Fundamentos de Álgebra para primer año de secundaria

DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó
la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:
Artículo 1.-
Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...)
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros.
Artículo 2.-
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica,
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de
cuya jurisdicción dependa una persona (...).
Artículo 3.-
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su
persona.
Artículo 4.-
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de
esclavos están prohibidas en todas sus formas.
Artículo 5.-
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o
degradantes.
Artículo 6.-
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su
personalidad jurídica.
Artículo 7.-
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación
que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8.-
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos
fundamentales (...).
Artículo 9.-
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado.
Artículo 10.-
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier
acusación contra ella en materia penal.
Artículo 11.-
1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia
mientras no se pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional.
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de
la comisión del delito.
Artículo 12.-
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques.
Artículo 13.-
1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia
en el territorio de un Estado.
2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y
a regresar a su país.
Artículo 14.-
1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a
disfrutar de él, en cualquier país.
2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y
principios de las Naciones Unidas.
Artículo 15.-
1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a
cambiar de nacionalidad.
Artículo 16.-
1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y
fundar una familia (...).
2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá
contraerse el matrimonio.
3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho
a la protección de la sociedad y del Estado.
Artículo 17.-
1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad.
Artículo 18.-
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de
religión (...).
Artículo 19.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...).
Artículo 20.-
1. Toda persona tiene derecho a la libertad de reunión y de asociación pacíficas.
2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Artículo 21.-
1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país,
directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las
funciones públicas de su país.
3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta
voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de
celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto
u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Artículo 22.-
Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida
cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los
derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al
libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23.-
1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a
condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el
desempleo.
2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por
trabajo igual.
3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y
satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme
a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por
cualesquiera otros medios de protección social.
4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa
de sus intereses.
Artículo 24.-
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una
limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas
pagadas.
Artículo 25.-
1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así
como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el
vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios;
tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad,
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de
subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales.
Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho
a igual protección social.
Artículo 26.-
1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita,
al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La
instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional
habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual
para todos, en función de los méritos respectivos.
2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana
y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades
fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre
todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el
desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento
de la paz.
3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que
habrá de darse a sus hijos.
Artículo 27.-
1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de
la comunidad, a gozar de las artes y a participar en el progreso científico y
en los beneficios que de él resulten.
2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y
materiales que le correspondan por razón de las producciones científicas,
literarias o artísticas de que sea autora.
Artículo 28.-
Toda persona tiene derecho a que se establezca un orden social e internacional
en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan
plenamente efectivos.
Artículo 29.-
1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona
estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único
fin de asegurar el reconocimiento y el respeto de los derechos y libertades
de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden
público y del bienestar general en una sociedad democrática.
3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en
oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 30.-
Nada en esta Declaración podrá interpretarse en el sentido de que confiere
derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y
desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los
derechos y libertades proclamados en esta Declaración.

1
Secundaria
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ÁLGEBRA
Matemática
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La Editorial se hace responsable por el rigor
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los principios de la Ley General de Educación.
Título de la obra
® MATEMÁTICA DELTA 1, secundaria
Álgebra
© Derechos de autor reservados y registrados
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© Derechos de edición, arte y diagramación
reservados y registrados conforme a ley
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EDICIÓN, 2020
Coordinador de área:
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Correo electrónico: informes@eactiva.pe
www.eactiva.pe
Tiraje: 4500 ejemplares
Impresión:
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Jr. La Maquinaria 160, Chorrillos
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ISBN N.o 978-612-4354-28-1
Proyecto Editorial N.o 31501051900810
Ley N.o 28086
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú
N.o 2019-10442
PROHIBIDA
LA REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL
LEY DE LUCHA CONTRA LA PIRATERÍA LEY 28289
PUBLICADA EL 20 DE JULIO DE 2004
TÍTULO VII
DELITOS CONTRA LOS DERECHOS INTELECTUALES
CAPÍTULO I
DELITOS CONTRA LOS DERECHOS DE AUTOR
Y CONEXOS
Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la
autorización del autor.
Artículo 217.o.- Será reprimido con pena privativa de libertad no
menor de dos ni mayor de seis años y con treinta a noventa días-multa,
el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística,
un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una
grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier
forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y
escrita del autor o titular de los derechos:
a. La modifique total o parcialmente.
b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público.
c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios
o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho.
d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el
autorizado por escrito.
La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con
sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total
o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución
se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma
de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o
producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias,
en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior
importe cada uno.

Apertura
En esta sección
encontrarás
temas
novedosos que
propiciarán
sostener
una relación
cercana con la
Matemática.
Se aborda el
desarrollo del
tema, donde
encontrarás las
definiciones
organizadas
siguiendo una
secuencia
didáctica.
Marco
teórico
Conoce tu libro
Tema
93
MateMática DELTA 1 - álgebra
7
Ecuaciones lineales
Si el peso del camión es de 975 kg, ¿cuánto pesa su carga?
Ecuación
Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en las que al menos está presente
una variable (incógnita).
Donde:
x es la variable
Ejemplos:
a) 3x + 2 = x – 1
b)
x + 1
2
– 3 = 5
x + 3
5
– 4 = 2
x + 3
5
– 4 = 2
x + 3
5
= 2 + 4
x + 3 = 5(6)
x = 30 – 3
x = 27
Ejemplo:
Dada la ecuación.
4x + 2 = 10
Si x = 2
4(2) + 2 = 10
Luego, 2 es solución de la ecuación.
Para resolver una ecuación, aplicamos el método de transposición de términos.
Ejemplos:
a) Resuelve la ecuación.
Resolución:
Observamos que:
Luego, 27 es la solución de la ecuación.
(El 4 pasa sumando)
(El 5 pasa multiplicando)
(El 3 pasa restando)
Solución de una ecuación lineal
Es aquel valor que toma la incógnita de una ecuación y verifica la igualdad.
1500 kg
5x + 3 = x – 2
Primer
miembro
Segundo
miembro
Lectura de
la balanza
El método de
transposición de
términos consiste
en pasar los términos
de un miembro a
otro con la operación
contraria.
Transposición
+ = –
– = +
× = ÷
÷ = ×
Francisco Vieta
(1540 - 1603)
Fue el primer
matemático que
utilizó letras para
designar las
incógnitas y las
constantes de
las ecuaciones
algebraicas.
Importante
Nota
Título del tema
Para una mejor
organización, los temas
están numerados.
Comentarios
y/o lecturas
que
refuerzan el
desarrollo
del tema
95
Luego de resolver:
•
a
3
– 1 = 4
• 2b + 3 = 7
• 2c – 5 = c + 2
Indica el valor de:
M = a + b + c
Determina el triple del valor de x que verifica la
ecuación.
x + 3
x – 1
=
5
7
Calcula el valor de x en la ecuación.
7 + 2(2x – (x + 1)) = 1 – 2x
Luego halla M.
M = (x + 2)2 + 4
Encuentra el valor de x en la ecuación.
x + 2
3
+
x – 2
4
=
x
2
+ 1
Halla el valor de x que verifica la ecuación.
Resuelve la ecuación:
3(x – 2) + 4(x + 1) = 19
Luego, indica el valor de x + 2.
Resolución:
•
a
3
– 1 = 4 ⇒ a = 3(4 + 1) ⇒ a = 15
• 2b + 3 = 7 ⇒ b =
7 – 3
2
⇒ b = 2
• 2c – 5 = c + 2 ⇒ 2c – c = 2 + 5 ⇒ c = 7
Nos piden:
M = a + b + c = 15 + 2 + 7 = 24
Rpta. 24
Resolución:
Tenemos:
x + 3
x – 1
=
5
7
7(x + 3) = 5(x – 1)
7x + 21 = 5x – 5
7x – 5x = –5 – 21
2x = –26
x = –13
Nos piden el triple de x, entonces:
3x = –39
Rpta. –39
Resolución:
7 + 2(2x – (x + 1)) = 1 – 2x
7 + 2(2x – x – 1) = 1 – 2x
7 + 4x – 2x – 2 = 1 – 2x
4x – 2x + 2x = 1 + 2 – 7
4x = –4
x = –1
Nos piden: M = (x + 2)2 + 4
M = (–1 + 2)2 + 4 = 12 + 4
M = 5
Rpta. 5
Resolución:
Hallamos el MCM de los denominadores:
x + 2
3
+
x – 2
4
=
x
2
+
1
1
MCM(3; 4; 2) = 12
Luego, dividimos entre cada denominador y
multiplicamos.
4(x + 2) + 3(x – 2) = 6(x) + 12(1)
4x + 8 + 3x – 6 = 6x + 12
4x + 3x – 6x = 12 – 8 + 6
x = 10
Rpta. 10
Resolución:
Aplicamos la transposición.
Resolución:
3x – 6 + 4x + 4 = 19
7x – 2 = 19
7x = 19 + 2
7x = 21
x = 3
Piden: x + 2 = 5
Rpta. 5
Rpta. 5
3
+ 6 = 7
x + 3
2
– 1
= 7 – 6
x + 3
2
– 1 = 3(1) ⇒
x + 3
2
= 3 + 1
x + 3 = 2(4) ⇒ x = 8 – 3 = 5
4
1
2
3
5
6
– 1
x + 3
2
3
Ejercicios resueltos
Nombre de la
sección
Algoritmo de
resolución
del problema
planteado.
Preguntas y/o
situaciones
problemáticas
reales o simuladas,
planteadas de
acuerdo al tema.
Ejercicios
resueltos
Se muestran
ejercicios que
están resueltos
didácticamente,
los mismos que
servirán para
el análisis del
estudiante.
3
Matemática DELTA 1 - Álgebra

Síntesis
Contenido del tema,
que incluye teoremas,
postulados, fórmulas,
propiedades, leyes, etc.,
resumido en organizadores
gráficos para tener un
panorama general del
contenido.
Modela y resuelve
Los problemas con
numeración impar serán
resueltos por el docente,
mientras que los pares serán
resueltos por el estudiante
siguiendo la secuencia
realizada por el educador.
83
15x2y3
–3xy2
16x3y5
–8xy2
a) a)
= =
36n5m8
–9n4m5
35n4m7
–7n2m2
d) d)
= =
–24a4b6
6ab5
–12a3b7
3ab3
b) b)
= =
16x4 – 8x2
4x
24x2 – 18x3
6x
e) e)
= =
–18x3y3z2
–6xy3z
–28x2y4z2
–7xy3z2
c) c)
= =
24x3y – 15x2y2
3x2y
24x2y2 – 16xy2
4xy2
f) f)
= =
28abc4 – 49abc2
7abc
27abc3 – 18abc2
9abc2
g) g)
= =
Efectúa las divisiones. Efectúa las divisiones.
1 2
D(x) d(x)
R(x) Q(x)
monomio ÷ monomio
polinomio ÷ monomio
polinomio ÷ polinomio D(x) = d(x) . Q(x) + R(x)
Divide:
1.° Los signos
2.° Los coeficientes
3.° Las variables
Divide:
Cada término del polinomio entre el monomio
Algoritmo de la división
Dividendo y divisor
completos y ordenados
Dividendo
residuo
divisor
cociente
Coeficientes del
dividendo
repetir
suma por (–a)
en la siguiente
columna
opuesto
de a
Forma:
D(x)
x + a
Esquema:
–a
×
Método de Ruffini
2
1
3 3
Coeficientes del
dividendo
Resultado
de (5)
separa
esquema
Coeficientes
del divisor
cambian de
signo
multiplica
repetir
(4) al (7)
Esquema:
×
÷
Divide
Suma
Suma
Método de Horner
4
1
3 8
6
7
2
5
Síntesis
Modela y resuelve
División de
polinomios
Nombre de la
sección
Nombre de la
sección
Espacio para resolver
el problema.
Organizador
visual
Enunciado del
problema o de la
situación planteada.
173
Practica y demuestra
Sea f una función de A en B.
1
Tenemos la gráfica de la función g.
2
0 2 4 6 8 10
x
2
4
6
8
y
g
Halla los valores de A, B, C y D, si estos son
enteros.
• g(2) = A • g(B) = 5 • g(C) = 2 • g(10) = D
A A = 6, B = 4, C = 6, D = 5
B A = 4, B = 6, C = 5, D = 8
C A = 6, B = 2, C = 4, D = 5
D A = 6, B = 9, C = 4, D = 6
E A = 4, B = 6, C = 2, D = 8
Dada la función f = {(5 ; 3), (3 ; 7), (5 ; a – 1), (2 ; 5)}.
Encuentra el valor de a.
3
A 2 B 4 C 3
D 6 E 7
Sean las funciones:
4
1 •
2 •
3 •
• 1
• 3
• 4
f
2 •
3 •
4 •
• 1
• 2
• 3
g
Calcula el valor de
g(f(2)) + f(g(4))
f(3) + g(3)
M = .
Se define f(x) = 3x – 1.
Determina el valor de R = f(f(1)).
5
Sea h la función con regla de correspondencia:
h(x) = ax + 5, y h(x) = ax + 5 y (2 ; 21) un punto que
pertenece a h, halla el valor de a.
6
Encuentra el valor de H = g(4) – g(–1),
si g(x + 3) = x + 9.
7
Dado el conjunto de pares ordenados:
• f = {(1 ; 2), (2 ; 4), (4 ; 4), (5 ; 6)}
• g = {(2 ; 2), (3 ; 3), (4 ; 4), (5 ; 5)}
• h = {(1 ; 2), (1 ; 5), (2 ; 4), (3 ; 9)}
¿Cuáles son funciones?
8
A 2 B 3 C 4
D 1 E 0
A 5 B 6 C 7
D 8 E 4
A 5 B 8 C 6
D 9 E 7
A 2 B 10 C 3
D 5 E 6
A solo f B solo g C f y g
D f y h E todas
Nivel I
Indica el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las
proposiciones:
a. ( ) Dom f = {1; 3; 5} b. ( ) f(3) = 9
c. ( ) Ran f = {4; 6; 8; 9} d. ( ) f(1) = 6
A VFFV B FFVV
C VVFF D FVFV
E FFFV
1 •
3 •
5 •
• 4
• 6
• 8
• 9
A B
Preguntas
planteadas,
estas pueden
ser situaciones
reales o
simuladas. Espacio
para realizar
anotaciones de
resolución.
Alternativas
Nombre de la sección
Test
Esta evaluación incluye
preguntas del contenido de
los temas desarrollados en
la unidad y son de elección
múltiple.
Practica y
demuestra
En esta sección se
plantean preguntas que
han sido organizadas por
niveles de complejidad
y de elección múltiple
en la que el estudiante
demostrará lo aprendido
durante la sesión.
Preguntas y/o
situaciones
problemáticas reales o
simuladas, planteadas de
acuerdo a la unidad.
Número de test
Alternativas
Nombre: n.° de orden: Sección:
133
A 1 B 2
C 4 D 5
A 34 años B 25 años
C 9 años D 5 años
Indica el valor que verifica la ecuación.
5 Si n es el valor que verifica la ecuación:
(x + 5)2 – (x – 3)2 = 10x + 28
Calcula el valor de M = n + 2.
4 Encuentra el valor de x.
Indica el valor que verifica la igualdad.
4(x – (x – (x – 3))) = x + 3
1
2
3
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
Las edades de Marta y Valeria suman 13 años.
Si Marta tiene 10 años, ¿cuántos años tendrá
Valeria en 2 años más?
6
A 2 B 3
C 6 D 5
A S/ 300 B S/ 180
C S/ 150 D S/ 120
En un mes de 31 días, Carlos trabaja 25. Si
durante los días de trabajo gasta S/ 6 diarios en
transportes, ¿cuánto gasta en movilizarse por
razones de trabajo?
Test n.° 3
A 42 B 37
C 19 D 33
x – 3
2
+ 2 = 5
A 1 B 3
C 6 D 9
2x + 1
3
– 3
5
+ 1 = 3
4

