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DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó
la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:
Artículo 1.-
Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...)
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros.
Artículo 2.-
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica,
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de
cuya jurisdicción dependa una persona (...).
Artículo 3.-
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su
persona.
Artículo 4.-
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de
esclavos están prohibidas en todas sus formas.
Artículo 5.-
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o
degradantes.
Artículo 6.-
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su
personalidad jurídica.
Artículo 7.-
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación
que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8.-
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos
fundamentales (...).
Artículo 9.-
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado.
Artículo 10.-
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier
acusación contra ella en materia penal.
Artículo 11.-
1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia
mientras no se pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional.
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de
la comisión del delito.
Artículo 12.-
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques.
Artículo 13.-
1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia
en el territorio de un Estado.
2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y
a regresar a su país.
Artículo 14.-
1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a
disfrutar de él, en cualquier país.
2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y
principios de las Naciones Unidas.
Artículo 15.-
1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a
cambiar de nacionalidad.
Artículo 16.-
1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y
fundar una familia (...).
2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá
contraerse el matrimonio.
3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho
a la protección de la sociedad y del Estado.
Artículo 17.-
1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad.
Artículo 18.-
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de
religión (...).
Artículo 19.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...).
Artículo 20.-
1. Toda persona tiene derecho a la libertad de reunión y de asociación pacíficas.
2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Artículo 21.-
1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país,
directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las
funciones públicas de su país.
3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta
voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de
celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto
u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Artículo 22.-
Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida
cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los
derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al
libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23.-
1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a
condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el
desempleo.
2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por
trabajo igual.
3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y
satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme
a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por
cualesquiera otros medios de protección social.
4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa
de sus intereses.
Artículo 24.-
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una
limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas
pagadas.
Artículo 25.-
1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así
como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el
vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios;
tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad,
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de
subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales.
Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho
a igual protección social.
Artículo 26.-
1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita,
al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La
instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional
habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual
para todos, en función de los méritos respectivos.
2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana
y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades
fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre
todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el
desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento
de la paz.
3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que
habrá de darse a sus hijos.
Artículo 27.-
1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de
la comunidad, a gozar de las artes y a participar en el progreso científico y
en los beneficios que de él resulten.
2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y
materiales que le correspondan por razón de las producciones científicas,
literarias o artísticas de que sea autora.
Artículo 28.-
Toda persona tiene derecho a que se establezca un orden social e internacional
en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan
plenamente efectivos.
Artículo 29.-
1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona
estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único
fin de asegurar el reconocimiento y el respeto de los derechos y libertades
de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden
público y del bienestar general en una sociedad democrática.
3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en
oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 30.-
Nada en esta Declaración podrá interpretarse en el sentido de que confiere
derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y
desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los
derechos y libertades proclamados en esta Declaración.

1
secundaria
Nombres: _________________________________________________
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Trigonometría
Matemática
Delta

Impreso en el PerÚ / Printed in Peru
La Editorial se hace responsable por el rigor
académico del contenido del texto de acuerdo con
los principios de la Ley General de Educación.
Título de la obra
® Matemática delta 1, secundaria
Trigonometría
© Derechos de autor reservados y registrados
Mauro Enrique Matto muzante
© Derechos de edición, arte y diagramación
reservados y registrados conforme a ley
delta editores s.a.c.
edición, 2020
Coordinador de área:
Mauro Enrique Matto Muzante
Diseño, diagramación y corrección:
Delta Editores s.a.c.
Ilustración general:
Banco de imágenes Delta Editores S.A.C.
Delta Editores S.A.C.
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Tels. 332 6314, 332 6667
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www.eactiva.pe
Tiraje: 4500 ejemplares
Impresión:
Finishing S.A.C.
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Lima - Perú
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ISBN N.o 978-612-4354-31-1
Proyecto Editorial N.o 31501051900810
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Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú
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PROHIBIDA
LA REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL
LEY DE LUCHA CONTRA LA PIRATERÍA LEY 28289
PUBLICADA EL 20 DE JULIO DE 2004
título vii
delitos contra los derechos intelectuales
capítulo i
delitos contra los derechos de autor
y conexos
Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la
autorización del autor.
Artículo 217.o.- Será reprimido con pena privativa de libertad no
menor de dos ni mayor de seis años y con treinta a noventa días-multa,
el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística,
un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una
grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier
forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y
escrita del autor o titular de los derechos:
a. La modifique total o parcialmente.
b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público.
c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios
o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho.
d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el
autorizado por escrito.
La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con
sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total
o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución
se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma
de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o
producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias,
en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior
importe cada uno.

Apertura
En esta sección
encontrarás
temas
novedosos
que propician
sostener
una relación
cercana con la
Matemática.
El desarrollo del
tema se da en
esta sección,
donde
encontrarás las
definiciones
organizadas
siguiendo una
secuencia
didáctica.
Marco
teórico
Conoce tu libro
MateMática DELTA 1 - trigonoMetría
Tema
85
7
Razones trigonométricas
de un ángulo agudo
H
Una razón trigonométrica (R.T.) es
el cociente entre las longitudes de dos
lados de un triángulo rectángulo con
respecto a uno de sus ángulos agudos.
Se establece entre dos R.T. de un
mismo ángulo. En ellas se cumple que
su producto es igual a la unidad.
seno (sen)
coseno (cos)
tangente (tg)
cotangente (ctg)
secante (sec)
cosecante (csc)
Estas son:
sen α =
Resolución:
C.O. = 9 C.A. = 40 H = 41
Determina las R.T. para α.
csc α =
C.O.
C.A.
α
cos α = sec α =
tg α = ctg α =
C.O.
H
H
C.O.
C.A.
H
H
C.A.
C.O.
C.A.
C.A.
C.O.
Razones trigonométricas recíprocas
Ejemplo:
sen α = csc α =
cos α = sec α =
tg α = ctg α =
9
41
41
9
40
41
41
40
9
40
40
9
A través de su
famoso teorema
establece que
en todo triángulo
rectángulo el
cuadrado de la
hipotenusa es igual
a la suma de los
cuadrados de los
catetos.
Atención
Importante
C.O.: cateto opuesto
C.A.: cateto
adyacente
H : hipotenusa
Observa
Los ángulos
en las razones
trigonométricas
recíprocas son
iguales.
Pitágoras
(Samos 570 a. C.)
sen α . csc α = 1
cos α . sec α = 1
tg α . ctg α = 1
41
9
40
α
Título del tema
Para una mejor
organización, los temas
están numerados.
Comentarios
y/o lecturas que
refuerzan el
desarrollo del tema
100
1
2
4
3
5 x
x = H
H = 5
60° 30°
30°
16°
53°
16°
60°
x
7
7 = C.O.
x
x = C.O.
3
7 cm
20 cm
C.A. = 3
x = C.A.
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
En el triángulo se cumple:
En el T.R. se cumple:
x
5
=
C.A.
H
= cos 60°
x
5
= cos 60°
x = 5 . cos 60°
x
7
=
H
C.O.
= csc 30°
x
7
= csc 30°
x = 7 . csc 30°
Área =
7 × 20 × sen 53°
2
Área = 7 × 10 ×
4
5
Área = 7 × 8 = 56 cm2
x
3
=
C.O.
C.A.
= tg 16°
x
3
= tg 16°
x = 3 × tg 16°

x = 5
1
2
x =
5
2

x = 7(2)
x = 14
Al reemplazar, se
tiene:
x = 3
7
24
x =
7
8
Calcula el valor de x. Halla el valor de x.
Determina el valor de x.
Encuentra el área del triángulo.
θ
a
b
×
×
10
2
1
1
a . b sen θ
2
Área =
Rpta.
5
2
Rpta. 14
Rpta.
7
8 Rpta. 56 cm2
Ejercicios resueltos
Nombre de la
sección
Algoritmo de
resolución
del problema
planteado.
Preguntas y/o
situaciones
problemáticas
reales o simuladas,
planteadas de
acuerdo al tema.
Ejercicios
resueltos
Se muestran
ejercicios que
están resueltos
didácticamente,
los mismos que
servirán para
el análisis del
estudiante.
3
Matemática Delta 1 - Trigonometría

Síntesis
Contenido del tema,
que incluye teoremas,
postulados, fórmulas,
propiedades, leyes, etc.,
resumido en organizadores
gráficos para tener un
panorama general del
contenido.
Modela y resuelve
Los problemas con
numeración impar serán
resueltos por el docente,
mientras que los pares serán
resueltos por el estudiante
siguiendo la secuencia
realizada por el educador.
103
Síntesis
1
5
3
Modela y resuelve
2
6
4
Caso 1 Caso 2 Ángulos verticales
Área de un triángulo
a
b
x
a
θ
x
y
x = a sen θ
y = a cos θ
a2 = b2 + x2  Pitágoras
x = a csc θ
y = a ctg θ
a : ángulo de elevación.
b : ángulo de depresión.
x = a tg θ
y = a sec θ
a
b
x
θ
a
y
θ
a
b
y
θ
x
a
Área =
a . b . sen θ
2
VIS
UAL
VISUAL
HORIZONTAL
Calcula el valor de x.
Halla el valor de x.
3
30°
x
4
11 5
37°
37° 74°
x
x
x
1
7
16°
53°
x
x
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Resolución de triángulos rectángulos
Nombre de la
sección
Nombre de la
sección
Espacio para
resolver el
problema.
Organizador
visual
Enunciado del problema
o de la situación
planteada.
54
1
Practica y demuestra
Nivel I
2
3
4
5
6
Efectúa.
Reduce.
Calcula el valor de x, en radianes.
x
π
3
rad
A
π
2
B π C π
5
D
π
6
E
π
4
A
π
3
B
2π
3
C π
6
D
π
4
E
π
5
A
π
2
rad B π rad C π
6
rad
D
π
3
rad E
π
6
rad
Efectúa.
Relaciona según el gráfico.
I. a a.
π
6
rad
II. β b. –
π
3
rad
III. θ c.
π
2
rad
θ
a
β
π
3
rad
R =
15
π π +
π
15
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
A Ia; IIb; IIIc B Ib; IIc; IIIa
C Ib; IIa; IIIc D Ic; IIa; IIIb
E Ia; IIc; IIIb
Halla el valor de x, en radianes.
π
4
rad
π
3
rad
x
A 7π rad B
7π
12
rad C 7π
9
rad
D
7π
5
rad E
7π
3
rad
N =
π
3
+
π
6
–
π
4
M = π –
π
2
+
π
6
Preguntas planteadas,
estas pueden ser
situaciones reales o
simuladas.
Espacio
para realizar
anotaciones de
resolución.
Alternativas
Nombre de la
sección
Test
Esta evaluación incluye
preguntas del contenido de
los temas desarrollados en
la unidad y son de elección
múltiple.
Practica y
demuestra
En esta sección se
plantean preguntas que
han sido organizadas por
niveles de complejidad
y de elección múltiple
en la que el estudiante
demostrará lo aprendido
durante la sesión.
Preguntas y/o
situaciones
problemáticas reales o
simuladas, planteadas de
acuerdo a la unidad.
Número de test
Alternativas
Tema
47
4
Sistema de medición
angular radial
El número π
En todas las circunferencias la división entre
la medida de su longitud (L) y la medida de su
diámetro (D), genera un mismo resultado, un número
aproximadamente igual a 3,141592..., este número es
representado por la letra griega π.
Es decir:
La longitud de la circunferencia resulta de multiplicar por π el valor del diámetro de la
circunferencia.
Este sistema de medición angular radial asigna al ángulo de una vuelta un valor de 2π rad.
L = D × π
1 vuelta = 2π rad
π
2
rad
π rad
3π
2
rad
Longitud de la circunferencia
El número π en Trigonometría
Equivalencias angulares
Diámetro
L
D
= = π
Diámetro
L
o
n
g
i
t
ud de la circunfe
r
e
n
c
i
a
D
Ángulo recto Ángulo llano
O
O
O
William Jones
(1675 - 1749)
Matemático galés
que propuso el uso
de π para representar
el número pi.
Leonhard Euler
(1707 - 1783)
Matemático y físico
suizo. Extendió el uso
de la letra π entre los
matemáticos.
Observa
4

5
1
3
2
4
Resuelve
problemas
de
forma,
movimiento
y
localización
Modela objetos
con formas
geométricas y sus
transformaciones.
Ángulo trigonométrico 8
Definición
Relaciones de orden
Casos importantes
Sistema de medición angular sexagesimal 21
Sistema sexagesimal
Equivalencias
Operaciones con medidas de ángulos en el sistema
sexagesimal
Sistema de medición angular centesimal 35
Sistema centesimal
Equivalencias
Operaciones con medidas de ángulos en el sistema
centesimal
Sistema de medición angular radial 47
El número
Conversiones entre sistemas de medición angular 61
Equivalencias entre sistemas de medición angular
Fórmula general de conversión
Sector circular 72
Definición
Longitud de arco
Área de sector circular
Razones trigonométricas de un ángulo agudo 85
Razón trigonométrica
Teorema de Pitágoras
Tabla de razones trigonométricas
Resolución de triángulos rectángulos 98
Definición y casos
Ángulos verticales
Cálculo de la distancia entre dos puntos de forma
indirecta
Unidad
Competencia y
capacidades
Contenidos pedagógicos Páginas
Comunica su
comprensión
sobre las formas
y relaciones
geométricas.
Usa estrategias
y procedimientos
para orientarse
en el espacio.
Argumenta
afirmaciones
sobre relaciones
geométricas.
Índice

