Este documento presenta un cuadernillo de procedimientos para el aprendizaje del cálculo diferencial. Se divide en 5 unidades que cubren los conceptos básicos de límite y continuidad, derivada y sus interpretaciones, derivada de funciones algebraicas, aplicaciones de la derivada y derivada de funciones trascendentes. El objetivo general es aplicar los conceptos de límite, derivada y continuidad a través del análisis del comportamiento gráfico de funciones para interpretar diversos fenómenos.
Este documento presenta 24 ejemplos de ejercicios resueltos sobre derivadas de funciones trigonométricas. Algunos ejemplos están desarrollados detalladamente, mientras que otros no lo están para que el lector complete los pasos. El objetivo es contribuir a la comprensión del estudiante sobre cómo derivar funciones trigonométricas y resolver este tipo de problemas.
Este documento presenta una introducción a las derivadas, incluyendo su definición, objetivos y aplicaciones más importantes. Explica que las derivadas miden la tasa de cambio de una función y tienen muchas aplicaciones en física, ingeniería y economía, como determinar velocidades, puntos críticos, valores máximos y mínimos. También destaca la importancia de las derivadas en la vida cotidiana y en el desarrollo científico y tecnológico.
El cálculo multivariable surgió en los siglos XVIII y XIX. Matemáticos como Newton, Bernoulli, Euler, Clairaut y Alembert desarrollaron los conceptos de derivación e integración de funciones de dos y tres variables. En el siglo XX, el desarrollo del cálculo vectorial por Hamilton y otros permitió aplicar estas técnicas al análisis del espacio físico. El cálculo multivariable es fundamental para la ingeniería, donde se usa para calcular volúmenes, velocidades, tiempos y otros valores con precisión
Este documento introduce las figuras amorfas, que son aquellas figuras sin forma conocida como un cuadrado o triángulo. Explica que su principal objetivo es encontrar el área dentro de una figura amorfa dada en un gráfico. También describe dos métodos para aproximar el área de figuras amorfas: dividir la figura en triángulos trazando diagonales, o usar la suma de Riemann con fórmulas de aproximación. Finalmente, introduce la notación sigma para facilitar la escritura de sumas que se usan al estudiar el á
Este documento presenta conceptos y procedimientos asociados con las derivadas. El objetivo es explicar los conceptos básicos de las derivadas y las reglas para calcularlas, así como explorar aplicaciones. Se define la derivada como una medida del cambio en una función cuando cambia su variable independiente. Se explican las reglas para derivar constantes, potencias, sumas, productos y cocientes.
Métodos numéricos- Métodos de AproximaciónRonnyArgeta123
Este documento describe varios conceptos clave relacionados con los métodos numéricos. Explica que los métodos numéricos son procedimientos alternativos para resolver problemas matemáticos mediante aproximaciones numéricas en lugar de métodos analíticos. También discute conceptos como exactitud, precisión, convergencia, estabilidad y la selección de métodos numéricos alternativos.
Aplicación del Cálculo Diferencial en la Vida Diaria de un Ingenieronueva-era
El documento describe varias aplicaciones del cálculo diferencial en campos como la ingeniería, contabilidad, estadística, química y física. Se usa para encontrar máximos y mínimos, calcular probabilidades, reducir costos, modelar crecimiento poblacional y partes mecánicas, y en el desarrollo de chips y componentes electrónicos. También se aplica para estudiar conceptos como la velocidad y aceleración.
Presentación historia del concepto de limiteizumorin
Este documento resume la historia del concepto de límite matemático desde su formulación inicial por John Wallis en el siglo XVII hasta su definición formal por Karl Weierstrass usando épsilon y delta en el siglo XIX. También explica las definiciones formales de límites para cuando la variable tiende a una constante, infinito o cuando la función tiende a infinito, permitiendo el cálculo de límites en más casos. La definición precisa de límites fue fundamental para el desarrollo del cálculo infinitesimal y conceptos como continuidad y derivación
Este documento presenta 24 ejemplos de ejercicios resueltos sobre derivadas de funciones trigonométricas. Algunos ejemplos están desarrollados detalladamente, mientras que otros no lo están para que el lector complete los pasos. El objetivo es contribuir a la comprensión del estudiante sobre cómo derivar funciones trigonométricas y resolver este tipo de problemas.
Este documento presenta una introducción a las derivadas, incluyendo su definición, objetivos y aplicaciones más importantes. Explica que las derivadas miden la tasa de cambio de una función y tienen muchas aplicaciones en física, ingeniería y economía, como determinar velocidades, puntos críticos, valores máximos y mínimos. También destaca la importancia de las derivadas en la vida cotidiana y en el desarrollo científico y tecnológico.
El cálculo multivariable surgió en los siglos XVIII y XIX. Matemáticos como Newton, Bernoulli, Euler, Clairaut y Alembert desarrollaron los conceptos de derivación e integración de funciones de dos y tres variables. En el siglo XX, el desarrollo del cálculo vectorial por Hamilton y otros permitió aplicar estas técnicas al análisis del espacio físico. El cálculo multivariable es fundamental para la ingeniería, donde se usa para calcular volúmenes, velocidades, tiempos y otros valores con precisión
Este documento introduce las figuras amorfas, que son aquellas figuras sin forma conocida como un cuadrado o triángulo. Explica que su principal objetivo es encontrar el área dentro de una figura amorfa dada en un gráfico. También describe dos métodos para aproximar el área de figuras amorfas: dividir la figura en triángulos trazando diagonales, o usar la suma de Riemann con fórmulas de aproximación. Finalmente, introduce la notación sigma para facilitar la escritura de sumas que se usan al estudiar el á
Este documento presenta conceptos y procedimientos asociados con las derivadas. El objetivo es explicar los conceptos básicos de las derivadas y las reglas para calcularlas, así como explorar aplicaciones. Se define la derivada como una medida del cambio en una función cuando cambia su variable independiente. Se explican las reglas para derivar constantes, potencias, sumas, productos y cocientes.
Métodos numéricos- Métodos de AproximaciónRonnyArgeta123
Este documento describe varios conceptos clave relacionados con los métodos numéricos. Explica que los métodos numéricos son procedimientos alternativos para resolver problemas matemáticos mediante aproximaciones numéricas en lugar de métodos analíticos. También discute conceptos como exactitud, precisión, convergencia, estabilidad y la selección de métodos numéricos alternativos.
Aplicación del Cálculo Diferencial en la Vida Diaria de un Ingenieronueva-era
El documento describe varias aplicaciones del cálculo diferencial en campos como la ingeniería, contabilidad, estadística, química y física. Se usa para encontrar máximos y mínimos, calcular probabilidades, reducir costos, modelar crecimiento poblacional y partes mecánicas, y en el desarrollo de chips y componentes electrónicos. También se aplica para estudiar conceptos como la velocidad y aceleración.
Presentación historia del concepto de limiteizumorin
Este documento resume la historia del concepto de límite matemático desde su formulación inicial por John Wallis en el siglo XVII hasta su definición formal por Karl Weierstrass usando épsilon y delta en el siglo XIX. También explica las definiciones formales de límites para cuando la variable tiende a una constante, infinito o cuando la función tiende a infinito, permitiendo el cálculo de límites en más casos. La definición precisa de límites fue fundamental para el desarrollo del cálculo infinitesimal y conceptos como continuidad y derivación
Derivadas Implícitas y Gráfico de Derivadas (Asintotas)Anyelo Galicia
El documento explica cómo derivar funciones implícitas. Primero, se derivan ambos lados de la ecuación con respecto a la variable independiente. Luego, se agrupan los términos que contengan la derivada y se pasan los demás términos al otro lado. Finalmente, se despeja la derivada dividiendo por el coeficiente. También se explican los tipos de asíntotas (vertical, horizontal, oblicua) y se dan ejemplos de cada una.
El origen de las matrices se remonta a la antigua China, donde se registran los primeros cuadrados mágicos en el 650 a.C. Los matemáticos chinos fueron los primeros en usar matrices para resolver sistemas de ecuaciones simultáneas en el 300-200 a.C. Aunque el término "matriz" no se acuñó hasta 1848, la teoría de determinantes y métodos como la regla de Cramer y la eliminación de Gauss-Jordan han evolucionado desde los primeros usos de matrices por los matemáticos chinos, árab
Un error experimental es una desviación del valor medido de una magnitud física con respecto a su valor real. Existen dos maneras de cuantificar el error: el error absoluto, que es la diferencia entre el valor medido y el real, y el error relativo, que es el cociente entre el error absoluto y el valor real. La teoría del tratamiento matemático de error considera a los errores como variables aleatorias relacionadas con el valor real, y frecuentemente se asume que siguen una distribución normal.
El documento explica el método de integración por cambio de variable, donde se sustituye el integrando o parte de él por otra función para facilitar la integración. Se detalla cómo identificar la nueva variable y su diferencial, y luego aplicar el cambio de variable para resolver la integral. Se proveen 4 ejemplos resueltos usando este método.
Este documento describe las series de Taylor y los errores de truncamiento.
1) Las series de Taylor expresan funciones como polinomios que aproximan el valor de la función en puntos cercanos mediante sus derivadas.
2) Al truncar la serie después de cierto número de términos, se introduce un error de truncamiento.
3) A medida que se incluyen más términos de la serie, la aproximación mejora y el error de truncamiento disminuye.
Este documento describe diferentes tipos de funciones y sus gráficas, incluyendo funciones lineales, cuadráticas, polinominales de grado superior, racionales, exponenciales y logarítmicas. Explica conceptos clave como dominio, recorrido y propiedades de cada tipo de función. El autor concluye que las funciones son útiles para comprender fenómenos matemáticos y de la vida real.
Este documento trata sobre la derivada de una función dada paramétricamente. Explica que una función paramétrica representa una curva a través de dos ecuaciones que dependen de una tercera variable común llamada parámetro. También describe cómo calcular la derivada de una función paramétrica usando la regla de la cadena, la cual relaciona la derivada de y con respecto a t con las derivadas parciales de x e y.
El documento trata sobre los números complejos. Explica que los números complejos surgieron en el siglo XVI para resolver ecuaciones polinómicas de grados superiores a 2. Los números complejos se componen de un número real más un número imaginario. Permiten representar todas las raíces de polinomios y se usan en diversas áreas como física e ingeniería. El documento también define el valor absoluto de un número complejo y cómo extraer raíces de números complejos.
Este documento presenta una introducción al análisis dimensional en física. Explica conceptos clave como magnitudes, unidades de medida y clasificaciones de magnitudes. Describe el sistema internacional de unidades y las reglas para establecer ecuaciones dimensionales, incluyendo el principio de homogeneidad dimensional. Finalmente, incluye ejemplos resueltos y una sección de práctica.
Este documento presenta el procedimiento y resultados de un experimento sobre un péndulo simple. El objetivo era determinar el periodo del péndulo para varias longitudes de la cuerda y masas, y comparar los resultados experimentales con los valores teóricos. Se midió el periodo variando la longitud para una masa fija, variando la masa para una longitud fija, y variando el ángulo inicial. Los resultados muestran que el periodo aumenta con la longitud pero no depende de la masa, y que el sistema no describe un movimiento armónico simple.
Este documento describe las transformaciones lineales en álgebra lineal. Define una transformación como un conjunto de operaciones que convierten un elemento de un espacio vectorial V en un elemento de otro espacio vectorial W. Explica que una transformación lineal preserva las operaciones de suma de vectores y multiplicación por escalares. Proporciona ejemplos de diferentes transformaciones lineales y define sus dominios, codominios, recorridos y núcleos.
Este documento presenta un resumen de las ecuaciones paramétricas y su aplicación para representar curvas y superficies. Explica las generalidades del álgebra vectorial y cómo se pueden usar las ecuaciones paramétricas para graficar curvas y calcular la longitud de un arco. También muestra ejemplos de cómo representar curvas paramétricas y transformarlas a coordenadas cartesianas.
1) La probabilidad y la estadística han evolucionado a lo largo de la historia, desde los juegos de azar en el Antiguo Egipto hasta las primeras formulaciones matemáticas en el siglo XVI. 2) En 1654, Fermat y Pascal formularon la teoría de la probabilidad al resolver un problema de apuestas planteado por un noble francés. 3) Desde entonces, muchos matemáticos han hecho contribuciones importantes a la teoría de la probabilidad y la estadística, incluidos Gauss, Poisson, y
Este documento define una función vectorial y explica cómo calcular su dominio. Primero introduce las funciones vectoriales y da un ejemplo. Luego define formalmente el dominio de una función vectorial como el conjunto común de los dominios de sus componentes. Finalmente, resuelve tres ejemplos para ilustrar cómo calcular el dominio de diferentes funciones vectoriales.
