Razonamiento Matemático 2. DELTA año 2020

DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó
la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:
Artículo 1.-
Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...)
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros.
Artículo 2.-
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica,
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de
cuya jurisdicción dependa una persona (...).
Artículo 3.-
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su
persona.
Artículo 4.-
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de
esclavos están prohibidas en todas sus formas.
Artículo 5.-
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o
degradantes.
Artículo 6.-
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su
personalidad jurídica.
Artículo 7.-
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación
que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8.-
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos
fundamentales (...).
Artículo 9.-
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado.
Artículo 10.-
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier
acusación contra ella en materia penal.
Artículo 11.-
1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia
mientras no se pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional.
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de
la comisión del delito.
Artículo 12.-
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques.
Artículo 13.-
1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia
en el territorio de un Estado.
2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y
a regresar a su país.
Artículo 14.-
1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a
disfrutar de él, en cualquier país.
2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y
principios de las Naciones Unidas.
Artículo 15.-
1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a
cambiar de nacionalidad.
Artículo 16.-
1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y
fundar una familia (...).
2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá
contraerse el matrimonio.
3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho
a la protección de la sociedad y del Estado.
Artículo 17.-
1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad.
Artículo 18.-
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de
religión (...).
Artículo 19.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...).
Artículo 20.-
1. Toda persona tiene derecho a la libertad de reunión y de asociación pacíficas.
2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Artículo 21.-
1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país,
directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las
funciones públicas de su país.
3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta
voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de
celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto
u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Artículo 22.-
Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida
cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los
derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al
libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23.-
1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a
condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el
desempleo.
2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por
trabajo igual.
3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y
satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme
a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por
cualesquiera otros medios de protección social.
4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa
de sus intereses.
Artículo 24.-
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una
limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas
pagadas.
Artículo 25.-
1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así
como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el
vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios;
tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad,
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de
subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales.
Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho
a igual protección social.
Artículo 26.-
1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita,
al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La
instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional
habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual
para todos, en función de los méritos respectivos.
2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana
y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades
fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre
todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el
desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento
de la paz.
3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que
habrá de darse a sus hijos.
Artículo 27.-
1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de
la comunidad, a gozar de las artes y a participar en el progreso científico y
en los beneficios que de él resulten.
2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y
materiales que le correspondan por razón de las producciones científicas,
literarias o artísticas de que sea autora.
Artículo 28.-
Toda persona tiene derecho a que se establezca un orden social e internacional
en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan
plenamente efectivos.
Artículo 29.-
1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona
estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único
fin de asegurar el reconocimiento y el respeto de los derechos y libertades
de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden
público y del bienestar general en una sociedad democrática.
3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en
oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 30.-
Nada en esta Declaración podrá interpretarse en el sentido de que confiere
derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y
desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los
derechos y libertades proclamados en esta Declaración.

2
secundaria
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Razonamiento MatemÁtico
Matemática

Impreso en el PerÚ / Printed in Peru
La Editorial se hace responsable por el rigor
académico del contenido del texto de acuerdo con
los principios de la Ley General de Educación.
Título de la obra
® Matemática delta 2, secundaria
Razonamiento Matemático
© Derechos de autor reservados y registrados
Mauro Enrique Matto muzante
© Derechos de edición, arte y diagramación
reservados y registrados conforme a ley
delta editores s.a.c.
edición, 2020
Coordinador de área:
Mauro Enrique Matto Muzante
Diseño, diagramación y corrección:
Delta Editores s.a.c.
Ilustración general:
Banco de imágenes Delta Editores S.A.C.
Delta Editores S.A.C.
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Tels. 332 6314 332 6667
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www.eactiva.pe
Tiraje: 4500 ejemplares
Impresión:
Finishing S.A.C.
Jr. La Maquinaria 160, Chorrillos
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ISBN N.o 978-612-4354-37-3
Proyecto Editorial N.o 31501051900810
Ley N.o 28086
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú
N.o 2019-10452
PROHIBIDA
LA REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL
LEY DE LUCHA CONTRA LA PIRATERÍA LEY 28289
PUBLICADA EL 20 DE JULIO DE 2004
título vii
delitos contra los derechos intelectuales
capítulo i
delitos contra los derechos de autor
y conexos
Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la
autorización del autor.
Artículo 217.o.- Será reprimido con pena privativa de libertad no
menor de dos ni mayor de seis años y con treinta a noventa días-multa,
el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística,
un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una
grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier
forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y
escrita del autor o titular de los derechos:
a. La modifique total o parcialmente.
b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público.
c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios
o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho.
d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el
autorizado por escrito.
La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con
sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total
o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución
se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma
de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o
producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias,
en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior
importe cada uno.

Conoce tu libro
En esta sección
se encuentra la
teoría del tema
a desarrollar.
Tema
29
MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
4
Recu erda
Cuadrados mágicos
Definición
Es una distribución numérica de forma cuadrada en la que los números ubicados en la
misma fila, columna o diagonal principal suman lo mismo.
La suma que se repite en todas las direcciones se le conoce como constante mágica.
1
3
2
1
15
15
15
15
15
15 15 15
2 7 6
9 5 1
4 3 8
Métodos de resolución
Para aquellos cuadrados mágicos que son llenados con números que están en
progresión aritmética existen métodos prácticos para solucionarlos.
Cuadrado mágico de 3 × 3
Para resolver un cuadrado mágico de 3 × 3 con números en progresión aritmética, por
ejemplo los números del 1 al 9, lo primero que se debe hacer es colocar un cuadrado
más en la parte exterior y central de cada uno de sus lados.
Ahora se empezará a llenar en dirección diagonal comenzando por cualquiera de los
cuadrados agregados.
En este caso se empezará por llenar desde el cuadrado ubicado en la parte izquierda y
se completará en forma diagonal hacia arriba ( ).
* Los números que
están en progresión
aritmética se
reconocen porque
tienen una razón
aritmética constante
(r).
Por ejemplo:
7; 11; 15; 19; ...
31; 38; 45; 52; ...
* El término
enésimo (Tn) de
una progresión
aritmética se halla
con la fórmula:
Tn = T1 + r(n – 1)
* Un conjunto
de números
consecutivos están
en progresión
aritmética cuya
razón es 1.
4 ; 5 ; 6 ; 7 ; ...
* Las diagonales
truncas son
aquellas que se
encuentran partidas
en la distribución.
4
7
4
7
4
7
9 + 7 + 8
3 + 1 + 2
1 + 7 + 4
9 + 3 + 6
2 7 6
9 5 1
4 3 8
+1 +1 +1
92
Ejercicios resueltos
La edad que tenía Roxana hace 17 años era 15 años.
¿Cuántos años tiene Roxana?
Solución:
pasado
presente
x – 17
x
Hace 17 años
x – 17 = 15
x = 15 + 17
x = 32
Rpta. Roxana tiene 32 años.
Rpta. Óscar tenía 14 años.
Rpta. Lourdes tiene 46 años.
La edad que tendrá Óscar dentro de 9 años será
36 años. ¿Cuál era la edad de Óscar hace 13 años?
presente
futuro
x
x + 9
dentro de 9 años
x + 9 = 36
x = 36 – 9
x = 27
Hace 13 años: 27 – 13 = 14
Sara dice: «Dentro de 25 años mi edad será
6 veces la edad que tenía hace 15 años». Si la
edad de Lourdes es el doble de la edad de Sara,
¿cuántos años tiene Lourdes?
Solución:
pasado
presente
futuro
x – 15
x
x + 25
–15
x + 25 = 6(x – 15)
x + 25 = 6x – 90
115 = 5x
x = 23
Lourdes = 23(2) = 46 años
+25
La edad que tendrá Luis dentro de 28 años será
el triple de la edad que tenía hace 20 años. ¿Qué
edad tendrá Luis dentro de 6 años?
Solución:
pasado
presente
futuro
x – 20
x
x + 28
–20
x + 28 = 3(x – 20)
x + 28 = 3x – 60
88 = 2x
x = 44
Dentro de 6 años = 44 + 6 = 50
+28
Hace 12 años Alejandra tenía la cuarta parte de
la edad que tendrá dentro de 27 años. ¿Cuántos
años tenía Alejandra hace 9 años?
pasado
presente
futuro
x – 12
x
x + 27
–12
x – 12 = x + 27
4
4x – 48 = x + 27
3x = 75
x = 25
Hace 9 años = 25 – 9 = 16
+27
Hace 8 años Maruja tenía
3
5 de la edad que tendrá
dentro de 12 años. ¿Cuántos años faltan para
que Maruja tenga el doble de la edad que tuvo
hace 10 años?
pasado
presente
futuro
x – 8
x
x + 12
–8
+12
x – 8 =
3
5 (x + 12)
5x – 40 = 3x + 36
2x = 76
x = 38
El doble de hace 10 años = 2(28) = 56
Falta: 56 – 38 = 18
Solución:
Solución:
Solución:
Rpta. Luis tendrá 50 años.
Rpta. Alejandra tenía 16 años.
Rpta. Le faltan 18 años.
1
4
2
3
5
6
Para una mejor
organización,
se ha enumerado
cada tema.
Enunciado
del problema
Título del tema
Comentarios
que refuerzan
el desarrollo
del tema.
Algoritmo de resolución
Folio
Ejemplos desarrollados,
en los que se explica
didácticamente los
pasos a ejecutar para
hallar la respuesta.
Contenido teórico

Conoce tu libro
Aquí encontrarás
ejercicios planteados,
los cuales resolverás en
los espacios señalados
siguiendo las indicaciones
del docente.
25
MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
1
2
4
3 6
5
Ejercicios de aplicación
halla el número de triángulos en la siguiente
figura.
Encuentra el número de triángulos en la siguiente
figura.
Calcula el número de cuadriláteros en la siguiente
figura.
Indica el número de cuadriláteros en la siguiente
figura.
Determina el número de cuadriláteros en la
siguiente figura.
halla el número de segmentos en la siguiente
figura.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
1
2
3
4
1
2
3
4
5
44
Practica y demuestra
Encuentra el valor de x en la analogía.
2 (17) 3
5 (141) 4
6 (x) 7
Halla el valor de x en la analogía.
80 (23) 34
68 (29) 10
14
(x) 6
Calcula el valor de x en la analogía.
124
(38) 56
27 (18) 41
87
(x) 26
Determina el valor de x en la analogía.
89 (75) 31
45 (27) 17
62
(x) 76
81 (45) 25
64 (80) 100
121
(x) 9
4 (256) 4
5 (25) 2
7 (x) 3
Determina el valor de x en la distribución.
48
8 4
x
14 9
72
11 7
Encuentra el valor de x en la distribución.
7 8
5
2 3
10 2
22
9 4
6 15
x
3 20
Halla el valor de x en la distribución.
8
4
3
2
32 19
21
8
16
x
13
6
3
1
45
8 16
12
20
x
10 17
11
Calcula el valor de x en la distribución.
100
2
5
4
x
2
10
5
216
3
2
6
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
2 5
11
383
191
95 x
23
1
7
2
8
3
9
4
10
5
11
6
12
Enunciado
del problema
Espacio para resolver
el problema
En este espacio se ha
planteado algunos
problemas, los mismos
que tendrás que resolver
considerando el proceso
seguido anteriormente.
Nombre de
la sección
Nombre de
la sección

Índice
1
N.o de tema
3
2
4
5
7
6
8
9
11
10
12
Resuelve
problemas de
cantidad
Resuelve
problemas de
regularidad,
equivalencia
y cambio
Resuelve
problemas de
movimiento,
forma y
localización
Resuelve
problemas
de gestión
de datos e
incertidumbre
Orden de información I 6
- Ordenamiento lineal
- Tipos de ordenamiento lineal
Conteo de figuras 21
- Conteo simple
- Conteo inductivo
Fracciones 45
- Definiciones
- Operaciones con fracciones
Orden de información II y III 13
- Ordenamiento circular
- Test de decisiones
Analogías y distribuciones numéricas 37
- Analogías numéricas
- Distribuciones numéricas
Cuadrados mágicos 29
- Definición
- Métodos de resolución
Ecuaciones de primer y segundo grado 52
- Ecuación y solución de una ecuación
- Ecuaciones de primer grado
- Ecuaciones de segundo grado
Sucesiones 67
- Sucesiones numéricas
- Sucesiones literales (alfabéticas)
Operaciones matemáticas 82
- Operador matemático
- Operaciones matemáticas arbitrarias
Planteo de ecuaciones 60
- Enunciado y ecuación
- Ejemplos de planteo de ecuación
Series notables 74
- Serie
- Series y sumas notables
Problemas sobre edades 90
- Problemas con un solo sujeto
- Problemas con dos o más sujetos
Competencias Contenido pedagógico

