misceláneas y matemáticas pasatiempos

1. OBSERVACION 03/08/2022 PRESENTAR MZ LOTE
GOMEZ VASQUEZ, CLARA LUZ - 916801781/917801681 SI CONTESTO I 6
DIANA VICTORIA RIVERA MAMANI - 993565689
HEREDEROS: DIANA VICTORIA RIVERA MAMANI, JOEL SEBASTIAN CHICALLA RIVERA y GERMAN
LEONARDO CHICALLA RIVERA -
D 1
ORTIZ ESPINOZA JEAN CARLOS (929117964)
MEJIA OLIVA, OSCAR EDWIN (975570222)
SI CONTESTO S 3
CARLOS FRANCISCO MARROU SUAREZ - 926843075 EQUIVOCADO
G 11
LOPEZ SALAZAR ANA LICET - 967761463
SI CONTESTO F 18
VERA VILLENA, ROBERT HENRY (995793443)
VERA VILLENA, JOHANA MARGOT (991247219)
SI CONTESTO E 10

2. ANECDOTAS DE MATEMÁTICAS Y MATEMÁTICOS.
Ábaco
Con el vocablo «ábaco» han sido designados tres instrumentos de cálculo no muy semejantes. El
más antiguo y simple, del que se sirvieron muchas culturas antiguas, y entre ellas la griega, no era
más que un tablero espolvoreado con una capa de arena oscura, donde se podían trazar con el dedo
o un estilete cifras y figuras geométricas. Se cuenta que Arquímedes estaba ayudándose en sus
cálculos con una de estas «pizarras de arena» cuando fue muerto por un soldado romano. La palabra
griega abax, que expresa la idea general de tablero liso o mesa sin patas, pudiera proceder de abaq,
palabra hebrea que significaba polvo. Un segundo tipo de ábacos, conocido ya desde el siglo cuarto
a. C., y que todavía permanecía en uso durante el Renacimiento, era el tablero de recuento. Se
trataba de un auténtico utensilio de cálculo, un computador digital tan genuino como la regla de
cálculo lo es en lo analógico. El tablero estaba grabado con líneas paralelas que representaban los
lugares de valor relativo de un sistema de numeración, por lo común, de base diez. Estas líneas
podían estar trazadas sobre pergamino, esculpidas en mármol, vaciadas en madera e incluso
bordadas en paño. Desplazando adelante y atrás sobre las líneas cuentas sueltas, podían ejecutarse
cálculos sencillos. Los griegos llamaban abakion a este tipo de instrumento, y los romanos, abacus.
Las cuentas utilizadas eran piedrecitas redondeadas que se iban moviendo por los surcos; la palabra
latina calculus, piedrecita, es por ello madre de nuestros «cálculo» y «calcular». Varias figuras, una de
ellas sobre un ánfora griega, muestran cómo se usaba la tabla de recuento. Tan sólo una tabla de
recuento griega ha llegado a nuestros días: un rectángulo de mármol de unos 12 por 15 centímetros,
descubierto en la isla de Salamis. Durante la Edad Media se usaron, en cambio, tableros divididos en
escaques.
El utensilio que hoy conocemos por ábaco es, fundamentalmente, una tabla de recuento modificada,
donde las cuentas están ensartadas en alambres o varillas, o alojadas en ranuras. Se desconoce su
origen. Los antiguos griegos no llegaron probablemente a conocer este instrumento (las primeras
referencias a él se encuentran en textos latinos). Las cuentas, que los romanos llamaban claviculi
(clavillos), se deslizaban por surcos, hacia arriba y hacia abajo. Los romanos conocieron varias
versiones del artefacto. Particularmente interesante es un pequeño ábaco de bronce que se usó en
Italia nada menos que en el siglo XVII, y es interesante porque en su estructura fundamental es
idéntico al ábaco japonés de nuestros días. Cada uno de sus surcos verticales representa una
potencia de 10, sucesivamente crecientes de derecha a izquierda. En cada surco, cuatro cuentas
situadas bajo una línea horizontal sirven para expresar múltiplos del valor del surco, mientras una
quinta cuenta, situada sobre la línea, denota cinco veces tal valor. Tropezamos aquí con una curiosa
situación, que ya puso de relieve el matemático alemán Karl Menninger en su libro Number Words

3. and Number Symbols. Durante más de quince siglos, los griegos y romanos primero, y los europeos
de la Edad Media después, se valieron en sus cálculos de dispositivos genuinamente fundados en el
principio de valor relativo, en los que el cero estaba representado mediante un surco o línea vacío, o
por una posición vacía dentro de la línea o surco. Pese a lo cual, cuando estas mismas gentes tenían
que calcular sin auxilios mecánicos, utilizaban incómodos sistemas de notación, no inspirados en el
valor relativo de las cifras según su posición, y carentes de notación para el cero. Como dice
Menninger, hizo falta mucho tiempo para caer en la cuenta de que sin disponer de un símbolo que
exprese el hecho de estar vacío uno de los lugares del número, es imposible consignar eficientemente
números por escrito. Tal vez la principal razón de que varias culturas sufrieran tan curioso bloqueo
mental fuese la dificultad de lograr papiros o pergaminos. Dado que los cálculos se realizaban casi
exclusivamente con ábacos, no había gran necesidad de disponer de notaciones escritas eficientes.
El italiano Leonardo de Pisa, más conocido por Fibonacci (v.), fue quien introdujo en Europa la
notación indoarábiga, en 1202. Se produjo entonces una cáustica polémica entre los «abaquistas»,
aferrados a la notación romana para consignar los resultados de sus cálculos, realizados mediante
ábacos, y los «algoristas», que desecharon de raíz la notación romana, sustituyéndola enteramente
por la muy superior notación indo-arábiga. El vocablo «algorista» procede del nombre de un autor
árabe del siglo noveno, al-Khowarizmi (v.), y es antepasado del moderno «algoritmo». En algunos
lugares de Europa el cálculo por «algorismo» llegó a quedar formalmente prohibido por la ley, y tenía
que realizarse en secreto. Hubo oposición incluso en algunos países de influencia árabe. La nueva
notación no llegó a imponerse por completo hasta el siglo XVI, cuando pudo disponerse de papel en
abundancia. Poco después, la imprenta se encargó de normalizar las formas de los diez guarismos. El
ábaco fue cayendo gradualmente en desuso en Europa e Inglaterra. Todavía hoy sobreviven algunas
reminiscencias, en las cuentas de colores de corralitos infantiles, como ayudas en la enseñanza de la
notación decimal en los primeros niveles escolares, o para no perder la cuenta, como en los rosarios
o los tableros de puntuación de los billares. En cierto modo, es una lástima que así haya sucedido,
porque en estos últimos siglos el cálculo con ábaco ha llegado a convertirse en un verdadero arte en
los países de Extremo Oriente y en Rusia. Al manejar el ábaco, el calculista experimenta sensaciones
múltiples. Ve deslizarse las cuentas, las oye entrechocar, las palpa, todo a un tiempo. Y, desde luego,
ninguna calculadora digital puede ofrecer una fiabilidad tan grande en proporción al mínimo costo de
adquisición y mantenimiento del ábaco.
Hay en nuestros días tres tipos de ábaco en uso constante. El «suan pan» chino, también usado en
Corea, está formado por cuentas parecidas a rosquillas pequeñas, que se deslizan sin apenas
rozamiento a lo largo de varillas de bambú. Cada vástago porta cinco cuentas (unos) por debajo de la
barra, y dos más (cincos) por encima. El ideograma chino suan, «calcular», ha sido tomado del libro
de Menninger; vemos en él un ábaco sostenido por debajo por el ideograma correspondiente a
«manos», y adornado por arriba con el símbolo «bambú». Se ignora el origen del suan pan. En el

4. siglo XVI se disponía ya de descripciones precisas, pero sin duda el instrumento tiene varios siglos
más de antigüedad.
El origen del «soroban» japonés puede remontarse también al siglo XVI, época en que
probablemente fue traído de China. Sus cuentas tienen filos vivos; son como dos conos pegados por
sus bases. Cada varilla tiene solamente una cuenta por encima de la barra, en la región que los
japoneses llaman «cielo», y otras cuatro más por debajo, en la «tierra». (Antiguamente, el instrumento
tenía cinco cuentas en la parte inferior de las varillas, lo mismo que su análogo chino, pero la quinta
cuenta fue eliminada hacia 1920. Las dos cuentas extra del suan pan no son esenciales en el cálculo
moderno, y suprimiéndolas se logra un instrumento más sencillo.) Todavía hoy se celebran
anualmente en Japón concursos de cálculo con ábaco, y el soroban sigue utilizándose en tiendas y
pequeños negocios, si bien los bancos y empresas grandes lo han sustituido por modernas
calculadoras de mesa. No han faltado ocasiones de encuentros y justas entre abaquistas japoneses o
chinos enfrentados a operadores occidentales de máquinas de cálculo digital. Quizá la ocasión más
sonada fue en 1946, en Tokio, cuando el soldado Thornas Wood quedó empatado con Kiyoshi
Matsuzaki. El abaquista fue siempre más rápido en todos los cálculos, excepto al multiplicar números
muy grandes. Una de las razones que explican la gran velocidad de los abaquistas orientales, es
preciso admitirlo, es que ejecutan mentalmente gran parte del trabajo, sirviéndose del ábaco sobre
todo para registrar etapas del proceso. El principal defecto del cálculo con ábacos es la imposibilidad
de guardar registro de los cálculos anteriores. De cometerse un error es preciso rehacer el cálculo
completo. Para evitarlo, las firmas japonesas solían hacer que tres calculistas resolvieran
simultáneamente el mismo problema. El «s'choty» usado en Rusia difiere considerablemente de los
ábacos orientales. Probablemente los rusos llegaron a conocerlo a través de los árabes; todavía es
empleado en ciertas regiones de la India y del Oriente Medio, donde los turcos lo llaman coulba, y los
armenios, choreb. En la Rusia moderna, la situación es casi idéntica a la japonesa: casi todos los
tenderos y pequeños comerciantes utilizan ábacos, mientras que en los departamentos de
contabilidad de las empresas importantes han sido reemplazados por modernos ordenadores y
calculadoras. El s'choty está formado por varillas o alambres horizontales, que casi siempre contienen
diez cuentas; las dos cuentas centrales son de distinto color para indicar por dónde deben separarse.
Las varillas de cuatro cuentas que vemos en la ilustración se usan para fracciones de rublo o kopeck.
Abel
El matemático Niels Henrik Abel (1802-1829) era noruego. Estaba orgulloso de ello (firmaba todos sus

