Matematicas VI

. Matemáticas VI,. '. . .
,.
PREPARATORIAABIERTA

,
El contenido académicode este texto es exclusiva responsabilidaddel Instituto Tecnoló-
gico y de EstudiosSuperioresde Monterreyy su Indiceperteneceal programacorrespondiente
alplande Estudios del nivelmedio superior, Paralamateriade:
MATEMATICA
UNIDADES XXI-XXIV
AUTOR: Héctor paz Estrada
REVISO: Jaime Navarro Cuevas
COMITE.
ACADEMICO: Gustavo Mendoza González, Humberto Cantú Salinas, Roberto
Garcia Martlnez, Moisés GaliciaArrambide, Héctor paz Estrada.
ADAPTARON: Andrés Ramlrez y Villa
Luis Felipe Robles G.
La educaciónesuna responsabilidad compartida y en consecuen-
. cia invitamos atentamente a toda persona interesada en colabo-
rar para resolver la problemática educativa, a que remita sus
comentarios, críticas y sugerencias con respecto a esta obra a
la Dirección General de Evaluación Educativa de la SEP,
Av. Río Mixcoac 25, 80. piso, Col. Crédito Constructor, Defe-
gación Benito Juárez, C.P. 03940 México, D. F.
.
Sus aportaciones serán apreciadas en todo lo que valen y per-
mitirán perfeccionar y adecuar permanentemente estos mate-
riales a lascambiantes co.ndiciones de la época actual.
@ SEP, 1983
DERECHOS RESERVADOS
Medios y Proce~imientosAvanzadosde la Educación 1976.
Guías y exámenes para
Evaluarse correo
mv1980@live.com.mx
WhatsApp 55 91038543

INDICE'
Prólogo
Intrucciones para el alumno
Notación
11
1"3
15
UNIDAD XXI
FUNCIONES, UMITES, CONTINUIDAD
Introducción .
Objetivos generales
Diagrama temático estructural
Glosario
19
20
21
22
Módulo 1
Objetivos especificos
Esquemaresumen
Contenido
1.1 Funciones de comportamientoespecial.
1.2 El álgebrade funciones .
Reactivos de autoevaluación
23
24
25
35
39
M~ulo 2
Objetivos especlficos
Esquemaresumen
Contenido
2.1 Umites
2.2 De.terminaciónde limites
43
43
44
53
55
Módulo3
Objetivos especlficos
,Esquemaresumen
Contenido
3. 1 Umites infinitos
3.2 Teoremas sobre limites
59
59
60
67
71
Módulo 4.
Objetivosespecificos
Esquema resumen
73
73
- -

,- ~
Contenido
4. 1 Continuidad
Paneles de verificación
74
77
79
UNIDAD XXII
DERIVADA
Introducción
Objetivos generales
Glosario
101
102
103
104
Módulo 5.
Esquemaresumen
Contenido
5. 1 Pendiente de la tangente a una curva
5.2 Derivadas
105
105
106
113
122
Módulo 6.
Objetivos especfficos
Esquemaresumen
Contenido
6.1 Teoremas sobre derivadas
125
125
126
133
Módulo 7.
Esquemaresumen
Contenido
7.1 Derivadasde funciones compuestas
. Reactivos de autoevaluación
137
137
138
142
Módulo 8.
Esquemaresum~n
Contenido
8. 1 Derivadasde la función logarftmica
8.2 Derivadade la función exponencial
Panelesde verificación
145
145
146
150
151
153
"'

f
UNIDAD XXII.I
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Introducción
Objetivosgenerales
Diagramatemático estructural
Glosario
163
164
165
166
Módulo 9.
Esquema resumen
Contenido
9.1 Derivadassucesivas
9.2 Derivaciónimplfcita
167
167
168
171
175
Módulo 10.
Esquema resumen
Contenido
1O.1 Ecuaciones de tangente normala una curva
10.2 Angulode intersección entre dos curva$
10.3 Funcióncreciente y función decreciente
177
178
179
184
188
190
Módulo 11.
Esquema resumen
Contenido I
11 .1 Valores extremos
11.2 Criteriode la segunda derivada
11.3 Aplicaciones
193
194
195
201
206
210
Módulo 12.
Esquema resumen
Contenido
12. 1 Razones de cambio
213
213
214
219
221
-.-- -- -------.-- ,

,.
UNIDAD XXIV'
INTEGRAL
Introducción
Objetivos generales
Glosario
229
230
231
232
Módulo 13.
Esquemaresumen
Contenido
13.1 Integración
233
233
234
238
Módulo 14.
Esquemaresumen
Contenido
14. 1 Integrales de funciones compuestas
241
241
242
246
Módulo 15.
Esquemaresumen
Contenido
15. 1 Aplicaciones simples de la integral
15.2 Movimientorectilineo
249
249
250
252
254
Módulo 16.
Esquemaresumen
Contenido
16. 1 El área bajo una curva
16. 1 Area entre dos curvas
Bibliograffa
257
257
258
264
267
269
275

w -- ------

PROLOGO
Con el contenido qe este libro se completa la infonnación que el Comité Académico
de Matemática consideró necesario y suficiente para que pueda proseguir sus es-
tudios. Se presentan temas que casi con seguridad habrá de ver a fondo en sus
primeros semestres de facultad, es por ello que su tratamiento tiende más al aspecto
informativo; sin embargo, se ha procurado' al igual que en libros anteriore.s mostrar
e inducir en el alumno el pensamiento matemático y los procesos que son comunes
a todos los niveles de la Maten:-ática.
Héctor paz Estrada
L

"
INSTRUCCIONES PA.RA EL ALUMNO
El presente texto ha sido elaborado tomando en cuenta los diferentes aspectos
que caracterizan a los alumnos de Sistemas Abiertos de Enseñanza.
Eltexto ha sido estructurado de tal formaque le faciliteal máximosu estudio. .
Cuenta con cuatro unidades, cada una de las cuales.contiene:
1). Objetivos generales: que le informanacerca de lo que se pretende
lograrcon el estudio de dicha unidad.
2). Una introducción:independientemente de laque aparece dedicada
artexto.
3). Undiagramatemático estructural: donde se le presenta el contenido
de cada unidad,en formasinóptica.
4). Un glosario: que le indica el significado de los términos técnicos
empleados en el desarrollode la unidad.
5). Notación:en los textos referentes a las cienciasnaturalesy formales,
tales como la Matemática,se encontrarán eXPlicacionesrelacionadas
con lasimbologiaempleada (fórmulas,tablas, simbolos,etc.).
Para ~I estudio del curso la unidad se ha divididoen partes llamadas
móduloS.Cada texto consta siemPrede 16 módulos..De esta manera,estima-
mos que es posible aprobar las asignaturas del plan de estudios de un
semestre, en las 18 semanas. Elmódulode cada asignaturaestá programado
para que lo estudie en un tiempo promedio de 3 a 4:30.horas por semana.
Sin embargo, se le recomienda que dedique a cada módulo, el tiempo que
usted considere necesario, de acuerdo con sus posibilidades.
Cada módulocuenta con:
1). Objetivos especificos: que desglosan el objetivo general de la unidad.
2). Esquema-resumen: donde se le presenta el contenido de cada módu-
lo, en forma sinóptica.
3). Contenido: se refiere al desarrollo del tema o de los temas.
4). Reactivos para autoevaiuaci6n: al finalde cada módulo, se le dan una
serie de preguntas de autocomprobación, para que pueda verificar
por si mismo, en qué grado ha logrado los objetivos (propuestos al
principiodel módulo). Las respuestascorrectas las encontraráal final
de cada unidad o en otros casos, al finaldel libro.
13
'"