Este documento describe un experimento para verificar la ley de Hooke y las condiciones de equilibrio estático utilizando resortes. El objetivo es medir la deformación de tres resortes helicoidales al aplicar diferentes pesos y representar gráficamente la fuerza aplicada en función de la deformación para determinar la constante elástica de cada resorte. También se fija cada resorte individualmente y se mide la fuerza aplicada para verificar que la fuerza neta es cero. Finalmente, se suspende una barra metálica de un punto para verificar que el momento neto en tor
El documento define el equilibrio mecánico y discute la estabilidad del equilibrio. Define el equilibrio mecánico como una situación en la que la suma de fuerzas y momentos sobre cada partícula de un sistema es cero, o cuando la posición de un sistema es un punto donde el gradiente de la energía potencial es cero. Explica que el equilibrio puede ser estable, inestable o metaestable dependiendo de si la segunda derivada de la energía potencial es positiva, negativa o cero respectivamente. También cubre conceptos como equilibrio estático,
Este documento resume los orígenes del cálculo infinitesimal, que comenzó a plantearse en la antigua Grecia pero no se resolvió sistemáticamente hasta Isaac Newton y Gottfried Leibniz en el siglo XVII. Explica que las derivadas surgieron de problemas geométricos como la tangente a una curva y los máximos y mínimos. También describe que Newton y Leibniz sintetizaron los conceptos de derivadas e integrales y desarrollaron reglas para manipular derivadas.
Esta unidad cubre las sucesiones, series y funciones representadas mediante series de Taylor. Se definen las sucesiones, series finitas e infinitas, y los criterios de convergencia de D'Alembert y Cauchy. También se explican las series de potencias, el radio de convergencia, y cómo representar funciones mediante la serie de Taylor y calcular integrales de estas funciones.
El documento trata sobre el cálculo diferencial. Explica que estudia los incrementos en variables continuas y la derivada mide la variación de la función cuando hay pequeñas variaciones en la variable independiente. También describe algunas aplicaciones importantes como maximizar/minimizar cosas, calcular velocidad y pendiente, y crear modelos en áreas como ingeniería, física y crecimiento poblacional. Finalmente, concluye que el cálculo diferencial ha sido fundamental para los avances de la humanidad y ha permitido logros como la fabricación de chips y la computación.
Este documento introduce conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas de una o más variables respecto a una o más variables independientes. Las ecuaciones diferenciales pueden ser ordinarias o parciales dependiendo de si la función desconocida depende de una o más variables. También clasifica las ecuaciones diferenciales por orden, grado, linealidad y explica conceptos como soluciones, campos direccionales e interpretación geométrica.
Este documento presenta un tema integrador sobre el agua y el desarrollo sostenible. Los objetivos son desarrollar la capacidad de razonamiento matemático mediante el análisis e interpretación de las relaciones entre variables, y resolver problemas que impliquen la variación y derivadas en el contexto del agua. Se cubrirán temas como precálculo, derivada, aplicaciones algebraicas y trigonométricas, y optimización mediante derivadas.
El documento presenta un resumen de los temas fundamentales del cálculo diferencial, incluyendo números reales, funciones, límites, derivadas y aplicaciones de la derivada. El objetivo es desarrollar competencias como procesar e interpretar datos, modelar matemáticamente, pensamiento lógico y resolución de problemas en el contexto del cálculo diferencial a través de 5 unidades que cubren estos temas y su aplicación a otras áreas como ingeniería.
Derivadas Implícitas y Gráfico de Derivadas (Asintotas)Anyelo Galicia
El documento explica cómo derivar funciones implícitas. Primero, se derivan ambos lados de la ecuación con respecto a la variable independiente. Luego, se agrupan los términos que contengan la derivada y se pasan los demás términos al otro lado. Finalmente, se despeja la derivada dividiendo por el coeficiente. También se explican los tipos de asíntotas (vertical, horizontal, oblicua) y se dan ejemplos de cada una.
El origen de las matrices se remonta a la antigua China, donde se registran los primeros cuadrados mágicos en el 650 a.C. Los matemáticos chinos fueron los primeros en usar matrices para resolver sistemas de ecuaciones simultáneas en el 300-200 a.C. Aunque el término "matriz" no se acuñó hasta 1848, la teoría de determinantes y métodos como la regla de Cramer y la eliminación de Gauss-Jordan han evolucionado desde los primeros usos de matrices por los matemáticos chinos, árab
Un error experimental es una desviación del valor medido de una magnitud física con respecto a su valor real. Existen dos maneras de cuantificar el error: el error absoluto, que es la diferencia entre el valor medido y el real, y el error relativo, que es el cociente entre el error absoluto y el valor real. La teoría del tratamiento matemático de error considera a los errores como variables aleatorias relacionadas con el valor real, y frecuentemente se asume que siguen una distribución normal.
El documento explica el método de integración por cambio de variable, donde se sustituye el integrando o parte de él por otra función para facilitar la integración. Se detalla cómo identificar la nueva variable y su diferencial, y luego aplicar el cambio de variable para resolver la integral. Se proveen 4 ejemplos resueltos usando este método.
Este documento describe las series de Taylor y los errores de truncamiento.
1) Las series de Taylor expresan funciones como polinomios que aproximan el valor de la función en puntos cercanos mediante sus derivadas.
2) Al truncar la serie después de cierto número de términos, se introduce un error de truncamiento.
3) A medida que se incluyen más términos de la serie, la aproximación mejora y el error de truncamiento disminuye.
Este documento describe diferentes tipos de funciones y sus gráficas, incluyendo funciones lineales, cuadráticas, polinominales de grado superior, racionales, exponenciales y logarítmicas. Explica conceptos clave como dominio, recorrido y propiedades de cada tipo de función. El autor concluye que las funciones son útiles para comprender fenómenos matemáticos y de la vida real.
Este documento trata sobre la derivada de una función dada paramétricamente. Explica que una función paramétrica representa una curva a través de dos ecuaciones que dependen de una tercera variable común llamada parámetro. También describe cómo calcular la derivada de una función paramétrica usando la regla de la cadena, la cual relaciona la derivada de y con respecto a t con las derivadas parciales de x e y.
El documento trata sobre los números complejos. Explica que los números complejos surgieron en el siglo XVI para resolver ecuaciones polinómicas de grados superiores a 2. Los números complejos se componen de un número real más un número imaginario. Permiten representar todas las raíces de polinomios y se usan en diversas áreas como física e ingeniería. El documento también define el valor absoluto de un número complejo y cómo extraer raíces de números complejos.
Este documento presenta una introducción al análisis dimensional en física. Explica conceptos clave como magnitudes, unidades de medida y clasificaciones de magnitudes. Describe el sistema internacional de unidades y las reglas para establecer ecuaciones dimensionales, incluyendo el principio de homogeneidad dimensional. Finalmente, incluye ejemplos resueltos y una sección de práctica.
Este documento presenta el procedimiento y resultados de un experimento sobre un péndulo simple. El objetivo era determinar el periodo del péndulo para varias longitudes de la cuerda y masas, y comparar los resultados experimentales con los valores teóricos. Se midió el periodo variando la longitud para una masa fija, variando la masa para una longitud fija, y variando el ángulo inicial. Los resultados muestran que el periodo aumenta con la longitud pero no depende de la masa, y que el sistema no describe un movimiento armónico simple.
Este documento describe las transformaciones lineales en álgebra lineal. Define una transformación como un conjunto de operaciones que convierten un elemento de un espacio vectorial V en un elemento de otro espacio vectorial W. Explica que una transformación lineal preserva las operaciones de suma de vectores y multiplicación por escalares. Proporciona ejemplos de diferentes transformaciones lineales y define sus dominios, codominios, recorridos y núcleos.
Este documento presenta un resumen de las ecuaciones paramétricas y su aplicación para representar curvas y superficies. Explica las generalidades del álgebra vectorial y cómo se pueden usar las ecuaciones paramétricas para graficar curvas y calcular la longitud de un arco. También muestra ejemplos de cómo representar curvas paramétricas y transformarlas a coordenadas cartesianas.
1) La probabilidad y la estadística han evolucionado a lo largo de la historia, desde los juegos de azar en el Antiguo Egipto hasta las primeras formulaciones matemáticas en el siglo XVI. 2) En 1654, Fermat y Pascal formularon la teoría de la probabilidad al resolver un problema de apuestas planteado por un noble francés. 3) Desde entonces, muchos matemáticos han hecho contribuciones importantes a la teoría de la probabilidad y la estadística, incluidos Gauss, Poisson, y
Este documento define una función vectorial y explica cómo calcular su dominio. Primero introduce las funciones vectoriales y da un ejemplo. Luego define formalmente el dominio de una función vectorial como el conjunto común de los dominios de sus componentes. Finalmente, resuelve tres ejemplos para ilustrar cómo calcular el dominio de diferentes funciones vectoriales.
Este documento describe un experimento para verificar la ley de Hooke y las condiciones de equilibrio estático utilizando resortes. El objetivo es medir la deformación de tres resortes helicoidales al aplicar diferentes pesos y representar gráficamente la fuerza aplicada en función de la deformación para determinar la constante elástica de cada resorte. También se fija cada resorte individualmente y se mide la fuerza aplicada para verificar que la fuerza neta es cero. Finalmente, se suspende una barra metálica de un punto para verificar que el momento neto en tor
El documento define el equilibrio mecánico y discute la estabilidad del equilibrio. Define el equilibrio mecánico como una situación en la que la suma de fuerzas y momentos sobre cada partícula de un sistema es cero, o cuando la posición de un sistema es un punto donde el gradiente de la energía potencial es cero. Explica que el equilibrio puede ser estable, inestable o metaestable dependiendo de si la segunda derivada de la energía potencial es positiva, negativa o cero respectivamente. También cubre conceptos como equilibrio estático,
Este documento resume los orígenes del cálculo infinitesimal, que comenzó a plantearse en la antigua Grecia pero no se resolvió sistemáticamente hasta Isaac Newton y Gottfried Leibniz en el siglo XVII. Explica que las derivadas surgieron de problemas geométricos como la tangente a una curva y los máximos y mínimos. También describe que Newton y Leibniz sintetizaron los conceptos de derivadas e integrales y desarrollaron reglas para manipular derivadas.
Esta unidad cubre las sucesiones, series y funciones representadas mediante series de Taylor. Se definen las sucesiones, series finitas e infinitas, y los criterios de convergencia de D'Alembert y Cauchy. También se explican las series de potencias, el radio de convergencia, y cómo representar funciones mediante la serie de Taylor y calcular integrales de estas funciones.
El documento trata sobre el cálculo diferencial. Explica que estudia los incrementos en variables continuas y la derivada mide la variación de la función cuando hay pequeñas variaciones en la variable independiente. También describe algunas aplicaciones importantes como maximizar/minimizar cosas, calcular velocidad y pendiente, y crear modelos en áreas como ingeniería, física y crecimiento poblacional. Finalmente, concluye que el cálculo diferencial ha sido fundamental para los avances de la humanidad y ha permitido logros como la fabricación de chips y la computación.
Este documento introduce conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas de una o más variables respecto a una o más variables independientes. Las ecuaciones diferenciales pueden ser ordinarias o parciales dependiendo de si la función desconocida depende de una o más variables. También clasifica las ecuaciones diferenciales por orden, grado, linealidad y explica conceptos como soluciones, campos direccionales e interpretación geométrica.
Este documento presenta un tema integrador sobre el agua y el desarrollo sostenible. Los objetivos son desarrollar la capacidad de razonamiento matemático mediante el análisis e interpretación de las relaciones entre variables, y resolver problemas que impliquen la variación y derivadas en el contexto del agua. Se cubrirán temas como precálculo, derivada, aplicaciones algebraicas y trigonométricas, y optimización mediante derivadas.
El documento presenta un resumen de los temas fundamentales del cálculo diferencial, incluyendo números reales, funciones, límites, derivadas y aplicaciones de la derivada. El objetivo es desarrollar competencias como procesar e interpretar datos, modelar matemáticamente, pensamiento lógico y resolución de problemas en el contexto del cálculo diferencial a través de 5 unidades que cubren estos temas y su aplicación a otras áreas como ingeniería.
El documento trata sobre el cálculo diferencial. Explica que la derivada es el principal objeto de estudio en el cálculo diferencial y que estudia cómo cambia una función cuando cambian sus variables independientes, especialmente cuando ese cambio tiende a cero. También menciona que el cálculo diferencial se basa en el concepto de límite y que el paso al límite permite desarrollar la teoría y diferenciarlo del álgebra.
