Aritmetica

31 32COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er Año Secundaria ARITMETICA 3er Año Secundaria
NOCIÓN DE CONJUNTO
Intuitivamente un conjunto es la reunión,
colección o agrupación de objetos reales o
ideales, a estos objetos se les denomina
ELEMENTOS del conjunto.
Los conjuntos generalmente se denotan con letras
mayúsculas (A, B, C, …Z) y sus elementos
separados por comas y encerrados entre llaves.
Ejemplos:
A = {6, 7, 8, 9}
B = {Las Universidades del Perú}
C = {a, b, ∆, *}
DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
I. Por Extensión o en Forma Tabular
Es cuando se pueden indicar explícitamente a
cada uno de los elementos de un conjunto,
enumerándolos o indicándolos en forma sobre
entendida.
Ejemplos:
A = {2, 3, 5, 7, 11}
B = {1, 4, 9, 16, 25}
C = {a, e, i, o, u}
II. Por Comprensión o en Forma
Constructiva
Es cuando se menciona una o más
características comunes y exclusivas a los
elementos del conjunto.
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
A. Inclusión ⊂
Se dice que A esta incluido en otro conjunto
B, si todos los elementos de A pertenecen a
B.
Se denota. A ⊂ B
Se lee: “A esta incluído en B”
“A esta contenido en B”
“A es subconjunto de B”
Ejemplos:
1) A = {p, q}
B = {p, q, r, s}
B
A
. p
.q
. r
.s
⇒ A ⊂ B
Observación
1. A ⊂ B ↔ ( ∀ x ∈ A) → x ∈ B
A ⊂ B ó B ⊃ A
∀: Para todo (Cuantificador)
2. Todo conjunto está incluido en sí mismo
o es subconjunto de sí mismo.
∀ A : A ⊂ A
3. El conjunto vacío está incluido en todo
conjunto.
4. Si un conjunto tiene “n” elementos
entonces tendrá: 2n
subconjuntos.
Ejemplo 1:
B = {a, b}
Sub conjuntos de “B”:
∅ ; {a} , {b} , {a , b}
∴ Numero de subconjuntos de B es:
22
= 4
Ejemplo 2:
Si: B = { 3, {3}, {4}, {{4}} }
Dar su valor de verdad de las proposiciones:
- {3} ∈ B … ( V )
- {3} ⊂ B … ( V )
- {{3}} ⊂ B … ( V )
- {{{4}}} ⊂ B … ( V )
- {{4}} ⊂ B … ( V )
- 7 ⊂ B … ( F )
- 7 ⊄ B … ( F )
B. Igualdad
Dos conjuntos A y B son iguales cuando
tienen los mismos elementos sin importar el
orden.
Se denota: A = B
Se define:
A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A
Ejemplo:
A = {x/x ∈ Z ∧ x + 3 = x 2
- 9}
B = {-3, 4}
De A: x + 3 + x2
- 9
X2
- x - 12 = 0
X -4
X 3
Ejemplos:
De la parte I
A = {P/P es un número primo ∧ P<12}
B = {x2
/x ∈ N ∧ x < 5}
C = {x/x es una vocal}
Esquema General:
Conjunto =






es)(Propiedadelemento
ticasCaracterísdelForma
Ejemplos:
A = {x4
/ (x + 3) (x + 1) x (x-1) (x-3) = 0}
Observación
x = - 3 : - 1 ; 0 ; 1 ; 3
∴ A = {81 , 1 , 0}
Nota
No todo conjunto se puede determinar por
extensión y comprensión a la vez.
RELACIÓN DE PERTENENCIA
Si un objeto es elemento de un conjunto, se dice
que pertenece, (∈) a dicho conjunto, en caso
contrario no pertenece (∉) a dicho conjunto.
Ejemplo:
A = {a, {a}, b, c}
a ∈ A {b} ∉ A
e ∉ A c ∈ A
{a} ∈ A {{c}} ∉ A
DIAGRAMAS DE VENN – EULER
Son regiones planas limitadas por figuras
geométricas cerradas que se utilizan para
representar gráficamente a los conjuntos, así:
S3AR33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S3AR33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
III
TEORÍA DE
A
.1
.8
.27
.64

Ejemplo:
A = {1, 8, 27, 64} 
Observación
Otro diagrama para representar gráficamente
a los conjuntos es:
DIAGRAMA DE LEWIS CARROLL
HOMRES MUJERES
FUMAN
NO FUMAN
Se observa que:
Hombres que fuman
Mujeres que no fuman
NÚMERO CARDINAL
El número cardinal de un conjunto (A) nos indica
la cantidad de elementos diferentes que posee y
se denota por: n(A)
Ejemplos:
A = { 5, 6, 6, 5 } → n ( A ) = 2
B = { x/x ∈ IN ∧ 3 < x < 6 }
n (B) = 2 ; x = 4 ; 5
( x – 4 ) ( x – 3 ) = 0
x = – 3 ∨ 4
BA
. -3
. 4
C. Conjuntos Diferentes ( ≠ )
Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos
tiene por lo menos un elemento que no posee
el otro.
Se define:
A ≠ B ⇔ A ⊄ B ∨ B ⊄ A
Ejemplo:
A = { x/(x–1)(x–2)(x–3) x = 0 }
B = {0, 1, 2, 3, 4}
De A: (x – 1)(x – 2)(x – 3) x = 0
x = 0 ; 1 ; 2 ; 3
B
A. 0
. 1
. 2
. 3
A ≠ B
D. Conjuntos Comparables
Dos conjuntos A y B son comparables cuando
sólo uno de ellos está incluido en el otro es
decir:
A ⊂ B ó B ⊂ A
Observación:
Si dos conjuntos son iguales, entonces son
comparables; lo contrario no siempre se
cumple.
E. Conjuntos Disjuntos
Se dice que dos conjuntos son disjuntos
cuando poseen elementos comunes.
Simbólicamente:
A y B son disjuntos ⇔ ∃ x/x ∈ A ∧ x ∉ B
∃ : “Existe alguno” (Cuantificador)
Ejemplo:
{ }
{ }76,5,B
432,A
=
=
∴ A y B son
disjuntos
Gráfica:
A . 2
. 3
B
. 4
. 5
. 6
. 7
F. Conjunt. Equipotentes o Coordinables
“Para hablar de éstos conjuntos de alguna
forma, el proceso de contar sus elementos
siempre termina” .
Dos conjuntos serán coordinables cuando el
número de sus elementos son iguales.
Ejemplo:
{ }
}pn,m,{B
1211,10,A
=
=
∴ A y B son
equipotentes
DIAGRAMAS LINEALES
Son representaciones gráficas que sirven para
indicar relación de inclusión.
Ejemplo:
Si : A ⊂ B ⇒
A
B
Si : A = B ⇒ A  B
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS
Todos son números complejos: C
Imaginarios
Complejos
Reales
R Imaginarios
Racionales
Q Irracionales
Enteros
Z Fracciones
negativos cero positivos (Naturales)
(N)
Propiedad:
Ν ⊂ Ζ ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
I. Unión o Reunión
La unión de dos conjuntos “A” y “B” es el
conjunto formado por la agrupación de todos
los elementos de “A” con todos los elementos
de “B”.
Notación: A ∪ B (A o B)
Simbólicamente se define:
A ∪ B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B}
Observación
“ ∨ <> ó : unión”
Ejemplo:
{ }
{ }


=
=
43,B
32,A
A ∪ B = {2, 3, 4}
POSICIONES RELATIVAS PARA 2
CONJUNTOS A Y B
1-
4 104 10-
i33-
=
=
=
i
i

A
B
U
A B
U
A B
U
→ B ∪ A
Observación
Si : B ⊂ A ⇒ A ∪ B = A
Propiedades:
A ∪ B = B ∪ A (Conmutativa)
A ∪ (B ∪ C)=(A ∪ B) ∪ C (Asociativa)
A ∪ A = A (Idempotencia)
A ∪ U
= U
A ∪ ∅ = A (Elemento Neutro)
II. Intersección
La intersección de dos conjuntos “A”y “B” es
el conjunto formado por los elementos que
pertenecen a los dos conjuntos a la vez.
Notación: A ∩ B (A y B)
A ∩ B = x/x ∈ A ∧ x ∈ B
Observación
“∧ <> y : intersección”
Ejemplo:
{ }
{ }