6
Tema
Orden de información I
1
Ordenamiento lineal
Este ordenamiento se aplica en situaciones en que el problema presenta una
característica en común de un grupo de objetos, animales o personas. Dicha
característica común puede hacer referencia a la edad, estatura, posición que ocupan
los elementos, antigüedad de los objetos, entre otras. El objetivo es ordenarlos en
función de la información que se dé en el enunciado.
Los tipos de ordenamiento lineales son tres: Ordenamiento lineal comparativo,
ordenamiento lineal por posición fija y ordenamiento lineal por planteamiento.
Ordenamiento lineal comparativo
Losdatossebasanenlacomparacióndeloselementossegúnunadesuscaracterísticas.
Ejemplo:
José, Liam, César y Elio son alumnos del 2.° B de secundaria. Si se sabe que José es
más bajo que Elio, César es más alto que Liam y José es más alto que César, indica
quién es el más bajo de ellos.
Ordenamiento lineal por posición fija
Los datos, en este tipo de ordenamiento, se basan en la posición de los elementos y
la comparación del mismo tomando un punto de referencia. Este ordenamiento puede
ser horizontal o vertical.
Al tener el esquema principal, se puede responder la pregunta planteada.
Rpta. El más bajo de ellos es Liam.
Horizontal
Se produce cuando el conjunto de elementos se ubican uno al lado del otro.
Ejemplo:
Pilar, Emma, Cielo y Ana se ubican en cuatro sillas contiguas. Si Pilar está junto a Cielo
y Ana, Emma se sienta al extremo derecho y Cielo está a la derecha de Ana, ¿quién se
sienta en el tercer asiento contando desde la izquierda?
Resolución:
Después de leer los datos, se hace la
representación gráfica.
Dato 1:
Cielo y Ana pueden cambiar de lugar
Cielo Pilar Ana
Izquierda ↔ Derecha
Izquierda ↔ Derecha
Siniestra ↔ Diestra
Oeste
↔ Este
Ricardo Sandra
→
Interpretación
de datos
Jorge está junto
y a la derecha de
Carlos.
Juan está a la
derecha de Raúl.
Mario está junto a
Nancy y Óscar.
*
*
*
Miguel está entre
Nelly y Pablo.
*
Ricardo está a la
izquierda inmediata
de Sandra.
*
Luis se encuentra en
un lugar equidistante
de Pedro y Hugo.
*
Nancy M Óscar
Pedro ... Luis ... Hugo
x x
Nelly ... Miguel ... Pablo
Recuerda
Carlos
Raúl Juan
Jorge
Resolución:
Después de leer los datos, se procede a
representar la información de la siguiente
forma:
Luego, se une toda la información en un
solo esquema el que será el esquema
principal.
Altura
+
–
Altura
+
–
Dato 1
José
Elio
Dato 2
Liam
César
Dato 3
César
José
Elio
César
José
Liam

7
Matemática Delta 2 - Razonamiento Matemático
Interpretación
de datos
Vertical
Se produce cuando los elementos están ubicados uno encima o debajo de otro.
Por ejemplo:
En un edificio de 5 pisos, Paolo vive en un piso adyacente al de Claudio y Miguel, y Juan
vive cuatro pisos arriba de Agustín; determina cuántos ordenamientos se pueden generar.
Resolución:
Dato 2:
Dato 3:
Ana Cielo
Luego, unimos toda la información en un
solo esquema.
Finalmente, se da respuesta a la pregunta
planteada.
Rpta. En el tercer asiento, contando desde la izquierda, está sentada Cielo.
Cielo
Pilar
Ana Emma
Emma
Beatriz no es mayor
que Camilo.
David no llegó antes
que Elena.
Mauricio está dos
lugares a la derecha
de Milagros.
Geraldine está tres
lugares a la izquierda
de Elizabeth.
Roberto es mayor
que Juan y Alex.
Quiere decir que
Beatriz es menor o
igual que Camilo.
Quiere decir que
David llegó después
o al mismo tiempo
que Elena.
*
*
*
*
*
Camilo
Beatriz
(=)
Elena David
(=)
Milagros Mauricio
1 2
Geraldine Elizabeth
3 2 1
Roberto
Juan Alex
Dato 1:
Claudio y Miguel
pueden cambiar
de lugar.
Claudio
Paolo
Miguel
Dato 2:
La única forma que se cumpla esta
condición es que Juan viva en el 5.° piso
y Agustín en el 1.°.
Finalmente, observaremos que de
acuerdo al gráfico, se pueden generar
dos ordenamientos.
Claudio y Miguel
pueden cambiar
de lugar.
Juan
Claudio
Paolo
Miguel
Agustín
Al unir toda la información lograremos
formar el esquema principal.
Ordenamiento lineal por planteamiento
Los datos se basan en la comparación precisa entre los elementos del problema.
Ejemplo:
En un salón de clases se distribuyeron a los alumnos en cuatro grupos diferentes,
llamados A, B, C y D. Con respecto a los grupos, se sabe lo siguiente:
• El grupo A tiene dos integrantes más que el grupo B, pero uno menos que el grupo C.
(DATO 1)
• El grupo D tiene tres integrantes más que el grupo C. (DATO 2)
Ordena los grupos de manera decreciente tomando en cuenta el número de sus
integrantes.
A: «X» integrantes
B: «X – 2» integrantes
C: «X + 1» integrantes
C: «X + 1» integrantes
D: «X + 4» integrantes
Resolución:
Luego de la lectura de los datos, se procede a representar la información de la siguiente
manera:
Teniendo en cuenta el planteamiento realizado se puede proceder a responder la
pregunta del problema.
Rpta. Ordenados de manera decreciente: D – C – A – B.
Dato 1: Dato 2:
+1 +3
+2

8
4
5
6
2
3
1 En cierto examen Milagros obtuvo menos puntaje
que Elizabeth, Rosario menos que Geraldine,
Maira el mismo puntaje que Carmen; Milagros
más que Consuelo; Rosario el mismo puntaje que
Elizabeth, y Maira más que Geraldine. ¿Quién
obtuvo menos puntaje?
Se tiene una casa de cuatro pisos, y en cada piso
vive una familia; la familia Díaz vive un piso más
arriba que la familia Moyano. La familia Noriega
habita más arriba que la familia García y la familia
Díaz más abajo que la familia García. ¿En qué
piso viven los Díaz?
6 mujeres participaron en una carrera,
obteniéndose los siguientes resultados:
• Alicia no llegó en un lugar impar.
• Kathy llegó equidistante a Fabiola y a Betty,
quien llegó en último lugar.
• Elsa deberá entrenar más si desea obtener el
primer puesto.
¿En qué puestos llegaron Dora y Fabiola,
respectivamente?
5 amigos viven en un edificio de 5 pisos, cada uno
de ellos es un piso diferente.
• Juan vive un piso arriba de Mateo.
• Joel vive muy distanciado de Pedro.
• Joel no puede subir por las escaleras, debido a
esto vive en el primer piso.
• Lucas quisiera vivir en el cuarto piso.
Indica qué afirmaciones son ciertas.
I. Pedro vive en el cuarto piso.
II. Lucas vive en el segundo piso.
III. Juan y Lucas viven en pisos contiguos.
Javier tiene menos dinero que Mirta y esta menos
que Elías. Dora tiene más dinero que Javier pero
menos que Elías. Paolo y Liz tienen la misma
cantidad de dinero, y ambos menos que Dora.
Determina qué afirmaciones son verdaderas.
I. Elías tiene más dinero que Paolo.
II. Javier tiene más dinero que Elías.
III. Liz tiene más dinero que Dora.
De 6 amigas de un grupo de baile, se conoce que
Isabel es menor que Giovanna y Fiorella, Soledad
es menor que Romina. Soledad no es la menor e
Isabel es mayor que Rocío y Romina. Señala el
valor de verdad de cada afirmación.
I. Isabel es menor que Soledad.
II. Giovanna es mayor que Rocío.
III. Fiorella no es mayor que Soledad.
Rpta. Consuelo obtuvo menos puntaje.
Maira = Carmen
Geraldine
Elizabeth = Rosario
Milagros
Consuelo
Rpta. Los Díaz viven en el 2.° piso.
Rpta. I. Falso
II. Verdadero
III. Falso
4.° Noriega
3.er García
2.° Díaz
1.er Moyano
Rpta. 1.° y 4.°
Rpta. Solo la segunda afirmación es cierta.
Giovanna Fiorella
Isabel
Romina
Soledad
Rocío
Elías
Mirta Dora
Javier Paolo = Liz
I. Verdadero
II. Falso
III. Falso
Rpta. Solo la primera afirmación es verdadera.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
I. Falso
II. Verdadero
III. Falso
5.° Pedro
4.° Juan
3.° Mateo
2.° Lucas
1.° Joel
Dora Alicia Elsa Fabiola Kathy Betty
1.° 2.° 3.° 4.° 5.° 6.°

9
7 10
11
12
8
9
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Luis : x → 17
Enrique : x + 1 → 18
Esteban : x + 2 → 19
José : x + 3 → 20
Roberto : x – 2 → 15
Sobre las edades de cinco primos, se sabe que:
• Luis tiene un año menos que Enrique.
• Enrique tiene un año menos que Esteban.
• José tiene dos años más que Enrique.
• Luis tiene dos años más que Roberto.
Si se sabe que Enrique acaba de cumplir la
mayoría de edad. ¿Cuáles de los cinco primos
son menores de edad?
Sobre una mesa hay una cartuchera, un canguro
y una mochila.
Si sabemos que:
• A la izquierda del canguro hay una cartuchera.
• A la derecha de la mochila está el artículo de
color azul.
• A la izquierda del que es de color azul está el
verde.
• A la derecha del artículo rojo hay una mochila.
¿Qué objeto está a la derecha de todos?
En una fila de 7 asientos, se sientan 5 amigos,
pero no se sientan juntos dos del mismo género.
Luana se sienta en uno de los extremos de la
fila, entre Vania y Elsa hay un asiento vacío,
Adán está cuatro asientos a la derecha de Luis.
Los asientos vacíos están separados por dos
asientos. Si contamos de izquierda a derecha,
¿en qué asiento se encuentra Vania?
Un choque en cadena de 6 carros es originado
por una imprudente parada de Susana quien
tiene carro azul. El auto blanco de Paola está
adyacente al de Carla y Bárbara. Vanessa no
tiene carro azul y chocó a Carla. Un carro rojo
chocó a Vanessa.
Se sabe que hay 2 carros rojos, 2 azules, uno
blanco y uno verde, y que 2 autos del mismo color
no chocaron.
¿De qué color es el tercer auto que choca y cómo
se llama la persona que lo maneja?
Cinco personas rinden un examen. Se sabe que:
• Beatriz obtuvo un punto más que Dana.
• Dana obtuvo un punto más que Carmela.
• Estela obtuvo dos puntos menos que Dana.
• Beatriz obtuvo dos puntos menos que Alondra.
Ordénalos en forma creciente, según las notas
que obtuvieron en el examen:
Enunacarreraparticipan6personas,obteniéndose
los siguientes resultados:
• Aarón no llegó en un lugar impar.
• Carlos llegó equidistante a Enrique y a Bruno,
quien llegó en último lugar.
• Juan no pudo obtener el primer puesto.
¿En qué puestos llegaron Kevin y Enrique,
respectivamente?
Rpta. Roberto y Luis son menores de edad.
Edad
Beatriz : x + 1
Dana : x
Carmela : x – 1
Estela : x – 2
Alondra : x + 3
Rpta. De manera creciente: Estela, Carmela,
Dana, Beatriz y Alondra.
Rpta. Kevin llegó 1.° y Enrique llegó 4.°.
Rpta. A la derecha de todos está el canguro.
Rpta. Vania se encuentra en el tercer asiento.
cartuchera mochila canguro
roja verde azul
Rpta. El tercer auto que choca es el de Carla y es
azul.
Kevin
1.°
Juan
3.°
Carlos
5.°
Bruno
6.°
Enrique
4.°
Aarón
2.°
Susana Bárbara Paola Carla Vanessa
azul rojo blanco azul verde rojo
1.° 2.° 3.°
1.° 2.° 3.° 4.° 5.° 6.° 7.°
Vacío
Luis
Vania
Vacío
Elsa
Adán
Luana