Tema 02 (medición de distancia y teoria de errores)leomedina83
Este documento presenta información sobre la medición de distancias y la teoría de errores. Incluye una sección sobre la clasificación de triángulos por la longitud de sus lados y la amplitud de sus ángulos. También cubre repasos de trigonometría y diferentes métodos para calcular el área de triángulos.
Este documento trata sobre conceptos básicos de cálculo como derivadas, velocidad, aceleración y concavidad. Explica cómo calcular la derivada de una función, así como su aplicación para determinar la velocidad y aceleración de un objeto que se mueve en línea recta. También cubre derivadas implícitas, de orden superior, funciones crecientes y decrecientes, y extremos relativos.
Este documento presenta una guía para estudiantes de bachillerato tecnológico sobre el tema de cálculo. Explica que el cálculo es una herramienta útil en diversos campos científicos y permite estudiar tasas de cambio. El objetivo general del curso es que los estudiantes aprendan conceptos centrales como función, límite, derivada e integral para resolver problemas y desarrollarse en entornos científicos y tecnológicos. El documento propone actividades de revisión de conceptos matemáticos
Este documento presenta 10 teoremas relacionados con el cálculo de límites de funciones. Los teoremas proporcionan criterios como la unicidad del límite, operaciones con límites, límites de funciones racionales y raíces, así como ejemplos y ejercicios para aplicar cada teorema.
Este documento explica los conceptos matemáticos de límites en el infinito y cómo calcularlos. Expone que el infinito no es un número real, por lo que expresiones como 1/∞ son indefinidas. En su lugar, los matemáticos usan el concepto de límite para referirse al valor al que se acerca una función cuando su variable tiende al infinito. Proporciona ejemplos de cómo calcular diferentes tipos de límites, dependiendo del grado de la función.
The document contains 25 limits to evaluate as x approaches various values. Each limit contains a rational expression to simplify as x tends toward numbers such as 0, 1, 2, 3, 4, and 5. The expressions involve polynomials, radicals, and other elementary functions divided by polynomials in the variable x.
Los infinitésimos equivalentes son funciones cuyo límite es cero y cuya razón tiende a uno, lo que permite sustituir una función por otra más simple al calcular límites. Por ejemplo, sen(x) ~ x cuando x se acerca a cero. Esto simplifica el cálculo de límites indeterminados como 0/0. El documento explica cómo usar infinitésimos equivalentes para calcular varios límites y resume sus propiedades.
Este documento presenta definiciones y teoremas relacionados con infinitésimos y límites. Define qué es un infinitésimo y infinitésimos equivalentes, y establece equivalencias como sen x ≅ x cuando x se acerca a 0. Presenta teoremas como que la suma de infinitésimos de distinto orden es equivalente al de menor orden, y que se pueden sustituir infinitésimos equivalentes en límites.
Este documento presenta una guía para estudiantes de bachillerato tecnológico sobre el tema de cálculo. Explica que el cálculo es una herramienta útil en diversos campos científicos y permite estudiar tasas de cambio. El objetivo general del curso es que los estudiantes aprendan conceptos centrales como función, límite, derivada e integral para resolver problemas y desarrollarse en entornos científicos y tecnológicos. El documento propone actividades de revisión de conceptos matemáticos
Portafolio Virtual Perteneciente a Ronny Morán estudiante del curso de Calculo Diferencial de la carrera de Ingeniería en Sistemas de la Facultad de Ciencias Informáticas de la Universidad Técnica de Manabí.
Periodo Abril-Septiembre del 2012
La configuración de instalaciones solares fotovoltaicas autónomas requiere considerar factores como la radiación solar incidente, la orientación y ángulo de inclinación de los paneles para maximizar la energía captada, y realizar cálculos para dimensionar correctamente el sistema en base a la demanda energética, potencia pico y días de autonomía requeridos. Asimismo, es importante minimizar pérdidas en los conductores eléctricos y asegurar medidas de seguridad.
ÍNDICE DE LA UNIDAD
1.- INTRODUCCIÓN. .
2.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.
3.- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA.
4.- CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD.
5.- FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS
6.- ÁLGEBRA DE DERIVADAS. REGLA DE LA CADENA..
7.- DERIVADA DE FUNCIONES ELEMENTALES
8.- DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
9.- APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
9.1.- CÁLCULO DE LÍMITES: REGLAS DE L´HÔPITAL
9.2.- MONOTONÍA Y EXTREMOS RELATIVOS. OPTIMIZACIÓN
9.3.- CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
9.4.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
10.- ACTIVIDADES
11.- SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
Este documento presenta un formato para registrar las actividades de participación estudiantil realizadas en el Colegio Particular "David Ausubel" como parte de un programa de gestión de riesgos. El formato incluye secciones para documentar la información del estudiante, detalles de la actividad como objetivos, duración y lugar, materiales utilizados, y una evaluación de los aprendizajes obtenidos y posibles mejoras.
1) La derivada representa la razón de cambio instantánea de una función y se define como el límite de la variación proporcional de la función cuando el cambio en la variable independiente tiende a cero. 2) Se presentan ejemplos para calcular la derivada de funciones como f(t)=2t^2-t+1 y h(x)=1/x. 3) La derivada permite determinar la velocidad instantánea a partir de la posición en función del tiempo.
Este documento describe algunas opciones tecnológicas para graficar como calculadoras gráficas y emuladores. Explica que la primera calculadora gráfica fue desarrollada por Casio en 1985 y que ahora existen emuladores como ANDIE GRAPH para Android que permiten graficar funciones al emular modelos como la Texas Instruments TI-83 Plus. Resume los pasos básicos para graficar una función usando las teclas de una calculadora gráfica emulada.
Leyes para aperturar una empresa en Méxicomfhernan
Este documento lista más de 50 leyes y reglamentos mexicanos relacionados con temas económicos, comerciales, laborales y ambientales, incluyendo la Constitución Política de México, códigos civiles y fiscales, leyes de comercio, propiedad intelectual, inversiones, puertos, valores y competencia económica, así como reglamentos sobre medio ambiente y gestión de residuos.
Este documento presenta varios problemas resueltos sobre aplicaciones de derivadas y derivadas por definición y algebra de derivadas. Incluye problemas sobre hallar números que maximicen o minimicen funciones como suma, diferencia o producto. También incluye problemas sobre hallar dimensiones óptimas para objetos como canales, cajas, cilindros para maximizar volumen o minimizar material usado.
Este documento presenta una unidad didáctica sobre integrales definidas y sus aplicaciones para el curso 2009-2010. La unidad tiene los siguientes objetivos: introducir el concepto de integral definida, sus propiedades y su interpretación geométrica como área; enseñar cómo calcular el área de figuras planas mediante integrales; y aplicar estas herramientas al cálculo de áreas, volúmenes y otros problemas en campos como la física, economía e ingeniería. La unidad se desarrollará a lo largo de doce sesiones util
1) El documento presenta los lineamientos curriculares para el área de matemáticas del primer año de bachillerato en Ecuador. 2) Describe los objetivos generales del área como desarrollar el pensamiento lógico y la resolución de problemas mediante modelos matemáticos. 3) Se enfoca en destrezas conceptuales, procedimentales y de modelización relacionadas a números, funciones, álgebra, geometría, estadística y probabilidad.
Este documento presenta la asignatura de Cálculo Diferencial. Explica que se estudian conceptos como números reales, variables, funciones y límites. Se define la derivada y cómo permite analizar razones de cambio. El temario cubre números reales, funciones, límites, derivadas y sus aplicaciones. El objetivo es que los estudiantes puedan plantear y resolver problemas usando el concepto de función y derivada.
Este documento presenta la asignatura de Cálculo Vectorial. Explica que la asignatura enseña el análisis de funciones de varias variables para modelar fenómenos naturales. Incluye el temario dividido en unidades sobre álgebra vectorial, curvas paramétricas, funciones vectoriales, funciones de varias variables y cálculo integral. También proporciona sugerencias didácticas para desarrollar competencias genéricas en los estudiantes.
Este documento presenta la asignatura de Cálculo Vectorial. Explica que la asignatura enseña conceptos y técnicas para analizar fenómenos naturales que involucran más de una variable continua. Incluye el temario dividido en unidades sobre álgebra vectorial, curvas paramétricas, funciones vectoriales, funciones de varias variables y integración. También proporciona sugerencias didácticas para desarrollar competencias genéricas en los estudiantes.
Este documento presenta la asignatura de Cálculo Vectorial. 1) Proporciona información sobre el nombre, clave, créditos y carreras a las que pertenece. 2) Describe los objetivos de presentar herramientas para analizar funciones de varias variables y fenómenos naturales. 3) Detalla las competencias específicas a desarrollar como interpretar modelos de fenómenos naturales e interdisciplinarios y competencias genéricas como razonar analógicamente. El documento continúa proporcionando detalles sobre la historia del programa
Este documento presenta la asignatura de Cálculo Diferencial. Contiene información sobre los objetivos generales de la asignatura, las competencias a desarrollar, el temario dividido en 5 unidades y 10 sugerencias didácticas. La asignatura busca que los estudiantes comprendan conceptos básicos como números reales, funciones, límites y derivadas para aplicarlos a la resolución de problemas de variación y optimización.
Este documento presenta la asignatura de Cálculo Diferencial. Incluye información sobre los créditos, competencias, temario y unidades de aprendizaje. El temario cubre conceptos como números reales, funciones, límites, continuidad y derivadas. El objetivo general es plantear y resolver problemas que requieren el concepto de función y derivada para modelar y analizar variaciones.
Este documento presenta la asignatura de Cálculo Diferencial. Contiene información sobre los objetivos generales del curso, las competencias a desarrollar, el temario dividido en 5 unidades y 10 sugerencias didácticas. El temario cubre conceptos como números reales, funciones, límites, derivadas y sus aplicaciones. El objetivo general es que los estudiantes puedan plantear y resolver problemas que requieran del concepto de función y derivada.
Este documento presenta el silabo de la asignatura de Cálculo II. En 3 oraciones o menos:
El silabo detalla la información general de la asignatura como el departamento, código, créditos, profesor y objetivos. Cubre 4 unidades que incluyen temas como límites, derivadas, integrales y sus aplicaciones. El propósito es desarrollar las habilidades matemáticas de los estudiantes incluyendo razonamiento lógico y resolución de problemas.
Este documento presenta la información general del curso de Análisis Matemático I dictado en la Universidad Nacional de Cajamarca. El curso tiene una duración de 17 semanas y cubre temas como límites y continuidad de funciones, derivadas y sus aplicaciones, y la integral indefinida y definida. El objetivo es desarrollar habilidades de análisis, síntesis y abstracción en los estudiantes de ingeniería civil. El curso se evalúa a través de exámenes escritos y una monografía.
Este documento presenta la Unidad 1 de Matemáticas 2o de ESO sobre divisibilidad y números enteros. La unidad repasa conceptos de divisibilidad como múltiplos, divisores, números primos y compuestos, y aplica estos conceptos al cálculo del máximo común divisor y mínimo común múltiplo. También introduce los números enteros, sus operaciones y propiedades, así como la resolución de problemas matemáticos relacionados con estos temas.
Este documento presenta un libro de texto sobre Cálculo Integral para estudiantes de bachillerato. El libro contiene cuatro unidades de aprendizaje que cubren temas como diferenciales, antiderivadas, integral indefinida, métodos de integración, cambios acumulados, integral definida y aplicaciones de la integral. El objetivo general es que los estudiantes aprendan a calcular diferenciales, antiderivadas e integrales indefinidas, y a aplicar estos conceptos en la resolución de problemas matemáticos y de otras áreas.
1) La derivada mide el cambio en una función y es fundamental en cálculo diferencial, análisis matemático y aplicaciones prácticas como física, química y economía. 2) Se usa para encontrar velocidad, aceleración y propiedades geométricas como concavidad. 3) Los ejemplos incluyen derivar la ecuación de posición de un objeto para encontrar su velocidad y aceleración.
Este documento presenta el sílabo de la asignatura Análisis Matemático III sobre ecuaciones diferenciales impartida en la Universidad Nacional de Chimborazo. El curso se divide en cuatro unidades que cubren conceptos básicos, ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y primer grado, ecuaciones de orden n y aplicaciones. El objetivo es desarrollar habilidades para comprender, analizar y sintetizar ecuaciones diferenciales y aplicarlas a problemas sociales y de otras ciencias. La metodología incluye exposición magistr
Yoimar Camilo Mejia - Extension San Cristóbal - Sección AYoimarMejia
La derivada mide la tasa de cambio instantánea de una función cuando se modifica su variable independiente. Permite conocer la pendiente de la tangente en un punto de la curva representativa de la función. Tiene importantes aplicaciones en física, ingeniería y otras ciencias para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos, y concavidad. Se calcula a partir de la definición de límite o mediante reglas de derivación.