5
1
3
2
4
Resuelve
problemas
de
regularidad,
equivalencia
y
cambio
Traduce datos
y condiciones
a expresiones
algebraicas y
gráficas.
Operaciones básicas en 8
Números naturales y operaciones en
Conjunto de números enteros
Operaciones con números enteros
Potenciación 21
Definición
Propiedades
Radicación 35
Definiciones
Propiedades
Tipos de radicales
Operaciones combinadas
Polinomios 51
Expresiones algebraicas
Término algebraico
Grado de un polinomio
Valor numérico
Adición y sustracción de polinomios
Multiplicación de polinomios 63
Producto de expresiones algebraicas
Productos notables
División de polinomios 77
División entre expresiones algebraicas
Métodos para dividir polinomios: Ruffini y Horner
Ecuaciones lineales 93
Ecuación
Solución de una ecuación lineal
Planteo de ecuaciones lineales 105
Enunciado verbal y algebraico
Planteo de ecuaciones
Sistema de ecuaciones lineales 119
Método de reducción
Método de sustitución
Método de igualación
Otros casos
Planteo y resolución de sistemas lineales 135
Enunciado verbal y algebraico
Planteo de sistemas lineales
Desigualdades e inecuaciones 149
Desigualdad
Inecuación lineal
Sistema de inecuaciones
Planteo de inecuaciones
Funciones 162
Definiciones
Funciones
Representación de una función
Unidad
Competencia y
capacidades
Contenidos pedagógicos Páginas
Comunica su
comprensión
sobre las
relaciones
algebraicas.
Usa estrategias
y procedimientos
para encontrar
equivalencias y
reglas generales.
Argumenta
afirmaciones
sobre relaciones
de cambio y
equivalencia.
Índice

Abu Abdallah Muhammad ibn Mūsā al-Jwārizmī,
conocido en español como Al-Juarismi, el mismo
que vivió entre 780 y 850 d. C., aproximadamente;
fue un matemático, astrónomo y geógrafo árabe.
Poco se sabe de su lugar de nacimiento y otros
datos sobre su vida; lo que no está en discusión, es el
gran aporte que este matemático le dio a la ciencia
y la influencia que trajo de la cultura árabe e hindú
al mundo occidental.
Al-Juarismi
yel
ingreso
del
almundooccidental
Su obra principal se tituló «Hisab al-Jabr w’al-Muqabala», que significa «Compendio del cálculo
por restauración y compensación», contiene un profundo estudio de la resolución de ecuaciones
que permitió potenciar la forma de resolver problemas. La palabra al-jabr hace referencia a la
restauración del equilibrio de una ecuación por la trasposición de términos, al pasar sumando a
uno de los miembros un término que está restando en el otro. El vocablo al-muqābala expresa
la compensación o reducción de términos del mismo grado que aparecen en los dos miembros
de una ecuación. Parte de los temas que aborda Al-Juarismi en su obra, es la solución de
ecuaciones lineales o cuadráticas. En su libro, empieza diciendo: Descubrí que las personas
requieren tres tipos de números: unidades, raíces y cuadrados; un dato curioso de esta obra es
que, a diferencia de los textos que manejamos actualmente, Al-Juarizmi no empleaba símbolos
de ninguna clase, sino solo palabras.
Es bueno saber también que la palabra álgebra deriva del vocablo latinizado al-jabr; algoritmo,
de algoritmi, título de la obra en latín Algoritmi de numero Indorum del mismo Al-Juarismi que
significa Algoritmi sobre los números de los indios. La palabra algoritmo es usada frecuentemente
para describir secuencias detalladas y repetitivas de reglas utilizadas en cálculos matemáticos
u otros problemas.
Álgebra
6

Con el tiempo, las obras de
Al-Juarismi se tradujeron al latín.
Al matemático italiano Fibonacci,
también conocido como Leonardo
de Pisa, se le atribuye la divulgación
de los números indoarábigos en
Occidente. Supo de ellos en sus
viajes por los países mediterráneos y
posteriormente los explicó en su obra
Liber abaci (Libro del ábaco).
Desempeños
• Establece relaciones entre datos, relaciones de equivalencia o variación entre dos magnitudes.
Transforma esas relaciones a expresiones algebraicas, a ecuaciones lineales, a desigualdades, a
funciones lineales, a proporcionalidad directa o a gráficos cartesianos.
• Comprueba si la expresión algebraica o gráfica que planteó, le permitió solucionar el problema, y
reconoce qué elementos de la expresión representan las condiciones del problema.
• Expresa, con diversas representaciones, su comprensión sobre la solución de una ecuación lineal y
sobre la solución del conjunto solución de una condición de desigualdad, para interpretar un problema
según su contexto y estableciendo relaciones entre representaciones.
• Interrelaciona representaciones gráficas, tabulares y algebraicas para expresar el comportamiento
de la función lineal y sus elementos para interpretar y resolver un problema según su contexto.
• Establece la relación de correspondencia entre la razón de cambio de una función lineal y la constante
de proporcionalidad para resolver un problema.
• Selecciona y emplea estrategias, como simplificar expresiones algebraicas, solucionar ecuaciones y
determinar el conjunto de valores que cumplen una desigualdad usando propiedades de la igualdad
y de las operaciones; y determinar valores que cumplen una relación de proporcionalidad directa e
inversa entre magnitudes.
• Plantea afirmaciones sobre las propiedades de igualdad, las condiciones para que dos ecuaciones
sean equivalentes o exista una solución posible y las características y propiedades de las funciones
lineales. Las justifica con ejemplos y sus conocimientos matemáticos. Reconoce errores en sus
justificaciones o en las de otros, y las corrige.
Fuentes:
www.bbc.com, www.bbvaopenmind.com, www.tiempo.com
Pasaron varios siglos antes de que el trabajo de Al-Juarismi fuera extensamente conocido. Sin
embargo, sus métodos y las técnicas matemáticas que se desarrollaron gracias a ellos son vitales
en la ciencia y la tecnología de hoy, por no mencionar el comercio y la industria.
Algunos atribuyen como padre del Álgebra a Diofanto de Alejandría y otros a Al-Juarismi;
no obstante, ambos realizaron importantes investigaciones, estudios y tratados que nos han
ayudado a simplificar el duro proceso que se tenía para resolver expresiones algebraicas.
En su libro Science and Islam (2002), el británico Ehsan Masood escribe lo siguiente: Cuando se
trata de números y matemática, el legado (de los eruditos medievales de Oriente Medio) es
enorme e innegable.
7

8
Tema 1
Operaciones básicas en
Operaciones con números naturales
Cuando aparecen operaciones combinadas, es necesario seguir la prioridad de los
signos de operación en el siguiente orden:
1.º Si en la expresión aparecen signos de colección, deberá operarse primero la parte
interna.
2.º Se realizan las multiplicaciones y divisiones.
3.º Se realizan las adiciones y sustracciones.
4.º Si en un término aparecen operaciones de multiplicación y división, se evaluará de
izquierda a derecha para evitar posibles errores.
Adición
Operación básica que consiste en combinar o
añadir dos o más grupos de objetos.
Ejemplos:
Calcula el valor de C = 5 + 3(20 – 2 × 6 ÷ 3) – 24 ÷ 3.
Ejemplo:
Resolución:
Realizamos en primer lugar las operaciones entre paréntesis:
C = 5 + 3(20 – 2 × 6 ÷ 3) – 24 ÷ 3 Multiplicamos y dividimos dentro del paréntesis
C = 5 + 3(20 – 4) – 24 ÷ 3 Restamos dentro del paréntesis
C = 5 + 3(16) – 24 ÷ 3 Multiplicamos y dividimos
C = 5 + 48 – 8 Sumamos y restamos
C = 45
12 + 14 = 26
16 – 12 = 4
24 ÷ 4 = 6
5 × 4 = 20
5 veces 4
En 4 grupos 4 grupos de 6
El conjunto de números naturales ( )
Los números naturales, contados en conjuntos de diez y empleando los símbolos 1;
2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 y 0 (los números «en base 10»), fueron introducidos en Europa
por los árabes en el siglo XII. Muchas cosas sobre los números no fueron plenamente
comprendidas en esos tiempos y no fue hasta el siglo XVI que los símbolos tomaron la
forma como los conocemos hoy en día.
Al-Juarismi
Siglo IX
Recuerda
Nota
Signos de colección
( ): paréntesis
[ ]: corchetes
{ }: llaves
Importante
Propiedad
conmutativa
a + b = b + a
Propiedad
conmutativa
a × b = b × a
adición
multiplicación
Sustracción
Operación matemática que consiste en la
eliminación de objetos de una colección.
Multiplicación
Operación matemática que consiste en repetir una
cantidad de objetos tantas veces como se indica.
División
Operación matemática que consiste en que
teniendo un total de objetos se formen grupos con
igual cantidad de elementos.

9
Un nuevo conjunto de números
Operaciones con números enteros
1. Adición y sustracción
Se juntan las cantidades de signos iguales; y los de signos contrarios se restan
colocando el signo del que tiene mayor valor absoluto.
Sea a un número natural en la igualdad a + x = 0, observamos que no hay un número
natural x que al sumarse con a se obtenga cero, así que vamos a inventar un número
denominándolo «a con gorro» o
˄
a, tal que cualquier número natural a tiene una pareja
˄
a con la propiedad:
a +
˄
a = 0
Como resultado el conjunto de números se extiende a
...;
˄
3;
˄
2;
˄
1; 0; 1; 2; 3; ...
Queremos que todos los números nuevos se comporten tal como lo hacen los que
ya conocemos, obedeciendo las mismas propiedades. Entonces, ¿cuál debería ser
el significado de
˄
a? A primera vista, esto parece un sin sentido, pero si observamos
detenidamente está claro que añadir
˄
a objetos debe ser lo mismo que retirar a objetos.
Así, podemos escribir
˄
a = –a, donde el signo «menos» significa «retirar» o «sustraer».
Utilizando el signo menos tenemos un nuevo conjunto de números llamados enteros:
= {...; –2; –1; 0; 1; 2; ...}
2. Multiplicación
El resultado de multiplicar dos números con signos iguales es positivo y con signos
contrarios es negativo.
3. División
El cociente de dividir dos números con signos iguales es positivo y con signos
contrarios es negativo.
a) (2)(5) = 10 b) (–3)(–4) = 12
c) (–5)(3) = –15 d) (7)(–2) = –14
a) b) c) d)
8
2
–9
–3
–15
3
18
–6
= 4 = 3 = –5 = –3
a) 4 + 5 + 2 = 11
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
–5 –2 –3
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
–6 +9
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
–7 +3
–1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
4 5 2
b) –3 –2 –5 = –10
c) –6 + 9 = 3
d) 3 – 7 = –4
Ejemplos:
Ejemplos:
Ejemplos:
En la multiplicación:
(+)(+) = (+)
(–)(–) = (+)
(–)(+) = (–)
(+)(–) = (–)
En la división:
Importante
(+)
(+)
= (+)
(–)
(+)
= (–)
(–)
(–)
= (+)
(+)
(–)
= (–)

10
Operaciones combinadas con números enteros
Ejemplos:
a) Determina el valor de H.
H = 2 + 4[6 + 3 + 2 × (–6) ÷ 3]
Resolución:
Realizamos las operaciones dentro de los corchetes.
H = 2 + 4[6 + 3 + 2 × (–6) ÷ 3 ] Multiplicamos y dividimos de izquierda a derecha
H = 2 + 4[6 + 3 – 12 ÷ 3]
H = 2 + 4[6 + 3 – 4] Sumamos y restamos
H = 2 + 4[5]
Ahora, eliminamos el corchete:
H = 2 + 4 × 5 Multiplicamos
H = 2 + 20 Sumamos
H = 22
b) Halla el valor de M.
M = –5 + 3[6 – (–8) ÷ 4 × (–2)] – 12 ÷ (–3)
Resolución:
Realizamos las operaciones dentro de los corchetes.
M = –5 + 3[6 – (–8) ÷ 4 × (–2)] – 12 ÷ (–3)
M = –5 + 3[6 – (–2) × (–2)] – 12 ÷ (–3)
M = –5 + 3[6 – (4) ] – 12 ÷ (–3)
M = –5 + 3[2] – 12 ÷ (–3) Multiplicamos y dividimos
M = –5 + 6 – (–4) Sumamos y restamos
M = –5 + 6 + 4
M = 5
c) Calcula el valor de E.
E = –3 + 2[(–16) ÷ 8 × (–4) + 2(2 × 2 – 3 × 3)] – (4 × 2 – 13)(3 – 5)
Resolución:
Evaluamos siguiendo las reglas de operaciones combinadas.
E = –3 + 2[(–16) ÷ 8 × (–4) + 2(2 × 2 – 3 × 3)] – (4 × 2 – 13)(3 – 5)
E = –3 + 2[ (–2) × (–4) + 2( 4 – 9 )] – ( 8 – 13)(3 – 5)
E = –3 + 2[ (8) + 2 (–5) ] – (–5) (–2)
E = –3 + 2[8 – 10] – (–5)(–2)
E = –3 + 2[–2] – (–5)(–2)
E = –3 – 4 – 10
E = –17
Si:
a + (–a) = 0
a = –(–a)
Dos signos menos
son o equivalen a un
signo más.
Observa:

11
Relaciona cada operación con su resultado. Calcula el valor de G.
G = (25 ÷ 5) × 2 – (8 ÷ 2) × 3 – 10
Evalúa E.
E = 2 + 15 ÷ 3 × 2 + 2(–7)
Escribe V si la expresión es verdadera o F si es
falsa.
Determina el valor de A = 8 ÷ 4 × 2 + 4 – 3.
Halla el valor de la expresión L.
L = 12 ÷ (6 × 2) + 3(5 – 2)
a) (–3)(–4) • • 9
b) 7 – 3 × 2 • • 8
c) 4 – 12 • • 12
d) 6 ÷ 2 × 3 • • 1
• –8
a) 4 ÷ 2 × 2 = 1 ( F )
4 ÷ 2 × 2 = 2 × 2 = 4
b) 4 – 3 – 2 = –1 ( V )
c) 3 – 2(2 + 1) = 3 ( F )
3 – 2(2 + 1) = 3 – 2(3) = 3 – 6 = –3
d) (–2)(3) = –6 ( V )
Realizamos las operaciones:
G = (25 ÷ 5) × 2 – (8 ÷ 2) × 3 – 10
G = (5) × 2 – (4) × 3 – 10
G = 10 – 12 – 10
G = –12
Realizamos las operaciones:
E = 2 + 15 ÷ 3 × 2 + 2(–7)
E = 2 + 5 × 2 – 14
E = 2 + 10 – 14
E = –2
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Realizamos las operaciones de izquierda a derecha.
A = 8 ÷ 4 × 2 + 4 – 3
A = 2 × 2 + 4 – 3
A = 4 + 4 – 3
A = 8 – 3
A = 5
Realizamos las operaciones en los paréntesis.
L = 12 ÷ (6 × 2) + 3(5 – 2)
L = 12 ÷ (12) + 3(3)
L = 1 + 9
L = 10
1
2
3
4
5
6
Rpta. 5
Rpta. –2
Rpta. –4
Rpta. –12
Rpta. 10
Encuentra el valor de E.
E = 5 – 3(4 ÷ 2 + 3 × 2 – 5)
Determina el valor de M.
M = 8 – 5(6 ÷ 2 + 3 × 4 + 7 – 12)
Realizamos las operaciones dentro del corchete.
E = 5 – 3(4 ÷ 2 + 3 × 2 – 5)
E = 5 – 3(2 + 6 – 5)
E = 5 – 3(3)
E = 5 – 9
E = –4
Realizamos las operaciones dentro del corchete.
M = 8 – 5(3 + 12 + 7 – 12)
M = 8 – 5(10)
M = 8 – 50
M = –42
Resolución:
Resolución:
7
8
Rpta. –42

