Libro 1s mate area

8
Asumimosunaactitudresponsableantelos
desastresnaturales
Tus aprendizajes
• Expresa y comprende con diversas representaciones la teoría de conjuntos.
• Establece relaciones entre datos desconocidos y las representa mediante expresiones algebraicas.
• Identifica y comprende con dibujos y lenguaje geométrico las operaciones con segmentos y
ángulos trigonométricos.
• Representa las características de una población en estudio mediante variables cualitativas o
cuantitativas.
1

9
Observa, reflexiona y
comenta
1. ¿Qué observas en la imagen? Describe
cada detalle.
2. ¿Qué tipo de fenómenos naturales
ocasionan desastres en nuestro país?
Menciónalos.
3. ¿Qué entiendes por desastre natural?
4. ¿Por qué es importante mostrar una
actitud responsable en casos de desastres
naturales?
Las páginas web propuestas han sido verificadas.
Es importante recordar que muchas de ellas tienen
período determinado de vigencia.
Ingresa a Youtube y observa el video
“¿Qué son los desastres naturales?”.
https://www.youtube.com/
watch?v=VseQQ4mJ0Cc
Reflexiona y responde. ¿De qué forma
se clasifican los desastres naturales?
Entorno virtual
Ambiental ResponsabilidadAutonomía TIC Indaga

©EdicionesCorefoS.A.C.Prohibidoreproducir.D.L.822LibrodelÁrea-MatemáticaI
10
Resuelve problemas de cantidad - Aritmética
Teoría de conjuntos
„„ ¿En qué situaciones has utilizado los conjuntos?
Activa tus saberes
Analiza la información
Ana y Luisa pertenecen a un grupo de voluntariado, en cierto
momento ellas establecen el siguiente diálogo:
Ana: ¡Qué bueno de que las personas hayan podido colaborar
con ropa para nuestros hermanos del norte del país!
Luisa: Es cierto, de esta manera demuestran su solidaridad.
Ana: Ahora debemos clasificar la ropa según ciertas características.
¿De qué forma crees que podrían clasificar la ropa Ana y Luisa?
„„ ¿De qué forma crees que podrían clasificar la ropa?
Construye tus aprendizajes
Notación de conjunto
En forma general, los conjuntos se denotan por
letras mayúsculas, y los elementos, por letras mi-
núsculas u otros símbolos separados por comas y
encerrados entre llaves. En el caso de que los ele-
mentos sean números, se usa el punto y coma.
Ejemplos:
A = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes,
sábado, domingo}
B = {1; 3; 5; 7; 9}
Determinación de un conjunto
Un conjunto se puede determinar de dos formas:
a. Por extensión
Cuando se mencionan todos los elementos
que forman el conjunto.
Ejemplo:
La determinación por extensión del conjunto
B formado por el color de las prendas de vestir
como los polos podría ser:
B = {blanco, negro, rojo, azul}
b. Por comprensión
Cuando se menciona alguna característica co-
mún a todos los elementos del conjunto.
Ejemplo:
B = {x ∈ / 5 < x  10}
Cardinal de un conjunto
El cardinal de un conjunto A, se denota por n(A)
y es el número de elementos diferentes que tiene
dicho conjunto.
Ejemplos:
•• El conjunto A = {m, a, r, i, o} tiene 5 elementos
diferentes, entonces n(A) = 5.
•• El conjunto B = {2; 4; 6; 8} tiene 4 elementos
diferentes, entonces n(B) = 4.
Clasificación de conjuntos
Los conjuntos se clasifican según el número de
elementos diferentes que tienen y estos pueden ser:
a. Conjunto finito
Cuando tiene una cantidad limitada de ele-
mentos, es decir, se pueden contar o enumerar.
Promueve el aprendizaje autónomo.
Scribd: https://es.scribd.com/presentation/6521802/Teoria-de-Conjuntos-Ie n t o r n o
VIRTUAL
L. Act. Pág. 12

11
Ejemplo:
A = {v, a, l, o, r} → n(A) = 5.
b. Conjunto infinito
Cuando tiene una cantidad ilimitada de ele-
mentos, es decir, no se pueden terminar de
contar o enumerar sus elementos.
Ejemplo:
B = {x ∈ / x > 5}
B = {6; 7; 8; …}
Conjuntos especiales
a. Conjunto vacío
Es aquel conjunto que no tiene elementos,
también se le llama conjunto nulo y se denota
por ∅ o { }.
Ejemplo:
A = {x/x es un número impar que termina en 0}
b. Conjunto unitario
Es aquel conjunto que presenta un solo elemento.
Ejemplo:
A = {x/x es un satélite natural de la Tierra}
Conjunto universal
Es un conjunto referencial que contiene a todos
los elementos considerados. Se representa por .
Ejemplo:
Dados los siguientes conjuntos:
A = {x ∈ /x es un número par},
B = {x ∈ /x es un número impar},
entonces un conjunto universal para los conjuntos
A y B es el siguiente:
= {x/x es el conjunto de los números naturales}
Relación de pertenencia
Si un elemento se encuentra en un conjunto o es
parte de él, se dice que el elemento pertenece al
conjunto y se denota por ∈; en el caso de no per-
tenecer al conjunto, se denota por ∉.
Ejemplo:
Dado el conjunto A = {2; 4; 6; 8}, se observa que
4 ∈ A; 3 ∉ A; 6 ∈ A; 5 ∉ A.
Relaciones entre conjuntos
a. Inclusión de conjuntos
Se dice que el conjunto A está incluido en el
conjunto B, si todos los elementos de A perte-
necen a B. La inclusión se simboliza por .
Notación:
A  B Se lee: A está incluido en B.
También se puede decir que A es subconjunto de B.
Observaciones:
• B  A: Se lee B incluye o contiene al conjunto A.
• El conjunto vacío está incluido en todo conjunto.
Para un conjunto A no nulo, se cumple:
N.º de subconjuntos de A = 2n(A)
b. Igualdad de conjuntos
Dos conjuntos son iguales si estos presentan
los mismos elementos.
c. Conjuntos disjuntos
Dos conjuntos son disjuntos si no tienen algún
elemento en común. Es decir, todos los ele-
mentos de un conjunto deben ser diferentes a
los elementos del otro conjunto.
Diagrama de Venn Euler
Es una figura geométrica que permite representar
a un conjunto de forma gráfica. Generalmente se
utilizan círculos para representar los conjuntos y un
rectángulo para representar al conjunto universal.
Ejemplo:
A = {x/x es una vocal de la palabra murciélago}
= {m, u, r, c, i, e ,l, a, g, o}
Gráficamente:
r
m
c
A
gl
e
a i
u
o
„„ Elabora un mapa semántico en el que sintetices lo aprendido sobre la teoría de conjuntos.
Utiliza la estrategia

