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UNIDAD 14
CONJUNTOS
Objetivo 1. Recordarás la definición de un conjunto y sus elementos.
Ejercicios resueltos:
1. {2, 4, 6} es un conjunto. Los elementos que forman este conjunto son: 2, 4, 6
2. ¿Cuántos elementos hay en el conjunto {manzana, pastel, durazno}? 3 elementos
3. A= {1, 2, 3} B = {2, 3, 4}
¿4 es un elemento de A? No
¿4 es un elemento de B? Si
4. Si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, entonces 7 ∉ U,
¿Se podría extraer A= {1, 2, 3, 7} de este universo? No
¿Se podría extraer B = {2, 5 ,6}? Si
5. A= {5, 6, 7} B = {6, 7, 8}
¿8 ∈ A? No
¿8 ∈ B? Si
6. Del ejemplo anterior como 8 no es un miembro de A podemos escribir:
8 ∉A
7. { } { }
A= 1,2,3 , B= 1,5,2,7
¿Se cumple ? SI
x A x B
∈ → ∈
¿Se cumple ? NO
x B x A
∈ → ∈
¿Son iguales los dos conjuntos? NO
8. { }
C= 6,4
Escribe un conjunto D tal que D=C
{ }
D = 4,6
9. Si U = {1, 2, 3, 4, 5} , B = {1, 2} y C = {3,4}, entonces el conjunto formado por
todos los elementos comunes a B y C se le llama conjunto vació.
10. Si P = {x| es un rio de la Tierra}, P también es finito aunque sea difícil contar los
ríos del Mundo.
11. El conjunto de números que son múltiplos de 5 es un conjunto infinito porque no
nunca se llega a un fin , observa: { }
A 5,10,15, 0 ......
= 2 ,
Objetivo 2. Entenderás un conjunto de forma extensiva y comprensiva.
Ejercicios resueltos:
1. Enunciar con palabras los siguientes incisos con el método de extensión
a) { }
2
A x | x 4
= =
Se lee “A es el conjunto de los x tales que x al cuadrado es igual a cuatro”.
Los únicos números que elevados al cuadrado dan cuatro son 2 y -2, así que
{ }
A 2, 2
= − .
b) { }
B x | x 2 5
= − =
Se lee “B es el conjunto de los x tales que x menos 2 es igual a 5”. La única
solución es 7, de modo que { }
B 7
= .
c) { }
C x | x espositivo,x esnegativo
=
Se lee “C es le conjunto de los x tales que x es positivo y x es negativo”. No
hay ninguno número que sea positivo y negativo, así que C es vacío, es
decir,C .
= ∅
d) { }
D x | x esuna lera dela palabra"correcto"
=
Se lee “D es el conjunto de los x tales que x es una letra de la palabra
correcto”. Las letras indicadas son c, o, r, e y t; así pues, { }
D c,o,r,e,t
= .
2. Escribir estos conjuntos con el método de compresión
a) A que consiste de las letras a, b, c, d y e. Pueden existir muchas soluciones
primer resultado:
{ }
A x | x esta antesde f en elalfabeto
= y como segundo resultado se tiene el
siguiente:
{ }
A x | x esunasdelasprimerascincoletrasdelalfabeto
=
b) { }
B 2,4,6,8,...
=
{ }
B x | x espositivo ypar
=
c) El conjunto C de todos los países de Estados Unidos.
{ }
C x | x esun pais,x esta en losEstadosUnidos
=
d) El conjunto { }
D 3
=
{ } { }
D x | x 2 1 x | 2x 6
= − = = =
Objetivo 3. Recordaras la definición de subconjunto y la igualdad entre ellos.
Ejercicios resueltos:
1. Considere los siguientes conjuntos:
{ } { } { } { } { } { }
, A = 1 , B = 1,3 , C = 1,5,9 , D = 1,2,3,4,5 , E = 1,3,5,7,9 , U = 1,2,......,8,9
∅
Inserte el símbolo correcto ⊂ o ⊄ entre cada pareja de conjuntos:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
a A b A B c B C d B
e C D f C E g D E h D U
∅ ⊂ ⊂ ⊄ ⊂
⊄ ⊂ ⊄
E
⊂
a) A
∅ ⊂ ya que ∅ es un subconjunto de todo conjunto.
b) A B
⊂ ya que 1 es el único elemento de A y pertenece a B.
c) B C
⊄ ya que 3 B
⊂ pero 3 C
∉ .
d) B E
⊂ ya que los elementos de B también pertenecen a E.
e) C D
⊄ ya que 9 C
∈ pero9 D
∉ .
f) C E
⊂ ya que los elementos de C también pertenecen a E
g) D E
⊄ ya que 2 D
∈ pero 2 E
∉ .
h) D U
⊂ por que los elementos de D también pertenecen a U.