Nacido en Nicea (actualmente Turquía),
aproximadamente en el año 190 a. C., fue un
matemático, astrónomo y geógrafo griego,
cuyos aportes a la ciencia lo convirtieron,
probablemente, en el más importante de
su época, debido a la precisión de sus
investigaciones.
Hiparco,
Padre
dela
Dentro de sus trabajos más importantes, destaca la construcción de la tabla de cuerdas, que
equivalía a una moderna tabla de senos, la cual necesitaba para calcular la excentricidad de las
órbitas de la Luna y el Sol. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos
de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado
que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r. 300 años
después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base
60) de los babilonios. Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción
básica para los astrónomos. El libro de astronomía, Almagesto, escrito por él, también tenía una
tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro
dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo
a partir de los conocidos. Con la creación de la tabla de cuerdas permitió a los astrónomos
griegos resolver cualquier tipo de triángulo, y permitió hacer modelos astronómicos cuantitativos
y predicciones utilizando sus técnicas geométricas preferidas. Hiparco fue uno de los primeros
matemáticos griegos en utilizar las técnicas aritméticas caldeas, y de esta manera amplió las
técnicas disponibles para los astrónomos y geógrafos. También introdujo en Grecia la división del
círculo en 360°.
Trigonometría
6

En el campo de la astronomía, su aporte constituyó en el estudio del movimiento de la Luna,
calculó la distancia de la Tierra a la Luna en 30 veces el diámetro terrestre, quiere decir,
384 000 km. Elaboró un catálogo de 850 estrellas, aproximadamente, clasificadas en un sistema
de luminosidad de 6 niveles de brillo. De estos estudios, ninguno ha llegado hasta nuestros días,
pero se sabe de ellos por medio del tratado científico Almagesto de Claudio Tolomeo, sobre
quien ejerció gran influencia.
Como hemos visto, los aportes de Hiparco de Nicea fueron de vital importancia para la distintas
ramas de la ciencia, y de base para los científicos que surgieron después de él.
Desempeños
• Establece relaciones entre las características y los atributos medibles de objetos reales o imaginarios y
las asocia y representa con formas bidimensionales compuestas. Establece relaciones entre los lados
y ángulos de un triángulo.
• Expresa con dibujos y con lenguaje geométrico, su comprensión sobre las propiedades del ángulo
trigonométrico, de los lados y ángulos de un triángulo, aun cuando estos cambien de posición y vistas,
para interpretar un problema según su contexto y estableciendo relaciones entre representaciones.
• Lee textos o gráficos que describen características o propiedades de los triángulos y las razones
trigonométricas para extraer información.
• Selecciona y emplea estrategias heurísticas, recursos y procedimientos para determinar las razones
trigonométricas de ángulos agudos, empleando unidades convencionales.
• Plantea afirmaciones sobre las relaciones y propiedades que descubre en las razones trigonométricas,
las justifica con ejemplos y sus conocimientos matemáticos. Reconoce errores en la justificación y los
corrige.
7

8
Tema
Ángulo trigonométrico
1
La trigonometría se usó desde
la antigüedad para dirigir el
rumbo de las embarcaciones
de un lugar a otro.
¿Qué rumbo se debe tomar
para ir de A hacia B?
Rumbo: N 30° E
Lo que se interpreta como
30° hacia el noreste.
El ángulo trigonométrico se obtiene al realizar un giro, desde una posición inicial hasta una
posición final.
El giro se puede realizar en sentido horario (signo negativo) o en sentido antihorario (signo
positivo).
En la solución de problemas es posible cambiar el sentido de giro de cualquier ángulo.
Ejemplos:
(a)
(b)
(c)
Definición
B
N
S
E
O
A
30°
Alfa
Beta
Gamma
Theta
Phi
Omega
Sentido horario
Si el giro es en
el sentido de las
manecillas del reloj.
Sentido antihorario
Si el giro es contrario
al de las manecillas
del reloj.
Se usan letras del
alfabeto griego
cuando se desconoce
la medida de un
ángulo.
Sentido antihorario
Posición inicial
P
o
s
i
c
i
ó
n
fi
n
a
l
(+)
Sentido horario
Posición inicial
P
o
s
i
c
i
ó
n
fi
n
a
l
(–)




Importante
Nota
Cambio en el
sentido de giro
+80° –80°
+90°
–90°
+180° –180°
Cambio en el signo
Cambio en el signo
Cambio en el signo
12
11
10 2
8 4
1
7 5
6
9 3

9
• Los ángulos positivos aumentan a medida que el giro aumenta.
• Los ángulos negativos disminuyen a medida que el giro aumenta.
O también: –30° > –90° > –140° > –220°
O también: 60° < 90° < 130° < 210°
Ángulos coterminales Ángulos consecutivos
Ángulo recto
Ángulo llano
Ángulo de una
vuelta
Relaciones de orden
Casos importantes
180°
360°
210°
60° 90° 130°
–220°
–30°
–90° –140°
Menor Mayor
Mayor Menor
L
a
d
o
fi
n
a
l
Lado incial
Tienen el mismo lado inicial y final.
Recuerda
90°
α
ω β
Ángulos opuestos por el vértice
Si giran en el mismo sentido
son de igual medida.
θ = φ
θ φ
γ

10
1
2
3
4
5
6
Calcula el valor de x. Halla el valor de x.
Encuentra el valor de x.
Resolución:
Todos los ángulos deben tener el mismo sentido
de giro.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Los ángulos tienen el mismo sentido de giro y al
ser opuestos son de igual medida.
36° = 2x + 6°
36° – 6° = 2x
30° = 2x
30°
2
= x
15° = x
∴ x + 140° + 10° = 180°
x + 150° = 180°
x = 30°
Resolución:
Resolución:
Rpta. 60° Rpta. –70°
Rpta. 30°
x + 40° = 90°
x = 90° – 40°
x = 50°
Cambiamos
el sentido
y signo.
Cambiamos
el sentido
y signo.
Graficamos el ángulo
recto (90°) en el mismo
sentido de la variable.
x
–60°
x
60°
30°
x
–40°
30°
x
+40°
x
+90°
40°
50°
–20°
x
–50°
–20°
x
140°
–10° x
140°
+180°
10° x
2x + 6°
36°
Entonces:
x = 60°
∴ (–20°) + (–50°) = x
–70° = x
Rpta. 70°
Entonces:
30° + 40° = x
70° = x
x
–40°
Rpta. 50°
Cambiamos el sentido hacia el
giro del ángulo que se busca.
Graficamos el
ángulo llano
(180°).
Rpta. 15°

11
Dos ángulos adyacentes, que giran en sentido
contrario al de las manecillas de un reloj, miden
40° y x. Encuentra el valor de x, si dichos ángulos
son suplementarios.
Dos ángulos opuestos que giran en sentido
antihorario miden (x – 20)° y (50 – x)°; calcula el
valor del doble de x.
Encuentra el valor de + .
Dos ángulos consecutivos forman un ángulo de
giro antihorario cuya medida es de 80°. Si uno de
los ángulos mide cincuenta grados, ¿cuál es el
valor del otro ángulo?
Dos ángulos coterminales que giran en sentidos
contrarios, miden 60° y x grados. Halla el valor
de x.
40° + x = 180°
x = 180° – 40°
x = 140°
(50 – x)° = (x – 20)°
50 + 20 = x + x
70 = 2x el doble de x.
x + 50° = 80°
x = 80° – 50°
x = 30°
∴ 60° + (–x°) = 360°
60° – 360° = x°
–300 = x
3x + 3x + 3x = 90°
9x = 90°
x =
90°
9
x = 10°
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Los ángulos
suplementarios
forman un
ángulo llano.
Al tener el
mismo giro
son iguales.
Los ángulos
consecutivos
solo
comparten
un lado.
Son
coterminales
y tienen giros
contrarios.
40°
180°
x



Rpta. 140°
Rpta. 30°
Rpta. –300
x
50°
80°
60º
xº
60°
–x°
(50 – x)° (x – 20)°
Rpta. 70
Rpta. 10°
Rpta. 90°
3x
3x
3x
+90°
180°
α + 90° + θ = 180°
+ θ = 180° – 90°
+ θ = 90°

7
8
9
10
11
12
α

12
1
Modela y resuelve
2
ángulo trigonométrico
Sentido antihorario
(+)
P
o
s
i
c
i
ó
n
f
i
n
a
l
Posición inicial
Sentido horario
(–)
P
o
s
i
c
i
ó
n
i
n
i
c
i
a
l
Posición final
Propiedad
Casos importantes
O
+a
Si cambia el sentido de giro, el signo también
cambia.
O
–a
ángulos
coterminales
w
a
ángulos
consecutivos
b
γ
ángulos
opuestos
θ
φ
Completa la tabla escribiendo el sentido de giro y
el signo de cada ángulo trigonométrico.
Ángulo Sentido de giro Signo Ángulo Sentido de giro Signo
Completa la tabla escribiendo el sentido de giro y
el signo de cada ángulo trigonométrico.
Síntesis

13
3
5
7 8
4
6
En el gráfico, determina el valor de x.
–30°
100°
x
Rpta.
Ordena las medidas de los ángulos en forma
creciente.
I.
III.
II.
IV.
A I, III, IV, II B IV, I, III, II
C II, I, III, IV D II, III, I, IV
E III, I, IV, II
A I, IV, III, II B III, IV, II, I
C II, III, IV, I D I, II, III, IV
E II, IV, I, III
I.
III.
II.
IV.
decreciente.
A partir del gráfico, calcula el valor de x.
–40°
x
Rpta.
Dado el gráfico, calcula el valor de x.
–120°
x
Rpta.
Determina el valor de x, en la figura.
80°
–30°
x
Rpta.
Resolución:
Resolución:

14
1
9
11
13 14
10
12
x + 20°
–80°
Rpta.
x – 30°
–50°
Rpta.
30°
40° –25°
x
Rpta.
20°
–15°
10°
x
Rpta.
–30°
x
Rpta.
–40°
x
Rpta.
Resolución:
Resolución:

15
15
17
19 20
16
18
–20°
50°
x
–30°
–60° 50°
x
30°
Dos ángulos suplementarios que giran en sentido
antihorario miden x° y 2x°. Encuentra el valor de
(x/2)°.
Dos ángulos suplementarios que giran en sentido
horario miden 2x° y 3x°. Encuentra el valor de x°.
Rpta.
Dos ángulos opuestos giran en sentidos contrarios,
si uno de ellos mide –30°, halla el doble del otro
ángulo.
Rpta.
Dos ángulos opuestos giran en el mismo sentido,
si uno de ellos mide –40°, halla el triple del otro
ángulo.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:

16
1
Nivel I
2
3
4
5
6
En la figura, determina el valor de x.
–20°
x
–100°
–20°
40°
x
145°
x + 35°
A 80° B –120° C 120°
D 100° E –80°
A –30° B 30° C 20°
D –20° E 10°
A 110° B 105° C 115°
D 125° E 135°
x + 20°
100°
A 10° B 30° C 50°
D 60° E 70°
Dos ángulos suplementarios giran en sentido
antihorario, si uno de ellos mide 80°. Determina
el valor de la mitad del otro ángulo.
A 40° B 50° C 60°
D 30° E 70°
A 120° B 110° C 100°
D 90° E –110°
Usando la información del gráfico, calcula el
valor de x.
20°
–60°
30°
x
80°
x

17
10
11
12
7
8
7 Analiza el gráfico y escribe V si la expresión es
verdadera o F si es falsa.
I. a y q son ángulos adyacentes. ( )
II. a es menor que q. ( )
III. q gira en sentido antihorario y es positivo. ( )
q
a
A 40° B –40° C 30°
D 20° E –30°
A FFF B VFV C FVF
D FFV E VVV
x
140°
A 80° B 130° C 150°
D 60° E 140°
En la figura, halla el valor de x.
x
9
60°
A 30° B 50° C –40°
D 40° E –50°
A partir del gráfico, calcula el valor de la incógnita.
130°
x
A 30° B 36° C 18°
D 26° E 20°
x x
3x
A 150° B 210° C 30°
D 140° E 130°
Encuentra el valor de x, usando la información del
gráfico.
x
–30°

18
16
17
18
13
14
15
A –50° B 50° C 60°
D 40° E –60°
x
+40°
creciente.
I.
III.
II.
IV.
V.
A I, II, III, IV, V B II, III, V, I, IV
C I, IV, V, II, III D I, V, II, IV, III
E III, IV, V, II, I
Nivel II
A 50° B 90° C 80°
D 40° E 70°
Calcula el valor de a + q.
a
q
A 110° B 130° C 90°
D 70° E 60°
En el gráfico, determina el valor de a + q.
70° a
q
x – 10°
x + 30°
A 25° B 35° C 45°
D 55° E 15°
Halla el valor de la expresión x + 10°
2
.
80°
2x – 20°
x
A 100° B 120° C 55°
D 65° E 45°

19
19 22
20
21
24
23
De acuerdo al gráfico, escribe V si la expresión es
verdadera o F si es falsa.
I. a es un ángulo recto positivo. ( )
II. q + φ = 90° ( )
III. a = –90° ( )
IV. φ es un ángulo positivo. ( )
q
a
φ
A FVFV B FFFF C FFVF
D VVFF E VVFV
Escribe H si el sentido de giro es horario yAen caso
sea antihorario, respecto a los ángulos señalados.
I. a
II. b
III. a + q
a
b
q
( )
( )
( )
A HAH B AAA C HHH
D HAA E AHH
Calcula el valor de a + q.
a
q
30°
A 30° B –30° C –20°
D 270° E –270°
Determina el valor de a – q.
a
q
30°
A 30° B 60° C 20°
D 50° E 40°
Encuentra el valor de a + q
2
.
a
q
30°
A 200° B 195° C 190°
D 185° E 180°
2x – 20°
x – 10° 30°
A 10° B 30° C 60°
D 40° E 50°

20
25
28
26
27
29
30
Nivel III
Calcula el valor de 3a ‒ 2q.
a
q
40°
A 360° B 340° C 320°
D 160° E 260°
Determina el valor de 2a – b.
Determina el valor de θ.
120°
b
a
A 90° B 60° C 270°
D 0° E 360°
Si a es un ángulo recto positivo, encuentra el valor
de x.
a
x a – 40°
A 30° B 40° C 50°
D 60° E 10°
Sabiendo que a = 2b = 3φ = 60°, halla el valor
de x.
x
b
a
φ
A –10° B 20° C –20°
D 30° E 10°
Si se sabe que a = 3b = 45°, calcula el valor de x.
4b
–a
x
A 75° B 65° C 85°
D 60° E 55°
320°
200°
θ
A 40° B 60° C 120°
D 140° E 160°