12
Halla el valor de R.
R = 5 – 2[7 × 2 – 4(5 × 5 – 20 ÷ 5 – 3 × 6) – 4]
B = 4 + 5(1) + 4 + 5(1)
B = 18
C = 4(1) + 3(2) + 1 + 2 + 1
C = 14
Nos piden:
A + B + C = 14 + 18 + 14
A + B + C = 46
4
4
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 2
2
2
1
2
Determina el valor de B.
B = 18 ÷ 6 × 2 + 8 × 2 ÷ 4 + 2(5 × 3 – 5 × 2) – 7
9
10
Reduce la expresión.
A = 12–2{3+2[5 –3(4÷ 4×2 – 3)] – 4[3×4– (2×2 +3)]}
Resolución:
A = 12 – 2{3 + 2[5 – 3(1 × 2 – 3)] – 4[3 × 4 – (4 + 3)]}
A = 12 – 2{3 + 2[5 – 3(2 – 3)] – 4[3 × 4 – (7)]}
A = 12 – 2{3 + 2[5 – 3(–1)] – 4[12 – 7]}
A = 12 – 2{3 + 2[5 + 3] – 4[5]}
A = 12 – 2{3 + 2[8] – 4[5]}
A = 12 – 2{3 + 16 – 20}
A = 12 – 2{–1}
A = 12 + 2
A = 14
11
B = 18 ÷ 6 × 2 + 8 × 2 ÷ 4 + 2(5 × 3 – 5 × 2) – 7
B = 3 × 2 + 16 ÷ 4 + 2(15 – 10) – 7
B = 6 + 4 + 2(5) – 7
B = 6 + 4 + 10 – 7
B = 20 – 7
B = 13
Efectuamos las operaciones en paréntesis y
corchetes.
R = 5 – 2[7 × 2 – 4(5 × 5 – 20 ÷ 5 – 3 × 6) – 4]
R = 5 – 2[7 × 2 – 4(25 – 4 – 18) – 4]
R = 5 – 2[7 × 2 – 4(3) – 4]
Ahora reducimos el corchete:
R = 5 – 2[14 – 12 – 4]
R = 5 – 2[–2]
R = 5 + 4 = 9
Resolución:
Resolución:
Calcula la suma de perímetros de las figuras.
(Perímetro: medida del contorno de una figura).
Resolución:
Hallamos el perímetro de cada figura.
A = 3 + 2 + 2 + 2 + 1 + 4
A = 14
2
2
2
4
1
3
12
1u
A C
B
Rpta. 13
Rpta. 9
Rpta. 14 Rpta. 46

13
Calcula el valor de M.
M = 2 – 4 – 9 ÷ 3
Resolución:
Calcula el valor de N.
N = 3 – 5 – 6 ÷ 3
Resolución:
Halla el valor de A.
A = 18 ÷ 3 + 4 – 3
Resolución:
Números enteros
Efectuamos
formado por
{...; –2; –1; 0; 1; 2;...}
Operaciones
Adición/Sustracción Multiplicación División
De dos números
con signos:
• Iguales es
positivo.
(+)(+) = (+)
(–)(–) = (+)
• Contrarios es
negativo.
(–)(+) = (–)
(+)(–) = (–)
De dos números con
signos:
• Iguales es positivo.
(+)
(+)
= (+);
(–)
(–)
= (+)
• Contrarios es negativo.
(–)
(+)
= (–);
(+)
(–)
= (–)
Se aplica la regla:
1.º ( ); [ ]; { } Signos de colección
2.º ×; ÷ Multiplicamos y dividimos
de izquierda a derecha
3.º +; – Finalmente, sumamos y
restamos
1 2
3 4 Halla el valor de B.
B = 18 ÷ 2 + 5 – 4
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Modela y resuelve
Síntesis
• Iguales se juntan.
• Contrarios se
restan colocando
el signo del que
tiene mayor valor
absoluto.
Cantidades de
signos:

14
Determina el valor de R.
R = 5 – 3[4 × 3 ÷ 6 – 1]
Resolución:
Encuentra el valor de P.
P = 8 × 3 ÷ 6 – 9 ÷ 3
Resolución:
Calcula el valor de E.
E = 3 + 2[16 ÷ 4 – 6 ÷ 3]
Resolución:
5 6
7 8
9 10
11 12
Encuentra el valor de Q.
Q = 6 × 4 ÷ 8 – 4 ÷ 2
Resolución:
Determina el valor de P.
P = 6 – 2[6 × 2 ÷ 4 – 2]
Resolución:
Calcula el valor de F.
F = 7 + 2[15 ÷ 3 – 6 ÷ 2]
Resolución:
Halla el valor de M.
M = 15 ÷ 5 × 3 + 2(5 – 3)
Resolución:
Halla el valor de N.
N = 12 ÷ 4 × 3 + 3(4 – 2)
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

15
Halla el valor de E.
E = 42 ÷ 7 × 2 + 8 × 3 ÷ 4 – 2(5 × 4 – 4 × 3) + 7
Resolución:
Encuentra el valor de A.
A = 24 ÷ 6 × 4 – 24 ÷ (6 × 4) + 5
Resolución:
M = 3 – 2[16 ÷ 4 – 2(4 × 2 × 6 ÷ (3 + 5))]
Resolución:
13 14
15 16
17 18
19 20
Encuentra el valor de B.
B = 28 ÷ 7 × 2 – 28 ÷ (7 × 2) + 3
Resolución:
Determina el valor de S.
S = 7 – 3[12 ÷ 4 – 5 × 2 + 1]

Resolución:
R = 8 – 2[15 ÷ 5 – 6 × 3 + 2]
Resolución:
Calcula el valor de A.
A = 5 – 2[18 ÷ 6 – 2(6 × 2 × 3 ÷ (4 + 5))]
Resolución:
Halla el valor de T.
T= 36 ÷ 9 × 2 + 6 × 3 ÷ 9 – 3(7 × 3 – 7 × 2) + 5
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

16
Encuentra el valor de M.
M = [8 ÷ 2 × 4 – 2(2 – 5)][8 × 2 ÷ 4 – 2(3 – 5)]
Resolución:
Calcula el valor de L.
L = 2 – 5[(–15) ÷ 5 × (–3) – 2(6 – 8)] – (12 – 4 × 5)(1 – 6)
Resolución:
21
25 26
22
23 24
A = [12 ÷ 3 × 2 – 3(3 – 5)][9 × 2 ÷ 6 – 4(2 –3)]
Resolución:
Determina el valor de T.
T = 2 – 5[(–16) ÷ 8 – 2(3 × (–2) × 6 ÷ (1 – 7))]
Resolución:
R = 1 – 3[(–8) ÷ 4 – 2(2 ×(–4) × 3 ÷ (1 – 4))]
Resolución:
Calcula el valor de R.
R = 1 – 3[(–18) ÷ 6 ×(–3) –3 (5 – 8)]–(15 – 4 × 3)(2 – 5)
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

17
Teniendo en cuenta que el perímetro es la
medida del contorno de una figura. Responde las
preguntas, respecto a las figuras:
a) ¿Qué figura tiene mayor perímetro?
b) ¿Cuánto suman los perímetros?
c) Si las figuras representan terrenos y tenemos
64 m de cerca, ¿cuántos metros de cerca
sobraría o faltaría para cercar ambos?
Resolución:
preguntas, respecto a las figuras:
a) ¿Qué figura tiene mayor perímetro?
b) ¿Cuánto suman los perímetros?
c) Si las figuras representan terrenos y tenemos
80 m de cerca, ¿cuántos metros de cerca
sobraría o faltaría para cercar ambos?
Resolución:
Fig. C
1 m
Fig. B
1 m
27 28
Fig. A
1 m
Fig. D
1 m
Rpta. Rpta.

18
E = 6 × 4 ÷ 2 – 9 ÷ 3
Determina el valor de A.
A = 8 ÷ 4 + 3 – 2
Relaciona.
1. –2 + 6 a. 6
2. (–3) × (2) b. –4
3. (–24) ÷ (–4) c. 8
4. 7 – 11 d. –6
e. 4
A 1a; 2b; 3c; 4e
B 1e; 2d; 3a; 4b
C 1b; 2a; 3d; 4e
D 1c; 2e; 3a; 4d
E 1d; 2a; 3b; 4e
Encuentra los valores de A y B.
A = –9 + 3
B = –3 + 9
Luego, indica la relación correcta.
A A es mayor que B.
B A es menor que B.
C A es igual a B.
D No se puede determinar.
E No use esta opción.
M = 4 – 3 + 6 ÷ 3
3
2
1
Nivel I 5
6
7
8
M = (–15) ÷ 3 + (–2) × (–4)
Calcula el valor de H.
H = 12 ÷ 4 ×(–3) + 12 ÷ [4 × (–3)]
A –18 B –9 C –10
D –8 E –4
A 2 B 5 C 1
D 3 E 4
A 8 B 10 C 6
D 12 E 9
4 Calcula el valor de N.
N = 7 – 11 + 2(18 ÷ 6)
A 2 B 3 C 4
D 5 E 6
A 2 B 4 C 6
D 3 E 5
A 2 B 3 C 4
D 5 E 1

19
9
10
11
12
Determina el valor de Q.
Q = 3 – 4[6 + 8 ÷ 4 × (–2)] + 2
A –3 B 2 C 1
D –1 E –4
A 9 B –21 C 21
D –30 E –19
A 8 B –10 C –6
D –12 E –18
13
A = 19 – 5 × 2 + 4 – 7 + 6 ÷ 2 + 8 – 5 × 2 + 18 ÷ 2
A 7 B 8 C 16
D 10 E 11
Encuentra el valor de L.
L = 4 – 3[2 × 4 – 5(4 × 4 –18 ÷ 6 – 5 × 2) + 3]
14
15
16
A 25 B 16 C 18
D 20 E 22
M = 5 – 3[12 ÷ 3 – 4(3 × 2 × 5 ÷ (2 + 4))]
A 49 B 43 C 39
D 53 E 62
17 Calcula el valor de T.
T = 42 ÷ 7 × 2 + 12 × 4 ÷ 6 – 2(5 × 3 – 5 × 2) + 1
A 11 B 15 C 13
D 12 E 14
Nivel II
A = (15 ÷ 5) . 3 – (12 ÷ 2) . 3 – 12
Indica el valor de R.
R = 3 – 5[2 – 3(7 – 9) – 5]
A 12 B 14 C 16
D 11 E 15
A = 32 ÷ 8 × 2 – 32 ÷ (8 × 2) + 5
A 34 B 2 C 36
D 39 E 31
Calcula el valor de S.
S = 19 – 5[48 ÷ 8 – 7 × 2 + 5]

20
Indica la verdad (V) o falsedad (F) de las
proposiciones.
( ) Estos países en total fabricaron 70 millones
de autos.
( ) El primero fabricó 20 millones más que el
último.
( ) Los seis últimos fabricaron tanto como el
primero.
( ) El segundo fabricó tanto como los cuatro
últimos.
A VVVV B FFVV C FVFV
D VFVF E FVVV
Miguel tiene un dispositivo de almacenamiento
de 16 000 Mb (megabytes); si se sabe que una
canción ocupa 4 Mb (4 megabytes) y un episodio
de su anime favorito en HD ocupa 1200 Mb,
entonces:
• Puede almacenar ______ canciones en el
dispositivo.
• Si ya tiene almacenado 8 episodios de su
anime favorito, entonces puede almacenar
________ canciones.
• Si quiere almacenar 400 canciones y 15
episodios de su anime favorito, le faltaría
________ Mb.
A 2000; 1000; 1600
B 4000; 3200; 600
C 2000; 800; 2000
D 4000; 1600; 3600
E 8000; 1200; 1600
preguntas, respecto a la figura:
* La figura tiene _____ m de perímetro.
* Si la figura representa los límites de un terreno
y tenemos 90 m de cerca, _______________
_____ m para cercar el terreno.
A 50; sobraría; 10
B 120; faltaría; 40
C 60; sobraría; 30
D 100; faltaría; 10
E 70; sobraría; 20
18
19
20
A 232 B 264 C 258
D 246 E 272
Encuentra el valor de E = V + A, si:
V = 3 + 5(1 + 3) + 42 ÷ 7 × 2
A = 3 – 5(1 – 3) – 42 ÷ 7 × 2
A 34 B 36 C 38
D 40 E 42
1.º China: 22 millones
2.º EE. UU.: 11 millones
3.º Japón: 10 millones
4.º Alemania: 6 millones
5.º Corea del Sur:
5 millones
6.º India: 4 millones
7.º Brasil: 4 millones
8.º México: 3 millones
9.º Tailandia: 2 millones
10.º Canadá: 2 millones
Halla el valor de A = L + C, si:
L = 10 – 2[18 ÷ 9 × 2 – 3(4 × 4 – 3 × 3)]–(6 × 4 – 18)(3 – 5)
C = 10 – 2[18 ÷ (9 × 2) – 3 × 4 × 4 + 3 × 3]+(4 × 6 – 18)(3 – 5)
21
22
2 m
Determina el valor de M.
M = [12 ÷ 2 × 3 – 3(1 – 6)][10 × 2 ÷ 5 – 2(1 – 3)]
23
Nivel III
El año pasado los diez países que más autos
fabricaron en el mundo fueron:
A 154 B 148 C 130
D 135 E 162

Tema
21
Ejemplos:
a) 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
b) 33 = 3 × 3 × 3 = 27
c) (–3)2 = (–3)(–3) = 9
d) (–2)5 = (–2)(–2)(–2)(–2)(–2) = –32
e) (–1)9 = (–1)(–1)(–1)(–1)(–1)(–1)(–1)(–1)(–1) = –1
f) –34 = –(3 × 3 × 3 × 3) = –81
g) –42 = –(4 × 4) = –16
h) –53 = –(5 × 5 × 5) = –125
Definiciones
Exponente cero
b0 = 1
b0 = 1 ; si b ≠ 0
Ejemplos:
a) 60 = 1 b) (–2)0 = 1
c) (5 × 3)0 = 1 d) (73)0 = 1
Exponente uno
b0 = 1
b1 = b
Ejemplos:
a) 21 = 2 b) 151 = 15
4 factores
exponente
bn = p
base potencia
Donde
n ∈ +
bn = b × b × b ×... × b
n factores
Es la operación que permite encontrar la cantidad llamada potencia (p). Consiste en
multiplicar una cantidad llamada base (b) las veces que indique otra cantidad llamada
exponente (n).
Es decir:
Recuerda
Ley de signos
(+)par = (+)
(–)par = (+)
(+)impar = (+)
(–)impar = (–)
∈ : pertenece
+: enteros positivos
Importante
Se lee
Potenciación
Observa que
(–3)2 ≠ –32
(–3)(–3) –(3 . 3)
9 –9
10 000 = 104
2000 = 2 × 1000
2000 = 2 × 103
número
de ceros
2