12
Analiza los ejemplos
1. Determina por comprensión el siguiente con-
junto:
5. Dado el conjunto B = {a, {b, c}, d}, indica cuán-
tas de las siguientes afirmaciones son verdaderas:
2. Calcula la suma de los elementos del siguiente
conjunto:
Se observa que cada elemento del conjunto
A se puede escribir de la siguiente forma:
8 = 101
– 2; 98 = 102
– 2
998 = 103
– 2; 9 998 = 104
– 2
Luego, una forma de determinar por com-
prensión el conjunto A será:
A = {10x
– 2/ x ∈ , 2  x  4}
Resolución:
Rpta.: A = {10x
– 2/ x ∈ , 2  x  4}
4. Si el conjunto P = {3a – 2; 16; 5b + 1} es unita-
rio, calcula el valor de “a + b”.
Por conjunto unitario se cumple:
3a – 2 = 16 → a = 6
5b + 1 = 16 → b = 3
Piden:
a + b = 6 + 3 = 9
Resolución:
Rpta.: El valor de “a + b” es 9.
Por conjuntos iguales se cumple:
8m + 6 = 46 → m = 5
7n – 12 = 51 → n = 9
Piden:
3
4n – 2m + 1 = 3
4(9) – 2(5) + 1
= 3
27 = 3
Resolución:
Rpta.: El valor de 3
4n – 2m + 1 es 3.
Se debe tener en cuenta que la relación de
inclusión se establece entre conjunto y con-
junto. Luego:
I. a  B es falsa, porque "a" es elemento de B.
II. {b}  B es falsa, porque {b} no es subcon-
junto de B.
III. B  {a, d} es verdadera, porque {a, d} es
subconjunto de B.
IV. ∅  B es verdadera, porque el conjunto
vacío está incluido en todo conjunto.
Resolución:
Rpta.: Hay 2 afirmaciones verdaderas.
Los valores que puede tomar “x” son 5; 6; 7 y
8. Luego para la expresión 2x + 1 se tiene:
2(5) + 1 = 11; 2(6) + 1 = 13
2(7) + 1 = 15; 2(8) + 1 = 17
Entonces, B = {11; 13; 15; 17}
Piden: 11 + 13 + 15 17 = 56
A = {8; 98; 998; 9 998}.
B = {2x + 1/ 4 < x  9}.
3. Se tiene el siguiente conjunto:
Como x ∈ y 5x < 26, entonces los valores
que puede tomar “x” son 0; 1; 2; 3; 4 y 5.
Luego, A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}.
I. 2 ∉ A (falsa) II. 5 ∈ A (verdadera)
III. 4 ∈ A (verdadera) IV. 7 ∈ A (falsa)
Resolución:
Rpta.: Las proposiciones I y IV son falsas.
A = {x ∈ / 5x < 26},
indica cuáles de las siguientes proposiciones
son falsas:
I. 2 ∉ A III. 4 ∈ A
II. 5 ∈ A IV. 7 ∈ A
I. a  B III. B  {a, d}
II. {b}  B IV. ∅  B
6. Se tienen los siguientes conjuntos iguales:
A = {8m + 6; 51} y B = {7n – 12; 46},
determina el valor de
3
4n – 2m + 1.
Resolución:
Rpta.:
La suma de los elementos del conjun-
to B es 56.

13
Operaciones con conjuntos
a. Unión o reunión de conjuntos (∪)
Dados dos conjuntos A y B, se llama unión o
reunión de A y B al conjunto formado por los
elementos que pertenecen a A, a B o a ambos
a la vez.
Simbólicamente:
A  B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B}
n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B)
Ejemplo:
A = {1; 3; 5; 7}, B = {5; 7; 9: 11} y C = {9; 11},
determina A  B, B  C y A  C.
Resolución:
Simbólicamente:
A  B = {1; 3; 5; 7; 9; 11}
B  C = {5; 7; 9; 11}
A  C = {1; 3; 5; 7; 9; 11}
Gráficamente:
A
5 7 11
10 139
C
B
7
5
9
11
C
B
10
9
11
13
C
A B
1
3
5
7
9
11
b. Intersección de conjuntos (∩)
Dados dos conjuntos A y B, se llama intersec-
ción de A y B al conjunto formado por los ele-
mentos que pertenecen a A y B simultánea-
mente, es decir, es el conjunto formado por los
elementos comunes de A y B.
Simbólicamente:
A  B = {x/x ∈ A ∧ x ∈ B}
Además, se cumple que:
Ejemplo:
A = {5; 7; 9; 10;}, B = {9; 10; 11; 13} y
C = {11; 13}, determina gráficamente A  B, B  C y
A  C.
Resolución:
Gráficamente:
A B
5
7
9
10
11
13
A B
4
5
6
7
8
9
A  B = {9; 10} B  C = {11; 13}
A  C = ∅
c. Diferencia de conjuntos
Dados dos conjuntos A y B, se llama diferen-
cia de A y B al conjunto formado por todos los
elementos de A que no pertenecen a B.
A – B = {x/x ∈ A ∧ x ∉ B}
Ejemplo:
Si A = {4; 5; 6; 7}, B = {6; 7; 8; 9} y C = {8; 9}, de-
termina gráficamente A – B, B – C y A – C.
Resolución:
Gráficamente:
A – B = {4; 5}
A
1 5 9
7 113
C
Calameo: https://es.calameo.com/books/00283233913685b50d3c2e n t o r n o
VIRTUAL

14
B
7
6
8
9
C
B – C = {6; 7} A – C = {4; 5; 6; 7}
A
4 6
75
8
9
C
d. Diferencia simétrica (Δ)
Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia
simétrica al conjunto formado por los elemen-
tos que pertenecen a uno o a otro conjunto,
pero no a ambos a la vez.
Simbólicamente: A Δ B = (A – B)  (B – A)
Ejemplos:
•• Dados los siguientes conjuntos:
A = {3; 5; 7; 9; 11}, B = {9; 11; 13; 15; 17},
determina A Δ B.
Resolución:
A – B = {3; 5; 7}, B – A = {13; 15; 17}
Piden:
A Δ B = {3; 5; 7; 13; 15; 17}
Gráficamente:
A B
3
5
7
9
11
13
15
17
P Q
a
d
b
c
e
f
g
•• En el siguiente diagrama de Venn se mues-
tran los conjuntos P y Q. Pinta la región
que representa P Δ Q. Luego, determina
por extensión sus elementos.
Resolución:
Para la diferencia simétrica, la región que se
debe pintar debe ser aquella que representa la
operación (A – B)  (B – A). Luego, se tiene el
siguiente gráfico:
P Q
a
d
b
c
e
f
g
Del gráfico:
P Δ Q = {a, d, e, f, g}
Complemento de un conjunto A
Es lo que le falta al conjunto A para ser igual que
el conjunto universal o referencial.
Notación: AC
, A', C(A)
Simbólicamente:
A' = – A
Ejemplo:
A = {x + 2 / x ∈ , 3 < x < 9},
B = {(2x – 1) ∈ / x ∈ , x < 7},
= {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14},
determina (A  B)'.
Resolución:
Determina por extensión cada conjunto.
Para el conjunto A:
A = {6; 7; 8; 9; 10}
Para el conjunto B:
B = {1; 3; 5; 7; 9; 11}
A  B = {1; 3; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11}
Piden: (A  B)' = – (A  B) = {2; 4; 12; 13; 14}
L. Act. Pág. 15
„„ Elabora un esquema gráfico donde se observen las operaciones con conjuntos.
X 4 5 6 7 8
X + 2 6 7 8 9 10
X 0 1 2 3 4 5 6
2X – 1 – 1 1 3 5 7 9 11

15
1. Dados los siguientes conjuntos:
A = {2x/ x ∈ , 3 < x < 8},
B = {3; 5; 7; 8; 10},
determina A  B.
4. Dada la siguiente representación gráfica de los
conjuntos P, Q y R,
5. Si = {0; 1; 2; 3;…} y se tienen los siguientes
conjuntos:
A = {3n / n ∈ , n + 1 < 8},
B = {n / n ∈ , 2n – 1  9},
determina (A  B).
2. Se tiene el siguiente diagrama de Venn donde
se muestran los conjuntos A, B y C.
3. Señala el valor de verdad de cada una de las
siguientes proposiciones:
Determina por extensión el conjunto A:
A = {8; 10; 12; 14}
B = {3; 5; 7; 8; 10}
Piden: A  B = {8; 10}
Resolución:
Rpta.: A  B = {8; 10}
Para el conjunto A: n + 1 < 8 → n < 7
A = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18}
Para el conjunto B:
2n – 1  9
2n  10 → n  5
Como n ∈ , entonces“n”puede ser 0; 1; 2; 3; 4; 5.
B = {0; 1; 2; 3; 4; 5}
Piden: A  B = {0; 3}
Resolución:
Rpta.: A  B = {0; 3}
I. Es falsa, porque si A  B, entonces
A – B = ∅.
II. Es verdadera, porque al unir un conjunto
con su complemento, se obtiene el conjunto
universal.
III. Es verdadera, porque 2 conjuntos disjuntos no
tienen elementos en común. Luego, A  B = ∅.
Resolución:
Rpta.: I. F; II. V; III. V
La expresión que representa la región som-
breada es (A  C) – B.
Resolución:
Rpta.: La operación es (A  C) – B.
A
B
C
Indica qué operación representa la región sombreada.
I. Si A  B, entonces A – B = B.
II. A  A' =
III. Para 2 conjuntos disjuntos, A  B = ∅.
P Q
R
2
3
8
4
9
7
10
11
1
5
6
P Q
R
2
3
8
4
9
7
10
11
1
5
6
sombrea la región que representa la opera-
ción [(P  R) – Q]  (Q  R). Luego, calcula la
suma de sus elementos.
Del gráfico:
[(P  R) – Q]  (Q  R) = {6; 8; 10}
Piden:
6 + 8 + 10 = 24
Resolución:
Rpta.: La suma pedida es 24.
X 4 5 6 7
2x 8 10 12 14
n 0 1 2 3 4 5 6
3n 0 3 6 9 12 15 18

