El documento presenta una introducción a diferentes medidas de posición y dispersión estadísticas como la media aritmética, la mediana, la moda, la varianza, la desviación estándar y el rango intercuartílico. Explica cómo calcular cada medida y sus propiedades para datos agrupados y no agrupados, así como las ventajas e inconvenientes de cada medida.

1. Facultad de Química e Ingeniería Química UNMSM ESTADISTICA A - 02 [email_address] [email_address]

2. Tema Nº 02: MEDIDAS DE POSICION, DISPERSION Y DEFORMACION Facultad de Química e Ingeniería Química Ing. Jose Manuel García Pantigozo 2008 - II UNMSM ESTADISTICA DESCRIPTIVA

5. MEDIDAS DE POSICION

7. MEDIA

8. Datos Agrupados: f i : Frec. relativa Clase i = MC i : Marca Clase i X : Media Aritmética k : N° de clases n i : Frec. absoluta Clase i n : Tamaño Muestra a i : Amplitud de Clase i _  = k i i X i f 1 * X = Media Aritmética de una Muestra I x i a i n i X i+1 n i n

9. 1276.96 140465.10 110 10291.60 8 1286.45 (1285.05 - 1287.85 ] 16687.45 13 1283.65 (1282.25 - 1285.05 ] 26897.85 21 1280.85 (1279.45 - 1282.25 ] 15336.60 12 1278.05 (1276.65 - 1279.45 ] 29330.75 23 1275.25 (1273.65 - 1276.65 ] 20359.20 16 1272.45 (1271.05 - 1273.85 ] 11426.85 9 1269.65 (1268.25 - 1271.05 ] 10134.80 8 1266.85 (1265.45 - 1268.25 ] f i *MC f i MC INTERVALOS X =

10. Datos NO Agrupados:  = n i i X 1 X = n X : Media Aritmética X i : i-ésimo valor observado n : Tamaño Muestra Media Aritmética de una Muestra II

11.  = n i i X 1 X = n 56191.5 X = 44 1277.1 X = 1278,0 1273,0 1280,0 1277,5 1286,0 1280,0 1281,0 1275,0 1278,5 1279,5 1273,5 1275,0 1276,5 1271,5 1284,5 1276,0 1268,5 1272,5 1284,5 1286,0 1271,0 1265,5 1279,5 1285,0 1280,0 1273,0 1284,0 1280,5 1275,5 1278,0 1279,5 1275,0 1267,0 1272,0 1282,0 1276,0 1269,5 1266,0 1273,5 1285,5 1275,5 1283,5 1285,0 1273,0

12. Media de una Población

13. Media Ponderada I Es un caso especial de la media aritmética. Se presenta cuando hay varias observaciones del mismo valor que pueden ocurrir si los datos se han agrupado en una distribución de frecuencias.  = k i (w i *X i ) 1 X w =  w i

14. Media Ponderada II 1541  = k i i (w*X) 1 X w =  w X w = 23 67 X w = 67 1541 23 138 2 69 476 7 68 402 6 67 330 5 66 195 3 65 X i *w i w i x i

15. La media geométrica es otro estadígrafo de tendencia central, pero de poca utilización. El cálculo de la media geométrica se puede hacer en datos con frecuencia y datos sin frecuencias Datos sin Frecuencias Media geométrica Intervalos Cerrados Datos Con Frecuencias Inter. Cerrados / Abiertos Media Geométrica I

16. Para el cálculo de la media geométrica sin frecuencias se aplica la siguientes expresión: Media Geométrica II

17. Su media geométrica sería: Si los datos fueran los siguientes: Media Geométrica III

18. Media Geométrica IV Para datos en tablas Frecuencias Se aplica la siguiente expresión:

19. Media Geométrica V Para intervalos cerrados, se considera la marca de clase de cada intervalo por su frecuencia absoluta. La media Geométrica se calculará con el valor de la Marca de clase de los intervalos multiplicados con la frecuencias absoluta.