22
Exponente negativo
; si b ≠ 0
Ejemplos:
a) 2–3 =
1
23 =
1
2 × 2 × 2
=
1
8
b) (6)–2 =
1
63 =
1
6 × 6
=
1
36
c) (–3)–2 =
1
(–3)2 =
1
(–3)(–3)
=
1
9
d) –4–2 =
–1
42 =
–1
2 × 2
=
–1
16
=
1
16
Exponentes sucesivos
bm = bm = b r
n p q
Importante
1
b–n = bn
Propiedades
Multiplicación de bases iguales
Ejemplos:
a) 23 × 22 = 23 + 2 = 25
b) 52 × 53 × 5 = 52 + 3 + 1 = 56
c) 32 × 3–1 = 32 + (–1) = 32 – 1 = 31
d) 6–2 × 63 × 6 = 6–2 + 3 + 1 = 62
bn . bm = bn + m
Recuerda
a1 = a
a0 = 1
1
0
= No definido
(bm)
n
≠ bmn
Ejemplos:
0
5
3
0
0
1
a) 52 = 52 = 51 = 5
b) 92 = 92 = 92 = 9 × 9 = 81
Nota: (03 = 0)
b–n =
1
b
n
=
1
bn

23
Observa
b
b
b
n
m
n m
−
+
=
24 × 34 = (2 × 3)4 = 64
1n = 1; n ∈ +
División de bases iguales
; siendo b ≠ 0
Ejemplos:
a)
3
3
3
7
3
7 – 3 4
= 3
= b)
12
12
12
= = 12
51
49
51 49 2
−
c)
7
7
7
5
3
5 3 2
= 7
=
−
d)
8
8
8
6
2
6 6 2
2 8
−
− −
( ) +
=
8 8
= =
Potencia de una multiplicación
(ab)n = an . bn
Ejemplos:
a) (2 × 5)3 = 23 × 53
b) (3 × 4 × 5)6 = 36 × 46 × 56
c) (2 × 7 × 9)4 = 24 × 74 × 94
Potencia de un cociente
Ejemplos:
a) b)
c) d)
Potencia de potencia
Ejemplos:
a) (23)4 = 23 × 4 = 212
b) (52)5 = 52 × 5 = 510
c) (310)2 = 310 × 2 = 320
d) ((73)2)5 = 73 × 2 × 5 = 730
; siendo b ≠ 0
(bn)
m
= (bm)
n
103
53
3
= = 23
10
5
a
b
a
b
n n
n
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
3
5
3
5
2 2
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
10
9
10
9
5 5
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
5
7
5
7
3 3
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
1
6
1
6
4
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
b
b
b
n
m
n
= m
−
b b
n
m n m
( ) = .

24
Indica la suma de todos los valores que faltan.
• 3 .34 = 37
• = 54
• ( 4 )–2 = 44
• (33 . 5 ) = 36 . 58
Resolución:
• 3 . 34 = 33 + 4 = 37
• = 53 – (–1) = 53 + 1 = 54
• ( 4 )–2 = 4(–2)(–2) = 44
• (33 . 5 ) = (33)2 . (5 )
2
= 36 . 58
Piden: 3 + 3 – 2 + 4 + 2 = 10
5
5
5
1
4
−
=
3
–2
2
4
1
2 Calcula el valor de A.
A = 22 . 2–3 . 25
Resolución:
Tenemos:
A = 22 . 2–3 . 25
A = 22 – 3 + 5
A = 24
A = 2 . 2 . 2 . 2
A = 16
3 Determina el valor de L.
Resolución:
Reducimos.
L =
=
7
7
7
7
3 + 2
7 + 1
+ 5 10
8
L = 710 – 8 = 72
L = 7 . 7 = 49
Rpta. 49
4 Halla el valor de G.
G =
( )
15
25
3
Resolución:
Tenemos:
G = 33. 53 – 2
G = 33. 51
G = 3 . 3 . 3 . 5
G = 135
Rpta. 135
Rpta. 16
Rpta. 10
5
5
5
1
4
−
=
3
4
( )
= =
G 15
25
3 . 5
5 . 5
G =
33
. 53
52
L =
L =
73 . 72 . 75
73 . 72 . 75
77 . 7
77 . 71

25
Calcula el valor de B.
5 Encuentra el valor de E.
E = 74 .
2
7
3
Resolución:
Tenemos:
E = 74 . 2
7
3
Potencia de un cociente
E = 74 . 2
7
3
E = 74 – 3 . 23
E = 7 . 23
E = 7 . 2 . 2 . 2
E = 56
6
9 Encuentra el valor de .
Resolución:
Tenemos esta posibilidad (no es la única):
10 Calcula el valor de N.
N = 210 – 10 . 322 – 18 . 58 – 8 . 712 – 12
N = 20 . 34 . 50 . 70 = 1 . 3 . 3 . 3 . 3 . 1 . 1 = 81
8 Halla el valor de A.
A =
1
3
–2
+
1
9
–1
+ 7
2–1
Resolución:
Tenemos:
A =
3
1
2
+
9
1
1
+ 7
1
2
A = [32 + 9 + 7]
1
2
A = [9 + 9 + 7]
1
2
A = [25]
1
2 = 5
2 . 1
2 = 51 = 5
7 Determina el valor de R.
R =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
− −
1
4
2 1
Resolución:
Tenemos:
R =
− −
R
1
4
2
1
2
1
( )
= = =
−
R
1
4
4 2
1
2
1
2 2
1
2
R = 22 .
= 21 = 2
1
2
B =
(23
. 52
)
2
(2 . 5)
4
B =
(23
. 52
)
2
(2 . 5)
4
B =
26
. 54
2
4
. 5
4
B = 26 – 4 . 1
B = 22 . 1
B = 2 . 2 = 4
Rpta. 4
Rpta. 2
Rpta. 56
Rpta. 5
Rpta. 8
Rpta. 81
Resolución:
Tenemos:
H =
12 6
36
3
2
.
H = 27 – 4 . 34 – 4 = 23 . 30
H = 2 . 2 . 2 . 1 = 8
H = =
26 . 33 . 21 . 31 26 + 1 . 33 + 1
24 . 34 24 . 34
H = =
(12)3 . (6) (23 . 3)3 . 2 . 3
(36)2 (22 . 32)
2
N =
(6)10 . (25)4 . (21)12
(14)4 . (35)8 . (54)6
N =
(2 . 3)10 . (52)
4
. (3 . 7)12
(2 . 7)4 . (5 . 7)8 . (2 . 33)
6
N =
210 . 310 . 58 . 312 . 712
24 . 74 . 58 . 78 . 26 . 318
N =
210 . 310 + 12 . 58 . 712
24 + 6 . 74 + 8 . 58 . 318
N =
610 . 254 . 2112
144 . 358 . 546
Resolución:
Tenemos:
=
210 . 322 . 58 . 712
210 . 712 . 58 . 318

26
Se tienen los datos de los animales más grandes
del mar, tierra y aire:

Peso
(kg)
Largo / alto
ballena azul
elefante africano
cóndor andino
180 000
4500
15
30 (largo)
3 (alto)
12 . 10–1 (cuerpo)
• El peso de una ballena azul equivale al peso de
A elefantes africanos.
• El peso de un elefante africano equivale al peso
de B cóndores andinos.
• Si el peso promedio de una persona es 60 kg,
el peso de C personas equivalen al peso de
una ballena azul.
Encuentra los valores de A, B y C.
14
12 Reduce.
J =
22 22(22)
2 2 2
(22)
2
(2–2)(22)
(–2)2
(2–2)
–4
1
2
Resolución:
Tenemos:
J =
22 22(22)
2 2 2
(22)
2
(2–2)(22)
(–2)2
(2–2)
–4
1
2
J =
22 22 . 24
2 2
24 . 2–2 . (22)
4
. 28
1
2
J =
22 26
2 2
24 . 2–2 . 28 . 28
1
2
J =
22 . 212
2
24 – 2 + 8 + 8
1
2
J =
22 + 12
2
218
1
2
J =
214
2
218
1
2
⇒ J =
228
218
1
2
J = [228 – 18]
1
2
J = [210]
1
2 = 210 . 1
2 = 25
J = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32
13 Halla el perímetro de la figura, sabiendo que el
perímetro es la medida del contorno de una figura.
Resolución:
Nos piden:
P = 12 . 2–1 + 60 . 6–1 + 36 . 4 –1 + 108 . 3–2 + 105 . 5–1+
1
5
–1
P =
12
21 +
60
61 +
36
4
+
108
31 +
105
51 +
5
1
–1
P = 6 + 10 + 9 + 12 + 21 + 5
P = 63
Resolución:
Nos piden:
A =
180 000
4500
=
2 . 9 . 104
5 . 9 . 102 =
2 . 91 – 1 . 104 – 2
5
A =
2 . 1 . 100
5
=
200
5
= 40
B =
4500
15
=
3 . 15 . 100
5
= 300
C =
180 000
60
=
18 . 104
6 . 101 = 3 . 103 = 3000
60 . 6–1 u
105 . 5–1 u
12 . 2–1 u
108 . 3–2 u
36 . 4–1 u
11 Determina el valor de M.
M =
[(300 000)2 . 1000–1]
3
270 000 000 000
Resolución:
Tenemos:
M =
(3 . 105)
2
. (103)
–1
3
27 . 1010
M =
32 . 1010 . 10–3
3
33 . 1010
M =
36 . 1030 . 10–9
33 . 1010
M = 36 – 3 . 1030 – 9 – 10
M = 33 . 1011
M = 27 . 1011
Rpta. 27 . 1011
Rpta. 63 u
Rpta. 40; 300; 3000
Rpta. 32
1
5
–1
u

27
Escribe verdadero (V) o falso (F) según
corresponda.
a) –32 = 9 ( )
b) 2 . 23 = 43 ( )
c) (–2)2 = 22 ( )
d) (32)3 = 36 ( )
3 4
2 Escribe verdadero (V) o falso (F) según
corresponda.
a) –24 = –16 ( )
b) 3 . 23 = 63 ( )
c) (–3)2 = –32 ( )
d) (43)2 = 49 ( )
M = 54 . 5–3 . 5
Resolución:
Calcula el valor de I.
I = 75 . 7–4 . 7
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Exponente Propiedades
Entero positivo
Cero
Uno
Entero negativo
b0 = 1; b ≠ 0
bn = b × b × b × b × ... × b
b–n = " b ≠ 0
1
bn
n factores
b1 = b
bn . bm = bn + m
(ab)n = an . bn
a
b
( ( a
b
n n
n
=
(bn)m = bn . m
Potencia de una división
Potencia de potencia
Potenciación
bn
bm
= bn – m
Síntesis
1
Modela y resuelve

28
Reduce la expresión S.
Resolución:
Halla el equivalente de E.
E = (5–2)–1 . (52)3 . 5–7
Resolución:
Determina el valor de G.
Resolución:
9 10
11 12
5 6
7 8
Determina el valor de U.
Resolución:
Halla el equivalente de L.
L = (3–3)–2 . (32)4 . 3–10
Resolución:
G =
103 . 10–5 . 107
104
S =
23 . (22)
4
. 2
25 . (22)
3
56 . (52)
3
. 5
55 . (52)
4
Reduce la expresión F.
P = (5–3)2 . 54 . (5–1)–3
Resolución:
Encuentra el valor de I.
I = (4–2)
4
. 44 . (4–2)
–3
Resolución:
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
F =
Resolución:
U =
83 . 8–6 . 87
83

29
N = (23)2 + 232
Resolución:
13
17 18
19 20
14
15 16
Calcula el valor de O.
O = 232
– (23)2
Resolución:
Determina el valor de Z.
Z =
− −
1
27
3 1
Resolución:
A =
− −
1
81
4 1
Resolución:
C = −
−
3 2
3
1
6
3
Resolución:
R = −
−
4 2
5
1
10
2
Resolución:
Halla el valor de I.
Resolución:
Halla el valor de J.
Resolución:
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
I = + +
2 2 2
2 2 2
2 1 0
I = + +
3 3 3
2 2 2
2 1 0

30
Encuentra el valor de T.
T = + + ⎥
− −
1
3
1
5
1
2 1
2
Resolución:
Efectúa y determina el valor de M.
M =
N = + +
− − −
− −
1
2
1
3
1
4
1
2
1
3
1
4
1 1 −1
Resolución:
21 22
23 24
25 26
E = + +
− −
1
4
1
7
2
2 1
2
Resolución:
Resolución:
Calcula el valor de A.
Resolución:
Efectúa y determina el valor de N.
− −
1 1
N = + +
− − −
⎞
1
3
1
4
1
5
1
2
1
3
1
2
⎟
1
Resolución:
A =
156 . 124 . 510 . 63
1011 . 313 . 54
H =
154 . 149 . 303
216 . 353 . 803
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

31
27 28
Responde:
a) ¿Cuántas veces la distancia de la Tierra al
Sol equivalen a la distancia de la Tierra a la
estrella Alfa Centauro?
b) ¿Cuántos viajes de ida y vuelta de la Tierra al
estrella Wolf359?
c) Si una nave espacial puede viajar
300 000 000 km en un año, ¿en cuántos años
llegaría a la estrella Barnard?
Resolución:
29 Responde:
a) ¿Cuántas veces la distancia de la Tierra al Sol
equivalen a la distancia de la Tierra a la estrella
Wolf359?
b) ¿Cuántos viajes de ida y vuelta de la Tierra al
estrella Barnard?
c) Si una nave espacial puede viajar
300 000 000 km en un año, ¿en cuántos años
llegaría a la estrella Alfa Centauro?
Resolución:
30
Halla el valor de L.
L = N =
Resolución: Resolución:
(200 0002 . 3003)2 (700 0002 . 2003)2
6 000 0004 140 000 0004
Tu profesor de álgebra ha calculado las distancias aproximadas a las estrellas más cercanas.
• De la Tierra al Sol: 150 000 000 km
• De la Tierra a Alfa Centauro: 45 000 000 000 000 km
• De la Tierra a Barnard: 60 000 000 000 000 km
• De la Tierra a Wolf359: 75 000 000 000 000 km
30 000 = 3 . 10 000 = 3 . 10 4
Número de ceros
Recuerda
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.