Tema
21
2
Sistema de medición angular
sexagesimal
• El sistema
sexagesimal
se originó en
la antigua
Mesopotamia,
en la civilización
sumeria.
• Sexagesimal es
un término usado
para contar de 60
en 60.
¿Sabías que... ?
La ubicación geográfica de un
lugar en el mundo está dada
por coordenadas geográficas,
expresadas en latitud y
longitud, medidas en grados,
minutos y segundos.
Sistema sexagesimal
Este sistema de medición angular divide
al ángulo de una vuelta en 360 partes
iguales.
Además:
1° se lee, un grado sexagesimal } Unidad
1' se lee, un minuto sexagesimal
1'' se lee, un segundo sexagesimal
Equivalencias
Propiedad: Un ángulo se puede medir en grados, minutos y segundos sexagesimales.
A° B' C'' = A° + B' + C'' Donde B y C no pueden ser mayores que 60.
1 vuelta = 360°
Latitud
12°03ʹ5''
L
i
m
a
Longitud
77°03ʹ0''
1°
Ángulo de
una vuelta
Grados
Minutos
Grados
Minutos
Segundos
Segundos
Minutos
Segundos
Segundos Grados
Grados
Minutos
1° = 60'
1' = 60''
= 360°
× 60
× 60
× 3600 ÷ 3600
÷ 60
÷ 60
Reglas prácticas de conversión
Subunidades

22
Suma de ángulos
Para sumar ángulos se agrupa: grados con grados, minutos con minutos y segundos con
segundos.
Resta de ángulos
Para restar dos ángulos en el sistema sexagesimal se debe asegurar que el minuendo
sea siempre mayor en grados, minutos y segundos.
Ejemplo:
Efectúa: 10°15ʹ40ʹʹ + 5°50ʹ35ʹʹ
Ejemplo:
Efectúa: 20°15ʹ06ʹʹ – 15°50ʹ30ʹʹ
Expresamos convenientemente el minuendo.
10°15ʹ40ʹʹ
+ 5°50ʹ35ʹʹ
15°65ʹ75ʹʹ
75ʹʹ = 60ʹʹ + 15ʹʹ = 1ʹ + 15ʹʹ
15°66ʹ15ʹʹ
66ʹ = 60ʹ + 6ʹ = 1° + 6ʹ
16°6ʹ15ʹʹ
(+)
(+)
20°15ʹ06ʹʹ = 19°75ʹ06ʹʹ = 19°74ʹ66ʹʹ
19°74ʹ66ʹʹ
–15°50ʹ30ʹʹ
4°24ʹ36ʹʹ
Recordemos que los segundos
y minutos no pueden ser mayores a 60.
Resolución:
Ordenamos en forma vertical.
Rpta. 16°6ʹ15ʹ'
Rpta. 4°24ʹ36ʹ'
1° = 60ʹ 1' = 60ʹ'
Restamos:
El sistema
sexagesimal
también es usado
para establecer
equivalencias sobre
unidades de tiempo.
1 hora = 60 minutos
1 minuto = 60 segundos
1 hora = 3600 segundos
Horas
Minutos
Horas
Minutos
Segundos
Segundos
×60
×60
÷60
÷60
Importante
Nota
×3600
÷3600
Resolución:
Observamos que solo en los grados, el minuendo es mayor.

23
1
2
3
4
5
6
Rpta. 50°27ʹ38ʺ
50°27ʹ38ʺ
¿Cuántos segundos hay en 2°11ʹ30ʹʹ? Reduce.
Calcula el valor de x + y, si se sabe que
75ʹʹ = xʹy'ʹ.
Convierte 7520ʺ a grados, minutos y segundos
sexagesimales.
¿Cuántos segundos hay en 3h 10 min?
Efectúa.
32°37ʹ48ʺ + 17°49ʹ50ʺ
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
2 × 3600ʹʹ = 7200ʹʹ
11 × 60 = 660ʹʹ
75ʹʹ = 60ʹʹ + 15ʹʹ = 1ʹ + 15ʹʹ = 1ʹ15ʹʹ
∴ 7200ʹʹ + 660ʹʹ + 30ʹʹ = 7890ʹʹ
1ʹ15ʹʹ = xʹyʹʹ x = 1
y = 15
Luego:
x + y = 1 + 15 = 16
Rpta. 7890ʹʹ
Rpta. 16
Rpta. 9
Rpta. 2°5ʹ20ʺ
Rpta. 11 400 s
98ʺ = 60ʺ + 38ʺ = 1ʹ + 38ʺ
87ʹ = 60ʹ + 27ʹ = 1° + 27ʺ
49°87ʹ38ʺ
Entonces:
32°37ʹ48ʹʹ +
17°49ʹ50ʺ
49°86ʹ98ʺ
• De segundos a grados: ÷3600
• De segundos a minutos: ÷60
∴ 10 800 s + 600 s = 11 400 s
A = +
3 × 60ʹ + 15ʹ
39ʹ
4 × 60ʹ' + 16ʺ
64ʺ
A = +
195ʹ
39ʹ
256ʺ
64ʺ
A = 5 + 4 = 9
7520ʹʹ
320ʹʹ
–7200ʹʹ
–300ʹʹ
320ʹʹ
20ʹʹ
2°
5ʹ
3600
60
Convertimos este
residuo en minutos.

(=)
(=)
Recordemos que los
minutos y segundos no
deben ser mayores a 60.
(+)
(+)
A = +
3°15ʹ
39ʹ
4ʹ16ʺ
64ʺ
3h = 3 × 3600 s = 10 800 s
10 min = 10 × 60 s = 600 s

24
7 10
8
9
11
12
Halla el valor de x, a partir de la figura. Macarena ha demorado 4025 segundos en pintar
un cuadro. ¿Cuántas horas, minutos y segundos
de su tiempo ha invertido en el cuadro?
Ana Paula demora media hora en ducharse y
cambiarse, catorce minutos en peinarse y veinte
minutos en maquillarse. ¿Cuántos segundos en
total le toma estar lista?
César y Martín realizan la misma actividad por
separado. César emplea dos mil setecientos
sesenta segundos y Martín cuarenta y siete
minutos. ¿Quién fue más rápido?
Convertimos de segundos a horas: ÷3600
Resolución:
Resolución:
Resolución:
ducha = 1/2 hora = 30 min = 30 × 60 s = 1800 s
peinado = 14 min = 14 × 60 s = 840 s
maquillaje = 20 min = 20 × 60 s = 1200 s
Total: 1800 s + 840 s + 1200 s = 3840 s
César = 2760 s
Martín: 47 min = 47 × 60 s = 2820 s
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta. 24°45'
Rpta. 29°44ʹ20ʺ
Rpta. 91°6ʹ25ʺ
65°15ʹ
x
150°15ʹ40ʺ
x
x + 150°15ʹ40ʺ = 180°
x = 180° – 150°15ʹ40ʺ
x = 179°59ʹ60ʺ – 150°15ʹ40ʺ
x = 29°44ʹ20ʺ
x = 50º15'40'' + 40°50ʹ45ʺ
x = 90°65ʹ85ʺ
x = 90°66ʹ25ʺ
x = 91°6ʹ25ʺ
x + 65°15ʹ = 90°
x = 90° – 65°15ʹ
x = 89°60ʹ – 65°15ʹ
x = 24°45ʹ
Recordamos:
90° = 89° + 1° = 89°60ʹ
40°50ʹ45ʺ
x
50°15ʹ40ʺ
60ʹ' + 25ʺ
60' + 6'
1'
1º
+
+
Rpta. Macarena utilizó 1 h 7 min 5 s
Rpta. Ana Paula está lista en 3840 s.
Rpta. César fue más rápido, ya que lo hizo en
2760 s.
Convertimos de segundos a minutos: ÷60
4025
425
–3600
–420
425
5
1
7
3600
60
segundos sobrantes
segundos sobrantes
minutos
hora
Recordamos:
180º = 179º59'60''

25
1
Modela y resuelve
2
4
También
recuerda
90°
O
180°
360°
sistema de medición angular sexagesimal
• 1 vuelta = 360°
• 1° = 60'
Además:
Ángulo recto
Ángulo llano
Ángulo de una vuelta
180° = 179°60ʹ = 179°59ʹ60ʹʹ
90° = 89°60ʹ = 89°59ʹ60ʹʹ
Equivalencias
• 1ʹ = 60''
• 1° = 3600''
O
O
1°
Completa la tabla.
Grados Minutos Segundos
7200
180ʹ
6°
Escribe las equivalencias.
3600
4°
300ʹ
3 Calcula cuántos segundos hay en 3°13ʹ15ʺ.
Rpta. Rpta.
Calcula cuántos segundos hay en 2°36ʹ17ʺ.
3
Síntesis

26
5
7
6
8
Rpta.
Efectúa.
12°26ʹ37ʺ + 4°19ʹ40ʺ
Rpta.
Halla el valor de A =
2°30ʹ
50ʹ
+
3ʹ40ʺ
22ʺ
.
Rpta.
Halla el valor de J =
4°50ʹ
29ʹ
+
5ʹ30ʺ
11
.
Rpta.
Efectúa.
41°17ʹ47ʺ + 2°11ʹ20ʺ
Rpta.
¿Cuántos segundos hay en 2 horas 15 minutos?
Rpta.
En 3 horas y 20 minutos, ¿cuántos segundos hay?
Rpta.
¿Cuántos grados, minutos y segundos hay
en 26 714ʺ?
Rpta.
Expresa 21 265ʺ en grados, minutos y segundos.
Resolución:
Resolución:
9 10
11 12

27
13
15
14
16
17 18
19 20
Calcula el valor de a + b, sabiendo que
192ʹ = a°bʹ.
Si se sabe que 737ʺ = xʹyʺ, calcula el valor de x + y.
Rpta.
A partir de la figura, determina el valor de x.
36°40ʹ
x
20°31ʹ
Rpta.
25°40ʹ
x
10°15ʹ
Rpta.
Rpta.
Resuelve.
23°11ʹ5ʺ – 14°37ʹ56ʺ
Rpta.
Resuelve.
4°17ʹ31ʺ – 2°39ʹ59ʺ
Rpta.
Alejandro ha estado conectado a Facebook
1380 segundos por la mañana y 900 segundos por
la tarde. ¿Cuántos minutos ha estado conectado
en total?
Carolina ha escuchado música durante
3780 segundos en la mañana y 2700 segundos
en la tarde. ¿Cuántos minutos ha escuchado
música en total?
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
∴

28
1
Nivel I
2
3
4
5
6
¿Cuántos segundos hay en 3°15ʹ17ʺ?
Efectúa.
2°10ʹ20ʺ + 14°15ʹ30ʺ
Resuelve.
20°31ʹ47ʺ – 18°25ʹ27ʺ
A 11 717'' B 11 818''
C 11 919'' D 11 616''
E 11 515''
A 16°25ʹ30ʺ B 16°30ʹ35ʺ
C 16°25ʹ50ʺ D 16°35ʹ50ʺ
E 16°35ʹ40ʺ
A 2°6ʹ40ʺ B 2°7ʹ20ʺ
C 2°8ʹ20ʺ D 2°6ʹ20ʺ
E 2°9ʹ20ʺ
¿Cuántos minutos hay en 3780 segundos?
Halla el resultado de 40°17ʹ – 23°52ʹ.
Encuentra el valor de la incógnita.
47°39ʹ + x = 90°
A 60' B 61' C 62'
D 63' E 64'
A 16°24ʹ B 15°24ʹ C 16°26ʹ
D 15°25ʹ E 16°25ʹ
A 42°21ʹ B 43°21ʹ C 41°21ʹ
D 42°22ʹ E 44°21ʹ

29
10
11
12
7
8
9
¿Cuánto es el valor de x en la ecuación?
x + 45°40ʹ = 180°
A 134°20ʹ B 133°20ʹ
C 132°20ʹ D 134°30ʹ
E 135°30ʹ
Resuelve.
130°10ʹ12ʺ – 120°40ʹ56ʺ
Calcula el resultado de 23°49ʹ57ʺ + 15°45ʹ55ʺ.
A 9°29ʹ17ʺ B 8°29ʹ17ʺ
C 8°29ʹ16ʺ D 9°29ʹ16ʺ
E 9°28ʹ18ʺ
A 38°94ʹ112ʺ B 39°35ʹ22ʺ
C 38°35ʹ52ʺ D 39°35ʹ52ʺ
E 39°18ʹ22ʺ
A partir del gráfico, determina el valor de x.
Antonio fue al cine a ver el estreno de su película
favorita. Según sus cálculos, la película duró
1 h 58 min y 14 s. ¿Cuántos segundos duró la
película en total?
A 46°8ʹ41ʺ B 45°8ʹ41ʺ
C 47°8ʹ42ʺ D 44°8ʹ41ʺ
E 46°8ʹ44ʺ
A 118°50ʹ19ʺ B 119°50ʹ19ʺ
C 117°50ʹ19ʺ D 118°51ʹ18ʺ
E 119°51ʹ18ʺ
A 7093 s B 7092 s
C 7097 s D 7094 s
E 7000 s
43°51ʹ19ʺ
x
61°9ʹ41ʺ
x

30
16
17
18
13
14
15
Nivel II
Simplifica.
N =
1°31ʹ
13ʹ
+
1ʹ52ʺ
16ʺ
30°10ʹ
42°15ʺ
35°28ʹ
x
Calcula el valor de a + b sabiendo que 72ʹ = b°aʹ.
A 13 B 15 C 16
D 14 E 7
A 12 B 11 C 13
D 15 E 14
A 107°38ʹ25ʺ B 109°38ʹ60ʺ
C 106°38ʹ17ʺ D 107°38ʹ15ʺ
E 108°38ʹ67ʺ
Efectúa.
2°15ʹ40ʺ + 13°40ʹ50ʺ + 21°30ʹ6ʺ
Si se sabe que 4222ʺ = a°bʹcʺ; determina el valor
de
c
a + b
.
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
A 36°26ʹ36ʺ B 36°26ʹ37ʺ
C 37°26ʹ36ʺ D 37°27ʹ37ʺ
E 38°28ʹ38ʺ
x + 9°50'
x + 20°10'
A 27° B 30° C 32°
D 28° E 31°
1
2