16
Problemas con conjuntos
Muchas situaciones problemáticas de la vida co-
tidiana se pueden resolver mediante la teoría de
conjuntos. Para esto, debes ubicar de manera co-
rrecta los datos en un diagrama de Venn recono-
ciendo cada una de sus regiones.
se tienen los siguientes cardinales:
•• a: N.° de jóvenes que estudian solo Medicina.
•• c: N.° de jóvenes que estudian solo Ingeniería.
•• b: N.° de jóvenes que estudian Medicina e In-
geniería.
•• a + b + c: N.° de jóvenes que estudian Medici-
na o Ingeniería.
•• a + c: N.° de jóvenes que estudian solo una de
las carreras.
•• d: N.° de jóvenes que no estudian Medicina ni
Ingeniería.
a. Para dos conjuntos
A = {jóvenes que estudian Medicina},
B = {jóvenes que estudian Ingeniería},
A B
a b c
d
Observación:
Para los conjuntos A y B mencionados anteriormente, se
tienen las siguientes representaciones gráficas:
Prefieren solo Medicina
Prefieren Medicina e Ingeniería
No Prefieren ni Medicina ni
Ingeniería
Prefieren solo Ingeniería
A BA B
A B A B
Prefieren Medicina o Ingeniería Prefieren solo una carrera
A B A B
Ejemplo:
Se realizó una encuesta a 120 personas sobre sus
preferencias musicales, obteniéndose los siguientes
resultados:
•• 60 prefieren la cumbia.
•• 70 gustan de la salsa.
•• 20 escuchan otros tipos de ritmos musicales.
Determina cuántas personas prefieren la cumbia y
la salsa.
Resolución:
salsa (70)
120
70 – x
20
60 – x x
cumbia (60)
Del gráfico, se cumple:
(60 – x) + x + (70 – x) + 20 = 120
150 – x = 120
x = 30
Luego, 30 personas prefieren la cumbia y la salsa.
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VIRTUAL

17
b. Para tres conjuntos
M = {personas que prefieren Matemática},
C = {personas que prefieren Comunicación},
I = {personas que prefieren Inglés},
M C
I
a
m
n b
p
c
z
x
se tienen los siguientes cardinales:
•• a: N.° de personas que prefieren solo Matemática.
•• n + x: N.° de personas que prefieren Matemáti-
ca y Comunicación.
•• b: N.° de personas que prefieren solo Comuni-
cación.
•• p + x: N.° de personas que prefieren Comunica-
ción e Inglés.
•• c: N.° de personas que prefieren solo Inglés.
•• m + x: N.° de personas que prefieren Matemáti-
ca y Comunicación.
•• m: N.° de personas que prefieren solo Inglés y
Matemática.
•• x: N.° de personas que prefieren los tres cursos.
•• z: N.° de personas que no prefieren ninguno de
los tres cursos.
•• a + b + c: N.° de personas que prefieren solo
un curso.
•• a + m + x + n: N.° de personas que prefieren
Matemática.
•• b + n + p + x: N.° de personas que prefieren
Comunicación.
•• c + m + p + x: N.° de personas que prefieren
Inglés.
•• m + n + p: N° de personas que prefieren solo
dos cursos.
Ejemplo:
El siguiente gráfico muestra la preferencia de un
grupo de personas por cierto tipo de película.
Responde.
A. ¿Cuántas personas conforman el grupo?
Resolución:
Sea N el número de personas que conforman
el grupo.
Luego, del gráfico se cumple:
N = 18 + 10 + 6 + 9 + 8 + 5 + 12 + 4 = 72
B. ¿Cuántas personas prefieren las películas de
acción?
Resolución:
Del gráfico, prefieren las películas de acción:
9 + 6 + 5 + 12 = 32 personas.
C. ¿Cuántas personas prefieren solo las películas
de terror?
Resolución:
Del gráfico, 8 personas prefieren solo las pelícu-
las de terror.
D. ¿Cuántas personas no gustan de esos tipos de
películas?
Resolución:
Del gráfico, 4 personas no gustan de este tipo
de películas.
L. Act. Pág. 18
„„ Representa de forma gráfica mediante el diagrama de Venn dos conjuntos y reconoce cada una de
sus regiones.
Animadas Terror
Acción
18
9
10 8
5
12
4
6

18
1. El siguiente gráfico muestra los deportes que
practica un grupo de personas que asiste a una
academia deportiva.
3. En una feria de libros se realizó una encuesta
a un grupo de personas respecto de su gusto
por la novela o la poesía obteniéndose los si-
guientes resultados:
4. De 180 turistas que asisten a una feria gastro-
nómica se sabe que:
2. En un salón de clases hay 40 estudiantes de los
cuales se sabe que 30 prefieren el curso de Ma-
temática y 25, el curso de Comunicación. Ade-
más, 21 estudiantes prefieren ambos cursos.
Determina el número de estudiantes que no
prefieren ninguno de los dos cursos.
Del gráfico se observa que:
A. N.° total de personas: 11 + 5 + 14 + 8 = 38
B. Practican solamente fútbol: 11
C. Realizan otro tipo de deportes: 8
Del gráfico se cumple:
9 + 21 + 4 + x = 40
34 + x = 40
x = 6
Del gráfico, prefie-
ren solo uno de
los platos:
5 + 15 + 8 = 28
Por dato, a 60 personas no les gusta la poesía,
entonces solo leen novelas. Luego, a = 60.
Como 50 personas no leen novelas, entonces
solo leen libros de poesías. Luego, b = 50.
Del gráfico: x = a + b + 20 = 60 + 50 + 20 = 130
Resolución:
Rpta.: A. 38; B. 11; C. 8
Resolución:
Rpta.:
6 estudiantes no prefieren ninguno de
dichos cursos.
Resolución:
Rpta.: Fueron encuestadas 130 personas.
Voleibol
14
8
11 5
Fútbol
Comunicación (25)
40
4
x
9 21
Matematica (30)
Cebiche (29)
Aji de gallina (24)
15
4
39
8
5 7
Arroz con pato (25)
Poesía
X
ba 20
Novela
Responde.
A. ¿Cuántas personas hay en la academia de-
portiva?
B. ¿Cuántas personas practican solamente fút-
bol?
C. ¿Cuántas personas realizan otro tipo de de-
portes?
•• A 60 personas no les gusta la poesía.
•• 50 personas no leen novelas.
•• 20 personas leen los 2 tipos de libros.
Calcula cuántas personas fueron encuestadas,
si todos leen por lo menos un tipo de libro.
•• 25 prefieren arroz con pato.
•• 29 prefieren cebiche.
•• 24 prefieren ají de gallina.
•• 11 prefieren arroz con pato y cebiche.
•• 7 prefieren cebiche y ají de gallina.
•• 13 prefieren ají de gallina y arroz con pato.
•• 4 prefieren los 3 tipos de platos.
Determina cuántos turistas prefieren solo uno
de dichos platos.
Resolución:
Rpta.:
28 turistas prefieren solo uno de di-
chos platos.