=
=
65,4,B
54,3,A
A ∩ B = {4, 5}
CONJUNTOS A Y B
A B
U
A
B
U
A B
U
Observación
* Si : B ⊂ A ⇒ A ∩ B = B
* Si : A y B son conjuntos disjuntos
⇒ A ∩ B = ∅
Propiedades:
A ∩ B = B ∩ A (Conmutativa)
A ∩ (B ∩ C)=(A ∩ B) ∩ C (Asociativa)
A ∩ A = A (Idempotencia)
A ∩ U = A
A ∩ ∅ = ∅ (Elemento Neutro)
PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS
- Distributiva:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
- Ley de Absorción:
A ∪ (A ∩ B) = A
A ∩ (A ∪ B) = A
(A ∪ B) ⊂ C) ⇔ A ⊂ C y B ⊂ C
Si : A ⊂ B y C ⊂ D ⇒ (A ∪ C) ⊂ (B ∪ D)
III. Diferencia
La diferencia de dos conjuntos A y B (en ese
orden) es el conjunto formado por los
elementos que pertenecen a “A” pero no a
“B”
Simbólicamente:
A <> B ⇔ n(A) = n(B)
CLASES DE CONJUNTOS
A. Conjunto Finito
Un conjunto es finito, si posee una cantidad
limitada de elementos, es decir el proceso de
contar sus elementos termina en algún
momento.
Ejemplo:
A = {x/x es un contribuyente de la Sunat}
B = {x/x es un mes del año}
B. Conjunto Infinito
Un conjunto es infinito, si tiene una cantidad
ilimitada de elementos diferentes; es decir el
proceso de contar sus elementos nunca
termina.
Ejemplo:
A = {P/P es un número primo}
B = {x/x ∈ IR ∧ 8 < x < 9}
C = {x/x es una estrella del universo}
CONJUNTOS ESPECIALES
1. Conjunto Nulo o Vacío
Es aquel conjunto que carece de elementos.
Ejemplo:
A = { x/x es el actual INCA del Perú }
B = { x/x ∈ IN ∧ 7 < x < 8 }
Notación: “∅” ó { }
⇒ A = B = ∅ = { }
Nota:
El conjunto vacío “∅” es subconjunto de todo
conjunto.
2. Conjunto Unitario o Singletón
Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplo:
A = { x/x ∈ Z ∧ 10 < x < 12} = {11}
B = { 2, 2, 2, 2, …} = {2}
3. Conjunto Universal ( U )
Es un conjunto referencial para el estudio de
una situación particular, que contiene a todos
los conjuntos considerados. No existe un
conjunto universal absoluto.
Ejemplo:
A = { 1, 3, 5 }
B = { 2, 4, 5, 6 }
Podrían ser conjuntos universales
U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
U = { x/x ∈ IN }
* Gráficamente el conjunto universal se
representa generalmente mediante el
rectángulo.
Ejemplo:
A = { x/x es peruano }
B = { x/x es colombiano }
C = { x/x es mexicano}
⇒ U = {x/x es americano}
4. Conjunto de Conjuntos ó familia de
Conjuntos
Es aquel conjunto cuyos elementos son todos
conjuntos.
Ejemplo:
A = { {5} , {7,9} , ∅ }
5. Conjunto Potencia o Conjunto de Partes
Dado un conjunto A, el conjunto potencia de
A está formado por toda la familia de
subconjuntos de A.
Notación: P (A)

Ejemplo:
A = { 2, 3 }
}{2,3}
AdePropios
conjuntosSub
{3},{2},,{P(A)

φ=
n[P(A)] = 4 = 2n(A)
= 22
Ejemplo:
A = { a, b, c }
P(A)=
vacio
}
Ternario
c}b,{a,,
Binarios
c}{b,c},{a,b},{c,,
Unitarios
{c}{b},{a},,{
↓
  φ
n [ P (A) ] = 23
= 8
Simbólicamente:
P(A)= {x/x ⊂ A}
Observación
* Si un conjunto A tiene “n” elementos
entonces el número de subconjuntos de A
es 2.
* Los subconjuntos propios de A son aquellos
subconjuntos diferentes al conjunto A.
Ejemplo 1:
Si n(A)=5 entonces el número de
subconjuntos propios es:
n[P(A)]=25
= 32
# subconjuntos propios de A = 25
– 1 =31
Ejemplo 2:
Determinar el valor de verdad de cada
proposición.
A = {∅,{∅},{{∅}},{{{∅}}}}
- ∅ ∈ A … ( V )
- ∅ ⊂ A … ( V )
- {{∅}} ∈ A … ( V )
- {{∅}} ⊂ A … ( V )
- {{∅}} ∈ P(A) … ( V )
- {{{∅}}} ⊂ P(A) … ( V )
- {{{{∅}}}} ∈ P(A) … ( V )
Notación: A – B
Se lee: “A pero no B” (sólo A)
Simbólicamente:
A – B {x/x ∈ A ∧ x ∉ B}
Observación
Si : A ≠ B ⇒ A – B ≠ B – A
Si : A = B ⇒ A – B = B – A = ∅
CONJUNTOS A Y B
A
B
U
A B
U
A B
U
→ A – B
Observación
* Si: B ⊂ A ⇒ B – A = ∅
* Si: A y B son conjuntos disjuntos
A – B = A ; B – A =B
Ejemplo:





=
=
}65,4,3,{B
}43,2,{A
}65,{AB
}2{BA
=−
=−
IV. Diferencia Simétrica
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y
B es el conjunto formado por los elementos
que pertenecen a “A” o “B” pero no a ambos.
Notación: A ∆ B
A ∆ B = {x/x ∈ (A – B) ∨ x ∈ (B – A)}
ó
A∆B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B ∧ x ∉ A ∩ B}
CONJUNTOS A Y B
A
B
U
A B
U
A B
U
Observación
* Si: B ⊂ A ⇒ B – A = ∅
* Si: A y B son conjuntos disjuntos
A ∆ B = A ∪ B
Propiedades:
* A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A)
* A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
* A ∆ B = ∅
* A ∆ ∅ = A
Ejemplo:
2,5}{BA
5}4,{3,B
}43,2,{A
=∆





=
=
V. Complemento
El complemento de A, es el conjunto formado
por los elementos que pertenece al conjunto
universal U pero no a “A”
Notación: A´ ; A ; AC
; C A
Simbólicamente:
A´ = {x/x ∈ U ∧ x ∉ A} = U – A
Diagrama

