1. El documento introduce los conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo conjuntos, elementos, pertenencia, inclusión, igualdad, operaciones como unión e intersección, y representaciones como diagramas de Venn. 2. Se definen conceptos primitivos como conjunto, elemento y pertenencia y se introducen notaciones como letras mayúsculas para conjuntos y minúsculas para elementos. 3. Se explican formas de determinar conjuntos como extensión y comprensión y operaciones como unión, intersección, diferencia y complemento junto

1. CONJUNTOS
Durante esta unidad pretendemos ayudarte a hacer una aproximación inicial a la Teoría de
Conjuntos, teniendo en cuenta que habrá muchas oportunidades de ampliar estos conceptos a lo
largo del curso cuando el mismo así lo requiera. Lo que buscamos es determinar claramente cuál es
la estructura sobre la que se articula esta teoría, asegurando la coherencia lógica y encadenando los
conceptos relacionados.
Para el capítulo de Conjuntos, el texto de referencia será Álgebra I, de A. Rojo, que figura
en la bibliografía del curso. Indudablemente encontrarás muchos textos con este tema, pero es muy
probable que varíen las formas de notación de los conceptos: debes prestar mucha atención por si
encuentras un buen material, pero expresado de diferente manera.
Te proponemos que en primer lugar leas este capítulo de la guía, y luego realices las tareas
propuestas al final, recurriendo permanentemente a las definiciones de los conceptos requeridos.
1 Preliminares
1.1 Conceptos primitivos
Para poder edificar una teoría, debemos establecer un punto de partida que sea
incuestionable, sustentado por el sentido común y que refleje ciertos conceptos consensuados por la
comunidad a quien interesa este conocimiento. Estos conceptos no serán puestos en cuestión, y
serán el fundamento para elaborar los nuevos, y los llamamos conceptos primitivos.
En nuestro caso, consideramos tres conceptos primitivos: conjunto, elemento y pertenencia.
Para la notación, utilizaremos (por lo general, aunque no siempre) letras mayúsculas para los
conjuntos, letras minúsculas para los elementos, y el símbolo " "
 para decir “pertenece” (o bien
" "
 para decir “no pertenece”). De este modo, “ a B
 ” se lee “el elemento a pertenece al
conjunto B ”, y “ x R
 ” se lee “el elemento x no pertenece al conjunto R ”.
1.2 Formas de determinación y representación de un conjunto
Consideraremos que un conjunto está determinado, cuando es posible identificar
inequívocamente cuáles son los elementos que pertenecen a ese conjunto. Es decir, dado un
elemento cualquiera de un conjunto universal (que habitualmente se nota con la letra U ), el
conjunto estará bien determinado si es posible decidir si ese elemento le pertenece o no.
Es común definir los conjuntos de dos maneras: por extensión y por comprensión.
Definir un conjunto por extensión implica nombrar todos y cada uno de los elementos que le
pertenecen. Como notación, escribimos los elementos entre llaves y separados por comas. Por
ejemplo,  
, , , ,
A a e i o u
 .
Definir un conjunto por comprensión implica dar una característica que sea exclusiva de
todos sus elementos. Esta condición será verdadera para cada elemento del conjunto, y será falsa
para cualquier elemento que no pertenezca al conjunto. Por ejemplo,  
| es una vocal
A x x
 .
También, y sin miedo a perder la formalidad de la matemática, podemos referirnos a un
conjunto utilizando cuidadosamente el lenguaje natural: “ A es el conjunto de las vocales”.
Para representar un conjunto, también es usual aprovechar los diagramas de Venn-Euler. En
este caso:

2. 1.3 Conjunto vacío
Llamaremos conjunto vacío a aquél que no tiene elementos, es decir, que no existe ningún
elemento que le pertenezca. Los simbolizamos  
  .
1.4 Inclusión
Dados dos conjuntos A y B , decimos que A está incluido en B (lo notamos A B
 †
)
cuando todos los elementos de A pertenecen a B .
En símbolos:  ,
A B x x A x B
      .
Hemos utilizado aquí una notación simbólica que será esencial durante todo el curso: no es
simplemente un conjunto de abreviaturas, sino un sistema simbólico con reglas de sintaxis propias.
En este caso, utilizamos una doble implicación (  ), que habitualmente leemos “si y sólo si”, y
expresa que las proposiciones que se encuentran a cada uno de sus lados son equivalentes. También
aparece un cuantificador ( )
 , que leemos “para todo”. Está expresión se puede leer como: “ A está
incluido en B si, y sólo si, para todo elemento x que pertenezca a A , se cumple que también x
pertenece a B ”. Si deseas profundizar en aspectos de la notación de la lógica simbólica usada en la
matemática, puedes leer el capítulo de Introducción a la lógica.
Volviendo a la inclusión de conjuntos, en este caso, es equivalente decir que A está incluido
en B , y decir que A es un subconjunto de B .
Cabe aclarar que la inclusión es una relación entre dos conjuntos, no así la pertenencia que
vincula un elemento con un conjunto. Muchas veces un conjunto puede adoptar el rol de elemento,
de acuerdo a cómo se utilice. Por ejemplo, si tomamos  
 
1,2 ,3,4
A  es correcto decir que 3 A
 ,
o que  
3,4 A
 , o que  
1,2 A
 ; pero no es correcto decir que 3 A
 , tampoco que  
1,2 A
 .
Si un conjunto A no está incluido en B , lo anotamos A B
 . En este caso, la negación de
la relación de inclusión será: ( ),
A B x x A x B
      .
Utilizamos en esta notación otro cuantificador ( )
 y la conjunción lógica ( )
 ; la
proposición expresada puede leerse: “ A no está incluido en B si, y sólo si, existe un elemento x
que pertenece a A y no pertenece a B .
1.5 Igualdad
Decimos que dos conjuntos son iguales, cuando les pertenecen los mismos elementos.
Una definición válida puede ser la siguiente: A B A B B A
     . En especial, entender
la igualdad como una “doble inclusión” puede dar pistas concretas para ser utilizada como
herramienta a la hora de demostrar simbólicamente la igualdad de dos conjuntos.
†
Varios autores utilizan la expresión A B
 para decir “A está incluido en B ”
A a
e i o
u

3. 1.6 Cardinal
El cardinal de un conjunto es la cantidad de elementos que le pertenecen. Por ejemplo, el
cardinal del conjunto  
, , ,
A a b c d
 es 4, y lo anotamos # 4
A 
2 Operaciones y propiedades
2.1 Unión
Dados dos conjuntos A y B , llamamos “unión de A y B ” al conjunto que anotamos
A B
 formado por todos elementos de A y de B .
 
|
A B x x A x B
   

Por ejemplo, si  
, , ,
A a b c d
 y  
, ,
B c d e
 , entonces  
, , , ,
A B a b c d e
 
2.2 Intersección
Dados dos conjuntos A y B , llamamos “intersección de A y B ” al conjunto que anotamos
A B
 formado por los elementos de A que también son elementos de B .
 
|
A B x x A x B
   

Por ejemplo, si  
, , ,
A a b c d
 y  
, ,
B c d e
 , entonces  
,
A B c d
 
Decimos que dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos en común, es decir,
y son disjuntos A B=
A B   .
2.3 Diferencia
Dados dos conjuntos A y B , llamamos “diferencia de A menos B ” al conjunto que
anotamos A B
 formado por los elementos de A que no pertenecen a B .
 
|
A B x x A x B
    
Por ejemplo, si  
, , ,
A a b c d
 y  
, ,
B c d e
 , entonces  
,
A B a b
  . Notemos que la
diferencia no es una operación conmutativa, es decir, no necesariamente los conjuntos A B
 y
B A
 son iguales. En este ejemplo,  
B A e
  .
A B
A B