En la parte final del libro, podrá encontrar, cuando se estime necesario,
apéndices que le ayudarána la ampliacióny profundizaciÓnde algún tema.
Ademásse le da en las unidadeso al final del texto, una bibliograffacon
laque p~ede complementar sus estudios o ampliarsu horizonte cultural, de
acuerdo con sus.inquietudes.
ADVERTENCIA:
Le recomendamos la lectura cuidadosa y la comprensión c1elos objetivos
. éspecfficos al empezar cada módulo, para que tengapresentelo que se espera
de usted, con el trabajoque realice con cada uno de ellos.
14

51mbolo
E
ft
Df
Um
-+
E.
Ó
.
o
00
f(x) .
Df(x) l
f'(x) ~
J
J~
R
1
--
"
Notación
Significado
pertenece a...
.; no pertenece a...
dominio de la función f.
.lImite
tiende a...
. ..........proximidad entre la función f y su limite
..........proximidad entre la variable x y su limite
. pertenece a la gráfica
... . ... .. .no pertenece a la gráfica
.infinito .
.designación de función
. derivadade f(x)
.. . .. .. .. .integral
..........integral definida desde el limite inferior a hasta el li-
mite superior b
implica que
do.ble implicación
..........conjunto de los números reales
conjunto de los números enteros
15
,

UNIDAD XXI. .,
FUNCIONES. LIMITES.
CONTINUIDAD
.
-- .. --

---
Introducción
En la presente unidad, iniciamos el estudio del cálculo examinando nuevamente
el concepto de funciónvistoen unidades anteriores. "
. Se enfatizaen algunasfuncionesparticularesimportantesy se presentan ejemplos
de funciones que se definen mediante diferentes ecuaciones para distintos inter-
valosde su dominio. .
A partirdel análisisdel comportar1)ientode una funciónen particularse establece
el concepto de limite,con el finde simplificarsu comprensión. Con el propósito de
anunciar el criteriode continuidadde una función se analizael comportamientode
la"mismaalrededorde un puntode su dominioy para ellonos basamos en el concepto
de limite.

19
L

Objetivos generales
Al terminar de estudiar esta unidad, el alumno:
1. Justificará si la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos (dominio
y contradominio) define una función.
2. Dará una correspondencia de los elementos de dos conjuntos, que defina una
función y otra que no.
3. Interpretará la gráfica de una función.
4. Definiráel concepto de limite~
5. Dará ejemplos de funciones que tengan por limite un número real y funciones
que tengan por limite al infinito.
6. Determinaráel limite de unafunción dadaaplicando los téoremas del álgebrade .
limites y/o simplificaciones algebraicas y trigonométricas según el caso.
7. Definirá la continuidad de una función en un punto de su dominio. .
/
20

FUNCION
,
CLASES DE
FUNCIONES
ALGEBRA DE
FUNCIONES
LIMITE DE
UNA
FUNCION
CONTINUIDAD
DEUNA
FUNCION
'. 21

Glosario
Función: Si a cada elemento de un conjunto X se le asocia exactamente un elemento
de un conjunto Y, entonces esta asociación constituye una función de X en Y.
Dominio y Contradomlnlo: Conjuntos de elementos que se asocian por medio de
una ecuación y = ( (x) o una gráfica. ,AJconjunto X se le llama dominio de la función
( y al conjunto Y se llama contradominio de la función f. La función hace
corresponder uno y sólo un elemento de Y con cada elemento de X.
Gráfica de una función: Representación en un sistema rectangular de coordenadas
de la asociación entre x e y (o dos variables cualesquiera) de una función particular.
Parordenado: Conjunto de dos valores x e y que determinan un punto P en el
. plano cartesiano; siendo x e y las coordenadas del punto. AJvalor de x se le llama
abscisaYalvalorde y se lellamaorde~da. .
Limitede una función:Ellfmitede ( (x) cuando x tiende a a es iguala L, esto es.
Ilm ((x) =L
x-a
Si para todo número positivo ~ existe un número positivo d dependiente de E.
tal que si x está en el dominio de la función y
o < Ix-al < d entonces:
I((x) - LI < E.
Continuidad: Una función ( es continua para el.valor x = a si a está en el dominio
de ((x) y si
1) ((a) está definida
2) 11m ((x) , existe
x-a
3) L/m ((X~= ((a)
x-a
22

.Módul.o 1
OBJETIVOS ESPECIFICaS
Al terminar de estudiar este módulo, el alumno:
1. Construirá la gráfica de la función dada.
2. Determinará el dominio y el contradominio de una relación dada.
3. Determinará las funciones suma, producto y cociente, dadas dos funciones y
sus respectivos dominios.
4. Obtendrá la función compuesta de dos funciones dadas.
5. Determinará el dominio de una función compuesta.
23
I
L---

FUNCION
ALGEBRAICA
FUNCION
TRASCENDENTE
ALGEBRA DE
FUNCIONES
24
ESQUEMA RESUMEN
FUNCION
RACIONAL
FUNCIONES
CIRCULARES
FUNCION
lOGARITMICA
FUNCION
EXPONENCIAL
FUNCION
SUMA
FUNCION
PRODUCTO
FUNCION
COCIENTE
FUNCION
POLlNOMIAL
FUNCION
COMPUESTA
,.
FUNCION
LINEAL
FUNCION
CONSTANTE
FUNCION
CUADRATICA