A
U
→ A‘
Observación
A
BC = B – A
Propiedades
1. A(A´)´ = (Involución)
2. φ
φ
=
=
U´
U´
3. BÁBA ∩=−
4. φ=∩
=∪
AÁ
UAÁ
5. Leyes de Morgan
BÁ´B)´(A
BÁ´B)´(A
∪=∩
∩=∪
6. Caso particular de la absorción
BA´B)(AA´
BA´B)(AA´
∩=∪∩
∪=∩∪
Observación
1) n( ∅ )=0
2) n(A ∪ B)=n(A)+n(B)-n(A ∩ B)
3) Si A y B son conjunto disjuntos
n(A∪B)=n(A)+n(B)
4) n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C) –
-n(A∩B)–n(A∩C) –
-n(B∩C)+n(A∩B∩C)
PRÁCTICA DE CLASE
01.Dado el conjunto: A={x∈N/3x<10} ¿Cuál de
las siguientes relaciones es correcta, si N es el
conjunto de los números naturales?
a) -2∈A b) 4∈A c) 2∈A
d) 0∈A e) 3∉A
02.Dado el conjunto: A={x∈Z+
/2x ≤ 12} ¿Cuál
de las siguientes relaciones es incorrecta si Z+
es el conjunto de los enteros positivos?
a) 12∉A b) 10∈A c) 8∉A
d) 2∈A e) 5∈A
03.Dado el siguiente conjunto: A={0;{2,3}; 3; 8}
¿Cuál (es) de las proposiciones son
verdaderas?
I. 2∈A II. 3∈A III. n(A)=5 IV. n(A)=4
a) Todas b) Sólo I c) Sólo II
d) II y IV e) Sólo III
04.Dado: A={2,{4,5},4} ¿Qué afirmaciones son
incorrectas?
a) 2∈A b) 2⊄A c) {4,5}∈A
d) 4∈A e) 0∈A
05.Determine por comprensión el conjunto
A = {1/3; 2/3; 1; 4/3}
a) {
3
1n −
/n∈Z;2<n<5}
b) {
3
1n +
/n∈Z; 1<n<6}
c) {
3
1n +
/n∈Z; 2<n<6}
d) {
3
n
/n∈Z; 0<n<5}
e) {
3
1n2
−
/n∈Z; 0<n<5}
06.Dado el conjunto B 0 {x2
/x ∈ ; x ≤ 4} calcular
la suma de sus elementos
a) 10 b) 20 c) 25
d) 30 e) 32
07.¿Cuántos elementos tiene el conjunto A?
A = {{3; 4 {5; 7; 8}}}
a) 5 b) 2 c) 3
d) 1 e) 0
08.Si: A ={x/x2
– 13x + 40 = 0}, dar como
respuesta la suma de los elementos de A.
a) 8 b) 13 c) 3
d) 5 e) -3
09.Si los siguientes conjuntos A={3ª+b-9; 4a}; B
= {46; 5ª+2b} son unitarios, calcular: a2
– b.
a) 0 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
10.Dados los siguientes conjuntos iguales:
A={3a+b
; 81}; B={3b+2
; 27}; calcular: b-a
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) -1
11.Dado el conjunto unitario:
A = {a+b; a+2b-3; 12}; calcular: a2
+b2
a) 80 b) 74 c) 104
d) 90 e) 39
12.Dado el siguiente conjunto unitario:
A ={5ª-4b; 36; a+b}; calcular: 2b - a
a) 6 b) 8 c) 10
d) 12 e) -15
13.Si: n(A)=70; n(B)=50 y n(A∩B)=32. hallar
n(A∪B)
a) 68 b) 78 c) 98
d) 58 e) 88
14.Si:
A = {4; 5; 6}
B ={6; 7}
C = {3; 5; 7; 9}
Cuántos elementos tiene:
E =(A - B) ∪ (A-C)
a) 3 b) 4 c) 2
d) 5 e) 1
15.Sean los conjuntos:
A={1; 2; 3; 4}, B={2; 4; 6}, C={2; 3; 4}
Hallar el número de elementos que tiene “E”
si:
E = [(A-B)∪(A-C)] ∪[(B-C) ∪(B-A)]
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
16.Si:
A = {x/x∈N ∧ 2≤ x ≤6}
B = {x/x∈N ∧ 3≤ x ≤9}
Hallar el número de subconjuntos de (A∆B)
a) 8 b) 16 c) 128
d) 32 e) 64
17.De 100 alumnos se conoce que:
 60 estudian física
 40 estudian química
 10 no estudian estos cursos
¿Cuántos estudian ambos cursos?
a) 8 b) 12 c) 10
d) 16 e) 14
18.De un grupo de 120 personas; 45 no estudian
ni trabajan; 30 estudian; 9 estudian y trabajan.
¿Cuántas personas trabajan solamente?
a) 40 b) 45 c) 50
d) 55 e) 35
19.En un salsódromo de 150 personas se
observó:
80 consumieron bebida gaseosa, 90
consumieron bebidas alcohólicas y 30 no
consumieron ningún tipo de bebida. ¿Cuántas

personas consumieron las dos tipos de
bebida?
a) 40 b) 50 c) 60
d) 30 e) 80
20.30 alumnos se les toma exámenes de Inglés y
castellano con los siguientes datos: 20
aprueban castellano, 18 aprueban inglés y 12
alumnos aprueban ambas asignaturas.
¿Cuántos alumnos no aprueban ninguno de
estos dos cursos ?
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
21.En un grupo de personas se sabe que 19
hablan alemán 23 hablan francés, 25 hablan
castellano, 5 hablan alemán y francés, 7
hablan francés y castellano y de los que
hablan castellano ninguno habla alemán.
¿Cuántas personas forman el grupo?
a) 58 b) 59 c) 54
d) 55 e) 62
22.A una fiesta asisten 80 parejas, 60 hombres
usan anteojos, hay tantas personas con
anteojos, como mujeres que no lo usan
¿Cuántas mujeres no usan anteojos?
a) 80 b) 25 c) 30
d) 70 e) 60
23.De 72 alumnos, 36 estudian en el día, 35 en la
tarde y 25 en la noche. ¿Cuántos estudian en
sólo dos turnos, si sólo uno estudia en tres
turnos?
a) 26 b) 32 c) 22
d) 27 e) 35
24.De una muestra recogida a 92 turistas se
determino lo siguiente: 30 eran africanos, 40
europeos y 50 eran músicos. De éstos últimos
24 eran africanos y 16 era europeos. ¿Cuántos
de los que no son europeos, no eran africanos,
no músicos?
a) 10 b) 12 c) 9
d) 11 e) 8
25.De 160 personas que gustan de los jugos de
fresa; manzana y piña se sabe que 60 gustan
de un jugo solamente; 70 gustan exactamente
de 2 de éstos jugos y 20 de otros pero no los
mencionados. ¿Cuántos gustan de los tres a la
vez?
a) 10 b) 20 c) 30
d) 15 e) 25
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01
01.Hallar el cardinal del conjunto A sabiendo
que tiene 2016 subconjuntos más que el
conjunto B, que tiene 5 elementos.
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) N.a.
02.Sabiendo que:
A = { 0; 4; 8; 12; ………; 96 }
B = { 3; 6; 9; 12; ………; 75 }
C = { 2; 4; 8; 16; ………; 256 }
Hallar: n[(A ∩ B) ∪ C]
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) N.a.
03.Si:
A = { x/x ∈ Z ∧ x2
< 5 }
B = { x/x ∈ A ∧ x+1 > 0 }
Halle el cardinal de: [(A ∩ B) x A]
a) 12 b) 9 c) 18
d) 15 e) 10
04.Se tiene 2 conjuntos A y B, tales que:
* (A ∪ B) = 15
* (A ∩ B) = 3
* (A) – n(B) = 2
* n(B´)=8
Hallar el cardinal del Pot(A´)
a) 32 b) 16 c) 64
d) 128 e) 256
05.Sabiendo que:
3
2
n(S)
n(G)
= además:
n[P(S)]=576 y : n(G ∩ S) = 2.
Hallar : n(G ∪ S)
a) 13 b) 12 c) 14
d) 10 e) N.A.
06.¿Cuántos elementos tiene el conjunto A,
sabiendo que tiene 63 subconjuntos propios?
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
07.Sabiendo que: n(A) – n(B) = 4 además entre
A y B tienen 544 subconjuntos.
Hallar: n(A) + n(B)
a) 12 b) 14 c) 11
d) 10 e) N.a.
08.Si A y B son 2 conjuntos disjuntos, tales que
n(A) = 3 y n(B)=4. ¿Cuántos subconjuntos
propios tendrá la unión de los 2 conjuntos?
a) 7 b) 15 c) 31
d) 63 e) 127
TAREA DOMICILIARIA
01. A y B son dos conjuntos tales que:
n(A∪B)=12, n(A∩B)=7; n(A)=n(B)+1
Calcule cuántos subconjuntos propios tienen
(A - B)
a) 7 b) 8 c) 9
d) 5 e) 10
02.En un grupo de 55 personas, 25 hablan inglés,
32 francés, 33 alemán y los 5 tres idiomas. Si
todos hablan por lo menos un idioma.
¿Cuántas personas del grupo hablan
exactamente 2 de estos idiomas?
a) 25 b) 26 c) 32
d) 12 e) 40
03.Si se cumple:
A = { x3
/x ∈ N ∧ 1< 2 – 3 ≤ 9 }
B = { x – x4
/x ∈ Z ∧ 2 < x < 5}
Cuántos subconjuntos propios tiene (A∆B)
a) 24 b) 30 c) 76
d) 63 e) 62
04.Si: A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
B = { 1, 3, 5, 7, 9 }
Calcule: n[(AxB)∩(BxA)]+n[(AxB)–(BxA)]
a) 32 b) 64 c) 25
d) 48 e) 128
05.Si se sabe que:
* n[P(A∩B)]=1
* n(C-A)=12=2n(A∩C)
* n(CC
∪(A∩CC
))=40
Calcular n(∪)
a) 48 b) 50 c) 60
d) 62 e) 58
06.Simplificar la expresión conjuntista:
{[A∩(C∆A)] ∪[B∆C]C
∪ [B∪(AC
∪B)C
]}
a) A ∩ B b) A ∪ B c) A∪B∪C´
d) B ∪ C e) A ∪ B ∪ C