19
Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio - Álgebra
Una institución educativa realiza una campaña de donaciones y
busca reunir fondos. Para esto, alienta a sus estudiantes y padres
de familia para tener como actividad principal un bingo kermés.
La entrada de un niño cuesta S/ 2 y de un adulto, S/ 5. En cierto
momento se cuentan 40 adultos y 50 niños.
Determina la cantidad de dinero que se logró recaudar.
Expresiones algebraicas
„„ ¿Qué características presentan dos términos semejantes?
„„ En la expresión 2x + 5 = 0, ¿qué nombre recibe “x”?
Activa tus saberes
El Álgebra es una de las ramas de la Matemática que tiene muchas
aplicaciones en diferentes campos de estudio. Esta combina elemen-
tos abstractos con representaciones numéricas. Por eso, es importante
conocer las siguientes definiciones:
Constante Variable
Es un símbolo que admite un solo valor
conocido o definido.
Ejemplos:
–3; 7; 1
3
Es aquella representación simbólica que
puede adoptar cualquier valor.
Ejemplos:
a; b; x; y
Notación algebraica
Se utiliza para diferenciar las variables y constantes en una expresión
matemática.
Sea la expresión matemática:
P(x; y) =
Variables
Constantes
7 x3
y2
– x2
y6
+ 51
2
Expresión algebraica
Es aquella expresión que se forma por variables y/o constantes de
modo que estas se encuentren relacionadas por las operaciones mate-
máticas de la adición, sustracción, multiplicación, división y radicación,
un número limitado de veces.
Observación:
Las constantes que se represen-
tan de manera simbólica, reciben
el nombre de parámetros. En el
ejemplo anterior, m y n son pará-
metros.
Importante:
En la siguiente expresión algebraica:
P(x; y) = 3x6
y4
– 2xmy + n7
las variables son “x” e “y”, mien-
tras que las constantes son
3; m; n7
; 2.
1
2
8cifras YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=IN_CIbJF0-se n t o r n o
VIRTUAL

20
Ejemplos:
A(x) = 4x2
– 5x + 6 x – 3, en este caso la variable
es “x”.
B(x; y) = 8xy + 4x5
y8
2y + 1
, en este caso las variables son
“x” e “y”.
C(m) = m3
+ 5m2
+ 8n – 6, en este caso la variable es“m”.
Enteras Fraccionarias
Racionales Irracionales
TIPOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Expresión algebraica racional
Es aquella expresión cuyas variables no están afec-
tadas por signos radicales y pueden ser:
a. Expresión algebraica racional entera
Cuando los exponentes de las variables
son números enteros positivos.
Ejemplos:
•• M(x) = x5
+ 4x3
– 7x + 9
•• N(x; y) = –2x6
y4
+ 0,6xy3
b. Expresión algebraica racional fraccionaria
Ejemplos:
•• P(x; y) = 6x – 5y4
+ x–5
y6
•• Q(x) = 3x5
– 0,5
x
+ 2x4
Cuando al menos uno de los exponentes de
las variables es un número entero negativo.
Expresión algebraica irracional
Es aquella expresión cuyas variables están afecta-
das por signos radicales o exponentes fraccionarios.
Ejemplos:
•• A(x; y) = 5x7
y2
+ 9
3
xy8
•• B(x; y) = 7x5
y3
– 6x
1
3
Término algebraico
Es aquella expresión algebraica cuyas variables no
están relacionadas por las operaciones de adición
o sustracción.
Elementos de un término algebraico
En todo término algebraico, se distinguen las si-
guientes partes: coeficiente, parte literal y expo-
nentes.
Exponentes
P(x; y; z) = –2 x 5
y 3
z 8
Coeficiente Parte literal o variable
Términos semejantes
Dos o más términos son semejantes, si tienen las
mismas variables afectadas por los mismos expo-
nentes.
Ejemplos:
•• 5ab; –8ab; 10ab; –ab
•• 6,3x3
; –9,2x3
; 0,5x3
; –6x3
•• 12x2
y5
; – 14x2
y5
; x2
y5
•• 3m2
n3
; – m2
n3
; 0,4m2
n3
Reducción de términos semejantes
Dos o más términos semejantes pueden reducirse
a uno solo, si es que se están sumando o restando
entre sí. Para esto, se suman o restan sus coeficien-
tes y el resultado se pone como coeficiente de la
parte literal común.
Ejemplos:
•• 7a – 4a + 10a = 13a
•• 15m – 18m + m – 7m = − 9m
•• 8z2
+ 5z − 9z – 6z2
= 2z2
− 4z
Polinomio
Es aquella expresión algebraica racional entera que
tiene un número exacto de términos. Además, se
encuentra definido para cualquier valor que se le
asigne a sus variables.
Ejemplos:
•• P(x) = 4x5
– 2x3
+ 8x2
– 1
•• Q(x; y) = 0,5x3
y8
+
3
4
xy6
– 2x5
y12

21
Monomio Binomio Trinomio
TIPOS DE POLINOMIO SEGÚN SU NÚMERO DE TÉRMINOS
a. Monomio
Es aquel polinomio que tiene un solo término,
de coeficiente no nulo.
Ejemplo:
P(x) = –9x5
es un monomio porque tiene un
solo coeficiente no nulo que es –9. También se
puede decir que P es un polinomio de un solo
término.
b. Binomio
Es el polinomio que está formado por dos tér-
minos de coeficientes no nulos.
Ejemplo:
Q(x) = 3x2
+ 7 es un binomio, porque sus dos
términos tienen coeficientes no nulos.
c. Trinomio
Es el polinomio que está formado por tres tér-
minos de coeficientes no nulos.
Ejemplo:
A(x) = 5x2
– x3
+ 6 es un trinomio, porque sus
tres términos tienen coeficientes no nulos.
Observación:
Si un polinomio tiene 4 o más términos, se nombra según
su cantidad de términos.
Ejemplo:
P(x) = 5x3
+ 6x2
– 4xy + 7y + x4
tiene 5 términos. Luego, P
es un polinomio de 5 términos.
Valor numérico de un polinomio (V.N.)
Es aquel valor que toma el polinomio cuando se
asignan valores a sus variables y se realizan las
operaciones que se indican.
Ejemplo:
Si P(x) = 12x + 8, calcula el valor de P(3).
Resolución:
Evalúa el polinomio para x = 3:
P(3) = 12(3) + 8
P(3) = 44
va variable. Se emplea como alternativa para for-
mar expresiones más sencillas que facilitan las ope-
raciones.
Ejemplo:
Si P(x) = x2
– 5, determina la expresión P(2x).
Resolución:
P(2x) = (2x)2
– 5
P(2x) = 4x2
– 5
Grado de una expresión algebraica
Es una característica de las expresiones algebraicas y
son el grado absoluto (G.A.) y el grado relativo (G.R.).
Para un monomio
Grado relativo (G.R.)
El grado relativo de una variable es el exponente
de dicha variable en el monomio.
Ejemplo:
En el monomio M(x; y) = 4x5
y9
se observa que
G.R.(x) = 5; G.R.(y) = 9.
Grado absoluto (G.A.)
Recibe también el nombre de grado y se obtiene
al sumar todos los exponentes de las variables.
Ejemplo:
En el monomio T(a; b) = 1,8a10
b15
se observa que
G.A.(T) = 10 + 15 = 25.
Para un polinomio
Grado relativo (G.R.)
El grado relativo de una variable es el mayor expo-
nente de dicha variable.
Ejemplo:
En el polinomio P(x; y) = x4
y12
+ 3x6
y8
– 5xy9
se ob-
serva que G.R.(x) = 6; G.R.(y) = 12.
Grado absoluto
El grado absoluto de un polinomio está dado por
el mayor grado de sus términos.
Ejemplo:
En el siguiente polinomio:
Cambio de variable
Es el procedimiento mediante el cual la variable
inicial de un polinomio se transforma en una nue-
Q(m; n) = 4m7
n2
– 1,2m5
n10
+ 3m4
n9
G.A. = 9 G.A. = 15 G.A. = 13
Se observa que G.R.(m) = 7; G.R.(n) = 10 y G.A.(Q) = 15.