32
Completa.
1. 3
3
3
2
1
−
= 2. (22 . 3) = 24 . 3
3.
Luego, halla el valor de M = a + b + c + d.
Encuentra el valor de N.
a
d
b c
1
4
5
6
7
8
2
3
1
3
C =
−
−
5
6
1
A 3 B 81 C 1
D 9 E 27
A 8 B 10 C 9
D 11 E 12
A 81 B 3 C 9
D 27 E 1
A 25 B 50 C 10
D 5 E 1
Halla el valor de C.
A 3 B 15 C 25
D 5 E 9
A 5 B 25 C 1
D 10 E 15
Simplifica T.
N =
1
2
–3
+
1
2
–2
+ 1
A 20 B 15 C 25
D 18 E 16
A 234 B 250 C 244
D 260 E 255
T =
24 . 217 . 231
2–13 . 2–5 . 210
Nivel I
23 . 25 . 2
= 2
24 . 22
52 . 53 . 5
I =
5–1 . 56
N =
(32
· 53)
2
· 34
(3 . 5)6
B
factores
=
3 . 3 . 3 . ... . 3
3 . 3 . 3 . ... . 3
factores
29
32
Reduce B.
Determina el valor de I.
Calcula el valor de V.
V = 34 . 3–5 . 33

33
Indica el valor de R.
R = 24 . 3–1 + 36 . 2–2
Indica el valor de Q.
9
10
11
12
13
14
15
16
1
5
1
4
1
3
Q = + +
0 –1 –2
2 1
P = + 



( ) ( )
2 3
8
1
4
2
–
–
Determina el valor de Z.
Z = 12 . 6–1 – 32 + (–2)4
L =
+ +
2 2 2
2
5 6 4
3
A 16 B 17 C 18
D 15 E 19
A 9 B –23 C 11
D 13 E –19
A 15 B 14 C 13
D 12 E 16
A 12 B 14 C 16
D 11 E 15
El exponente de 5 que resulta al efectuar E.
E = 524
. (5–2)4
A 4 B 6 C 8
D 16 E 125
N = 36 . 3–2 + (–3)3 – (35 . 6)0
A 32 B 12 C 16
D –24 E –20
Calcula el valor de P.
A 78 B 81 C 85
D 87 E 89
Determina el valor de H.
. .
H =
5
3
3
5
9
7 5
. .
H =
5
3
3
5
9
7 5
.
A 75 B 15 C 50
D 25 E 9
Nivel II
.
. .
H =
5
3
3
5
9
7 5

34
Efectúa
Un grupo de alumnos ha medido las distancias de
la Tierra a la Luna, al Sol y a Marte, obteniendo
estos resultados.
Distancia de la Tierra a:
Luna: 382 000 000 m
Marte: 229 200 000 000 m
Sol: 152 800 000 000 m
• La distancia de la Tierra a Marte es ______
veces de la distancia a la Luna.
• La distancia de la Tierra al Sol es ________
veces de la distancia a la Luna.
22
21
23
A 12 B 16 C 8
D 6 E 24
Indica la verdad (V) o falsedad (F) de las
proposiciones.
( ) 200 000 = 2 . 105
( ) 3 . 107 = 3 000 000
( )
1 500 000
50 000
= 300
( ) 10 000 000 000 = 1010
Dados los valores de:
Se cumple que:
A El valor de A es el doble de B.
B El valor de B es el doble de A.
C Los valores de A y B son iguales.
D La suma de A y B es 20.
E El producto de valores de A y B es 50.
A B
= =














75 45
15
1
5
4 3
10
–2 2 –1
.
indica la mitad de M.
Calcula el valor de a.
(3a)4 . (3–2)3 = 310
Encuentra el valor de S = I + R.
I =
53 . 57
(52)4
∧ R =
(53)4
36 . 312
17
18
19
2 2
5 2
4
E =
)
( ) .
2 2
3 2
2
2 2
–5
–
. (
A B C
D E
2 5
4
3 6
A 64 B 15 C 13
D 12 E 34
A 4 B 16 C 1
D 2 E 8
M =
2n + 2 – 3 . 2n + 1 + 2n + 3
2n – 1
; luego,
20
Nivel III
A 300; 400 B 600; 400
C 600; 200 D 400; 600
E 300; 200
A VFVV B FFVV C VVFV
D VFVF E VFFV
∧

Tema
35
Radicación
Para hallar el valor de x, ¿qué operaciones debemos realizar?
La radicación es la operación que permite calcular un número b denominado raíz, que
elevado a una potencia igual al índice n del radical, resulta el radicando a. Es decir:
Definiciones
Exponente fraccionario
Para todo a entero y n entero positivo (∀ a ∈ ∧ n ∈ +)
Valor absoluto de a(|a|): significa el valor positivo de a.
Ejemplos:
a) 25 = 5, porque 52 =25 b) –8
3
= –2, porque (–2)3 = –8
c) 64
3
= 4, porque 43 = 64 d) –4 = no existe en
Ejemplos:
a) 9
1
2 = 9 = 3 b) 4
3
2 = 43
2
= 4
2 3
= 23 = 8
c) 64
1
3 = 64
3
= 4 d) 36
3
= 3
6
3 = 32 = 9
e) 81
1
4 = 81
4
= 3 f) (–8)
2
3 = (–8)2
3
= (–8)
3 2
= (–2)2 = 4
g) (–32)
1
5 = –32
5
= –2 h) 215
5
= 2
15
5 = 23 = 8
Ejemplos:
a) 53
3
= 5 b) (–3)5
5
= –3
c) 34
4
= |3| = 3 d) (–5)2
= |–5| = 5
8
x
6
a
c
b
En un triángulo rectángulo se cumple:
a
n
= b ⇔ bn = a
Donde:
n ∈ +
Donde:
n ≠ 0
an
n a ; si n es impar
|a|; si n es par
=
Valor absoluto
|2| = 2
|–3| = 3
|–6| = 6
|11| = 11
Términos de
radicación
a
n
= b
índice
radicando
raíz
Recuerda
3
Importante
(+)
(–)
(+)
(–)
= (+)
= (–)
= (+)
= ∃
impar
impar
par
par
¿Sabías que...?
Se lee:
∃ : existe
∃ : no existe
∀ : para todo
⇔ : si y solo si
Observa
c = a2 + b2
a
m
n =
n
am n
am =
n
am

36
Ejemplos:
a)
3 2
2 =
3 . 2
2 =
6
2 b)
5 3
7 =
5 . 3 . 2
7 =
30
7
c)
5 3
6 =
5 . 3
6 =
15
6 d)
8 3
55 =
8 . 3
55 =
24
55
e)
7 3
10 =
7 . 3
10 =
21
10 f)
4 7 3
311 =
4 . 7 . 3
311 =
84
311
Ejemplos:
a)
3
4
=
3
4
=
3
2
b)
5
2
=
3
4
c) 3 5
3
=
3
5
3
3
d)
7
11
7
3
=
4 11
16
e) 4 11
16
=
4
11
4
16
=
4
11
4
24
=
4
11
2
f)
3
250
3
2
=
3 250
2
=
3
125 = 5
Propiedades
Raíz de un producto
Raíz de un cociente
Raíz de raíz
a.b = .
n
a
n
b
n
Ejemplos:
a) 5.2
3
= 5
3
. 2
3
b) 3 . 12 = 3.12 = 36 = 6
c) 3.7
4
= 3
4
. 7
4
d) 5
3
. 25
3
= 5.25
3
= 5.52 =
3
53
3
= 5
e) 7.3.2 = 7 . 3 . 2 f) 5 . 2 . 10 = 5.2.10 = 100 = 10
g) 4.33
5
= 4
5
. 33
5
h) 3
4
. 23
4
= 3.23
4
= 3.8
4
= 24
4
i) 24
3
= 8.3
3
= 8
3
. 3
3
= 2. 3
3
j) 2
5
. 32
5
= 2.32
5
= 2.9
5
= 18
5
; para: b ≠ 0
¿Sabías que...?
El símbolo de la
radicación , es
una variación de la
letra r, primera de
la palabra radix que
significa raíz.
Fue introducida por
Christoph Rudolf.
Importante
La radicación solo
es distributiva
con respecto a la
multiplicación y
división.
Para:
n ∈ ∧ n ≥ 2
0
n
= 0
1
n
= 1
Observa
Se lee:
Raíz cuadrada
x x
2
=
Se lee:
Raíz cúbica
x
3
n a
b
=
n
a
n
b
m n
a =
m . n
a

37
Tipos de radicales
Radicales semejantes
Son aquellos radicales que tienen igual índice y radicando.
Ejemplos:
a) 3 5
4
; –2 5
4
; 5 5
4
son radicales semejantes
b) 7 2
3
; 13 5
5
; –11 6
2
no son radicales semejantes
c) 4 3; 15 3; –9 3 son radicales semejantes
Los radicales semejantes se pueden reducir con sumas y restas.
Ejemplos:
a) M = 3 2 + 5 2 – 2 2
Resolución:
M = 3 2 + 5 2 – 2 2
M = (3 + 5 – 2) 2
M = 6 2
b) E = 5 3
3
– 7 3
3
+ 11 3
3
Resolución:
E = 5 3
3
– 7 3
3
+ 11 3
3
E = (5 – 7 + 11) 3
3
E = 9 3
3
Ejemplos:
Operaciones combinadas con números enteros:
a) Halla el valor de P.
P = 5 – 3[32 – 12 ÷ 4 × 3 + 9]
b) Reduce la expresión M.
M = 8 + 4 2 – 3 2
Cuando aparecen operaciones combinadas, es necesario seguir la prioridad de los
signos de operación en el siguiente orden:
1.º Si en la expresión aparecen signos de colección, deberá operarse primero la parte
interna.
2.º Se realizan las potencias y radicales.
3.º Se realizan las multiplicaciones y divisiones evaluando de izquierda a derecha.
4.º Se realizan las sumas y restas.
Resolución:
Dentro de los corchetes:
P = 5 – 3[32 – 12 ÷ 4 × 3 + 9] Potenciación y radicación
P = 5 – 3[9 – 12 ÷ 4 × 3 + 3] Multiplicación y división de izquierda a derecha
P = 5 – 3[9 – 9 + 3] Suma y resta
P = 5 – 3[3] Ahora la multiplicación
P = 5 – 9 Finalmente la resta
P = –4
Resolución:
Observamos que: 8 = 4.2 = 4 . 2 = 2 2
Entonces: M = 2 2 + 4 2 – 3 2
M = (2 + 4 – 3) 2
M = 3 2
Importante
En las operaciones
combinadas se
efectúa:
1.° ( )n ;
n
2.° × ; ÷
3.° + ; –
Observa
4 + 3 × 22
4 + 3 × 4
4 + 12 = 16
primero
segundo
tercero
n
an . b =
n
an .
n
b
n impar = a .
n
b
n par = lal .
n
b

38
¿Sabías que...?
Algoritmo
Conjunto ordenado y
finito de operaciones
que permite hallar
la solución de un
problema.
N = r . b ⇒ r =
N
b
bʹ =
r + b
2
∧ r' =
N
bʹ
Ejemplo:
Halla la raíz
cuadrada de 40.
40 = 10 × 4
bʹ =
10 + 4
2
= 7
⇒ rʹ =
40
7
= 5,71
b =
7 + 5,71
2
= 6,35
⇒ r =
40
6,35
= 6,3
Método babilónico
3.º Se resta al primer grupo el cuadrado del valor hallado
en el paso anterior (en este caso 22 = 4), y se baja el
grupo marcado a la derecha.
4.º En la parte inferior derecha se escribe el doble de la
parte destacada. Observa que 4 es el doble de 2.
6.º Se sube el valor de n a la parte superior del espacio
destacado, escribiéndolo a continuación de la cifra
que había ya en el mismo.
Se baja el otro grupo, en este caso 21 del lado del 5 y
se procede como en los pasos cuarto, quinto y sexto.
7.º Si no hay más grupos, se ha hallado la raíz cuadrada
del número.
Observa: 52 es el doble de 26.
2.º Se busca el cuadrado perfecto menor y que más
se aproxime a este último grupo y se extrae su raíz
cuadrada.
En nuestro caso este valor es 4 (más próximo a 6), y
su raíz es 2.
6 81 21 2
6 81 21 2
–4
2 81
6 81 21 2
–4
2 81
4  2 × 2
6 81 21 26
–4
2 81
–2 76
5 21
4 6 × 6
Luego:
La raíz cuadrada de 68 121 es 261. Pues 261 × 261 = 68121.
6 81 21 2
–4
2 81
–2 76
5 21
4 6 × 6
6 81 21 261
–4
2 81
–2 76
5 21
0
–5 21
4 6 × 6
52 1 × 1
5.º Encuentra un valor n que añadido al encontrado
en el cuarto paso y multiplicado por el mismo n sea
aproximado a 281, pero menor que el valor encontrado
en el tercer paso; resta y baja el grupo marcado a la
derecha.
Separamos la cifra de la derecha de 281 dividimos
28 ÷ 4 = 7, este es el posible valor de n , multiplica
47 × 7 = 329, el resultado es mayor que 281; cuando
el resultado es mayor que el número, disminuye en la
unidad el posible valor de n; entonces n = 6.
Entonces: 6 × 46 = 276
Luego se resta: 281 – 276 = 5
Raíz cuadrada de un número natural
Para calcular la raíz cuadrada de un número natural seguimos la siguiente regla:
1.º Separa las cifras del número en grupos de dos,
empezando por la derecha, el último grupo
puede tener una o dos cifras.
Halla: 68121
último grupo primer grupo
6 81 21
Ejemplo:

39
Indica la suma de todos los valores que faltan.
Escribe verdadero (V) o falso (F).
( V ) –8
3
= –2
( F ) 16
4
= 4
( F ) –4 = –2
( V ) 27
3
= 3
Halla el valor de T.
T = 4
3
. 2
3
Calcula el valor de S.
S = 8
2
3 + 1
E =
3
3 (–2)2 + 10
3
2
a) 210
5
= 2
b)
3
5 =
12
5
c) 4.5
3
= 4 . 5
3
d)
4 5
16
=
4
5
Resolución:
Completamos:
a) 210
5
= 2
b)
3
5 =
12
5
c) 4.5
3
= 4 . 5
3
d)
4 5
16
=
4
5
Piden:
2 + 4 + 3 + 2 = 11
2
2
3
4
Resolución:
Tenemos:
T = 4
3
. 2
3
Raíz de un producto
T = 4.2
3
T = 8
3
= 2
Resolución:
Tenemos:
R =
4
3
. 10
3
5
3
Potencia y raíz de un producto
R =
4.10
5
3 =
40
5
3 ⇒ R = 8
3
= 2
Resolución:
Tenemos:
S = 8
2
3 + 1 Exponente fraccionario
S = 82
3
+ 1 Recuerda am
n
= a
n m
S = 8
3 2
+ 1 Evaluamos la raíz
S = 22 + 1 Evaluamos la potencia
S = 4 + 1 Finalmente la suma
S = 5
Resolución:
Realizamos operaciones:
E =
3
3 (–2)2 + 10
3
2
E =
3
3|–2| + 10
3
2
E =
3
3 . 2 + 10
3
2
E = 3 6 + 10
2
E = 3 16
2
=
3
8 = 2
Recuerda: an
n
= |a|, para n par
5
6
R =
4
3
. 10
3
5
3
1
2
3
4
Rpta. 2
Rpta. VFFV
Rpta. 11
Rpta. 2
Rpta. 5
Rpta. 2

40
E = 27
3
+ 2 . 8 + 1
H =
50 + 18 – 8
2
Calcula el valor de C.
C = 9 – 4[42 – 2( 27
3
+ 35 × 32 ÷ 34 – 4 × 6)]
P = 16 – 3[(8 ÷ 4)3 – 312
3
] + 100
Halla el valor de Q.
Q = 103 ÷ [(10 ÷ 5)3 × 4 – (13 – 8)2 + 27
3
]2 – 81
ONEM 2004 - Nivel 1 - Fase 1
Los ingresos I (en miles de soles) de una empresa
dependen del precio de venta unitario de cierto
producto c (en soles) según la relación:
I(c) = 10 + 2 49 – c
cuando c varía entre 0 y 49.
a) ¿Cuánto es el ingreso cuando el precio unitario
es de 24 soles?
b) Si el precio unitario aumenta en 9 soles,
¿cuánto es el ingreso?
Resolución:
Resolución:
Tenemos:
E = 27
3
+ 2 . 8 + 1
E = 27
3
+ 2.8 + 1
E = 27
3
+ 16 + 1
E = 3 + 4 + 1
E = 8
Resolución:
P = 16 – 3[(2)3 – 312
2 . 3
] + 100
P = 4 – 3[(2)3 – 3
12
6 ] + 10
P = 4 – 3[8 – 32] + 10
P = 4 – 3[8 – 9] + 10 = 4 – 3(–1) + 10
P = 4 + 3 + 10 = 17
Resolución:
Q = 103 ÷ [(2)3 × 4 – (5)2 + 27
3
]2 – 81
Q = 103 ÷ [8 × 4 – 25 + 3]2 – 9
Q = 103 ÷ [32 – 25 + 3]2 – 9
Q = 103 ÷ [10]2 – 9 = 103 – 2 – 9 = 10 – 9 = 1
a) I = 10 + 2 49 – 24
I = 10 + 2 25
I = 10 + 2 . 5
I = 10 + 10 = 20 mil soles
b) Si c = 24 + 9 = 33
I = 10 + 2 49 – 33
I = 10 + 2 16
I = 10 + 2 . 4 = 10 + 8 = 18 mil soles
Resolución:
Reducimos los radicales:
H =
25.2 + 9.2 – 4.2
2
H =
25 . 2 + 9 . 2 – 4 . 2
2
H =
5. 2 + 3. 2 – 2. 2
2
H =
(5 + 3 – 2) . 2
2
H =
6. 2
2
= 6
Resolución:
C = 9 – 4[42 – 2( 27
3
+ 35 × 32 ÷ 34 – 4 × 6)]
C = 3 – 2[16 – 2(3 + 35 + 2 – 4 – 4 × 6)]
C = 3 – 2[16 – 2(3 + 33 – 4 × 6)]
C = 3 – 2[16 – 2(3 + 27 – 24)]
C = 3 – 2[16 – 2(6)]
C = 3 – 2[16 – 12]
C = 3 – 2[4]
C = 3 – 8
C = –5
7
8
9
10
11
12
Rpta. 20 mil y 18 mil soles
Rpta. 8
Rpta. 6
Rpta. 1
Rpta. 17
Rpta. –5