INTRODUCCIÓN
Antiguamente los egipcios, griegos y romanos
tenían formas distintas de representar los
números, la base de su numeración era decimal.
Otros pueblos elaboraron distintos sistemas: por
ejemplo, los babilonios tenían como base el
sesenta; los mayas, en América, desarrollaron un
sistema de base veinte. En cambio, los hindúes
habían desarrollado un práctico sistema de
notación numeral, al descubrir el cero y el valor
posicional de las cifras. Los árabes dieron a
conocer el sistema de Europa a partir de siglo
VIII por eso, nuestras cifras se llaman
indoarábigas.
En el siglo XVIII Leibnitz descubrió la
numeración de base binaria y la posibilidad de
infinitos sistemas de numeración.
En la actualidad el lenguaje de los números en
forma hablada y escrita tiene su alfabeto, que hoy
en día se utiliza en todas las naciones y se
denomina Sistema Decimal de Numeración que
utilizas las diez cifras del 0 al 9. Además, el uso
de los sistemas binario y hexadecimal que son los
que utilizan las computadoras para realizar sus
cálculos.
Numeración
Es la parte de la aritmética que se encarga del
estudio de la correcta formación, lectura y
escritura de los números.
Número
Es la idea asociada a una cantidad que nos
permite cuantificar los objetos de la naturaleza
Numeral
Es la representación simbólica o figurativa del
número
Ejemplo: Se puede representar:
, ≡, oo , 3, tres, etc.
Cifras
Los símbolos que convencionalmente se van a
utilizar para la formación de los números son:
0, 1, 2, 3, 4, …
SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIÓN
Es el conjunto de principios, normas y convenios
que nos permite la formación, lectura y escritura
de los naturales.
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
A. Del Orden
Toda cifra que forma parte de un numeral
ocupa un orden determinado, el cual se
considera de derecha a izquierda.
Ejemplo:
Cinco Cuatro Tres Dos Uno ORDEN
NUMERAL
LUGAR 1 2 3 4 5
9 6 5 7 4
⇒
⇒
B. De la Base
Todo sistema de numeración tiene una base
que es un número entero y mayor que la
unidad, el cual nos indica la cantidad de
unidades necesarias y suficientes de un orden
cualquiera para formar una unidad del orden
inmediato superior.
Ejemplo: Representar treinta y dos unidades
en la base 3, 10, 8, 6 y 4
Cuatro Tres Dos uno
1 0 1 2(3)
ORDEN
Nota:
En forma práctica la base nos indica de
cuanto en cuanto estamos agrupando las
unidades
Conclusiones:
1. Toda cifra que forma parte de un numeral
es un número entero no negativo y menor
que la base, es decir, en base “n”, se
puede utilizar “n” cifras diferentes, las
cuales son:
ivasignificat
nocifra
ivassignificatcifras
1)-(n,..........3,2,1,0,
máximacifra
↑
↓
  
A mayor numeral aparente le corresponde
menor base.
Del ejemplo obtenemos:
32 = 40(8) = 44(7) = 200(4) = 1012(3)
Es decir, si 120n = 45k
Como: 120 > 45
Afirmamos: n < k
ALGUNOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Base Nombre
Del
Sistema
Cifras
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Binario
Ternario
Cuaternario
Quinario
Senario
Heptanario
Octavario
Nonario
Decimal
Undecimal
duodecimal
0,1
0,1,2
0,1,2,3
0,1,2,3,4
0,1,2,3,4,5
0,1,2,3, … 6
0,1,2,3, … 7
0,1,2,3, … 8
0,1,2,3, … 9
0,1,2,3, … 9(10)
0,1,2,3,...9(10),(11)
Nota:
Por convención, cuando la cifra es mayor que 9
se utilizan letras para su representación.
(10) <> α <> A
(11) <> β <> B
(12) <> γ <> C
Ejemplos:
4(11)6(10)(15) = 4β6α(15) = 4B6A(15)
REPRESENTACIÓN LITERAL DE LOS
NÚMEROS
Cuando no se conocen las cifras de un numeral,
éstas se representan mediante letras teniendo en
cuenta que:
 Toda expresión entre paréntesis
representa una cifra.
 La primera cifra de un numeral debe
ser diferente de cero.
 Letras diferentes no necesariamente
indican cifras diferentes.
Ejemplos:
 Un numeral de 2 cifras de la base 10
ab ∈{10,11,12, …, 98, 99}.
 Un numeral de 3 cifras en base 7.
7mnp ∈ { 1007
,
1017, 1027, …, 6667 }
 Un numeral de 4 cifras consecutivas
creciente en base 7.
73)-2)(a1)(aaa( ++
NUMERAL CAPÍCUA
Son aquellos numerales cuyas cifras equidistantes
son iguales.
Ejemplos: 557; 3538; naa ; 8
xyyz ;
k
mnppnm
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA
NUMERA