31
19 22
20
21 24
23
Si se sabe que 6°05ʹ58ʺ – 3°50ʹ47ʺ = a°bʹcʺ;
encuentra el valor de b – c
a
.
Sabiendo que 3°15ʹ16ʺ + 4°50ʹ47ʺ = a°bʹcʺ; calcula
el valor de a + b + 1
c
.
Determina el valor de verdad de cada proposición.
I. 90º = 89º60'
II. 2º = 7200
III. 180º = 179º59'60
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
A 5 B 6 C 7
D 8 E 9
A VVF B FFF C FVV
D VVV E FVF
Relaciona los elementos de ambas columnas,
según corresponda.
I. 59º60' a. 6'
II. 360º b. 359º59'60
III. 360 c. 60º
A Ia; IIb; IIIc B Ic; IIb; IIIa
C Ic; IIa; IIIb D Ib; IIc; IIIa
E Ia; IIc; IIIb
Halla el valor de a + b + c, si se sabe que
a°45'52'' – 1°b'17'' = 7°35'c''.
Encuentra el valor de a – c + b, si:
14°a'16'' + b°10'14'' + 2°5'c'' = 20º21'41''
A 18 B 50 C 51
D 48 E 53
A 1 B –1 C 2
D 3 E –2

32
25 28
26
27
29
30
Nivel III
Determina el valor de x en la ecuación.
40°15' + 3x – 10° + 50º45' = 180°
A 89° B 100° C 99°
D 33° E 15°
Calcula el valor de a + b + c + d, si se sabe que
4°a'10'' + b°11'9'' + 3°c'4'' = 13°19'd''.
A partir del gráfico, halla el valor de x.
6°40ʹ – x
x
A 35 B 39 C 33
D 34 E 37
A 48°20ʹ B 47°20ʹ
C 46°15ʹ D 48°40ʹ
E 49°20ʹ
Con la información del gráfico, encuentra el valor
de x.
30°30ʹ – 2x
x
En la ecuación, calcula el valor de la incógnita.
49°x' + x°20' = 90°
60°3'x'' + 69°x'4'' + x°6'6'' = 180°
A 70°10ʹ B 70°12ʹ C 71°10ʹ
D 73°13ʹ E 72°30ʹ
A 40 B 50 C 60
D 80 E 70
A 40 B 45 C 50
D 55 E 60

Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 1
33
Dos ángulos adyacentes giraron en sentido
antihorario. Si se sabe que uno de ellos mide
120°, indica cuánto será la sexta parte de la
medida del otro ángulo.
Determina el valor de θ – α.
Calcula el valor de x ÷ 10. Encuentra el valor de x.
Halla el quíntuple de x. Descubre el valor de α – β.
1 4
2 5
3 6
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
10°
A
30°
C
20°
B
60°
D
10°
A
30°
C
20°
B
50°
D
10°
A
20°
C
80°
B
1°
D
45°
A
80°
C
60°
B
90°
D
20°
A
80°
C
40°
B
100°
D
0°
A
2°
C
1°
B
3°
D
20° + x
–150°
4x
3x
2x
70°
α
α
90° – α
–θ
α + 30°
x
135°
β

34
¿Cuántos segundos hay en 8°20'51''? Da como
respuesta la suma de las cifras.
Efectúa.
36°41'33'' + 24°28'12'' + 48°50'15''
En la siguiente ecuación, calcula el valor de β.
36°28' + β = 90°
Determina el valor de M, si se sabe que:
4°5ʹ13ʹʹ + 11°8ʹ7ʹʹ = a°bʹcʹʹ y
Halla el valor de x en el gráfico. Encuentra el valor del suplemento de x.
7 10
8 11
9 12
31051
A
30000
C
30051
B
9
D
1
A
4
C
2
B
8
D
53°38ʹ
40°11ʹ39ʹ 150°
A
A A
58°30ʹ
41°11ʹ40ʹ 60°
C
C C
52°32ʹ
41°12ʹ39ʹ 90°
B
B B
53°32ʹ
41°12ʹ41ʹ 30°
D
D D
139°48ʹ21ʹʹ
x
107°12ʹ33
A
110°
C
110°48ʹ21
B
112°59ʹ
D
M =
a + b – c
2
4x x – 90°

Tema
35
3
A finales del siglo XVIII, en Francia,
se dictó una ley que cambió, entre
otras cosas, el calendario y el
sistema de medición angular.
En aquella época, en Francia, el día
fue dividido en 10 horas, cada hora
en 100 minutos y cada minuto en
100 segundos.
Este sistema de medición angular divide al ángulo de
una vuelta en 400 partes iguales.
Sistema centesimal
Reloj de Laplace
1 vuelta = 400g
1g
Equivalencias
Propiedad: Un ángulo se puede medir en grados, minutos y segundos centesimales.
Ag Bm Cs = Ag + Bm + Cs: Donde B y C no pueden ser mayores que 100.
Ángulo de
una vuelta
1g = 100m
1m = 100s
= 400g
Reglas prácticas de conversión
Grados Minutos
Minutos Grados
× 100 ÷ 100
Minutos Segundos
Segundos Minutos
× 100 ÷ 100
Grados Segundos
Segundos Grados
× 10 000 ÷ 10 000
X
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
Pierre - Simon
Laplace
Nació en Francia el
28 de marzo
de 1749.
Ángulo recto
Ángulo llano
100g
200g
Importante
Además:
1g se lee, un grado centesimal } Unidad
1m se lee, un minuto centesimal
1s se lee, un segundo centesimal
angular centesimal
Subunidades

36
Ejemplo:
Efectúa: 45g15m26s – 19g87m63s
Resolución:
El minuendo es menor en los minutos y segundos.
45g15m26s 45g cede 1g o 100m a 15m.
115m cede 1m o 100s a 26s.
44g115m26s
44g114m126s
Efectúa: 25g80m45s + 16g41m80s
25g 80m 45s
+ 16g 41m 80s
41g121m125s
41g122m25s
42g22m25s
Rpta. 42g22m25s
Rpta. 25g27m63s
100s + 25s = 1m + 25s
100m + 22m = 1g + 22m
Suma de ángulos
Para sumar ángulos se agrupan los sumandos en grados, minutos y segundos,
respectivamente.
Resta de ángulos
Para restar ángulos se debe expresar el minuendo como una cantidad mayor en grados,
minutos y segundos, respecto al sustraendo.
Ejemplo:
(+)
44g114m126s
– 19g 87m 63s
25g 27m 63s
Expresamos convenientemente.
1g
1m
(+)
Recuerda que los minutos
y segundos no deben ser
mayores que 100.
Restamos.
• 100g = 99g100m
• 100g = 99g99m100s
• 200g = 199g100m
• 200g = 199g99m100s
Atención

37
1
2
3
4
5
6
Calcula cuántos segundos hay en 3g12m41s.
En la figura, determina el valor de x.
Halla el valor de x, a partir de la figura.
Calcula el valor de x, en la figura.
Reduce.
Encuentra el valor de a + b, si 140m = agbm.
Resolución:
3g12m41s = 3g + 12m + 41s
12 × 100s = 1200s
3 × 10 000s = 30 000s
= 30 000s + 1200s + 41s
= 31 241s
A =
3g40m
34m +
5m16s
129s
Resolución:
A =
3g + 40m
34m +
5m + 16s
129s
A =
3 × 100m + 40m
34m +
5 × 100s + 16s
129s
A =
300m + 40m
34m +
500s + 16s
129s
A =
340m
34 m +
516s
129s
A = 10 + 4 = 14
Resolución:
140m = 100m + 40m
= 1g + 40m
= 1g 40m
Por lo tanto: 1g 40m = ag bm
a = 1 ; b = 40
Finalmente: a + b = 1 + 40 = 41
Resolución:
En el sistema centesimal el ángulo recto mide
100g, entonces:
x + 40g50m = 100g
x + 40g50m = 99g100m
x = 99g100m – 40g50m
x = 59g50m
Resolución:
x + 140g80m = 200g
x + 140g80m = 199g + 1g
x + 140g + 80m = 199g + 100m
x = 199g + 100m – 140g – 80m
x = 59g + 20m
x = 59g20m
Resolución:
x + 50g60m = 100g
x + 50g60m = 99g + 1g
x + 50g + 60m = 99g + 100m
x = 99g + 100m – 50g – 60m
x = 49g + 40m
x = 49g40m
40g50m
x
50g60m
x
140g80m
x
Rpta. 14
Rpta. 31 241s
Rpta. 59g50m Rpta. 59g20m
Rpta. 41
Rpta. 49g40m

38
7
8
9
10
11
12
Resolución:
x + 165g + 100g = 400g
x + 265g = 400g
x = 400g – 265g
x = 135g
Determina si las proposiciones son verdaderas o
falsas.
I. 800s 10m
II. 1g5m 84m
III. 1546s 2g
Expresa 266 649s en grados, minutos y segundos
centesimales.
Calcula el valor de x, en centesimales.
Determina el valor de x en centesimales.
por ser un ángulo recto
Encuentra el valor de x, en centesimales.
Halla el valor de x, en centesimales.
Rpta. 26g66m49s
Rpta. 135g
Rpta. Las 3 proposiciones son falsas.
I. 800s 10 × 100s
800s 1000s (F)
II. 1g 5m 84m
1 × 100m + 5m 84m
100m + 5m 84m
105m 84m (F)
III. 1546s 2g
1546s 2 × 10 000s
1546s 20 000s (F)
Resolución:
Para comparar cantidades, expresamos en las
mismas unidades.
Resolución:
x + 180g50m + 100g = 400g
x = 400g – 100g – 180g50m
x = 300g – 180g50m
x = 299g + 1g – 180g50m
x = 299g + 100m – 180g50m
x = 299g100m – 180g50m
x = 119g50m
Resolución:
Recordamos: 100s = 1m (dos ceros)
10 000s = 1g (cuatro ceros)
Resolución:
Resolución:
2x + 3x = 200g
5x = 200g
x =
200g
5
x = 40g
Rpta. 40g
Rpta. 50g Rpta. 119g50m
3x
2x
150g
x
50g + x = 100g
x = 50g
150g
200g
50g
x
260 000s + 26g
6600s 66m
49s 49s
266 649s 26g + 66m + 49s
165g
x
180g50m
x
Ángulo llano
200g



+
+

39
Síntesis
1
3
5
Modela y resuelve
2
4
6
Completa el siguiente cuadro.
4g
1500m
50 000s
1700m
3g
60 000s
Calcula los segundos que hay en 5g16m14s.
Rpta.
Calcula los segundos que hay en 4g41m39s.
Rpta.
Halla el valor de x + y, si 340m = xgym.
Rpta.
Halla el valor de a + b, si 480s = ambs.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
También
recuerda
sistema de medición angular centesimal
• 1 vuelta = 400g
• 1g = 100m
Además:
200g = 199g 100m = 199g 99m 100s
100g = 99g 100m = 99g 99m 100s
Equivalencias
• 1m = 100s
• 1g = 10 000s
200g
O
400g
O
100g
O
1g
Ángulo recto
Ángulo llano
Ángulo de una vuelta

40
7 8
Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Reduce.
A =
3g69m
41m
+
2g22m
37m
Reduce.
B =
3m57s
51s
+
3m32s
83s
Efectúa.
4g50m37s + 5g20m73s
Efectúa.
7g60m19s + 3g40m31s
Efectúa.
41g16m13s – 27g19m40s
Efectúa.
17g27m23s – 5g69m40s
Resolución:
Resolución:
9 10
11 12

41
1
13 14
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Calcula el valor de x, según la figura. Según la figura, calcula el valor de α.
Halla el valor de .
Determina el valor de x. Determina el valor de x.
Halla el valor de x .
x
70g60m
x
60g45m
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
15 16
17 18
89g
–150g
145g
139gxn
–155g
–x
α
3
35gxm
xg36m
x
2
60gxm

42
1
Nivel I
2
3
4
5
6
Reduce.
N =
1g68m
14m
x
65g
x
66g
A 30g B 35g C 40g
D 45g E 50g
A 31g B 32g C 33g
D 34g E 35g
A 10 B 11 C 12
D 13 E 14
Encuentra el valor de a + c – b; si:
3g15m20s
4g20m18s
ag bm cs
x
153g
A 145g B 147g C 149g
D 253g E 143g
A 4 B 8 C 9
D 12 E 10
Del gráfico, calcula el valor de a + b – c.
agbmcs
25 453s
A 1 B 3 C 2
D 4 E 5
+

43
10
11
12
7
8
9
x
55g50m
x 154g50m
x
–55g
A 45g50m B 45g60m C 46g50m
D 44g50m E 44g60m
A 44g50m B 44g60m C 44g30m
D 45g50m E 44g40m
A 40g B 50g C 65g
D 45g E 55g
Relaciona las expresiones de la izquierda con sus
equivalencias de la derecha.
I. 3g a. 215s
II. 2m15s b. 1g40m
III. 140m c. 30 000s
A Ia; IIb; IIIc B Ic; IIa; IIIb
C Ib; IIc; IIIa D Ia; IIc; IIIb
E Ic; IIb; IIIa
x x + 20g
40g
x
354g60m
A 45g50m B 45g40m C 46g50m
D 44g50m E 44g60m
A 30g B 40g C 50g
D 45g E 20g

44
Nivel II
Indica verdadero (V) o falso (F), según
corresponda.
I. 100g equivale a 99g100m. ( )
II. 2m23s es mayor a 232s. ( )
III. 200g equivale a 199g99m100s. ( )
A VVV B VFF C FVF
D FFV E VFV
Relaciona los gráficos de la izquierda con sus
medidas equivalentes de la derecha.
I. a. 199g100m
II. b. 99g100m
III. c. 399g100m
E Ic; IIb; IIIa
x
2x + 10g
40g
A 30g B 40g C 50g
D 35g E 45g
x
–30g
40g
A 15g B 20g C 25g
D 30g E 35g
–40g
x
A 220g B 230g C 240g
D 250g E 260g
Indica verdadero (V) o falso (F), según la figura.
I. α = 6000m ( )
II. β 150g ( )
III. α + β 210g ( )
α
β
40g
A VFV B VVV C FVF
D VVF E FFF
13
14
15
16
17
18