2. Considérese los conjuntos:
{ } { } { }
A = 1,3,4,5,8,9 , B = 1,2,3,5,7 y C = 1,5
Verificar si:
a) C A
⊂ y C B
⊂
Si se cumple ya que 1y 5 son elementos de A, B y C.
b) B A
⊄
Si se cumple ya que 2 y 7, no pertenecen a A
Se puede observar que C A
⊂
3. Usando los conjuntos dados, contesta si o no a las siguientes preguntas:
{ } { }
{ } { }
{ }
A = 1,4,2,6,8,10 , B = 1,4,6,10 ,
C = 6,4,1,10 , D = 6,4,1
U = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
¿Es A D?
¿Es D A?
¿Es B C?
¿Es B A? SI
¿Es A B? NO
¿ Es A B?
¿ Es B D? NO
¿ Es D? SI
¿ Es = B? NO
¿ Es B? SI
¿ Es B U? SI
¿ Es A= U? NO
=
⊆
=
⊆
⊆
≠
⊄
∅ ⊆
∅
∅ ⊆
⊆
NO
SI
SI
SI
Objetivo 5. Recordarás las operaciones de unión e intersección de conjuntos y sus
propiedades.
Ejemplos resueltos:
1. En el diagrama de Venn de la figura A B
∪ aparece rayado, o sea el área de A y
el área de B.
2. Sean { } { }
S a,b,c,d y T f,b,d,g
= = . Entonces
{ }
S T a,b,c,d,f,g
∪ =
3. Sea p el conjunto de los números reales positivos y Q el conjunto de los números
reales negativos P Q
∪ , unión de P y Q consiste en todos los números reales
exceptuando el cero.
La unión A y B se puede definir también concisamente así:
{ }
A B x |x A o x B
∪ = ∈ ∈
Ejemplos resueltos
1. En el diagrama de Venn se ha rayado A B
∩ , el área común a ambos conjuntos
A y B.
{ } { }
S ,b,d,g . Entonces:
2. Sea a,b,c,d y T f
= =
{ }
S T b,d
∩ =
{
3. Sean }
V 2
= {
,4,6,... , es decir los múltiplos de 2: y sea }
W 3
= ,6,9,... o sean
los múltiplos de 3. Entonces:
{ }
V W 6,12,18,...
∩ =
La intersección de A y B también se pueden definir concisamente así;
{ }
A B x |x A y x B
∩ = ∈ ∈
Objetivo 6. Recordarás las operaciones diferencia y complemento de conjuntos y
sus propiedades.
Ejemplos resueltos:
1. En el diagrama de Venn se ha rayado el complemento de A, o sea el área exterior
de A. se supone que el conjunto universal U es el área del rectángulo.
2. Suponiendo que el conjunto universal U sea el alfabeto, dado { }
T a,b,c
= ,
entonces:
El complemento de { }
T' d,e,f,g,h,.....
=
Ejemplos resueltos:
1. En el diagrama de Venn se ha rayado A-B, el área de A que nos es parte de B.
2. Sean { } { }
S a,b,c,d y T f,b,d,g
= = . Se tiene:
{ }
S T a,c
− =
3. Sea R el conjunto de los números reales y Q el conjunto de los números racionales.
Entonces R-Q es el conjunto de los números irracionales.
La diferencia de A y B se puede también definir concisamente como:
{ }
A B x| x A y x B
− = ∈ ∉
Objetivo 7. Recordarás la operación producto cruz, cardinalidad y potencia de
conjuntos y sus propiedades.
Ejemplos resueltos:
1. Determine el conjunto potencia P(S) de { }
, , ,
S a b c d
= los elementos de P(S) son
subconjuntos S. Así que:
( )
P S =
{ } { } { } { } { } { }{ } { } { } { } { } { } { } { }
, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,
S a b c a b d a c d b c d a b a c a d b c b d c d a b c d
⎡ ⎤
∅
⎣ ⎦
Observa que P(S) tiene
4
2 16
= elementos.