1.1 Funciones de comportamie.nto especial
En cursos anteriores ha aprendido que una función, caso parti-
cular de una relación, es un tipo de correspondencia entre los
elementos de dos conjuntos (dominio y contradominio); esta
correspondencia exige que cada elemento del dominio esté aso-
ciado (corresponda) con uno y sólo un elemento del contrado-
minio, y esta correspondencia generalmente puede describirse
por medio de una ecuación.
En las ecuaciones de este tipo que ha estudiado, casi siempre
"x" ha sido la variable cuyo conjunto de reemplazamiento es el.
dominio de la relación, mientras que "y" o f(x) ha tenido como uni-
verso (conjunto de reemplazamiento) al contradominio; ~eneral-
mente una función también puede describirse mediante un con-
junto de pares ordenados en el cual no existen dos elementos
(pares ordenados) con el mismo primer componente. Ha quedado
convenido que en caso de no especificar el dominio, consideremos
como elementos de éste a todos los números reales que al sus-
tituir a x generen valores reales para y o f(x), cuando los com-
ponentes de los pares ordenados son números reales las rela-
ciones pueden representarse gráficamente y confirmamos que
es una función cuando cualquier recta perpendicular al eje del
dominio interseca cuando mucho en un punto a la gráfica.
Ha estudiado con cierto detalle funciones como la función ge-
neral de primer grado (función lineal) definida por la expresión
L = {(x, y) I y = m x + 6, x,e R } ,
y como caso particular de ella la función
K = {(x, y) I y = k, x e R }
Uamada la función constante en la que el contradominio
consta de .unsolo elemento (contradominio de K = {k}) y cuya
grfdica es una recta paralelaal eje X a k unidades de dicho eje.
(Figura 1.)
-
-x
Figura 1
Gráfica"de{ (x, y) I y= k, x E R}
¿Qué es una
función?
x es una variable
Representación
gráfica de los
pares ordenados
Función lineal
I
l- -1-.
Función
constante
25

Función
cuadrttlca
También ha estudiado algunas caracterlsticas de. la función
cuadrática,la cualen ténninosde un conjuntode paresordenados
se expresa como:
f = {(x, y) Iy =a Xl + b x + e, a :f: O, xER }
y como caso particular de ésta, fa función {(x, y) I y = xl}
que tiene por gráfica una parábolacon vértice en el origen de
coordenadas. (Figura 2.) .
y
!4
1
'(2, 4)
3 '
2
1 (1,1)
/.1?~4
(O,O)
-1
.-2
x
-4 -3 -2 -1
FIgur8 2
Gráfica d$ {(x, y) I y= x1,xER}
E~ interesante notar la diferencia entre la gráfica anterior y la
correspondiente a la función con ecuación f(x) = x3 cuya gráfi-
ca obtenemos a partir de la siguiente tabulación.
26
x -4 - -2 -1 O 1 2 3 4,
f(x) -64 -27 -8 -1 O 1 8 27 64

y
-8-7 -6 -5-4 -3 -2-1I . I I I I I
(-"1, -1)
-8 +(2, 8)
7
6
5
4
3
2
1;(1, 1)I I I I
12345678
(O,O)
x
Figura 3
Gráfica de {(x, y) I y= x3,xE R)}
La importancia de la diferencia entre las dos gráficas anteriores
radica en que podemos tener la idea de la gráfica de f (x) = X",
-donde n es un entero positivo mayor que 1 ya que si n es par
entonces la gráfica es similar a la de y = X2, mientras que si n
es impar la gráfica resulta similar a la de y = X3.
Ha estudiado también una "función que incluye como casos
particularesa los anteriores;ellaes lafunción poIinomialy la ecua-
ción que la define es f(x)= aoX" + 81X"-1 + 8:zX"-2 +... + 8"
donde. nEoo '*
Existen en matemáticas muchas otras funciones. A continuación
se presentan algunas de las consideradas de mayor importancia.
Seanh, Y g dos funcionespoIinomiales,la funciónf definidapor
f(x) = h(x) , g(x) ~ O, es llamadafunción racional.
g(x)
.. Cú-{O} UN
L
f(x) = X"
n>1
nEN
Funcl6n
poIlnomlal
Funcl6n
- racional
27

----
. Toda función
pollnomlal es
racional
Definición de
función
28
-- - -----
Es obvio que toda función-polinomiales racional, ya que
puede expresarse como una fracción cuyo denQminadores 1
y a su vez 1 es el valor de la funciónconstante con ecuación
g(x) = Q{&,
f(x)
donde f(x) = 1.
Ejemplo:
f(x) = x5ex + 2)
x2 : 9
es una funciónracionalya que podemos hacer h(x)= x5 (x + 2)
y g(x) = x2 - 9. Eldominiode esta funcióncontiene a todos los
números reales a excepción de aquellos que hacen cero el de-
nominador,~s decir, el dominiode f es
o f = {xER Ix +-3 y x ;1:3 }
'Definición:
Unafunción f es una función algebraica s I su regla de corres-
pondencia permiteexpresarla én términos de sumas, produc-
tos, cocientes o rafces de polinomios.
Ejemplosde funciones algebraicas
a). f(x)=3x5- 2~ + 1
ej. f(x)= j x"- 4x' - 3x-2
b). f(x)=5x - v'2 .6x + 11 d). .f(X)= / x + 1. '?/x 4
V x-1
Las funciones que no son algebraicas son conocidas como fun-
ciones trascendentes; de ellas conoce las funciones circulares,
la función logaritmica y la función exponencial que estudió en las
Unidades XIII-XVI

Conocetambiénla funciónvalorabsolutodefinidapor la ecuación
f(x) = Ixl cuya gráfica se da en la Figura 4.
y
Figura 4
(4,4)
. . (3,3)
(2, -2)-,r
, (1,1)
~1 2 3 .4 5
-1
-2
x
~ráfica de { (x, y) I y= Ixl. xER}
Observe que la función anterior pueqe definirse mediante la
expresión
-
{
X si x ~ O
f(x) =
-x si x < O
en donde se indica que si x ~ O, f(x)= x y que si x < O,
f(x)= -x por lo que f(x) ~ O para todo xER. Este ejemplo
pretende hacerle comprender que existen funciones (algebrai-
cas o trascendeJltes) que son definidas mediante diferentes
ecuaciones para distintos intervalos del dominio. .
Ejemplo 1.
Graficar la función definida por
f(x) =
[
X, si x< O
x2, si O~ x< 2
4, si x ~ 2
Función valc¡,r
absoluto
Conviene
analizar el
comportamiento
de la función
29

-- - -- -
Siga
cuidadosamente
el procedimiento
I
30
Solución:
En términos de conjuntos de pares ordenados 1afunción se
expresa asl {(x, y) I y=: x, X< O} U ,
{ (x, y) I y= X1, ~ X < 2} U {. (x, y) I y= 4, x ~ 2 }
Y la gráfica la determinamos representando en un mismo sis-
tema coordenado los tres conjuntos dados. (Figura 5.)
y
(2,4)
1 2 3
(O,O)
x
Figura5
{
X,si x < O
Gráficade '(x)= xl, si O-- x < 2
4, si x ~ 2
Ejemplo 2.
Graficar la función
~
-X, si -2 < ~ O
t{x) =
2, si O< x< 2
Solución:
. Procediendo en forma similar al caso an'terior resulta

y
4
3
2
1 2 3 4 5 6I I I I I I
-1 L 0(0, O.)
-2
-3
x
Figura 6
Gráficade f(x)=
{ -x, ~i-2 < x ~ O
-2, SIO< X< 2,
Recuerdeque al graficarsegmentosde rectl o arcosde curvas, ¿Enqué forma
el simbolo "o" indica que el punto extremo no pertenece a la se Indicaque un
gráficamientrasque "e" indicaque el puntoextremosi pertenece punto pertenece
a la gráfica. o no a la gráfica?
Ejemplo3.
Graficar la función definida por:
I
r x1-4 , si x+-- 2
x+2
1. O, six=-2
f(x) =
Solución:
Yaque
)(1-4 - ("-2) (x+ 2) == x-2, si x+-2x+2 = x+2
lagráficadef(x)= x1-4 es la rectl f(x) =x - 2, con laexcepciónx+2
del punto (-2, -4). Dado que si x= -2,f(x)= O tenemos que
,
31