Ejemplo:
1. Simple.
 4352 = 4x103
+3x102
+5 x101
+2
 206458 = 2x84
+6x82
+4x81
+5
 3005046 = 3x65
+5x62
+4
 kabcd = ak3
+bk2
+ck+d
2. Por Bloques.
 4352 = 43x102
+52
 206458 = 208x83
+648x81
+5
 513abc = 135x53
+ 5abc
 nabab = nab x n2
+ nab
 kmnpmnp = kmnp x k2
+
kmnp
CAMBIO DE BASE
1. De base “n” a base 10(n≠0)
Ejemplo: Exprese 5246, en base 10
5246=5x62
+2x6+4=196
∴ 5246=196
2. De base 10 a base “n” (n≠0)
Ejemplo: Exprese 196, en base 6.
190 6
32 64
2 5
∴ 196 = 5246
Propiedades.
A. Numeral de cifras máximas
9 = 10 – 1 78 = 8 – 1
99 = 102
– 1 778 = 82
– 1
999 = 103
– 1 7778 = 83
– 1
En general:
n
cifrask""
1)-(n...1)-1)(n-(n    = nk
– 1
B.  1c = n + c
 n1b1b = n + c + b
 n1c1b1a = n + c + b + a
En general:
n1x
1d1c1b1a 
= n + x + … +d+c+b+a
Casos Especiales de Conversión:
1. De base “n” a base “nk
”
Procedimiento:
 Al numeral dado se les separa en
bloques de k, cifras (de derecha a izquierda)
 Cada bloque considerado en su base
respectiva, se descompone
polinómicamente, siendo el resultado una
cifra del numeral en la base “n”
Ejemplo: Expresar 111011101112 a base 8
Resolución:
Como 8 = a3
las cifras se separan en bloques
de 3 y luego se descompone cada bloque.
Base 2 11 101 110 1112
Base 8 3 5 6 78
∴ 111011101112 = 35678
2. De base nk
a base n
Procedimiento:
 Cada una de las cifras del numeral se
convierte a la base n, teniendo cuidado de
obtener bloques de k cifras (si existiesen
grupos incompletos, se completará con
ceros a la izquierda)
 Los bloques obtenidos conformarán la
representación en la nueva base
Ejemplo: Expresar 42839 en base 3
Resolución:
Como 9 = 32
, cada cifra del numeral se
convierte a base 3, generándose un bloque de
2 cifras.
Base 9 4 2 8 39
Base 3 11 02 22 103
PRACTICA DE CLASE
01.Trasladar al sistema decimal:
I. 245(6) ………………………………
II. 3142(8) ………………………………
III. 2154(7) ………………………………
IV. 1346(8) ………………………………
V. 1249(11) ………………………………
02.Trasladar:
I. 425 a base 7 ………..………………
II. 1234 a base 6 ..………………………
III. 1452 a base 9 ..………………………
IV. 798 a base 5 ..………………………
V. 946 a base 3 …..……………………
03.Trasladar:
I. 532(6) a base 5 …...…….…………
II. 1341(5) a base 7 …...…….…………
III. 782(9) a base 8 …...…….…………
IV. 2341(6) a base 11 …...…….…………
V. 12312(4)a base 6 …...…….…………
04.Calcular (a+ b), si: a43 + b1a = 72b +14
a) 9 b) 11 c) 10
d) 12 e) 8
05.Calcular (m + n + p + q) de:
532m , m13n , n12p , pq0q
a) 13 b) 9 c) 10
d) 7 e) 8
06.Hallar “n”
1050(n) = 24n
a) 8 b) 4 c) 9
d) 6 e) 7
07.Hallar: a + b, si: (6)(7) 11b1aba =
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
08.Calcular: a + b + c, si: (5)(7) babbaabc =
a) 4 b) 9 c) 5
d) 7 e) 8
09.Hallar un número de 3 cifras que sean iguales,
sabiendo que en el sistema senario se escribe
con cuatro cifras iguales.
a) 777 b) 888 c) 666
d) 555 e) 999
10.¿Cuántos números de la forma ab cumplen
con la siguiente condición?
ab =7(a + b)
a) 4 b) 5 c) 6
d) 3 e) 7
11.Hallar la base del sistema de numeración en el
cual el número 52 del sistema decimal se
escribe como 103
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 5
12.El número 7564(n) está escrito en una base
menor que 10; ¿Cómo se escribe en la base
cuyo valor es (3n/2)?
a) 2538 b) 3358 c) 2358
d) 2258 e) 2458
13.El mayor número de tres cifras de la base “n”
se escribe en el sistema heptanario como 425.
hallar “n2
”
a) 49 b) 25 c) 36
d) 12 e) 64
14.Al convertir un número en 3 cifras
consecutivas crecientes de la base 8 a base 11
se obtiene 311. ¿Cuál es la menor cifra de
dicho número?
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7

15.Un número del sistema decimal se ha
convertido a dos sistemas de numeración de
bases consecutivas y se obtuvieron los
números 204 y 312. Hallar el número en el
sistema decimal.
a) 50 b) 52 c) 53
d) 54 e) 64
16.El cuádruplo de un número es de la forma
ab , pero si al número se le multiplica por 3
y luego se le divide entre 2 se obtiene ba .
Hallar (a - b).
a) 1 b) 2 c) 5
d) 8 e) 3
17.¿Cuál es el número comprendido entre 300 y
400 tal que al duplicarlo resulta igual al
consecutivo del número de invertir las cifras
del original?
a) 379 b) 387 c) 393
d) 395 e) N.a.
18.Si: N = 2(17)4
+2(17)3
+26+4(17) como se
escribe el número “N” en base 17
a) 22405 b) 20425 c) 22095
d) 22059 e) 22459
19.Calcular “n” si:
1)(nn 2)2)(n4)(n(n1)-2)(n-3)(n-(n +−−−=
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
20.Hallar (a + b) en la siguiente expresión:
4)(n)6( 3)2)(n1)(nn(nabb ++++=
a) 7 b) 6 c) 5
d) 4 e) 3
21.Hallar (a + b) si: (7)(6) bab(2a)ba =
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
22.Hallar (a + b) si : 124(a) = b19
a) 13 b) 21 c) 22
d) 23 e) 20
23.Hallar (a+b+c) si:
(7))9( 1)0ab(baabc += =0
a) 8 b) 7 c) 10
d) 9 e) 12
24.Hallar: (a+b+c), si: (5)(C) bc0a3b =
a) 12 b) 13 c) 8
d) 6 e) 7
25.Hallar (a+b+c), si:
(4)(5) bacb1)aab(a =+
a) 3 b) 4 c) 5
d) 11 e) 7
26.Si: )8(14 16213
ab1615
=



hallar: ab + a + b
a) 95 b) 109 c) 110
d) 111 e) 101
01.Si a un número de tres cifras se le agrega un 8
al final, el número original queda aumentado
en 3527. hallar la suma de las cifras de dicho
número de tres cifras
a) 16 b) 15 c) 14
d) 13 e) 17
02.Si a un número de tres cifras, se le agrega un
5 al comienzo y otro 5 al final, el número
obtenido es 147 veces el número original. Dar
como respuesta la suma de las cifras del
número original.
a) 10 b) 14 c) 12
d) 13 e) 11
03.Hallar un número de 4 cifras, cuya cifra
inicial es 3, tal que si esta cifra inicial se
suprime se obtiene un número que es 1/5 del
número original. Dar como respuesta la suma
de las cifras del número original.
a) 10 b) 12 c) 15
d) 16 e) 18
04.Sabiendo que:
2541 = 3a
+ 3b
+ 3c
+ 3d
+ 3e
hallar: a + b + c + d + e
a) 24 b) 22 c) 21
d) 20 e) 19
05.Si un entero de dos dígitos es K veces la suma
de sus dígitos, el número que se obtiene al
intercambiar los dígitos es la suma de los
dígitos multiplicada por:
a) 9 - k b) 10 - k c) 11-k
d) k - 1 e) k + 1
06.Hallar: a + b + m +n
Si: nm bb54a58 =
nm bb57ab2 =
a) 24 b) 23 c) 22
d) 25 e) 26
07.Sabiendo que:
pn9 36a27b23a ==
hallar: (b – a + n + p)
a) 20 b) 19 c) 18
d) 17 e) 16
08.Si se cumple que: (9)(7)
cbaabc = hallar
(a+b+c)
a) 9 b) 8 c) 10
d) 11 e) 12
TAREA DOMICILIARIA
01. Un móvil recorre por hora ab kilómetros,
observando que después de “c” horas le falta
recorres abc kilómetros , ¿Cuántos
kilómetros recorrió hasta ese momento, si
debía recorrer cab kilómetros?
a) 24 b) 30 c) 42
d) 36 e) 58
02. Si 3)5( 1abcabc = escribir el mayor
número )6(abd en base 5
a) 1315 b) 2135 c) 4145
d) 3135 e) 2105
03.Si: )7(aabb = )9(11a4 Hallar el valor de
a+b
a) 12 b) 6 c) 8
d) 14 e) 10
04. Hallar (m+n), si: 937(m)=117(n)
a) 41 b) 42 c) 43
d) 44 e) 45
05. Hallar (m+n), si; mnab,ab44, 5 =
a) 13 b) 11 c) 8
d) 10 e) 12
06. Si; mnab,ab22, 5 = . Hallar: (a+b+m+n)
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
07. ¿Cuántos números se representan con
numerales de tres cifras tanto en el sistema
septenario como en el nonario a la vez?
a) 249 b) 262 c) 648
d) 354 e) 261