5. escritos como N. H. Abel, noruego), pero también era para él una carga. A principios del siglo XIX
Cristianía (actualmente Oslo) estaba muy apartada de los ambientes matemáticos y científicos
europeos que se concentraban en París y Berlín. Hijo de un pastor protestante, destacó desde niño
en las matemáticas. Siendo aún muy joven empezó a estudiar la solución de la ecuación de quinto
grado. Pronto cambió de orientación y trató de demostrar, precisamente, la imposibilidad de resolver
esas ecuaciones con métodos algebraicos. Lo logró cuando contaba 24 años. Tuvo que luchar contra
la penuria económica (él mismo tenía que pagar la edición de sus obras) y contra la incomprensión de
otros grandes matemáticos. A pesar de todo se fue abriendo camino hasta lograr que la prestigiosa
universidad de Berlín le ofreciera un puesto de profesor. Por desgracia, la oferta llegó demasiado
tarde. Abel había muerto dos días antes, el 6 de abril de 1829, en Noruega, víctima de la tuberculosis.
Tenía sólo veintiseis años.
Ajedrez
Una antiquísima leyenda cuenta que Sheram, príncipe de la india, quedó tan maravillado cuando
conoció el juego del ajedrez, que quiso recompensar generosamente a Sessa, el inventor de aquel
entretenimiento. Le dijo: "Pídeme lo que quieras". Sessa le respondió: "Soberano, manda que me
entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la
tercera, ocho por la cuarta, y así sucesivamente hasta la casilla 64".
El príncipe no pudo complacerle, porque el resultado de esa operación S = 1 + 2 + 4 + ... + 263
es
aproximadamente 18 trillones de granos. Para obtenerlos habría que sembrar la Tierra entera 65
veces.
Se habla en los círculos matemáticos un sorprendente final de la historia. Sheram, preocupado al
haber empeñado su palabra, mandó llamar al matemático del reino, un tal Javier de Lucas, el cual
razonó de la siguiente manera:
"Alteza, puesto que no tenéis trigo suficiente para pagar la deuda contraida con Sessa, igual os daría
deberle aún más. Sed, pues, magnánimo y aumentad vuestra recompensa a la cantidad S = 1 + 2 + 4
+ 8 + ... hasta el infinito. Observad que, a partir de la segunda casilla, todas las cantidades a sumar
son pares, lo cual nos permite escribir S = 1 + 2 × ( 1 + 2 + 4 + 8 + ... ), o lo que es lo mismo, S = 1 +
2 × S. Ahora, vos mismo podéis resolver esta sencilla ecuación de primer grado y, veréis que la única
solución es S = -1. Podéis decir a Sessa que no solamente puede considerarse pagado con creces,
ya que habéis aumentado enormemente vuestra recompensa, sino que actualmente os adeuda un
grano de trigo."

6. Alhambra
El contacto y las relaciones que los árabes establecieron con pueblos y regiones que eran o habían
sido centros de grandes culturas, unido a ciertos factores aportados por el propio Islam como la
tolerancia respecto de algunos pueblos conquistados y la atmósfera de libre discusión y de libertad de
opinión, así como la existencia de numerosas cortes islámicas que protegían y favorecían los estudios
científicos, contribuyó a que a finales del siglo VIII el mundo islámico se encontrara en posesión de
todos los elementos necesarios para el desarrollo de una gran cultura científica, que alcanzó el
máximo esplendor en los siglos IX, X y XI. Como ejemplo podemos señalar los conceptos
matemáticos que aparecen en la ornamentación de la Alhambra de Granada.
Todos estamos familiarizados con los motivos ornamentales geométricos usados en la decoración de
paredes y techos. Los palacios orientales contienen una gran abundancia de éstos. Nosotros tenemos
del mismo modo los mosaicos o teselaciones simétricas del plano euclídeo. Aunque podemos
imaginar o incluso crear muchos; si nuestro propósito es conocer el grupo de simetrías de los
mosaicos y si queremos conocer el grupo formado por las isometrías planas que los dejan invariantes,
las reglas por las que se rigen son bastante restrictivas. Desde este punto de vista E. Fedorov a
finales del siglo pasado y por otra parte G. Polya, a comienzos del actual, probaron que dentro de la
teoría de grupos finitos hay exactamente 17 grupos posibles. Cada uno de éstos permite la división
del plano en celdas congruentes que, agrupadas y coloreadas convenientemente, dieron lugar a los
mosaicos clásicos y sirvieron al holandés M. C. Escher (1898-1972) de inspiración para sus famosos
grabados, los cuales son tan interesantes desde el punto de vista artístico como del matemático.
Durante mucho tiempo se creyó que en la ornamentación de la Alhambra de Granada sólo se
encontraban 13 de estos grupos. Como señala J. M. Montesinos (1987), no es dificil obtener 16. El
mérito del descubrimiento del que faltaba es de J. M. Montesinos y de R. Pérez Gómez, (Pérez
Gómez, 1987). Mosaicos de estos tipos aparecen también en muchos otros lugares de la geografía
española. Ello nos da idea del conocimiento empírico que los maestros de la ornamentación tenían de
las matemáticas. A pesar de que no habían desarrollado la teoría de los grupos finitos, los conocían y
los utilizaban.
Al-Khowarizmi

7. (léase Al-juarizmi) (780-850) Matemático y astrónomo miembro de la "Casa de la sabiduría" fundada
en Bagdad, la ciudad de las Mil y una noches, por el califa Al-Mamun (809-833), en la que trabajaron
sabios judíos y cristianos procedentes de Siria, Irán y Mesopotamia. Escribió varios libros de
astronomía, uno de álgebra y otro sobre aritmética (traducidos al latín en el s. IX por Adelardo de Bath
y Roberto de Chester), en el que hace una exposición exhaustiva del sistema de numeración hindú.
Este sistema se empezó a conocer como «el de Al-Khowarizmi» y, por las deformaciones que tuvo,
bien por transmisión o por traducción, llegó a la palabra «algorismi», «algorismo» o «algoritmo».
Actualmente el término algoritmo significa procedimientos operativos que permiten resolver cualquier
problema de un determinado tipo. Sin duda se debe a Al-Khowarizmi el hecho de que la palabra
algoritmo se haya convertido en palabra de uso común en todos los idiomas, especialmente en el
campo de las matemáticas y de la informática.
La resolución de la ecuación de segundo grado aparece en los trabajos de Al-Jwarizmi utilizando un
método geométrico cuyo fundamento es la formación de cuadrados. En esencia coincide con el actual
método general. La ecuación resuelta gráficamente por Al-Jwarizmi fue x2
+ 10x = 39. El proceso es
complicado, pero el esfuerzo compensa, ya que se consigue una fórmula que da x en función de los
coeficientes a, b y c, y que es la que se utiliza en la práctica.
Anaximandro
Natural de Mileto, compañero o discípulo de Thales (v.), matemático, astrónomo, geógrafo y político,
iniciador de la astronomía griega, es el que establece una verdadera cosmología desprovista de
elementos míticos. No se pregunta qué son las cosas, sino de dónde proceden. Al igual que Thales,
señala el orígen de los seres en el fango o cieno primitivo, de donde salen por la acción de los rayos
solares.
Apolonio
Apolonio de Pérgamo (s. III-II a.C.), geómetra griego, estudió por primera vez las cónicas.
Aristarco de Samos
Astrónomo griego (s. III a.C.) llegó a proponer el sistema heliocéntrico, donde todos los planetas
giraban alrededor del Sol, pero su tratado se ha perdido, y solamente se tienen referencias de él a
través de comentarios de Arquímedes.

8. Aristóteles
En París (~1210) se prohibió la lectura pública o privada de sus obras.
Arquímedes de Siracusa (287-212 aC)
Arquímedes puede ser considerado como el más grande de los matemáticos de la antigüedad. Pasó
casi toda su vida en su ciudad natal de Siracusa, aunque se sabe que visitó Egipto al menos en una
ocasión. La fama de Arquímedes se basa, fundamentalmente, en sus numerosos descubrimientos
matemáticos. Halló, por ejemplo, un valor aproximado de Pi con un error muy pequeño. Calculó
volúmenes y áreas, algunos muy difíciles, entre ellos el volumen de la esfera. Demostró el siguiente
resultado fundamental del que se sentía particularmente orgulloso: «Los volúmenes de un cono, de
una semiesfera y de un cilindro, todos de la misma altura y radio, se encuentran en la razón 1:2:3».
Considerado este teorema con la perspectiva que nos da la Historia, era verdaderamente un resultado
excepcional para la época. La pureza de su matemática en las obras De la esfera y del cilindro, De
los conoídes y esferoides, De las espirales y la originalidad de sus nuevas ideas (método de
exhausción, cuadratura del segmento de parábola), en las que se puede ver el germen del cálculo
infinitesimal de Newton y Leibniz, se unen y se complementan armoniosamente con sus trabajos
sobre estática e hidrodinámica, poniendo de manifiesto cómo las dos matemáticas (la pura y la
aplicada) se complementan mutuamente, de manera que cada una actúa como estímulo y ayuda para
la otra, y forman en conjunto una única y bien definida línea de pensamiento.
Arquímedes fue además un genio de la mecánica. Entre sus inventos más célebres se encuentra el
tornillo de Arquímedes, utilizado en muchos países, entre ellos, España, para extraer agua de los
pozos. Construyó también planetarios que, pese a la lejanía en el tiempo, eran tan populares como lo
son en la actualidad.
Sin embargo, no fueron sólo los inventos «pacíficos» los que dieron a Arquímedes su gran fama en la
antigüedad, sino también su contribución a la defensa de Siracusa contra los romanos. Este
septuagenario matemático había dotado al ejercito de dicha ciudad de armas muy modernas, las
cuales causaron el desconcierto total entre los soldados romanos. Los historiadores de la época no
describen los espejos ustorios, pero sí lo hacen los posteriores. Fueron mencionados por primera vez
por Galeno (129-199). Si realmente existieron, debió tratarse de alguna especie de espejo parabólico.
Según cuenta la leyenda, durante el asedio de la tropas romanas a Siracusa (213-212 aC) fueron
capaces de concentrar los rayos de sol en una zona muy reducida y de esta forma, dirigidos hacia la
armada romana, provocaron el incendio de las naves. Arquímedes los situó de forma que los rayos
del sol llegaran paralelos al eje y que, una vez concentrados, apuntaran a las velas de los barcos
enemigos. Muy pronto los romanos vieron, atónitos, cómo las velas de sus barcos ardían como por

9. arte de magia. El ejercito de Siracusa fue así capaz de destruir la armada de los invasores.
Se sabe que es matemáticamente posible la construcción de tales artefactos (v. Parábola).
Experimentalmente, se ha demostrado que la leyenda es creíble, como probó en 1747 un naturalista
francés, el conde de Buffon. Sin embargo, Siracusa cayó en manos romanas a causa de una traición
y Arquímedes fue asesinado. Marcelo, a modo de desagravio, mandó erigir para Arquímedes una
tumba sobre la cual se veía una esfera circunscrita por un cilindro que simbolizaba, de acuerdo con
sus deseos, su teorema favorito sobre los volúmenes del cono, el cilindro y la esfera. Cuando Cicerón
visitó Sicilia pudo ver todavía el monumento que se ha perdido para la historia.
Aunque no de una manera explícita, Arquímedes sí ha contribuido a la aplicación de las matemáticas.
En efecto, en el Equilíbrio, trataba el problema de la palanca, que, junto a la cuña, el plano inclinado,
el rodillo y la polea, componía la colección de las sencillas máquinas utilizadas en la antigüedad para
construcciones tan asombrosas como las pirámides de Egipto, los templos griegos y los acueductos
romanos. Se sirvió libremente de la noción de baricentro o centro de gravedad de un cuerpo como si
la conociese y le fuese familiar. Casi veinte siglos más tarde, S. Stevin y Galileo Galilei construyen la
teoría de la estática; esto es, una teoría del equilibrio para complicados sistemas mecánicos.
Áurea, Razón
Pitágoras y sus seguidores formaban una una especie de escuela o comunidad. Para ellos, el número
cinco tenía un atractivo especial: su símbolo era una estrella de cinco puntas y les interesaba
especialmente la figura del pentágono. En el pentágono hallaron el número , llamado número áureo
(de oro). Es un número irracional que refleja la relación entre el lado de un pentágono y su diagonal.
Su valor es , o aproximadamente 1,6180339887....
Las llamadas proporciones áureas, 1: 5, han sido consideradas perfectas por los artistas desde la
Antigua Grecia hasta nuestros días.
Un rectángulo con las proporciones perfectas tiene la particularidad de que si se quita un cuadrado de
1×1, la parte restante vuelve a tener las proporciones perfectas.
Los constructores del Partenón de Atenas (y los de muchos otros templos y edificios) tuvieron muy en
cuenta la proporción áurea. La relación entre la altura y la anchura de su fachada es precisamente
esa . Y lo mismo sucede con muchos objetos cotidianos: tarjetas de crédito, carnés de identidad, las
cajas de los casetes...