45
Halla el valor de M.
M =
1m76s
16s
+
1g15m
23m
A 3 B 4 C 5
D 6 E 16
Según el gráfico.
150g
–170g
–x
α
β θ
60g
Relaciona los ángulos de la izquierda con sus
respectivos valores de la derecha.
I. a a. 160g
II. b b. 140g
III. q c. 40g
A 60g B 70g C 80g
D 90g E 65g
E Ic; IIb; IIIa
Encuentra el valor de x en grados y minutos
centesimales.
x
45g20m 40g60m
A 114g20m B 115g20m
C 116g20m D 114g30m
E 115g30m
¿Cuál(es) de los siguientes gráficos presenta una
medida de ángulos incorrecta?
I.
II.
III.
–40g
60g
60g
–300g
–30g
150g
A II y III B Solo III
C Solo I D Solo II
E Ninguno
19
20
21
22
23

46
Nivel III
Calcula el valor de x en grados, minutos y segundos
centesimales.
40g60m45s
x
A 59g38m55s B 60g40m55s
C 60g45m55s D 59g39m55s
E 60g40m65s
Halla el valor de x en grados, minutos y segundos
centesimales.
20g65m47s x
A 180g35m53s B 179g34m53s
C 179g35m54s D 180g45m53s
E 180g35m54s
x
–40
g 50
m 10
s
–40g10m50s
A 20g40m40s B 19g40m40s
C 20g39m39s D 19g39m40s
E 20g39m40s
x
50g65m 40g40s
A 108g35m60s B 108g35m65s
C 109g34m60s D 109g35m60s
E 110g35m40s
60gxm
99g
40g40m
xg40m
39gxm
A 60 B 20 C 30
D 40 E 50
A 40 B 50 C 60
D 65 E 55
24
25
26
27
28
29

Tema
47
4
angular radial
el número π
En todas las circunferencias la división entre
la medida de su longitud (L) y la medida de su
diámetro (D), genera un mismo resultado, un número
aproximadamente igual a 3,141592..., este número es
representado por la letra griega π.
Es decir:
La longitud de la circunferencia resulta de multiplicar por π el valor del diámetro de la
circunferencia.
Este sistema de medición angular radial asigna al ángulo de una vuelta un valor de 2π rad.
L = D × π
1 vuelta = 2π rad
π
2
rad
π rad
3π
2
rad
longitud de la circunferencia
El número π en Trigonometría
Diámetro
L
D
= = π
Diámetro
L
o
n
g
i
t
ud de la circunfe
r
e
n
c
i
a
D
Ángulo recto Ángulo llano
O
O
O
William Jones
(1675 - 1749)
Matemático galés
que propuso el uso
de π para representar
el número pi.
Leonhard Euler
(1707 - 1783)
Matemático y físico
suizo. Extendió el uso
de la letra π entre los
matemáticos.
Observa

48
1
2
3
4
Efectúa. Determina el valor de x, a partir de la figura.
Encuentra el valor de x, en radianes.
Calcula el valor de x, en el sistema radial.
Entonces:
Cambiamos
de sentido
y signo.
Planteamos la ecuación de equivalencia.
• Todos los ángulos
deben tener el mismo
sentido de giro.
Cambiamos
de sentido de
giro y signo.
• Si cambia el sentido
de giro cambia el
signo del ángulo.
MCM(5; 3; 10) = 30
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
15
30
30
. π
5
–
30
30
. π
3
+
30
30
. 3π
10
15
6 . π
30
–
10 . π
30
+
3 . 3π
30
15
6π – 10π + 9π
30
x +
π
10
rad =
π
2
rad
x +
π
3
rad = 2π rad
π
4
rad + x +
π
3
rad = π rad
x = 2π rad –
π
3
rad
x = π rad –
π
3
rad –
π
4
rad
15 . 5π
30
= 5π
2
x = π rad –
7π
12
rad
x =
5π
3
rad
x =
5π
12
rad
x =
4π
10
rad
x =
2π
5
rad
π
10
rad
π
3
rad
π
3
rad
–
π
4
rad
π
3
rad
π
4
rad
π
10
rad
–x
+x
x =
π
2
rad –
π
10
rad
x =
5
5
×
π
2
rad –
π
10
rad
x
x
x
–
π
3
rad x
Rpta. rad
5π
2
Rpta.
2π
5
rad
Rpta.
Rpta.
5π
12
5π
3
rad
rad
15
π
5
–
π
3
+
3π
10

49
5
6
7
8
Halla el valor de x, en radianes. Efectúa.
M =
3
π
13π
3
+
11π
6
+
13π
6
Según el gráfico, analiza el valor de verdad de las
expresiones.
I. α =
π
3
rad (V)
Son ángulos opuestos por el vértice y tienen
el mismo sentido de giro.
II. α + β = π rad (V)
Los ángulos forman un ángulo llano.
III. β +
π
3
rad = π rad (V)
β = π rad –
π
3
rad
β =
2π
3
rad
I. α =
π
3
rad
II. α + β = π rad
III. β =
2π
3
rad
x + x + x = π rad
3x = π rad
Cambiamos
el sentido de
giro y signo.
MCM(3; 6) = 6
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
π
6
rad +
π
4
rad =
5π
6
rad
x = 5π
6
rad –
π
6
rad –
π
4
rad
x =
π
3
rad
x =
4π
6
rad –
π
4
rad
x =
2π
3
rad –
π
4
rad
x =
5π
12
rad
π
6
rad
π
3
rad
π
3
rad
π
6
rad
π
4
rad
π
4
rad
–
5π
6
rad
5π
6
rad
x
x
x
x
α
α
β
β
x
M =
50
2
M = 25 M = 5
M =
3
π
2
2
.13π
3
+
11π
6
+
13π
6
M =
3
π
26π
6
+
11π
6
+
13π
6
M =
3
π
50π
6
x +
Rpta.
5π
12
rad
Rpta.
π
3
rad
Rpta. 5
Rpta. VVV

50
9
10
11
12
Ordena los siguientes ángulos, indicados de rojo,
de menor a mayor.
Del gráfico:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
• El menor ángulo es II porque gira en sentido
horario, por tanto es negativo.
• El ángulo IV es mayor al ángulo recto, pero
menor al ángulo llano.
• El ángulo III es mayor que el ángulo llano.
• El ángulo I es casi de una vuelta.
α = –
π
4
rad
θ =
π
4
rad
Para β:
π
4
rad + β +
π
4
rad = π rad
β +
π
2
rad = π rad
β = π rad –
π
2
rad
β =
π
2
rad
I. α a.
π
4
rad
II. β b. –
π
4
rad
III. θ c.
π
2
rad
Calcula el valor de x + y.
• x +
π
4
rad = π rad
x = π rad –
π
4
rad
x =
3π
4
rad
• y +
π
4
rad =
π
2
rad
y =
π
2
rad –
π
4
rad
y =
π
4
rad
I.
III.
II.
IV.
π
18
rad
–
5π
9
rad
5π
9
rad
2π
3
rad
2π
3
rad
π
3
rad
–
π
4
rad
π
4
rad
π
9
rad
x
x
x
y
β
α θ
Cambiamos
el sentido de
giro y signo.
x +
5π
9
rad +
2π
3
rad = 2π rad
x +
11π
9
rad = 2π rad
x = 2π rad –
11π
9
rad
x =
7π
9
rad
Rpta. II, IV, III, I.
Rpta. Ib; IIc; IIIa.
x + y =
3π
4
rad +
π
4
rad
x + y = π rad

Rpta. π rad
Rpta.
7π
9
rad
π
4
rad

51
Síntesis
1
3
Modela y resuelve
2
4
Relaciona los diámetros de la izquierda con la
longitud de la circunferencia correspondiente de
la derecha.
L = π.D
Se cumple que:
Entonces:
Pero D = 2r
Relaciona los diámetros de la izquierda con la
longitud de la circunferencia correspondiente de
la derecha.
D
I. 3 cm
II. 1 m
III. 4 m
a. π m
b. 3π cm
c. 4π m
Diámetro Longitud de la circunferencia
I. 10 m
II. 7 m
III. 15 cm
a. 7π m
b. 15π cm
c. 10π m
Diámetro Longitud de la circunferencia
L = 2πr
L : longitud de la circunferencia
D : diámetro
r : radio
rad
π
2
rad
3π
2
π rad
2π rad
x
rad
π
4
Rpta. Rpta.
Rpta.
x
rad
π
6
Rpta.
Recuerda
también...
Sistema de medición angular radical
Resolución:
Resolución:

52
1
5 6
7 8
9 10
Reduce.
Q =
12
13
π
2
+
π
3
+
π
4
Rpta.
Reduce.
P =
8
7
π +
π
2
+
π
4
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Determina el valor de x, en radianes.
Halla el valor de x, en radianes. Halla el valor de x, en radianes.
x
rad
3π
4
x
2π
3
rad
x
rad
7π
4
x
rad
9π
5
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.

53
11
13
12
14
Nivel II
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
x
rad
5π
6
–
Rpta.
–x
9π
10
rad
x
x
x
π
4
x
x
rad
x
π
3
–
Rpta.
rad
x
rad
π
4
–
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
15 16

54
1
Nivel I
2
3
4
5
6
Efectúa.
Reduce.
x
p
3
rad
A
π
2
B π C π
5
D
π
6
E
π
4
A
π
3
B
2π
3
C π
6
D
π
4
E
π
5
A
π
2
rad B π rad C π
6
rad
D
π
3
rad E
π
6
rad
Efectúa.
I. a a.
π
6
rad
II. β b. –
π
3
rad
III. θ c.
π
2
rad
θ
a
β
π
3
rad
R =
15
π π +
π
15
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
A Ia; IIb; IIIc B Ib; IIc; IIIa
C Ib; IIa; IIIc D Ic; IIa; IIIb
E Ia; IIc; IIIb
π
4
rad
π
3
rad
x
A 7π rad B
7π
12
rad C 7π
9
rad
D
7π
5
rad E
7π
3
rad
N =
π
3
+
π
6
–
π
4
M = π –
π
2
+
π
6

55
10
11
12
7
8
9
Indica verdadero (V) si los ángulos son correctos y
falso (F) si no lo son.
I.
( )
II.
( )
III.
π
4
rad
7π
4
rad π
4
rad
p
4
rad
p
3
rad
p
6
rad
2π
3
rad
x
π
5
rad
π
10
rad
π
10
rad
x
A
π
6
rad B
7π
6
rad C 5π
3
rad
D
π
3
rad E
3
2
rad
A
π
5
rad B
π
2
rad C π
8
rad
D
2
7
rad E
2π
5
rad
A VVF B FVV C VFV
D VVV E FFF
Calcula el valor de a + b.
Relaciona los ángulos de la izquierda con sus
medidas en radianes de la derecha.
I. 1 vuelta a. π rad
II. 1
2
vuelta b. 2π rad
III. 1
4
vuelta c.
π
2
rad
p
5
rad
x
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
A
6π
7
rad B
3π
5
rad C 6π
5
rad
D
9π
5
rad E
7π
5
rad
A Ib; IIa; IIIc B Ic; IIb; IIIa
C Ib; IIc; IIIa D Ia; IIb; IIIc
E Ic; IIa; IIIb
aπ
3
rad
bπ
3
rad
( )

56
16
17
18
13
14
15
Nivel II
π
4
rad
x
A
7π
3
rad B
7π
4
rad C 9π
4
rad
D
3π
4
rad E
11π
4
rad
Efectúa.
R =
5
π 3π +
π
5
x
x
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
A
π
5
rad B
π
3
rad C π
4
rad
D
π
3
rad E
π
7
rad
Efectúa.
P =
p
2 +
p
4 +
p
8 +
p
16 ×
16
5
–x
π
8
rad
–x
–x
x
A p B 2p C 3p
D 4p E 5p
A –
π
4
rad B
π
4
rad C 3π
8
rad
D –
3π
8
rad E
π
5
rad
A
π
2
rad B
π
4
rad C π
5
rad
D
π
3
rad E
π
6
rad

57
22
23
24
19
20
21
Relaciona los gráficos de la izquierda, con las
medidas angulares más adecuadas de la derecha.
Según el gráfico, analiza el valor de verdad de las
expresiones.
I. a.
3π
4
rad
II. b.
π
4
rad
III. c.
5π
4
rad
π
4
rad
α
β
Efectúa.
R =
3
2π
2π +
π
2
+
π
6
I. a =
π
4
rad
II. a + β = π rad
III. β =
3π
4
rad
π
4
rad
π
4
rad
π
4
rad
A VVF B FFF C FVF
D VVV E VFV
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
A Ib; IIa; IIIc B Ic; IIb; IIIa
C Ib; IIc; IIIa D Ia; IIb; IIIc
E Ic; IIa; IIIb
Relaciona los gráficos de la izquierda, con las
medidas angulares de la derecha.
I. a. –
π
2
rad
II. b.
3π
2
rad
III. c.
π
2
rad
π
6
rad
–
π
6
rad
x
π
4
rad
x
A
5π
4
rad B
9π
4
rad C 11π
4
rad
D
π
4
rad E
13π
4
rad
A
π
2
rad B
π
4
rad C π
5
rad
D
π
8
rad E
π
3
rad
C Ia; IIc; IIIb D Ic; IIb; IIIa
E Ib; IIa; IIIc

58
Q =
4
π
π +
π
2
–
π
4
–
9
π
π
3
–
π
9
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
Relaciona los gráficos de los ángulos indicados
con rojo con sus respectivas medidas angulares.
De la figura, calcula el valor de x.
I. a.
7π
4
rad
II. b.
3π
8
rad
III. c.
6π
7
rad
π
8
rad
π
7
rad
π
2
rad
2π
3
rad
–
x
π
4
rad
A Ia; IIb; IIIc B Ia; IIc; IIIb
C Ic; IIb; IIIa D Ib; IIa; IIIc
E Ib; IIc; IIIa
A
π
6
rad B
5π
6
rad C 7π
6
rad
D
π
5
rad E
2π
5
rad
28
29
30
25
26
27
Observa el gráfico.
Calcula el valor de β – α.
α
β
π
6
rad
A π rad B 2π rad C π
3
rad
D
π
2
rad E
2π
3
rad
Ordena los siguientes ángulos de menor a mayor.
De los gráficos, indica cúal de ellos presenta un
ángulo incorrecto.
I.
I.
III.
II.
IV.
III.
II.
IV.
π
4
rad
π
4
rad
π
3
rad
–
π
3
rad
–
π
3
rad
–
π
4
rad
–
π
6
rad
–
π
3
rad
–
π
6
rad
π
3
rad
π
6
rad
5π
3
rad
5π
6
rad
A I; II; III; IV B II; III; I; IV
C I; II; IV; III D III; I; II; IV
E I; IV; II; III
A Solo I B I y II C Solo III
D Solo II E I y IV
Efectúa.