10
Rpta.
Rpta.
1 4
2
3
5
6
Rpta.
En un grupo de 4 amigas, Beatriz es más alta que
Rosemary, Amanda es más baja que Gladys y
Beatriz es más baja que Amanda. ¿Quién es la
más alta?
Julio tiene 4 hijos; de ellos, se sabe que Luis
es menor que Edgar pero mayor que Gabriel y
Javier. Si Javier es menor que Gabriel, ¿quién es
el mayor de los hijos de Julio?
En un grupo de 5 primos, Juan es menor que
Sheylla y Erick mayor que Guillermo. Además,
Alex es mayor Erick y Guillermo mayor que
Sheylla.
Según esta información, indica quién es el mayor
de todos los primos, y quién el menor.
En un edificio viven 4 amigos en pisos diferentes.
Se sabe que:
• Jorge vive un piso debajo de Héctor.
• Luis utiliza silla de ruedas, por eso está contento
viviendo en el primer piso.
• Carlos vive un piso abajo de Jorge.
¿Quién vive en el segundo piso y quién en el
tercero?
En una evaluación, Ericka obtuvo más puntos que
Flavia; Ana el mismo puntaje que Lidia; Brenda el
mismo puntaje que Flavia y María más que Ana.
Además, Brenda obtuvo más que María y Zara
más que Ericka. ¿Quién obtuvo el mayor puntaje?
Rpta.
Rpta.
Juana, Noemí y Pilar viven en un edificio de 5 pisos.
Sabiendo que Juana vive más arriba que Pilar y que
Noemí, y adyacente a los dos pisos vacíos, ¿qué
afirmación es correcta?
I. Juana vive en el tercer piso.
II. Pilar vive en el primer piso.
III. El cuarto piso está vacío.
IV. Noemí vive más arriba que Pilar.
V. Juana vive en el cuarto piso.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:

11
De las profesoras de Matemática, se sabe que
Paola es mayor que Julia, pero menor que Linda,
Rocío es menor que Paola, pero mayor que Teresa,
Juana es mayor que Paola y Linda es mayor que
María. ¿Qué afirmación es correcta?
a) No es cierto que Juana sea mayor que Teresa.
b) Juana es mayor que Linda.
c) Linda es mayor que Teresa.
d) Rocío es menor que Julia.
e) Más de una es correcta.
En una evaluación, Luz obtuvo el mismo puntaje
que Cecilia, Andrea más que Celia, Rita obtuvo
menos puntaje que Cecilia y más que Justa. Si
Luz obtuvo menos que Celia y Andrea el mismo
que Sofía, ¿quién obtuvo el menor puntaje?
Seis amigos asistieron a un teatro y se sentaron
en una fila de asientos; se sabe que Ada está a
la derecha de Nilda, entre Ezio y Sara; Nilda está
junto y a la izquierda de Dora y a la derecha de
Ezio, y Sara está junto y a la izquierda de Luis.
¿Quién está en el extremo izquierdo?
Cinco amigos van al circo y se sientan en 7 asientos
contiguos. Se observa que Rubén está entre Juan
y Liz, Juan es esposo de Sonia y está sentado
junto y a la derecha de Félix, Sonia está sentada
en el extremo derecho. Si se sabe que Rubén está
junto a los dos lugares vacíos y los esposos se
sientan juntos, indica quién se sienta en el extremo
izquierdo.
Al terminar un examen, 5 jóvenes compararon el
puntaje obtenido; Berta obtuvo un punto más que
Dina, quien obtuvo un punto más que Hernán.
Si Manuel obtuvo dos puntos menos que Dina y
Dina tres puntos menos que Inés, ¿quién obtuvo
el mayor puntaje?
Sobre las edades de cinco amigas, Flavia tiene
dos años más que Delia, Rita tiene dos años más
que Lía, Delia tiene un año menos que Ruth y Rita
tiene un año menos que Delia. Si se sabe que
Ruth acaba de cumplir la mayoría de edad, indica
cuáles de ellas son menores de edad.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
7 10
11
12
8
9

12
1 6
7
8
10
9
2
3
4
De cinco jóvenes, se sabe que Pablo es mayor
que Hernán, pero menor que Luz, Luisa es menor
que Fanny y esta menor que Hernán. ¿Quién es
el mayor de ellos?
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
La ciudad de Junín está ubicada al este de Ica.
Cerro de Pasco al oeste de Pucallpa. Ica a su vez
está ubicado al oeste de Cerro de Pasco. ¿Cuál
es la ciudad ubicada al oeste de las demás?
Seis amigos viven en un edificio, cada uno en un
piso diferente. Carlos vive más abajo que Bica,
pero más arriba que David. Franco vive tres pisos
más abajo que Carlos. Andrés vive dos pisos
más arriba que Carlos y a cuatro pisos de Enzo.
¿Quién vive en el tercer piso?
En un edificio de 5 pisos, viven 5 amigas en pisos
diferentes. Nora vive arriba de Mayra y Noemí, pero
debajo de Gina, y Dora vive un piso arriba de Gina,
que vive en el cuarto piso. Si Noemí vive a dos pisos
de Nora, indica quién vive en el segundo piso.
El colegio Sigma realiza 5 actividades (G, H, I, J y
K) por motivo de su aniversario, una por día. Si H
se realiza después de J, I se realiza 2 días después
de G y J se realiza jueves o viernes. Sabiendo que
dichas actividades se realizan de lunes a viernes,
¿qué actividad se realiza el martes?
En una carrera participan 6 autos de distintos
colores. El auto azul llegó antes que el blanco, pero
dos puestos después que el auto negro. El auto
verde llegó inmediatamente después que el blanco,
pero antes que el morado. Si se sabe que el otro
auto es rojo, ¿qué auto llegó en primer lugar?
En una carrera de natación, al término de la
misma, Adán no llegó antes que Bruno, Carlos
llegó en tercer lugar y Daniel llegó antes que
Bruno, pero después que Enrique. Si se sabe que
no hubo empates, ¿quiénes llegaron en primer y
cuarto puesto, respectivamente?
En el momento de la llegada del Grand Prix, un
reportero anotó los siguientes resultados:
• Toyota llegó antes que Mazda y después que
Renault.
• Renault llegó después de Ferrari y este después
de Ford.
• Mercedes llegó antes que Ferrari.
¿Qué autos pudieron llegar primero?
Cinco primos: Francisco, Sebastián, Adrián,
Sandra y Kiara se sientan en una misma fila de
seis butacas juntas de un cine. Se sabe que:
• Sebastián no se sienta junto a Sandra, pero hay
una persona sentada en cada uno de sus lados.
• Kiara, se sienta en uno de los extremos de la fila.
• Adrián se sienta 3 butacas a la izquierda de Kiara.
• Hay dos butacas entre Francisco y la butaca vacía.
• Sandra se sienta al extremo opuesto de donde
está sentada Kiara.
¿Qué asiento, a partir de donde está Kiara, está
vacío?
Cinco personas: Javier, Braulio, René, Lisa y Ana
trabajan en un edificio de 6 pisos cada uno en un
piso diferente. Se sabe que:
• Javier trabaja un piso adyacente al que trabajan
Braulio y René.
• Lisa trabaja en el quinto piso.
• Adyacente y debajo de Braulio hay un piso vacío.
¿Quiénes trabajan en el cuarto y sexto piso,
respectivamente?
Rpta.
5

Tema
13
2
Ordenamiento circular
Es aquel tipo de ordenamiento que se aplica en aquellas situaciones en las cuales
el problema presenta un conjunto de objetos, animales o personas que se ubican
alrededor de otra, siendo el caso más común un grupo de personas alrededor de una
mesa.
Test de decisiones
Este tipo de problemas se caracteriza porque se brinda una serie de datos relacionados
entre sí cada uno con otro.
Para resolverlos es recomendable construir una tabla en la cual se relacionen los datos
proporcionados marcando las relaciones correctas. Cabe recordar que a veces no es
necesario llenar toda la tabla para responder ciertas preguntas.
Ejemplo:
Tres amigas, Juana, Luisa y Carla, comentan sobre el color del polo que lleva puesto
cada una de ellas.
- Juana dice: «Mi polo no es rojo ni azul como los de ustedes».
- Carla dice: «Me gustaría tener un polo verde como el tuyo».
- Luisa dice: «Me gusta mi polo rojo».
Al tener estas distribuciones se logra visualizar unas flechas rojas en aquellas situaciones
en la que la cantidad de elementos a distribuir sea par. Estas flechas indican que un
elemento se encuentra frente a otro, es decir, diametralmente opuesto a otro.
Al momento de trabajar un ordenamiento circular se debe tomar en cuenta lo siguiente:
• ¿Qué letra está junto y a la derecha de H? C
• ¿Qué letra está a la izquierda inmediata de D? A
• ¿Qué letras están a la derecha de F? A, D y E
• ¿Qué letras están a la izquierda de B? G, E y D
• ¿Qué letras están adyacentes a E? G y D
• ¿Qué letra es adyacente común a F y D? A
• ¿Qué letra está diametralmente opuesta a H? D
• ¿Qué letra está frente a C? E
Distribución simétrica
A todos los elementos les toca el mismo espacio para ubicarse.
Dos lugares Tres lugares
Seis lugares Ocho lugares
Cuatro lugares
Cinco lugares
A F
C
D
H
E
B
G
D
e
r
e
c
h
a
I
z
q
u
i
e
r
d
a
* Simétricamente
distribuidos: igual
espacio para todos
los lugares.
* Diametralmente
opuesto: al frente.
* Para resolver los
problemas de
ordenamiento
circular:
1. Siempre debes
empezar con aquel
dato que te dé la
mayor cantidad
de información o
con el que te dé la
posición fija de uno
o más elementos
del ordenamiento:
Ejemplos:
• Jorge está a la
derecha de
Luís. û
• Mario está tres
lugares a la
izquierda de
Ricardo. ü
• Alberto está
junto con
Manuel. û
• Jean está
junto a Carlos
y David. ü
2. Jamás debes
empezar por un
dato que tenga una
negación:
Ejemplo:
• Raúl no
está sentado
junto a Sara. û
Este tipo de dato se
deja para completar
al final.
a)
b)
Orden de información ii y III
Recuerda

14
* Al momento de
colocar los datos no
interesa el orden en
que se colocan.
* Al colocar un √
(check) en cualquier
recuadro se debe
llenar el resto de
su fila y su columna
con x (aspa).
* Existen dos tipos de
datos.
a) Datos directos:
• Gael es
ingeniero.
• A Daniela le
gusta el color
rojo.
b) Datos para
descartar:
• Jorge es
hermano del
ingeniero.
(Por tanto
él no es
ingeniero)
• A Franco no le
gusta el color
rojo.
* Al momento de
llenar la tabla se
debe empezar con
los datos directos,
luego de agotar
este tipo de datos
recién se empieza
a trabajar con
los datos para
descartar.
Color
n
o
m
b
r
e
s
Nombres
c
o
l
o
r
Recuerda Resolución:
Primero construimos un cuadro con todas las posibilidades.
Primer dato: Como Juana no usa polo rojo ni azul, entonces usa polo verde.
Tercer dato: Luisa tiene polo rojo.
Por lo tanto:
Juana → Verde
Luisa → Rojo
Carla → Azul
Para resolver este tipo de problemas se debe tomar en cuenta lo siguiente:
• La información que se brinda en el problema no se va a encontrar ordenada
necesariamente, es por esto que se debe leer muy bien cada uno de los datos
que den y saber elegir el dato que se utilizará al inicio.
• Los criterios que se debe considerar al momento de elegir el dato con el cual se
va a empezar son dos, en primer lugar la cantidad de información que brinda ese
dato y en segundo lugar la precisión que pueda dar con respecto a la posición de
uno o más elementos a considerar en el ordenamiento.
• Es muy útil que se utilice un esquema para la resolución de este tipo de problemas,
reconociendo que existen distintos tipos de esquemas y se debe aprender a
reconocer los diferentes planteamientos según la naturaleza del problema.
• Luego de plantear el esquema es importante que se verifique que todo lo
planteado cumple con las condiciones que dieron en el problema.
Azul Rojo Verde
Juana
Luisa
Carla
Azul Rojo Verde
Juana X X 
Luisa X
Carla X
Azul Rojo Verde
Juana X X 
Luisa X  X
Carla  X X
¿Qué color de polo tiene cada una?