Este documento presenta una guía para aproximar el concepto de derivadas mediante límites usando Geogebra. La guía propone construir gráficas de funciones y rectas secantes en Geogebra para mostrar cómo la pendiente de la recta secante se aproxima a la pendiente de la tangente cuando el cambio en el eje x tiende a cero, introduciendo así el concepto de derivada. La guía incluye pasos detallados y preguntas para que los estudiantes analicen el comportamiento de las rectas y comprendan la definición formal de
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales y su aplicación en física. Introduce conceptos básicos de ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales, y explica técnicas para resolver diferentes tipos de problemas como condiciones iniciales y de contorno. El contenido incluye temas como sistemas de ecuaciones lineales de primer orden, series de Fourier, transformadas integrales de Fourier y Laplace, y cómo el principio de Hamilton conduce a ecuaciones diferenciales.
Programación curricular anual del área de matemáticaJhoony Zelada
Este documento presenta la programación curricular anual del área de matemáticas para varios grados. Incluye ocho unidades didácticas sobre temas como números, geometría y probabilidad. Detalla los objetivos, contenidos, estrategias y criterios de evaluación para cada unidad. El enfoque es desarrollar competencias matemáticas a través de la resolución de problemas de la vida real.
Similar a 5402386 calculo-diferencial-cuadernillo-de-sep- (20)
Programación curricular anual del área de matemática
5402386 calculo-diferencial-cuadernillo-de-sep-
1. CÁLCULO
DIFERENCIAL
Cu adernillo de procedim ientos para el aprendizaje
(Versión para fase inicial)
C ON L A C OL AB OR AC IÓN D E V íctor M anue l M o ra G onzález
1
2. CÁLCULO DIFERENCIAL
Cuadernillo de procedimientos para el Aprendizaje
2000. Secretaría de Educación Pública/ Dirección General del Bachillerato
COSTO DE RECUPERACIÓN $ 12.00
2
3. ÍNDICE
Presentación........................................................................................................................................................... 5
Unidad I. Límite y continuidad........................................................................................................................ 7
1.1. Límite de funciones algebraicas.................................................................................................................... 8
1.2. Propiedades de los límites.............................................................................................................................. 11
1.3. Continuidad de funciones............................................................................................................................... 14
¿Qué he aprendido?................................................................................................................................................. 16
Quiero saber más...................................................................................................................................................... 19
Unidad II. La derivada y sus interpretaciones............................................................................................ 20
2.1. Derivada............................................................................................................................................................. 21
¿Qué he aprendido?................................................................................................................................................. 22
Quiero saber más...................................................................................................................................................... 23
Unidad III. Derivada de funciones algebraicas.......................................................................................... 24
3.1. Derivada de funciones algebraicas............................................................................................................... 25
¿Qué he aprendido?................................................................................................................................................. 26
Quiero saber más...................................................................................................................................................... 27
Unidad IV. Aplicaciones de la derivada......................................................................................................... 29
4.1. Aplicaciones de la derivada............................................................................................................................ 30
4.2. Derivadas de orden superior.......................................................................................................................... 33
¿Qué he aprendido?................................................................................................................................................. 34
Quiero saber más...................................................................................................................................................... 36
Unidad V. Derivada de funciones trascendentes........................................................................................ 37
5.1. Funciones trigonométricas............................................................................................................................ 38
5.2. Función exponencial de base “a” y logarítmica......................................................................................... 38
¿Qué he aprendido?................................................................................................................................................. 39
Quiero saber más...................................................................................................................................................... 41
3
5. PRESENTACIÓN
L a presente guía tiene como propósito ayudar a que el estudiante inscrito en la
modalidad de Educación Media Superior a Distancia se introduzca en el cálculo
diferencial, por medio del análisis de la expresión gráfica de las funciones
algebraicas y trascendentes y, de esta manera, poderlo aplicar como herramienta
básica en su comprensión del mundo que lo rodea.
Para lograr lo anterior es necesario que el estudiante tenga presentes los conceptos
aprendidos a lo largo de Matemáticas I, II, III y IV puesto que en la presente
,
asignatura de Cálculo Diferencial tendrá necesidad de aplicar tanto sus habilidades
algebraicas como su conocimiento de las funciones y de su correspondiente
representación gráfica.
En la primera unidad se estudiarán las nociones de límite y continuidad de una
DIFERENCIAL
función. El estudio de las propiedades de los límites nos ayudará a determinarlos
para diferentes funciones y poder comprender cómo se aplican los teoremas del
CÁLCULO
valor intermedio y de los valores extremos.
En la segunda unidad abordaremos el concepto de derivada partiendo del análisis
de la razón de cambio en diferentes fenómenos. Esto hará posible que el estudiante
pueda resolver problemas sencillos.
Con el estudio de la tercera unidad aplicaremos el concepto de derivada empleando
las reglas de derivación para funciones polinomiales y racionales. De manera
especial haremos énfasis en el uso de la denominada regla de la cadena.
Las aplicaciones de la derivada se tratarán en la cuarta unidad. En ella tendremos
la oportunidad de conocer cómo se aplica en el cálculo de la rapidez, de tangentes
y normales, y en el cálculo aproximado de raíces. Más adelante se abordarán las
derivadas de orden superior que, entre otras cosas, nos ayudarán a determinar la
concavidad y puntos de inflexión, y los máximos y mínimos de una función.
Podremos ver de manera clara algunas aplicaciones de la derivada en la
optimización de materiales o de espacios.
Por último, la quinta unidad se ocupará de la derivada de las denominadas funciones
trascendentes (trigonométricas y exponenciales) aplicando las reglas de derivación
correspondientes, con lo cual se pretende que el estudiante esté capacitado para
resolver problemas sencillos.
Para desarrollar el curso, nos hemos basado fundamentalmente en el texto de
Stewart, James. Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. México,
International Thomson Editores, 1998.
Sin embargo, te recomendamos que en la medida de lo posible, también consultes
los siguientes textos de apoyo:
Leithold, Louis. El Cálculo. 7a ed., México, Oxford University Press, 1998.
Larson, Roland y Hostetler, Robert. Cálculo.Colombia, Mc Graw-Hill
Latinoamericana, 1995.
5
6. Granville, William. Cálculo Diferencial e Integral. México, Limusa, 1997.
Fuenlabrada, Samuel. Matemáticas IV. Cálculo Diferencial. México, Mc Graw-Hill, 1995.
Caballero, Arquímedes y otros. Iniciación al Cálculo Diferencial e Integral. México, Esfinge, 1999.
Ubicación de la asignatura
La asignatura de Cálculo Diferencial se imparte en el quinto bloque, pertenece al campo de conocimiento
de las Matemáticas, y forma parte del área propedéutica que complementará la formación básica del
perfil del bachiller en la modalidad a distancia. El Cálculo Diferencial como disciplina, se relaciona
con otras materias, veamos: retoma, se apoya y profundiza los conocimientos de Matemáticas I, II, III
y especialmente de Matemáticas IV; a la Física le proporciona herramientas poderosas de análisis de
los procesos que le corresponde estudiar, y es la de base para la asignatura de Cálculo Integral que se
cursará en el sexto bloque.
Objetivo de la asignatura
Aplicar los conceptos de límite y derivada, a través del análisis del comportamiento gráfico de las funciones, para
la interpretación de diversos fenómenos de la vida cotidiana.
6
7. ¿QUÉ VOY A APRENDER?
UNIDAD I
LÍMITE Y CONTINUIDAD
Objetivo de la Unidad:
Aplicar los conceptos de límite y continuidad, a través del
análisis del comportamiento gráfico de una función, para la
interpretación de fenómenos en las distintas áreas del
conocimiento.
En muchas situaciones de la vida cotidiana manejamos de manera intuitiva el concepto de
límite. Por ejemplo, cuando somos espectadores del esfuerzo inusitado de un atleta, decimos
que sus fuerzas llegaron al “límite”, también en el caso de un material que se fractura después
de haber efectuado un trabajo excesivo, expresamos que llegó al “límite” de su resistencia y
por ello se rompió. Se dice con frecuencia que “todo tiene un límite”, etcétera. La noción de
límite nos lleva a pensar en un término, en un punto en el cual se llega al tope.
En el cálculo, la noción de límite es parte fundamental de su desarrollo y comprensión, por
ejemplo, cuando se aplica al estudio del comportamiento de una función, es posible determinar,
entre otros aspectos, si está definida o no en un punto en particular. Tratándose de la gráfica
que representa la velocidad de un móvil, podemos determinar con el concepto de límite la
velocidad instantánea o si lo que se estudia es la curva de una función algebraica o polinomial,
se puede precisar el valor de la pendiente de la recta tangente a dicha curva en un punto dado,
para determinar, por ejemplo, los mínimos o máximos, los puntos de inflexión, etcétera.
El estudio de esta Unidad te ayudará a sentar las bases para abordar el cálculo diferencial y a
afinar tu comprensión de muchos fenómenos por medio del análisis de su expresión gráfica.
Para poder lograr el objetivo planteado, es muy conveniente que puedas interpretar la gráfica
de una función y comprender y aplicar los conceptos de pendiente, de recta tangente y de recta
secante.
Te invitamos a que realices todas las actividades propuestas y que los aspectos que te parezcan
más difíciles los comentes con tu asesor. De manera especial te recomendamos que después de
realizar los ejercicios que marca el libro recomendado, también trabajes en los que contiene la
sección Qué he aprendido de tal manera que compruebes tu dominio de los temas. En caso
contrario, vuelve sobre aquellos temas en particular que no te queden totalmente claros y
revisa detenidamente los ejemplos resueltos.
7
8. ¿CÓMO APRENDO?
1.1. LÍMITE DE FUNCIONES ALGEBRAICAS
Objetivo:
Comprender el concepto de límite, a partir del análisis del comportamiento del algunas funciones
algebraicas, para determinar su existencia.
Para lograr el objetivo, realiza las siguientes actividades.
1. Lee las páginas 39-45 del libro de Stewart, James. Cálculo de una variable. Trascendentes
tempranas. México, International Thomson Editores, 1998. Con base en la lectura, efectúa
lo siguiente:
• Elabora una síntesis que considere:
a) Cuáles son los orígenes del cálculo infinitesimal y en qué consistía el método de agotamiento
empleado por los griegos para el cálculo de áreas.
b) De qué manera se relaciona con la noción del límite el problema de la tangente y de la
velocidad, la suma de una serie y el límite de una sucesión.
• Con tus propias palabras trata de explicar cómo surge la noción de límite al considerar los
problemas mencionados en el punto anterior.
• Escribe la noción de cálculo infinitesimal y describe algunas de las aplicaciones del cálculo
en el estudio de diversos fenómenos.
2. Lee de la página 50 a la 56 del libro citado y con base en la lectura efectúa lo siguiente:
• Escribe en tu cuaderno la definición de límite y trata de explicar con tus palabras qué
significa la expresión “tiende a”. También anota en tu cuaderno las notaciones alternativas
de límite.
Observa con atención la manera en que se estima el valor de los límites y trata de describir de
forma esquemática el proceso que se sigue. Como ejemplo observa el siguiente desarrollo:
x -1
Estima el valor de lim
x → 1 x2 - 1
a) Observa que si sustituimos directamente en la expresión el valor x =1 se obtiene una
0
indeterminación ( ). Sin embargo, podemos acercarnos a 1 con valores menores a 1 (x <1)
0
o con valores mayores a 1 (x > 1).
b) Al tabular con valores menores a 1 obtenemos:
x <1 f (x)
0.5 0.666667
0.9 0.526316
0.99 0.502513
0.999 0.500250
0.9999 0.500025
8
9. c) Tabulando con valores mayores a 1 se obtiene:
x >1 f (x)
1.5 0.400000
1.1 0.476190
1.01 0.497512
1.001 0.499750
1.0001 0.499775
d) Partiendo de los valores obtenidos en las tablas, podemos concluir lo siguiente:
x −1
lim = 0.5
x → 1 x2 − 1
• Ahora intenta hacer algo similar con los ejercicios 9-12, ubicados en la página 60 del libro
citado.
3. Explica el concepto de límites laterales, precisando la diferencia entre “tender desde la
izquierda” y “tender desde la derecha”, así como su aplicación en el cálculo de límites.