10. Aurillac
Cuando la altura que se pretende medir tiene el pie inaccesible, el procedimiento fue modificado por
Gerberto de Aurillac (930-1003). Viajó a la España musulmana.
Babilonia (2500-2000 a.C.)
Los primeros testimonios materiales de la existencia del pensamiento matemático son ciertos dibujos
y símbolos trazados sobre ladrillos o tabletas sirias y babilónicas, entre los siglos XXX y XX antes de
nuestra era. Su contenido ha sido la fuente principal del conocimiento de sus matemáticas en la
antigüedad. A partir de éstos primeros testimonios matemáticos se ha podido deducir, por ejemplo, la
existencia de un sistema de numeración de base 60 y algunas operaciones aritméticas, además de
datos astronómicos y construcciones geométricas. Se emplea un calendario lunar avanzado y se
introducen unidades de tiempo como el minuto y la hora.
Más o menos por la misma época, anterior al primer milenio antes de Cristo, aparecieron en Egipto
los primeros documentos matemáticos, en este caso escritos sobre papiros. El papiro Rhind, cuyo
autor fue el escriba Ahmes, recopila toda una colección de problemas y reglas «para escudriñar la
naturaleza y llegar a conocer todo lo que existe y todo misterio y todo secreto». Este encabezamiento
prueba el poder que se atribuía a las matemáticas para resolver problemas y desvelar misterios, todo
ello circunscrito a un ambiente de ciencia y magia. Este papiro incluye problemas de diferentes tipos,
alguno de los cuales continua abierto hoy en día. También se encuentran en él nociones de áreas y
de volúmenes elementales, algunos de carácter eminentemente práctico. Otros problemas son de
carácter puramente teórico. Es importante señalar este aspecto para resaltar que, desde antiguo, la
curiosidad por la resolución de problemas de ingenio ha sido un factor que ha contribuido a la
creación matemática, tanto o más que las aplicaciones prácticas.
De la información contenida en los documentos hallados se ha podido deducir que los antiguos
egipcios conocían la propiedad de cómo los números 3, 4 y 5, y sus múltiplos, son lados de un
triángulo rectángulo, y a partir del estudio de las pirámides y del calendario, así como de otros datos
astronómicos, se ha descubierto que atribuían al número Pi un valor aproximado bastante exacto.
En resumen, todo parece indicar que las matemáticas babilónica y egipcia, de antes del primer
milenio anterior a nuestra era, eran matemáticas empíricas, usadas como herramienta no sólo para el
comercio y para la construcción, sino también para proponer y resolver problemas ingeniosos como
los que hoy se plantean en la llamada «matemática recreativa». Sin embargo, no hay constancia de
que existiese el razonamiento matemático en el sentido actual de ciencia deductivo, con conceptos
abstractos y generales. A pesar de lo cual no cabe duda de que sus conocimientos matemáticos,
empíricos o razonados, fueron el germen del florecimiento matemático griego alrededor del siglo VII

11. antes de Cristo.
Barrow
Isaac Barrow (1630-1677), matemático inglés y profesor de geometría en Cambridge, fue el primero
en acceder a la cátedra creada por Henry Lucas (1610-1663) y que ocuparía después de él Newton.
Su aportación a las matemáticas fue fundamental, ya que supo unir el cálculo diferencial e integral
con el teorema que lleva su nombre.
Bernouilli
Jakob Bernouilli (1654-1705), miembro de una de las más destacadas familias científicas originaria de
los Países Bajos. Escribió un importante tratado sobre cálculo de probabilidades titulado Ars
conjectandi, que se publicó ocho años después de su muerte. A Jakob Bernouilli se le debe el estudio
de la distribución binomial.
Propuso en 1696 como desafío «a todos los matemáticos del mundo» el problema de la
braquistocrona (curva de caída de un cuerpo en un tiempo mínimo entre dos puntos no situados en
una misma vertical), con la promesa de «honor, alabanza y aplauso» para quien lograra resolverlo.
Quien lo consiguió años más tarde fue el propio J. Bernouilli.
Bhaskara
El último matemático medieval más importante de la India llamado Brahmim Bhaskara (1114-1185) en
su tratado más conocido, llamado Lilavati, decía: «El cuadrado de un número positivo, como el de un
número negativo, es positivo. En consecuencia, la raíz cuadrada de un número positivo es doble,
positiva y negativa. No hay raíz cuadrada de un número negativo porque un número negativo no es
un cuadrado».
Biorritmos
Uno de los episodios más absurdos y extraordinarios de la historia de la pseudociencia numerológica
tiene que ver con la obra de un cirujano berlinés llamado Wilhelm Fliess. Fliess estaba obsesionado
con los números 23 y 28. Estaba convencido y convenció a otros de que detrás de todo fenómeno
biológico, y quizás de la naturaleza inorgánica, había dos ciclos fundamentales: uno masculino de 23
días y otro femenino de 28. Trabajando con múltiplos de estos números—a veces sumando, otras

12. restando—logró imponer este esquema a casi cualquier cosa. Su obra provocó en Alemania gran
revuelo durante los primeros años de este siglo. Varios discípulos suyos adoptaron el sistema,
elaborándolo y modificándolo en libros, panfletos y artículos. En los últimos años el movimiento ha
arraigado en los Estados Unidos. La numerología de Fliess tiene interés para la matemática recreativa
y para los estudiosos de la ciencia patológica; pera probablemente no se recordaría hoy a Fliess de
no ser por un hecho casi increíble: durante toda una década fue el mejor amigo y confidente de
Sigmund Freud. Los fundamentos de la numerología de Fliess fueron dados a conocer al mundo por
primera vez en 1897 con la publicación de su monografía Die Beziehungen zwischen Nase und
weibliche Geschlechtsorganen in ihrer biologischen Bedeutungen dargestellt (Las relaciones entre la
nariz y los órganos sexuales femeninos desde el punto de vista biológico). Fliess mantenía que
cualquier persona es realmente bisexual. El componente masculino está sintonizado con el ciclo
rítmico de 23 días, el femenino con el de 28. (El ciclo femenino no debe confundirse con el menstrual,
aunque ambos están relacionados en su origen evolutivo.) El ciclo masculino es el dominante en los
machos normales, estando reprimido el femenino. En las hembras normales ocurre lo contrario. Los
dos ciclos están presentes en cualquier célula viva y, por consiguiente, juegan sus papeles dialécticos
en todas las cosas animadas. En el hombre y en los animales los dos ciclos comienzan con el
nacimiento. El sexo del niño viene determinado por el ciclo que se transmite primero. Los períodos
continúan a lo largo de la vida, manifestándose en los altos y bajos de la vitalidad física y mental, y
determinando finalmente el día de la muerte. Por otro lado, ambos ciclos están íntimamente
relacionados con la mucosa de la nariz. Fliess pensó que había encontrado una relación entre las
irritaciones nasales y toda clase de síntomas neuróticos e irregularidades sexuales. Diagnosticaba
estas enfermedades inspeccionando la nariz y las trataba aplicando cocaína a los «puntos genitales»
del interior de la misma. Informó de casos en que se habían producido abortos por anestesiar la nariz
y sostenía que, tratando ésta, podía controlar las menstruaciones dolorosas. En dos ocasiones operó
a Freud de la nariz. En un libro posterior sostuvo que los zurdos están dominados por el ciclo del sexo
opuesto; cuando Freud expresó sus dudas, le acusó de ser zurdo sin saberlo. Freud tomó al principio
la teoría de los ciclos de Fliess por uno de los mayores avances en biología. Envió a Fliess
informaciones sobre los ciclos de 23 y 28 días de su propia vida y los de los miembros de su familia y
vio las alteraciones de su salud como fluctuaciones de estos dos períodos. Creyó que con ellos podía
explicarse la distinción que había encontrado entre neurastenia y neurosis de angustia. En 1898
rompió sus relaciones editoriales con una revista por negarse ésta a retirar una dura recensión de uno
de los libros de Fliess. Hubo una época en que Freud sospechó que el placer sexual era una
liberación de energía del ciclo de 23, y el displacer sexual del de 28. Durante mucho tiempo creyó que
moriría a los 51 años porque era la suma de 23 y 28, y Fliess le había dicho que ésta sería su edad
más crítica. En el libro sobre los sueños escribió Freud: «los cincuenta y un años parecen ser
particularmente peligrosos para los hombres». «Conozco muchos colegas que han muerto
repentinamente a esta edad. Entre ellos uno a quien después de grandes demoras se le concedió una