Funciónmayor
entero
32
y
6
5
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 '-1
x
-5
-6
-7
-8
Figura7
tx1';"" 4
Gráfica de f(x)= ) ~+ 2' ,si x :;: - ~
~0, si x= - 2
la gráficacons1ade una rec1aqÚ9se interrumpeen un puntoy el
punto aislado con coordenadas (-2, O).
Si xER el simbolo [x] repr~senta un número entero, el mayor
entero menor o igual que x. Asi [-5]= -5, [-3,2] = -3,
ya que -3 es el mayor de los enteros menores que -3.2,
[0.2]= O porque O es el mayor de los enteros menores que
0.2, [:]= 1porque de todos los enteros menores que 1.5, 1
es el mayor; de la misma manera
[3.9]=3'l~J - 2,ete.
Lafunción f (x) = [x] llamadafunción mayor entero, la cual se
puede describir también por la expresión f(x) = [x] = a para
~ x < a + 1, a E 1 tiene una gráficaque resultasimple cuando
. tabulamos para varios intervalos de longitud igual a uno ambos
lados del origen '

f(x) = [x] =
-3 si -3 ~ x.c;::-2
-2si-2~x<-1
-1 si -1 ~ x < O
OsiO~x<1
1si 1~ x< 2
2si2~x<3
y
gráfica de f(x)=[x)
Esta función es conocida también como función escalón; su
gráfica se simplifica mucho si determinamos la longitud y pro-
fundidad de cada "escalón", en el caso anterior ambas son igual
a uno.
Ejemplo4
Graficar f(x) = [~ x J
3
Solución:
Como primer paso en la tabulación consideramos la expresión
dentro de [ ] entre dos enteros consecutivos, pongamos por
caso-2 y -1, asf-2 ~~x< -1' .
3 '
Para los valores de x que satisfacen la desigualdad obtenida,
f(x) = -2 porque es el mayor de los enteros menores a Ips va-
k.-.-
Función escalón
.~
Comportamiento
de l. función [x)
33
4 1- ---..o
3t- --.o
2 -1 --5 -4 - 3 -2 -1
6 I I I I
.xJ 2 3 4 5
-1
---.o
r-2--.o -3
1-4
Figura8

lores adoptados por la expresión dentro del slmbolo [ ], pero,
¿cuálesson esos valores que adopta x? Esta pregunta se con-
testa cuando la desigualdad se multiplica por el reclproco del
coeficiente de x, asl
~ (-2) ~~ . ~ x <~ (-1),
2 2 3 2
3
de lo que resulta -3 ~ x < - - ;
2
siguiendo este proceso tabulamos de modo que en la primera
columna tengamos los enteros entre los que varia la expresión
que está dentro del slmbolo [ ], en la segunda columna los
valores que resultan para" x" y en una tercera columna los
correspondientes valoresde '(x)
De estos datos determinamosque la longitud del escalón es
~ mientras que I~ profundidad o altura es 1 y su gráfica está
,en la Figura 9.
y
-3-2-1
3
2 ~~
1 .--o
1 2 3 4 5 6
x
Figura 9
-1
-2
-3
Gráficade f(x)= ít x]
34
2
,(x)
'
I -x I X t
. 2 3
I -2-2-x<-1 -3x<--
3 . 2
-1 x< O - x< O I -1
. 3 2
Ox< 1 O x< I O
3 2

1.2 Elálgebra de funciones
Con la intención de lograr una mejor descripción y consecuen-
temente mejor comprensión del comportamiento de las funciones,
se presentan a continuación las más importantes combinaciones
de funciones.
Sean 'y g dos funciones cuyos respectivos valores funcionales
son '(x) y g(x), y sus respectivos dominios representados por
Df y Dg se define:
Función suma:
s= f + g= { (x, s(x)IS(x)= f(x) + g(x), xEDfn Dg.}
Función producto:
p = ,. g = {(x, p(x)) I p(x) =. f(x) .g(x), xEDf nDg}
Funcióncociente,:
f f(x)
Q ='- = {(x, q(x)) Iq(x) = -, xEDf nDg, g(x) :1=O}
g . g(x)
Ejemplo 1.
Si '(x)= V x - 1 Y g(x)= V x + 2, determine las funcio-
nes suma, producto y cociente con sus respectivos dominios.
Solución:
Función suma:
S(x) :::;; '(x) + g(x), sustituyendo tenemos
S(x) = V x - 1 + v'X+""2;
como Df = {xER Ix~ 1 }, Dg = { xER I x ~ - 2} y
Ds = D, n Dg tenemosque
Ds = {xERI x ~ 1} n {xER I~ ~-2} = {xERI x ~ 1}
- ..~ - - -
Las funciones
pueden
combinarse'
35

36
Ds ={xER Ix;> 1}
Función producto:
p(x)= ((x). g(x) = Vx - 1 Vx + 2 = V(x - 1) (x + 2), .
Dp=D,n Dg
p (x) = V,xl + x - 2 Dp ={xER Ix ~ 1}
Funcióncociente:
q (x) =~ = V x - 1 = V x - 1 .¡x:F2 .
g (x) . Vx + 2 V.x+ 2 vx+2
Dq = D(n Dg
.¡xl + x - 2 , D ={xER IX~ 1}q(x) = 2 qx+
pudiera parecerle que falta indicaren el dominiode la función
cociente que X"1 -2, una observación más detenida de x ~ 1
hará comprender que - 2 es un número que ya ha sido excluido
del dominio.
Ejemplo2.
si (= {(O,'-1 ). (1, 3), (2, 8), (3, 2)}
g = {(2,- 5), (3, O), (O, 4). (5, 7)} .
a). Determine lafunción ( + g = 8
Ds = D,n Dg = {O, 1,2, 3}.n {O,2,'3, 5} = {O,2, 3}
Ahorabien, como 8(x) = ((x)+ g(x) entonces
8(0) = ((O) + g(O)
StO) = -1 + 4
8(0)=3 Y (O,3)ES
, S (2) = ((2) + g (2) =8 + (-5) = 3; (2, 3 )ES
S(3) ='(3) + g(3) =2 +0 = 2; (3, 2)ES
por tanto S = { (O, 3), (2, 3), (;3, 2) }
(