21. MEDIANA

23. Pares: Me = (49 +65)/2 = 57 CALCULO DE LA MEDIANA EN DATOS NO AGRUPADOS Impares: Me = 64 68 40 37 78 43 79 84 49 36 65 34 74 53 64 80 45 56 75 80

24. Datos Agrupados: L : Límite inferior Clase Mediana ( C Me ) N e-1 : Frec. Acumulada hasta antes ( C Me) n e : Frecuencia Absoluta ( C Me) a e : Amplitud ( C Me) n : Tamaño de la muestra e e-1 e n N n 2 a L M e ) ( - + = x e a e L n e Mediana II N e-1 = f i  i = e-1 i = 1

25. CALCULO DE LA MEDIANA EN DATOS AGRUPADOS 110 110 8 (1285.05 - 1287.85 ] 102 13 (1282.25 - 1285.05 ] 89 21 (1279.45 - 1282.25 ] 68 12 (1276.65 - 1279.45 ] 56 23 (1273.85 - 1276.65 ] 33 16 (1271.05 - 1273.85 ] 17 9 (1268.25 - 1271.05 ] 8 8 (1265.45 - 1268.25 ] F i f i INTERVALOS

26. Datos Agrupados: L : 1273.85 N e-1 : 33 n e : 23 a e : 2.8 n : 110 : 1276.33 e e-1 e n N n 2 a L M e ) ( - + = x e a e L n e M e N e-1 = f i  i = e-1 i = 1

27. M O D A

29. La moda, cuando los datos no se encuentran en tabla de distribución de frecuencias, se establece los valores que mas se repiten. Por ejemplo: La Moda es: 2 La Moda

30. La moda, cuando los datos no se encuentran en tabla de distribución de frecuencias, se establece los valores que mas se repiten. Por ejemplo: La Moda es: 2 y el 5, es decir la serie de nueceros sería Bimodal La Moda

31. La moda cuando los datos no se encuentran en tabla de distribución de frecuencias , se establece los valores que mas se repiten. Por ejemplo: La Moda en este caso no existiría. La Moda

32. La moda, cuando los datos se encuentran en tabla de distribución de frecuencias, será el valor que posee mayor frecuencia. Por ejemplo: La Moda es: 4 La Moda

34. Datos agrupados en intervalos de Clase Cerrados Limite inferior del Intervalo modal = 64, por que es de mayor Frecuencia C = 4 Intervalo de mayor frecuencia La Moda

35. Datos agrupados en intervalos de Clase Cerrados Intervalo de mayor frecuencia La Moda

36. Moda para datos agrupados en intervalos de Clase Cerrados / Abiertos Cuando se trabaja con intervalos cerrados abiertos debemos considerar ahora “El limite Real Inferior” y el tamaño del Intervalo Varía en un dígito. Los demás valores Participan de la misma forma La Moda

37. La Moda

39. 0,0000 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000 4 5 6 7 0 1 2 3 Q1 Q2 Q3 Q4 Moda Media Aritmética Mediana Rango Medidas de Tendencia

40. MEDIDAS DE DISPERSION

42. Dispersión: Amplitud Total Amplitud Total = Valor Mayor – Valor Menor

43. Dispersión: Amplitud Cuartílica Amplitud Total = Valor Mayor – Valor Menor Amplitud Total =Q3 – Q1 e e-1 e n N n 4 a L Q1 ) ( - + = e e-1 e n N 3n 2 a L Q3 ) ( - + =

44. Dispersión: Varianza Poblacional ό 2 : Variancia Poblacional µ : Media Poblacional X i : i-ésimo valor observado N : Tamaño de la población  X i - µ) 2 ό 2 = N

45. Dispersión: Desviación Estándar Poblacional ό : Desviación Estándar Poblacional µ : Media Poblacional X i : i-ésimo valor observado N : Tamaño de la población  X i - µ) 2 ό = N

46. Datos Agrupados: f i : Frec. relativa Clase i X i : Marca Clase i X : Media Aritmética n i : Frec. absoluta Clase i n : Tamaño Muestra k : N° de clases _  = k i i f 1 2 ) ( S 2 = _ Datos NO Agrupados: Dispersión: Varianza Muestral  = n i 1 2 ) ( S 2 = _ s 2 : Variancia Muestral X : Media Aritmética X i : i-ésimo valor observado n : Tamaño Muestra n - 1  X X i a e n e x i x i-1 x k _ x n i n k  X X i n - 1