• Para ilustrar la forma de estimar los límites laterales observa el siguiente ejemplo:
Dada la función:
2x - 1 si x ≤ 2
f(x) = 2
x si x > 2
estimar xlim 2 f(x) =
→
Solución: Podemos observar que la función tiene un comportamiento para valores menores o
iguales a 2 (=2) y otro para valores mayores a 2 (>2). En estos casos, los límites laterales nos
ayudan a determinar la existencia o inexistencia del límite de una función. Para ello recordemos
las condiciones:
lim f(x) = L lim f(x) = L
a) Si − y entonces
x→a x → a+
lim f(x) = L
es decir, el límite de la función existe.
x→a
lim f(x) ≠ lim f(x) lim f(x)
b) Pero si − + entonces se tiene que no existe
x→a x→a x→a
Aplicando las condiciones al problema tenemos que el límite por la izquierda (para valores
menores o iguales a 2) es:
lim f(x) lim (2x - 1) = 2 (2) - 1 = 4 - 1 = 3
=
x→2 x→2
9
10. Y el límite por la derecha (para valores mayores a 2):
lim f(x) = (2)2 = 4
x→2
lim f(x) ≠ lim f(x) lim f(x)
Como − + , entonces no existe
x→2 x→2 x→2
4. Resuelve en tu cuaderno los ejercicios 1-4 de la sección 1.2, p. 59 del libro de Stewart,
James. Op. cit.
5. Utilizando la calculadora, tabula y grafica las soluciones de los ejercicios 9-14, ubicados en
la página 60 del libro citado.
6. Elabora un glosario que incluya los siguientes conceptos:
• Cálculo infinitesimal
• Límite
• Límite lateral
• Recta tangente a una curva
• Recta secante a una curva
10
11. 1.2. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
Objetivo:
Aplicar las propiedades de los límites, a partir del análisis del comportamiento de las gráficas de las
funciones polinomiales y racionales, para determinar su límite.
En el tema anterior revisamos la noción de límite, ahora nos daremos a la tarea de estudiar sus
propiedades. En este tema aplicarás el álgebra para determinar límites de funciones e
identificarás los casos en que no existe un límite. Asimismo, estudiarás los límites infinitos y
los límites al infinito aplicándolos en la resolución de algunos ejercicios.
Para lograr lo anterior realiza las siguientes actividades.
1. Lee con atención de la página 61 a la 68 del libro de Stewart, James: Op. cit. A partir de la
lectura realiza lo siguiente:
• Completa el siguiente cuadro:
Leyes de los límites Expresión Enunciado
matemática verbal
Ley de la suma
Ley de la resta
Ley del múltiplo constante
Ley del producto
Ley del cociente
Ley de potencias
Ley de raíces
• Explica cuáles son los criterios para determinar sí una función está o no definida en x=a
11
12. 2. Lee las páginas 56-58 del libro citado y partiendo de la información que proporciona, contesta
las siguientes preguntas:
• ¿A qué se le llama límite infinito?
• ¿El símbolo ∞ representa un número?
• En el lenguaje utilizado para límites, ¿qué significado tiene afirmar que una función “tiende
a infinito”?
• ¿A qué se le llama “asíntota vertical”? ¿Cuál es su expresión matemática?
3. Lee del texto antes citado las páginas 90-95 y con base en la lectura contesta:
•¿Cuál es el concepto de límite al infinito
•¿ Cuáles son sus expresiones alternativas?
•¿ Qué se entiende por “asíntota horizontal”?
• ¿ Cuáles son las condiciones que deben cumplirse para considerar a una recta “asíntota
horizontal”?
• Explica, con tus palabras, cuáles serían las similitudes y las diferencias entre “límites
infinitos” y “límites al infinito”.
4. Revisa los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1 (límites infinitos)
x-3
Calcula el límite lim
x → 2 (x - 2 )2
Solución: Como el numerador x-3 tiende a -1 ≠ 0 cuando x→2, y el denominador (x-2)2
tiende a 0 cuando x→2, el límite es infinito. Es decir:
x-3
lim =∞
x → 2 (x - 2 )2
Si quisiéramos ser más precisos acerca de si este límite es +∞ o -∞, observamos que cuando x
se encuentra cerca de 2, el numerador se mantendrá (cerca de -1) con signo negativo, mientras
que el denominador estará cerca de 0 siempre con signo positivo, ya que (x-2)2 ≥ 0. Así podemos
decir que:
x-3
lim =-∞
x → 2 (x - 2 )2
• Ahora resuelve los ejercicios 15-20 ubicados en la p. 60 del libro de Stewart, James. Op. cit.
Ejemplo 2 (límites al infinito)
2x 3 + 3x 2 + 2x - 1
Calcula el límite lim
x→∞ x 2 + 4x + 8
12
13. Solución: Para poder obtener el límite necesitamos dividir tanto el numerador como el
denominador por la potencia más grande de la x que aparezca en la función (en este caso es 3).
Por tanto:
2x3 + 3x 2 + 2x − 1 3 2 1
3
2++ -
2x 3 + 3x 2 + 2x - 1 lim x x x2 x 3
lim lim
=x→ ∞ 2
x + 4x + 8 =x → ∞ 1 + 4 + 8
x→∞ x 2 + 4x + 8 x x2 x3
x3
Obtenemos el límite al infinito de la función del numerador quedando así:
3 2 1
lim 2 + +
− = 2 + 0 - 0 - 0 = 2
x → ∞ x x2 x3
mientras que para el denominador se tiene:
1 4 8
lim +
- = 0 + 0 + 0 = 0
x → ∞ x x2 x3
El límite que se nos pide calcular es el límite de un cociente de funciones, en el cual el numerador
tiende a 2 y el denominador tiende a cero. Este límite es entonces infinito. Es decir:
2x 3 + 3x 2 + 2x − 1
lim =∞
x→∞ x 2 + 4x + 8
• Intenta resolver los ejercicios 9-30, página 100 del libro citado.
13
14. 1.3. CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Objetivo:
Aplicar el concepto de continuidad, a partir del análisis del comportamiento de las gráficas de funciones
algebraicas, para identificar las continuas de las discontinuas.
La noción de límite nos ha ayudado a determinar el comportamiento de una función a lo largo
de un intervalo. El concepto de continuidad brinda nuevos elementos para profundizar en el
análisis de las funciones, especialmente porque la representación gráfica demuestra de forma
evidente lo que se determina matemáticamente.
Para lograr el objetivo, realiza lo siguiente:
1. Lee atentamente las páginas 81-87 del libro de Stewart James. Op. cit. Partiendo de su
lectura realiza las siguientes actividades:
• Escribe la expresión matemática de las tres condiciones de continuidad de una función.
• Expresa de forma escrita:
a) ¿Qué es una función continua?
b) ¿Qué es una función discontinua?
c) ¿En qué se distinguen?
d) ¿Cómo ayudan los límites laterales a distinguir entre una función continua y una
discontinua?
e) ¿Qué tipo de funciones son siempre continuas?
f) ¿Cuáles funciones son continuas sólo en su dominio y por qué razón?
g) Partiendo de la expresión gráfica de una función, ¿cómo se sabe si una función es continua
o discontinua?
h) Anota la expresión matemática del teorema del valor intermedio y explica cuál es su
interpretación gráfica y cómo se utiliza para determinar la continuidad de una función.
2. Revisa los siguientes ejemplos desarrollados y después intenta resolver los ejercicios
propuestos:
x +2
a) Determina los puntos de discontinuidad de la función f(x) =
x -1
Solución. Como se trata de una función racional, la función no existe en los puntos donde el
denominador es cero (en esos puntos será discontinua la función). Es decir, en los cuales x - 1
= 0, de donde x = 1. Éste es el único punto en donde la función dada es discontinua.
b) Considera la función f: ℜ → ℜ dada por:
x2 - 4
si x ≠ 2
f (x ) = x - 2
A
si x = 2
14
15. ¿Es posible escoger el número A de tal manera que la función sea continua en x = 2?
Solución: Para que la función sea continua en x = 2 se debe de cumplir que lim f(x) = f(2).
x →2
Como f(2) = A, el número A debe ser el límite lim f(x): si este límite existe, dando a A ese valor
x →2
se logra la continuidad deseada. El límite se calcula fácilmente como:
x2 - 4 (x - 2)(x + 2) = lim (x + 2) = 4
lim f (x ) = lim = lim
x →2 x→ 2 x - 2 x →2 x-2 x →2
Así, si A = 4 la función dada es continua en X = 1?
1
si x ≠ 1
c) Considera la función f: ℜ dada por f (x ) = x - 1
A
si x = 1
¿Es posible escoger el número A de tal manera que la función sea continua en x = 1?
Solución: Como en el ejercicio anterior, para que la función sea continua en x = 1 se debe a que
A = lim f (x ) . Pero el límite A = lim 1 es infinito (no existe como número real). Por lo tanto,
x→1 x →1 x − 1
no es posible asignar un valor a A para que la función sea continua en x = 1.
x 2 + 3 si x ≤ 0
d) Considera la función f (x ) = A - x si x > 0
¿Cuánto debe valer A para que esta función sea continua en x = 0?
Solución: Para que esta función sea continua en x = 0 debe ocurrir que:
lim f (x ) = f (0 ) = (0 ) + 3 = 3
2
x →0
Por lo tanto, los límites unilaterales x→0 f (x ) y x→0 f (x ) deben existir y ser iguales a 3.
lim lim
− +
Ciertamente x→0 f (x ) =3.
lim −
Por otra parte x→0 f (x ) = A - 0 = A de donde obtenemos entonces que A = 3.
lim +
15
16. ¿QUÉ HE APRENDIDO?
Escribe en tu cuaderno las respuestas de las siguientes preguntas:
1. ¿En qué consistía el método de agotamiento” empleado por los griegos para el cálculo de
áreas?
2. ¿De qué manera relacionarías el método de “agotamiento” con la noción de límite?
3. ¿Cómo se relaciona el concepto de “tangente a una curva” con la noción de límite?
4. Resuelve los siguientes ejercicios:
x - 2 si x < 3 lim , lim
A) Sea f(x) = 3x - 1 si x > 3 Calcula los límites laterales y el límite
x → 3− x → 3+
bilateral x→3 f (x ) (si existe)
lim
x4 - 1
si x ≠ 1 lim lim
B) Sea f(x) = x 2 - 1 Calcula los límites laterales − x → 1+ y el límite
3 si x = 1 x →1
bilateral xlim 1 f (x) (si existe)
→
Con el propósito de que evalúes tu dominio de los contenidos te proponemos las siguientes
actividades.
1. ¿Cuál es el límite de las sucesiones siguientes?
Solución:
a) 5, 5.9, 5.99, 5.999… a) 6
b) 4, 4.9, 4.99, 4.999… b)5
c) 3, 3.39, 3.399, 3.3999… c) 3.4
d) 2, 2.19, 2.199, 2.1999… d) 2.2
e) 7, 7.009, 7.099, 7.999… e) 8
2. Determina por sustitución directa los siguientes límites:
Solución:
a) lim f(x) = x 3 − x a) 6
x→2
(x 2 - 6)
b) lim f(x) = b) 2
x →0 (x - 3)
c) lim f(x) = 3x2 − 3 c) 0
x →1
16
17. 2+x 2
d) lim f(x) = d)
x→ 0 3+ x 3
e) lim f(x) = 2x2 + 3hx + h2 e) h2
x →0
3. Realizando las operaciones necesarias para evitar las indeterminaciones, determina los
siguientes límites:
Solución:
x-3 1
a) lim f(x) = a)
x →3 x + x - 12
2
7
x-h 1
b) lim f(x) = b)
x→ h x2 - h2 2h
(x - h) 2 - x 2
c) lim f(x) = c) 2x
x→ o h
5x 2 + 3x + 1 5
d) lim f(x) = d)
x →∞ 2x2 + 6x + 4 2
5 - x + 25 1
e) lim f(x) = e) −
x→ o x 10
3 3
4. Determinar: a) El límite lim x - 2 es igual a; b) El límite lim x - 2 es igual a;
x→2 x→2
lim
c) El límite x → ∞ es igual a
Recordando las condiciones para determinar la continuidad de una función, intenta resolver
los ejercicios que se proponen a continuación:
x4 - 1
1. Determina los puntos en donde la función f (x ) = es discontinua.
x4 + x2 + 4
x 3 + x2 - 3x + 9
2. Determina los puntos en donde la función f (x ) = es discontinua.
x4 - 1
x3 - 1
si x ≠ 1
3. Considera la función f (x ) = x - 1
4
si x = 1
¿Esta función es continua en x = 0? Justifica tu respuesta.
4. ¿Es la función del ejercicio anterior continua en x = 1? Justifica tu respuesta.
x 4 − 1 si x ≠ 1
5. Considera la función f (x ) = 2
x − 1 si x = 1
17
18. ¿Cuánto debe valer el número A para que esta función sea continua en x = 1?
x2 + x si x ≤ 2
6. Considera la función f (x ) = A + x si x > 2
Determina el valor de A para que la función sea continua en X = 2.