A B

A B
A B
A B

A B
B A


4. 2.4 Diferencia simétrica
Dados dos conjuntos A y B , llamamos “diferencia simétrica de A menos B ” al conjunto
que anotamos A B
 formado por los elementos que pertenecen a uno de los dos conjuntos, y no
pertenecen al otro.
 
| ( ) ( )
A B x x A x B x B x A
        
Por ejemplo, si  
, , ,
A a b c d
 y  
, ,
B c d e
 , entonces  
, ,
A B a b e
  .
2.5 Complemento
Dado un conjunto A , llamamos “complemento de A ” al conjunto que anotamos '
A
formado por los elementos que no pertenecen a A .
 
' |
A x x A
 
A
U
A’
Vale aclarar que el complemente de un conjunto siempre depende del conjunto universal que
se tome como referencia. Si llamamos U a este conjunto universal, podemos decir que '
A A
 
U .
Por ejemplo, en el universo de los números naturales  , si consideramos  
| 2
A x x
  
tendremos  
' | es impar
A x x
 .
2.6 Propiedades
A continuación enunciamos algunas propiedades sobre conjuntos, que pueden ser deducidas
de las definiciones ya conocidas.
Conmutativas: A B B A
   ; A B B A
  
Asociativas: ( ) ( )
A B C A B C
     ; ( ) ( )
A B C A B C
    
Distributivas: ( ) ( ) ( )
A B C A B A C
      ; ( ) ( ) ( )
A B C A B A C
     
Idempotentes: A A A
  ; A A A
 
Complementos:  
' '
A A

Leyes de De Morgan: ( )' ' '
A B A A
   ; ( )' ' '
A B A B
  
Neutros: A A
  ; A A
 
U
Simétricos: '
A A
  U ; '
A A
  
Dominación: A
 
U U ; A
  
Absorción: ( )
A A B A
   ; ( )
A A B A
  
2.7 Conjunto de Partes
Dado un conjunto A , llamamos “conjunto de partes de A ”‡
al conjunto que notamos ( )
A
P
y cuyos elementos son todos los subconjuntos de A .
‡
También puede llamarse “conjunto potencia de A ”.
A B
A B


5. Por ejemplo, si consideramos  
, ,
A a b c
 , entonces
           
 
( ) , , , , , , , , , ,
A A a b a c b c a b c
 
P
2.8 Par ordenado
Recordemos que en la determinación de conjuntos no nos interesa el orden en que son
mencionados los elementos que lo componen, pero en ciertas ocasiones es necesario trabajar con
ciertos conjuntos discriminando sus elementos de acuerdo al orden.
Definiremos entonces par ordenado de esta manera:  
 
( , ) , ,
a b a b a
 .
De este modo, hemos utilizado un conjunto que tiene dos elementos, uno de ellos es a su vez
otro conjunto con dos elementos (las componentes del par), y el segundo elemento nos indica cuál
de ellas es la primera componente.
Queda evidente entonces que los pares ordenados ( , )
a b y ( , )
b a son diferentes, puesto que
 
   
 
, , , ,
a b a a b b

Extendiendo esta definición a conjuntos de más elementos, podemos definir una n-upla,
como un conjunto de n elementos que se han ordenado estrictamente.
2.9 Producto cartesiano
Dados dos conjuntos A y B , llamamos producto cartesiano de A por B (lo notamos
A B
 ) al conjunto de todos los pares ordenados formados por un elemento de A como primera
componente, y un elemento de B como segunda componente.
O sea,  
( , ) |
A B x y x A x B
    
Por ejemplo, si  
, ,
A a b c
 y  
,
B d e
 , entonces
 
( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )
A B a d a e b d b e c d c e
 
También podemos representarlo con un sistema de ejes, ubicando en el eje horizontal los
elementos de A y en el eje vertical los elementos de B .
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
a d b d c d
d
a e b e c e
e
a b c
B
A