Test n.° 2
59
Halla el valor de α. Determina el valor de x + 10 .
¿A cuánto es igual a + b – c?
Descubre el valor de θ .
Calcula el valor de β. Encuentra el valor de γ.
1 4
2
5
3 6
48g
A
132g
C
58g
B
142g
D
4
A
9
C
8
B
14
D
158
A
27
C
83
B
8
D
4
A
8
C
6
B
10
D
270g25m
A
310g25m
C
280g25m
B
310g65m
D
14g17m
A
24g27m
C
17g13m
B
27g17m
D
–89g35m
42g
α –82g
–xg
64g
agbmcs
651 875s
3
–150g
–186g
–θg
–γ
β

60
Efectúa e indica el valor de K. Halla el valor de A.
Calcula el valor de
15x
8
. Encuentra el valor de x en radianes.
Según el gráfico, determina el valor de a + b + c. Descubre el valor de β en radianes.
7 10
8 11
9 12
A
A
A
A
C
C
C
C
B
B
B
B
D
D
D
D
2
A
6
C
3
B
12
D
3π
A
6π
C
5π
B
7π
D
K = π –
π
4
+
π
2
+
π
8
A = 8
π
2
–
π
4
+
π
8
+
π
2
3π
4
π
2
π
3
π
6
π
9
8π
15
15π
8
3π
8
3π
5
16π
7
5π
2
3π
2
5π
2
π
8
8π
5
π
π
3
π
5
–
cπ
6
aπ
6 bπ
6
–
π
2
–
– –
π
9
2π
9
–
β
x
x

Tema
61
5
Conversiones entre sistemas
de medición angular
Equivalencias entre los sistemas de medición angular
Fórmula general de conversión
La medida de un ángulo se
puede expresar en tres sistemas
de medición.
Sistema sexagesimal
Sistema centesimal
Sistema radial
Tomando como referencia el ángulo de una vuelta, el ángulo llano y el ángulo recto,
podemos obtener las siguientes equivalencias.
Ángulo
Sistema
sexagesimal
Sistema
centesimal
Sistema
radial
360° 400g 2π rad
180° 200g π rad
90° 100g
π
2
rad
Para cualquier ángulo α que puede ser medido en los tres sistemas de la siguiente manera,
se verifica lo siguiente.
Donde:
S: número de grados sexagesimales de α
C: número de grados centesimales de α
R: número de radianes de α
Ejemplo:
Convierte 240° al sistema radial.
Resolución:
240° ×
π rad
180°
=
4π rad
3
= 4π
3
rad
S
180
=
C
200
=
R
π
S
9
=
C
10
Además, en el caso de S y C, tenemos:
Sistema que se pide
Sistema en el que se encuentra el ángulo
Rpta.
4π
3
rad
Dos o más
cantidades son
equivalentes si
tienen el mismo valor
pero se escriben en
unidades diferentes.
Importante
Tener en cuenta
las siguientes
equivalencias:
• 180° 200g rad
• 90° 100g
π
2
rad
• 45° 50g
π
4
rad
Utiliza el factor de
conversión:
Sistema que se pide
Sistema en el que se
encuentra el ángulo
Nota
Atención
Recto
O
O
O
Llano
Una
vuelta

62
En algunos casos, se tiene que usar las diferentes medidas angulares (S, C y R) de un
ángulo.
Ejemplo:
Reduce, sabiendo que S, C y R son las medidas angulares en los sistemas sexagesimal,
centesimal y radial, respectivamente, de un mismo ángulo.
M =
C + S
C – S
– 3
M =
C + S
C – S
– 3 M =
19k
1k
– 3
M = 19 – 3
M = 16 M = 4
M =
10k + 9k
10k – 9k
– 3
Ejemplo:
¿Cuántos minutos centesimales hay en 2°42'?

162' . 50m
27'
162' . 50m
27'
6 . 50m = 300m
Conversión entre grados, minutos y segundos sexagesimales y centesimales
Los sistemas de medida sexagesimal y
centesimal se dividen en grados, minutos
y segundos.
Resolución:
Observamos que
solo se usan dos
medidas S y C.
S = 9k
C = 10k
Resolución:
2°42' = 2° + 42' = 2 . (60') + 42'
2°42' = 120' + 42' = 162'
Usaremos la siguiente equivalencia:
27' 50m
Si se sabe que:
Equivalencias
grados 9° 10g
Minutos 27' 50m
Segundos 81'' 250s
6
1
S
9
=
C
10
=
20R
π
= k
20 . S
180
= 20 . C
200
= 20 . R
π
S
180
C
200
R
π
= = × 20
S = 9k; C = 10k; R =
πk
20

Rpta. Hay 300 minutos centesimales.
Nota
9° 10g
27' 50m
81'' 250s
×3 ×5
×3 ×5
Según lo demostrado:
S = 9k
C = 10k
R =
πk
20
Recuerda

63
1
2
5
3
6
4
R =
R =
10(9k)
10k
R =
90k
10k
R = 9 = 3 Rpta. 3
Resolución:
Utilizamos la siguiente equivalencia.
180° π rad
Resolución:
Se sabe que la suma de los ángulos internos de
un triángulo es 180°.
Resolución:
Sabemos que: S = 9k y C = 10K.
Reemplazando tenemos:
Resolución:
Se sabe que: S = 9k
C = 10k
R =
Resolución:
Para simplificar todos los ángulos, expresamos en
el mismo sistema.
π rad
3
. 180°
π rad
=
180°
3
= 60°
50g 45° (según lo demostrado)
Al reemplazar las equivalencias se tiene:
Q =
30° + 60°
45°
=
90°
45°
= 2
En el gráfco:
x + 50g = 90°
x + 45° = 90°
x = 90° – 45°
x = 45°
Resolución:
Se sabe que:
50g 45°
Rpta. 45°
Rpta. 37°
Entonces:
Convierte
2π rad
3
, al sistema sexagesimal.
Simplifica.
Q =
30° +
50g
Calcula el valor de x en el sistema sexagesimal.
Rpta.
2π rad
3
120°
2π rad
3
. 180°
π rad
2π rad
3
. 180°
π rad
2 × 60° = 120°
• 70g ×
180°
200g = 7 ×
18°
2
= 63°
•
4π
9
rad ×
180°
π rad
=
4
9
× 180° = 80°

63° + 80° + x = 180°
143° + x = 180°
x = 180° – 143° = 37°

4(10k) – 2(9k) = 44
40k – 18k = 44
22k = 44
k =
44
22
= 2
Determina el valor de x en grados sexagesimales.
Siendo S y C lo convencional para un ángulo,
simplifica:
Siendo S, C y R lo convencional para un ángulo,
calcula el valor de R, si 4C – 2S = 44.
π rad
3
x
50g
70g
x
4π
3
rad

Rpta. 2
Rpta. π
10
rad
10S
C
π k
20
R =
π(2)
20
rad
= π
10
rad

64
7
8
9
10
11
12
Resolución:
Se sabe que
π
4
rad 45°
100g 90°
Resolución:
Convertimos
π
36
rad a grados sexagesimales.
π
36
rad ×
180°
π rad
=
180°
36
= 5°
Asimismo, los grados a minutos, teniendo en
cuenta que:
1° 60'
5° ×
60'
1°
= 5 × 60' = 300'
Resolución:
Convertimos 160g a sexagesimales.
160g ×
180°
200g = 16 . 18°
2
= 144°
De acuerdo al gráfico, tenemos:
144° = (x + 40)°
144 = x + 40
144 – 40 = x
104 = x
Resolución:
Convertimos los grados y minutos por separado.
• 36° ×
200g
180°
= 36° ×
200g
180°
= 2 ×
200g
10
= 40g
• 27' ×
50m
27'
= 27' ×
50m
27'
= 1 × 50m = 50m
Luego: 36°27' 40g50m
Resolución:
Se cumple que 27' 50m
Resolución:
12m50s = 12m + 50s = 12 . (100s) + 50s
= 1200s + 50s = 1250s
Recuerda que 81'' 250s

1250s . 81''
250s
1250s . 81''
250s
125 . 81''
25
= 405''
x° +
π
4
rad = 100g
¿A cuántos minutos centesimales equivalen 135'?
¿Cuántos minutos sexagesimales hay en
π
36
rad?
Expresa 36°27' en grados y minutos centesimales.
¿A cuántos segundos sexagesimales equivalen
12m50s?
Al reemplazar en la ecuación, tenemos:
x° + 45° = 90°
x° = 90° – 45°
x° = 45°

135' . 50m
27'
135' . 50m
27'
5 . 50m
250m
5
5
2
1
1
10
1
1
(x + 40)°
160g
Rpta. 45°
Rpta. A 250m
Rpta. A 405''
Rpta. Hay 300'
Rpta. 104
Rpta. 40g50m

65
Síntesis
1
5
3
Modela y resuelve
2
6
4
Fórmula de conversión
Algunas equivalencias
entre S, C y R
S C R
Equivalencia entre S y C
S
180
=
C
200
=
R
π
9° 10g
27' 50m
81'' 250s
S = 9k
C = 10k
R =
pk
20
Factor de conversión
180° 200g π rad
90° 100g
π
2
rad
45° 50g
π
4
rad
Sistema que se pide
Sistema en el que se encuentra el ángulo
Si α = 80g, ¿cuál es su valor en radianes? Si β = 20g, ¿cuál es su medida en radianes?
Convierte 60° al sistema radial. Convierte 30° al sistema radial.
S C R
90°
200g
S C R
45°
2π rad
540°
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
3
π
2
rad
Conversiones entre sistemas
de medición angular

66
1
7 8
9 10
11
13
12
14
Convierte
2π
3
rad al sistema sexagesimal.
¿A cuántos minutos sexagesimales equivale
π
6
rad?
¿A cuántos minutos sexagesimales equivale
π
100
rad?
Simplifica.
M =
60° +
2π
3
rad
200g
Simplifica.
N =
45° + 50g
π
2
rad
Convierte
5π
6
rad a grados sexagesimales.
Calcula
π
18
rad + 30g en grados sexagesimales. Calcula
π
9
rad + 60g en grados sexagesimales.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:

67
15 16
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
corresponda.
I. 90° 100g ( )
II. π rad 80° ( )
III. 30° 30g ( )
simplifica.
M =
3C – 2S
C – S
simplifica.
N =
5S – 4C
C – S
¿A cuántos minutos sexagesimales equivalen
150m?
¿A cuántos minutos centesimales equivalen
108ʹ?
corresponda.
I. 60° 60g ( )
II.
π
4
rad 50° ( )
III.
π
5
rad 39g ( )
x° +
π
6
rad = 60g
xg +
2π
5
rad = 108°
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
17 18
19 20
21 22

68
1
Nivel I
2
3
4
5
6
7
8
Expresa en radianes 135°.
Expresa en grados sexagesimales
2π
15
rad.
Convierte 170g al sistema sexagesimal.
A
π
4
rad B
π
3
rad C 3π
4
rad
D
π
7
rad E
2π
7
rad
A 16° B 20° C 28°
D 24° E 32°
A 142° B 147° C 151°
D 153° E 157°
¿Cuántos minutos centesimales hay en
π
40
rad?
A 300m B 200m C 100m
D 400m E 500m
Simplifica.
M =
200g
8° +
π
18
rad
simplifica.
Expresa 6g50m en minutos sexagesimales.
Expresa 567'' en segundos centesimales.
A 347' B 351' C 353'
D 343' E 341'
A 1750s B 1720s C 1710s
D 1740s E 1780s
A 10 B 120 C 17
D 16 E 18
A 10 B 29 C 13
D 14 E 27
N =
2πC + πS
πC – πS

69
13
14
16
15
9
10
11
12
x°
π
15 rad
x°
80g
x
–50g
xg
7
10
π rad
Encuentra el valor de x en grados sexagesimales.
A 110 B 120 C 140
D 150 E 160
A 70 B 72 C 82
D 60 E 90
A 12 B 13 C 14
D 15 E 16
A 135° B 145° C 155°
D 165° E 125°
Calcula el valor de x en grados sexagesimales.
Halla el valor de x en grados centesimales.
x
–
π
4
rad
x
126°
A 35° B 45° C 55°
D 25° E 65°
A 150g B 160g C 130g
D 140g E 120g
Relaciona las medidas angulares de la columna
de la izquierda con sus equivalentes angulares de
la derecha.
I. 12° a. 5g
II. 70g b.
π
15
rad
III.
π
40
rad c. 63°
A Ia; IIb; IIIc B Ia; IIc; IIIb
C Ib; IIc; IIIa D Ib; IIa; IIIc
E Ic; IIb; IIIa
Determina el valor de x en grados sexagesimales.
x
100g
π
6
rad
A 30° B 60° C 50°
D 45° E 40°
Nivel II