15
5
6
Cuatro amigos: Ángel, Franco, Jean y Guillermo
se sientan alrededor de una mesa circular.
Franco está sentado frente a Jean; Ángel está a
la izquierda de Jean. ¿Quiénes se sientan junto a
Guillermo?
Seis amigos se sientan, simétricamente, alrededor
de una mesa redonda. Pedro no está sentado al
lado de Elena ni de Lupe, Fanny no está al lado
de Juan ni de Elena, y Jasón está junto y a la
derecha de Elena. Indica quién está sentado junto
y a la izquierda de Juan, si se sabe que no está al
lado de Elena ni de Lupe.
Tres niños y tres niñas se sientan alrededor de una
mesa hexagonal, de tal manera que dos personas
del mismo sexo no se sientan juntas. ¿Cuál de las
siguientes afirmaciones son verdaderas?
I. Sara no se sienta frente a Ada.
II. Eva no se sienta frente a Elías.
III. Carlos no se sienta frente a Bruno.
Resolución:
Alrededor de una mesa redonda se sientan
simétricamente 8 amigos; tal que, Elio está
opuesto diametralmente a Arturo y junto a Bill y
Fabio. Camilo está junto y a la izquierda de Arturo
y diametralmente opuesto a Fabio. Bill está frente
a Leo, quien a su vez está junto y a la izquierda
de Sam. ¿Quién está frente a Dan?
Cuatro niñas están jugando con sus juguetes
preferidos alrededor de una mesa cuadrada.
Si Denis tiene la muñeca, Cintia está a la derecha
de la que tiene la pelota, Lili está frente a María;
el rompecabezas está a la izquierda del peluche,
María no tiene la pelota. Señala la verdad o
falsedad de las siguientes afirmaciones:
I. María tiene el rompecabezas.
II. Denis tiene el peluche.
III. Lili tiene la pelota.
Seis amigos: Augusto, Bruno, Carlos, Dante,
Eugenio y Fausto se sientan alrededor de una
mesa circular con seis asientos distribuidos
simétricamente. Si se sabe que:
• Augusto se sienta a la derecha inmediata de
Bruno y diametralmente opuesto a Carlos.
• Dante no se sienta junto a Bruno.
• Eugenio no se sienta junto a Carlos.
¿Junto a quiénes se sienta Fausto?
Rpta. Franco y Jean se sientan junto a Guillermo.
Rpta. Jasón está sentado junto y a la izquierda
de Juan.
Rpta. Frente a Dan se encuentra Sam.
Rpta. Fausto está junto a Carlos y Bruno.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta. I. F II. F III. V
Franco
Ángel
Guillermo
Jean
Cintia
(rompecabezas)
(peluche)
María
Denis
(muñeca)
Lili
(pelota)
C
B
D
F
E
A
Fanny
Elena
Pedro
Jasón
Juan
Lupe
H
H
M
M
H
M
Sam
Fabio Arturo
Elio Camilo
Bill
Leo
Dan
2
3
1 4
Rpta. Son verdaderas I y III

16
7 9
10
8 Cuatro amigas: Sandra, Lucía, Patricia y Carmen
salen de compras, y se sabe que cada una quiere
comprar una prenda distinta: un par de zapatos,
una blusa, un vestido y un par de guantes.
Además se tiene la información de que:
• Sandra no necesita zapatos, por lo cual no los
compra.
• Lucía comprará un vestido nuevo.
• Patricia le aconseja a Carmen sobre el color de
guantes que se va a comprar.
¿Quién comprará los zapatos?
Mi abuelita tiene tres mascotas: un perro, una
paloma y una tortuga, cada mascota tiene nombre:
Hugo, Paco y Luis, no necesariamente en ese
orden. Si se sabe que a Hugo le gusta el alpiste y
que Luis no ladra, indica el nombre del perro.
• A Hugo le gusta el alpiste.
∴ Australia – Informática
por Literatura
• Luis no ladra.
Roberto, Javier, Pedro y Beto tienen diferentes
ocupaciones y se sabe que:
• Roberto y el gasfitero son amigos del mecánico.
• El comerciante es familia de Beto.
• El pintor es muy amigo de Pedro y del mecánico.
• Roberto es comerciante.
¿Cuál es la ocupación de Javier?
Mary, Lucía y Sofía viven en tres países diferentes:
Italia, Colombia y Australia; cada una estudia
una carrera distinta: Veterinaria, Literatura e
Informática.
Si se sabe que:
• Mary no es americana.
• A Lucía le gustaría conocer la tierra de los
canguros.
• La colombiana no estudia Literatura.
• La que vive en Australia estudia Informática.
• Sofía no es italiana y estudia Veterinaria.
¿En qué país vive Lucía y qué estudia?
Rpta. Patricia comprará los zapatos.
Rpta. El nombre del perro es Paco.
zapatos blusa vestido guantes
Sandra X  X X
Lucía X X  X
Patricia  X X X
Carmen X X X 
Rpta. Javier es mecánico.
Rpta. Lucía vive en Italia y estudia Literatura.
gasfitero mecánico comerciante pintor
Roberto X X  X
Javier X  X X
Pedro  X X X
Beto X X X 
perro paloma tortuga
Hugo X  X
Paco X
Luis X
Mary Sofía Lucía
Australia Colombia Italia
Informática Veterinaria Literatura
perro paloma tortuga
Hugo X  X
Paco  X X
Luis X X 
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Beto es familiar de Roberto, por lo tanto no lo hace
su amigo y eso lo deja como pintor, de acuerdo a
la información dada.

17
1 3
4
2 Cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa
redonda en la que hay cuatro sillas distribuidas
simétricamente. Si se sabe que:
• Pablo no se sienta junto a Manuel.
• Víctor está entretenido viendo como los otros
dos discuten con Julio.
Según esto, ¿qué afirmación es correcta?
• Víctor y Julio se sientan juntos.
• Manuel y Víctor no se sientan juntos.
• No es cierto que Víctor y Julio no se sientan
juntos.
• Pablo se sienta junto y a la derecha de Víctor.
• Pablo se sienta entre Víctor y Julio.
Rpta.
Ocho amigos: Fabiola, Gino, Henry, Jorge, Carla,
Luis, Martín y Nora, juegan cartas alrededor de
una mesa circular.
• Las ocho sillas se encuentran igualmente
espaciadas alrededor de la mesa.
• Carla está sentada exactamente al frente de
Martín.
• Martín está sentado a la izquierda de Fabiola y
junto a ella.
• Gino está sentado junto a Luis.
• Henry está sentado al frente exactamente de
Jorge.
• Martín se encuentra sentado junto a Henry.
¿Quiénes están sentados junto a Nora?
Rpta.
Seis amigos se sientan alrededor de una
mesa circular con ocho sillas distribuidas
simétricamente.Se sabe que:
• Flavio está sentado a la izquierda de Humberto
y junto a él.
• Kevin está sentado al frente de Gustavo y a la
izquierda de Javier.
• Gustavo está sentado a dos asientos de Flavio.
• Javier está sentado diametralmente opuesto de
Humberto y este está sentado a la izquierda de
Kevin.
• Ignacio conversa amenamente con todos.
¿Cuántos posibles ordenamientos hay?
Rpta.
Rpta.
Cuatro hermanos: Pedro, Hugo, Carlos y Jorge
se sientan alrededor de una mesa circular. Hugo
no está sentado frente a Carlos; Pedro está a
la izquierda de Carlos. Por lo tanto se puede
afirmar que:
• Jorge está frente a Carlos.
• Hugo no está frente a Pedro.
• Carlos está a la derecha de Hugo.
• Jorge y Hugo no están juntos.
• Más de una afirmación es correcta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:

18
6
7
9
8
Lourdes, Sara y Giovanna son tres amigas que
viven en diferentes distritos: La Molina, Comas y
San Miguel. Si se sabe lo siguiente:
• Giovanna no vive en San Miguel.
• Lourdes no vive en Comas ni en San Miguel.
¿En qué distrito vive Sara?
Cuatro amigos estudian desde el 1.° grado hasta
el 4.° grado. Gabriel no estudia en 4.° grado, y en
2.° grado estudian Víctor o Javier. Si Braulio no
estudia en 1.° ni en 4.° grado y Javier no estudia en
4.° grado, determina en qué grado estudia Víctor.
Cuatro personas tienen ocupaciones distintas.
De ellas, se sabe que Antonio es hermano del
transportista, el carpintero se reunió con Luis
para conversar acerca de un trabajo, y Alan y el
transportista son clientes del gasfitero. Si Juan
se dedica a construir roperos desde muy joven
y uno de ellos es vendedor de celulares, ¿qué
ocupación tiene Alan?
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Cinco personas entran a una tienda con el
propósito de adquirir un artículo determinado
cada uno. Los nombres de ellos son: Andrea,
Jaime, Mónica, David y Lucas. Los artículos que
compraron son: pantalón, chompa, blusa, zapatos
y cartera. Se sabe que:
• Ni Jaime ni Mónica compraron chompa.
• Andrea no encontró zapatos que hagan
juego con la cartera que le regalaron por sus
cumpleaños y por eso compró una blusa.
• David compró un par de zapatos.
• Jaime no compró una cartera.
¿Qué artículos compraron Jaime y Lucas,
respectivamente?
Rpta.
Tres personas: Andrés, Benito y Carlos tienen
diferentes aficiones: fútbol, baloncesto y vóley y
gustan de colores diferentes: azul, rojo y blanco.
Si se sabe que:
• Benito no practica vóley.
• Al basquetbolista no le gusta el color rojo.
• Andrés no practica baloncesto.
• El que practica vóley gusta del color blanco.
• A Benito no le gusta el color azul.
¿Qué afición tiene Andrés y qué color le gusta a
Carlos?
Rpta.
5
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:

19
1
2
3
6
5
4
Seis amigos: A, B, C, D, E y F se sientan
alrededor de una mesa circular con seis asientos
distribuidos simétricamente. Si se sabe que:
• A se sienta junto y a la izquierda de B y
diametralmente opuesto a C.
• D no se sienta junto a B.
• E no se sienta junto a C.
¿Dónde se sienta F?
¿Cuántos ordenamientos se originan?
¿Quién se sienta frente a Diego?
Se deduce como verdad que:
I. Blanca está junto a Flora.
II. Celinda está adyacente a Blanca y Emilio.
III. Diego no está frente a Celinda.
Luis, Fabio, Claudio y Adriano se sientan
simétricamente alrededor de una mesa circular. Si
se sabe que Fabio no está frente a Claudio y Luis
está a la izquierda de Claudio, ¿qué afirmación
es cierta?
En una mesa con ocho asientos distribuidos
simétricamente se sientan seis amigos: Alfredo,
Blanca, Celinda, Diego, Emilio y Flora.
Se sabe que:
• Alfredo no se sienta frente a Diego.
• Diego no se sienta al frente de Flora.
• Blanca se sienta tres lugares a la derecha de Diego,
quien está adyacente a los lugares vacíos.
• Emilio no se sienta junto a un lugar vacío ni a Blanca.
A Entre C y E B Frente a C
C Entre B y C D Frente a B
E Entre A y B
A Solo I B Solo II
C Solo III D Solo I y II
E Solo II y III
A Frente a B B Entre B y E
C Frente a F D Entre A y C
E Frente a E
Seis amigos: A, B, C, D, E y F se sientan
alrededor de una mesa circular con seis asientos
distribuidos simétricamente. Si se sabe que:
• A se sienta frente a B.
• C está junto y a la izquierda de A.
• D no está frente a C ni a E.
¿Dónde se sienta D?
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
A Fabio está frente a Adriano.
B Adriano está frente a Claudio.
C Adriano y Fabio no están juntos.
D Claudio está a la derecha de Fabio.
E Más de una afirmación es cierta.
A Alfredo
B Blanca
C Emilio
D Celinda
E Flora

20
8
9
Milagros, Paula, Carla y María tienen diferentes
ocupaciones y viven en distintos distritos. Si
sabemos lo siguiente:
• María vive en Surquillo.
• Una de ellas es abogada y no es Paula.
• La ingeniera vive en Miraflores.
• Carla no vive en Breña ni en Miraflores.
• La comerciante trabaja en Chorrillos.
• María es enfermera.
¿Qué ocupación tiene Milagros?
Sally, Luna, Grecia y Mariana, son amigas que
practican un juego diferente cada una.
Se sabe que:
• Sally quisiera jugar ajedrez en lugar de damas.
• Luna le pide prestada sus fichas de ludo a
Mariana porque quisiera aprender a jugar ese
juego.
• Grecia no sabe jugar dominó.
¿Quién practica ajedrez y qué juego practica
Luna?
En una reunión se observan a los profesores
de Inglés, Historia, Matemática y Biología; los
nombres son: Carlos, Bruno, Alan y Héctor,
aunque no necesariamente en ese orden. Si
se sabe que Carlos y el que enseña Historia
no se llevan bien, Alan es amigo del profesor
de Biología, Bruno es primo del matemático y
este, amigo de Héctor. El que enseña Inglés es
muy amigo de Héctor y del profesor de Biología.
¿Quién enseña Matemática?
Guillermo, Carlos, Moisés, Jorge y Ernesto
estudiaron carreras diferentes: Historia, Literatura,
Física, Química y Matemática. Cada uno tiene un
hijo que no quiere ni va a seguir la carrera de su
padre ni coincidirá con ninguno de los otros hijos.
Se sabe que:
• El matemático es Moisés y el hijo de Guillermo
quiere ser químico.
• El hijo de Jorge quiere estudiar Historia aunque
su padre sea literato.
• Carlos es físico y su hijo no es matemático.
¿Qué carreras han estudiado Ernesto y su hijo,
respectivamente?
Carlos Víctor y José estudian en Piura, Trujillo
y Lima, siguiendo las carreras de Arquitectura,
Biología y Comunicación.
• Carlos estudia en Piura.
• José no estudia en Trujillo.
• El que estudia en Trujillo no estudia Biología.
• El que estudia en Piura no estudia Arquitectura.
• José estudia Comunicación.
¿Qué estudia Víctor y en qué ciudad?
Ana, Pilar y Brenda llevan tres objetos distintos en
las manos: reloj, llavero y chompa. Se sabe que
Pilar siempre lleva una prenda para abrigarse; en
cambio, el objeto que tiene Ana podría malograrse
de un golpe y ya no podría saber la hora. Indica
qué relación es correcta.
A Enfermera B Abogada
C Ingeniera D Comerciante
E Faltan datos
A Literatura – Química B Física – Historia
C Matem. – Literatura D Historia – Física
E Química – Matemática
A Mariana – ludo B Luna – ludo
C Sally – ajedrez D Grecia – dominó
E Grecia – damas
A Adrián B Héctor
C Carlos D Alan
E Bruno
A Ingeniería – Lima
B Arquitectura – Piura
C Biología – Trujillo
D Arquitectura – Trujillo
E Comunicación – Lima
A Pilar – llavero
B Ana – reloj
C Brenda – reloj
D Brenda – chompa
E Ana – llavero
7 10
11
12