7. Usa argumentos geométricos para determinar los extremos absolutos de la función
f(x) = -2x+1 en el intervalo compacto [1,5].
18
19. QUIERO SABER MÁS
LOS LÍMITES Y LA APORTACIÓN DE CAUCHY
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), nació en París y se educó en la École Polytechnique.
Debido a su débil salud, se le recomendó que se dedicara a las matemáticas. Se graduó
como ingeniero, practicando como ingeniero militar antes de ser profesor de matemáticas
en París en la École Polytechnique, la Sorbona y el College du France. Sus contribuciones
matemáticas fueron brillantes y asombrosas por su cantidad. Se cuenta que su productividad
fue tan copiosa que la Academia de París decidió limitar el número de trabajos de su
orden del día con el objeto de hacer frente a la producción de Cauchy.
Aunque el Cálculo fue descubierto, por Newton y Leibnitz, a finales del siglo XVII, sus
fundamentos permanecieron en estado de confusión y desorden hasta que Cauchy y sus
contemporáneos (Gauss, Abel y Bolzano), impusieron normas de rigor. Con respecto a la
idea de límite, Cauchy trabajó basándose en las ideas de Newton, transmitidas a su vez
por Jean D’Alembert, otro matemático francés, que con afán de precisión definía al límite
así: “Cuando los valores sucesivos atribuidos a una variable tienden indefinidamente a un
valor fijo, de modo que al final difieren de él todo lo poco que uno desea, a esto último
se le llama límite de los demás.” Sin embargo, cuando Cauchy empleó esta definición en
ejemplos y demostraciones, con frecuencia echó mano de desigualdades delta-épsilon,
… Una demostración característica de Cauchy comienza: “Designemos dos números muy
pequeños como d y e…” Empleó la e por la correspondencia entre la épsilon y la palabra
francesa erreur. Años más tarde, Karl Weiertrass (1815-1897), matemático alemán, enunció
la definición de límite exactamente igual a como hoy se conoce.
Todos los libros de texto modernos siguen, en esencia, la exposición de Cauchy para el Cálculo.
19
20. ¿QUÉ VOY A APRENDER?
UNIDAD II
LA DERIVADA Y SUS INTERPRETACIONES
Objetivo de la Unidad:
Aplicar el concepto de derivada, a través del análisis de la
razón de cambio y gráfica de la función, para su interpretación
en la resolución de problemas sencillos.
En una gran cantidad de procesos donde se relacionan dos o más variables, frecuentemente el
cambio en una de ellas induce un cambio en el valor de las otras. Para poder comprender y
manejar tales procesos, la derivada se ha convertido en herramienta fundamental, puesto que
permite tanto determinar como predecir el comportamiento de las diversas variables
involucradas en un fenómeno.
Al estudiar la presente unidad podrás identificar el concepto de derivada y aplicarlo al análisis
de la razón de cambio de una variable con respecto a otra. Asimismo, relacionarás a la derivada
con su expresión geométrica, entendiéndola como la pendiente de la recta tangente a una
curva en un punto específico.
Por otro lado, la noción de derivada te permitirá analizar la velocidad media y la razón de
cambio instantánea para describir con precisión el desplazamiento de un móvil.
Al terminar el estudio de esta unidad resolverás problemas sencillos relacionados con la derivada
y algunas de sus aplicaciones.
20
21. ¿CÓMO APRENDO?
2.1. DERIVADA
Objetivo:
Deducir el concepto de derivada de funciones polinomiales, a través del análisis de la razón de cambio
para su aplicación en la resolución de problemas sencillos.
Para lograr lo anterior, realiza las siguientes actividades.
1. Lee las páginas 102-108 del libro de Stewart, James. Op. cit. Con base en la lectura efectúa lo
siguiente:
• Describe con tus propias palabras de qué manera se relaciona el concepto de límite con la
determinación de la pendiente de la recta tangente a una curva. ¿En qué aspectos son similares
sus expresiones matemáticas?
• Al tratar la velocidad, ¿cómo se aplica el concepto de límite? ¿De qué manera puede
distinguirse claramente entre velocidad media y velocidad instantánea, ayudados por la
noción de límite?
• Anota en tu cuaderno algunos ejemplos de aplicaciones del concepto de la razón de cambio
para diferentes áreas del conocimiento.
2. Lee las páginas 112-121 del libro citado y partiendo de la lectura realiza lo siguiente:
• Escribe la expresión matemática de la definición de la derivada y sus notaciones alternativas.
• Realiza un cuadro sinóptico en el que concentres las interpretaciones de la derivada que se
mencionan en el texto leído.
• Explica cuáles son las condiciones para determinar sí una función es diferenciable o no.
Cuando se traza la gráfica de una función, ¿cómo puede saberse si una función es diferenciable?
• Resuelve los ejercicios 1 a 12 de la página 121 del libro citado, trazando las gráficas que se
solicitan.
• Partiendo de la definición de derivada resuelve los ejercicios 19 a 28 ubicados en la página
121 del libro citado.
• Solicitando la ayuda de tu asesor, si fuese necesaria, intenta resolver lo que se pide en el
ejercicio 29 de la página 121.
21
22. ¿QUÉ HE APRENDIDO?
Anota en tu cuaderno las respuestas de las siguientes preguntas y resuelve los problemas que
se te plantean. La finalidad es que verifiques cuánto has aprendido. Recuerda que si al intentar
resolver los problemas te percatas de que no dominas un contenido, vuelve a estudiarlo y
consulta a tu asesor.
1. ¿Qué se entiende por razón de cambio?
2. ¿Por qué se afirma que la razón de cambio no es una división?
3. ¿De qué forma se relacionan el límite de una función y la razón de cambio?
4. Anota por lo menos tres ejemplos de fenómenos en los que creas que se puede aplicar lo que
aprendiste y explica cómo se aplicaría.
5. Explica, con tus palabras, qué es una derivada y de qué forma se relaciona con el límite.
6. Describe cuáles son las diferencias al graficar f(x) contra x y al representar f ’(x) contra x.
¿Cómo se comporta la primera gráfica cuando la pendiente en un punto específico es igual a
cero? Al trazar la segunda gráfica ¿Dónde se ubican los valores cero?
22
23. QUIERO SABER MÁS
LA DIFERENCIABILIDAD IMPLICA CONTINUIDAD, PERO: ¿LA CONTINUIDAD
IMPLICA DIFERENCIABILIDAD?
Existe el siguiente teorema matemático:
Si existe f ’(c) entonces f es continua en c
¿Pero se puede afirmar el recíproco? Es decir, ¿Si una función es continua es entonces, por
esa razón, derivable en todas sus partes? La respuesta aparente es sí, sin embargo esto
es espectacularmente falso. Fue una gran sorpresa para los matemáticos cuando
descubrieron funciones que eran continuas en todas sus partes, pero que no eran derivables
en ninguna parte. Como ilustración observa las siguientes figuras en las que se muestran
los primeros tres pasos en la construcción de una función de este tipo. Si continuamos el
proceso al infinito llegamos, en el límite, a tener una función continua no derivable. Si te
interesa saber más sobre esta curiosidad matemática pregunta a tu Asesor para que te
oriente o te dé más información, o en su defecto puedes consultar un libro que tenga como
título Análisis Real.
y
x
y
x
y
x
23
24. ¿QUÉ VOY A APRENDER?
UNIDAD III
DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBRAICAS
Objetivo de la Unidad:
Aplicar el concepto de la derivada, a través del empleo de las
reglas de derivación para funciones polinomiales y racionales,
para resolución de problemas teórico-prácticos.
En la unidad anterior aprendimos el concepto de derivada, su equivalencia geométrica y su
expresión matemática. Tuvimos oportunidad de revisar el procedimiento para la derivación
calculando los incrementos correspondientes tanto de la variable independiente como de la
dependiente. Este proceso resulta fácil en algunos casos, sin embargo en otros es bastante
complejo. Por ello, en esta unidad tendrás la oportunidad de aprender las reglas de derivación
que te facilitarán el proceso. De manera especial se hará énfasis en las reglas correspondientes
a la adición, sustracción, producto y cociente de funciones para poder aplicarlas posteriormente
a la derivación de expresiones de funciones polinomiales y racionales.
Por otro lado, te sugerimos prestar especial atención a la llamada “regla de la cadena” y a sus
aplicaciones al derivar potencias y raíces.
Asimismo, te invitamos a resolver tanto los ejercicios propuestos en el texto como los que se
plantean al final de la unidad, pues a través de su resolución estarás preparado para abordar la
siguiente unidad.
24
25. ¿CÓMO APRENDO?
3.1 DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBRAICAS
Objetivo:
Aplicar las reglas de derivación a partir del análisis de la función asociada para la resolución de
problemas.
Para lograr el objetivo, realiza las siguientes actividades.
1. Lee las páginas 124-131 del libro de Stewart, James. Op. cit. Con base en la lectura realiza lo
que se te indica:
• Anota en tu cuaderno cada una de las reglas para la derivación de funciones y revisa con
atención los ejemplos correspondientes procurando resolverlos tu mismo.
• Trata de expresar con tus palabras el significado de cada regla y el proceso que se sigue para
aplicarla.
• Copia en tu cuaderno la tabla de fórmulas de diferenciación poniendo especial cuidado en la
notación usada y tratando de expresarlas con alguna de las notaciones alternativas.
• Del libro citado recuelve los ejercicios 1 a 34, ubicados en la página 132.
• Ahora, intenta la resolución de los ejercicios 36-39, ubicados también en la página 132.
2. Lee las páginas 150-156 del libro citado. A partir de la lectura realiza lo siguiente:
• Anota en tu cuaderno el enunciado matemático y verbal de la regla de la cadena.
• Elabora un diagrama del proceso que se sigue para aplicarla.
• Explica con tus palabras de qué manera se utiliza la regla de la cadena para derivar potencias
y raíces de funciones.
• Después de revisar atentamente los ejemplos del texto, intenta resolverlos por tu cuenta.
Compara los resultados.
• A continuación, resuelve los ejercicios 1-20, de la página 156 del libro citado.
3. Lee las páginas 182-185 del mismo libro. Con base en la lectura efectúa lo siguiente:
• Anota en tu cuaderno la expresión matemática del método de Newton-Raphson y explica de
manera esquemática el método mencionado para el cálculo aproximado de raíces.
• Explica de qué manera establecerías el número a partir del cual comenzar las aproximaciones
y cuál sería el criterio para saber que se ha llegado a la raíz buscada.
• Empleando el método de Newton, con la aproximación inicial x1, determina la tercera
aproximación a la ecuación de la raíz dada. Expresa tu respuesta con cuatro decimales
a) x3+x+1=0, x1=-1
b) x3+x 2+2=0,x1=-2
c) x5-10=0, x 1= 1.5
d) x7-100=0,x1=2
25
26. ¿QUÉ HE APRENDIDO?
Verificar tus niveles de aprendizaje resulta esencial para tu avance académico, ya que así puedes
identificar tus logros y los contenidos que aún necesitas reforzar. De esta manera, serás cada
vez más eficaz y consciente de cuánto te falta para llegar a la meta. Para ayudarte en este
objetivo, te pedimos que resuelvas lo siguiente.
Empleando la regla de la cadena, deriva las siguientes funciones:
Función Solución
1. f(x) = 4(x - 3)3 f ’(x)= 12 (x-3)2
1
1
2. g(u) = (2u - 3) 2 g’ (u)= 1
(2u - 3) 2
1 1
3. y = y’ = - (x - 1) 2
x -1
5
4. w = 5x - 3 w’= 2 5x - 3
1 - 8x
5. F(x) = 3
(2x - 1)
2 2 F’(x)= 2
33 (2x - 1)
5
6. f(x) = (12x2 - 4x + 1)2 f ’(x)=576x3-288x2+80x-8
7r
1
7. g(r) = (7r - 12)2
2 g’ (r) = 2
1
(7r - 12) 2
2 16x - 10
8. y = y’ = (4x 2 - 5x + 1)2
4x - 5x + 1
2
9. v = 4x - 2 (4x - 2 ) v’= 6 4x - 2
- 10x 2 + 2x
10. G(x) = x 2
1 - 4x G’ (x) =
1 - 4x
26
27. QUIERO SABER MÁS
El problema de resolver ecuaciones del tipo ax2 + bx + c=0 (cuadráticas), es decir, encontrar
uno (o varios) valores concretos de x que sustituidos en la ecuación conviertan a ésta en una
identidad, es un problema que ya estaba puesto en la mentes de algunos babilonios de
1600 años a.C. Las soluciones que ellos tenían no son como las conocemos ahora (como nos
− b ± b2 − 4ac
enseñan en la secundaria ), pero los historiadores han encontrado tablas
2a
babilónicas de esa época cuyo contenido revela la presencia de soluciones de ecuaciones
cuadráticas.