13. cátedra solamente unos cuantos días antes de su muerte». Fliess escribió muchos libros y artículos
sobre su teoría de los ciclos. Su obra magna fue un volumen de 584 páginas de título Der Ablauf des
Lebens: Grundlegung zur Exakten Biologie (El decurso de la vida: fundamentos de una biología
exacta), publicado en Leipzig en 1906 (segunda edición, Viena, 1923). El tratado es una obra maestra
de excentricidad germánica. La fórmula básica de Fliess puede escribirse así: 23x + 28y, siendo x e y
enteros positivos o negativos. Página a página la aplica a fenómenos naturales que van desde la
célula al sistema solar. Por ejemplo, la luna da la vuelta a la tierra en 28 días; el ciclo de una mancha
solar es de casi 23 años. El apéndice del libro está repleto de tablas tales como los múltiplos de 365
(días del año), múltiplos de 23, de 28, de 232
, de 282
, de 644 (que es 23 x 28). Ciertas constantes
importantes tales como 12.167 [23 x 232
]; 24.334 [2 x 23 x 232
]; 36.501 [3 x 23 x 232
]; 21.952 [28 x
282
]; 43.904 [2 x 28 x 282
], etc., van impresas en negritas. En una tabla se recogen los números del 1
al 28 expresados como diferencias entre múltiplos de 28 y 23 (por ejemplo, 13 = (21 x 28)-(25 x 23).
Otra contiene los números del 1 al 51 [23 + 28] como sumas y diferencias de los múltiplos de 23 y 28
[por ejemplo, 1 = (1/2 x 28) + (2 x 28)-(3 x 23)]. Freud admitió con frecuencia que era
desesperadamente inepto para cualquier habilidad matemática. Fliess conocía la aritmética elemental
y poco más. No se dio cuenta de que si los números 23 y 28 de su fórmula básica se sustituyen por
dos enteros positivos cualesquiera primos entre sí, es posible expresar cualquier entero positivo. ¡No
es maravilla que la expresión pudiera adaptarse sin dificultad a los fenómenos naturales!. Freud cayó
finalmente en la cuenta de que los resultados superficialmente sorprendentes de Fliess no eran otra
cosa que malabarismos numerológicos. Tras la muerte de Fliess en 1928 (obsérvese el obligado 28),
el físico alemán J. Aelby publicó un libro que refutaba por completo sus dislates. Pero a esas alturas
había echado ya raíces el culto al 23-28 en Alemania. Swoboda, que vivió hasta 1963, fue la segunda
figura en importancia. Como psicólogo de la Universidad de Viena dedicó mucho tiempo a investigar,
defender y escribir acerca de la teoría de los ciclos de Fliess. En su propia obra maestra, un libro de
576 páginas intitulado Das Siebenbabr (El año del Siete), informa de sus estudios de cientos de
árboles genealógicos para demostrar que acontecimientos tales como los ataques al corazón,
muertes y enfermedades graves tienden a producirse en ciertos días críticos que pueden calcularse
tomando como base los ciclos masculino y femenino. Aplicó la teoría cíclica al análisis de los sueños,
práctica que criticó Freud en una nota a pie de página, de 1911, en su libro sobre los sueños.
Swoboda ideó la primera regla de cálculo para determinar los días críticos sin cuya ayuda la labor es
tediosa y difícil. Por increíble que parezca, en 1960 el sistema de Fliess tenía todavía un pequeño
pero devoto círculo de adeptos en Alemania y Suiza. Había doctores en varios hospitales suizos que
determinaban los días apropiados para las intervenciones quirúrgicas en base a los ciclos de Fliess.
(La práctica se remonta a Fliess. Cuando uno de los pioneros del análisis, Karl Abraham, hubo de ser
operado en 1925 de la vesícula, insistió en que la intervención tuviese lugar en uno de los días
favorables calculados por Fliess.) A los ciclos masculino y femenino primitivos han añadido los
modernos fliessianos un tercero al que denominan intelectual y que tiene una longitud de 33 días.

14. Bolyai
Janos Bolyai (1802-1860) era hijo de Wolfgang Bolyai, también matemático y condiscípulo de Gauss.
En 1823 construyó una nueva geometría negando el quinto postulado (v. geometrías no euclídeas).
Boole
Aunque Aristóteles se limitó casi exclusivamente al estudio del silogismo, a él es preciso atribuir todo
el mérito de la fundación de la lógica formal. En nuestros días, el silogismo no es más que un capítulo
trivial de la lógica. Cuesta trabajo creer que durante 2.000 años fuese tema principal de los estudios
lógicos, y que en fecha tan tardía como 1797, nada menos que Immanuel Kant pudiese escribir que la
lógica era «un cuerpo de doctrina cerrado y completo». «En la inferencia silogística», escribió en
cierta ocasión Bertrand Russell «se supone que uno sabe ya que todos los hombres son mortales y
que Sócrates es un hombre; y de ahí uno deduce lo que jamás había sospechado, a saber, que
Sócrates es mortal. Esta forma de inferencia se da realmente, aunque muy raras veces». Russell
continúa explicando que el único ejemplo del que tuvo noticia le llegó a través de un número satírico
de Mind, una revista inglesa dedicada a temas filosóficos en un número especial preparado por la
redacción para celebrar las navidades de 1901. Allí, un filósofo alemán mirando perplejo los anuncios
de la revista, terminó por razonar así: «En esta revista todo es broma; los anuncios se encuentran en
la revista. Por consiguiente, los anuncios son pura broma.» En otro lugar, Russell escribió también:
«Si tiene usted la intención de dedicarse a la lógica, he aquí un buen consejo en el que nunca insistiré
bastante: no estudie la lógica tradicional. En los tiempos de Aristóteles fue sin duda un esfuerzo
meritorio. Pero lo mismo podemos decir de la astronomía ptolemaica.» El cambio crucial se produjo
en 1847. En esa fecha, George Boole (1815-1864), hombre modesto y autodidacta, hijo de un humilde
zapatero inglés, publicó The Mathematical Analysis of Logic. Este y otros trabajos fueron motivo de su
nombramiento como profesor de matemáticas (pese a carecer de títulos universitarios) del Queens
College (hoy University College) de Cork, en Irlanda. Allí escribió su tratado An Investigation of the
Laws of Thought, on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities
(Londres, 1854). La idea fundamental—sustituir por símbolos todas las palabras utilizadas en lógica
formal— ya se les había ocurrido antes a otros, pero Boole fue el primero en conseguir un sistema
operativo. Con raras excepciones, ni filósofos ni matemáticos prestaron mucho interés a logro tan
notable. Quizá fuera ésta una de las razones de la tolerancia que Boole mostraba por los matemáticos
más excéntricos. Boole escribió un artículo sobre un chiflado de Cork, de nombre John Walsh
(Philosophical Magazine, noviembre de 1851), que Augustus de Morgan, en su Budget oí Paradoxes,
califica de «la mejor biografía que conozco sobre héroes de este género». Boole murió de una
neumonía, cuando contaba 49 años. Su enfermedad fue atribuida a un enfriamiento, por dar una

15. lección magistral con la ropa mojada a consecuencia de un chaparrón.
Cálculo ultrarrápido
La capacidad para efectuar rápidamente operaciones aritméticas mentales parece tener sólo una
moderada correlación con la inteligencia general y menor aún con la intuición y creatividad
matemáticas. Algunos de los matemáticos más sobresalientes han tenido dificultades al operar, y
muchos «calculistas ultrarrápidos» profesionales (aunque no los mejores) han sido torpes en todas
las demás capacidades mentales. Sin embargo, algunos grandes matemáticos han sido también
diestros calculistas mentales. Carl Friedrich Gauss por ejemplo, podía llevar a cabo prodigiosas
hazañas matemáticas en la mente. Le gustaba hacer alarde de que aprendió antes a calcular que a
hablar. Se cuenta que en cierta ocasión su padre, de oficio albañil, estaba confeccionando la nómina
general de sus empleados, cuando Friedrich, que entonces tenía 3 años, le interrumpió diciéndole:
«Papá, la cuenta está mal...». Al volver a sumar la larga lista de números se comprobó que la suma
correcta era la indicada por el niño. Nadie le había enseñado nada de aritmética. John von Neumann
era un genio matemático que también estuvo dotado de este poder peculiar de computar sin usar
lápiz ni papel. Robert Jungk habla en su libro Brighter than a Thousand Suns acerca de una reunión
celebrada en Los Álamos, durante la Segunda Guerra Mundial, en la que von Neumann, Enrico Fermi,
Edward Teller y Richard Feynman lanzaban continuamente ideas. Siempre que había que efectuar un
cálculo matemático, Fermi, Feynman y von Neumann se ponían en acción. Fermi empleaba una regla
de cálculo, Feynman una calculadora de mesa, y von Neumann su cabeza. «La cabeza», escribe
Jungk (citando a otro físico), «terminaba normalmente la primera, y es notable lo próximas que
estaban siempre las tres soluciones».
La capacidad para el cálculo mental de Gauss, von Neumann y otros leones matemáticos como
Leonhard Euler y John Wallis puede parecer milagrosa; palidece, sin embargo, ante las hazañas de
los calculistas profesionales, una curiosa raza de acróbatas mentales que floreció a lo largo del siglo
XIX en Inglaterra, Europa y América. Muchos comenzaron su carrera de niños. Aunque algunos
escribieron acerca de sus métodos y fueron examinados por psicólogos, probablemente ocultaron la
mayoría de sus secretos, o quizás ni ellos mismos entendían del todo como hacían lo que hacían.
Zerah Colburn, nacido en Cabot, Vt., en 1804, fue el primero de los calculistas profesionales. Tenía
seis dedos en cada mano y en cada pie, al igual que su padre, su bisabuela y al menos uno de sus
hermanos. (Se le amputaron los dedos de sobra cuando tenía alrededor de 10 años. Nos
preguntamos si acaso fue eso lo que le alentó en sus primeros esfuerzos por contar y calcular.) El
niño aprendió la tabla de multiplicar hasta el 100 antes de que pudiese leer o escribir. Su padre, un
pobre granjero, se dio cuenta rápidamente de sus posibilidades comerciales, y cuando el niño tenía
solamente seis años, le llevó de gira por primera vez. Sus actuaciones en Inglaterra, cuando tenía
ocho años, están bien documentadas. Podía multiplicar cualesquiera números de cuatro dígitos casi
instantáneamente, pero dudaba un momento ante los de cinco. Cuando se le pedía multiplicar 21.734

16. por 543, decía inmediatamente 11.801.562. Al preguntarle cómo lo había hecho, explicó que 543 es
igual a 181 veces 3. Y como era más fácil multiplicar por 181 que por 543, había multiplicado primero
21.734 por 3 y luego el resultado por 181. Washington Irving y otros admiradores del niño recaudaron
dinero suficiente para enviarlo a la escuela, primero en París y luego en Londres. No se sabe si sus
poderes de cálculo decrecieron con la edad o si perdió el interés por actuar. Lo cierto es que volvió a
América cuando tenía 20 años, ejerciendo luego otros diez como misionero metodista. En 1833
publicó en Springfield, Mass., su pintoresca autobiografía titulada A Memoir of Zerah Colburn: written
by himself. . . with his peculiar methods of calculation. En el momento de su muerte, a los 35 años,
enseñaba lenguas extranjeras en la Universidad de Norwich en Northfield, Vt.
Paralelamente a la carrera profesional de Colburn se desarrolla en Inglaterra la de George Parker
Bidder, nacido en 1806 en Devonshire. Se dice que adquirió la destreza en el cálculo aritmético
jugando con piedrecitas y botones, porque su padre, un picapedrero, sólo le enseñó a contar. Tenía
nueve años cuando se fue de gira con su progenitor. Entre las preguntas que le planteaban los
espectadores puede elegirse la que sigue: si la Luna dista 123.256 millas de la Tierra y el sonido viaja
a cuatro millas por minuto ¿cuánto tiempo tarda éste en hacer el viaje de la Tierra a la Luna
(suponiendo que pudiese)? En menos de un minuto el niño respondía: 21 días, 9 horas y 34 minutos.
Cuando se le preguntó (a los 10 años) por la raíz cuadrada de 119.550.669.121, contestó 345.761 en
30 segundos. En 1818, cuando Bidder tenía 12 años y Colburn 14, coincidieron en Derbyshire, donde
hubo un cotejo. Colburn da a entender en sus memorias que ganó el concurso, pero los periódicos de
Londres concedieron la palma a su oponente. Los profesores de la Universidad de Edimburgo
persuadieron al viejo Bidder para que les confiase la educación de su hijo. El joven se desenvolvió
bien en la universidad y finalmente llegó a ser uno de los mejores ingenieros de Inglaterra. Los
poderes de cálculo de Bidder no decrecieron con la edad. Poco antes de su muerte, acaecida en
1878, alguien citó delante de él que hay 36.918 ondas de luz roja por pulgada. Suponiendo que la
velocidad de la luz es de 190.000 millas por segundo, ¿cuántas ondas de luz roja, se preguntaba,
llegarán al ojo en un segundo? «No hace falta que lo calcules», dijo Bidder. «El número de
vibraciones es 444.433 .651.200.000».
Tal vez haya sido Alexander Craig Aitken el mejor de los calculistas mentales recientes. Profesor de
matemáticas de la Universidad de Edimburgo, nació en Nueva Zelanda en 1895 y fue coautor de un
libro de texto clásico, The Theory of Canonical Matrices, en 1932. A diferencia de otros calculistas
ultrarrápidos, no comenzó a calcular mentalmente hasta la edad de 13 años, siendo el álgebra, no la
aritmética, lo que despertó su interés. En 1954, casi 100 años después de la histórica conferencia de
Bidder, Aitken pronunció otra en la Sociedad de Ingenieros de Londres sobre el tema «El arte de
calcular mentalmente: con demostraciones». El texto fue publicado en las Transactions de la
Sociedad (Diciembre, 1954), con el fin de conservar otro testimonio de primera mano de lo que ocurre

