Clase 3- Ingeniería y Arquitectura 2024.pptx

1. II UNIDAD: Cálculo de las
medidas de tendencia central y
de dispersión
Medidas de tendencia central y de dispersión
Docente: Verónica Elizabeth Gaitán Muñoz

2. Repaso de Gráficos

3. Rendimiento de la gasolina
Coop. de Taxis de Managua
I semestre 2016
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
17
7
5
3
2
3 3
38.35 39.45 40.55 41.65 42.75 43.85 44.95
Km / Galón
U
ni
da
de
s
de
ta
xi
•Histograma de frecuencias
Consiste en una serie de rectángulos continuos cuya base en el eje x
está determinada por los límites reales y la altura de cada barra, es la
frecuencia absoluta de la clase.

4. 18
16
14
12
10
8
6
Rendimiento de la gasolina
Coop. de Taxis de
Managua I semestre 2016
17
7
4
2
0
5
3
2
3 3
38.9 40 41.1 42.2
Km. / galón
43.3 44.4 45.5
U
ni
da
de
s
de
ta
xi
•Polígono de frecuencias
Es un diagrama formado por segmentos de recta que une
los puntos de las alturas (frecuencia de cada clase) Para
graficar se escriben en el eje X, las marcas de clase y en
el eje Y las frecuencias.
Polígono de frecuencia acumulada

5. 45
40
35
30
25
20
15
10
Rendimiento de la gasolina
Coop. de Taxis de
Managua I Semestre 2016
40
33
16
8
11
5
0 3
5
39.45 40.55 41.65 42.75 43.85 44.95 46.05
Km / galón
Es un diagrama donde se ubican los límites reales superiores en el eje
X y la frecuencia acumulada en el eje Y .La línea que se forma
solamente crece.
Polígono de Frecuencia Acumulada

6. Medidas de
Tendencia Central

7. LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL:
Las Medidas de Tendencia Central son aquellas que se utilizan para describir el
comportamiento de una serie de datos en conjunto, ya que estos por separado no dan un
valor o medida central alrededor del cual se concentre la mayoría. En este sentido existen
medidas estadísticas que se usan como promedio. Las basadas en las propiedades
matemáticas que se dividen en dos categorías: Promedios computables o
matemáticos, y las medidas de posición. Las primeras comprenden: La media aritmética,
la media geométrica, la media armónica y la media cuadrática, las últimas comprenden:
la mediana y la moda.
LA MODA O MODO:
La moda o modo esta representada por el o los valores de una distribución, que tienen la
mayor frecuencia. En otras palabras es el valor o los valores más recurrentes en una
distribución de datos en estudio. Si los datos no están agrupados la moda se consigue por
simple inspección ocular, y será el valor o los valores más recurrentes de la distribución.

8. LA MODA:
Para datos no agrupados
La moda de una serie de datos es: el número que ocurre con mayor
frecuencia, es el que más se repite.
Basta observar el número que más se repite.
Para datos agrupados, la moda esta en la mayor concentración de
datos (mayor frecuencia), la clase con mayor frecuencia es la clase
modal. La moda si existe puede ser no única y se denota por Mo, se
define como:
Mo = Lir + . C ; donde
Lir: Limite inferior real del intervalo Modal.
1: Mayor frecuencia menos la inmediata anterior
2: Mayor frecuencia menos la inmediata posterior
C: Amplitud de Clases










2
1
1

9. Calcularemos la moda para datos agrupados del ejemplo
La moda se encuentra en el primer intervalo
Mo = 7.5 + * 19 = 22.9375
La nota más frecuente en matemáticas de los 50 alumnos
es de 22.93
Li Ls f F X LIR LSR
8 26 13 13 17 7.5 26.5
27 45 10 23 36 26.5 45.5
46 64 8 31 55 45.5 64.5
65 83 9 40 74 64.5 83.5
84 102 10 50 93 83.5 102.5






3
13
13

10. LA MEDIANA: La mediana esta representada por el valor central de una distribución,
y es definida como el valor que divide una distribución de datos en dos partes iguales.
Esta medida de tendencia central es más una medida de posición central que de
tendencia central, ya que ella coincide por deducción lógica con el cuartil 2, el decil 5 y el
percentil 50.
Al igual que la MODA, la MEDIANA puede calcularse tanto para datos no agrupados
como para datos agrupados. Cuando los datos no están agrupados, hay que
considerar si la distribución de datos es par o impar. Si es par la MEDIANA vendría a ser
la semi suma de los valores centrales o el promedio de los valores centrales, pero si la
distribución es impar la MEDIANA vendría a ser el valor central de la distribución.

11. LA MEDIANA
Es un valor central que tiene la característica de dividir en dos
partes iguales las observaciones. Un 50% de las observaciones son
menores o iguales a la mediana y el otro 50% mayor o igual, se
denota por Me.
Para datos agrupados se define:
Me = Lir + C











f
F
n
2
donde
Lir: Limite inferior real del intervalo que contiene a la Me.
F: Frecuencia acumulada anterior al intervalo que contiene a la Me.
f: Frecuencia absoluta del intervalo que contiene a la Me.
C: Amplitud de clase.