b). Determine la función producto p = f .g
Dp = Df n Dg = (O,2, 3)
como p (x) = f (x) .g (x)
p(O) = (-1) . 4 = -4 entor:-ces'(O,-4) EP
p(2) = 8 . (-5) = -40 entonces (2, -40) EP
p(3) = 2 . O = O entonces (3, O)EP por lo que
p = { (O,-4), (2, -40), (3, O)}
c). Determinelafunción cociente q (x) = ~;~) ;
Dq = Dfn Dg , g(x):I=O
f(O) -1 1 1
q(O) = - = - = --, (O --) E q
g(O) 4 4 '4
. f(2) 8 8 8
q(2) = - = - = - - , (2, - - ) E q
g(2) -5 5 5
2,¡. el:. 1 8
f(3) = -" ~ R- 3~Dqporloque q ={(O,- -), (2,--)}O 4 5
Si f(x)= .x3 + 2x - 3, f(4)= (4)3 + 2 . 4 -3, esto es
f(2) representa la suma (x3 + 2x - 8) cuando x= 2, asimismo
si f(a)= a3 + 2a - 3, f(t)= r + 2t - 3, pero ¿qué debemos
entender por f(g(x))? obviamente que "g(x)" sustituye a x en
la expresión f(x)= x3 + 2x - 3 quedando
f(g(x)) = (g(x))3 + 2(g(x)) - 3. Este proceso se sigue para
lograr una combinación de dos funciones cuyo resultado es
una función conocida como función compuesta.
Sean las funciones f y g, la función compuesta de f con g es
e = { (x, y) I y = f(g(x)) }
Ejem'plo 3.
Seanf (x) = X2- 1 Y g (x) = x + 2, encuenfte:
. Obtenciónde la
función
compuesta
37

Determinación
del dominio de
la función
compuesta
38
a). La función compuesta de f con g; b). la función compuesta
de 9 con f.
Solución:
a). La función cómpuesta de f con 9 es:
f(g(x)) = (x + 2 )2-1
b). Lafunción compuestade 9 con f es g(f(x))= (x2-1) + 2;
es claro que en ambos ejemplos falta efectuar operaciones indicadas.
y simPlificar.
El dominio de esta función podemos inducir10 de la expresión
f (g (x).
Observe que g(x) expresa que x E Dg Y f(g(x)) indica que
g(x) E D" entonces De= {x E Dg , g(x) E D,} esto en palabras
es: el dominio de la funciÓn compuesta de f con 9 es un con-
junto que contiene aquellos elementos del qominio de 9 cuyas
imágenes (g(x)) están en el dominio' de f.
Ejemplo 4.
Seanh = {(0,5), (8, 1), (2, 9)},
9 = {(2, O). (3, 8). (4, 7), (6, 2)', (5, O)}
determine f = h (g )
Solución:
Como DI= {x I xEDg Y g(x) EDh}, debemos determinar
todo par' ordenado de 9 cuyo segundo componente aparece
comoprimercomponenteenh. Conexcepciónde (4,7), elresto
cumple con la condición descrita, luego el dominio de f es
DI = {2, 3, 6, 5}. Ahora bien, para determinar el elemento
asociado en el contradominio,procedemos asi para
x = 2, '(2) = h(g(x)) = h(O) = 5.

Procediendo .asíen cada caso tenemos que f = { (2, 5), (3, 1),
(6, 9), (5, 5) }
Ejemplo 5.
Seanh = {(x,y) Iy = x-1 }, g = {(x, y) Iy = 4x1+ 2x + 1}.2.
Determine la función compuesta de g con h.
Solución:
I
Como el problema es encontrar laexpresión para g(h(x))
x-1 . 2
entonces, dado que h (x) = ~ y g (x) = 4x + 2x + 1
REACTIVOS DE AUTOEV ALUACION I
Grafique cada una de las siguientes relaciones.
1. f (x)= -Ixl
2. h (x) = I x - 1 I + 1
3. h (x) = I 2x - 41- 2
. 4. Y= X5
5. Y = x4
6. Y = X3 -1, ¿en qué difiere de la gráfica de y = x3?'
7. y = x2 + 2, ¿enqué difiere de lagráficade y = x 1?
8. a (x) =YX;
Ixl
9. f(x) =-y
39

Graficar cada una de las siguientes funciones:
{
X - 4, si -2 < x ~ 2
1O. f (x) =
xl - 6, si 2 < x ~ 4
{
3 x - 2, si-3 < x< 1
11. f(x) =
Xl - 2 x + 2, si 1< x ~ 3
{
2 x + 6, Si-5 < x ~ -2
12. f(x) =
xl - 4, Si -2 < x < 2
13. f (x) =
14. f (x) =
15. g (x) =
16. h (x) =
17. h (x) =
18. f(x) =
{
X2, six<O
VX;six> O
{
Xl-6,SiX<-1
-5, si -1 ~ x~"4
x - 9, si x> 4
2[3x]-1
{
-1 si-1 ~x<.2
3 si 2 ~ x < 5
7 SI5~x<8
Encuentre en cada caso las funciones suma, producto y cociente.
19. f (x) = x,
20. f(x)=2x~1
40
g (x) = 3 -x
g (x) = X 2

31. (= { (-1, 1), (O,6), (1,3), (2, 4)};
g = {(-1, 2), (O, 3), (1, 2), (2, O)}
32. (= { (-4; -5), (-3, -3), (-2, -1), (-1, 1)} ;
g= { (-1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 5) }
33. (= {(0,,1), (2, 10), (3, 7), (6, 11 )};
g = { (-1,4), (2, 4), (3, 3), (7, 12)}
34. f = { (-3, 4), (O, 5), (6, O), (8, 8)} ;
g = {(5, -2), (4,3), (7, O), (2, 3)}
En los problemas 35 a 38 determine lafunción compuesta de ( con g
35. f ={(4, 7), (7, 10), (2, 5)};
g = { (1, 4), (3, 7), (6, 2), (5, 4) }
36. f ={(O,3), (3, 6), (-2, 1), (2, 4)} ;
g = { (-3, O),(-1, 3), (2, -2), (1, O),(4, -1) }
41
21. ((x) =3 X2-5x g (x) =2 x-1
22. ((x) = 2-6x + 5 x-2
g(x) =-, 2
23. ((x) =IX g (x) =X2 + 4
24. ((x) =x -1 g (x) =v X2+ 8
25. ((x)= X3 g (x) = 2 x 2 + 3
26. ((x)=VX3 g(x)=V x+2
27. ((x) = Vx + 2 g (x) = " x - 3
28. ((x) =Vx- g (x) = X3
29. ((x) = logaX g (x) = a x
30. ((x) = X2 g(X)= sen x

~
37. f =.{ (2,7), (-1, -3), (0, 3), (1,5)} ;
g = { (3, 2), (-1, -1), (-2, O), (-3, 1) }
38. f = { (2, 4), (-2, 7), (1, -3), (O, 1)} ;
g == { (3, -3), (0, O),(-1, 2), (-4, 1)}
Los problemas 39 a 42 consistirán en determinar la función compuesta de g con
f, dichas fu1ciones son las dadas en los problemas 35 a 38. Decir si resul1a en algún
caso f(g) = g( f ).
En los problemas 43 a 49 determine f(g(x)) y el dominio en cada caso