41
9
32
• = 4
• =
• =
•
Halla el valor de M en: Halla el valor de E en:
a
412
3
Si M = a + b + c + d.
7
6
b
7
24
3.11
5
5
3
c
d
11
5
5
=
9
715
3
= 7
•
•
•
•
5
27
3
r
3
=
5
13
5
n
= 13
20
5 . 17
7
= 5
s
17
7
Si E = m + n + s + r.
Rpta. Rpta.
Propiedades
Se aplica la regla:
1.° ( ) ; [ ]; { }
2.° ( )n ; n
3.° × ; ÷
4.° + ; –
Exponente
Fraccionario
Donde:
n ≠ 0
Donde:
|a| es el valor positivo de a.
Potenciación y
radicación
Multiplicación y
división de izquierda
a derecha
Finalmente, sumas
y restas
Primero resuelve la
parte interna de los
signos de colección
Raíz de una
división
Raíz de una
multiplicación
Raíz de
raíz
a ; si n es impar
|a|; si n es par
=
=
a.b
n
= a
n
. b
n
1.
2.
3.
Radicación
m
Síntesis
2
1
Modela y resuelve
m
am
n
an
an
n
a a
n
m m n
= .
n a
b
=
n
a
n
b

42
Calcula el valor de T = +
Determina el valor de C = 27 + 4. Determina el valor de H = 9 + 3.
3 4
Resolución:
8
Encuentra el valor de E = 81 + 27 .
3
Resolución:
5
Evalúa O.
O = 5
3
. 25
3
Resolución:
9
Encuentra el valor de I = 64 + 8
3
Resolución:
6
Evalúa P.
P = 4
3
. 16
3
Resolución:
10
Calcula el valor de S = +
Resolución:
7
2
3
3
2
(–4)2 53
3
43
3
(–3)2
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

43
15
17
13 14
16
18
11 Halla el valor de
Reduce C. Reduce D.
Encuentra el valor de Encuentra el valor de
12 Halla el valor de
Determina el valor de A. Determina el valor de B.
Resolución:
Resolución:
26
4
3
C = 39
3
6
D =
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
80
4
P =
5
4
16
5
. 20
5
10
5
A =
312 + 2.
3
F =
212 + 1.
3
E =
B =
20
4
. 8
4
10
4
H =
5
3
40
3

44
Halla el valor de I = 8 + 18 – 2.
Halla el valor de H = 27 + 12 – 3.
Calcula el valor de G = 21 + 36
3
Rpta.
Calcula el valor de H =
Resolución:
Resolución:
19
22
21
Reduce la expresión G.
G = 16 – 8
3
[32 + 25(36 ÷ 6 ÷ 3 – 3)]
23 Reduce la expresión J.
J = 125
3
– 4[42 + 16(18 ÷ 3 ÷ 2 – 4)]
24
H = 27
3
– 2[3 9 – 2(18 ÷ 3 × 6 – 52)]
25 Determina el valor de E.
E = 8
3
– 3[3 16 – 2(24 ÷ 6 × 2 – 42)]
26
20
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
13 + 27
3

45
Rpta.
Encuentra el valor de M.
M = 54 ÷ [(15 ÷ 5)2 × 2 – 8
3
+ 32] – 64
E = 43 ÷ [(9 ÷ 3)2 × 2 – 125
3
– 32] – 16
La velocidad de un móvil V (m/s) que depende del
tiempo t (en segundos) está representada por la
relación:
V(t) = 8 + 3 2t + 10
a) ¿Cuál es su velocidad cuando el tiempo es
3 s?
b) Diez segundos después, ¿cuál es su
velocidad?
c) ¿Cómo cambia la velocidad entre el minuto 13
y el minuto 27?
La velocidad de un móvil V (m/s) que depende del
tiempo t (en segundos) está representada por la
relación:
V(t) = 12 + 4 2t + 9
a) ¿Cuál es su velocidad cuando el tiempo es
8 s?
b) Doce segundos después, ¿cuál es su
velocidad?
c) ¿Cómo cambia la velocidad entre el minuto
20 y el minuto 36?
Resolución:
Resolución:
27
29 30
28
Rpta.
Rpta. Rpta.

46
Calcula el valor de A = 328
7
+ 5.
A 8 B 9 C 14
D 15 E 11
A =
L= 8 . 2 + 3
Determina el valor de E = 4 + 9 + 16.
H = 4
3
2
+ 2
1
2
3
Halla x.
x = 245
3
5
Reduce la expresión A.
A = 80
5
4
5
6
7
8
15
3
. 18
3
10
3
9
A 6 B 10 C 12
D 8 E 15
A 5 B 6 C 7
D 9 E 11
A 6 B 7 C 5
D 8 E 9
A 2 B 4 C 6
D 16 E 8
A 2 B 4 C 5
D 3 E 6
A 2 B 4 C 1
D 8 E 16
Encuentra el valor de E = V + A.
V =
2 . 4 . 8
2
A =
54
6
Nivel I
Determina el valor de N.
27 +
3
81 + 25
N =
A 20 B 15 C 19
D 17 E 18
A 5 B 7 C 9
D 6 E 8

47
A 2 B 3 C –3
D –4 E 4
A 15 B 10 C 14
D 8 E 13
A 3 2 B 4 2 C 5 2
D 2 2 E 2
En la operación: a × b – c = 5
a, b y c son elementos del conjunto:
A = {1; 2; 3; 4; 16; 25}
Halla el valor de: M = a + b + c.
En la siguiente operación, cada cuadradito puede
ser reemplazado por el signo de adición (+) o por
el signo de multiplicación (×):
25 4 9
¿Cuál de los siguientes números no puede ser el
resultado de la operación?
10
11
Calcula el valor de N = 18 + 8 – 2.
12
H = 63 ÷ [(6 ÷ 3)2 + 49 – 25]2 + 0
5
+ 2(32 – 7)
Encuentra el valor de N.
N = 1
5
+ 3[ 9 + 2 ( 0 + (6 ÷ 3)2)]
Halla el valor de P.
P = 25 – 9[(8 ÷ 4)3 – 49 + (4 – 2)2]
Determina el valor de A =
13
15
16
14
A 10 B 11 C 21
D 30 E 13
A 6 B 7 C 21
D 8 E 9
A 5 B 2 C 6
D 4 E 3
A 30 B 32 C 36
D 34 E 35
A 8 B 10 C –10
D 2 E –12
Encuentra el valor de A – B.
A = 52((–2)3 + 16) – 3 . 42 ÷ 6
B = 52(–23 + –64
3
) – 3 . 42 ÷ 6
A = 64
3
– 9[(6 ÷ 3)3 – 27
3
] + 23 – 1
3
17
18
A 100 B 0 C 200
D 180 E 216
Nivel II
1 + 5 + 16.

48
A 3 B –18 C 8
D –10 E –22
Efectúa.
H = 103 ÷ 102 + 20
3
× 2 ÷ 5
3
– 125
3
C = 5 – 2 32 + 42 + 0
3
Luego, indica la relación correcta.
La altura de un adolescente (en centímetros) entre
los 10 y 15 años está indicada por la relación:
H(x) = 12 13x – x + 9
donde, x es la edad en años. ¿Cuál es la altura de
Carlos, si tiene 13 años?
19
20
3
Halla el valor de R = A ÷ D + I – C × A + L.
A = (–3)2
+ 25 C =
63
24
D = 1
5
+ (–2)3
3
L = C + 27
3
I = 2A – 6 . 24
21
Si la distancia D (en kilómetros) del centro del
planeta al satélite está expresado por:
D(t) = 1000 9t2 + 64
donde t (en horas) es el tiempo.
¿Cuál es la distancia del satélite al centro de la
Tierra, cuando t = 2?
Las velocidades de dos móviles V (m/s) que
dependen del tiempo t (en segundos) están
representadas por las relaciones:
Móvil (1): V(t) = 7 + 2 3t + 1
Móvil (2): V(t) = 6 + 3 2t – 1
• Para t = 8, la velocidad del móvil (1) es de
m/s.
• Para t = 13, la velocidad del móvil (2) es de
m/s.
23
Nivel III
La gráfica muestra el desplazamiento de un satélite
en la órbita terrestre en sus doce primeras horas:
22
t = 0h
D
t = 12h
A 12 000 km B 3629 km
C 17 000 km D 10 000 km
E 8000 km
A C = 2H + 1 B 2 – H = C
C H + C = 0 D C.H = 35
E 2C = H + 3
A 152 cm B 148 cm
C 156 cm D 158 cm
E 142 cm
A 17; 13 B 12; 45
C 17; 21 D 45; 21
E 17; 45

Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 1
49
A VFVF B FFVV
C VFFV D VFFF
Halla el valor de N = 16 ÷ 4 + 3 × 2 – 5.
5 Indica si la operación es verdadera (V) o falsa (F).
( ) 23 · 53 = 103
( ) (56) = 0
( ) 2 · 32 = 62
( ) 23 + 22 = 25
4 Determina el valor de P.
P = 3 – 5{1 + 2[4 – 3(6 ÷ 3 × 2 – 7)] – 3[5 × 2 –(2 × 3 + 1)]}
Encuentra el valor de T = 2 – 5(6 – 4 × 2) – 12.
1
2
3
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
–17
A
–9
C
13
B
–12
D
Calcula el valor de E = (23)2 – (32)2.
6
A 2 B 4
C 5 D 3
A –2 B 0
C 4 D 8
A –3 B –6
C –12 D –1
Indica el doble del valor de M.
M = 8 – 15 + 7 – 12 ÷ 2
A –77 B –82
–91 –87
C D

50
3–5
34
Reduce la expresión M.
M = (4–2)3 · 423
· 4
Indica si la operación es verdadera (V) o falsa (F).
7 10
11
12
9
8
16
A
4
C
64
B
1
D
VFVF
A
VFFV
C
FFVF
B
FFFF
D
Indicasilaproposiciónesverdadera(V)ofalsa(F).
( ) = –2
( ) = 9
( ) 8 = 2 2
( ) 2
3
. 4
3
= 2
(–2)4
4
312
6
A VFVF B FFVV
C FVVV D FVFV
Halla el valor de M = A + B – C – D.
A =
B =
236
12
(–2)4
4
Encuentra el valor de R.
R = 5 + 9
3
A = 82 + 62
( ) 2 · 3–1 =
( ) 4 · 16 = 25
( ) = 39
( ) (2 )–6 = 2–3
2 · 31
1
(–4)3
3
3 12
C =
D = .
3
1
8
A
6
C
10
B
12
D
1
A
2
C
5
B
4
D
10
A
11
C
12
B
14
D

Tema
51
Polinomios
Una expresión algebraica es una combinación de números (coeficientes) y letras
(variables) enlazadas por las diferentes operaciones aritméticas.
Ejemplos:
a) A(r) = πr2
b) P(x) = 2x3 + 5x + 7
c) Q(x; y) = 3x4 + 2xy3 – 9y2
Ejemplos:
a) 3x2y3; –5x3y2; 7x2y2 No son términos semejantes
b) 11x4y3; 7x4y3; –x4y3 Son términos semejantes
c) 8x2y5; 3y5x2; 42x2y5 Son términos semejantes
Ejemplos:
a) Identifica las partes del siguiente término algebraico:
M(x; y) = –11x3y2
b) Calcula el valor de m + n si los siguientes términos son semejantes:
A(x; y) = 2x3y5 ; B(x; y) = 7xnym
Término algebraico
Es la mínima expresión algebraica, está formada por el producto de números
(coeficientes) y letras (variables).
Términos semejantes
Dos o más términos son semejantes si presentan las mismas variables con exponentes
iguales.
¿Es posible sumar 7 libros más 5
personas?¿Por qué?
René Descartes
(1596 - 1650)
¿Sabías que...?
René Descartes
fue quien comenzó
la utilización de las
últimas letras del
alfabeto (x, y ∧ z)
para designar
las cantidades
desconocidas.
Importante
La representación
simbólica nos
permite reconocer
cuáles son las
variables de una
expresión.
P(x) = x2 + xy + y2
variable: x
– 3x2y3
exponentes
variables
signo
coeficiente
Resolución:
Observamos que: Coeficiente = –11
Parte literal = x3y2
Resolución:
El término x3y5 es semejante a 7xnym
Entonces : n = 3 ∧ m = 5
Nos piden: m + n = 5 + 3 = 8
4

52
Importante
Se puede sumar
o restar términos
solo cuando son
semejantes.
Recuerda
En un polinomio el
exponente es entero
positivo.
Observa
Si solo especifican
grado, se entiende
que es el grado
absoluto.
Ejemplo:
Reduce la siguiente expresión M = 5x – 2x + 7x – 3x.
Ejemplos:
a) M(x; y) = 4xy3; es un monomio
b) Q(x; y) = 2x3 – 4xy2 + 6y4; es un trinomio
c) A(x; z) = 4x3z – 7xz; es un binomio
d) P(x) = 3x – 5 + 7x2 – 2x5 + x7; es un polinomio de 5 términos
En el polinomio:
Reducción de términos semejantes
Para reducir dos o más términos semejantes sumamos o restamos los coeficientes
(según indique el signo) con la misma parte literal.
Polinomios
Es la expresión algebraica cuyos exponentes de las variables son números enteros
positivos. De acuerdo al número de términos que tiene el polinomio, recibe los siguientes
nombres:
• Si tiene un solo término : Monomio
• Si tiene dos términos : Binomio
• Si tiene tres términos : Trinomio
• Si tiene n términos : Polinomio de n términos
Grado de un polinomio
Grado relativo (G.R.): Es el mayor valor del exponente de una variable.
Ejemplos:
Grado absoluto (G.A.):
• De un monomio: Es la suma de los exponentes de sus variables.
• De un polinomio: Es el mayor grado absoluto de los términos del polinomio.
Ejemplo:
Dado el polinomio: P(x; y) = 5x2y7 + 9x8y – x6y4
Halla el valor de H = G.R.(x) + G.R.(y) + G.A.(P)
Luego: H = 8 + 7 + 10 ⇒ H = 25
Resolución:
P(x; y) = 5x2y7 + 9x8y1 – x6y4
Resolución:
Tenemos M con términos semejantes, entonces:
M = 5x – 2x + 7x – 3x
M = (5 – 2 + 7 – 3)x ⇒ M = 7x
P(x; y) = 5x3y2
Q(x; y) = 3x4y3
⇒ G.A.(Q) = 7
P(x; y) = 5x2y5 + 11x5y4 – 4x6y2
⇒ G.A.(P) = 9
E(x; y) = 2x3y4 – 7x5y + 9x2y6
G.R.(x) = 3
G.R.(y) = 2
G.R.(x) = 8
G.R.(y) = 7
G.A.(P) = 10
G.R.(x) = 5
G.R.(y) = 6
P(x) = 5x4 + 3x2 – 7x + 5
nombre del
polinomio
mayor
exponente
variable coeficientes
grado
4 + 3 = 7 2 + 5 = 7 5 + 4 = 9 6 + 2 = 8