17. dentro de la mente de un calculista mental rápido. Un prerrequisito esencial es la capacidad innata
para memorizar números rápidamente. Todos los calculistas profesionales hacen demostraciones de
memoria. Cuando Bidder tenía 10 años, pidió a alguien que le escribiera un número de cuarenta
dígitos y que se lo leyera. Lo repitió de memoria inmediatamente. Al final de una representación,
muchos calculistas eran capaces de repetir exactamente todos los números con los que habían
operado. Hay trucos mnemotécnicos mediante los que los números pueden transformarse en
palabras, que a su vez pueden memorizarse por otro método, pero tales técnicas son demasiado
lentas para emplearlas en un escenario y no hay duda de que ningún maestro las empleaba. «Nunca
he utilizado reglas mnemotécnicas», dijo Aitken, «y recelo profundamente de ellas. No hacen más que
perturbar con asociaciones ajenas e irrelevantes una facultad que debe ser pura y límpida». Aitken
mencionó en su conferencia haber leído recientemente que el calculista francés contemporáneo
Maurice Dagbert había sido culpable de una aterradora pérdida de tiempo y energía» por haber
memorizado pi (v.) hasta el decimal 707 (el cálculo había sido hecho por William Shanks en 1873).
«Me divierte pensar», dijo Aitken, «que yo lo había hecho algunos años antes que Dagbert y sin
encontrar ninguna dificultad. Sólo necesité colocar los digitos en filas de cincuenta, dividir cada una
de ellos en grupos de cinco y luego leerlas a un ritmo particular. De no ser tan fácil habría sido una
hazaña reprensiblemente inútil». Veinte años después, cuando los computadores modernos
calcularon pi con miles de cifras decimales, Aitken se enteró de que el pobre Shanks se había
equivocado en los 180 últimos dígitos. «De nuevo me entretuve», continuó Aitken «en aprender el
valor correcto hasta el decimal 1000, y tampoco entonces tuve dificultad alguna, excepto que
necesitaba 'reparar' la unión donde había ocurrido el error de Shanks. El secreto, a mi entender, es
relajarse, la completa antítesis de la concentración tal como normalmente se entiende. El interés es
necesario. Una secuencia de números aleatorios, sin significación aritmética o matemática, me
repelería. Si fuera necesario memorizarlos, se podría hacer, pero a contrapelo». Aitken interrumpió su
conferencia en este punto y recitó pi hasta el dígito 250, de un modo claramente rítmico. Alguien le
pidió comenzar en el decimal 301. Cuando había citado cincuenta dígitos se le rogó que saltase al
lugar 551 y dar 150 más. Lo hizo sin error, comprobándose los números en una tabla de pi.
Cantor
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) nació en San Petersburgo. Trabajando a
sugerencia de Heinrich Eduard Heine sobre un problema surgido de trabajos de Fourier, hizo notables
descubrimientos acerca de la estructura de la recta real y de los números transfinitos, ideas que,
según estaba convencido, le habían sido comunicadas directamente por Dios. Su aritmética transfinita
encontró mucho rechazo: Henri Poincaré dijo que la teoría era "una enfermedad" de la que algún día
llegarían las matemáticas a curarse; Hermann Weyl se refirió a la jerarquía de alephs establecida por
Cantor como "niebla en la niebla"; Leopold Kronecker, uno de los maestros de Cantor, le calificó de

18. "charlatán científico", "renegado" y "corruptor de la juventud". El propio Cantor se resistió al principio a
aceptar la existencia de tales números. La idea de infinito completo se venía rechazando desde
Aristóteles, a causa de las paradojas que planteaba. Galileo ya se había dado cuenta de que hay
tantos enteros como pares. Santo Tomás de Aquino consideraba que tal noción comportaba un
desafío directo a la naturaleza única, infinita y absoluta de Dios. En vista de ello los matemáticos
rehuían hablar del infinito como cantidad, prefiriendo hablar de él como idea en potencia, es decir,
como límite. El propio Gauss (v.) escribió "...yo protesto sobre todo del uso que se hace de una
cantidad infinita como cantidad completa, lo que en matemáticas jamás está permitido. El infinito es
sólo una forma de hablar, en la que propiamente debería hablarse de límites." Cantor estableció una
ingeniosa correspondencia entre los racionales y los enteros, demostró en 1874 la imposibilidad de
hacer corresponder los reales con los enteros (mediante el famoso procedimiento diagonal que lleva
su nombre). En 1874 comenzó a trabajar con Dedekind. En 1877 encontró una biyección entre los
puntos de la recta y del plano; exclamó "¡Lo veo, pero no lo creo!". Lo envió para su publicación, pero
Kronecker, editor de la revista, bloqueó la publicación. Cantor, ofendido, nunca más publicó en
aquella revista. En 1883 presentó los números transfinitos, aunque tardaría diez años en decidirse
cambiar su notación por la actual con la letra hebrea aleph, al pensar que había que emplear un
nuevo alfabeto para un nuevo concepto. En 1891 demostró que 2a
>a para cualquier número
transfinito a. Siempre confió en poder resolver la hipótesis del contínuo , la cual resistió todo intento
de demostración hasta que en 1963, Paul J. Cohen, de Standford, basándose en resultados de Kurt
Gödel, demostró que tal hipótesis es independiente de la axiomática de la teoría de conjuntos, y tanto
su afirmación como su negación son coherentes con ella. Cantor comenzó a sufrir crisis maníaco-
depresivas cada vez más fuertes hasta finalmente morir, posiblemente sin saber que, gracias a sus
trabajos, Bertrand Russell (v.) había formulado en 1903 su angustiosa paradoja acerca la teoría de
conjuntos. Algún tiempo después, David Hilbert (v.) dijo: "del Paraíso que nos ha creado Cantor nadie
nos echará"; el propio Russell rectificó su inicial desaprobación diciendo que el descubrimiento de
Cantor es "probablemente el más importante que la época puede ostentar".
Cardano
El valiente que por primera vez puso sobre el papel una fórmula que incluía la raíz cuadrada de un
número negativo (v. números complejos), en apariencia sin sentido, fue el matemático italiano
Jerónimo Cardano (1501-1576). Quería descomponer el número 10 en dos partes cuyo producto
fuera igual a 40. Demostró que el problema no tiene solución racional. Cardano escribió estas
soluciones con la reserva de que la cosa no tiene sentido, es ficticia e imaginaria, pero sin embargo
las escribió.

19. Cauchy
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), francés. Su padre, aconsejado por Lagrange, le envió a estudiar
humanidades. Cauchy obedeció, sacó varios premios y, decidido a estudiar matemáticas, entró en la
Escuela Politécnica de París al aprobar en 1805 los exámenes de 293 candidatos con el nº 2, y
terminó en 1807 con el nº 3. Sus convicciones políticas le trajeron muchos problemas, hasta que en
1848 la revolución francesa le permitió ocupar un cargo en la Sorbona. Matemático meticuloso,
construyó una obra inmensa, publicando con regularidad en 45 años de vida científica sobre
aritmética, física matemática, álgebra, análisis, estadística, geometría, mecánica, etc. La edición de
sus obras completas se ha demorado casi un siglo; consta de 27 volúmenes y contiene 800 artículos,
memorias y 5 obras dedicadas a la enseñanza.
Cónicas
Cuando en el s. III antes de Cristo, Apolonio (v.) estudió las tres cónicas, estaba muy lejos de
sospechar que dichas curvas se ajustaban a los movimientos de los cuerpos celestes. Durante
muchos siglos se consideró que las órbitas de los planetas eran circulares con la Tierra como centro.
Estudiando las observaciones hechas durante mucho tiempo por Tycho Brahe sobre el movimiento
del planeta Marte, Kepler (v.), en 1610, descubrió que los planetas giran alrededor del Sol de modo
que sus trayectorias son elipses y el Sol ocupa uno de los focos (el otro permanece vacío y no juega
ningún papel en el movimiento de los planetas alrededor del Sol). Fue Apolonio de Pérgamo (v.),
geómetra griego del siglo III a.C., quien estudió por primera vez este tipo de curvas. En su obra «Las
cónicas» demuestra que se pueden obtener al cortar una superficie cónica de revolución por un plano
que no pase por el vértice de la superficie.
Correlación
La teorías de la correlación y la regresión son muy recientes, y su descubrimiento se debe al médico
inglés Sir Francis Galton (v.). (v. Pearson)
Cuadratura del círculo
Desde que Anaxágoras (500 años a.C.) se planteara por primera vez el problema de conseguir, con
sólo regla y compás, un cuadrado que tuviera igual área que un círculo dado, toda la humanidad ha
estado tratando de resolver este apasionante problema. Todos los intentos resultaron infructuosos,
hasta que después de 2.200 años se demostró la irresolubilidad del citado problema.

20. Curva de Koch
Imagine un triángulo equilátero, divida cada lado en tres partes iguales. La parte media de la
trisección sirve de base para un nuevo triángulo equilátero suprimiendo este segmento de la figura
resultante, y así procederemos varias veces. La figura que obtiene recuerda a un copo de nieve y se
conoce con el nombre de curva de Koch, en honor de Helge von Koch que la describió originalmente
en Suecia en 1904. Esta curva tiene una longitud infinita en un espacio finito y es un ejemplo de
fractal (v.)
Dados
Los dados son un juego divertido. Pero a lo largo de la historia han sido también motivo de reflexión
matemática para algunos grandes pensadores. Platón jugaba, como era la moda en la Grecia de su
época, con tres dados. En su libro Leyes dice que las sumas más difíciles de obtener con tres dados
son 3 y 18.
Claudio, el emperador romano, escribió un libro titulado Cómo ganar a los dados. Por desgracia no se
conserva ningún ejemplar de esa obra. Leibniz, uno de los matemáticos más importantes de la
historia, también estudió las probabilidades en el juego de los dados. Y cometió algunos errores.
Pensaba, por ejemplo que era igual de difícil obtener, con dos dados, 11 ó 12 puntos pues, decía,
ambas puntuaciones sólo se obtienen mediante "una" combinación de dados. No es cierto: once
puntos se pueden lograr mediante dos combinaciones (5,6 y 6,5) y doce sólo mediante una (6,6).
Darboux
Gaston Darboux (1842-1917), matemático francés. Demostró por primera vez en 1875 el teorema de
convergencia de las sumas de Riemann a partir del teorema de Heine sobre la continuidad uniforme.
Demócrito
Arquímedes le atribuye el descubrimiento de la fórmula del volumen de la pirámide.
Derivadas
Las notaciones y´ y f´(x) fueron introducidas por Louis Lagrange (1736-1813), mientras que las formas
dy/dx ó df/dx se deben a G. L. Leibniz (1646-1716).