42
43. f(x) = 4 g (x) = 4 x + 4
44. f (x) = X2 g (x) = 2 x + 1
9-x
45. f(x) = 9 - 3x g(x) =-
2
46.. f(x) = X2 g(x) = cos x
47. f(xl'= sen x g(x) = cos x
48. f (x) = logaX g(x) = é
49. f(x) = sen x g(x) = esc x

Módulo 2
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Al t~rminar de estudiar este módulo, el alumno: .
1. Probará que el limite de una función f (X')es L cuando x tiende a a.
2. Obtendrá los valores de Ódado ~ en la comprobación delimite de una fu1ci6n dada.
3. Eliminará por métodos algebraicos, el factor que produce una indeterminación
en el cálculo del limite del cociente de funciones.
4. DeterQ1inaráellfmite de una función dada, aplicando procedimientos aIgebraicos.
ESQUEMA RESUMEN
LIMITE DE
UNA FUNCION
CONCEPTO
DELIMITE
..PROCEDIMIENTOS
ALGEBRAICOS PARA
LA DETERMINACION
DEL LIMITE
43

Veamos qué es
el limite
de una función
X se aproxima a
un valor fiJo'
Aproxlméndose
por la Izquierda
Aproxlmándóse
.por la.derecha
44
2.1 Limites
La siguiente presentación le hará adquiriruna idea del con-
cepto de lImitede una función; dicha idea debe simplificarlela ,
comprensión "precisa" de este concepto. Se considerará una
función "f" de la cual estudiará el comportamiento de f(x)
cuando x adopte valores numéricos que se "aproximan"a un
valorfijoel cual generalmente se representa por a. El.significa-
do de x se aproximaa un valo"fijo, se aclara con el siguiente
~em~o. . .
En el intervaloen el que -2 < x < 4, sea 1 el valor fijo, es
decir a= 1; que x se "aproxime"a 1; significaque x adop~ va-
lores cada vez más "cercanos" a 1, sin embargo en el interva-
lo dado, esta aproximación puede hacerse de dos maneras
distintas; una de ellas se logra por valores menores que 1
haciendo primero x= -1.9, después x= -1, luego x= O,
x=.L, x= 0.9, x= 0.99 y aSi,cada nuevo v~lorasignado a x .. 2 - '.-
está más "cercano" a 1. En este caso también se dice que x
-se aproximaa 1 por la izquierda(VerFigura 10.)
-2
¿x,='-J. ~,
-1 o
4
x=O
J
I t I
O. 9
,.&
'J
x= 2,
x= -1
. x se aproxima a uno por la izquierda
Agu~10
Laotra manera se logra por valores mayores que 1 (en cuyo
. caso se dice que ~se aproximaa 1 por la derecha) haciendo pri-
3 .
merox= 3, x= "2' x= 1.1, x= 1.01, asf, cada nuevo valorde
x está "más próximo"a 1. (VerFigura 11.)
o 2
..
x=2
3 4
le .
. ./
x=l./' x=T
x se aproximaa 1porladerecha 4
...
x=,J x=3.9'
FIgurl11

Entonces, Ya menos que se especifiqueotra cosa, cuandose .
diga que x (o cualquier otra variable) se aproxima a un valor
fijoy existan las dos posibilidades aquf mencionadas, considera-
remos ambas al mismo tiempo mediante intervalos que conteng8n
al valor fijo.
Regresemos a la expresión -2 < x < 4; seguramente re-
.cordará que es la conjunción-2 < x y x < 4. Su gráfica está
en la Figura12. . I
-2 -1 O 1 2 3 4
e L Q
Figura 12 Gráfica de -2 < )C"y")C < 4
Si a cada miembro de las desigualdades -2<x y X<4 se
resta el valora quese "aproxima" x, o sea 1, tenemos:
-2 -1 < x-1 y x-1 < 4 - 1
o bien -3 < x - 1 Y x- 1 < 3
Si la primera de estas dos desigualdades se multiplicapor
-1 resulta:
3>-x+1 y x-1<3
o bien 1-x <3 y x-1 < 3
La medida de la "proximidad" o "cercanfa" entre x y 1,
nos la da la diferenciaentre estas dos'cantidades; la expresión
-3 < x -1 o 1 -x < 3 para cuando x se aproxima por.
la izquierda (valores menores que 1), y la expresión x - 1 < 3
cuando x se aproximapor la derecha (valores'mayores que 1);
en ambos casos la diferencia entre x y 1 es menor que 3 por
lo que, cuando -2 < x < 4, x queda situada a menos de 3
unidades de 1.
Volvamosa la expresión-2 < x < 4, restemosotra vez a
cada uno de sus miembros el valor a que se aproxima x y
nos queda-3 < x - 1 < 3. Delcursode MatemáticaUnida-
desV-VIIIaprendióquesi c > O,entonces
.IEI<c<=>-c<E< e
Exl..e una
diferencia
cuandox..
aproxima por la
Izquierda o por
la derecha
45

Si hacemos que x - 1 sustituya a E y que 3 sustituya a e
tenemos que IX-11<3 ~ -3<x - 1<3
Ello nos permite que I x-1 1< 3 sustituyaa -3<x -1<3
de donde concluimos; si -2<X<4 entonces I x-11<3, es de-
cir en el intervalo dado, x está a menos de 3 unidades de 1.
Obtencl6n de la (Ver Figura 13.)
medida de
"proximidad" . -2 -1 O 1 2 3 4
n I I I I I o
-2<X<4 ~ -3<x-1<3 ~ Ix-11<3
Sea la función definida por la ecuación' (x) = 2 x + 1
cuya gráfica está en la Figura 14. Observaráel comportamiento
de , (x) cuando x se "aproxime" a 1; este "acercamiento" lo
iniciamos considerando el intervalo -2<X<4. (Ver Figura 15.)
Es importante notar que sólo se han mencionado valores próxi-
mos a 1 y no hemos dado importanciaa lo que suceda cuando
x=.1. y
y r--- 9 - --~f(X) = 9
1 8 /1I
X = -2 I 7
"--1 6
I
I 5
. I 4
I
I ~I .2
1
Figura 13
SI x .8 aproxima
a un valor fiJo, la
función ,(x).8
aproxima a otro
valor .
Figura 14
46
GráficadeIx -11 < 3
I
1
I x=4
1-/
I
I
I
I
x
Gráficade '(x)= 2x + 1; -2 < x< 4
si Ix - 11< 3 =>I'(x)-3 < 6
Figura 15