Las ecuaciones de grado tres ax3 + bx2 + cx + d=0 tuvieron que esperar mucho más
tiempo para que alguien las pudiera resolver. Fue hasta el siglo XVI cuando los matemáticos
italianos Scipio de Ferro y Nicola Fontana, encontraron, independientemente uno del otro,
el método general para determinar las soluciones de esta ecuación. Este método fue
publicado por Girolamo Cardano en su libro Ars Magna (1545). La idea del método es
reducir la ecuación cúbica dada a una ecuación del tipo x3 +qx +r =0, la cual tiene por
solución a:
r r2 q 3 3 r r 2 q3
x= 3 − + + + − − +
2 4 27 2 4 27
(ésta fórmula es conocida como “fórmula de Cardano”). Soluciones como ésta (y las de la
cuadrática mencionadas anteriormente), son las llamadas soluciones en términos de radicales,
pues ellas se encuentran expresadas con raíces n-ésimas (en donde n es el grado de la
ecuación) de expresiones en las que intervienen los coeficientes de la ecuación. En Ars
Magna, Cardano también publica un método debido a Ludovico Ferrari para resolver una
ecuación de cuarto grado:
ax4 +bx3 +cx2 +dx +e =0
Era natural que muchos de los matemáticos de la época (recuerda que estamos hablando
del siglo XVI) atacaran el problema de determinar las soluciones de una ecuación de
quinto grado (llamada “quíntica”).
ax 5 +bx4 +cx3 +dx2 +ex + f =0
Por este problema pasaron trabajos de mentes brillantes como Euler y Lagrange. Este
último en 1770 sugirió que la solución de la quíntica no podía hallarse en términos de
radicales. A principios del siglo XIX el matemático noruego Niels Henrik Abel pensó que
había encontrado la solución del problema, pero poco tiempo después llegó la desilusión:
había errores en su método, que él mismo descubrió después de muchas noches de arduo
trabajo intelectual. Este mismo trabajo le dio la pauta para hacer una de las afirmaciones
más importantes de la época: efectivamente la quíntica no tenía soluciones en términos de
radicales. El resultado era ciertamente sorprendente (¿por qué las ecuaciones de grado 2,
3 y 4 sí se pueden resolver por radicales y la quíntica ya no?) y no fue entendido ni
aceptado por los matemáticos de ese tiempo. Abel murió en la miseria y en el abandono
a la edad de 27 años.
Una situación similar a la que pasó Abel, la vivió el joven matemático francés Evaristo
Galois (“El Elegido de los dioses”, dice el Premio Noble en física Leopold Infield, en su libro
que lleva ese título y que es un importante documento sobre la vida de este genio francés).
Galois pensaba tener la solución de la quíntica, pero él mismo descubrió errores de su
razonamiento. La vida y el trabajo matemático de Galois es uno de los capítulos más
27
28. increíbles en la historia de la matemática, y en estas líneas es imposible siquiera referir en
qué consistió su trabajo. Simplemente diremos que el problema de resolver ecuaciones en
términos de radicales, que empezó con los babilonios hace 36 siglos, terminó con el trabajo
de Galois a principios de XIX, pues dentro de su rica teoría que tuvo que crear para
obtener resultados, logró establecer que las ecuaciones de grado n
anxn + an-1xn+1 + … + a1x + a0 =0
No tienen soluciones en términos radicales para n³5. Por supuesto, nadie se enteró de la
muerte de Galois. Simplemente una madrugada los médicos de un hospital en París
supieron que un joven de 21 años, sin posibilidades económicas, se había batido en duelo,
y lo habían matado. Este joven era Evaristo Galois. Fue hasta medio siglo después que la
comunidad matemática empezó a entender el legado matemático tan importante de ese
muchacho, que a la fecha no se sabe en dónde está enterrado.
Texto tomado de Pita Ruíz, Claudio y Gutiérrez, Fernando. Op. cit., pp. 350 y 351.
28
29. ¿QUÉ VOY A APRENDER?
UNIDAD IV
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Objetivo de la Unidad:
Aplicar el concepto de la derivada, a través del cálculo de
derivadas sucesivas, para la resolución de problemas.
El estudio de la presente unidad te resultará por demás interesante porque, aplicando los
conceptos y habilidades generados mediante el estudio de las pasadas unidades, entenderás la
manera en que el cálculo diferencial se ha convertido en herramienta poderosa para analizar
diversos fenómenos de la vida cotidiana.
Esta unidad te permitirá identificar cómo se calcula la rapidez instantánea de un móvil; de qué
forma se determinan las ecuaciones de las rectas tangentes a una curva, y la normal
correspondiente. También aprenderás cómo se utiliza la derivada para el cálculo aproximado
de raíces y el uso de la primera derivada como criterio para determinar los máximos y mínimos
de una función.
Por otro lado, en la parte dedicada a las derivadas de orden superior, identificarás qué es la
segunda derivada y su significado físico. Lo anterior te servirá para comprender la manera en
la que la segunda derivada se utiliza como criterio para determinar la concavidad, los puntos
de inflexión, los máximos y mínimos de una función. Asimismo, si una función es creciente o
decreciente.
Una aplicación interesante de la derivada se encuentra en los problemas de optimización. Por
ejemplo, cuando una compañía que elabora bebidas desea reducir costos produciendo una lata
que contenga el máximo volumen y requiera el mínimo de material, la solución puede
encontrarse mediante el empleo del cálculo diferencial. Es por ello que tendrás la oportunidad
de revisar algunos problemas relacionados con la optimización y aplicar los conocimientos en
la resolución de algunos problemas sencillos.
Por último, en esta unidad, comprenderás qué son las derivadas sucesivas, los procedimientos
matemáticos para obtenerlas y algunas de sus aplicaciones.
29
30. ¿CÓMO APRENDO?
4.1. APLICACIONES DE LA DERIVADA
Objetivo:
Calcular la derivada a través del análisis de situaciones que permitan determinar la razón de cambio,
tangentes y normales a una curva para la resolución de problemas sencillos.
Para lograr lo anterior, realiza las siguientes actividades.
1. Lee las páginas 134-142 de libro de Stewart, James. Op. cit. Con base en la lectura efectúa lo
siguiente:
• Elabora un cuadro en el que muestres: a) en qué campos del conocimiento se aplica la
derivada; b) cómo se aplica en cada uno de ellos; c) cuál es la razón del cambio que se
implica en cada ejemplo.
2. Una de las aplicaciones de la derivada es la determinación de las rectas tangentes o normales
a un punto específico de la curva de una función, para ilustrar el procedimiento examina con
atención el siguiente texto:
Ecuación de la tangente a una curva plana
En geometría analítica demostramos que una recta que pasa por un punto C(x,y), y dada su
pendiente m se representa por la relación punto-pendiente:
y-y2m(x-x1)
Como la derivada de una función es la pendiente m de la curva que representa, si aplicamos
la relación punto-pendiente podemos obtener la ecuación de la recta tangente en un punto
dado.
Ejemplo:
Obtener la ecuación de la tangente a la curva y=2x3-x2+2x-12 en el punto de abscisa x=2.
Calculamos la derivada: y1=6x2-2x+2
Calculamos el valor de la pendiente m en el punto x=2:
f ' (2) = 6x 2 - 2x + 2
f' (2) = 6(2)2 - 2(2) + 2 = 24 - 4 + 2 = 22
m = 22
Para aplicar la relación punto-pendiente necesitamos el valor de la ordenada y , que
obtenemos en la función original cuando la variable independiente x = 2.
y = 2x3 - x2 + 2x - 12
f(2) = 2(2)3 − 22 + 2(2) − 12 = 16 - 4 + 4 - 12 = 4
y=4
30
31. Las coordenadas del punto de contacto (x1,y 1) son (2,4), sustituimos en la relación punto-
pendiente:
y - y1 = m (x - x1)
con m - 22; x1= 2; y1 = 4
y - 4 = 22(x -2)
y - 4 = 22x - 44
22x - y - 40 = 0 Ecuación de la recta tangente
Ecuación de la normal
La recta perpendicular a la tangente en su punto de contacto se llama normal a la curva en
dicho punto:
y La pendiente de la tangente es m. Se señaló en analítica
que la pendiente de una recta perpendicular a ella es:
1
−
m
de donde, mediante sustitución en la relación punto-
pendiente:
y - y1 = m(x-x1)
0 x
1
queda: y - y1 = -
(x-x1) que es la ecuación para obtener la normal
m
Sigamos con el ejemplo anterior:
Debemos obtener la ecuación de la tangente y la normal a la curva:
y = 2x3 - x2 + 2x - 12 en el punto de abscisa x = 2, ya derivamos y calculamos la pendiente
m = 22, y obtuvimos el valor de y = 4 cuando x = 2.
Ahora calculamos a continuación la ecuación de la normal si sustituimos en:
1
y - y1 = - (x-x1)
m
1 1
con - =- ; x1 = 2 ; y1 = 4
m 22
1
y-4= - (x - 2)
22
22 y - 88 = -x + 2
x+ 22y - 90 = 0 Ecuación de la normal.
Tomado de Fuenlabrada, Samuel. Matemáticas IV. Cálculo diferencial. México, Mc Graw-Hill, 1995, pp. 123 y 124.
31
32. 3. Otra aplicación de la derivada es poder determinar en una función la concavidad y los
puntos de inflexión. Para facilitar la comprensión del procedimiento revisa atentamente el
siguiente texto:
Dada una curva de ecuación y = f(x)
y
C
A
B
x
En general se presentan tres casos:
I. Si la pendiente de una recta tangente a la curva es positiva a la izquierda y negativa a
la derecha del punto, como en A, la curva pasa de creciente a decreciente; entonces la
curva tiene un valor máximo para ese punto. La curva es cóncava hacia abajo.
Luego, si x = a, podemos afirmar:
f(x) tiene un valor máximo para x = a, si en un entorno de a la derivada f’(x) es positiva
para valores de x menores que a y negativa para valores de x mayores que a.
II. Si la pendiente de una recta tangente a la curva es negativa a la izquierda y positiva a
la derecha del punto, como en B, la curva pasa de decreciente a creciente; entonces la
curva tiene un valor mínimo para ese punto. La curva es cóncava hacia arriba.
Luego, si x = a, podemos afirmar:
f(x) tiene un valor mínimo para x = a, si en un entorno de a la derivada f’(x) es negativa
para valores de x menores que a y positiva para valores de x mayores que a.
III. Si la pendiente de una recta tangente a la curva tiene el mismo signo a ambos lados del
punto, como en C, entonces la curva sólo cambia el sentido de la concavidad y por
tanto no presente ni máximo ni mínimo. Se trata de un punto de inflexión.
Luego, si x = a, podemos afirmar:
f(x) no tiene ni máximo ni mínimo para x = a, si f’(x) tiene el mismo signo para valores de x
mayores o menores que a. Se trata de un punto de inflexión el que determina un cambio en
la concavidad.
Tomado de Caballero, Arquímedes y otros. Iniciación al Cálculo Diferencial e Integral. México, Esfinge, 1999, pp. 113 y 114.
32
33. 4.2. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Objetivo:
Calcular la segunda derivada de una función a partir de la aplicación de los criterios existentes para la
resolución de problemas de optimización.
Para lograr el objetivo, realiza las siguientes actividades.
1. Lee las páginas 164-166 del libro de Stewart, James. Op. cit. Partiendo de la lectura explica:
a) Qué es la segunda derivada y las derivadas sucesivas de una función.
b) Cuál es su significado geométrico en comparación con la función original y la primera
derivada.
c) Algunas de las aplicaciones de la segunda derivada.
• Resuelve los ejercicios 1-12 de la página 67 del libro citado.
2. Lee las páginas 273-277 del libro citado y con base en la lectura realiza lo siguiente:
• Anota en tu cuaderno los conceptos de curva cóncava hacia arriba y curva cóncava hacia
abajo.
• Explica cómo ayuda la segunda derivada a determinar si una función es creciente o decreciente
y si su gráfica cóncava hacia arriba (CAR) o cóncava hacia abajo (CAB).
• Escribe qué se entiende por punto de inflexión de una curva.
• Explica de qué manera la segunda derivada ayuda a determinar los máximos y mínimos
locales de una función.
• Resuelve los ejercicios 3-12 y del 15-20, ubicados en la página 278, Op. cit.
3. Estudia, con mucha atención, los problemas de optimización que se encuentran en las páginas
296-299 del libro citado, e intenta resolver los problemas nones que se encuentran al final
de la sección. Compara tus resultados con los que se reportan en la página A79 al final del
texto.