21. Descartes
René Descartes (1596-1650), considerado padre de la filosofía moderna, trabajó además en
fisiología, psicología, óptica y astronomía. Creó la geometría analítica (1619). En el colegio tenía gran
habilidad para las discusiones: primero acordaba con sus oponentes las definiciones y el significado
de los objetos de discusión, y después construía una argumentación con ellos difícil de rebatir..
Consiguió permiso para levantarse tarde, y así dedicarse a pensar en solitario. Fue gran amigo de
Mersenne (v.). En 1632 resolvió el problema de la caída de los cuerpos sin saber que ya lo habían
hecho.
Distribución normal
También se llama distribución de Gauss o distribución de Laplace-Gauss. Ello se debe a que el
matemático francés Pierre Simon de Laplace (v.) fue el primero que demostró la relación, muy
importante en el estudio de la distribución normal .Sin embargo, muchos autores consideran como
auténtico descubridor de la distribución normal a Abraham De Moivre (v.), quien publicó en 1733 un
folleto con el título de Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n
, en el que aparece por
primera vez la curva de la distribución de errores, que pasando el tiempo, y con no cierta injusticia, se
conoce como distribución de Gauss.
Duplicación del cubo
El arquitecto romano Vitrubio cuenta en su obra la fascinación que sentía Platón por dos problemas
de enunciados sencillos y que, sin embargo, rompieron las ideas sobre los números de la escuela
pitagórica. Uno de ellos era el siguiente: dado un cuadrado, ¿cómo construir otro cuadrado con un
área doble?
Se dice que Pericles murió de la peste que se llevó también a una cuarta parte de la población
ateniense. Para conjurar el peligro se envió una delegación al oráculo de Apolo en Delos para
preguntarle cómo podría desaparecer la peste. El oráculo contestó que era necesario duplicar el altar
cúbico dedicado a Apolo. Al parecer, los atenienses duplicaron diligentemente las dimensiones del
altar, pero esto no sirvió para detener la peste. El oráculo había exigido la duplicación del volumen del
altar, y los atenienses, al duplicar las tres dimensiones por separado, lo habían multiplicado por ocho.
En la respuesta a estos dos problemas puede considerarse que se encuentra el origen de los
números irracionales.

22. Ecuaciones de 5º grado
El famoso teorema sobre la imposibilidad de encontrar una fórmula para resolver tales ecuaciones fue
enunciado por primera vez por el matemático y médico italiano Paolo Ruffini (v.) en el libro Teoria
generale delle equazioni, publicado en Bolonia en 1798. La demostración de Ruffini fue, sin embargo,
incompleta. La primera demostración rigurosa fue dada en 1826 en el primer volumen del Crelle's
Journal fur Mathematik por el joven matemático noruego Niels Henrik Abel (1802-1829) a los
veinticuatro años. Este célebre artículo llevaba por título Démostration de l'impossibilité de la
résolution algébraíque de équations générales qui dépassent le quatrième deqrè.
Egipto
(3000-2500 a.C.) Se inventan las tablas de multiplicar y se desarrolla el cálculo de áreas y el
calendario solar.
Einstein
Él mismo escribió: «Nuestra experiencia nos justifica en la confianza de que la Naturaleza es
concreción de las ideas matemáticas más sencillas.» Cuando tuvo que elegir las ecuaciones
tensoriales capaces de dar cuenta de su teoría de la gravitación, entre todos los sistemas capaces de
cumplir los requisitos necesarios optó por el más sencillo, y a continuación los publicó, con plena
confianza (como en cierta ocasión le dijo al matemático John G. Kemeny) de que «Dios no hubiera
dejado escapar una oportunidad así de hacer tan sencilla la Naturaleza». Se ha opinado que los
enormes logros de Einstein han sido expresión intelectual de una compulsión psicológica de sencillez,
que Henry David Thoreau expuso en Walden como sigue: «¡Sencillez, sencillez, sencillez! Hágame
caso, que sus asuntos sean como dos o tres, no como cientos o millares. No haga por contar un
millón, sino media docena, y lleve su contabilidad en una uña.» En su biografía de Einstein, Peter
Michelmore refiere que «el dormitorio de Einstein parecía la celda de un monje. No había en él
cuadros ni alfombras... Se afeitaba sin muchos miramientos, con jabón de fregar. En casa solía ir
descalzo. Tan sólo cada dos o tres meses dejaba que Elsa (su esposa) le descargara un poco la
pelambrera... Pocas veces encontraba necesaria la ropa interior. También dejó de lado los pijamas y
más tarde los calcetines. "¿Para qué sirven?", solía preguntar. "No producen más que agujeros." Elsa
llegó a perder la paciencia un día en que le pilló cortando de codo abajo las mangas de una camisa
nueva. Su explicación fue que los puños requieren botones o gemelos y es necesario lavarlos con
frecuencia, total, una pérdida de tiempo». «Toda posesión», decía Einstein, «es una piedra atada al

23. tobillo.» Las ecuaciones de Newton tuvieron que ser, a su vez, modificadas por Einstein; y en
nuestros días hay físicos—Robert Dicke entre ellos—que consideran insuficientes las ecuaciones de
gravitación einstenianas y creen que habrán de ser modificadas y transformadas en otras más
complejas.
Eratóstenes de Cirene
275-194 a.C.) Sabio griego nacido en la actual Libia, quien en el siglo III a.C. calculó por primera vez,
que se sepa, el radio de la Tierra. Partiendo de la idea de que la Tierra tiene forma esférica y que el
Sol se encuentra tan alejado de ella que se puede considerar que los rayos solares llegan a la Tierra
paralelos, Eratóstenes el día del solsticio de verano (21 de junio), a las doce de la mañana, midió, en
Alejandría, con ayuda de una varilla colocada sobre el suelo, el ángulo de inclinación del Sol, que
resultó ser 7,2°; es decir, 360º/50. Al mismo tiempo sabía que en la ciudad de Siena (actual Assuán,
en que se construyó recientemente la gran presa de Assuán sobre el curso del río Nilo), los rayos del
sol llegaban perpendicularmente al observar que se podía ver el fondo de un pozo profundo. La
distancia de Alejandría a Siena situada sobre el mismo meridiano era de 5000 estadios (1 estadio =
160 m). Entonces Eratóstenes pensó que dicha distancia sería igual a 1/50 de toda la circunferencia
de la Tierra; por tanto, la circunferencia completa medía:
50 × 5.000 = 250.000 estadios = 250.000 × 160 m = 40.000 km
De donde el radio de la Tierra medía: R = 40.000 / 2Pi = 6.366,19 km.
Las actuales mediciones sobre el radio de la Tierra dan el valor de 6.378 km. Como se puede
observar se trata de una extraordinaria exactitud, si se tienen en cuenta los escasos medios de que
se disponía.
Hoy día, gracias a las mediciones efectudas por los satélites, conocemos la Tierra palmo a palmo y
podemos saber con precisión casi milimétrica cuál es su tamaño. Pero hace veintitrés siglos no era
tan fácil.
Medir el radio de la Tierra no fue el único mérito de Eratóstenes. Como otros sabios de su época, no
se conformó con una rama del saber: fue astrónomo, geógrafo, historiador, literato... y matemático; a
él se debe la "criba de Eratóstenes", un sistema para determinar números primos.
Todos esos conocimientos y su gran reputación hicieron que el Rey de Egipto le eligiera para dirigir la

24. Biblioteca de Alejandría, en la que se guardaba todo el saber de su época.
A los ochenta años, ciego y cansado, se dejó morir por inanición.
Escher
Roger Penrose dibujó una tribarra imposible, y su padre una escalinata. Escribieron un artículo sobre
ellas, publicado en 1958, y se lo enviaron. Al poco, Escher dibujó Cascada y Ascenso y descenso.
Euclides
Son muy escasas las noticias históricas que se tienen sobre la vida de Euclides. Proclo dice que vivió
en el período 306-285 aC, en tiempos de Ptolomeo I, quién le invitó al museo de Alejandría. Con
bastante seguridad, parece que se puede afirmar que Euclides estudió en Atenas, donde conoció los
últimos resplandores de su foco científico, pasando luego a Alejandría bajo la protección de los
lágidas. Su obra más notable, a la cual debe su inmortalidad, es la titulada Elementos, que equivale a
lo que hoy sería un tratado y que ha llegado íntegra hasta nuestros días. Los Elementos rivalizan, por
su difusión, con los libros más famosos de la literatura universal: la Biblia, La divina comedia, el
Fausto y el Quijote, privilegio tanto más excepcional en cuanto que se trata de una producción
científica, no asequible, por tanto, a las grandes masas de lectores. Después de la Biblia y las obras
de Lenin, los Elementos ha sido el libro que ha tenido más ediciones y se ha traducido a más lenguas.
El rey egipcio Ptolomeo I (306-283 a.C.) empezó a leerlo, pero se cansó enseguida porque le costaba
mucho trabajo seguir los largos y minuciosos razonamientos. Mandó llamar a Euclides y le preguntó si
existía alguna vía más corta y menos trabajosa. Euclides respondió que no, que «en matemáticas no
hay caminos reales». Los Elementos fueron traducidos al latín por Adelardo de Bath y Gerardo de
Cremona.
La actitud actual en las matemáticas se parece al espíritu clásico de Euclides en el sentido de que
creemos que basta con la inteligencia para toda creación científica cuyo desarrollo se verifica según
un proceso puramente racional. Si cambiamos o suprimimos coherentemente algunos postulados
podremos seguir obteniendo geometrías coherentes. Éste no es un problema fácil, ya que es
complicado decidir sobre la necesidad o no de un postulado o sobre su dependencia de otro u otros.
A lo largo de la historia se ha visto cómo muchos matemáticos han intentado, en vano, probar que el
famoso quinto postulado de Euclides era una consecuencia de los restantes. No fue hasta mediados
del siglo pasado cuando se vio la independencia de todos los postulados y la posibilidad de la

