDERA NACIONAL ESCUDO NACIONAL

196. 2
ÁLGEBRA
Secundaria
Resuelve problemas de cantidad
La serie Matemática responde a los estándares educativos nacionales
e internacionales. Cumple con los indicadores pedagógicos actuales
establecidos por el Ministerio de Educación.
La estructura de sus contenidos posibilita el desarrollo del pensamiento
abstracto en los estudiantes del nivel secundario.
El texto responde al enfoque centrado en la Resolución de problemas,
el cual promueve y facilita que los estudiantes logren las siguientes
competencias:
Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio
Matemática
Delta