Se presentan los axiomas de Peano y cómo estos se pueden emplear para demostrar que los primeros números naturales, 1,2,3, etc son unno siguiente o sucesor del otro y cómo son diferentes entre si

1. Números naturales
Una presentación axiomática
Sesión 1. 18 de enero 2021

2. Giuseppe Peano
Matemático italiano (1858 - Turín, 1932) . Estudió en la Universidad de Turín,
ciudad a la que su familia se había trasladado en 1870. Sus aportaciones más
recordadas son las referentes a la axiomática de las matemáticas. A ese respecto
cabe destacar sus axiomas sobre el conjunto de los números enteros naturales o
sobre la estructura de un espacio vectorial, así como la definición del concepto
de aplicación lineal. Interesado en el uso de la lógica más como medio de
exposición de la matemática que como su fundamento (al estilo de
Gottlob Frege o Bertrand Russell), desarrolló una sintaxis, muchos de cuyos
símbolos (como los de pertenencia, unión o intersección) son hoy día empleados
de forma universal. En su constante empeño de expulsar la ambigüedad del
ámbito de las definiciones y los teoremas matemáticos, tuvo por costumbre
denunciar las incorrecciones presentes en la obra tanto de sus predecesores
como de sus contemporáneos; se convirtió así en un especialista del
contraejemplo.
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https://www.biografiasyvidas.com/biografia/p/peano.htm

3. Axiomatizar una teoría
Construir una teoría a partir de establecer como punto de partida un conjunto de
enunciados cuya verdad se acepta sin cuestionar que serán llamados axiomas y a
partir de los cuales y empleando las leyes de la lógica formal, se demuestran otras
leyes válidas llamados teoremas, lemas, corolarios, propiedades, etc.
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4. Axiomas de Peano
Axioma 1: 1 𝝐 𝑵.
Axioma 2: Para cada n 𝝐 𝑵 existe un único n* 𝝐 𝑵 llamado el siguiente o
sucesor de n.
El Axioma 2 garantiza la existencia de 1*, el sucesor de 1.
Para el caso de “más * ” también se pueden usar paréntesis (1*)* = 1** , el
sucesor del sucesor de 1.
((1*)*)* = 1*** , y se lee: el sucesor del sucesor del sucesor de 1, o
el sucesor del sucesor de 1*, o
el sucesor de 1**
Pero nada evita que 1=1*, ó 1*=1** ó 1**=1***, etc.
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5. Axiomas de Peano
Axioma 1: 1 𝝐 𝑵.
Axioma 2: Para cada n 𝝐 𝑵 existe un único n* 𝝐 𝑵 llamado el siguiente o
sucesor de n.
Axioma 3: Para cada n 𝝐 𝑵 se tiene n* ≠ 1.
Luego, ahora si 1≠1*, ó 1 ≠ (1*)* ó 1 ≠ ((1*)*)*
Pero nada evita que 1*=1** ó 1**=1***, etc.
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6. Axiomas de Peano
Axioma 1: 1 𝝐 𝑵.
Axioma 2: Para cada n 𝝐 𝑵 existe un único n* 𝝐 𝑵 llamado el siguiente o
sucesor de n.
Axioma 3: Para cada n 𝝐 𝑵 se tiene n* ≠ 1.
Axioma 4: Si m, n 𝝐 𝑵 y m* = n*, entonces m = n.
Ejemplo 1:
Así, si consideramos que 1*=(1*)*, por el axioma 4,
1=1* lo cual contradice el axioma 3,
por tanto no es posible que 1*=(1*)*,
Luego concluimos que 1* ≠ (1*)*
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7. Axioma 1: 1 𝜖 𝑁.
Axioma 2: Para cada n 𝜖 𝑁 existe un único n* 𝜖 𝑁 llamado el siguiente o sucesor de n.
Axioma 3: Para cada n 𝜖 𝑁 se tiene n* ≠ 1.
Axioma 4: Si m, n 𝜖 𝑁 y m* = n*, entonces m = n.
Ejercicio de clase 1: 1** = 1*** ?
Demostración:
SI 1** = 1*** , Por el Axioma 4
Se tiene que 1* = 1** Pero en el Ejemplo 1 ya probamos que 1* ≠ (1*)*
Por lo tanto 1** ≠ 1***.
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8. Ejemplo 2: Demostremos que 1**** no puede ser igual a 1***
Si consideramos que 1****= 1***
Entonces (((1*)*)*)*= ((1*)*)*, por el axioma 4,
((1*)*)*= (1*)* por el axioma 4,
(1*)*= 1*
lo cual contradice lo que probamos en el Ejemplo 1, por lo
tanto no es posible que 1****= 1***, entonces
1****≠ 1***
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9. Con estos cuatro axiomas construimos una infinidad de números “naturales”,
pero ¿son los números naturales o es “un subconjunto de números naturales
que se parece a los números naturales” en la característica de ser un
conjunto infinito?
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Axioma 1: 1 𝝐 𝑵.
Axioma 2: Para cada n 𝝐 𝑵 existe un único n* 𝝐 𝑵 llamado el siguiente o sucesor
de n.
Axioma 3: Para cada n 𝝐 𝑵 se tiene n* ≠ 1.
Axioma 4: Si m, n 𝝐 𝑵 y m* = n*, entonces m = n.

10. Otros conjuntos infinitos que no son el
conjunto de los números naturales
u1,3,5,7,9,11,13, …k,k+2, ....
u1,2,4,5,7,8,...
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11. Axiomas de Peano
Axioma 1: 1 𝝐 𝑵.
Axioma 2: Para cada n 𝝐 𝑵 existe un único n* 𝝐 𝑵 llamado el siguiente o sucesor
de n.
Axioma 3: Para cada n 𝝐 𝑵 se tiene n* ≠ 1.
Axioma 4: Si m, n 𝝐 𝑵 y m* = n*, entonces m = n.
Axioma 5 (Axioma de inducción): Si un subconjunto de números naturales K es
tal que:
a) 1 𝝐 𝑲
b) Siempre que k 𝝐 𝑲 , se tiene que k* 𝝐 𝑲
Entonces 𝐊 = 𝐍
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