2. Hallar el conjunto potencia 2
s
del conjunto { }
{ }
3, 1,4
S =
Observar primero que S contiene dos elementos, 3 y el conjunto { }
1,4 . Por tanto,
2
s
contiene elementos los cuales son:
2
2 =4
{ } { }
{ }
{ }
2 , 3 , 4 ,
s
S
= ∅
Ejemplos resueltos:
{ }
W = Juan,Josue,Ernesto y
1. Sean { }
V = Maria,Carmen . Hallar W x V.
W x V consiste en todos los pares ordenados (a, b) en los que y
a W
∈ b V
∈ .
Por tanto:
{ }
W x V = (Juan,Maria),(Juan,Carmen),(Josue,Maria),(Josue,Carmen),(Ernesto,Maria),(Ernesto,Carmen)
2. Sean { } { } { }
A = a,b , B = 2,3 , C = 3,4 Hallar:
(a) A x (B C)
(b) (A x B) (A x C)
(c) A x (B C)
(d) (A x B) (A x C)
∪
∪
∩
∩
(a) A x (B C)
∪
Se averigua primero { }
B C = 2,3,4
∪ . Entonces:
{ }
A x (B C) = (a,2),(a,3),(a,4),(b,2),(b,3),(b,4)
∪
(b) (A x B) (A x C)
∪
Calcular primero A :
x B y A x C
{ }
{ }
A x B = (a,2),(a,3),(b,2),(b,3)
A x C = (a,3),(a,4),(b,3),(b,4)
Ahora la unión de los conjuntos:
{ }
(A x B) (A x C) = (a,2),(a,3),(b,2),(b,3),(a,4),(b,4)
∪
Los ejercicios (a) y (b) muestran que:
A x (B C) = (A x B) (A x C)
∪ ∪
(c) A x (B C)
∩
Calcular primero { }
B C = 3
∩ .Entonces:
{ }
A x (B C) = (a,3),(b,3)
∩
(d) (A x B) (A x C)
∩
En (b) se calcularon A x B y A x C. La intersección de A x B y A x C es
el conjunto de los pares ordenados que pertenecen a ambos conjuntos, es
decir,
{ }
(A x B) (A x C) = (a,3),(b,3)
∩
Por lo que (c) y (d) muestran que:
A x (B C) = (A x B) (A x C)
∩ ∩

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  • 1. UNIDAD 14 CONJUNTOS Objetivo 1. Recordarás la definición de un conjunto y sus elementos. Ejercicios resueltos: 1. {2, 4, 6} es un conjunto. Los elementos que forman este conjunto son: 2, 4, 6 2. ¿Cuántos elementos hay en el conjunto {manzana, pastel, durazno}? 3 elementos 3. A= {1, 2, 3} B = {2, 3, 4} ¿4 es un elemento de A? No ¿4 es un elemento de B? Si 4. Si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, entonces 7 ∉ U, ¿Se podría extraer A= {1, 2, 3, 7} de este universo? No ¿Se podría extraer B = {2, 5 ,6}? Si 5. A= {5, 6, 7} B = {6, 7, 8} ¿8 ∈ A? No ¿8 ∈ B? Si 6. Del ejemplo anterior como 8 no es un miembro de A podemos escribir: 8 ∉A
  • 2. 7. { } { } A= 1,2,3 , B= 1,5,2,7 ¿Se cumple ? SI x A x B ∈ → ∈ ¿Se cumple ? NO x B x A ∈ → ∈ ¿Son iguales los dos conjuntos? NO 8. { } C= 6,4 Escribe un conjunto D tal que D=C { } D = 4,6 9. Si U = {1, 2, 3, 4, 5} , B = {1, 2} y C = {3,4}, entonces el conjunto formado por todos los elementos comunes a B y C se le llama conjunto vació. 10. Si P = {x| es un rio de la Tierra}, P también es finito aunque sea difícil contar los ríos del Mundo. 11. El conjunto de números que son múltiplos de 5 es un conjunto infinito porque no nunca se llega a un fin , observa: { } A 5,10,15, 0 ...... = 2 , Objetivo 2. Entenderás un conjunto de forma extensiva y comprensiva. Ejercicios resueltos:
  • 3. 1. Enunciar con palabras los siguientes incisos con el método de extensión a) { } 2 A x | x 4 = = Se lee “A es el conjunto de los x tales que x al cuadrado es igual a cuatro”. Los únicos números que elevados al cuadrado dan cuatro son 2 y -2, así que { } A 2, 2 = − . b) { } B x | x 2 5 = − = Se lee “B es el conjunto de los x tales que x menos 2 es igual a 5”. La única solución es 7, de modo que { } B 7 = . c) { } C x | x espositivo,x esnegativo = Se lee “C es le conjunto de los x tales que x es positivo y x es negativo”. No hay ninguno número que sea positivo y negativo, así que C es vacío, es decir,C . = ∅ d) { } D x | x esuna lera dela palabra"correcto" = Se lee “D es el conjunto de los x tales que x es una letra de la palabra correcto”. Las letras indicadas son c, o, r, e y t; así pues, { } D c,o,r,e,t = . 2. Escribir estos conjuntos con el método de compresión a) A que consiste de las letras a, b, c, d y e. Pueden existir muchas soluciones primer resultado: { } A x | x esta antesde f en elalfabeto = y como segundo resultado se tiene el siguiente: { } A x | x esunasdelasprimerascincoletrasdelalfabeto = b) { } B 2,4,6,8,... = { } B x | x espositivo ypar = c) El conjunto C de todos los países de Estados Unidos. { } C x | x esun pais,x esta en losEstadosUnidos = d) El conjunto { } D 3 =
  • 4. { } { } D x | x 2 1 x | 2x 6 = − = = = Objetivo 3. Recordaras la definición de subconjunto y la igualdad entre ellos. Ejercicios resueltos: 1. Considere los siguientes conjuntos: { } { } { } { } { } { } , A = 1 , B = 1,3 , C = 1,5,9 , D = 1,2,3,4,5 , E = 1,3,5,7,9 , U = 1,2,......,8,9 ∅ Inserte el símbolo correcto ⊂ o ⊄ entre cada pareja de conjuntos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a A b A B c B C d B e C D f C E g D E h D U ∅ ⊂ ⊂ ⊄ ⊂ ⊄ ⊂ ⊄ E ⊂ a) A ∅ ⊂ ya que ∅ es un subconjunto de todo conjunto. b) A B ⊂ ya que 1 es el único elemento de A y pertenece a B. c) B C ⊄ ya que 3 B ⊂ pero 3 C ∉ . d) B E ⊂ ya que los elementos de B también pertenecen a E. e) C D ⊄ ya que 9 C ∈ pero9 D ∉ . f) C E ⊂ ya que los elementos de C también pertenecen a E g) D E ⊄ ya que 2 D ∈ pero 2 E ∉ . h) D U ⊂ por que los elementos de D también pertenecen a U. 2. Considérese los conjuntos: { } { } { } A = 1,3,4,5,8,9 , B = 1,2,3,5,7 y C = 1,5 Verificar si: a) C A ⊂ y C B ⊂
  • 5. Si se cumple ya que 1y 5 son elementos de A, B y C. b) B A ⊄ Si se cumple ya que 2 y 7, no pertenecen a A Se puede observar que C A ⊂ 3. Usando los conjuntos dados, contesta si o no a las siguientes preguntas: { } { } { } { } { } A = 1,4,2,6,8,10 , B = 1,4,6,10 , C = 6,4,1,10 , D = 6,4,1 U = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ¿Es A D? ¿Es D A? ¿Es B C? ¿Es B A? SI ¿Es A B? NO ¿ Es A B? ¿ Es B D? NO ¿ Es D? SI ¿ Es = B? NO ¿ Es B? SI ¿ Es B U? SI ¿ Es A= U? NO = ⊆ = ⊆ ⊆ ≠ ⊄ ∅ ⊆ ∅ ∅ ⊆ ⊆ NO SI SI SI Objetivo 5. Recordarás las operaciones de unión e intersección de conjuntos y sus propiedades. Ejemplos resueltos: 1. En el diagrama de Venn de la figura A B ∪ aparece rayado, o sea el área de A y el área de B.