La gráfica queda restringida al interior del rectángulo cuyos
lados tienen por ecuacionesx = -2, x = 4, f(x) = -3, f(x) =
9, Y es fácil notar que mientras los valores de x están entre
-2 y 4 los' correspondientes a f(x) están entre -3' y 9 o sea
-3<.f(x)<9. Si en esta desigualdad restamos 3 a cada uno
de susmiembrosobtenemos: .
-3 -3<f(x) -3<9-3
-6< f(x)-3< 6
o mejor I f(x)-31< 6
Lo cualnos dice que la "proximidad" o diferencia entre f(x)y 3
es menora 6 unidades.
Concretandolo anterior,podemosdecir que "situar" x a menos
de 3 unidadesde 1, obliga que f(x) e~téa menos de 6 unidades
de3.
En la siguiente etapa, se restringe el intervalo en tomo a
x = 1 y' hacemos O< x < 2 o bien restando 1 a cada miem-
bro de la desigualdad,-1<x -1<1 o mejor Ix-11 < 1, esto es
obligamosa x a estar a menosde una unidad de 1 (Figura 16).
Como consecuencia f(x) adopta valores entre 1 y 5 o sea
1<f(x)<5. Si restamos 3 a cada miembro de esta desigualdad
tenemos 1-3<f(x)-3<5-3, de ahl que:
-2<f(3)-3<2, lo cual traducido.a términos de valor absoluto
es If(x)-31<2 lo cual nos dice que la "proximidad" entre f(x) y
3 es menor a dos unidades. Esto es cuando x permanece a
menos de una unidad de 1, la "cercanla" entre f(x) y 3 resulta
menor a 2 unidades (Ver.Figura 16).
. .y
:t ;i
/ 1
3'- 1
. I
~V~: ::1
...1 1
1 234
~x
Gráficade f(x) =2x + 1; 0<x<2
si Ix-11<1 ~ If(x) -31<2 Flgur. 18
R8pr...nucl6n
gr"lca del
compor18mlonto
de ,(x)
Oetermlnacl6n
del valor al cual
.e aproxima f(x)
SI.e restringe
ellnlenalo de
varlacl6ndex
47

Hagamosmj.
peque"o aún
..e Intervalo
Heaqul el
conceptode
limite
48
Si restringimos aún más el intervalo en tomo a x = 1 hacien-
do que O.9<X< 1.1, la diferencia entre xv 1 :,e determina
por -o.1<x-1<0.1 o bien por Ix-11<0.1 y resulta ser me-
nor a 0.1 unidades, esto es, x está a menos de 0.1 unidades
C!e 1; esta "proximidad" obliga a que 2.8<f(x)<3.2 lo cual
implicaque -0.2 < f(x) -3 < 0.2 Y esto a su vez significaque
If(x)-31<0. 2. Esto significa que f(x) queda a menos de 0.2
unidadesde 3 (Ver Figura 17}.
y
3
y = 3.2
'»
X=
~.9 x=1.1- /
-- .....
Y=J.8I
,
I
I
I
I
I
I
I
I
. I
I
I
I
I
J
1
x
2
1
Figura17 0.9 < x < 1.1 =>Ix - 11< 0.1 =>I'(x) - 31< 0.2
De lo anterior, debe haber notado que al aproximar x a 1, sea
por la izquierda o por la derecha, se obtiene un "acercamiento"
de f(x) a 3. Este proceso puede continuar indefinidamente, sin
embargo lo mostrado hast~ aqul es suficiente para que induzca
que la "cercanla" o upro~midad" entre t(x) y 3, puede hacerse
tan pequena como desee con s610 uaproximar" suficientemente
x a 1. Este hecho se expresa diciendo que f(x) tiene por limite a
3 cuando x tiende (se aproxima) a 1 y se simboliza:
Um f(x) = 3
x 1

Es conveniente volver a insistir en que la existencia de este
limite, no depende en absoluto de lo que suceda cuando x=1;
sólo nos interesa que la "diferencia" o "cercanla" entre f(x) y
3 pueda hacerse tan pequeia como se quieraal "aproximar" io
suficiente x a 1.
El limite de, f (x) cuando x sea próxima a a es igual aL; el
comportamientodeambasvariables quedadescritopor laexpresión
Um t(x) = L.
x -+a
La proximidad entre f(x) y su limite L está dada por If(x)-LI ;
esta "proximidad", indicada obviamente por n(meros no negativos,
será representada por la letra griega t (epsilon), de ahl que la
expresión If(x)-LI< ( significa que f(x) "está" a menos de (
,
unidades de L (ver Figura 18) Y la gráfica de la fu~ción debe
estar limitadapor las rectas con ecuacionesy = L-E, Y = L+l
y
L+ E
L
L- E
a
,
si If(x)-LI<E. entonces la gráfica de
y = f(x) está limitadapor las rectas y = L + t. Y = L - t
Figura 18
~L+E
I .
I
I
I
I
J
I
I
I
Pero,noolvidemosque el comportamientode '(x) dependedel
de x. Paraque If(x)-LI<t, x debe "estar" suficientementecerca
de a, la cercanla entr;ex y su limite a se tiene en la expresión
x
El limite de f(x)
depende
únicamente
cuando x se
acerca al valor
fijo
t répresenta
la proximidad.
¿De qul6n
depende el
comportamiento
de f(x)?
.49

. e. -elllmlte
de.
de.la
diferenciaentre
.Y.
50.
lx-al, y la medida de esa proximidad se hará por medio de números
positivos representados por ó (delta), entonces Ix - al < ó
significa que x "esta" a menos de ó unidades de a.
y
x= 8 . d x = 8 + d
-. - - - - 1.; .
- ~ 1'ct))
I
I -- -1 - - -
- I
I
x
x =8 . d 8 x= 8 + d
Figura 18
Sea una función "f" y dos números a y L, decimos que el limite.
de f(x) es L cuando x tienda a a si para todo número positivo t:
existe otro número positivo ó tales que
If(x)--LI <t: si o<lx-al<ó
Esto' traducido al lenguaje simbólico es
L/m f(x) = L si If(x)-LI<t: cuando o<lx-al < ó
x-a"
y
L+ t:
L
L.t:
x
8-Ó 8+ Ó8
Figura 20

Elcero en la expresión O<lx-al< ~t nos indica que x:l=a
Ejemplo 1.
si f(x)= 3x + 5, pruebe que L/mf(x)~ 11
X"" 2
Solución:
L= 11, a= 2, se debe probar que para todo i> Oexiste un
d>Otal que If(x)-111<E:.cuandoIX-21<ó
Dadoque f(x) = 3x+5, sustituimos en If(x)-111<E:quedando
I(3x+5) - 111<E: proximidad entre f(x) y 11
13x-6l< E:
1.3(x-2)1 < E:
reduciendo términossemejantes
. prop. dist. o factorizando
labl = V(ab)2 =[a2b2 =V82 Vb21311x-21 < E:
3 IX-21 < E:
E:
IX-21<-3
=lallbl ... labl = lallbl
131=3
proximidad entre x y 2
si d < !..
3 ~ /X-2/ < d
d= ;garantila la proximidad prefijada (E:)entre f(x) y 11 ; ó< ~
acentúa más dicha proximidad.
Ejemplo2.
sea f(x) = 2x + 3; L/m (2x + 3) = 1 ,
x -1
d =? si. E:=0.0002
I......-
.
51