53
Valor numérico
Es el número que resulta luego de reemplazar las variables del polinomio por números.
Sustracción de polinomios
Para restar polinomios, cambia de signo al polinomio sustraendo y luego reduce sus
términos semejantes.
Ejemplo:
Sean los polinomios:
M(a) = 5a2 + a – 3 ∧ N(a) = 3a2 – 5a + 11
Halla: M(a) – N(a)
Operaciones con polinomios
Adición de polinomios
Para sumar polinomios, sumamos sus términos semejantes.
Ejemplo:
P(x) = 3x2 – 7x + 5 ∧ Q(x) = 4x2 + 3x – 8
Halla: P(x) + Q(x)
Ejemplo:
Sea el polinomio:
P(x) = 3x2 – 7x + 5
Halla el valor de P(2).
Resolución:
Tenemos: P(x) = 3x2 – 7x + 5
Entonces: P(2) = 3 . (2)2 – 7 . 2 + 5
P(2) = 3 . 4 – 7 . 2 + 5
P(2) = 12 – 14 + 5 = 3
Resolución:
Nos piden: P(x) + Q(x) = 3x2 – 7x + 5 + 4x2 + 3x – 8
P(x) + Q(x) = (3x2 + 4x2) + (–7x + 3x) + (5 – 8)
P(x) + Q(x) = 7x2 – 4x – 3
Resolución:
Nos piden: M(a) – N(a) = 5a2 + a – 3 – (3a2 – 5a + 11)
M(a) – N(a) = 5a2 + a – 3 – 3a2 + 5a – 11
M(a) – N(a) = (5a2 – 3a2) + (a + 5a) + (–3 – 11)
M(a) – N(a) = 2a2 + 6a – 14
Importante
Sustracción
M – S = D
Donde:
M : minuendo
S : sustraendo
D : diferencia

54
Grado relativo
a x
Grado relativo
a y
Grado absoluto
7
1
3
4
–7
Coeficiente
Respecto al monomio.
M(x; y) = –7x3y4
Relaciona:
Sea el polinomio:
P(x) = 3x + 4
Indica el valor de verdad de las proposiciones:
(V) P(1) = 7
(F) P(0) = 3
(V) P(5) = 19
(V) P(–1) = 1
Dado el polinomio.
P(x) = 2x2 – 3x + 5
Calcula el valor de M = P(1) + P(0).
Resolución:
Tenemos: P(x) = 2x2 – 3x + 5
Para: x = 1: P(1) = 2 . 12 – 3 . 1 + 5
P(1) = 2 . 1 – 3 . 1 + 5
P(1) = 2 – 3 + 5 = 4
x = 0: P(0) = 2 . 02 – 3 . 0 + 5
P(0) = 5
Para: M = P(1) + P(0)
M = 4 + 5 = 9
Rpta. 9
Reduce el polinomio P.
P(x; y) = 4x2y – 5xy2 + 3x2y + 7xy2 – 5x2y
Resolución:
Juntamos los términos semejantes:
P(x; y) = 4x2y + 3x2y – 5xy2 – 5x2y + 7xy2
P(x; y) = (4 + 3 – 5)x2y + (–5 + 7)xy2
P(x; y) = 2x2y + 2xy2
Rpta. 2x2y + 2xy2
Encuentra el grado del polinomio P.
P(x) = 3(x3)2 – 2x3 . x – 3x + 4
Resolución:
Tenemos:
P(x) = 3(x3)2 – 2x3 . x – 3x + 4
P(x) = 3x3 . 2 – 2x3 + 1 – 3x + 4
P(x) = 3x6 – 2x4 – 3x + 4
Luego, el mayor exponente de x (grado) es 6.
Rpta. 6
Sean los polinomios P y Q.
P(x) = 3x + 2 ∧ Q(x) = x + 3
Descubre el valor de E = P(2) + Q(1).
Resolución:
Tenemos:
P(x) = 3x + 2
x = 2: P(2) = 3 . 2 + 2
P(2) = 6 + 2 = 8
Q(x) = x + 3
x = 1: Q(1) = 1 + 3 = 4
Nos piden: E = P(2) + Q(1)
E = 8 + 4 = 12
Rpta. 12
Si los términos:
4nxn + 1y5 ∧ 7x6ym
Son semejantes, determina el valor de A = n + m.
Resolución:
Tenemos los términos semejantes:
4nxn + 1y5 ∧ 7x6ym
Entonces: n + 1 = 6 ⇒ n = 5
m = 5
Piden: A = n + m
A = 5 + 5 = 10
Rpta. 10
En el polinomio:
P(x; y) = 5x3y2 – 3x4y – x2y5
Si: A = grado relativo a x
B = grado relativo a y
C = grado absoluto de P
Halla el valor de H = A + B + C.
Resolución:
Del polinomio:
P(x; y) = 5x3y2 – 3x4y1 – x2y5
Nos piden: A + B + C = 4 + 5 + 7 = 16
Rpta. 16
G.R.(x) = 4
G.R.(y) = 5
G.A.(P) = 7
1
2
3
4
5
6
7
8

55
P(x) = 3x3 + x; Q(x) = 2x2 – x; R(x) = 3x3 – 5x
Determina el valor de A = P(x) + Q(x) – R(x).
Resolución:
Nos piden:
P(x) + Q(x) – R(x) = (3x3 + x) + (2x2 – x) – (3x3 – 5x)
P(x) + Q(x) – R(x) = 3x3 + x + 2x2 – x – 3x3 + 5x
P(x) + Q(x) – R(x) = (3x3 – 3x3) + 2x2 + (x – x + 5x)
P(x) + Q(x) – R(x) = 2x2 + 5x
Rpta. 2x2 + 5x
En una ciudad la cantidad de agua que se consume
en el mes de abril está determinada por la expresión
A(x) = x3 + 2x2 – x + 4, en el mes de mayo por
M(x) = 2x3 – 5x2 + 3x – 5 y en el mes de junio por
J(x) = x3 + 3x2 + 2x + 1.
a) ¿Cuál es el consumo de agua en la ciudad en
los meses de abril, mayo y junio?
b) ¿Cuál es la diferencia del consumo entre mayo
y abril?
c) Determina si el consumo de mayo es igual al
consumo de abril junto a junio.
Resolución:
Nos piden:
a) H(x) = A(x) + M(x) + J(x)
Ordenamos para reducir términos semejantes.
b) E(x) = M(x) – A(x)
Hallamos:

–A(x) = –(x3 + 2x2 – x + 4)

–A(x) = –x3 – 2x2 + x – 4
Ordenamos para reducir términos semejantes:
c) M(x) = A(x) + J(x)
Hallamos: A(x) + J(x)
Su consumo en los tres meses es 4x3 + 4x.
La diferencia es: x3 – 7x2 + 4x – 9
Como:
M(x) = 2x3 – 5x2 + 3x – 5
Decimos que M(x) y A(x) + J(x) no son iguales.
+
A(x) = x3 + 2x2 – x + 4
M(x) = 2x3 – 5x2 + 3x – 5
J(x) = x3 + 3x2 + 2x + 1
H(x) = 4x3 + 0x2 + 4x + 0
M(x) = 2x3 – 5x2 + 3x – 5
–A(x) = –x3 – 2x2 + x – 4
E(x) = +x3 – 7x2 + 4x – 9
A(x) = x3 + 2x2 – x + 4
+J(x) = x3 + 3x2 + 2x + 1
E(x) = 2x3 + 5x2 + 1x + 5
Halla el grado del monomio E.
E(x) =
xm + 3 . xn + 5
xm + n . x2
Resolución:
Reducimos la expresión:
E(x) =
xm + 3 . xn + 5
xm + n . x2
E(x) =
xm + 3 . xn + 5
xm + n . x2
E(x) = xm + 3 + n + 5 – (m + n + 2)
E(x) = xm + 3 + n + 5 – m – n – 2
E(x) = xm – m + n – n + 3 + 5 – 2
E(x) = x6
Rpta. Es de grado 6
Rpta. 4x3 + 4x; x3 – 7x2 + 4 – 9; no
En una ciudad cuando el consumo de agua
es mayor de 40 m3 su costo está dado por la
expresión C(x) = 5x – 133, en soles, donde x
representa el consumo.
a) ¿Cuánto pagó una familia que consumió 48 m3
el mes pasado?
b) Si este mes su consumo aumentó en 5 m3,
¿cuánto pagará?
Resolución:
a) Sabemos: C(x) = 5x – 133
Para x = 48: C(48) = 5 . 48 – 133
C(48) = 107
Pagó 107 soles.
b) Consumo del mes actual: 48 + 5 = 53
Sabemos: C(x) = 5x – 133
Para x = 53: C(53) = 5 . 53 – 133
C(53) = 132
Pagará 132 soles.
Rpta. S/ 107 y S/ 132
+
Producto de bases iguales
Cociente de bases iguales
Finalmente
En el exponente:
9 12
10
11

56
Modela y resuelve
Síntesis
Dado Q(x; y) = 7x4y12 + 3x10y3 – 11x8y11, completa:
a) Las variables del polinomio son:
b) El polinomio tiene términos.
c) El término con mayor coeficiente de Q es:
d) El grado relativo a x es:
e) El grado relativo a y es:
f) El grado absoluto de Q es:
Dado el monomio M(x; y) = –9x2y7.
Completa:
a) Las variables del monomio son:
b) El coeficiente del monomio es:
c) La parte literal de M es:
e) El grado absoluto de M es:
f) El grado relativo a y es:
Dado P(x; y) = 5x3y8 – 13x6y7 + 11x8y2, completa:
a) Las variables del polinomio son:
b) El polinomio tiene términos.
c) El término con mayor coeficiente de P es:
e) El grado relativo a y es:
f) El grado absoluto de P es:
1
3 4
Dado el monomio E(x; y) = 3x5y3.
Completa:
a) Las variables del monomio son:
b) El coeficiente del monomio es:
c) La parte literal de E es:
e) El grado absoluto de E es:
f) El grado relativo a y es:
2
Polinomios
Grado
Por su número de
términos
Valor
numérico
Adición
sustracción
G.R.
Monomio Polinomio
G.A.
Exponente de
la variable.
Monomio
Binomio
Trinomio
Polinomio
de n términos
Mayor exponente
de la variable.
Reduce sumando o restando
los términos semejantes.
exponentes
enteros positivos
Tienen igual parte literal
(variables y sus respectivos
exponentes iguales)
Variable del
polinomio cuando
sus variables son
reemplazadas con
números.
Suma de
exponentes.
Mayor suma de
exponentes.

57
Sea M(x; y) = 7x5y4 + 3x2y7 – 2x4y8 – xy4,
calcula el valor de A.
G.A.(M) + G.R.(y)
G.R.(x)
A =
Sea E(x; y) = 11x10y2 – 5x8y6 – 7x2y8 + 2xy5,
calcula el valor de A.
G.A.(E) + G.R.(x)
G.R.(y)
A =
Halla el grado de M(x) = P(x) + Q(x).
P(x) = 2x3 – 3x + 7
Q(x) = 3x2 – x + 3
5
7
Halla el grado de M(x) = A(x) + B(x).
A(x) = 5x4 – 3x2 + 8
B(x) = 3x2 – 2x + 5
6
8
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Encuentra la expresión equivalente a P(x) .
P(x) = 3x – (2 – (x – (2 – x)))
Encuentra la expresión equivalente a M(x).
M(x) = 2x – (3 – (x – (5 – x)))
9 10
Rpta. Rpta.

58
P(x) = 3x2 + x + 2
Q(x) = 3x + 1
Determina el valor de Q(P(1)).
P(x) = 2x2 + 3x – 1
Q(x) = 4x – 1
Determina el valor de Q(P(1)).
11 12
Rpta. Rpta.
Dado P(x + 2) = x2 + x + 1, calcula el valor de P(3).
Si el grado del monomio M(x) = (n + 4)x2n – 7 es 3,
halla el coeficiente de M.
Si el grado del monomio P(x) = (n + 5)x2n – 4 es 2,
halla el coeficiente de P.
Dado Q(x + 1) = x2 + 3x + 2, calcula el valor de Q(2).
15 16
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
13 14

59
Encuentra el valor de M = P(Q(2)), dados los
polinomios P y Q.
P(x + 1) = 5x + 3
Q(x – 1) = 3x + 2
En la tabla, se muestra el consumo mensual de
electricidad en los condominios A y B.
En la tabla, se muestra el consumo anual de
electricidad en los condominios C y D.
a) Calcula el consumo total en los tres meses
de cada condominio.
b) En estos tres meses, ¿cuál es la diferencia
de consumo de los condominios?
a) Calcula el consumo total en los tres años de
cada condominio.
b) En estos tres años, ¿cuál es la diferencia de
consumo de los condominios?
Condominio A Condominio B
M1 2x3 + 3x2 – 4x – 7 x3 + 2x2 – 5x + 7
M2 x3 + 4x2 – 5x + 3 3x3 – 4x2 + x + 3
M3 3x3 – x2 – 2x + 4 2x3 – x2 + 7x + 9
Condominio C Condominio D
A1 4x3 – 5x2 + 2x + 11 2x3 + 3x2 – 2x + 9
A2 2x3 + 3x2 – 7x – 5 3x3 – 3x2 + 5x – 1
A3 3x3 – 2x2 + x + 6 4x3 – 4x2 – 6x + 7
Encuentra el valor de P = N(M(1)), dados los
polinomios M y N.
M(x – 2) = 3x – 1
N(x + 2) = 4x + 3
17
19 20
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
18

60
Sea P(x) = 3x + 7, calcula el valor de P(2).
A 15 B 13 C 12
D 9 E 10
Dado el monomio A(x; y), indica el valor de verdad
(V) o falsedad (F) de las proposiciones.
A(x; y) = 2nx2y3
( ) Las variables son: n, x e y.
( ) El coeficiente es 2n.
( ) El grado relativo a x es 3.
( ) El grado absoluto de A es 5.
Indica el grado del monomio H(x).
Relaciona:
1. Grado relativo
de x
2. Coeficiente
3. Monomio
4. Trinomio
a. Tiene 3 términos
b. Siempre tiene signo
c. Mayor exponente de x
d. Siempre tiene exponentes
e. Tiene un término.
Indica la expresión equivalente a P(x).
P(x) = 2x – (x + (x – (2 – x)))
Dado el polinomio P(x; y) = 5x7y5 – 8xy10 – x6y9,
encuentra el valor de M = G.A.(P) – G.R.(y).
Si P(x) = 3x2 – 4x + 7, halla el valor de P(2).
A 1d; 2b; 3b; 4a B 1c; 2b; 3e; 4a
C 1b; 2a; 3d; 4e D 1c; 2e; 3a; 4d
E 1d; 2b; 3e; 4a
A VFFV B FFVV C VVFF
D FVFV E FFFV
A 2 – x B 1 – x C 2x – 4
D x – 1 E 3
A 15 B 5 C 12
D 6 E 8
A 9 B 11 C 10
D 13 E 12
A 2 B 3 C 4
D 5 E 6
x3. x5. x
x4
H(x) =
1
4
5
6
7
2
3
Sea P(x) = 2x2 + x – 4, determina M = P(0) + P(1).
Calcula el valor de M(x) = E(x) + B(x).
E(x) = 2x2 + 3x – 4
B(x) = 3x2 – 3x + 7
Sea P(x) = 3x + 5, encuentra el valor de M = P(P(0)).
A 3x2 + 3x + 7 B 5x2 + 3
C x2 + 6x – 11 D x2 + 3
E 5x2 + x – 3
A 15 B 25 C 20
D 18 E 23
A –3 B –4 C –1
D 3 E –5
8
9
10
Nivel I