47. Datos Agrupados: f i : Frec. relativa Clase i X i : Marca Clase i X : Media Aritmética n i : Frec. absoluta Clase i n : Tamaño Muestra k : N° de clases _  = k i i f 1 2 ) ( S = _ a e n e x i x i-1 x k _ x n i n k Datos NO Agrupados: Dispersión: Desviación Muestral  = n i  X X i 1 2 ) ( S = _ s. : Desviación Muestral X : Media Aritmética X i : i-ésimo valor observado n : Tamaño Muestra n - 1  X X i n - 1

48. Datos Agrupados: Datos Agrupados: Dispersión: Desviación Media Datos NO Agrupados: MD : Desviación Media X : Media Aritmética X i : i-ésimo valor observado n : Tamaño Muestra MD =  = n i  X X i 1 _ n f i : Frec. relativa Clase i X i : Marca Clase i X : Media Aritmética n i : Frec. absoluta Clase i n : Tamaño Muestra k : N° de clases | | : valor absoluto a e n e x i x i-1 x k _ x n i n k  = 1 i i f MD =  X X i k

50. Dispersión: Amplitud Centílica e e-1 e n N 10n 100 a L 10º Centil ) ( - + = e e-1 e n N 90n 100 a L ) ( - + = 90º Centil

51. MEDIDAS DE DISPERSION

52. Coeficiente de Variación C.V. = (100) s X

56. a 4 > 0 la Distribución de Frecuencias es leptocúrtica a 4 < 0 la Distribución de Frecuencias es platicúrtica a 4 = 0 la Distribución de Frecuencias es mesocúrtica Medidas de Apuntamiento (Curtosis o Kurtosis) Pearson propuso el concepto de curtosis calculandolo mediante el coeficiente de curtosis de cuarto orden a 4 : Índice de simetría de Fisher: Índice de simetría de Pearson: Índice de simetría de Fisher: Índice de simetría de Pearson: 3 n 4  n i=1 (x i - x) a 4 = S 4

57. k > 0 la Distribución de Frecuencias es leptocúrtica k < 0 la Distribución de Frecuencias es platicúrtica k = 0 la Distribución de Frecuencias es mesocúrtica Medidas de Apuntamiento (Curtosis o Kurtosis) 0,263 ( Q 3 - Q 1 ) K = Otra coeficiente para medir curtosis. En función de los percentiles, es el coeficiente de curtosis percentílico k: 1 2 P 90 - P 10 Índice de simetría de Fisher: Índice de simetría de Pearson: Índice de simetría de Fisher: Índice de simetría de Pearson:

58. 3. Otros Estadígrafos: Relacionados con la forma de la distribución de los datos (Polígono de Frecuencias). Asimetría (A): Simetría o Asimetría Kurtosis (K): Apuntamiento A= 0 A< 0 A> 0 K= 0.263 K< 0.263 K> 0.263

59. 3. Otros Estadígrafos: Relacionados con la forma de la distribución de los datos (Polígono de Frecuencias). Asimetría (A): Simetría o Asimetría Kurtosis (K): Apuntamiento A= 0 A< 0 A> 0 K= 0.263 K< 0.263 K> 0.263

60. 3. Otros Estadígrafos: Relacionados con la forma de la distribución de los datos (Polígono de Frecuencias). Asimetría (A): Simetría o Asimetría Kurtosis (K): Apuntamiento A= 0 A< 0 A> 0 K= 0.263 K< 0.263 K> 0.263

61. 3. Otros Estadígrafos: Relacionados con la forma de la distribución de los datos (Polígono de Frecuencias). Asimetría (A): Simetría o Asimetría Kurtosis (K): Apuntamiento A= 0 A< 0 A> 0 K= 0.263 K< 0.263 K> 0.263

62. 3. Otros Estadígrafos: Relacionados con la forma de la distribución de los datos (Polígono de Frecuencias). Asimetría (A): Simetría o Asimetría Kurtosis (K): Apuntamiento A= 0 A< 0 A> 0 K= 0.263 K< 0.263 K> 0.263