  • 6. 2. Sean { } { } S a,b,c,d y T f,b,d,g = = . Entonces { } S T a,b,c,d,f,g ∪ = 3. Sea p el conjunto de los números reales positivos y Q el conjunto de los números reales negativos P Q ∪ , unión de P y Q consiste en todos los números reales exceptuando el cero. La unión A y B se puede definir también concisamente así: { } A B x |x A o x B ∪ = ∈ ∈ Ejemplos resueltos 1. En el diagrama de Venn se ha rayado A B ∩ , el área común a ambos conjuntos A y B. { } { } S ,b,d,g . Entonces: 2. Sea a,b,c,d y T f = = { } S T b,d ∩ = { 3. Sean } V 2 = { ,4,6,... , es decir los múltiplos de 2: y sea } W 3 = ,6,9,... o sean los múltiplos de 3. Entonces:
  • 7. { } V W 6,12,18,... ∩ = La intersección de A y B también se pueden definir concisamente así; { } A B x |x A y x B ∩ = ∈ ∈ Objetivo 6. Recordarás las operaciones diferencia y complemento de conjuntos y sus propiedades. Ejemplos resueltos: 1. En el diagrama de Venn se ha rayado el complemento de A, o sea el área exterior de A. se supone que el conjunto universal U es el área del rectángulo. 2. Suponiendo que el conjunto universal U sea el alfabeto, dado { } T a,b,c = , entonces: El complemento de { } T' d,e,f,g,h,..... = Ejemplos resueltos: 1. En el diagrama de Venn se ha rayado A-B, el área de A que nos es parte de B.
  • 8. 2. Sean { } { } S a,b,c,d y T f,b,d,g = = . Se tiene: { } S T a,c − = 3. Sea R el conjunto de los números reales y Q el conjunto de los números racionales. Entonces R-Q es el conjunto de los números irracionales. La diferencia de A y B se puede también definir concisamente como: { } A B x| x A y x B − = ∈ ∉ Objetivo 7. Recordarás la operación producto cruz, cardinalidad y potencia de conjuntos y sus propiedades. Ejemplos resueltos: 1. Determine el conjunto potencia P(S) de { } , , , S a b c d = los elementos de P(S) son subconjuntos S. Así que: ( ) P S = { } { } { } { } { } { }{ } { } { } { } { } { } { } { } , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , S a b c a b d a c d b c d a b a c a d b c b d c d a b c d ⎡ ⎤ ∅ ⎣ ⎦ Observa que P(S) tiene 4 2 16 = elementos. 2. Hallar el conjunto potencia 2 s del conjunto { } { } 3, 1,4 S =
  • 9. Observar primero que S contiene dos elementos, 3 y el conjunto { } 1,4 . Por tanto, 2 s contiene elementos los cuales son: 2 2 =4 { } { } { } { } 2 , 3 , 4 , s S = ∅ Ejemplos resueltos: { } W = Juan,Josue,Ernesto y 1. Sean { } V = Maria,Carmen . Hallar W x V. W x V consiste en todos los pares ordenados (a, b) en los que y a W ∈ b V ∈ . Por tanto: { } W x V = (Juan,Maria),(Juan,Carmen),(Josue,Maria),(Josue,Carmen),(Ernesto,Maria),(Ernesto,Carmen) 2. Sean { } { } { } A = a,b , B = 2,3 , C = 3,4 Hallar: (a) A x (B C) (b) (A x B) (A x C) (c) A x (B C) (d) (A x B) (A x C) ∪ ∪ ∩ ∩ (a) A x (B C) ∪ Se averigua primero { } B C = 2,3,4 ∪ . Entonces: { } A x (B C) = (a,2),(a,3),(a,4),(b,2),(b,3),(b,4) ∪ (b) (A x B) (A x C) ∪ Calcular primero A : x B y A x C { } { } A x B = (a,2),(a,3),(b,2),(b,3) A x C = (a,3),(a,4),(b,3),(b,4) Ahora la unión de los conjuntos: { } (A x B) (A x C) = (a,2),(a,3),(b,2),(b,3),(a,4),(b,4) ∪ Los ejercicios (a) y (b) muestran que:
  • 10. A x (B C) = (A x B) (A x C) ∪ ∪ (c) A x (B C) ∩ Calcular primero { } B C = 3 ∩ .Entonces: { } A x (B C) = (a,3),(b,3) ∩ (d) (A x B) (A x C) ∩ En (b) se calcularon A x B y A x C. La intersección de A x B y A x C es el conjunto de los pares ordenados que pertenecen a ambos conjuntos, es decir, { } (A x B) (A x C) = (a,3),(b,3) ∩ Por lo que (c) y (d) muestran que: A x (B C) = (A x B) (A x C) ∩ ∩