61
Dado los polinomios:
P(x; y) = 5x8y5 + 7x5y10 – 2xy
Q(x; y) = 2x3y9 – 5x7y8 – xy2
Relaciona:
1. Grado de P
2. Grado de Q
3. G.R.(x) en P
4. G.R.(y) en Q
Dado los polinomios:
P(x) = 5x – 3
Q(x) = 3x – 2
Indica si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
( ) P(0) = 3
( ) Q(2) = 4
( ) P(1) = Q(1)
( ) Q(0) = –2
a. 7
b. 8
c. 9
d. 10
e. 15
Determina el valor de M = P(P(2)), sabiendo que
P(x) = 5x – 4.
Si el coeficiente de M(x; y) = (n + 2)x4n – 1y6 – n
es 5, halla el grado de M.
A 1a, 2e, 3d, 4a B 1e, 2d, 3b, 4d
C 1a, 2c, 3d, 4e D 1e, 2e, 3b, 4c
E 1a, 2e, 3c, 4b
A FVFV B VFVF C VVFF
D FFVV E FVVF
A 34 B 30 C 26
D 28 E 32
A 12 B 10 C 13
D 14 E 15
12
14
13
11 Dados los polinomios P y Q, calcula Q(x) – P(x).
P(x) = 2x – (x – (x + 3))
Q(x) = 3x – (x – (x + 2))
A 1 – x B x – 1 C 2x + 2
D 5x + 5 E 0
15
Calcula el valor de P(Q(2)), dados los polinomios
P y Q.
P(x – 1) = 5x – 3
Q(x + 3) = 3x + 5
A 15 B 10 C 18
D 12 E 17
16
Encuentra el valor de M(2).
 P(x) = 2x2 + x – 3
 Q(x) = x – 5
 M(x) = P(x) + 2Q(x – 1)
A –5 B –2 C –1
D –4 E –3
17
24. Si el coeficiente de M(x; y) = 2(n + 3)xn – 2y2n + 1,
es 14, halla el grado de M.
A 9 B 8 C 10
D 14 E 11
18
El crecimiento poblacional de una bacteria está
representado por
C(t) = C0 . 2
donde C0 es el tamaño inicial de la población en
el tiempo t (en horas). Si la población inicial es de
200 bacterias, ¿cuál será la población en 5 horas?
A 400 B 600 C 1200
D 800 E 1000
19
Nivel II

62
A El valor de P(0) es 1
B El valor de Q(1) es –5
C El valor de M(–2) es 0
D El valor de P(1) es 9
E El valor de M(0) es igual al valor de Q (0)
Sean:
 P(x – 1) = x3 + 2x – 3
 Q(x + 2) = x2 + x – 7
 M (x + 1) = P(x) + Q(x + 2)
Indica la proposición correcta.
A 28 B 30 C 22
D 24 E 26
Dado P(x; y) = 3x2y8z5 + 5x5y2z3 – x4y7z3,
entonces:
• El grado de P es A.
• El grado relativo a x es B.
• El grado relativo a y es C.
Determina el valor de:
M = A + B + C
20
21
Los ingresos anuales de un deportista están
representados por:
• Año 1: 2x3 + 4x2 + x + 6
• Año 2: 3x3 + 5x2 – 3x + 1
• Año 3: 3x3 – 3x2 + 6x – 5
Calcula el valor de M = P(Q(R(2) – 1)), si:

 P(x + 3) = 2x3 + x2 – x + 4

 Q(x + 1) = x3 + 2x2 + 3x + 4

 R(x + 1) = x2 + 2x – 1
En las tablas, se muestran los consumos
mensuales de agua y electricidad de dos ciudades.
Ciudad
A
Agua Electricidad
Abril 7x2 + 3x + 9 2x4 + 3x3 + 5x2 – 2x + 4
Mayo 5x2 – x + 12 3x4 – 2x3 – 3x2 – 2x + 5
Junio 9x2 – 4x + 10 x4 + 3x3 + 4x2 + 2x – 9
Ciudad
B
Agua Electricidad
Abril 5x2 + 4x – 7 3x4 + 2x3 – 5x2 – 2x + 4
Mayo 7x2 – x + 10 x4 + 5x3 – 3x2 + 5x + 3
Junio 8x2 – 3x + 12 2x4 – 3x3 + 4x2 – 3x – 9
En los tres años su ingreso es P(x), el año 2 ganó
Q(x) más que el año 3.
Entonces:
Si A(x) es la diferencia de consumos totales
(meses: abril, mayo y junio) de agua entre las
ciudades A y B. E(x) es la diferencia de consumos
totales de electricidad entre las ciudades A y B.
Entonces:
A A(x) = 10x2 – 2x + 2
E(x) = x2 – 2x + 15
B A(x) = x2 – 2x + 15
E(x) = 2x2 – 2x – 2
C A(x) = x2 – 2x + 12
E(x) = 5x2 – 2x + 4
D A(x) = 3x2 + 2x + 46
E(x) = 2x2 + 2x – 2
E A(x) = x2 – 2x + 16
E(x) = 10x2 – 2x + 2
A 4 B 5 C 6
D 7 E 8
A P(x) = 6x3 + 12x2 + 10x + 12
Q(x) = 2x2 + 3x – 4
B P(x) = 8x3 + 12x2 + 4x + 12
Q(x) = 2x2 + 9x – 4
C P(x) = 2x3 + 6x2 + 10x + 6
Q(x) = 2x2 – 3x + 5
D P(x) = 8x3 + 6x2 + 4x + 2
Q(x) = 8x2 – 9x + 6
E P(x) = 8x3 + 4x2 + 6x + 12
Q(x) = 2x2 – 6x + 9
24
23
22
Nivel III

Tema
63
Halla el área del rectángulo
a) (3xy2)(5x2y3) = (3)(5)x1 + 2y2 + 3 = 15x3y5
b) (–4x3y)(–2x2y3) = (–4)(–2)x3 + 2y1 + 3 = 8x5y4
c) (6x3y4)(–7xy5) = (6)(–7)x3 + 1y4 + 5 = –42x4y9
d) (–9x2yz3)(2xy2z5) = (–9)(2)x2 + 1y1 + 2z3 + 5 = –18x3y3z8
a) 3x(4x2 + 5x – 2) = 3x(4x2) + 3x(5x) + 3x(–2)
= 12x3 + 15x2 – 6x
b) 4x2(5x3 – 3x + 7) = 4x2(5x3) + 4x2(–3x) + 4x2(7)
= 20x5 – 12x3 + 28x2
c) 5x3y(3xy + 2x2y – 4) = 5x3y(3xy) + 5x3y(2x2y) + 5x3y(–4)
= 15x4y2 + 10x5y2 – 20x3y
(x + 3)(x2 + 4x – 5) = x(x2 + 4x – 5) + 3(x2 + 4x – 5) Distributiva: 2
= x(x2) + x(4x) + x(–5) + 3(x2) + 3(4x) + 3(–5) Distributiva: 1
= x3 + 4x2 – 5x + 3x2 + 12x – 15 Reducimos términos semejantes
= x3 + 7x2 + 7x – 15 Tenemos el producto
Ejemplos:
Ejemplos:
(Axnym)(Bxayb) = (AB)xn + aym + b
Producto de monomios
Multiplica los coeficientes (parte numérica), luego la parte literal.
Producto de monomio por polinomio
Se aplica la propiedad distributiva y se multiplica monomio por monomio.
Producto de polinomio por polinomio
Para multiplicar polinomio por polinomio se aplican las propiedades distributivas, luego
multiplicamos los monomios.
Resolución:
Dividimos el rectángulo
Se observa: (x + 5)(x + 2) = x2 + 2x + 5x + 10 = x2 + 7x + 10
2
5
x
x
2x 2 . 5
5x
x . x
2x2(4x5 – 3x3 – 2x + 7) = 2x2(4x5) + 2x2(–3x3) + 2x2(–2x) + 2x2(7)
= 8x7 – 6x5 – 4x3 + 14x2
Recuerda
Importante
Propiedad
distributiva
1. a(b + c) = ab + ac
2. (b + c)a = b a + ca
Para multiplicar:
(a + b)(c + d)
recuerda PEIU
P: primeros [ac]
E: externos [ad]
I : internos [bc]
U: últimos [bd]
Observa
x = α + β
bn. bm = bn + m
5
Multiplicación de polinomios
x + 2
x + 5

64
Ejemplos:
a) (x + 4)(x + 9) = x(x + 9) + 4(x + 9)
= x2 + 9x + 4x + 36
= x2 + 13x + 36
Si los polinomios tienen exponentes consecutivos, podemos multiplicar de esta manera:
Sea P = (2x2 + x – 3)(2x + 1)
Entonces:
Sea un cuadrado de lado x + y.
Se observa que: (x + y)2 = x2 + xy + yx + y2 = x2 + 2xy + y2
Binomio diferencia al cuadrado
a) (x + 2)2 = x2 + 2(x)(2) + 22 = x2 + 4x + 4
b) (a + 2b)2 = a2 + 2(a)(2b) + (2b)2 = a2 + 4ab + 4b2
c) (2x + 3)2 = (2x)2 + 2(2x)(3) + 32 = 4x2 + 12x + 9
a) (x – 3)2 = x2 – 2(x)(3) + 32 = x2 – 6x + 9
b) (2a – b)2 = (2a)2 – 2(2a)(b) + b2 = 4a2 – 4ab + b2
c) (x – 2y)2 = (x)2 – 2(x)(2y) + (2y)2 = x2 – 4xy + 4y2
Binomio suma al cuadrado
c) (x + 2)(x2 + 3x – 2) = x(x2 + 3x – 2) + 2(x2 + 3x – 2)
= x3 + 3x2 – 2x + 2x2 + 6x – 4
= x3 + 5x2 + 4x – 4
b) (x + 3)(x – 7) = x(x – 7) + 3(x – 7)
= x2 – 7x + 3x – 21
= x2 – 4x – 21
Ejemplos:
Ejemplos:
Productos notables
Son multiplicaciones conocidas en las que no se realizan operaciones previas de la
multiplicación; entre ellas tenemos a:
x + y
x + y (x + y)2
y
yx
xy
y2
x2
y
x
x
x = α + β
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
x = α + β
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
Observa
Identidades de
Legendre
•
•
ab . cd
U: bd
D: ad + bc
C: ac
Ejemplo:
24 × 31 = 744
U: 4 × 1 = 4
D: 2 × 1 + 4 × 3 = 14
C: 1 + 3 × 2 = 7
Importante
(a + b)2 + (a – b)2
2(a2 + b2)
(a + b)2 – (a – b)2
4ab
Observa
Ejemplo 1
Ejemplo 2
ab2 = (a2)(2ab)(b2)
312 = 961
562 = 3136
1.° U = 12 = 1
2.° D = 2.1.3 = 6
3.° C = 32 = 9
U : 62 = 36
D : 3 + 2.5.6 = 63
C : 6 + 52 = 31
UM : 3 = 3
CDU
2x2 + x – 3
1(2x2 + x – 3)
2x(2x2 + x – 3)
2x2 + x – 3
+
4x3 + 2x2 – 6x
4x3 + 4x2 – 5x – 3
2x + 1
×

65
a
a b c
b
c
Producto de suma por diferencia
Producto de binomios con término común
Tenemos:
se observa la equivalencia: (x – y)(x + y) = x2 – y2
x2 – y2 (x – y)(x + y)
y y
y
y
x
x x
y
y
x
x
x–y x–y
x
a) (x – 2)(x + 2) = x2 – 22 = x2 – 4
b) (a – 6)(a + 6) = a2 – 62 = a2 – 36
c) (2n – 3)(2n + 3) = (2n)2 – 32 = 4n2 – 9
a) (x + 3)(x + 5) = x2 + (3 + 5)x + (3)(5) = x2 + 8x + 15
b) (n – 3)(n + 4) = n2 + (–3 + 4)n + (–3)(4) = n2 + 1n – 12
c) (a – 3)(a – 4) = a2 + (–3 – 4)a + (–3)(–4) = a2 – 7a + 12
a) Efectúa:
M = (a + b + c)2
Tenemos:
M = ((a + b) + c)2 binomio suma al cuadrado
M = (a + b)2 + 2(a + b) . c + c2
M = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
M = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Ejemplos:
Ejemplos:
Ejemplos:
También:
Luego:
a
a b c
b
c a.c
a.b
a.a
b.c
b.b
b.a
c.c
c.b
c.a
(a + b + c)2 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
x = α + β
(x – y)(x + y) = x2 – y2
x = α + β
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
Ejemplo:
E = 5432 – 5412
Entonces:
• S: 543 + 541
• D: 543 – 541
Luego:
E = 1084 . 2
E = 2164
Observa
ab . cb
U: b2
D: (a + c)b
C: ac
Ejemplo:
32 × 42 = 1344
U: 22 = 4
D: (3 + 4) . 2 = 14
C: 1 + 3 × 4 = 13
UM: 1
Observa

66
b) Sea A(x) = 2x2 – 3x + 1
B(x) = x – 2
Halla AB.
c) Efectúa:
M = (x + y)2 – (x – y)2
d) Efectúa:
R = (x + y)2 + (x – y)2
e) Efectúa:
S = (x + y)4 – (x – y)4
Resolución:
Entonces:
A . B = (2x2 – 3x + 1)(x – 2)
A . B= x(2x2 – 3x + 1) – 2(2x2 – 3x + 1)
A . B= 2x3 – 3x2 + x – 4x2 + 6x – 2
A . B = 2x3 – 7x2 + 7x – 2
Resolución:
Tenemos:
M = (x + y)2 – (x – y)2
M = x2 + 2 . x . y + y2 – (x2 – 2 . x . y + y2)
M = x2 + 2xy + y2 – x2 + 2xy – y2
M = 4xy
Resolución:
Tenemos:
R = (x + y)2 + (x – y)2
R = x2 + 2 . x . y + y2 + (x2 – 2 . x . y + y2)
R = x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2
R = 2x2 + 2y2
R = 2(x2 + y2)
Resolución:
S = [(x + y)2] – [(x – y)2]2
S = [(x + y)2 – (x – y)2][(x + y)2 + (x + y)2]
S = 4xy . 2(x1 + y2)
S = 8xy(x2 + y2)
También:
Identidad de Legendre
Observa
2x 2x
= 4(2x) = 24
+ –
3
x
3
x
3
x
2 2
–
5
5
5
2
2
2
+
+
–
2
2 2
2
(
(
(
(
(
(
+
= 2
= 2(5 + 2)
= 14
x = α + β
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
x = α + β
(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
x = α + β
(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
x = α + β
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
2x2 – 3x + 1
x – 2
–4x2 + 6x – 2
2x3 – 3x2 + x
2x3 – 7x2 + 7x – 2
×

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