63. 3. Otros Estadígrafos: Relacionados con la forma de la distribución de los datos (Polígono de Frecuencias). Asimetría (A): Simetría o Asimetría Kurtosis (K): Apuntamiento A= 0 A< 0 A> 0 K= 0.263 K< 0.263 K> 0.263

64. Leptocúrtica: Cuando la distribución de frecuencias es más apuntada que la normal. Medidas de Apuntamiento (Curtosis o Kurtosis) K= 0.263

65. Mesocúrtica: Cuando la distribución de frecuencias es tan apuntada como la normal. Medidas de Apuntamiento (Curtosis o Kurtosis) K> 0.263

66. Platicúrtica: Cuando la distribución de frecuencias es menos apuntada que la normal. Medidas de Apuntamiento (Curtosis o Kurtosis) K< 0.263

68. Medidas de Asimetría (Sesgo) a 1 > 0 la asimetría de la Distribución de Frecuencias es positiva a 1 < 0 la asimetría de la Distribución de Frecuencias es negativa a 1 = 0 la Distribución de Frecuencias es simétrica Índice de simetría de Fisher: Índice de simetría de Pearson: Índice de simetría de Fisher: Índice de simetría de Pearson: 3er Coeficiente de Asimetría: S 2 Σ (x i - X) 2 /n a 1 =

69. Medidas de Asimetría (Sesgo) Coeficiente de Asimetría para datos sin agrupar: 3    n 3 i=1 1 (x i -x) 1 a= N Índice de simetría de Fisher: Índice de simetría de Pearson: Índice de simetría de Fisher: Índice de simetría de Pearson:

70. Medidas de Asimetría (Sesgo) Coeficiente de Asimetría para datos agrupados Índice de simetría de Fisher: Índice de simetría de Pearson: Índice de simetría de Fisher: Índice de simetría de Pearson: 3 i f     n 3 i=1 1 (x i -x) 1 a= N

71. Asimetría Positiva A< 0 Índice de simetría de Fisher: Índice de simetría de Pearson: Índice de simetría de Fisher: Índice de simetría de Pearson:

72. Asimetría Positiva Mo < Me < X Índice de simetría de Fisher: Índice de simetría de Pearson: Índice de simetría de Fisher: Índice de simetría de Pearson:

73. Simetría A= 0 Índice de simetría de Fisher: Índice de simetría de Pearson: Índice de simetría de Fisher: Índice de simetría de Pearson:

74. Simetría Mo = Me = X Índice de simetría de Fisher: Índice de simetría de Pearson: Índice de simetría de Fisher: Índice de simetría de Pearson:

75. Índice de simetría de Fisher: Índice de simetría de Pearson: Índice de simetría de Fisher: Índice de simetría de Pearson: Asimetría Negativa Mo > Me > X

76. Ejercicio : Se desea determinar las características de resistencia a la ruptura bajo cargas de tensión del concreto ofrecido por cierto proveedor. Para ello se les solicita 125 probetas de 0,5 pies de diámetro por 1 pie de longuitud. La carga de tensión se mide en lb/pug 2 . El laboratorio de resitencia de materiales proporciona la tabla de frecuencias Clase Límites Marca Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia de Clase de Clase Absoluta Abs. Acuml. Relativa Relat. Acuml. 1 407,5- 412,5 410 4 4 0,032 0,032 2 412,5- 417,5 415 5 9 0,040 0,072 3 417,5- 422,5 420 8 17 0,064 0,136 4 422,5- 427,5 425 14 31 0,112 0,248 5 427,5- 432,5 430 13 44 0,104 0,352 6 432,5- 437,5 435 19 63 0,152 0,504 7 437,5- 442,5 440 20 83 0,160 0,664 8 442,5- 447,5 445 15 98 0,120 0,784 9 447,5- 452,5 450 12 110 0,096 0,880 10 452,5- 457,5 455 6 116 0,048 0,929 11 457,5- 462,5 460 7 123 0,056 0,984 12 462,5- 467,5 465 2 125 0,016 1,000 Determine: Todas las medidas de localización, escala, simetria y forma