12. Calcularemos la Mediana para datos agrupados del ejemplo
Para obtener la Mediana, identificamos la clase que contiene a la
mediana, la cual será donde la primera frecuencia acumulada es
mayor o igual a: n/2.
Se calcula primero n/2 = 25, luego, observamos en la columna de la
frecuencia acumulada cual es la primer clase q contiene a 25
Me = 45.5 + ((25-23)/8)*19 = 50.25, El 50% de las notas son
menores a 50.25.
Li Ls f F X LIR LSR
8 26 13 13 17 7.5 26.5
27 45 10 23 36 26.5 45.5
46 64 8 31 55 45.5 64.5
65 83 9 40 74 64.5 83.5
84 102 10 50 93 83.5 102.5

13. Para datos no agrupados: se ordenan los datos y se escoge el
valor central del conjunto datos; para esto se debe considerar
cuando el número de datos es par o impar.
Si n es impar, entonces:
Me = 




 
]
)
2
1
(
[
n
posición
Dato
Ejemplo:
Sean los datos 3,4,4,5,6,7,,8,8,9,9,10. (n =11)
Me = Dato (Posición (6)) = 7

14. 








 

2
)]
2
2
(
[
)]
2
(
[
n
posición
Dato
n
posición
Dato
Si n es par, entonces:
Me =
O sea: el promedio de los dos datos centrales.
Ejemplo: 3,4,4,5,6,7,8,8,9,9,10,11. (n =12)
Me = (Dato (6) + Dato (7))/ 2 = (7 + 8) / 2 = 7.5

15. EL PROMEDIO ARITMÉTICO O MEDIA ARITMÉTICA
La media aritmética o promedio aritmético, es la medida de tendencia central más
conocida y utilizada. La misma no es otra cosa que el cociente de dividir la sumatoria
de todos los valores que toma una variable entre el número de ellos (n), por lo tanto
esta medida depende en gran medida de cada uno de los valores que forman
la serie.
Hay que señalar, que esta medida de tendencia central, se encuentra afectada por
valores extremos de la distribución, es decir, aquellos que están situados lejos del
centro de la serie, y por lo tanto no es recomendable como medida representativa, en
distribuciones en las cuales los datos se encuentran muy dispersos; o en aquellas que
son asimétricas.
Cuando los datos no están agrupados en intervalos, la madia se puede calcular
utilizando la siguiente formula:
μ 
ΣX
n

16. MEDIA ARITMÉTICA
La media aritmética, representa el valor promedio de los datos, se
denota por:
: Media aritmética para una muestra
μ : Media aritmética para una población.
Estaremos utilizando la notación para una muestra, aunque los cálculos
son válidos para las medidas o parámetros poblacionales.
x

17. n
X
f i
k
i
i

1
Para datos agrupados se define como:
donde:
f: es la frecuencia absoluta,
X: es la marca de clase
n: el número de observaciones.
x n
x
n
i

1
Para datos no agrupados se define como:
; donde:
X: es cada observación
n: el número de observaciones.

18. Li Ls f F X LIR LSR f X
8 26 13 13 17 7.5 26.5
221
27 45 10 23 36 26.5 45.5
360
46 64 8 31 55 45.5 64.5
440
65 83 9 40 74 64.5 83.5
666
84 102 10 50 93 83.5 102.5
930
2617
Calcularemos la media para datos agrupados del ejemplo
n
X
f i
k
i
i

1 = 2617/50 = 52.3,
Promedio de los 50 Alumnos en
la asignatura de Matemáticas

19. FORMAS DE LA DISTRIBUCIÓN:
Muchas distribuciones de variables continuas se pueden representar
de manera grafica mediante una curva en forma de campana.
Se dice que una distribución es simétrica, si se puede doblar a lo largo
de un eje vertical de modo que los lados coincidan, en este caso la
, , M
e
y M
o
coinciden, en el punto de simetría.
x
= Mo = Me
x

20. -Se dice que es “Asimétrica positiva” o “Sesgada a la derecha”
si Mo< Me <
Mo< Me <
x
x

21. Se dice que “Asimétrica Negativa” o “Sesgada a la izquierda,
si : < M
e
< M
o.
< Me< Mo
Nota: La que define la asimetría es la moda (Concentración de
datos)
x
x

22. Bibliografía
1. Estadística para Administración y Economía. Mendenhall
W.,
James, R. Tercera edición, Editorial Iberoamericana, 1978.
Traducción en español en 1992.
2. Estadística Matemática con aplicaciones, Freund, John E;
Wallpole, Ronald E. 1ª. Edición. 1990, en español.
3. Introducción a Estadística y Probabilidad, Martínez, R. Elias