70
21
23
22
24
17
19
18
20
Encuentra el valor de x en radianes.
Simplifica.
Simplifica.
x + 6°
x
–60g
N =
π
9
rad + 70°
80g – 63°
M =
2Sp – Cp
40R
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
A 10 B 12 C 13
D 14 E 15
A
π
2
rad B
π
3
rad C π
4
rad
D
π
6
rad E
π
5
rad
¿Cuántos minutos sexagesimales están
contenidos en un ángulo que equivale a la quinta
parte de un cuarto de vuelta?
A 1000' B 1020' C 1040'
D 1060' E 1080'
¿En cuántos grados sexagesimales se diferencian
60g y
π
6
rad?
Analiza las siguientes proposiciones.
Según el gráfico, analiza las siguientes
proposiciones.
I. En el sistema centesimal el ángulo de una
vuelta y media mide 540g.
II. El número de radianes contenido en un ángulo
de tres cuartos de vuelta es
3π
4
rad.
III. La cantidad de segundos centesimales
contenidos en ochenta y un segundos
sexagesimales es doscientos.
I. x es igual a 150g.
II. x es igual a 135°.
II. x es igual a
3π
4
rad.
x
150g
A 21° B 22° C 23°
D 24° E 25°
A VVF B VFV C FFF
D VFV E FVV
A VFV B VVV C FFF
D FVV E VFF
Calcula el valor de x en grados sexagesimales.
Si k =
2°40'
20'
+
1g40m
70m
y x =
π
k
rad.
A 10° B 12° C 14°
D 16° E 18°

71
28
29
30
25
26
27
Simplifica.
I. α es menor de 20°.
II. α es equivalente a
π
15
rad.
II. α contiene 720 minutos sexagesimales.
Según el gráfico, analiza las expresiones.
Q =
SC
9(C – S)2
α
80g
π
3
rad
A 7 B 8 C 9
D 10 E 11
A VFV B FVV C FFF
D VVV E VVF
I. α es equivalente a
π
4
rad.
II. α es equivalente a 45º.
II. α contiene 4500 minutos centesimales.
Según el gráfico, analiza las expresiones.
250g
α
A VFV B FVV C FFF
D VVV E VVF
Según el gráfico, halla el valor de .
Encuentra el valor de x en grados centesimales.
Q =
a – 5b
7
(xπ)
30
rad
(10x)g
(3x)°
π
8
rad a°b'
70g
x
36°
π
8
rad
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
A 5 B 10 C 15
D 20 E 25
A 155g B 145g C 135g
D 115g E 125g
Nivel III

72
Tema 6
Sector circular
Definición
El sector circular es una parte de la circunferencia,
definida por dos radios separados por un ángulo
central y una longitud de arco entre ellos, donde:
O : centro de la circunferencia
r : radio de la circunferencia
θ : ángulo central (en radianes)
L : longitud de arco
Ejemplo:
Calcula la longitud de arco entre A y B.
L
L
10 cm
10 cm
r
A
B
r
1 rad
1 rad
θ
A =
θ . r2
2
A =
L . r
2
A =
L2
2θ
Área de un sector circular
A =
L2
2θ
A =
(6)2
2(1)
=
36
2
= 18 cm2
Resolución:
Resolución:
L = r . θ
L = 1 rad . 10 cm
L = 10 cm
Ejemplo:
Determina el área del sector circular.
Recuerda
S
180
=
C
200
=
R
π
Importante
• 180° 200g π rad
• 9° 10g
Nota
Existen tres formas
de calcular el área
de un sector circular.
O L
r
r
θ
6 cm
L = r . θ

73
1
2 4
3
L = 5r
θ . r = 5 . r
θ = 5 rad
• Calculamos el radio a partir del perímetro.
 2p = 14 m = L + 2r
14 m = 5r + 2r
14 m = 7r
2 m = r
• Con el dato encontrado, calculamos el área.
∴ A =
θr2
2
=
5(2 m)2
2
A = 5 . 4 m2
2
A = 10 m2
Para calcular el área de un sector circular usamos:
A =
L . r
2
Calcula la longitud de arco (L) del sector circular. Halla el perímetro del sector circular.
Encuentra el área de un sector circular cuyo
perímetro es 14 m y su longitud de arco es cinco
veces su radio.
Determina el área del sector circular.
Resolución:
Recordemos que el ángulo central siempre se
debe expresar en radianes.
Área =
L . r
2
50g
π
4
rad
∴ L = θ . r
L =
π
4
. 4 m
L = π m
A =
A = 10 m2
50g
L
4 m
5 m
4 m
4 m
Resolución:
El perímetro del sector circular se calcula así:
2p = 2r + L
Calculamos el radio.
L = 10 m  L = θ . r
10 m =
1
2
. r
20 m = r
Se pide:
2p = 2(20 m) + 10 m = 50 m
1
2
rad 10 m
Resolución:
Resolución:
Rpta. π m Rpta. 50 m
Rpta. 10 m2
Rpta. 10 m2
(5 m)(4 m)
2

74
5
6
7
8
8
π
cm
(12 – x)
π
2
π
6
rad
8
π
cm
150g
x
x
x
En un sector circular el ángulo central mide 80g
y su longitud de arco mide 4π cm. Determina su
radio.
Calcula el área del sector circular.
Resolución:
* Calculamos el área.
A =
q . r2
2
L = q ⋅ r
L = 4p cm
* Calculamos el radio reemplazando en el dato.
* Se pide la longitud de arco.
* Expresamos el ángulo en radianes.
q . r = 4p cm
A =
π
3
2
⋅ (5 m)2
A =
25p
6
m2
x =
3p
4
⋅ 8
p
cm
x = 6 cm
* Expresamos el ángulo central en radianes.
q = 60° . π rad
180°
q = 150g ×
π rad
200g
L = q . r
1 3
* Expresamos el ángulo central en radianes.
q = 80g ×
π rad
200g
q =
π
3
rad
q =
3π
4
rad
q =
2π
5
rad
2π
5
⋅ r = 4p cm
r =
5 . 4π cm
2π
r = 10 cm
60°
5 m
5 m
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
25p
6
m2
Rpta. 6 cm
Rpta. 9
Rpta. 10 cm
(12 – x) x
= ⋅
p
2
p
6
3(12 – x) = x
36 – 3x = x
36 = 4x
9 = x

75
9
10
11
12
A =
q . r2
2
A =
2π
3
2
. (5 cm)2
A =
50π
3
2
cm2
A =
q = 120° ×
π rad
180°
L = q . r
x2 + 2 = x(x + 1)
x2 + 2 = x2 + x
x2 – x2 + 2 = x
2 = x
Se pide:
A =
q . r2
2
A =
2 . 32
2
A = 9 u2
q =
2π
3
rad
* Expresamos el ángulo en radianes.
* Calculamos el área.
Resolución:
Resolución:
Halla el área de un sector circular, cuyo radio
mide 5 cm y tiene un ángulo central equivalente a
120°.
Si en un sector circular, el radio y la longitud de su
arco tienen la misma medida. Encuentra la medida
del ángulo central en radianes.
Calcula el área del sector circular.
120°
x + 1
2
2
x rad
x rad
x + 1
x2 + 2 5 cm
5
c
m
Rpta. 9 u2
Rpta.
Rpta. 1 Rpta. 1 rad
L = q . r
Se sabe:
L = r
Reemplazando, se tiene:
L = q . L
L
L
= q
1 = q
1 rad
L = q ⋅ r
x + 1 = (x)(2)
x + 1 = 2x
1 = 2x – x
1 = x
25p
3
cm2
25p
3
cm2

76
Síntesis
1
5
3
Modela y resuelve
2
6
4
L
θ rad
r
r
L = r . θ
A =
θ . r2
2
A =
L . r
2
A =
L2
2θ
Área
Longitud de arco
Halla la longitud de arco, en el sector circular.
Calcula el valor de x en el sector circular.
Halla la longitud de arco, en el sector circular.
Calcula el valor de x en el sector circular.
Determina el ángulo central, en el sector circular. Determina el ángulo central, en el sector circular.
x
x
π
4
rad 2π m
x
x
π
6
rad 3π m
15 m
15 m
x 5π m
12 m
12 m
x 3π m
2 rad 3 cm
3 cm
1 rad
2 cm
2 cm
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Resolución:
Resolución:
Sector circular

77
1
7 8
9 10
11
13
12
14
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Encuentra el área, en el sector circular.
Halla el área, en el sector circular.
Encuentra el área, en el sector circular.
Calcula el área, en el sector circular.
6 m
6 m
π
6
rad
8 m
8 m
π
4
rad
3 m
3 m
6 m
1 rad 4 m
Halla el área, en el sector circular.
Determina el perímetro de un sector circular, que
tiene un área de 12 m2 y una longitud de arco de 8 m.
2 rad 6 m
Rpta.
Calcula el área, en el sector circular.
4 m
4 m
7 m
Rpta.
Determina el perímetro de un sector circular, que
tiene un área de 8 m2 y un radio de 4 m.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:

78
15 16
17 18
19 20
Encuentra el valor de L.
Calcula el valor de x. Calcula el valor de x.
Halla el valor de L. Halla el valor de L.
L
60°
5 m
5 m
L
45°
4 m
4 m
L
70g
8 m
8 m
L
60g
10 m
10 m
π
6
rad
2 m
1 rad
x
π
4
rad
2 rad
4 m
x
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

79
1
Nivel I
2
3
4
5
6
7
8
Calcula la medida de L.
¿Cuánto es el valor de L?
Indica cuánto mide el perímetro.
Según la figura, ¿cuánto mide el perímetro?
Halla el área del sector circular.
Determina el área.
Calcula el área.
L
2 cm
2 cm
π
2
rad
L
10 cm
10 cm
40g
L
9 cm
9 cm
80°
10 m
2 rad
4 m
1 rad
1 rad
2 m
1
2
rad
4 m
5 m
4 m
A π cm B 3π cm C 5π cm
D 7π cm E 2π cm
A 4 m2 B 6 m2 C 8 m2
D 10 m2 E 16 m2
A 10 m2 B 12 m2 C 14 m2
D 5 m2 E 20 m2
A 4 m2 B 8 m2 C 5 m2
D 16 m2 E 7 m2
D 4 cm E 4π cm
D 5π cm E 4π cm
A 2 m B 4 m C 6 m
D 8 m E 10 m
A 10 m B 15 m C 20 m
D 25 m E 30 m

80
13
14
16
15
9
10
11
12
3x – 4
x rad
2
6 – x
6
x
3
rad
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
Determina la longitud de arco de un sector
circular, si su radio mide 2 m y tiene un ángulo
central de 2 rad.
Calcula el ángulo central de un sector circular, si
se sabe que la longitud de su arco es 6 cm y es el
doble de su radio.
A 2 m B 3 m C 4 m
D 5 m E 6 m
A 1 rad B 2 rad C
π
2
rad
D
π
3
rad E
π
4
rad
Encuentra la longitud del radio de un sector
circular, si su ángulo central mide 3 rad y tiene
una longitud de arco de 9 cm.
Halla el perímetro de un sector circular, si su
ángulo central mide 2 rad y tiene una longitud de
arco de 14 cm.
Determina el área de un sector circular, si tiene
una longitud de arco de 6 cm y un radio de 5 cm.
Del gráfico:
Relaciona las expresiones:
I. θ a. 20 cm
II. L b. 2 rad
III. perímetro c. 10 cm
6 cm
2 cm
θ L
3 cm
A 1 cm B 2 cm C 3 cm
D 4 cm E 5 cm
A 14 cm B 21 cm C 24 cm
D 22 cm E 28 cm
A 10 cm2 B 12 cm2 C 14 cm2
D 15 cm2 E 16 cm2
A Ib; IIc; IIIa B Ia; IIb; IIIc
C Ic; IIb; IIIa D Ib; IIa; IIIc
E Ia; IIc; IIIb
Nivel II

81
21
23
22
24
17
19
18
20
Calcula el valor de L.
Encuentra el valor de θ, en sexagesimales.
Del gráfico, indica verdadero (V) o falso (F).
De las siguientes proposiciones indica verdadero
(V) o falso (F).
I. El área de un sector circular: A =
θr
2
II. El ángulo central se mide en radianes
III. La longitud de arco: L = θ . r
I. El ángulo central equivale a
π
4
rad.
II. L mide 2 m.
III. El área es
8
π
m2.
θ 2π m
6 m
L
50g
8
π m
1 rad
1 rad
2 m
L
( )
( )
( )
A 4 m B 5 m C 6 m
D 8 m E 7 m
A 30° B 45° C 50°
D 60° E 20°
A VVF B FFV C VFV
D FFF E VVV
A FVF B FVV C FFF
D VVV E VVF
1
2
1
2
21 Halla la longitud del radio de un sector circular,
si se sabe que su área mide 15 cm2 y tiene una
longitud de arco igual a 6 cm.
D 6 cm E 2 cm
Calcula el valor de x + y.
Encuentra el valor de
y
x
.
2 m
60°
x
π m
x
30° y
3 cm
6 cm
x
25g y
8 m
4 m
A 2 B 4 C 6
D 5 E 7
D
π
2
cm E
3π
2
cm
A
1
3
B 2 C
3
2
D 4 E
5
3

82
82
28
29
30
25
26
27
Halla el valor de
y + x
y – x
.
Determina el valor de θ.
x
12° y
15 cm
15 cm
3
θ 5
2
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
A 1 rad B 2 rad C 3 rad
D 4 rad E 5 rad
Nivel III
La longitud de arco de un sector circular mide
5 m; si el ángulo central se triplica y su radio se
mantiene igual, ¿cuánto medirá su nueva longitud
de arco?
A 10 m B 15 m C 12 m
D 4 m E 10 m
1
1
2
1
1
1
2
2
2
2 m; si su radio se duplica y su ángulo central
se triplica, ¿cuánto mide su nueva longitud de
arco?
10 cm; si su radio se duplica y su ángulo central
se mantiene igual, ¿cuánto medirá su nueva
longitud de arco?
5x + 9
(x + 5) rad
x
D 15 cm E 30 cm
A 4 m B 6 m C 18 m
D 12 m E 20 m
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
2

Test n.° 3
83
Calcula la suma de 60° + 50g en radianes. Encuentra el valor de a + b, si se sabe que:
Halla el valor de G =
20°
100'
+
12g
150m
. Siendo S y C lo convencional para un ángulo,
simplifica y descubre el valor de A.
Indica el valor de x.
1 4
2 5
3 6
A
C
B
D
A
A
C
C
B
B
D
D
A
C
B
D
A
C
B
D
A
C
B
D
xg
54°
π
2
3π
11
7π
12
8π
2
10
20
12
34
Determina el valor de x en el sistema sexagesimal.
x
π
9
20° 125
40° 119
50° 100
70° 88
3π
40
rad = ag
π
18
rad = b°
5
11
20
23
15
13
21
30
A =
S + 3C
3(C – S)
π
5
π
8