Tema
21
3
Para poder desarrollar este capítulo de manera ordenada se clasificará la forma de
contar distintas figuras de dos maneras distintas: el conteo simple y el conteo inductivo.
Conteo simple
Es aquel tipo de conteo que se caracteriza por ir contando de uno en uno el tipo de
figura pedido en el problema.
Resolución:
Se empieza colocando números distintos
en los triángulos que se encuentren a
primera vista.
Resolución:
Colocamos números distintos en los
cuadriláteros que observemos a primera
vista; después, colocamos letras en las
zonas que no sean cuadriláteros.
Luego, contaremos los triángulos
formados por una cantidad de distintas
zonas codificadas.
• Formados por una zona:
1; 2; 3 y 4 → 4
• Formados por dos zonas:
1 con 2 y 2 con 3 → 2
• Formados por tres zonas:
1 con 2 y con 3 → 1
• Formados por cuatro zonas:
1 con 2, con 3 y con 4 → 1
Finalmente, sumamos los resultados
parciales.
Número total de triángulos:
4 + 2 + 1 + 1 = 8
Por lo tanto, esta figura tiene
8 triángulos.
Luego, contaremos los cuadriláteros
formados por una cantidad de distintas
zonas codificadas.
• Formados por una zona:
1; 2; a → 3
• Formados por dos zonas:
1a, 1c y 2b → 3
• Formados por tres zonas:
a1c y 1c2 → 2
• Formados por cuatro zonas:
no hay → 0
• Formado por cinco zonas:
12abc → 1
Finalmente, sumamos los resultados
parciales.
Número total de cuadriláteros:
3 + 3 + 2 + 0 + 1 = 9
Porlotanto,estafiguratiene9cuadriláteros.
Ejemplo 1:
Halla el número de triángulos en la
siguiente figura:
Ejemplo 2:
Halla el número de cuadriláteros en la
siguiente figura:
1
3
2
4 2
1
a
b
c
Conteo de figuras
* La Geometría
(medición de la
Tierra) se inició,
como ciencia, en
el antiguo Egipto
y en Babilonia por
la necesidad de
realizar mediciones
terrestres.
* La palabra
polígono proviene
de dos voces
griegas: Poli, que
significa muchos y
gono que significa
ángulo.
* Recuerda que
existe una
terminología para
los polígonos,
basada en la
cantidad de lados
del mismo:
n.ºde
lados
Nombre
3 triángulo
4 cuadrilátero
5 pentágono
6 hexágono
7 heptágono
8 octógono
9 eneágono
10 decágono
11 undecágono
12 dodecágono
15 pentadecágono
20 icoságono
¿Sabías que...?

22
B) Triángulos
Por lo tanto, la figura tiene 45 segmentos.
Otras aplicaciones:
A) Cuadriláteros
Luego de la inducción anterior, el número
total de segmentos en la figura será:
Luego, se induce desde los casos más
simples hasta los más complejos:
Resolución:
Se empieza colocando números en los
segmentos simples que forman esta
figura.
Conteo inductivo
Para este tipo de conteo utilizaremos el método inductivo para llegar a la fórmula que
se aplicará en los problemas que se asemejen al modelo.
Ejemplo 1:
Halla el número de segmentos en la
siguiente figura:
1
1 2
1 2 3
1 = 1 =
1 × (1 + 1)
2
2 × (2 + 1)
2
3 = 1 + 2 =
6 = 1 + 2 + 3 =
3 × (3 + 1)
2
9 × (9 + 1)
2
=
9 × 10
2
=
90
2
= 45
4 × (4 + 1)
2
= 10
3 × (3 + 1)
2
= 6
1 2 3 ... n
n(n + 1)
2
1 2 3 ... n
n(n + 1)
2
n(n + 1)
2
1
2
3
n
...
En una cuadrícula:
Al final se suman las cantidades
obtenidas en las multiplicaciones:
18 + 10 + 4 = 32
b) Número de cuadrados:
Para calcular el total de cuadriláteros
multiplicamos ambas cantidades:
10 × 6 = 60
a) Número de cuadriláteros:
Para calcular el número de
cuadriláteros se debe considerar que
esta figura proviene de la unión de
estas.
1
2
3
2 3 4 5 6
6 × 3 = 18
5 × 2 = 10
4 × 1 = 4
1 2 3 4
Número de
cuadriláteros
1
2
3
Número de
cuadriláteros
C) Sectores circulares
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6
* La inducción que
lleva al
n(n + 1)
2
también puede ser
aplicada para el
conteo de ángulos:
* Los números
triangulares tienen
la forma
n(n + 1)
2
.
Número de
ángulos:
n(n + 1)
2
* Los números
rectangulares
tienen la forma
n(n + 1).
* Al momento
de resolver un
problema de
conteo de figuras
por inducción
debes estar muy
atento para que
tomes en cuenta el
elemento que se
está enumerando:
1 2
3
n
...
1 3 6 10
1 × 2
2
2 × 3
2
3 × 4
2
4 × 5
2
2 6 12 20
1 × 2 2 × 3 3 × 4 4 × 5
Segmentos
Puntos
Recuerda
1 2 3 4 5 6 7 8 9

23
1 3
2
4
Halla el número de triángulos en la siguiente
figura.
Resolución:
5
4
6
a
2 1
1 sector : 1; 2; 3; 4; 5; 6 → 6
2 sectores: 12; 3a; 4a; 45; 56 → 5
3 sectores: 3a6 → 1
4 sectores: 124a; 126a → 2
6 sectores: 12456a → 1
siguiente figura.
Resolución:
1 2 3 4 5 6 7
Aplicando la fórmula:
7(8)
2
= 28
Rpta. Hay 15 triángulos
Rpta. 28
Encuentra el número de cuadriláteros en la
siguiente figura.
1 sector: 1; 2
2 sectores: 1c, 2g; 1e; 2h
3 sectores: 2bh; h2g; c1e; 1ef; 1cd; a2g, 2ae, h1d
4 sectores: bh2g; 2efg; bhc1; 12he; cd1e; 1def;
a2gh; bh2a; c1ef
5 sectores: a2gef; bcdh1
10 sectores: 12abcdefgh
Resolución:
h
b
c
1
d
a
2
e
g
f
Rpta. Total = 26
Calcula el número de ángulos en la siguiente
figura.
Resolución:
1
2 3
4
5
5(6)
2
= 15
Rpta. 15
3
n(n + 1)
2
n(n + 1)
2
=
=

24
5 Halla el número de cuadriláteros en la siguiente
figura.
1
2
3
13
14
15
Resolución:
1
2
3
13
14
15
15(16)
2
= 120
Calcula el número de triángulos en la siguiente
figura.
Resolución:
4(5)
2
= 10
10 × 5 = 50
1 2 3 4
1
2
3
4
5
Determina el número de triángulos en la siguiente
figura.
Resolución:
1
2(3)
2
3(4)
2
= 6
5(6)
2
= 15
4(5)
2
= 10
5(6)
2
= 15
Total: 15 + 10 + 6 + 3 + 1 + 15
Rpta. 120
Rpta. 50
Rpta. 160
Rpta. 50
Encuentra el número de cuadriláteros irregulares
en la siguiente figura.
Resolución
Cuadriláteros irregulares: cuadriláteros que no
son cuadrados.
cuadriláteros =
6(7)
2
×
4(5)
2
= 210
cuadrados = 6 × 4 + 5 × 3 + 4 × 2 + 3 × 1 = 50
210 – 50 = 160
1 2 3 4 5 6
2
3
4
n(n + 1)
2
n(n + 1)
2
=
=
= 3
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2 3 4 5
3
3
3
4
4
5
4
cm
6 cm
6
7
8

25
1
2
4
3
6
5
figura.
figura.
Calcula el número de cuadriláteros en la siguiente
figura.
figura.
siguiente figura.
Halla el número de segmentos en la siguiente
figura.
Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
1
2
3
4
1
2
3
4
5

26
figura.
figura.
figura.
Indica el número de triángulos en la siguiente
figura.
Determina el número de sectores circulares en la
siguiente figura.
figura.
7 10
11
12
8
9
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:

27
siguiente figura.
Halla el número de cuadrados en la siguiente
figura.
Indica el número de triángulos en la siguiente
figura.
Calcula el número de cuadriláteros irregulares en
la siguiente figura.
figura.
Encuentra el número de cuadriláteros irregulares
en la siguiente figura.
13 16
17
18
14
15
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:

28
1 7
8
10
9
6
5
11
2
3
4
Halla el número de segmentos en la siguiente
figura.
figura.
siguiente figura.
Determina el número de triángulos en la siguiente
figura.
figura.
figura.
siguiente figura.
Determina el número de cuadrados en la siguiente
figura.
Halla el número de cuadriláteros irregulares en la
siguiente figura.
figura.
figura.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
E S T U D I A R
Rpta.
Rpta.

Tema
29
4
Recuerda
Cuadrados mágicos
Definición
Es una distribución numérica de forma cuadrada en la que los números ubicados en la
misma fila, columna o diagonal principal sumen lo mismo.
La suma que se repite en todas las direcciones se le conoce como constante mágica.
1
3
2
1
15
15
15
15
15
15 15 15
2 7 6
9 5 1
4 3 8
Métodos de resolución
Para aquellos cuadrados mágicos que son llenados con números que están en
progresión aritmética existen métodos prácticos para solucionarlos.
Para resolver un cuadrado mágico de 3 × 3 con números en progresión aritmética, por
ejemplo los números del 1 al 9, lo primero que se debe hacer es colocar un cuadrado
más en la parte exterior y central de cada uno de sus lados.
Ahora se empezará a llenar en dirección diagonal comenzando por cualquiera de los
cuadrados agregados.
En este caso se empezará por llenar desde el cuadrado ubicado en la parte izquierda y
se completará en forma diagonal hacia arriba ().
* Los números que
están en progresión
aritmética se
reconocen porque
tienen una razón
aritmética constante
(r).
Por ejemplo:
7; 11; 15; 19; ...
31; 38; 45; 52; ...
* El término
enésimo (Tn) de
una progresión
aritmética se halla
con la fórmula:
Tn = T1 + r(n – 1)
* Un conjunto
de números
consecutivos están
en progresión
aritmética cuya
razón es 1.
4 ; 5 ; 6 ; 7 ; ...
* Las diagonales
truncas son
aquellas que se
encuentran partidas
en la distribución.
4
7
4
7
4
7
9 + 7 + 8
3 + 1 + 2
1 + 7 + 4
9 + 3 + 6
2 7 6
9 5 1
4 3 8
+1 +1 +1