22
POLINOMIOS ESPECIALES
Polinomio
homogéneo
Polinomio
ordenado
Polinomios idénticos
Polinomio
idénticamente nulo
Polinomio
completo
Es aquel polinomio que tiene todos
sus términos de igual grado, el
cual recibe el nombre de grado de
homogeneidad.
Ejemplo:
P(x; y) = 4x3
y7
– x6
y4
+ 7x9
y
G.A. = 10 G.A. = 10 G.A. = 10
Se observa que el polinomio P
es homogéneo y su grado de
homogeneidad es 10.
Un polinomio es ordenado respecto
de una de sus variables, cuando
sus exponentes están aumentando
(ordenado en forma ascendente) o
disminuyendo (ordenado en forma
descendente) a partir del primer
término.
Ejemplo:
P(x) = 5x4
+ 6x2
– x + 1
Se observa que el polinomio P está
ordenado en forma descendente.
Se dice que dos polinomios son idénticos, si
los coeficientes de sus términos semejantes
son iguales. Además, ambos polinomios
deben tener el mismo valor numérico
para cualquier valor que se le asigne a sus
variables.
Ejemplos:
1. Si los polinomios P(x) = ax2
+ bx + c y
Q(x) = 6x2
– 9x + 15 son idénticos,
entonces se cumple que a = 6; b = –9 y c = 15.
2. Si (3a – 2)x + 4b + 1 ≡ 13x + 17,
determina el valor de “a + b”.
Resolución:
Por polinomios idénticos se cumple:
3a – 2 = 13 → a = 5
4b + 1 = 17 → b = 4
Piden: a + b = 5 + 4 = 9
Es aquel polinomio donde sus coeficientes
son iguales a cero.
Ejemplo:
Si P(x) = (3a – 9)x3
+ (b – 1)x + 7c – 42 es un
polinomio idénticamente nulo, calcula el valor
de a + b + 2c.
Resolución:
Por polinomio idénticamente nulo se cumple:
3a – 9 = 0 → a = 3
b – 1 = 0 → b = 1
7c – 42 = 0 → c = 6
Piden:
a + b + 2c = 3 + 1 + 2(6) = 16 = 4
Un polinomio será completo respecto
de una de sus variables, si este
presenta todos los exponentes de dicha
variable desde el mayor hasta el cero
(término independiente).
Ejemplos:
Q(a) = 15a2
– 6a3
+ 4 – 10a
Polinomio completo respecto de “a”
R(m; n) = 4n5
m2
– 3n8
+ 16m
Polinomio completo respecto de “m”
L. Act. Pág. 21
„„ Organiza la información sobre los polinomios especiales en un mapa conceptual.

23
1. Determina el menor valor entero positivo que
puede tomar “a” para que la siguiente expresión
sea racional entera.
4. Si P(a; b) = 6am + 1
b8
y Q(a; b) = 1,5a5
b3n – 1
son
semejantes, calcula el valor de la expresión
A =
3
5m + 2n + 1.
5. Reduce la expresión M, si sus términos son se-
mejantes.
M = (ab)x4a – 5
+ (2a + 3)x7
– (4b – 8)xb + 2
.
6. Dado el polinomio P(x) = 3x2
– 5x + 8, calcula
el valor de la expresión N.
N = P(3) – P(2) + 15
2. Relaciona los términos semejantes, según co-
rresponda.
3. Indica el coeficiente del siguiente término alge-
braico, si se sabe que la suma de los exponen-
tes de sus variables es igual a 27.
P(x; y) = (5n + 1)xn + 3
y2n + 6
.
Resolución:
Rpta.: El menor valor que puede tomar “a”es 7.
Para que una expresión sea racional entera, to-
dos los exponentes de sus variables deben ser
números enteros positivos. Luego, se cumple:
a – 2
5
∈ +
Resolución:
Rpta.: El valor de la expresión A es 3.
Por términos semejantes se cumple:
m + 1 = 5 → m = 4
3n – 1 = 8 → n = 3
Piden:
A =
3
5m + 2n + 1
A = 3
5(4) + 2(3) + 1
A = 3
27
A = 3
Resolución:
Rpta.: La expresión reducida es 12x7
.
Por términos semejantes se cumple:
4a – 5 = 7 → a = 3
b + 2 = 7 → b = 5
Luego:
M = (3)(5)x7
+ [2(3) + 3]x7
– [4(5) – 8]x7
M = 15x7
+ 9x7
– 12x7
M = 12x7
Resolución:
Rpta.: El valor de la expresión N es 5.
• P(3) = 3(3)2
– 5(3) + 8
P(3) = 27 – 15 + 8 = 20
• P(2) = 3(2)2
– 5(2) + 8
P(2) = 12 – 10 + 8 = 10
Piden: N = 20 – 10 + 15
N = 25 = 5
Resolución:
Rpta.: La relación es Ic, IId, IIIb, IVa.
Son términos semejantes los que tienen las mis-
mas variables elevadas a los mismos exponentes.
Luego, la relación es Ic, IId, IIIb, IVa.
Resolución:
Rpta.: El coeficiente del término algebraico es 31.
Por dato, la suma de los exponentes de sus
variables es 27.
(n + 3) + (2n + 6) = 27
3n = 18
n = 6
Piden el coeficiente:
5n + 1 = 5(6) + 1
= 31
P(x; y) = 2x4
y7
– 8x2
y6
+ 9x y3
.
a – 2
5
I. 12x3
y2
a. 0,5m3
n2
p5
II. 7abc b. x4
y7
III. 18x4
y7
c. –10y2
x3
IV. 30m3
n2
p5
d. 5abc
a – 2
5
 1
a  7 → amenor
= 7

24
10. Calcula el valor de “m + n + p“ en el siguiente
polinomio homogéneo:
P(x; y) = xm
yn + 1
+ x6
yp + 3
+ x4
y10
.
11. Si P(x) = x5
+ x2a
+ xb – 5
+ 4x2
+ x3c – 2
+ 1, es
un polinomio completo y ordenado, determina
el valor de 4a + c + b2
.
12. Si se cumple que a(5x + 1) + 2(x + b) ≡ 37x + 25,
indica el valor de “b2
– a2
”.
7. Si P(x – 2) = 8x + 3, determina el valor de la
expresión P(x + 1) – P(x).
Resolución:
Rpta.: El valor de P(x + 1) – P(x) es 8.
Realiza el cambio de variable (x – 2) por a,
luego x = a + 2. Entonces:
P(a) = 8(a + 2) + 3
P(a) = 8a + 19
P(x) = 8x + 19
P(x + 1) = 8(x + 1) + 19
P(x + 1) = 8x + 27
Piden:
P(x + 1) – P(x) = 8x + 27 – (8x + 19)
= 8
8. Si el monomio M(x; y) = 3(xn + 1
)2
y5
tiene como
grado absoluto 19, calcula el valor de “n2
– 4n”.
Resolución:
Rpta.: El valor de "n2
– 4n" es 12.
M(x; y) = 3(xn + 1
)2
y5
M(x; y) = 3x2n + 2
y5
Por dato:
G.A.(M) = 19
(2n + 2) + 5 = 19
2n = 12
n = 6
Piden:
n2
– 4n = 62
– 4(6) = 12
Resolución:
Rpta.: El valor de “m + n + p“ es 18.
Por polinomio homogéneo se cumple:
m + n + 1= 4 + 10 → m + n = 13
6 + p + 3 = 4 + 10 → p = 5
Piden:
m + n + p = (m + n) + p
= 13 + 5 = 18
Resolución:
Rpta.: El valor de 4a + c + b2
es 67.
Por polinomio completo y ordenado se cumple:
2a = 4 → a = 2
b – 5 = 3 → b = 8
3c – 2 = 1 → c = 1
Piden:
4(2) + 1 + 82
= 3 + 64 = 67
Resolución:
Rpta.: El valor de "b2
– a2
" es 32.
a(5x + 1) + 2(x + b) ≡ 37x + 25
5ax + a + 2x + 2b ≡ 37x + 25
(5a + 2)x + (a + 2b) ≡ 37x + 25
Por polinomios idénticos se cumple:
5a + 2 = 37 → a = 7
a + 2b = 25
7 + 2b = 25 → b = 9
Piden:
b2
– a2
= 92
– 72
= 81 – 49 = 32
9. Si P(x; y) = (a + b)x2a + 5
y8
+ 3abx3
y4b – 1
+ 8x2
y4
, de
modo que G.R.(x) = 17; G.R.(y) = 11, ¿cuál es la
suma de coeficientes de dicho polinomio?
Rpta.: La suma de coeficientes del polinomio es 71.
Piden la suma de coeficientes:
(a + b) + 3ab + 8 = (6 + 3) + 3(6)(3) + 8 = 71
Resolución:
Por dato:
G.R.(x) = 17
2a + 5 = 17→ a = 6
G.R.(y) = 11
4b – 1 = 11 → b = 3