08. Hallar “a”, si: 532a =1089
a) 2 b) 3 c) 4
d) 0 e) 1
09. Si: cdababcd − =1287
además: cdab + =55
Hallar: a +b +c +d
a) 9 b) 10 c) 12
d) 13 e) 14
10. Al expresar el número: 44444444447 en el
sistema decimal, termina en la cifra:
a) 4 b) 3 c) 2
d) 1 e) 0
DIVISIBILIDAD DE LOS NÚMEROS
Un número entero A se dice que es divisible entre
otro número entero positivo B, llamado divisor, si
al dividir A entre B la división resulta exacta. Es
decir:
Donde: A ∈ Z
B ∈ Z+
K ∈ Z
Se dice:
A es divisible entre B
B es un divisor de A
Ejemplos: Sea el número 28 y el 7 al dividir:
28 7
0 4
Se puede decir:
28 es divisible entre 7
7 es un divisor de 28
MULTIPLICIDAD DE LOS NÚMEROS
Un número entero A es múltiplo de otro número
entero positivo B, si existe un tercer número
entero “K”, tal que al multiplicar por B resulta el
número A.
A = BK de la división anterior
Se dice:
A es múltiplo de B
B es un factor de A
Del ejemplo anterior
28 = 7 x 4
28 es múltiplo de 7
7 es un factor de 28
Nota:
 Indicar que un número es
divisible o múltiplo de otro, lo consideramos
como equivalente
 Todo divisor de un número, es
un factor de dicho número.
Si un número entero A es múltiplo o divisible
entre otro entero positivo B se denota:
 A =
o
B
 A = o
B
Ejemplo:
 21 =
o
7  5 =
o
5
 -45 =
o
9  0 =
o
3
 -460 =
10
o
 14 =
o
2
 -57=
19
o

25
o
ab00 =
Nota:
El cero es múltiplo de cualquier positivo
Ejemplos:
1. Indique en forma explícita los divisores
positivos de 12 y 125.
a. 12:   
Divisores
126,4,3,2,1,
b. -125: 
Divisores
12525,5,1,
Se observa que un número es múltiplo o
divisible de cada uno de sus divisores
2. Indique en forma explícita los múltiplos de 7
y 11
a.
o
7 : … -21, -14, -7, 0, 7, 14, 21, …
⇒
o
7 = 7k, k ∈ Z
b.
…… 23,22,11,0,11,-22,-33,-:11
o
⇒
Ζ∈= kk,1111
o
Aplicación:
1. Calcule cuántos números positivos de 3 cifras
son:
a. múltiplos de 15.
b. múltiplos de 9 pero no de 5
c. múltiplo de 7.
d. múltiplo de 13 que terminan en cifras
cero.
Rpta:
a. 60 b. 80
c. 128 d.7
NÚMEROS NO DIVISIBLES
Si un número entero A al dividir entre el número
entero positivo B, la división resulta inexacta, se
afirma que A no es divisible entre B. Por ser
inexacta la división puede ser de dos tipos:
Por defecto Por exceso
A B
r qd
A B
r q + 1e
Donde:
rd + re = B
Si un número no es múltiplo de un módulo, se
puede expresar dicho número respecto a este
módulo, por defecto o por exceso.
Ejemplo:
 63 = 10 x 6 + 3 
63 = 10 x 7 - 7
TEORÍA DE LA
A B
0 K

63 = o
10
+3 63 = o
10
-7
Además:
N = o
21
+11⇒M = o
21
-10
M = o
10
-6⇒M= o
10
+4
Aplicaciones:
1. Calcule la suma de todos números positivos
de dos cifras, tal que al dividirse entre 8 se
obtienen residuos máximos.
Rpta. 605
2. Calcule cuántos números positivos de 3 cifras
son o
13
+7 y además dichos números
terminan en cifra dos.
Rpta. 7
Principios:
I. Operaciones con números múltiplos de un
mismo módulo:
a. 33 + 22 = 55
o
11
+ o
11
= o
11
⇒ o
n
+ o
n
= o
n
b. 33 – 22 = 55
o
11
- o
11
= o
11
⇒ o
n
- o
n
= o
n
c. 91 =
o
7
11 x (91) =
o
7
Si A =
o
n
⇒ Am
=
o
n
Si: m ∈ Z+
Aplicación:
1. Calcule cuál es el residuo al dividir entre 13.
Si: N = 11x 2m
+ 910 x 2m
+ 132 x 2n
n ∈ Z+
y m∈ Zo
+
II. Si un número es múltiplo entre cierto módulo
es múltiplo con cada divisor del módulo.
Ejemplo: 15: 
divisores
155,3,1,
Entonces:
15 =
o
1
15 =
o
3
15 =
o
5
15 =
o
15
III. Si un número es múltiplo con varios módulos,
entonces es múltiplo del MCM de dichos
módulos.
Ejemplo: Sea.









=
=
=
o
o
8A
5A
6A
o
Entonces:⇒A=
120
o
MCM(6,5,8)
o
=
En General:
Si:









=
=
=
o
o
o
cA
bA
aA
Entonces: ⇒A=
c)b,MCM(a,
o
Ejemplo sea:









+=
+=
+=
310N
38N
39N
o
o
o
Entonces: ⇒
3c)b,MCM(a,
o
N
+
=
Si:









±=
±=
±=
rcN
rbN
raN
o
o
o
Entonces: ⇒=
rc)b,MCM(a,
o
N
±
=
Aplicaciones
1. Calcule el menor número positivo de 4
cifras, tal que al ser divididos entre 2,3,4,
… y 9 siempre se obtiene residuos
máximos.
Rpta. 2519
2. Calcule cuántos números de 3 cifras son
múltiplos de 4 y pero no de 5.
Rpta. 60
Observación
(
o
8 +3)(
o
8 +2)=
o
8 +
o
8 +
o
8 +
o
6
o
8= +6
Ejemplo:
 (
o
9 +2)(
o
9 +1)(
o
9 +3)=
o
9 +6
 (
o
n +a)(
o
n +b)(
o
n +c)…(
o
n +x)=
o
n +axbxCx…xX
Aplicaciones:
1. Calcule el residuo al dividir N entre 9 si:
N = 393 xy10xmn7xab12
Rpta. 6
2. Calcule el residuo al dividir A entre 22 si:
A = 23 x 24 x 25 x … x 29
Rpta. 2
BINOMIO DE NEWTON:
Sea la multiplicación:
k
o
factoresk""
oooo
a)n(a)nx(...a)xna)(na)(n( ±=±±±±   
Su desarrollo:
1. a)n(
o
± =
±
o
n ak