30
¿Sabías que...?
15
15
15
15
15
15 15 15
2 7 6
9 5 1
4 3 8
3
2 6
1 5
4
3
2 6
1 5 9
4 8
7
3
2 7 6
1 9 5 1 9
4 3 8
7
3
2 6
1 5 1 9
4 3 8
7
3
2 7 6
1 9 5 9
4 8
7
Al terminar de completar la primera diagonal se debe seguir en el mismo sentido con
las otras diagonales.
Ahora se debe colocar los números que están en los recuadros exteriores en aquellos
que se encuentran vacíos en la parte interior, cada uno en el que está al frente de él.
Por último, se borran los recuadros de la parte exterior y se tendrá como resultado un
cuadrado mágico.
* Un cuadrado
latino es aquella
distribución de
forma cuadrada
donde las filas y las
columnas tienen la
misma suma, pero
esta no aparece
en las diagonales
principales.
* El tablero conocido
como sudoku es
un ejemplo de
cuadrado latino.
* Un cuadrado
diabólico es
aquella distribución
de forma cuadrada
donde las filas,
columnas,
diagonales
principales y
diagonales truncas
tienen la misma
suma.
Diagonales truncas
5 + 14 + 12 + 3 = 34
4 + 7 + 13 + 10 = 34
1 + 11 + 16 + 6 = 34
4 5 16 9
14 11 2 7
1 8 13 12
15 10 3 6
1 2 3
2 3 1
3 1 2
9
34
34
6
34
34 34 34 34
34
34
34
6
6
6
6 6 6

31
¿Sabías que...?
Para resolver un cuadrado mágico de 4 × 4 con números en progresión aritmética,
por ejemplo los números del 1 al 16, lo primero que se debe hacer es ubicar todos
los números de forma ordenada desde cualquiera de los cuatro recuadros que se
encuentran en las esquinas y en cualquiera de las dos direcciones (horizontal o vertical).
4
3
2
1
1
16 12 8 4
15 11 7 3
14 10 6 2
13 9 5 1
16 12 8 4
15 11 7 3
14 10 6 2
13 9 5 1
1 12 8 13
15 6 10 3
14 7 11 2
4 9 5 16
En este caso se va a empezar a llenar el cuadrado desde el recuadro ubicado en la
esquina inferior derecha, y se hará en el sentido de abajo hacia arriba. ( )
Ahora se traza las diagonales principales y se cambia de lugar a los números que se
ubican simétricamente distanciados de la intersección de las diagonales.
34
34
34
34
34
34
34
34 34 34
* Un cuadrado
mágico
multiplicativo es
aquella distribución
de forma cuadrada
en la cual el
producto de los
números ubicados
en la misma fila,
columna o diagonal
principal es el
mismo.
* En el cuadro
Melancolía I,
grabado en 1524
por Alberto Durero,
aparece un
cuadrado mágico de
4 × 4 en la esquina
superior derecha.
5 100 2
4 10 25
50 1 20
1000
1000
1000
1000
1000
1000 1000 1000

32
14
11 6 13
8 12 10 8 12
7 14 9
6
1 4
5
6
2
3
Rpta. S = 9
(–5) + (–3) + (–1) + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 3S
27 = 3S
9 = S
35 25 33 11
15 29 21 39
13 31 23 37
41 19 27 17
14 15 4
12 7 6
5
13 2
A 14 15 4
12 7 6 B
C D E 5
13 F 2 G
Halla el valor de la constante mágica en el
siguiente cuadrado.
Construye un cuadrado mágico de 3 × 3 con los
números pares desde el 10 hasta el 26.
números impares del 11 al 41.
Encuentra el valor de la constante mágica de un
cuadrado de 3 × 3 en el que se distribuyen los
números: –5; –3; –1; 1; 3; 5; 7; 9; 11.
Completa el siguiente cuadrado mágico.
En todas las direcciones debe sumar 30:
Rpta. 33
Rpta.
Rpta.
Rpta. A = 6; B = 12; C = 8; D = 7; E = 14 y F = 9
Rpta. A= 0; B = 8; C = 8; D = 10; E = 10; F = 2 y G = 16
9 19 5
7 11 15
17 3 13
11 A 13
B 10 C
D E F
Resolución:
Se suman tres números en cualquier dirección.
9 + 19 + 5 = 33
A + 14 + 15 + 4 = A + 12 + C + 13  C = 8
12 + 7 + 6 + B = 4 + B + 5 + G  G = 16
13 + F + 2 + G = F + D + 7 + 14  D = 10
Constante mágica = 13 + D + 6 + 4 = 33
 A = 0; B = 8; E = 10; F = 2
Resolución:
La suma de todos los números
es igual a 3 veces el valor de
la constante mágica.
11 + A + 13 = 30  A = 6
A + 10 + E = 30  E = 14
11 + B + D = 30  D = 7
13 + C + F = 30  F = 9
13 + C + F = 30  13 + C + 9 = 30  C = 8
Resolución:
Números: 10; 12; 14;
16; 18; 20; 22; 24 y 26
(P.A.)
Resolución:
Números: 11; 13; 15; 17; 19; 21; 23; 25; 27; 29; 31;
33; 35; 37; 39 y 41 (P.A.)
20 10 24
22 18 14
12 26 16
26
20 24
14 18 22
12 16
10
INICIO
17 25 33 41
15 23 31 39
13 21 29 37
11 19 27 35
INICIO
S
S
S
Resolución:
Resolución:
30

33
7
10
11
8
9
Halla el valor de la constante mágica de un
números enteros desde el –4 hasta el 11.
Completa el siguiente cuadrado mágico latino, si
el valor de su constante es 20 unidades.
9 primeros términos de la sucesión cuyo término
enésimo es –4n + 7.
enésimo es 2n + 5.
Completa el siguiente cuadrado mágico con los
números 4; 10; 12; 14; 16 y 24.
Rpta. S = 14
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Los números a distribuir son: {–4; –3; –2; –1; 0;
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11}
Resolución:
tn = 2n + 5  t1 = 2(1) + 5 = 7
Los 16 primeros términos serán:
7; 9; 11; 13; 15; 17; 19; 21; 23; 25; 27; 29; 31; 33;
35; 37.
Resolución:
Para calcular el valor de la constante mágica
sumamos todos los números del cuadrado.
3S = 4 + 10 + 12 + 14 + 16 + 24 + 8 + 18 + 20
3S = 126
S = 42
Ahora hallamos cada número:
Ahora los distribuimos:
Resolución:
4S = suma de todos los números
4S = 56
S =
56
4
= 14
Resolución:
Los números son:
t1 = –4(1) + 7 = 3
t2 = –4(2) + 7 = –1
t3 = –4(3) + 7 = –5
t4 = –4(4) + 7 = –9
t5 = –4(5) + 7 = –13
t6 = –4(6) + 7 = –17
t7 = –4(7) + 7 = –21
t8 = –4(8) + 7 = –25
t9 = –4(9) + 7 = –29
Al distribuirlos:
• 3 + 11 + F = 20  F = 6
• 9 + C + F = 20  C = 5
• 9 + D + 3 = 20  D = 8
•C + D + E = 20  E = 7
•B + E + 3 = 20  B = 10
• 9 + A + B = 20  A = 1
• 8 + A + 18 = 42  A = 16
• 18 + D + 20 = 42  D = 4
• 8 + C + 20 = 42  C = 14
• 18 + C + E = 42  E = 10
• 8 + B + E = 42  B = 24
• E + F + 20 = 42  F = 12
9
11 3
8 18
20
–17 –21 –1
3 –13 –29
–25 –5 –9
–5
–17 –1
–29 –13 3
–25 –9
–21
INICIO
9 A B
C D E
F 11 3
8 A 18
B C D
E F 20
Rpta. A = 1; B = 10; C = 5; D = 8; E = 7 y F = 6.
13 11 9 7
21 19 17 15
29 27 25 23
37 35 33 31
31 11 9 37
21 25 27 15
29 17 19 23
7 35 33 13
INICIO
2 2 2 2

34
1
2
3
20
23 16 21
8 50 80
38 20
44 14
26 98
12
15 13
26 5 20
11 17 23
14 29 8
Halla el valor de la constante mágica en el
siguiente cuadrado.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
números pares del 2 al 32.
números impares del 1 al 17.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
4
5
6
Resolución:

35
7
8
9
10
11
12
Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
números: –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5.
Determina el valor de la constante mágica de un
números naturales desde el 10 hasta el 25.
16 1
7
Completa el siguiente cuadrado mágico, si el
valor de su constante es 12 unidades.
enésimo es 4n + 1 e indica la constante mágica.
10
9 4
números 2; 5; 6; 7; 8 y 12. Luego, halla el valor de
la constante mágica.
Calcula el valor de la constante mágica de 4 × 4
con los 16 primeros términos de la sucesión cuyo
término enésimo es –2n + 3.

36
1 7
8
9
10
11
12
2
3
4
5
6
11
12
5 10
49 33
30 71
52 27
9 primeros números enteros positivos.
Completa el siguiente cuadrado mágico, si el
valor de su constante es 24 unidades.
16 mayores números enteros negativos.
¿Cuánto es el valor de la constante mágica
de un cuadrado de 3 × 3, sabiendo que sus
números están en progresión cuyo término
enésimo es 3n + 5?
¿Cuánto es el valor de la constante mágica
de un cuadrado de 4 × 4, sabiendo que sus
números están en progresión cuyo término
enésimo es –n + 1?
31 29
13 15 25
11
5 27
1 29
17 7
–9
7 12
6
11 17
números: 3; 9; 13; 15 y 23.
cuadrado de 3 × 3 en el que se distribuyen los 9
primeros términos de la sucesión: 5; 8; 11; 14;...
números –4; –1; 2; 5; 8; 14 y 20, si además se
sabe que la constante mágica es 24 unidades.
¿Cuánto es el valor de la constante mágica de
3 × 3, si se sabe que los números que se van
a distribuir son los 9 primeros términos de la
sucesión cuyo término enésimo es 4n ‒ 9?
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

Tema
37
Analogías y distribuciones
numéricas
5
Existen diferentes tipos de ordenamientos, principalmente numéricos. En algunos
casos intervienen letras, las mismas que representarán a un valor numérico.
Analogías numéricas
Las analogías numéricas son ejercicios de percepción, así como de relación o ley
de formación que sirven para desarrollar el dominio de las operaciones matemáticas
básicas, tales como la suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación,
tanto de manera independiente como combinadas.
Ejemplo:
Analogía Donde se cumple:
3 (16) 7 16 = 32 + 7
4 (25) 9 25 = 42 + 9
12 (155) 11 155 = 122 + 11
Análisis y resolución de analogías numéricas
Para poder resolver problemas de analogías numéricas debemos de considerar lo
siguiente:
1) Se debe realizar la misma operación en el mismo orden con todos los casos
planteados por el problema. Es decir, si en la primera fila aplicaste una multiplicación,
la misma operación se debe utilizar en todas las otras filas.
Ejemplo:
5 (40) 8 40 = 5 × 8
2 (4) 2 4 = 2 × 2 y no podría ser 4 = 2 + 2
7 (x) 3 x = 7 × 3
2) Se debe respetar el orden de los operandos en todos los casos planteados por el
problema. Es decir, si estamos realizando una sustracción donde el número de la
segunda columna es el minuendo y el de la primera es el sustraendo, eso debe
cumplirse para todas las otras filas.
Ejemplo: Solución 1 Solución 2
9 (16) 5 16 = (9 – 5)2 16 = (5 – 9)2
12 (36) 6 36 = (12 – 6)2 36 = (6 – 12)2
14 (x) 4 x = (14 – 4)2 x = (4 – 14)2
3) Es muy importante que tengas un completo dominio de las tablas de multiplicación,
así como del valor de los números cuadrados perfectos y cubos perfectos, puesto
que estas operaciones son muy utilizadas en la resolución de los problemas.
Ejemplo:
27 (54) 24 54 = (2 + 7) × (2 + 4)
10 (5) 14 5 = (1 + 0) × (1 + 4)
17 (x) 44 x = (1 + 7) × (4 + 4)
En esta ocasión se trabaja
con el producto de la suma
de cifras de los números que
están a los lados.
Recuerda
Para poder resolver
los problemas de
analogías numéricas
es importante que
domines todas
las operaciones
matemáticas como
adición, sustracción,
multiplicación,
división,
potenciación y
radicación.
*
La propiedad
conmutativa se
cumple en la
adición y en la
multiplicación, pero
no en la sustracción.
Ejemplo:
7 + 4 = 4 + 7 (V)
10 × 8 = 8 × 10 (V)
15 – 7 = 7 – 15 (F)
*
120 = 23 × 3 × 5
3600 = 24 × 32 × 52
Para calcular la
raíz cuadrada
de un número
puedes recurrir a
la descomposición
canónica.
*
a + b
2
La semisuma de
dos números es la
mitad de la suma de
ellos.
*
a – b
2
La semidiferencia
de dos números
es la mitad de la
diferencia de ellos.
*
a × b
2
El semiproducto de
dos números es la
mitad del producto
de ellos.
*