25
Resuelve problemas de forma, movimiento y localización - Geometría
Nociones de Geometría - Segmentos
Para realizar las donaciones de ayuda a los damnificados por las
inundaciones se han ampliado los horarios de atención de algunas
agencias del Banco de la Nación, las cuales se pueden observar en
la imagen. Estas se encuentran en el Centro de Lima, algunas se
ubican sobre una calle y otras en la intersección de 2 calles.
Indica algunas calles del plano que representen a dos rectas pa-
ralelas.
„„ ¿Qué es el punto medio de un segmento de recta?
„„ Menciona algunos objetos que den la idea de un segmento de recta.
Activa tus saberes
Para el estudio de la Geometría es importante te-
ner en cuenta los conceptos intuitivos de punto,
recta y plano.
El punto
El plano
No tiene dimensión, es de-
cir, no tiene tamaño.
A
Se representa con letras
mayúsculas.
Se lee: el punto A
No tiene grosor.
Se representa generalmente por
una región paralelogránica.
Se nombra con una letra mayúscula. Se lee: el plano P
No tiene grosor ni ancho.
Notación: AB; L
Está determinada por dos puntos.
No tiene origen ni fin.
Hay infinitos puntos en una recta.
Se nombra con letras mayúsculas o
minúsculas.
Se lee: la recta AB o
recta L.
Ejemplos:
•• La huella que deja la punta de un plumón en
la pizarra
•• La marca que deja la plomada
P
Ejemplos:
•• La pasta de un libro
•• Una hoja bond
La recta
A
B
L
Ejemplos:
•• El hilo de pescar extendido
•• El borde de la pizarra
El rayo
Es una porción de recta limitada por un extremo e
ilimitada por el otro.
O A
Notación: OA
Se lee: rayo OA
El punto "O" se denomi-
na origen del rayo.
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VIRTUAL

26
Segmento de recta
Es una porción de la recta que se determina al to-
mar dos puntos cualesquiera de esta. Además, di-
chos puntos reciben el nombre de extremos del
segmento.
A
B L
Notación: AB
Se lee: segmento de recta AB
Longitud o medida de un segmento
8 cm
A B
En el gráfico se observa que la longitud o medida
del segmento AB es 8 cm.
Notación:
•• AB = 8 cm, se lee: La longitud del segmento
AB es igual a 8 centímetros.
•• mAB = 8 cm, se lee: La medida del segmento
AB es igual a 8 centímetros.
Segmentos congruentes
Dos segmentos son congruentes si tienen la mis-
ma longitud.
6 cm
A B
6 cm
P Q
En el gráfico, se observa que AB = PQ, entonces se
concluye que:
AB ≅ PQ
Punto medio de un segmento
Es aquel punto que divide a un segmento en otros
dos segmentos que tienen la misma longitud.
MA B
Del gráfico, si M es punto medio de AB, entonces
se cumple que AM = MB.
Operaciones con segmentos
Las operaciones con segmentos se realizan con sus
respectivas longitudes.
a. Adición
d1
d2
A B C
AC = d1
+ d2
Ejemplo:
En el gráfico mostrado, calcula la longitud de
AE.
A B
3 cm 4 cm 5 cm 6 cm
C D E
Resolución:
AE = AB + BC + CD + DE
AE = 3 cm + 4 cm + 5 cm + 6 cm
AE = 18 cm
b. Sustracción
d1
d2
A B C
AB = d1
– d2
Ejemplo:
Sobre una recta se toman los puntos consecu-
tivos A, B y C. Si AC = 24 cm y AB = 16 cm,
determina la medida de BC.
Resolución:
16 cm
24 cm
A B C
BC = AC – AB
BC = 24 cm – 16 cm
AB = 8 cm

27
A B
Observación:
Se pueden realizar otras operaciones como la multiplica-
ción y la división utilizando las longitudes de los segmentos.
Ejemplo:
En el gráfico mostrado, M es punto medio de AB.
Calcula el valor de AM + 2(BC)
3(MB)
.
Resolución:
Como M es punto medio de AB, entonces MB = AM = 4 cm.
Luego, se tiene el siguiente gráfico:
Piden:
AM + 2(BC)
3(MB)
=
4 + 2(10)
3(4)
=
24
12
= 2
A M B C
4 cm
10 cm
A M B C
4cm 4cm
10 cm
Pasos para determinar el punto medio de un
segmento utilizando el compás
1.er
paso:
Grafica un segmento de recta AB.
2.o
paso:
Utiliza el compás tomando como centro el punto
A y traza dos arcos con una abertura mayor a la
mitad del segmento.
3.er
paso
Utiliza la misma abertura del compás y, tomando
como centro el punto B, traza dos nuevos arcos.
A
r
r
B
A
r r
r r
B
4.o
paso:
La intersección de los arcos genera los puntos P y Q.
5.o
paso:
Mediante una línea, une los puntos P y Q.
6.o
paso:
El lugar donde se intersectan el segmento AB con
la línea trazada anteriormente será el punto medio
(M) del segmento AB.
A
r r
r r
B
P
Q
A
r r
r r
B
P
Q
A B
P
M
Q
Problema de aplicación
En una calle se observan cuatro árboles dispuestos
de la siguiente forma, de modo que BC = 4(CD).
Resolución:
Por dato: AD = 23
Del gráfico: AB + BC + CD = 23
8 + 4a + a = 23
5a = 15
a = 3
Piden: CD = a = 3
Luego, la distancia pedida es 3 metros.
8m 4a aA B C D
Si la longitud de AD es igual a 23 metros, determina
la distancia de separación que existe entre los ár-
boles que se encuentran sobre los puntos C y D.
L. Act. Pág. 24
„„ Elabora un cuadro de doble entrada donde muestres las características de una recta y un plano.