2. k
o
a)n( ±










−
+
k
o
k
o
an
imparesKSi
an
paresKSi
Ejemplos:
 (
o
7 +2)6
=
o
7 +26
 (
o
9 - 3)20
=
o
9
+320
 45
)519
o
( −
=
45
519
o
−
 abc)143
o
( +
=
143
o
+
 ab31
)18
o
( −
=
18
o
−
Aplicaciones
1. Calcule el residuo al dividir:
A = (1333)508
entre 11
Rpta. 3
2. Si: B = 623
2 )ab101( se expresa en base
8, calcule la última cifra.
Rpta. 5
3.
165
o
ab
−= además ab =
o
7 calcule la
suma de valores de ab
Rpta. 336
RESTOS POTENCIALES
Se llaman restos potenciales de un entero
E(diferente de cero) respecto a un módulo m a los
residuos que deja la serie natural de las potencias
sucesivas, enteras y positivas de E al ser divididas
entre el módulo “m”
Ejemplo:
Calcular los restos potenciales de 5 respecto al
módulo 9.
50
= 0+1 =………….. =
o
9 + 1
51
= 0+5 =…………. =
o
9 + 5
52
=5.5 =………….. =
o
9 + 25 =
o
9 +7
53
= 5.52
=………….. =(
o
9 +5)(
o
9 +7)
=
o
9 +35=
o
9 +8
54
=5.53
=………….. = (
o
9 +5)(
o
9 +8)
=
o
9 +40=
o
9 +4
55
=5.54
=………….. =(
o
9 +5)(
o
9 +4)
=
o
9 +20=
o
9 +2
56
=5.55
=………….. =(
o
9 +5)(
o
9 +2)
=
o
9 +10=
o
9 +1
57
=5.56
=………….. =(
o
9 +5)(
o
9 +1)
=
o
9 +5
58
=5.57
=………….. =(
o
9 +5)(
o
9 +5)
=
o
9 +25=
o
9 +7
Obsérvese que los restos potenciales empiezan a
repetirse en forma ordenada y periódicamente. Al
tomar una potencia cualquiera luego de 6
potencias sucesivas se obtendrá el mismo resto
que deja la potencia tomada inicialmente.
Ejemplo:
51
, 57
, 513
, …, 16
5 +
o
Siempre dejarán de resto 5 respecto al módulo 9
 Las potencias: 53
, 59
, 515
, …, 36
5 +
o
Siempre dejarán de resto 8 respecto al módulo 9
CASO PARTICULAR: El 5302
al dividirse entre
9, ¿Cuánto deja como resultado?
Solución:
5302
+ 9
5302
= 26
5 +
o
= 79
o
+
Toda potencia de 5 cuyo exponente sea múltiplo
de 6 más 2, siempre deja como residuo 7.
GAUSSIANO (q)
SE llama gaussiano de un entero E respecto a un
módulo m, a la cantidad de restos potenciales
diferentes entre sí y diferentes de cero que se
repiten ordenada y periódicamente.
Del ejemplo anterior el gaussiano de 5 módulo 9
es 6 porque existen 6 restos potenciales diferentes
entre sí que se repiten ordenada y periódicamente.
Ejemplo2:
Calcular los restos potenciales de 3 respecto al
módulo 5.
30
=
o
5 +1 … =
o
5 +1
31
=
o
5 +3 … =
o
5 +3
32
=
o
5 +4 … =
o
5 + 4
33
= (
o
5 +3)(
o
5 +4) =
o
5 +2
34
= (
o
5 +3)(
o
5 +2)
o
5 +1
35
=(
o
5 +3)(
o
5 +1)=
o
5 +3
36
=(
o
5 +3)(
o
5 +3)=
o
5 +4
37
=(
o
5 +3)(
o
5 +4)=
o
5 +2
Los restos que se repiten ordenada y
periódicamente son: 1,3,4 y 2.
Luego el gaussiano(g) = 4
Ejemplo:
Al dividir 326
entre 5. ¿Cuál es el residuo?
326
= 24
o
3 + =
o
5 +4
Toda potencia de 3 que se
o
4 +2 al ser dividido
entre 5 deja de resto 4.
r = 4
Observaciones
Mediante la aplicación de estos potenciales se
determina cualquier criterio de divisibilidad
Ejemplo:
Hallar el criterio de divisivilidad por 7.
Si: N =
o
7fgh.....abcde.................... =
Por descomposición Polinómica:
N = h+10g +102
f+103
e+104
d+105
c+106
b
+107
ª+…
Expresando las potencias de 10 según módulo 7.
+
+
++
6)
o
7(
2)e73)(7(+2)f+7(+3)g+7(+h=N
oooo
  
+
+
+++
+
+++
+
++
1)
o
7(
5)b73)(7(
5)
o
7(
4)c73)(7(
4)
o
7(
6)d73)(7(
oooooo
      

...a)17)(37(
3)7(
oo
o
+++
+
  
4)d7(6)e7(+2)f+7(+3)g+7(+h=N
oooo
+++
+++++++ 3)a7(1)b7(5)c7(
ooo
O también:
)d37()e17(+2)f+7(+3)g+7(+h=N
oooo
−+−
+++++−+ 3)a7(1)b7()c27(
ooo
d37e7+2f+7+3g+7+h=N
oooo
−+−
+++++−+ 3a7b7c27
ooo
)3ab2c-d3e2f+3g+h(7=N
o
+++−−+
Interpretación:
Si N es múltiplo de 7 entonces al multiplicar sus
cifras de de derecha a izquierda por: 1,3,2, -1, -3,
-2, 1, 3, … respectivamente y al efectuar la suma
algebraica, el resultado es también múltiplo de 7.
Ejemplo 2:
Hallar el criterio de divisibilidad por 4 en el
sistema de base 5.
Solución:
Si: N =
o
(5) 4.abcdef.................... =
Descomponiendo Polinómicamente:
N = f +5e + 52
d+53
c+54
b+52
a+…
Expresando N según módulo 4:
N=f+(4+1)e+(4+1)2
d+(4+1)3
c+(4+1)4
b+
(4+1)5
a+…
Por Binomio de Newton aplicado a la
divisibilidad:
N = f(
o
4 +1)e + (
o
4 +12
)d + (
o
4 +13
)c +
(
o
4 +14
)b + (
o
4 +15
)a + …
N = f+
o
4 + e+
o
4 + d+
o
4 + c+
o
4 + b+
o
4 +
a + …
N =
o
4 +(f +e +d +c +b +a +…)
Interpretación:
Para que N sea
o
4 , entonces la suma de sus
cifras tiene que ser también múltiplo de 4.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Sea el numero “N”
Donde: N = abcde
Divisibilidad por 2n
y 5n
 N =
o
2 ↔e =
o
2
 n =
o
4 ↔ de =
o
4

oo
8cde8 =↔
 N =
oo
5e5 =↔

oo
125cde125 =↔
Aplicaciones
1. Si:
o
81)aa431(a =+
Calcule: “a”
Rpta. 4
2. Si:
o
251)3ba(a =−
Calcule al suma de los valores de (a+b)
Rpta. 19
3. Si:
o
1251)baa3(b =+
Calcule la suma de valores de (a+b)
Rpta. 12
Divisibilidad por 3 y 9
 N = abcde
 N =
o
3 ↔ a + b + c + e =
o
3
 N=
o
9 ↔ a + b + c + e =
o
9
Aplicaciones:
1. Si
o
3abc = . Calcule cuál es la última cifra
al expresar.
N = ab132ba2cc en base 3
Rpta. 2
2. Si:
-mnpy5pnm;9mpn
oo
−−
calcule (m + n + p) máximo
Rpta. 18
DIVISIBILIDAD POR 11
N = abcde
+-+-+
N = ↔
o
11 a + c + e – b – d =
o
11
Aplicaciones:
1. Calcule el residuo al dividir
N = aabccb357 entre 11
Rpta. 5
2. Si:
o
11ab3abab =
calcule (a + b) máximo.
Rpta. 15
IV. Principio de Arquímedes
Si el producto de dos números enteros es
múltiplo de cierto módulo y uno de los
números no es múltiplo del módulo, entonces
el otro número debe ser múltiplo de dicho
módulo.
Ejemplo:
 5a =
o
17
a =
o
17
 23xb=
o
16
b =
o
16
 4xc =
o
6
2c =
o
3
c =
o
3
 91xd=
o
39
7xd =
o
3
d =
o
3
 12e =
o
37 +24 → 12(e-2)=
o
37 → e
– 2
=
o
37 →e =
o
37 +2
 8xf=
o
17 -16→8(f+2)=
o
17 ∧f+2=
o
17
f =
o
17 -2
 11xg=
o
53 +44
g =
o
53
+4
 5xh=
o
7 +3

10
o
7375xh ++=

h =
o
7 +2
 9xi =
o
13 +1

27
o
261139 ++=i
i =
o
13
+3
 23n =
o
24 +1
23n =
o
24
-23
n =
o
24
-1
Aplicaciones:
I. Si: 1 +++++ abc5abc3abc 
41
o
170abc =
Calcule la suma de valores de abc
Rpta. 2550
II. Alexandra tiene una cantidad de estampillas,
si los agrupa de 7 en 7 sobran 2; si se agrupan
de 9 en 9 le faltan 4 unidades para formar un
grupo más. ¿Cuántas estampillas posee si
dicha cantidad es el menor posible de 3
cifras?
Rpta. 149
III. Un número expresado en cierta base es:
 múltiplo de la base más la última
cifra.
 múltiplo de la base elevado al
cuadrado más las dos últimas cifras en
dicha base.
 múltiplo de la base elevado al cubo
más las tres últimos cifras en dicha base.
Sea: N = (K)abcd
Entonces:
 N =
o
K +d
 N =
)(
o
2
cd KK +
 N =
)(
o
3
bcd KK +
Ejemplo:

37ab3
o
7 +=

59mn5
o
9 +=

3
o
3 129xy12 +=
59
o
+

2
o
2 114mn11 +=
34
o
+

3
o
3 10127ab101 +=
1027
o
+

2
o
(2) 1018cd101 +=
58
o
+
 N =
o
9 +3= …….3g = ….103
 M =
o
7 +4= …47
 P =
1381
o
+
 P = ……… (13)(81)
 P = ……… 14(9)
PRACTICA DE CLASE
01.Determinar cuántos números de dos cifras son
múltiplos de 3 y 4 pero no de 9
a) 6 b) 5 c) 7
d) 9 e) 8
02.Si un número natural “N” es tal que: N=
o
5
+2 y N =
o
6 +4, entonces el resto de dividir
“N” entre 30 es:
a) 22 b) 26 c) 28
d) 20 e) 10
03.Calcular el valor de “a” si la suma de a1
con a2 con a3 hasta a9 es múltiplo de
13.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
04.Un pastor cuenta sus ovejas de 7 en 7, de 4 en
4 de 6 en 6 y siempre le sobra 6, 3 y 5 ovejas
respectivamente. Calcular cuantas ovejas
tiene este pastor si el número es la menor
cantidad posible.
a) 42 b) 50 c) 80
d) 83 e) 167
05.El numeral: ab(2a)(2b) siempre es
divisible por:
a) 13 b) 17 c) 19
d) 23 e) 29
06.A un evento deportivo asiste una cantidad de
personas menor de 300; si 2/11 de los
asistentes son mayores de edad, los 5/17 de
los mismos son limeños. ¿Cuántos no son
limeños?
a) 22 b) 55 c) 77
d) 132 e) 252
07.Si 3A =
o
7 ; 5A=
o
8 . ¿Cuál es el menor valor
que toman A si es de 3 cifras?
a) 104 b) 119 c) 168
d) 112 e) 108
08.Cuántos números son
o
17 en los 3000
primeros enteros positivos.
a) 175 b) 176 c) 177
d) 178 e) 180
09.¿Cuántos números de 4 cifras terminados en 3
son divisibles por 7?
a) 124 b) 125 c) 126
d) 127 e) 130
10.Entre 5000 y 12000. ¿Cuántos son múltiplos
de 19 y terminan en cifra 6.?
a) 36 b) 37 c) 38
d) 39 e) 40
11.¿Cuántos de los números de 1 a 240 son
o
3 y
o
4 pero no de 5?
a) 72 b) 84 c) 96
d) 120 e) 144
12.¿Cuántos de los números de 3 cifras son
múltiplos de 7 pro no de 5?
a) 26 b) 106 c) 108
d) 102 e) 103
13.Hallar el residuo de dividir a7b9c entre
a1b3c5
o
7
+2
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
14.Hallar el valor de “a.b” si:
o
566a319b =
a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12

15.Hallar el valor de “a+b” si se cumple que:
o
45abbbba =
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 12
16.Hallar el valor de “a” si: 15! =
00130a6a4368
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
17.Hallar el residuo de dividir ab1
68 entre 11
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
18.Si se sabe que:
o
3318m43n = . Hallar
cuántos valores puede tomar mn
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
19.Hallar “x” si:
o
371x984 =
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
20.Hallar el residuo de dividir:
46
42
3 entre 11
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 10
21.¿Cuántos múltiplos de 3 y 5 pero no de 4 hay
en: 1,2,3,4, …………, 189?
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11
22.¿Cuántos múltiplos de 4 y 5 pero no de 4 ó 5
solamente, hay de 2 cifras?
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
23.¿Cuántos múltiplos de 7 existen de 3 cifras?
a) 240 b) 192 c) 271
d) 280 e) 128
24.Luego de una votación, se agrupan los votos
de 5 en 5 ó de 7 en 7 y siempre sobran 3.
¿Cuántos son los votos si están comprendidos
entre 215 y 186?
a) 210 b) 213 c) 218
d) 223 e) 242
25.En un salón de “LORD KELVIN” se observa
tres alumnos que siempre faltan, uno de ellos
lo hace cada 3 días, otro cada 5 días y el
tercero cada 7 días. Si el día de hoy faltan los
3. ¿Dentro de cuántos días volverán a faltar
los 3 nuevamente?
a) 90 b) 95 c) 102
d) 105 e) 110
01.¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos
de 18?
a) 50 b) 45 c) 36
d) 48 e) 72
02.El número de la forma: 8ab432 =99 hallar:
a - b
a) 6 b) 4 c) -4
d) -6 e) 0
03.Si 10a3a2a1a ++++  =9. Hallar “a”
a) 6 b) 7 c) 9
d) 5 e) 8
04.En el hospital hay 180 internos. De los que
son dados de alta, se sabe que: 2/5 tienen
problemas cardiacos , 3/7 son casados y 2/3
padecen de artritis. ¿Cuántos pacientes
seguirán en el hospital?
a) 108 b) 105 c) 210
d) 75 e) 95
05.Calcular el residuo de dividir N entre 7.
N =
o
7 +2+(
o
7 +5)(
o
7 +3)+(
o
7 -2)(
o
7 +3)
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
06.Si 357a2 al ser dividido entre 9, el resto
obtenido es 4. Hallar “a”
a) 1 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
07. 22
cbaabc − siempre será divisible entre:
a) 5 b) 2 c) 7
d) 13 e) 11
08.El número de la forma:
29..................aaa.......
cifras40
+=
•
  
Hallar « a »
a) 8 b) 4 c) 5
d) 3 e) 2
TAREA DOMICILIARIA
01. Un ganadero cuenta las reses que tenía de 5
en 5, de 8 en 8 y le sobraba 4 y 7
respectivamente. ¿Cuánto recibirá, si cada res
la vende a $250 y su establo puede tener
como máximo 1120 reses?
a) 275950 b) 255970 c) 257950
d) 299750 e) 279750
02. Un cerrajero cuenta las llaves que tenía de 45
en 45 y de 50 en 50, faltándole 5 y sobrándole
40 en cada caso. ¿Cuántas llaves tendrá si
cada una la vende a S/.0,02 y recibe entre 18
y 20 soles?
a) 960 b) 940 c) 920
d) 910 e) 860
03. Del 1 al 300 , ¿Cuántos números son
múltiplos de 4?
a) 90 b) 36 c) 75
d) 81 e) 74
04. ¿Cuántos números de tres cifras son
múltiplos de 8?
a) 128 b) 136 c) 108
d) 118 e) 112
05. ¿Cuántos números de tres cifras son
múltiplos de 4 pero no de 3?
a) 225 b) 1205 c) 200
d) 180 e) 150
06. En una división el divisor es
o
11 +2, el
cociente es
o
11 +4 y el resto
o
11 +5,
entonces el dividendo será:
a)
o
11 +1 b)
o
11 +2 c)
o
11 +3
d)
o
11 +4 e)
o
11 +5
07. Si N =
o
7 +3, entonces N2
es:
a)
o
7 +2 b)
o
7 +1 c)
o
7 +3
d)
o
7 +5 e)
o
7 +6

08. ¿Cuál es el residuo de dividir “E” entre 17. E
= 34n+2
+2.43n+1
+8?
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
09. ¿Cuál es el residuo de dividir “E” entre 8. E
=212
+232
+252
+…+3432
?
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 2
10. Hallar “a + b + c” si se cumple que: abc
=5ª.b.c
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 15
SOLUCIONARIO
Nº
Ejercicios Propuestos
01 02 03
01. C A A
02. D B D
03. E C E
04. C D D
05. A C C
06. C D A
07. B A E
08. E B C
09.
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