33
34. ¿QUÉ HE APRENDIDO?
Escribe en tu cuaderno las respuestas de las siguientes preguntas:
1. ¿En cuáles campos de conocimiento y de qué manera se aplica la derivada? Anota, por lo
menos, 3 ejemplos.
2. ¿Cómo puede obtenerse la ecuación de la recta normal a partir de la ecuación de la recta
tangente?
3. Desde el punto de vista geométrico, ¿en qué consiste el método de Newton-Raphson para el
cálculo aproximado de raíces?
4. ¿Por qué se afirma que cuando se deriva una función y se obtiene una pendiente con valor
cero, nos encontramos en un máximo o en un mínimo?
5. Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios:
A) Deriva y = 2x 4 hasta la quinta derivada
y = 2x4 y’’’=
y’ = yIV =
y’’= yV =
1
B) Calcula hasta la tercera derivada de y = 3
x
C) Señala si la curva x4 - 4x 3 + 2x2 - 1 es cóncava hacia arriba o hacia abajo en los puntos
x = -2; x = 1.
Nota. Recuerda que para obtener el resultado, puedes seguir el siguiente proceso:
a) Calcula la primera y segunda derivada de la función.
b) Iguala el resultado de la segunda derivada a cero y obtén las raíces (puntos críticos).
c) Sustituye el valor de x que se proporciona y aplica el criterio de que si f ’’(x) > 0 la curva es
cóncava hacia arriba, y si f ’’(x) < 0 es cóncava hacia abajo.
A. Escribe los siguientes conceptos:
1. Segunda derivada de una función.
2. Significado geométrico de la segunda derivación.
3. Curva cóncava hacia arriba (CAR).
4. Curva cóncava hacia abajo (CAB).
5. Punto de inflexión de una curva.
6. Criterio de la segunda derivada para la determinación de máximos y mínimos.
34
35. B. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas:
Dadas las siguientes funciones encuentra:
a) Los intervalos de su dominio donde es cóncava y aquellos en donde es convexa.
b) Los puntos de inflexión.
1. y = 2x3 - 3x2 - 12x 6. y = x3 - 3x2 - 24x + 6
2. y = x4 - 6x2 7. y = x4 - 24x2
3. y = x4 - 4x3 +6x2 - 48x + 8 8. y = x4 - 8x3 + 18x2 + 16
4. y = x4 + 4x 3 - 18x2 - 32x + 20 9. 2. y = x4 - 8x3 + 18x2
27 64
5. y = x2 - 10. y = x2 +
x2 x
35
36. QUIERO SABER MÁS
¿PARA QUÉ SIRVE APRENDER CÁLCULO?
Con frecuencia la vida nos enfrenta al problema de encontrar el mejor modo de hacer
algo. Por ejemplo, un agricultor quiere escoger la mezcla de cultivos que sea la más
apropiada para obtener el mayor aprovechamiento. Un médico desea escoger y aplicar
la menor dosis de una droga que curará cierta enfermedad. Un fabricante deseará
minimizar el costo de distribución de sus productos para lograr, también maximizar sus
ganancias. Un biólogo, por ejemplo, buscará determinar el crecimiento máximo de una
colonia de bacterias en un cultivo. Un químico, buscará determinar la máxima concentración
de los productos de una reacción. Un economista podría buscar determinar el punto
donde se obtenga la relación óptima entre el nivel de producción y el margen de utilidad.
Algunas veces un problema de esta naturaleza puede formularse de tal manera que
involucre maximizar o minimizar una función sobre un conjunto específico.
Pongamos como otro ejemplo una tienda de autoservicio que para tener éxito debe
controlar su inventario. Si se tiene demasiado inventario suben excesivamente los costos
por intereses, la renta de bodega y el peligro de obsolescencia. Si se tiene poco inventario,
es necesario un mayor trabajo para resurtir y entonces aumentan los costos de envío y la
probabilidad de quedarse sin mercancía. Ante esto la pregunta es: ¿Cuál debe ser el
tamaño de lote almacenado que permita tener el menor costo de inventario? Este problema
que pudiera resultar bastante complicado, puede resolverse con el auxilio del Cálculo
reduciéndolo a un problema que involucra maximizar o minimizar una función, en este
caso, la función de costo por inventario.
36
37. ¿QUÉ VOY A APRENDER?
UNIDAD V
DERIVADA DE FUNCIONES TRASCENDENTES
Objetivo de la Unidad:
Aplicar la derivada de funciones trascendentes a través del
empleo de las reglas de derivación para la resolución de
problemas teórico-prácticos.
En las matemáticas y en sus aplicaciones cobran especial importancia las funciones
trascendentes. Entre ellas tenemos a las funciones trigonométricas circulares y sus inversas,
así como a las funciones exponenciales f(x)=ax y sus inversas correspondientes: las funciones
logarítmicas g(x)=logax.
En la Física, Química, Biología, Economía, Demografía, etc., las funciones exponenciales y
logarítmicas describen los crecimientos y decaimientos exponenciales de fenómenos tales como
el crecimiento poblacional, la rapidez de crecimiento de un tumor, la multiplicación de las
bacterias en un cultivo, las velocidades de reacción química de un determinado proceso, etcétera.
Es por ello que esta última unidad aborda su estudio.
Por otro lado, las derivadas de las funciones trigonométricas circulares y sus inversas parecieran
no tener aplicación en la vida real. Sin embargo, ocupan lugar importante en el diseño de
maquinarias de relojería, en el estudio del movimiento de proyectiles, para la producción de
herramientas y tornillos especiales, etcétera.
El estudio de la presente unidad te permitirá aprender las reglas de derivación de las funciones
trascendentes. En primer lugar, estudiarás las reglas de derivación para las funciones
trigonométricas circulares, con un apartado para el uso de la regla de la cadena para funciones
compuestas; comprenderás qué es la derivación implícita, así como su utilidad para derivar
expresiones complejas. Al final de este tema revisarás las derivadas de las funciones
trigonométricas inversas. (Si lo consideras necesario, para repasar las nociones fundamentales
de trigonometría, revisa el apéndice D del libro de Stewart, James. Cálculo de una variable.
Trascendentes tempranas. México, International Thomson Editores, 1998).
En la segunda parte de esta unidad identificarás el concepto de función exponencial y función
logarítmica, así como la manera de calcular sus límites. Comprenderás la forma de derivar
tanto los logaritmos de base “a” como los logaritmos naturales. Por último, estudiarás la
derivación de funciones exponenciales de base “e”.
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38. ¿CÓMO APRENDO?
5.1. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Objetivo:
Calcular la derivada de funciones trigonométricas a través del análisis del comportamiento de las funciones
circulares directas e inversas para la resolución de problemas.
Para lograr lo anterior, realiza las siguientes actividades.
1. Poniendo especial atención en las demostraciones, efectúa la lectura de las páginas 143-149
del libro de Stewart, James. Op. cit. A partir de la lectura elabora en tu cuaderno un cuadro
de las derivadas de las funciones trigonométricas.
• Ahora resuelve los ejercicios 1-31, página 149 del mismo.
2. Del libro citado, lee con atención la página 155 y con base en la lectura explica la forma en
que se aplica la regla de la cadena al derivar funciones trigonométricas.
• Intenta resolver los ejercicios 21-48, página 157 del mismo libro.
3. A continuación, realiza la lectura de las páginas 158-162 del libro de Stewart, James e
intenta resolver los ejercicios 1 al 16, ubicados en la misma página.
4. Efectúa la lectura de las páginas 228-233 del citado libro y completa el cuadro iniciado en
la actividad 1, con las derivadas de las funciones trigonométricas inversas. Además, resuelve
los ejercicios 1-18, que se encuentran en la página 233.
5.2. FUNCIÓN EXPONENCIAL DE “a” Y LOGARÍTMICA
Objetivo:
Calcular la derivada a través del análisis del comportamiento de funciones exponenciales y logarítmicas
para la resolución de problemas sencillos.
Para lograr el objetivo, realiza las siguientes actividades.
1. Lee las páginas 194-200 del libro de Stewart, James. Op. cit. Partiendo de la lectura, efectúa
lo siguiente:
• Elabora una síntesis que considere: qué es una función exponencial, cuántos y cuáles son los
tipos de funciones exponenciales, cuáles son las leyes de los exponentes y la forma de
determinar los límites de las funciones exponenciales.
• Explica cómo se deriva una función exponencial de base “e”.
2. Lee las páginas 215-220 del libro citado y con base en ello, elabora un cuadro acerca de las
fórmulas de derivación para las funciones logarítmicas. Anota también los pasos para la
diferenciación de tales funciones.
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39. ¿QUÉ HE APRENDIDO?
Para valorar tus niveles de aprendizaje, te proponemos que resuelvas los siguientes ejercicios.
En caso de tener dudas vuelve a revisar los temas y consulta a tu asesor
A. Deriva las siguientes funciones trigonométricas:
1. y = sen3x 6. f(x) = tan 2x
3
2. y = cos 7. f(x) = sec x2
x
x
3. y = sen (1-x)2 8. y = cot
3
4. y = 4 sen 2x 9. y = sec bx
2 x
5. y = 4 cos x 10. y = 3 sen2
2
B. Deriva las siguientes funciones trigonométricas inversas:
1. y = ang sen 2x 6. y = ang cos 5x
2 4
2. y = ang tan 7. y = ang cot
x 3x
1
3. y = ang sec x 8. y = ang csc
x
1+ x 1- x
4. y = ang tan 9. y = ang sen
1- x 1- x
ang sen x ang sec x
5. y = 10. y =
1+ x 2
x x2 - 1
Los siguientes ejercicios y preguntas tienen como finalidad que te des cuenta de tus avances. Si
al estar intentando su resolución tienes dudas, regresa a la lectura correspondiente y busca el
apoyo de tu asesor.
A. Contesta las siguientes preguntas:
1. ¿Cuáles son las características de una función exponencial?
2. ¿Cuáles son las “bases” más usadas en las funciones exponenciales?
3. ¿Cuál es el valor del número “e”?
4. ¿Qué es un logaritmo?
5. ¿Cuál es la relación entre un logaritmo y una función exponencial?
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40. 6. ¿Qué es un “logaritmo vulgar”?
7. ¿Qué es un “logaritmo natural”?
8. ¿Cuáles son las leyes para operar con logaritmos? (Elabora un cuadro.
B. Deriva las siguientes funciones y compara tu respuesta con la solución.
Función Solución:
6
1. y = ln (3x + b) 2 1.
3x + b
6x
2. y = ln (3x 2 + b) 2.
3x2 + b
3 log e
3. y = log 3. -
x x
2x
4. y = ln 3 - 2x
2 4. -
3 - 2x 2
5. y = e2x 5. 2e 2x
6. y = e x2 6. 2xex2
7. esen 3t 7. 3e sen 3t cos 3t
8. esen 2x 8. 2e sen 2x cos 2x
3 3e x
9. y = x 9. -
e e2x
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41. QUIERO SABER MÁS
Algunos ejemplos de funciones exponenciales o logarítmicas para los que puede ayudar
el:
Un biólogo experimenta con una colonia de bacterias y sabe que dicha colonia crece a
una razón proporcional a su magnitud, es decir, que crecerá cada vez más mientras
mayor sea el número de bacterias que integran a la colonia y viceversa. Con este
conocimiento y con ayuda del Cálculo podrá determinar el número de bacterias que
podría esperarse en cualquier tiempo.
Una sustancia radiactiva tiene una vida media de 810 años (cuando se habla de vida
media, lo que se quiere dar a entender es que la muestra se reduce a la mitad en el
tiempo indicado). Si hay 10 gramos al principio ¿cuánto quedará al cabo de 300 años?
De una tumba africana, un grupo de antropólogos extrajo pelo humano que contenía tan
solo 51% de carbono 14 del tejido viviente. ¿Cuándo fue sepultado el cuerpo?
Si el día de hoy, una persona decide abrir una cuenta con $375.00 ¿Cuánto tendrá al
final de 2 años si el interés es del 9.5% y se capitaliza cada mes?
Entre 1996 y 2000 la inflación fue de alrededor del 5% al año. Sobre esta base ¿cuánto
esperaría que costara en el año 2000 un auto que en 1996 costaba $20 000.00?
Para fomentar el valor del ahorro: Con el propósito de asegurar el futuro de su hijo
recién nacido, un matrimonio decide depositar mensualmente en el banco la cantidad de
$100.00, durante 18 años. Si el interés es del 12% anual y capitalizable mensualmente
al vencimiento ¿Qué cantidad le entregarán a su hijo cuando cumpla la mayoría de
edad?
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