28
1. Menciona de forma oral algunos ejemplos que
den la idea de un punto, una recta, un plano y
un segmento.
2. Grafica los segmentos AB y PQ cuyas longitu-
des son 3 cm y 5 cm, respectivamente.
3. Sobre una carretera en forma de línea recta, se
ubican cinco ciudades A, B, C, D y E de manera
consecutiva. Se sabe que la distancia de la ciu-
dad B a la ciudad C es el triple que la distancia
de la ciudad A a la ciudad B. La distancia de la
ciudad C a la ciudad D es el triple de la distan-
cia de la ciudad D a la ciudad E y la distancia
que separa a las ciudades A y E es 240 km. De-
termina la distancia de la ciudad B a la ciudad D.
5. En una recta se ubican los puntos consecutivos
P, Q, R y S, de modo que PQ
3
= QR
5
=
RS
2
. Ade-
más, se sabe que la longitud de PR es 96 cm.
Determina la longitud de QS.
6. En el gráfico mostrado, M es punto medio de
BC y 4(AB) = 3(MC). Calcula la longitud de AM.
Resolución:
A
B
P Q
Grafica según las condiciones del problema.
A B
a 3a
240
3b b
C D E
P Q
3a 5a
96
2a
R S
A B
16 cm
M C
Del gráfico:
a + 3a + 3b + b = 240
4a + 4b = 240
4(a + b) = 240
a + b = 60
Piden:
BD = 3a + 3b = 3(a + b) = 3(60) = 180
Resolución:
Rpta.:
La distancia de la ciudad B a la ciudad
D es de 180 km.
4. En la figura mostrada, los segmentos AB y EF
son congruentes. Calcula el valor de “x”.
A B E F
Por segmentos congruentes se cumple:
7x – 18 = 2x + 12
5x = 30
x = 6
Resolución:
Rpta.: El valor de “x” es 6.
Como M es punto medio de BC, entonces
BM = MC = 8 cm.
Por dato:
4(AB) = 3(MC)
4(AB) = 3(8) → AB = 6
Resolución:
Rpta.: La longitud de AM es 14 cm.
PQ
3
= QR
5
= RS
2
= a → PQ = 3a, QR = 5a, RS = 2a
Entonces:
Resolución:
Rpta.: La longitud de QS es 84 cm.
Del gráfico:
3a + 5a = 96
8a = 96
a = 12
Piden:
QS = 5a + 2a
QS = 7a
QS = 7(12)
QS = 84
Piden:
AM = AB + BM
AM = 6 + 8
AM = 14
7x – 18 2x + 12

29
Resuelve problemas de forma, movimiento y localización - Trigonometría
Ángulo trigonométrico
„„ ¿De qué forma se genera el ángulo trigonométrico?
„„ ¿En qué sentido se mueven las manecillas del reloj?
Activa tus saberes
Trigonometría
Es la rama de la Matemática que estudia las relaciones entre los lados
y los ángulos de un triángulo.
Las primeras aplicaciones de la Trigonometría se realizaron en el cam-
po de la navegación, la geodesia y la astronomía.
En Trigonometría se establece una definición de ángulo, diferente a
la que se define en Geometría, cuyas características se estudiarán en
este capítulo.
Ángulo trigonométrico
Es aquel ángulo que se genera por la rotación de un rayo (en un mismo plano), alrede-
dor de un punto fijo llamado vértice u origen, desde una posición inicial o lado inicial
(donde empieza el giro), hasta una posición final o lado final (donde termina el giro).
Si la rotación se realiza en sentido horario, la medida del ángulo generado será nega-
tiva, en cambio, si la rotación se realiza en sentido antihorario, la medida del ángulo
generado será positiva.
Lado final
Lado final
Lado inicial
Sentido
antihorario
Sentido
horario
Vértice
a
b
a es positivo.
b es negativo.
Recuerda:
Una rotación en sentido horario
es aquella que se da en el mismo
sentido del movimiento de las
manecillas del reloj.
8cifras YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=n8c-7i5DFOYe n t o r n o
VIRTUAL
A
B
A
B
¿Qué ángulo aproximadamente crees que se ha desplazado el poste AB? ¿Y en qué sentido?

30
Ángulo de una vuelta (1v)
Es aquel ángulo que se genera cuando coinciden
por primera vez el lado inicial y final de un ángulo
trigonométrico.
Características del ángulo trigonométrico
•• La medida de un ángulo trigonométrico no tie-
ne restricción. Es decir, puede tomar cualquier
valor.
+∞ –∞
•• Si se cambia el sentido de un ángulo trigo-
nométrico, entonces su medida cambiará de
signo, como por ejemplo:
Para un ángulo en sentido antihorario
Para un ángulo en sentido horario
•• Para realizar operaciones con ángulos trigo-
nométricos, estos se deben encontrar en un
mismo sentido.
Observación:
Se recomienda colocar los ángulos trigonométricos en el
sentido antihorario para realizar las operaciones, ya que
sus medidas son positivas y facilitan el cálculo.
Ejemplos:
1. En el gráfico mostrado, determina el valor de “x”.
Resolución:
Cambia el sentido del ángulo –50°.
2x + 50° = 130°
2x = 80°
x = 40°
Luego, el valor de “x” es 40°.
2. Calcula el valor de “x” en el siguiente gráfico:
Resolución:
Cambia el sentido del ángulo (–x + 14°).
2x – 40° –(–x + 14°) = 90°
2x – 40° + x – 14° = 90°
3x = 144°
x = 48°
Luego, el valor de “x” es 48°.
130°
–50°
2x
130°
50°
2x
(2x–40°)
(–x+14°)
(2x – 40°)
–(–x + 14°)
a – a
b – b
En sentido horario En sentido antihorario
1v 1v
L. Act. Pág. 27
„„ Parafrasea la definición de ángulo trigonométrico.

31
1. Grafica el ángulo de 50° en sentido horario. 4. Determina el valor de “x” en el siguiente gráfico:
5. En el siguiente gráfico, determina el valor de “x”,
si OM es bisectriz del ángulo POQ.
2. Representa de forma gráfica el ángulo de 1
4de vuelta en el sentido antihorario.
3. Respecto al siguiente gráfico:
Por ángulo trigonométrico se sabe que un
ángulo en sentido horario tiene el mismo
sentido que el movimiento de las manecillas del
reloj. Luego, el gráfico del ángulo pedido será:
Resolución:
Resolución:
–50°
de vuelta
1
4
q
ab
Señala los valores de verdad de las proposiciones.
I. b es un ángulo negativo.
II. a + q = 180°
III. a = b
I. Verdadera, porque es un ángulo en senti-
do horario.
II. Verdadera, porque a y b se encuentran en
sentido antihorario y suman 180°.
III. Falsa, porque a y b tienen diferentes senti-
dos.
Resolución:
Rpta.: I. V; II. V; III. F
Cambia el sentido del ángulo (48 – 11x)°.
Resolución:
Rpta.: El valor de “x” es 6.
Cambia el sentido del ángulo (3x – 18°).
Resolución:
Rpta.: El valor de “x” es –4°.
(27x)°
(48 – 11x)°
(27x)° – (48 – 11x)° = 180°
27x – 48 + 11x = 180
38x = 228
x = 6
(27x)°
–(48 – 11x)°
P
M
O
Q
3x – 18°
x + 34°
P
M
O
Q
–(3x – 18°)
x + 34°
Por bisectriz se cumple:
x + 34° = –(3x – 18°)
x + 34° = –3x + 18°
4x = –16°
x = –4°

32
Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre - Estadística y probabilidad
El Centro de Operaciones de Emergencia Nacional (COEN) del Perú
indicó que las lluvias, huaicos e inundaciones, producto del fenó-
meno del Niño Costero del 2017, dejó como saldo 75 fallecidos,
100 169 damnificados, 627 048 afectados, más de 10 600 vivien-
das colapsadas, más de 1000 instituciones educativas y 380 esta-
blecimientos deterioradas.
Introducción a la Estadística
„„ ¿Qué diferencia hay entre población y muestra?
„„ ¿En qué situaciones has escuchado sobre la Estadística?
Activa tus saberes
Estadística
La Estadística es el conjunto de técnicas y procedimientos que permiten recopilar, organizar, analizar e inter-
pretar datos, para que a partir de ellos se puedan inferir conclusiones o tomar decisiones.
Conceptos básicos
Muestra
Es un subconjunto de la población, la cual
se elige de forma aleatoria y sobre el cual se
realizan las observaciones.
Ejemplo:
Los estudiantes de un colegio
Variable
Es una característica que se puede observar
en una población. Esta puede tomar diferentes
valores los cuales reciben el nombre de dato.
Ejemplo:
La estatura de los estudiantes
En Estadística se llama población al conjunto de individuos,
elementos o sucesos que presentan ciertas características.
También se considera como el conjunto universal o
referencial que se utiliza para realizar cierto estudio
estadístico.
Ejemplo:
Estudiantes del nivel secundaria del Perú
POBLACIÓN
Calameo: https://es.calameo.com/books/000068252c474dc2fc73ee n t o r n o
VIRTUAL
¿Qué tipo de variable estadística representa el número de damnificados?