-- --- ----- ----- - - - -------
52
Solución:
I(2x+3)-1 1<0.0002. Cercanfaprefijadaentte f(x)y 1
I2x+3-1 I< 0.0002 Se eliminanparéntesis'
.
. I 2x+21< 0.0002
12(x+1) 1<0.0002
Reduciendo términossemejantes
Propiedad distributiva
1211x+11< 0.0002
IX+11< 0.00022
labl = lal .~Ibl
Propiedad 'multiplicativade las
desigualdades.
IX-(---1)I< 0.0001 Proximidadnecesariaentre xy -1
porI~que d-$0.0001 Y Ix- (:"'1)1<0.<;>001.
Ejemplo3.
Pruebe que Um x1-4
x -+2 x 2 = 4
x2-4
en este caso f{x)=-, L = 4, a = 2.
x-2
Unasimplesustitución mostrará que f(2)=t esto quiere de-
x2-4
.cirque f(x) = x 2 no está definida en x= 2, sin embargo sólo
nos interesa que esté definida para todos los valores de x
"próximos"a 2, hecho que comprobamos asl
x2-4
f(x) = 2' x :;: 2x-
f(x)= (x- 2)(x +?)
x-2 ' x :#;2
f(x) = x + 2.,x :;:2

Esto significa que f(x) existe para todo xER exceptuando x = 2.
Para mostrar que ellfmite existe, prefijamos la cercania entre f(x)
y 4 mediante Eas(:
If(x)-41 <E
y buscamos la proximidad suficiente para que eso suceda,
entre x y 2, determinandoelvalorde ó
I f(x)-41 < E
, (x + 2)-4' < E, proximidad entre f(x) y 4
Ix-2 1< E, proximidadresultante entre x y 2 por lo c~aI,
basta con considerar a ó = E; es fácil notar que cualquier
d< E,obliga a f(x) a estar a menos de E unidades de 4 por lo que
d~E
{
.2~2. Determinación de limites
Es muy probableque en másde unaocasión se hayapregun-
tado por qué unadiscusión ~ grande paradeterminarque
Um (2x + 1)= 3 cuando por sustitución directa de x = 1 se
x~1 .
encuentra el mismo resultado en forma por demás simple. La
respuesta es que está confundiendo el concepto de limite de
una función con el proceso en ocasiones puramente mecánico
paraevaluaro determinarun línite. Graciasallengua;e simbólico,
hemos podido concretar y precisar por medio de la expresión
L/mf(x) = L una nocióncuya descripción necesitó de varios pá-
x~a
rrafos.
xl-4
Debe haberobservadoque en casos como Um -
. x-2 x +
lasustitución inmediatade x DOr2 no es posible puesto que nos
lleva a la indeterminación O; determinar el limite del cociente
140
x - requiere de un artificio que nos permita eliminar el factor
x-2
que produce la indetemJinacJón;'en este casobas1aconfactorizar
el numerador,as( (x-2) (x+ 2) = x + 2, siX:F2
x-2
I
L.
, I
No confundir el
concepto de
limite con la
determinación
de un limite
Cuando aparece
un.
Indeterminación
eUmin.m08...
53

Observemos
algunos
procedimientos
algebralcos que
permiten
eliminar la
Indeterminación
54
e..-
L/m x'"- 4
- == L/m(x + 2) = 2 + 2 = 4
.r+2 x+2
En los siguientes ejemplosse dan los artificios másusadosen
este proceso paraencontrar el limitede algunafunción.
Ejemplo 1 .
Determine Llm
3x-'
Solución:
Lasustitucióndirectade x = 3 llevaa laindeterminacióng la
funciónno estádefinidaen x = 3, pero el Umiteexistey lo
podemos detenninar si racionalizamos el denominador de la fracción
Llm x-3 L/m x-3 . . v'XTI + 2
x-+3v'X+1-2 - x-+3 y'X+l-2 VXTT + 2
= Lim (x-3) (VXTT + 2)
x-+3 (vX-:¡:.1V - 2'"
= Llm (x-3) (v'X+1 + 2)
x-+3 x + 1- 4
= L/m (x-3) (y'X+1" + 2)
x-+3 x-3
Aqui es fácil notar que x - 3 es el factor que produce la
indeterminaciónla cual se eliminacancélando dicho factor, asi:
L/m x-3. =Lb V .
x-+3v'X+T-'2 x-+3 x + 1 + 2 = V3+1 + 2 = 4
Note que al cancelarx-3 en los dos miembrosde la fracción
se consideraque x:f.:3.
Ejemplo 2.
Determine Um (x + 2)2-4
x-.O x

Solución:
Nuevamentesi sustituimosx = OobtenemosO, pero si desa-
rrollamos(x + 2)2tenemos O.
L/m (x + 2)1- 4 = L/m x1+ 4x + 4 - 4
~O x ~O x
= UmX2 + 4 x, x:# O
~o x
= Um x (x+ 4)
~O x ' x :#O
= Um x + 4 x:# O
x-+ O
.=4
Sustituir x = O no nos lleva a determinar f(O)sino el valpra
que se aproximaf(x)cuando x-O.
AEACTIVOS DE AUTOEV ALUACION
A. Pruebe que L/m (1-2x) =-1
~1
B. En el problema anterior si E = 0.01, ¿qué valores puede
adQptar61 .
x1-9
C. PruEtbeque L/m - = --2
" x_1 x + 3
D. En el problema ánterior si E=O.005, ¿qué valores puede
tomar61
Determine,siexisten, cada unode los siguientes Umites:
1. L/m (2x- 3)
~O
2. L/m (3x1- 5x + 2)1
~O

55

--- --
56
I .
i
3. L/m . 2h + 3
"""1 h-2
4. L/m" X2+ 9
x....4 16
5. Llm 5 +
-x2
x-+ -1
6. Llm Vx:F1
x-+ -2
7. Llm x
x-+1 x
8. L/m
2 X2 + 3 x
9. L/m X2+ 5 x + 6
x-+ -3 x+3
1O. L/m x-5
x-+5 x2-7x + 10
11. L/m (x + 2)-2- 2-2
x-+O x
12. L/m x2-4 (
JI-+2 x2-5x+6
13. 'L/m y'K+2-2
x-+2 x-2
/ 14. L/m .2!::i
x-+4 vx- 2
15. L/mV2+x-{2
x-+O 2x
16. L/m 2x-4
x-2 1 - V4X=f

determinar:
a). L/m f(x)
x-3
b). L/m f(x)
x-2
e). Llm f(x).
x-.5
d). L/m. f(x)
x-. -2
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