38
No olvides
Distribuciones numéricas
Las distribuciones numéricas son figuras en las que se encuentran distintos números
ubicados de tal manera que se deben trabajar como una analogía; es decir, identificar
la relación entre ellos para calcular el valor desconocido.
Estas figuras pueden tener cualquier forma y se deben respetar las reglas establecidas
en la parte de Analogías numéricas, al momento de resolverlas.
Ejemplo 1:
Calcula el valor de x en la distribución:
Resolución:
En este caso como la incógnita se encuentra en la parte interior de la figura, se debe
buscar la relación de los otros números con esta cantidad.
Al jugar con algunas operaciones se puede deducir que se debe trabajar con la suma
de los productos de los números que están ubicados en las esquinas opuestas.
4 × 4 + 2 × 5 = 26
6 × 3 + 5 × 5 = 43
8 × 9 + 3 × 3 = x
x = 72 + 9 = 81
Ejemplo 2:
Calcula el valor de x en la distribución:
Resolución:
En este caso no hay una serie de figuras para comparar los procedimientos, entonces
lo que se debe hacer es encontrar una relación entre los números ubicados solo en
esta figura.
Al analizar los números se puede deducir que ellos forman una progresión aritmética
de razón 4.
3; 7; 11; 15; 19; 23; 27; x x = 27 + 4 = 31
19
15
23
27
11
7 3
x
26
4
5
2
4
43
6
5
5
3
x
8
3
3
9
Al momento de
trabajar una
distribución
numérica, la lógica
de solución y las
reglas son las
mismas que en una
analogía.
Se debe respetar
el orden de las
operaciones y de
los operandos de
las mismas.
El prefijo semi,
significa la mitad.
semisuma:
mitad de la suma
semidiferencia:
mitad de la diferencia
semiproducto:
mitad del producto
La diferencia de
dos números es
la resta de ellos,
donde el mayor
es el minuendo
y el menor, el
sustraendo.
La jerarquía al
momento de trabajar
una operación
combinada:
1.° Signos de
agrupación
{ [ ( ) ] }
2.° Potenciación y
radicación
( )2 ,
3.° Multiplicación y
división
× , ÷
4.° Adición y
sustracción
+ , –
5.° De izquierda a
derecha ( )
*
*
*
*
*
3

39
1
2
3
4
5
6
111 (8) 32
75 (21) 63
93 (x) 57
14 (25) 36
78 (33) –12
19 (x) 57
14 + 36
2
= 25
78 + (–12)
2
= 33
19 + 57
2
= x
x = 38
50 (157) 7
23 (87) 18
68 (x) 10
50 × 3 + 7 = 157
23 × 3 + 18 = 87
68 × 3 + 10 = x
x = 214
20 (481) 9
12 (153) 3
10 (x) 7
202 + 92 = 481
122 + 32 = 153
102 + 72 = x
x = 149
10 (32) 4
45 (150) 20
34 (x) 11
10 × 2 + 4 × 3 = 32
45 × 2 + 20 × 3 = 150
34 × 2 + 11 × 3 = x
x = 101
1 + 1 + 1 + 3 + 2 = 8
7 + 5 + 6 + 3 = 21
9 + 3 + 5 + 7 = x
x = 24
10 (1036) 6
6 (280) 8
12 (x) 7
103 + 62 = 1036
63 + 82 = 280
123 + 72 = x
x = 1777
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta. 38
Rpta. 101
Rpta. 24
Rpta. 1777
Rpta. 214
Rpta. 149

40
2 × 5 = 10
5 × 5 = 25
9 × 5 = 45
15 × 5 = x
x = 75
2
5 9
15
10
x
45 25
4 × 8 + 3 = 35
7 × 11 + 5 = 82
10 × 9 + 6 = x
x = 96
19
7
10
4
3
x
13
16
9
2
11
5
8
7
9
4 × 10 – 7 × 3 = 19
8 × 7 – 5 × 9 = 11
16 × 9 – 13 × 2 = x
x = 118
8
35
3
4
11
82
5
7
9
x
6
10
0 2 3 4
2 3 4 5
1 9 64 x
20 = 1 32 = 9 43 = 64 54 = x
x = 625
90
7
8
4
2
108
2
16
2
4
x
5
9
3
10
(8 + 7) × (4 + 2) = 90
(16 + 2) × (2 + 4) = 108
(9 + 5) × (3 + 10) = x
x = 182
4 7
8 88
14 6
7 x
6 7
2 26
(4 + 7) × 8 = 88
(6 + 7) × 2 = 26
(14 + 6) × 7 = x
x = 140
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta. 75
Rpta. 625
Rpta. 182
Rpta. 96
Rpta. 118 Rpta. 140
7 10
8
9
11
12

41
1
2
3
4
5
6
16 (20) 24
32 (14) –4
39 (x) 77
Resolución:
2 (29) 5
6 (136) 10
15 (x) 30
Resolución:
12 (120) 20
46 (345) 15
18 (x) 99
Resolución:
7 (40) 3
11 (57) 8
20 (x) 13
Resolución:
Halla el valor de 4x en la analogía.
23 (10) 14
56 (24) 94
134 (x) 85
Resolución:
Determina el valor de 2x
10
en la analogía.
34 (63) 90
65 (55) 23
69 (x) 54
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

42
Encuentra el valor de x – 66 en la analogía.
72 (112) 20
32 (124) 46
90 (x) 38
Resolución:
Calcula el valor de x ÷ 9 en la analogía.
2 (16) 4
5 (125) 3
3 (x) 5
Resolución:
6 (64) 2
4 (1296) 6
5 (x) 4
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
10 13
x
19
7
4
25 22
48 43
38
33
53
x
58 28
11 7
17
21
13
10
x 3
Rpta.
Rpta.
Rpta.
8
9 12
11
10
7

43
Resolución:
Resolución:
Resolución:
23 15
x
14
7
9
21 16
25
5
10
3
11
x
9
6
13
14
12
8
7
4
5
66
8
4
3
2
30
7
4
3
200 x
17
6
8
2
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Calcula el valor de 5x en la distribución.
26
4 3
10
23
x 4
18
5
51 8
7
Resolución:
Rpta.
Halla el valor de x ÷ 10 en la distribución.
77
5
2
8
3
140
10
4
7
3
x
9
11
3
4
Resolución:
Rpta.
Determina el valor de
x
5
+ 1 en la distribución.
Resolución:
7
37
6
5
9
89
8
10
13
x
11
12
Rpta.
14 17
15 18
16
13

44
2 (17) 3
5 (141) 4
6 (x) 7
80 (23) 34
68 (29) 10
14 (x) 6
124 (38) 56
27 (18) 41
87 (x) 26
89 (75) 31
45 (27) 17
62 (x) 76
81 (45) 25
64 (80) 100
121 (x) 9
4 (256) 4
5 (25) 2
7 (x) 3
48
8 4
x
14 9
72
11 7
7 8
5
2 3
10 2
22
9 4
6 15
x
3 20
8
4
3
2
32
19
21
8
16
x
13
6
3
1
45
8 16
12
20
x
10 17
11
100
2
5 4
x
2
10 5
216
3
2 6
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
2 5
11
383
191
95 x
23
1 7
2
8
3
9
4
10
5 11
6
12

Tema
45
Fracciones
*
Recuerda
6
Es el cociente indicado de dos números enteros, con el divisor diferente de cero.
Así, si N y D ∈ Z ⇒
N
D es una fracción, si D ≠ 0.
Donde: N es el numerador y D es el denominador.
Si se cumple que: D N, entonces:
• D → indica en cuántas partes iguales se ha dividido la unidad.
• N → indica cuántas de esas partes de la unidad se toman.
Ejemplo:
Grafica:
5
7
→ numerador
→ denominador
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
5
7
Como D N, la fracción nos indica que la unidad ha sido dividida en 7 partes iguales,
de las cuales están pintadas 5.
Importante: La parte que no se ha coloreado es 2
7
. Es decir:
1 – 5
7
= 2
7
1 = 5
7
+ 2
7
1 =
5 + 2
7
La parte que no se ha pintado se conoce con el nombre de complemento y en este caso
viene a ser 2
7
.
Operaciones con fracciones
Adición y sustracción de fracciones homogéneas
Se suman o se restan los numeradores y se deja el mismo denominador. Se simplifica
hasta que sea una fracción irreductible.
Ejemplos:
a)
7
9
+
1
9
=
7 + 1
9
=
8
9
b)
3
8
+
4
8
–
2
8
=
3 + 4 – 2
8
=
5
8
* El complemento
de una fracción es
la cantidad que le
falta para llegar a la
unidad.
* Cuando el valor de
la fracción es menor
que 1 se llama
fracción propia y
cuando es mayor
que 1 se llama
fracción impropia.
* Fracciones
homogéneas
son aquellas que
tienen el mismo
denominador.
1
8
; 3
8
; 7
8
; 13
8
* Fracciones
heterogéneas
son aquellas que
tienen distinto
denominador.
7
10
; 5
8
; 8
11
; 13
23
* Una fracción es
irreductible cuando
sus términos son
primos entre sí
(Pesi).
Fracción
1
2
1
3
2
5
4
7
Complemento
1 – 1
2
= 1
2
1 – 1
3
= 2
3
1 – 2
5
= 3
5
1 – 4
7
= 3
7
2
7 Pesi
4
9 Pesi
11
19 Pesi

46
Multiplicación de fracciones
Para multiplicar fracciones, se debe multiplicar los numeradores y los denominadores
de manera separada.
Ejemplos:
a)
8
5
×
3
2
=
8 × 3
5 × 2
=
24
10
=
12
5
b)
4
3
×
7
4
×
9
12
=
4 × 7 × 9
3 × 4 × 12
=
252
144
=
7
4
Fracción de un número
Para calcular la fracción de un número se debe multiplicar a la fracción por el número.
Ejemplos:
a)
4
12
de 144 =
4
12
× 144 =
4 × 144
12 =
576
12
= 48
b)
3
5
de
2
3
de 200 =
3 × 2 × 200
5 × 3
=
1200
15
= 80
Reducción a la unidad de tiempo
Este método se basa en el cálculo de la parte elaborada de una tarea o trabajo en una
unidad de tiempo, pudiendo ser esta una hora, un minuto, un día, etc., según lo que el
problema presente.
Ejemplo:
Luis pinta una pared en 5 horas.
Por una regla de tres simple se puede determinar qué parte de la pared pinta en una
hora, de la siguiente manera:
Tiempo
5 horas
1 hora
Parte que realiza
1
x
El total de la obra que representa
con la unidad (1)
Adición y sustracción de fracciones heterogéneas
Para realizar operaciones aditivas de fracciones heterogéneas, se deben homogeneizar
las fracciones; luego, se suman o se restan los numeradores y se deja el mismo
denominador. Se expresa el resultado como fracción irreductible.
Ejemplos:
a)
2
9
+
3
4
=
8
36
+
27
36
=
8 + 27
36
=
35
36
b)
5
8
+
1
4
–
1
2
=
5
8
+
2
8
–
4
8
=
5 + 2 – 4
8
=
3
8
Al resolver la regla de tres simple quedaría:
5
1
=
1
x
→ 5x = 1 × 1 → x =
1
5
Por lo tanto, la parte que hizo en una hora es un quinto de la obra.
Del ejemplo planteado se puede deducir que la parte que hace de la obra, es igual a la
inversa multiplicativa del número total de horas, días, minutos; que se demore en hacer
toda la obra.
Tiempo que demora Parte que realiza en una unidad de tiempo
5 días
1
5
de la obra en 1 día
8 horas 1
8
de la obra en 1 hora
12
5
horas
5
12 de la obra en 1 hora
16
3
minutos
3
16 de la obra en 1 minuto
Observa
* Fracciones
decimales son
aquellas que tienen
un denominador
que es una potencia
de 10.
8
10
;
7
100
;
23
1000
;
579
10 000
* Fracciones
equivalentes son
aquellas que tienen
el mismo valor
numérico.
4
5
=
8
10
=
16
20
=
12
15
= 0,8
* Para homogeneizar
las fracciones
se debe calcular
el MCM de los
denominadores.
1
4
y
3
10
MCM(4; 10) = 20
1
4
=
1 × 5
4 × 5
=
5
20
3
10
=
3 × 2
10 × 2
=
6
20
* Todo porcentaje
se puede expresar
como una fracción.
a % =
a
100
20 % =
20
100
=
1
5
30 % =
30
100
=
3
10
75 % =
75
100
=
3
4
98 % =
98
100
=
49
50
110 % =
110
100
=
11
10
150 % =
150
100
=
3
2
280 % =
280
100
=
7
5