84
Calcula el valor de L. Indica cuánto es el área de un sector circular,
cuyo radio mide 15 m y su longitud de arco 12 m.
Halla el valor del radio. Encuentra el valor de la suma de las áreas
sombreadas.
Determina el perímetro de la figura. Descubre cuánto mide el área sombreada.
7 10
8 11
9 12
A
A
A
C
C
C
B
B
B
D
D
D
20 m
A
40 m
C
32 m
B
48 m
D
180 m2
A
70 m2
C
90 m2
B
68 m2
D
2π
3
3π
2
16 m2
100 m2
40 m2
169 m2
16 m2
105 m2
44 m2
233 m2
A B
L
10 m
π
5
rad
π m 2π m
m
m
6π m
12 m
15 m
r
2π
3
5 m
A
9 m
C
7 m
B
11 m
D
8 m
2 rad
1 rad
A B
8 m
5 m
16 m
26 m
12m
2 rad
1 rad
4
m

Tema
85
7
Razones trigonométricas
de un ángulo agudo
H
Una razón trigonométrica (R.T.) es
el cociente entre las longitudes de dos
lados de un triángulo rectángulo con
respecto a uno de sus ángulos agudos.
Se establece entre dos R.T. de un
mismo ángulo. En ellas se cumple que
su producto es igual a la unidad.
seno (sen)
coseno (cos)
tangente (tg)
cotangente (ctg)
secante (sec)
cosecante (csc)
Estas son:
sen α =
Resolución:
C.O. = 9 C.A. = 40 H = 41
Determina las R.T. para α.
csc α =
C.O.
C.A.
α
cos α = sec α =
tg α = ctg α =
C.O.
H
H
C.O.
C.A.
H
H
C.A.
C.O.
C.A.
C.A.
C.O.
Ejemplo:
sen α = csc α =
cos α = sec α =
tg α = ctg α =
9
41
41
9
40
41
41
40
9
40
40
9
A través de su
famoso teorema
establece que
en todo triángulo
rectángulo el
cuadrado de la
hipotenusa es igual
a la suma de los
cuadrados de los
catetos.
¿Sabías que... ?
Importante
C.O.: cateto opuesto
C.A.: cateto
adyacente
H : hipotenusa
Observa
Los ángulos
en las razones
trigonométricas
recíprocas son
iguales.
Pitágoras
(Samos 570 a. C.)
sen α . csc α = 1
cos α . sec α = 1
tg α . ctg α = 1
41
9
40
α

86
85
«El área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa
de un triángulo rectángulo es igual a la suma de
las áreas de los cuadrados que tienen como
lados cada uno de los catetos».
Se cumple:
Donde;
a y b: catetos
c : hipotenusa
Por lo tanto, si a y b son ángulos complementarios, se cumple:
• sen α = cos β
• tg α = ctg β
• sec α = csc β
a
A
a
b
c
C
B
84
El teorema de Pitágoras
Razones trigonométricas de ángulos complementarios
Ejemplo:
Calcula el perímetro del triángulo.
A
B
C
c
a
b
Resolución:
Para encontrar la longitud de
«a», aplicamos el teorema de
Pitágoras.
852 = a2 + 842
852 – 842 = a2
(85 + 84)(85 – 84) = a2
sen α = cos β
• sen α =
C.O.
H
=
b
c
• cos β =
C.A.
H
=
b
c
tg α = ctg β
• tg α =
C.O.
C.A.
=
b
a
• ctg β =
C.A.
C.O.
=
b
a
sec α = csc β
• sec α =
H
C.A.
=
c
a
• csc β =
H
C.O.
=
c
a
(169)(1) = a2
169 = a2
13 = a
Nos piden el perímetro:
2p = 85 + 84 + 13
2p = 182
α
β
c2 = a2 + b2
α + β = 90°
Recuerda
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
Diferencia de
cuadrados.
Importante
R.T. Co R.T.
sen a cos b
tg a ctg b
sec a csc b
R.T.(α) = Co R.T.(90 – α)

87
Observa
Triángulos notables
Triángulos aproximados
Razones trigonométricas de triángulos notables
Tabla de razones trigonométricas
Ejemplo:
Calcula el perímetro en el
triángulo.
sen cos tg ctg sec csc
16°
7
25
24
25
7
24
24
7
25
24
25
7
30°
1
2
3
2
3
3
3
2 3
3
2
37°
3
5
4
5
3
4
4
3
5
4
5
3
45°
2
2
2
2
1 1 2 2
53°
4
5
3
5
4
3
3
4
5
3
5
4
60°
3
2
1
2
3
3
3
2
2 3
3
74°
24
25
7
25
24
7
7
24
25
7
25
24
Resolución:
2k
5k
20 = 5k
Si: 20 = 5 k
20
5
= k

4 = k
Por lo tanto:
a = 3k = 3(4) = 12
b = 4k = 4(4) = 16

2p = 20 + a + b
2p = 20 + 12 + 16
2p = 48
20
25k
2k
2k
8
30
45°
37°
37°
37°
16°
30°
30°
30°
30°
45°
53°
53°
53°
74°
60°
60°
1k
4k
4k = b
÷
b
24k
3k
1k
3k
3k = a
a
7k
1k
1k
4
15
La hipotenusa
siempre mide el
doble de la longitud
del cateto opuesto
a 30°.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:

88
1
2 4
3
53
109
α
48
28
x
73
x
45
60
45 = C.O.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
sen y csc son razones trigonométricas recíprocas,
por lo tanto se cumple:
sen (10 + x) . csc (30 – x) = 1
Además:
10° + x = 30° – x
x + x = 30° – 10°
2x = 20°
x = 20°
2
x = 10°
De acuerdo al dato, se tiene:
sen α = C.O.
H
=
45
53
M = 53 × 45
53
– 40
M = 45 – 40
M = 5
Aplicamos el teorema de Pitágoras.
1092 = 602 + x2
1092 – 602 = x2
(109 + 60) . (109 – 60) = x2
(169) . (49) = x2
169 . 49 = x
(13)(7) = x
91 = x
Resolución:
Aplicamos el teorema de Pitágoras.
732 = 482 + x2
732 – 482 = x2
Utilizamos la diferencia de cuadrados.
(73 + 48) (73 – 48) = x2
(121) . (25) = x2
(121) . (25) = x
121 . 25 = x
11 . 5 = x
55 = x
Calcula M = 53sen α – 40.
En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide
109 cm. Si uno de sus catetos mide 60 cm, halla
la longitud del otro cateto.
Encuentra el valor de x, si se sabe que:
sen (10° + x) . csc (30° – x) = 1
H = 53
α
28 = C.A.
(=)
Rpta. 5 Rpta. 91
Rpta. 10°
Rpta. 55

89
5
6
7
8
Resolución:
Se sabe: tg(α) = ctg β
R.T.(α) = Co R.T.(β)
a
α + β = 90°
tg (x + 10°) = ctg (2x + 20°)
x + 10° + 2x + 20° = 90°
3x + 30° = 90°
3x = 90° – 30°
3x = 60°
x =
60°
3
x = 20°
Resolución:
Usamos las R.T. complementarias ya que no hay
ángulos notables.
Sabemos que:
R.T. (α) = Co R.T. (90 – α)
• csc (70°) = sec (90 – 70°)
csc (70°) = sec (20°)
• tg (36°) = ctg (90° – 36°)
tg (36°) = ctg (54°)
Reemplazamos en la expresión.
M = 3 . sec 20 . cos 20° + 5 . ctg 54° . tg 54°
M = 3(1) + 5(1)
M = 3 + 5
M = 8
Calculamos k.
50 = 2k
50
2
= k
25 = k
Nos piden:
x = 1k
x = 1(25)
x = 25
Resolución:
Resolución:
Usamos las R.T. complementarias, ya que 40° y
50° no son notables.
R.T. (α) = Co R.T. (90 – α)

sen (40°) = cos (90 – 40°)
sen (40°) = cos (50°)
Reemplazamos sen 40°.
E = 3 + 4 . (cos 50°) . sec 50°
Aplicamos R.T. recíprocas.
E = 3 + 4 . cos 50° . sec 50°
E = 3 + 4(1)
E = 3 + 4
E = 7
Sabiendo que tg (x + 10°) = ctg (2x + 20°), calcula
el valor de x.
Efectúa.
M = 3 . csc 70° . cos 20° + 5 tg 36° . tg 54°
Halla el valor de E, si E = 3 + (4sen 40°)(sec 50°).
son complementarios
1 recíprocas 1 recíprocas
1
30°
30°
x
x = 1k
50
50 = 2k
3k
Rpta. 20° Rpta. 8
Rpta. 7 Rpta. 25

90
9
10
11
12
Calculamos el
valor de k.
50 = 25k
50
25
= k
2 = k
M =
b + c
a
M =
24k + 25k
7k
M =
49k
7k
=
49
7
= 7
Se sabe que cos y sec son R.T. recíprocas
x + 30° = 40° – x
x + x = 40° – 30°
2x = 10°
x = 5°
Se pide:
Q = 4sen (6 . 5°) + 5
Q = 4sen (30°) + 5
Reemplazamos sen 30° =
1
2
Q = 4
1
2
+ 5
Q = 2(1) + 5 = 2 + 5
Q = 7
Reemplazamos en la expresión N.
N = 6
4
3
+ 25
7
25
+ 1
N = 2(4) + 1(7) + 1
N = 8 + 7 + 1
N = 16
N = 4
Reemplazamos en lo
que nos piden.
x = 7(2) y = 24(2)
x = 14 y = 48
∴ x + y = 62
Resolución:
Resolución:
Utilizamos los triángulos rectángulos notables.
Consideramos los valores de los lados del T.R.
notable.
cos 74° =
C.A.
H
=
7
25
tg 53° =
C.O.
C.A.
=
4
3
Resuelve y encuentra el valor de x + y. Calcula el valor de M, si se sabe que M = b + c
a
.
Si cos (x + 30°) . sec (40° – x) = 1, determina el valor
de Q = 4 sen (6x) + 5.
Halla el valor de N.
N = 6 . tg 53° + 25 cos 74° + 1
50
50 = 25k
x
x = 7k
y
24k = y
16°
16°
H = 5
H = 25
37°
16°
53°
74°
4 = C.O.
24 = C.O.
7
=
C.A.
3
=
C.A.
c = 25k
74°
16°
7k = a
24k = b
c
74°
16°
a
b
Rpta. 62 Rpta. 7
Rpta. 7
Rpta. 4 u

91
Síntesis
1
3
Modela y resuelve
2
4
R.T. recíprocas R.T. complementarias
Teorema de Pitágoras
H
α
C.A.
C.O.
sen α = csc α =
cos α = sec α =
tg α = ctg α =
C.O.
H
H
C.O.
C.A.
H
H
C.A.
C.O.
C.A.
C.A.
C.O.
sen θ . csc θ = 1
cos θ . sec θ = 1
tg θ . ctg θ = 1
Hipotenusa2 = cateto2 + cateto2
R.T. (α) = Co R.T. (90 – α)
sen a = cos (90 – a)
tg a = ctg (90 – a)
sec a = csc (90 – a)
25
5
C.O. =
C.A. =
H =
C.O. =
C.A. =
H =
sen α =
cos α =
tg α =
sen θ =
cos θ =
tg θ =
csc α =
sec α =
ctg α =
csc θ =
sec θ =
ctg θ =
7
12
25
13
24
5
α
α
θ
θ
24
4
7
3
Del gráfico mostrado, calcula las razones
trigonométricas del ángulo a.
Del gráfico, halla el valor de N = 25cos θ + 7ctg θ.
Del gráfico mostrado, calcula las razones
trigonométricas del ángulo θ.
Del gráfico, halla el valor de M = 5sen α + 3tg α.
Rpta. Rpta.
Razones trigonométricas de un ángulo agudo

92
1
5 6
7 8
9 10
6
10
x
x
17
8
a
26
24
a
a
15
9
θ
Del gráfico, encuentra el valor de x.
En un triángulo rectángulo (recto en B), el cateto
opuesto al ángulo C mide 15 cm y la hipotenusa
mide 17 cm. Halla el valor del cateto adyacente al
ángulo C.
En un triángulo rectángulo (recto en C), la
hipotenusa mide 101 cm y un cateto mide 99 cm.
Halla el valor del otro cateto.
Del gráfico, encuentra el valor de x.
Del gráfico, determina el valor de sen α. Del gráfico, determina el valor de tg q.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:

93
11 12
15 16
17 18
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
cos (2x + 15°) . sec (45° – x) = 1
Encuentra el valor de P.
P = 4tg 45° – 2sec 60° + 1
sen (x + 7°) . csc (37° – x) = 1
Encuentra el valor de Q.
Q = 5sen 37° – 2ctg 45° + 3
csc (x + 15°) = sec (2x + 30°)
tg (2x + 21°) = ctg (x + 39°)
a
37
35
30
34
a
Calcula el perímetro del siguiente triángulo
rectángulo.
Calcula el perímetro del siguiente triángulo
rectángulo.
Rpta. Rpta.
Resolución:
Resolución:
13 14

94
1
Nivel I
2
3
4
5
6
7
8
Calcula el valor de sen α.
Halla el valor de tg θ +
17
24
.
Determina el valor de sec b + 3.
6
10
8
a
14
50
48
θ
12
13
x
4
8
a
b
A
3
5
B
4
5
C
5
4
D
3
4
E
4
3
A 4 B 5 C 7
D 1 E 2
A 2 B 5 C 1
D 6 E 3
A 4 B 5 C 6
D 1 E 2
Encuentra el valor de x, si sen θ =
3
5
.
sen (x + 2°) . csc (35° – 2x) = 1
cos (40° – 3x) . sec (5° + 4x) = 1
x
61
60
a
20
x
θ
A 10 B 11 C 12
D 13 E 14
A 10 B 11 C 12
D 13 E 14
A 10° B 12° C 14°
D 11° E 13°
A 4° B 6° C 8°
D 5° E 7°

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