25. construcción de nuevas geometrías. Habían nacido así las geometrías no euclídeas (elíptica e
hiperbólica) con la misma consistencia que la euclídea, pero independientes de ésta.
Los Elementos constan de trece libros, a los que casi todos los editores agregan otros dos, cuya
autenticidad es dudosa. De lo que no cabe duda alguna es de que la historia de los Elementos es la
historia de la geometría, desde su redacción hasta el Renacimiento.
Pero Euclides no sólo se dedicó a la geometría. Se habían definido los números primos y Euclides
demostró que había infinitos, aunque debido a la inexistencia de un sistema de numeración adecuado
le habría resultado dificil dar ejemplos de números primos relativamente grandes, por ejemplo,
superiores a un millón. Notemos que para los griegos los números superiores a diez mil eran ya
prácticamente inmanejables, debido a los métodos de cálculo rudimentarios que utilizaban.
Euler
Leonard Euler (1707-1783), matemático suizo, simbolizó en 1777 la raíz cuadrada de -1 con la letra i
(inicial de imaginario). Ese mismo año nacía Carl Friedrich Gauss (1777-1855), que dio una
interpretación geométrica a los números complejos ¿Casualidad?. (v. Recta de Euler). Demostró el
teorema de Fermat (v.) para n=3, pero cometió un grave error.
Fermat
Pierre de Fermat (1601-1665), francés, fundador de la teoría de los números. No era matemático sino
jurista, y sus trabajos matemáticos no se publicaron hasta después de su muerte. Escribió numerosas
notas al margen de su ejemplar de la Aritmética de Diofanto. Una de ellas ha llegado a ser uno de los
más famosos enunciados en la historia de las matemáticas, el Último teorema de Fermat. Al lado de
un problema sobre ternas pitagóricos, escribió en latín: "Por otra parte, es imposible que un cubo sea
suma de otros dos cubos, una cuarta potencia, suma de dos cuartas potencias, o en general, que
ningún número que sea potencia mayor que la segunda pueda ser suma de dos potencias
semejantes. He descubierto una demostración verdaderamente maravillosa de esta proposición que
este margen es demasiado estrecho para contener." Un jurista provinciano del s. XVII ha burlado con
su teorema a los más capaces matemáticos de tres siglos. Se sospecha que estaba equivocado y
carecía de tal demostración. Cien años más tarde Euler(v.) publicó una demostración ¡errónea! Para
n=3. En 1825, Dirichlet y Legendre lo hicieron para n=5, y en 1840 Gabriel Lamé lo hizo, no sin gran
dificultad, para n=7. En 1847 Kummer logró establecerlo para todo n primo <100 salvo, quizá, para 37,

26. 59 y 67. Mediante ordenador se demostró en 1970 para n hasta 30.000 y poco después hasta
125.000. En 1854 la Academia de Ciencias de París había hecho la promesa de otorgar una medalla
y 300.000 francos de oro a quien lograra demostrar el teorema. Kummer recibió la medalla en 1858.
La historia tiene su final con Willes (v.), quien ha logrado, no sin tropiezos, dejarlo definitivamente
establecido.
Fibonacci
Leonardo de Pisa (1170-1241), más conocido por Fibonacci, que significa «hijo de Bonaccio»,
coetáneo de Ricardo Corazón de León, fue sin duda el más grande entre los matemáticos europeos
de la Edad Media. Se aficionó a las matemáticas siendo un chiquillo, tras un curso de aritmética
posicional hindú que su padre, Bonaccio, director de la oficina de aduanas en una factoría mercamtil
italiana asentada en Bougie, Argelia, le hizo seguir. La más conocida de sus obras, Liber abaci (1202)
(literalmente, Libro del ábaco) era en realidad un amplio tratado del sistema de numeración
indoarábigo, en el que presenta los signos hindúes y el 0 (quod arabice zephirum appellatur), y el
método de regula falsi para ecuaciones de primer grado, mas sus razonamientos no parecieron
causar demasiada impresión a los mercaderes italianos de la época. Con el tiempo, su libro llegó a
ser, empero, la obra de máxima influencia entre todas las que contribuyeron a introducir en Occidente
la notación indo-arábiga. En De quadratis numeris (~1225), que se perdió, y apareció en 1853 en la
Biblioteca Ambrosiana de Milán, cuando muchos pensaban que sus resultados estaban copiados de
Diofanto, supera a éste y a los árabes y sólo es superado por Fermat (v.) en el siglo XVII.
No deja de ser irónico que Leonardo, cuyas aportaciones a la matemática fueron de tanta importancia,
sea hoy conocido sobre todo a causa de un matemático francés del siglo pasado, Edouard Lucas,
interesado por la teoría de números (y recopilador de una clásica obra de matemáticas recreativas, en
cuatro volúmenes), quien encadenó el nombre de Fibonacci a una sucesión numérica que forma parte
de un problema trivial del Liber abaci. La sucesión de Fibonacci (1,1,2,3,5,8,11,... cada término es la
suma de los dos anteriores Fn=Fn-1+Fn-2) ha tenido intrigados a los matemáticos durante siglos, en
parte a causa de su tendencia a presentarse en los lugares más inopinados, pero sobre todo, porque
el más novel de los amateurs en teoría de números, aunque sus conocimientos no vayan mucho más
allá de la aritmética elemental, puede aspirar a investigarla y descubrir curiosos teoremas inéditos, de
los que parece haber variedad inagotable. El interés por estas sucesiones ha sido avivado por
desarrollos recientes en programación de ordenadores, ya que al parecer tiene aplicación en
clasificación de datos, recuperación de informaciones, generación de números aleatorios, e incluso en
métodos rápidos de cálculo aproximado de valores máximos o mínimos de funciones complicadas, en
casos donde no se conoce la derivada. Seguramente la propiedad más notable de la sucesión de
Fibonacci sea que la razón entre cada par de números consecutivos va oscilando por encima y debajo

27. de la razón áurea, y que conforme se va avanzando en la sucesión, la diferencia con ésta va
haciéndose cada vez menor; las razones de términos consecutivos tienen por límite, en el infinito, la
razón áurea. La razón áurea es un famoso número irracional, de valor aproximado 1,61803..., que
resulta de hallar la semisuma de 1 y la raíz cuadrada de 5. Hay abundante literatura (no siempre
seria) dedicada a la aparición de la razón áurea y de la sucesión de Fibonacci tan relacionada con
ella, en el crecimiento de los organismos y a sus aplicaciones a las artes plásticas, a la arquitectura e
incluso a la poesía. George Eckel Duckworth, profesor de clásicas en la Universidad de Princeton,
sostiene en su libro Structural Patterns and Proportions in Vergil's Aeneid (University of Michigan
Press, 1962) que lo mismo Virgilio que otros poetas latinos de su época se sirvieron deliberadamente
de la sucesión de Fibonacci en sus composiciones.
En el reino vegetal, la sucesión de Fibonacci hace su aparición más llamativa en la implantación
espiral de las semillas en ciertas variedades de girasol. Hay en ellas dos haces de espirales
logarítmicas, una de sentido horario, otra en sentido antihorario. Los números de espirales son
distintos en cada familia, y por lo común, números de Fibonacci consecutivos. La lista de propiedades
de la sucesión de Fibonacci bastaría para llenar un libro. Otro tanto puede decirse de sus aplicaciones
en Física y Matemáticas. Leo Moser ha estudiado las trayectorias de rayos luminosos que inciden
oblicuamente sobre dos láminas de vidrio planas y en contacto. Los rayos que no experimentan
reflexión alguna atraviesan ambas láminas de sólo una forma; para los rayos que sufren una reflexión
hay dos rutas posibles; cuando sufren dos reflexiones, las trayectorias son de tres tipos, y cuando
sufren tres, de cinco. Al ir creciendo el número n de reflexiones, el número de trayectorias posibles va
ajustándose a la sucesión de Fibonacci: para n reflexiones, el número de trayectorias es Fn+2. La
sucesión puede utilizarse de forma parecida para contar el número de distintas rutas que puede
seguir una abeja que va recorriendo las celdillas exagonales del panal; supondremos que la abeja se
dirige siempre a una celdilla contigua y a la derecha de la que ocupa. Poco cuesta probar que hay
sólo una ruta hasta la primera casilla, dos hasta la segunda, tres hasta la tercera, cinco itinerarios que
conduzcan a la cuarta, y así sucesivamente. Al igual que antes, el número de trayectos es Fn+1, donde
n es el número de casillas del problema. Y ya que viene a cuento, las abejas machos, o zánganos, no
tienen padre. C. A. B. Smith ha hecho notar que cada zángano tiene madre, 2 abuelos (los padres de
la madre), 3 bisabuelos (y no cuatro, pues el padre de la madre no tuvo padre), 5 tatarabuelos, y así
sucesivamente, en sucesión de Fibonacci. David Klarner ha mostrado que los números de Fibonacci
expresan de cuántas maneras podemos construir con dominós (rectángulos de tamaño 1 x 2)
rectángulos de dimensión 2 x k. Hay sólo una manera de formar el rectángulo 2 x 1; 2 maneras de
construir el cuadrado de 2 x 2; 3 para el rectángulo de 2 x 3; 5 para el de 2 x 4, y así sucesivamente.
El más notable de los problemas abiertos concernientes a sucesiones de Fibonacci es el de si
contienen o no colecciones infinitas de números primos. En una sucesión de Fibonacci generalizada,

28. si los primeros números son divisibles ambos por un mismo número primo, todos los términos
posteriores lo serán también, y es evidente que tales sucesiones no podrán contener más de un
número primo. Supongamos, pues, que los dos primeros números sean primos entre sí (esto es, que
su único común divisor sea 1). ¿Podrán existir sucesiones generalizadas que no contengan
absolutamente ningún número primo? El primero en resolver esta cuestión fue R. L. Graham en «A
Fibonacci-like Sequence of Composite Numbers», en Mathematics Magazine, vol, 57, noviembre de
1964 pp. 322-24. Existe una infinidad de sucesiones así, pero la mínima (en el sentido de serlo sus
dos primeros números) es la que empieza por 1786772701928802632268715130455793 y
1059683225053915111058165141686995.
Fourier
El Barón Joseph Fourier (1768-1830) propuso la notación moderna para las integrales (v.)
Fractal
En 1975 el matemático Benoit Mandelbrot, dedicado a la investigación pura en IBM, publicó un libro
titulado Los objetos fractales. Un fractal es una manera de ver lo infinito con el ojo de la mente. En
1979, Job Hubbard, matemático estadounidense, utilizando el método de Newton (que sirve para
resolver ecuaciones mediante tanteo), hizo que el ordenador fuera explorando muchos de los infinitos
puntos que componen el plano complejo asignando colores a los puntos, y a medida que fue
obligando al ordenador a realizar una exploración más detallada se fue desconcertando, pues obtenía
imágenes que mucho tienen que ver con los fractales.
Galileo Galilei
Galileo Galilei dijo en El Saggiatore: "El libro de la naturaleza está escrito en lenguaje matemático,
cuyos caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales sería imposible
entender una sola palabra, y se andaría siempre como en un laberinto oscuro."
Galois
Évariste Galois (1811-1832) era un niño raro. O, al menos, eso decían sus profesores. Inteligente,
original y con gran facilidad para las matemáticas, pero raro. Además de un gran matemático, fue el
prototipo del hombre apasionado y vital del Romanticismo. A los doce año ya discutía sobre política y
sobre arte. Se enfrentaba a sus profesores y se entusiasmaba con los escritores románticos. Su
mayor deseo era estudiar matemáticas, así que se preparó para ingresar en una Escuela Politécnica.