47
1
2
3
Halla el valor de n en:
n
2
+
n
3
+ 5n = 1435
Resolución:
3n
6
+
2n
6
+
30n
6
= 1435
35n = 1435(6)
n = 246
Rpta. El valor de n es 246.
Rpta. Le falta
2
15
.
Rpta. Aún queda debiendo 175 soles. Rpta. Maricruz tiene 40 años.
Rpta. Son las 9:00 a.m.
Rpta. La herencia fue de 2000 soles.
¿Cuánto le falta a
1
5
para ser igual a los 3
4
de 4
9
?
Resolución:
1
5
+ x =
3
4
. 4
9
1
5
+ x =
1
3
x =
1
3
–
1
5
x =
5
15
–
3
15
x =
2
15
Arnaldo le debe a Miguel una cantidad igual a los
5
9
de 720 soles y le paga los
3
4
de 300. ¿Cuánto le
quedó debiendo Arnaldo a Miguel?
Resolución:
Debe:
5
9
(720) = 400
Paga:
3
4
(300) = 225
400 – 225 = 175
María repartió una herencia entre sus dos hijos.
Si al mayor le dio los
7
10
y al menor 600 soles,
¿cuánto fue el monto de la herencia que repartió
María entre sus hijos?
Resolución:
herencia: x
x =
7
10
x + 600
3x
10
= 600
x = 2000
mayor:
7
10
x
menor: 600
Si se sabe que el número de horas transcurridas
del día es igual a los
3
5
del número de horas que
quedan, ¿qué hora es?
Resolución:
1 día = 24 horas
horas transcurridas: x
horas que faltan: 24 – x
x =
3
5
(24 – x)
5x = 72 – 3x
8x = 72
x = 9
La edad que tenía Maricruz hace 10 años era
los
5
8
de la edad que tendrá dentro de 8 años.
¿Cuántos años tiene Maricruz?
Resolución:
edad de Maricruz: x años
x – 10 =
5
8
(x + 8)
8x – 80 = 5x + 40
3x = 120
x = 40
4
5
6

48
Pepito tiene cierto número de canicas y se percata
que si las agrupa de 5 en 5 tendría 4 grupos más
que si las agrupara de 7 en 7. ¿Cuántas canicas
tiene Pepito?
Resolución:
número de canicas: x
de 5 en 5:
x
5
grupos
de 7 en 7:
x
7
grupos
x
5
–
x
7
= 4
2x
35
= 4
x = 70
Fabiola va a una tienda a comprar ropa. Si se sabe
que gasta la mitad de su dinero en un pantalón y
los
3
4
de lo que le quedó en un polo, ¿cuánto dinero
llevó a la tienda, si al final terminó con 20 soles?
Resolución:
dinero inicial: x
gasta:
1
2
queda
1
2
x
gasta:
3
4
queda
1
4
1
2
x
1
4
1
2
x = 20
x = 160
El agua contenida en un pozo se agota en 3 horas.
En cada hora, baja el nivel del agua la mitad de la
altura, más un metro. ¿Qué espesor tenía la capa
de agua?
Resolución:
Cada hora baja
1
2
de la altura más 1 litro, quedando
1
2
de la altura menos 1.
1.a hora:
1
2
x – 1
2.a hora:
1
2
1
2
x – 1 – 1
3.a hora:
1
2
1
2
1
2
x – 1 – 1 – 1 = 0
x = 14
Roberto puede hacer un trabajo en 6 horas y
Martín podría hacer el mismo trabajo en 12 horas.
¿En cuánto tiempo lo terminarían trabajando
juntos?
Resolución:
en 1 hora
Roberto: 6 horas
1
6
Martín : 12 horas
1
12
Juntos :
1
6
+
1
12
=
3
12
=
1
4
En 1 hora hacen
1
4
del trabajo
Un caño puede llenar un tanque en 4 horas y
otro lo puede dejar vacío en 6 horas. ¿En cuánto
tiempo lo llenarían trabajando juntos?
Resolución:
en 1 hora
caño A: 4 horas
1
4
caño B: 6 horas –
1
6
juntos :
1
4
–
1
6
=
1
12
juntos llenan
1
12 en 1 hora
Tres hombres hacen un trabajo en 4 días.
Sabiendo que el primero solo lo haría en 9 días y
el segundo en 12. ¿Qué tiempo tardaría el tercero
trabajando solo?
Resolución:
A: 9 días
B: 12 días
C: x días
1
9
+
1
12
+
1
x
=
1
4
1
x
= 9
36
–
4
36
–
3
36
1
x
= 2
36
x = 18
4 días
Rpta. Pepito tiene 70 canicas. Rpta. Lo terminarían en 4 horas.
Rpta. Llenarían todo el tanque en 12 horas.
Rpta. El tercero lo haría en 18 días.
Rpta. Fabiola llevó 160 soles.
Rpta. Tenía 14 metros de altura.
(negativo porque
sale el agua)
7 10
8
9
11
12

49
2
3
1 Efectúa.
2 – 1
5
13
13
Rpta.
Calcula el valor de x.
3x –1
2
–
5x + 4
3
–
x + 2
8
=
2x – 3
5
–
1
10
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Efectúa.
2
5
1
10
+
3
5
1
25
+
4
25
2
5
Resolución:
Rpta.
Pedro debe pagar una cuota de 300 soles de su
tarjeta de crédito. Si solo paga los
11
15 de dicha
cuota, ¿cuánto dinero le faltará pagar?
Resolución:
Rpta.
4
Eduardo debe resolver la cuarta parte del número
de problemas que tiene su libro. Si el número de
problemas que logró resolver es igual a los
3
4
de 48,
¿cuántos problemas le falta resolver, si su libro
tiene 400 problemas en total?
Resolución:
Rpta.
5
Un depósito de cierto líquido está lleno hasta su
mitad. Si se extrae 60 litros, el nivel de líquido
disminuye hasta su sexta parte. ¿Cuál es el
volumen total del depósito?
Resolución:
Rpta.
6
El día de hoy vinieron al colegio las
2
3
partes del
número de alumnos de cierto salón. Si el profesor
de Educación Física mandó a llamar a 8 de ellos, por
lo cual solo quedó
2
5 del número total de alumnos.
¿Cuántos alumnos tiene en lista dicho salón?
Resolución:
Rpta.
7

50
Roberto reparte la cantidad de aceite que compró
entre sus dos restaurantes. Si al primero le tocó
120 litros y al segundo los
7
11
que quedaron,
¿cuánto gastó Roberto en esa compra, si cada
litro de aceite cuesta 4 soles?
Resolución:
Lucho repartió las hojas que le sobraron entre dos
de sus amigos. Si a Carlos le dio los
3
8
del total y
las otras 60 hojas, a Johan, ¿cuántas hojas recibió
Carlos?
Resolución:
Si el número de horas transcurridas del día es
igual a los
5
7
del número de horas que quedan,
¿cuántas horas faltan para que sea las 9:00 p.m.?
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
El número de minutos transcurridos desde las
2:00 p.m. es igual a los
2
3 del número de minutos que
faltan para que sean las 3:00 p.m. ¿Qué hora es?
Resolución:
Rpta.
La edad que tendrá Javier dentro de 15 años será
los 9
5
de la edad que tenía hace 9 años. ¿Qué
edad tendrá Javier dentro de 5 años?
Resolución:
Fiorella ha gastado
1
4
de su dinero en un helado
y luego
2
3
del resto en un café. Si aún le quedan
S/ 20, ¿cuánto tenía?
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Se activan tres caños para llenar un tanque. Si
se sabe que uno de ellos lo puede llenar solo en
36 horas, el segundo en 30 horas y el otro en
20 horas, ¿en cuánto tiempo llenarán el tanque
los tres caños?
Resolución:
Rpta.
9
10
13
11
14
12
8

51
Calcula el valor de x.
Se tiene tres números sucesivos y se sabe que la
mitad del menor sumado con la quinta parte del
número intermedio, es igual a la sexta parte del
cuádruplo del mayor. ¿Cuál es el valor del mayor
de los números?
Rpta.
Rpta.
Si se extraen 400 litros de un tanque que está lleno
hasta los 2
3
de su capacidad, quedaría hasta los
3
5
de la misma. ¿Cuántos litros faltan para llenar
el tanque?
Rpta.
Un automovilista observa que 1
5
de lo que ha
recorrido equivale a
3
5
de lo que le falta por
recorrer. ¿Cuántas horas habrá empleado hasta
el momento, si todo el viaje lo hace en 24 horas?
Rpta.
Un estudiante escribe en un cuaderno cada día la
mitad de hojas en blanco que posee ese día más
5 hojas, si al cabo de 2 días ha gastado todas las
hojas. ¿Cuántas hojas tenía el cuaderno?
Rpta.
Un obrero acaba una obra en 12 días, pero otro
obrero lo acaba en 36 días. ¿En cuánto tiempo
acabarán la obra si trabajan los dos obreros al
mismo tiempo?
Rpta.
La construcción de un departamento demorará
60 días. Si se ha avanzado hasta los 3/5, ¿cuántos
días faltan para concluir la obra?
En un recipiente de 20 litros de capacidad, se ha
llenado hasta sus 2/5 partes, ¿cuántos litros faltan
para llenar 14 litros?
Una botella de 3 litros está llena de gaseosa hasta
sus 2/3 partes. ¿Cuántos litros de gaseosa se
tendría que aumentar para que la botella quede
completamente llena?
Se sabe que si agregamos 80 litros a un recipiente
que está lleno hasta sus 4/9 el recipiente se
llena completamente. ¿Cuál es la capacidad del
recipiente?
Liliana gasta en alimentos la mitad de lo que gana
y los 2/3 de lo que resta lo gasta en ropa. Después
de 2 años, ahorró S/ 3000. ¿Cuánto gana por mes?
Si la clase de R.M. dura
5
3
h por semana. ¿Cuánto
tiempo se dedica a la clase de R.M. durante un
bimestre de 8 semanas?
Si gastara 2/5 de lo que tengo y diera una limosna
de S/ 36, me quedaría los 3/7 de lo que tengo.
¿Cuánto tengo?
Un horno más una licuadora cuestan S/ 300. Si el
precio de la licuadora es 1/5 del horno, ¿cuánto
cuesta la licuadora?
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
2(5x – 1)
5
+
3(10x – 3)
10
=
2x – x
2
–
6
5
× 10
10 ×
1 7
2
8
3
9
4
10
5
11
13
6
12
14

74
Tema
Series notables
10
• En toda serie notable
donde n representa
la posición del
término, se debe
empezar con n = 1,
es decir, para aplicar
la fórmula de la suma
de los n primeros
números enteros
positivos, esta debe
empezar en 1; para
aplicar la suma de los
n primeros números
pares enteros
positivos, esta debe
empezar en 2; y así
sucesivamente.
• Si no se da el caso
anterior lo que
se debe hacer es
aplicar un pequeño
artificio que consiste
en agregar los
términos que faltan y
luego quitárselos.
S=8+9+10+11+…+30
S = 1 + 2 + 3 +…+ 7 + 8
+ 9 +…+ 30 – (1 + 2
+ 3 +…+ 7)
S =
30 × 31
2
–
7 × 8
2
• Los números
naturales, pares
e impares, se
encuentran
en progresión
aritmética, por lo
tanto también se
pueden calcular
utilizando la fórmula
de la suma de
términos de dicha
progresión.
1 + 2 + 3 + 4 +…+ n
2 + 4 + 6 + 8 +…+ 2n
1+3+5+7+…+2n–1
• Si quieres comprobar
de donde proviene
la fórmula de la
suma de cuadrados
o de cubos,
puedes buscar
en la web sobre
la PROPIEDAD
TELESCÓPICA DE
LAS SERIES, y eso
te dará una idea de
su origen.
Serie
Una serie es la adición indicada de los términos de una sucesión numérica.
De acuerdo a esto, si tenemos la sucesión:
Sucesión 4; 9; 14; 19;...; 79
Esta es la serie asociada a dicha sucesión:
Serie 4 + 9 + 14 + 19 +… +79
El valor de la serie es el resultado de la adición de todos los números que pertenecen
a la misma.
4 + 9 + 14 + 19 + … + 79 = 664 Valor de la serie
Series notables
Una serie notable es aquella que tiene un nombre específico y una fórmula determinada
para calcular su valor.
A continuación, se presentan algunas series notables:
Suma de los n primeros números enteros positivos
1 + 2 + 3 + 4 + ... + n
Ejemplo:
1 + 2 + 3 + 4 + … + 20 =
20(20 + 1)
2
=
20(21)
2
= 210
Suma de los n primeros números pares enteros positivos
2 + 4 + 6 + 8 + … + (2n)
Ejemplo:
2 + 4 + 6 + 8 + ... + 60 = 30(31) = 930

2n = 60
n = 30
Recuerda que primero debes igualar el último término con 2n para hallar el valor de n
y luego se reemplaza este valor en la fórmula.
Suma de los n primeros números impares enteros positivos
1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1)
Ejemplo:
1 + 3 + 5 + 7 + ... + 99 = 502 = 2500

2n – 1 = 99
n = 50
n(n + 1)
2
n(n + 1)
n2

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