33
Clasificación de las variables estadísticas
Hay dos tipos de variables estadísticas, las variables
cualitativas y las cuantitativas.
a. Variable cualitativa nominal
Es aquella variable cualitativa que no presenta
un orden o jerarquía.
Ejemplos:
•• Profesión: puede ser abogado, médico, in-
geniero, profesor, entre otros.
•• Color de un auto: puede ser rojo, azul, blan-
co, gris, entre otros.
•• Deportes: puede ser fútbol, vóleibol, bás-
quetbol, tenis, entre otros.
b. Variable cualitativa ordinal
Es aquella variable cualitativa que presenta un
orden o jerarquía.
Ejemplos:
•• Grado de instrucción: puede ser primaria,
secundaria, superior, técnica.
•• Nivel de logro: puede ser en inicio, en pro-
ceso, logro, logro destacado.
•• Talla de un polo: puede ser small, medium,
large, extralarge.
Variable cuantitativa
Es aquella variable que se puede expresar con un
número. Hay 2 tipos de variables cuantitativas.
a. Variable cuantitativa discreta
Es aquella variable que puede tomar solo valo-
res numéricos naturales.
Ejemplos:
•• Edad de una persona
•• Número de hijos de una familia
•• Cantidad de integrantes de un equipo de
fútbol.
b. Variable cuantitativa continua
Es aquella variable que puede tomar valores
numéricos comprendidos en algún intervalo.
Ejemplos:
•• Estatura de un niño
•• El peso de una persona
•• La temperatura del ambiente
Esquema resumen
Nominal Discreta ContinuaOrdinal
VARIABLE ESTADÍSTICA
Cualitativa Cuantitativa
Etapas del estudio estadístico
a. Recopilación de datos
La recopilación de datos es la obtención de
una colección de los mismos a través de técni-
cas como: censo, encuesta, entre otros.
Una encuesta es un instrumento que puede
contener una o más preguntas, para recoger la
información sobre un determinado asunto.
b. Organización de la información
Luego de recogida la información, es necesario
organizarla y clasificarla de modo que facilite su
presentación mediante el uso de las tablas de
distribución de frecuencias.
c. Análisis e interpretación de datos
Es la parte final del estudio estadístico, aquí
se busca resumir las observaciones llevadas a
cabo de forma tal que proporcionen respuesta
a la interrogante planteada al inicio.
Variable cualitativa
Es aquella variable que se refiere a una cualidad o
característica. Este tipo de variable no se puede re-
presentar por números. Se tienen 2 tipos de varia-
bles cualitativas:
L. Act. Pág. 30
„„ Construye un cuadro comparativo entre una variable cualitativa y una variable cuantitativa mediante
ejemplos.

34
1. Lee cada uno de los siguientes textos. Luego,
indica la población y la muestra.
2. Determina el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
A. En un instituto de idiomas, se desea saber
el nivel de satisfacción de los estudiantes.
Para esto, se realiza una encuesta a los estu-
diantes de 5 salones.
B. En el zoológico de Huachipa se eligen 80
animales para realizar un estudio sobre su
estado de salud y régimen de alimentación.
Población: Los estudiantes del instituto
de idiomas.
Muestra: Los estudiantes de 5 salones
Resolución:
Población: Los animales del zoológico de
Huachipa.
Muestra: 80 animales
Resolución:
I. La población es un subconjunto de la
muestra.
II. La variable estadística se refiere a una carac-
terística o cualidad.
III. La variable cuantitativa discreta puede to-
mar cualquier valor numérico.
I. Falsa, porque la muestra es un subcon-
junto de la población.
II. Verdadera
III. Falsa, porque dicha variable puede tomar
solo valores naturales.
Resolución:
Rpta.: I. F; II. V; III. F
a. Es una variable cualitativa.
b. Es una variable cuantitativa.
c. Es una variable cualitativa.
d. Es una variable cuantitativa
Resolución:
Rpta.: Hay 2 variables cualitativas.
a. Es una variable cuantitativa.
b. Es una variable cuantitativa.
c. Es una variable cualitativa.
d. Es una variable cuantitativa.
e. Es una variable cualitativa.
Resolución:
Rpta.: Hay 3 variables cuantitativas.
3. En la tabla mostrada, identifica los tipos de va-
riable estadística y marca con un aspa (x) en
cada recuadro según corresponda.
4. Indica cuántas de las siguientes variables son
cualitativas.
5. Señala cuántas de las siguientes variables son
cuantitativas.
Variable
Tipo
Cualitativa Cuantitativa
Número de inte-
grantes de una or-
questa musical

Cantidad de votos
que obtiene un
partido político

Color de ojos 
a. Tipo de cabello de una persona
b. Número de hermanos
c. Nivel socioeconómico
d. Talla de calzado
a. Velocidad de un auto
b. Distancia de una maratón
c. Estado civil de una persona
d. La calificación de un examen
e. El idioma de los habitantes de un país

35
„„Leeyanalizaelsiguienteorganizadorvisualpararepasarloaprendidoenlaprimeraunidad.
Teoríadeconjuntos
Expresionesalgebraicas
IntroducciónalaEstadística
Resuelveproblemasde
cantidad(Aritmética)
Resuelveproblemasdegestiónde
datoseincertidumbre(Estadísticay
probabilidad)
Resuelveproblemasde
regularidad,equivalenciay
cambio(Álgebra)
Resuelveproblemasdeforma,
movimientoylocalización(Geometría)
Resuelveproblemasdeforma,
movimientoylocalización
(Trigonometría)
ASUMIMOSUNAACTITUDRESPONSABLEANTE
LOSDESASTRESNATURALES
Determinación
Clasificación
Poblaciónymuestra
Clasificación
Términossemejantes
Variableestadística
Cualitativa
Cuantitativa
Operacionesconconjuntos
Polinomios
Problemasconconjuntos
Gradorelativoygrado
absoluto
Polinomiosespeciales
Ángulotrigonométrico
Ángulopositivo
Ángulonegativo
Propiedadesdelángulo
trigonométrico
NocionesdeGeometría
Punto,plano,rectayrayo
Segmentoderecta
Operacionesconsegmentos
Repasayautoevalúate1
AplicalaEvaluación(heteroevaluación)queseencuentraenlaGuíadeldocenteyenCorefonetDocentes.
LasreferenciasfueroncitadassegúnformatoAPA.
Reflexionasobretuprocesode
aprendizaje.
• ¿Quéaprendí?¿Cómolohice?
• ¿Quédificultadestuve?¿Cómolas
superé?
• Lipschutz,S.(1975).Teoríadeconjuntosytemasafines.México:McGraw-Hill.
• Quintero,AyCostas.N.(1994).Geometría.PuertoRico:LaEditorial.
• EstalmatCantabria(2010).Teoríadeconjuntos.Recuperadodehttp://www.estalmat.org/
archivos/TEORIA_de_conjuntos.pdf
• ProyectoEdumat_Maestros(2002).Geometríaysudidácticaparamaestros.Recuperado
dehttps://www.ugr.es/∼jgadino/edumat_maestros/manual/4_Geometria.pdf
MetacogniciónReferencias

Libro 1s mate area

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