29. En pleno examen de ingreso se enfrentó a los miembros del tribunal, cuyas preguntas consideraba un
poco tontas. Fue suspendido. A los 17 años publicó un artículo sobre fracciones continuas, creando la
teoría de grupos, una rama de las matemáticas que incide en aritmética, cristalografía, física de
partículas y el cubo de Rubik. Simultáneamente suspendía, por segunda vez, el examen de
matemáticas para entrar en la École Polytechnique. Galois siguió sus investigaciones por su cuenta.
Los babilonios conocían la solución de la ec. de 2º grado. Los italianos Scipione dal Ferro y Niccolò
Fontana (Tartaglia) resolvieron la cúbica a principios del s. XVI. Casi en la misma época el italiano
Lodovico Ferrari resuelve la de grado cuarto. En casi 300 años no se había avanzado ni un milímetro.
En 1829 Galois presentó sus trabajos a la Academia de Ciencias francesa, pero Cauchy, encargado
de informar sobre ellos, no lo hizo (según la leyenda, los perdió). Poco después presentó una
monografía para optar a un premio, que fue asignado a Fourier, pero éste murió y la monografía
nunca se encontró. En 1831 volvió a la carga, y su memoria fue encomendada a Poisson, quien
recomendó a la Academia que lo rechazase. Galois empieza a asistir a las sesiones para insultar a
los oradores. Su padre se había suicidado y su madre le abandonó; estuvo en la cárcel por su activa
participación en la revolucion de 1830. El mismo día en que sale de prisión (tiene entonces veintiún
años) sus enemigos le retan en duelo (según dicen por causa de una "infame coqueta de baja
estofa"). El acepta. Pasa toda la noche recopilando sus teorías. Angustiado porque ve que llega el
amanecer, va anotando al margen: "No tengo tiempo, no tengo tiempo...", terminando "...confío en
que después algunos hombres encuentren de provecho organizar todo este embrollo". A la mañana
siguiente, el 30 de mayo de 1832, se bate en duelo y cae herido de muerte.
Galton
Sir Francis Galton (1822-1917) nació en Birmingham. Sus trabajos más importantes conectaron con
sus dos grandes aficiones: el estudio de la herencia y la expresión matemática de los fenómenos
vinculados a ella. Galton nació el mismo año que George Mendel, con quien tenía gran afinidad, y
además era primo, por parte de su madre, del célebre Charles Darwin. Fue el primero en asignar un
numero a un conjunto de variables, y de esta forma obtener una medida del grado de relación
existente entre ellas. Sostenía la idea de que personas excepcionalmente altas solían tener hijos de
estatura menor a la de sus progenitores, mientras que personas muy bajas solían tener hijos más
altos que sus padres; este hecho lo enunció Galton como la regresión a la mediocridad, aplicables a
las tallas de una generación respecto de las siguientes. Este principio se considera la primera falacia
sobre la teoría de la regresión (v.). La justificación que se da hoy día a este hecho es que los valores
extremos de una distribución se deben en gran parte al azar. Galton construyó un ingenioso
dispositivo que lleva su nombre (aparato de Galton): sobre un tablero inclinado están distribuidos
regularmente un sistema de clavos que permiten deslizar un gran número de bolas que proceden de
un depósito superior. Las bolas, al chocar con los clavos, se alejan en mayor o menor medida de la

30. línea central de caída, según la ley de azar. Recogiendo estas bolas en compartimentos estrechos,
distribuidos a lo largo del borde inferior del tablero, las alturas que alcanzan las bolas en las distintas
columnas varían según una ley binomial. Hace pocos años, el Science Materials Center construyó,
bajo el nombre de Hextat, un aparato análogo, al que se ha llamado demostrador mecánico de
probabilidad.
Gauss
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) matemático alemán, fue un niño prodigio, y continuó siendo
prodigio toda su vida hasta el extremo que se le ha llamado el Príncipe de los Matemáticos, si bien su
linaje no fue nada aristocrático, pues nació en una miserable cabaña y sus padres eran pobres. Sus
contribuciones a la matemática, la física matemática y otras ramas aplicadas de la ciencia, como la
Astronomía, fueron de una importancia extraordinaria. Nunca publicó un trabajo hasta asegurarse de
que estaba perfectamente elaborado, por lo cual no hay forma de saber cómo obtenía sus resultados
(llegó a decir "cuando se finaliza un noble edificio no deben quedar visibles los andamios", pero,
continuando con su metáfora, Gauss no solamente retiró los andamios sino que destruyó los planos.
Jacobi dijo: "sus demostraciones son rígidas, heladas... lo primero que hay que hacer es
descongelarlas". Abel (v.) observó "Es como el zorro, que borra con la cola sus huellas de la arena").
Fue muy precoz. Antes de cumplir tres años corrigió a su padre en la cuenta de la paga a los obreros,
sin que nadie le hubiera enseñado aritmética. A los 10 años el maestro propuso en clase el problema
de sumar 1+2+...+100. Apenas había terminado de enunciarlo, cuando Gauss puso su pizarra en la
mesa del profesor. Al cabo de una hora sus compañeros terminaron el tedioso cálculo. Sus pizarras
estaban repletas de sumas, mientras que en la de Gauss sólo había un número. Era la única
respuesta correcta. A Gauss le encantaba, en su vejez, contar esta anécdota. El maestro le compró
con su propio dinero un libro de aritmética y se lo regaló. El libro contenía una demostración del
teorema del binomio poco rigurosa; a Gauss no le gusto, y construyó otra mejor. A los 19 años había
demostrado importantes teoremas de teoría de números, que con anterioridad Euler (v.) y Legendre
habían intentado demostrar sin éxito. Desde Euclides se conocían construcciones geométricas con
sólo regla y compás para los polígonos regulares de 3, 4, 5, y 15 lados y todos los que se deducen de
ellos por bisección, pero ninguno más. En 2.000 años nadie había avanzado nada en este problema.
En marzo de 1796, con 18 años, encontró una construcción para el polígono de 17 lados y caracterizó
exactamente los polígonos que pueden construirse con regla y compás: su número de lados ha de
estar compuesto de potencias de 2 y de primos de Fermat (v.) con n primo. Esto fue lo que lo decidió
a hacer la carrera de matemáticas.
Según cuenta él mismo, a los 20 años estaba tan sobrecargado de ideas matemáticas que no tenía

31. tiempo para escribirlas. En julio de 1796 demostró que todo entero positivo es suma de tres números
triangulares y lo anotó en su diario como "¡Eureka!". El primero en demostrar que un polinomio tiene
como máximo tantas raíces distintas como indica su grado fue Gauss. Lo curioso es que esa
demostración la hizo con sólo veintiún años, en su tesis doctoral. En 1801, con 24 años, publicó sus
Disquisitiones Arithmeticae, donde, entre otras, inventó la aritmética modular porque la necesitaba
para profundos teoremas. Fue el primero en usar ampliamente los números complejos (v.) y en
expresarlos en su forma binómica junto con sus leyes. En su tesis doctoral (1799), demostró el
Teorema Fundamental del Álgebra (v.) por ser uno de los más importantes pilares sobre el que se
sustenta todo el álgebra. Fue el primero en emplear geometrías no euclídeas (v.) y en darles tal
denominación. Descubrió el teorema de Cauchy, fundamento del análisis de variable compleja.
Descubrió la distribución normal (de Gauss), el método de mínimos cuadrados. Su enorme fama
aumentó aún más depués de su muerte, al descubrirse, inéditos, una gran cantidad de importantes
resultados que él no había querido publicar.
Geometría
Platón, en su escuela (la Academia), donde se discutían los más difíciles problemas de la lógica, de la
política, del arte, de la vida y de la muerte, había hecho escribir encima de la puerta: «No entre el que
no sea geómetra».
Geometría analítica
Fue el científico y filósofo francés René Descartes (1596-1650) quien permitió unir el lenguaje
geométrico, casi experimental, y el lenguaje algebraico, dando origen a la Geometría analítica. El
desarrollo de la nueva geometría propició el descubrimiento del cálculo infinitesimal debido a Leibniz y
a Newton. Decía Voltaire: La Geometría de Descartes es un método para dar ecuaciones algebraicas
a las curvas.
Geometría Euclidea
Hacia el año 300 a.C. nace en Grecia Euclides, posiblemente, el matemático más enigmático que ha
existido, hasta el punto que no se sabe nada sobre su vida: cuándo, dónde nació y murió. En cambio
su tratado sobre geometría titulado Elementos es probablemente, uno de los libros que aún hoy
conserva toda su vigencia. En los Elementos, Euclides reunió en una sola obra todos los
conocimientos sobre geometría acumulados desde la época de Thales de Mileto (640-546 a. de C.)

32. hasta dos siglos y medio después. Partiendo de una serie de axiomas y postulados, que son
admirables por su elegancia y brevedad, expuso teorema a teorema, y de una forma tan lógica que
veintitrés siglos después ha sido imposible mejorar. Hasta el siglo XIX nadie se atrevió a poner en
duda los axiomas y postulados de Euclides.
Geometrías no euclídeas
En la primera mitad del siglo XIX surge el advenimiento de geometrías que se denominan no
euclídeas debido a que niegan el quinto postulado de Euclides «Por un punto P exterior a una recta r
se puede trazar una y sólo una recta paralela a la recta r». La forma de negar esta proposición puede
ser de dos formas: o bien no se puede trazar ninguna paralela a r o se pueden trazar infinitas. El
primero en utilizar estas ideas fue el matemático alemán Gauss (v.), a quien se debe la denominación
de geometría no euclídea. Las primeras publicaciones sobre geometría no euclídea se deben a los
matemáticos Janos Bolyai, húngaro, y Nicolaus Ivanovich Lobatchevzki (1793-1856), ruso, quien toma
como entes fundamentales el punto, la circunferencia y la esfera; de ellos deduce la recta y el plano, y
seguidamente va construyendo toda su geometría. Posteriormente el matemático Riemman en 1854
ideó una geometría que comprendía como casos particulares tanto la euclídea como las no euclídeas
de Gauss, Lobatchevski y Bolyai. La geometría de Riemman ha desempeñado un papel fundamental
en el desarrollo de la física moderna, hasta el punto que fue sobre dicha geometría en la que Albert
Einstein se basó para enunciar la teoría de la relatividad.
Göttingen
En la Universidad de Göttingen hay un cofre que contiene un manuscrito en el que se expone la
construcción, usando tan sólo regla y compás, de un polígono regular de 65.537 lados. Solamente
pueden construirse polígonos regulares de número primo de lados por el procedimiento clásico
cuando el número de lados sea un primo de un tipo especial que se conocen con el nombre de
números primos de Fermat (v.) Tan solo se conocen cinco números primos de este tipo: 3, 5, 17, 257
y 65.537. En opinión de Coxeter, el pobre matemático que consiguió construir el 65.537-gono, debió
invertir en ello unos diez años. Se ignora si existe un polígono con un número primo de lados mayor
que el anterior que pueda ser construido a priori con regla y compás. Si tal polígono existe, su
construcción efectiva está fuera de la cuestión, pues su número de lados sería astronómico.

33. Grecia
Existe unanimidad al afirmar que las matemáticas se desarrollaron en Grecia a lo largo de los siglos
VII y VI antes de Cristo, una vez que los griegos formalizaron un alfabeto más o menos uniforme,
aunque los historiadores modernos admiten que nuestros conocimientos sobre la ciencia de esa
época carecen de un sólido fundamento. No existen fuentes primarias, ya que los acontecimientos
sólo fueron registrados mucho tiempo después de que hubieran sucedido. En este sentido, es casi
seguro que las anécdotas e historias referentes a las dos figuras cimeras de la matemática primitiva,
Tales de Mileto (hacia 624-548 aC) y Pitágoras de Samos (alrededor de 580-500 aC), sean más o
menos legendarias. De lo que parece no haber duda es de que el saber matemático comúnmente
atribuido a los primeros griegos era ya conocido por los egipcios y los babilonios muchos siglos antes.
Sin embargo, los griegos, que se asentaron de extremo a extremo en toda la región mediterránea,
desempeñaron un papel fundamental en la conservación, enriquecimiento y difusión de ese
conocimiento. Pero una de sus primeras y principales aportaciones fue el haber utilizado el poder de
abstracción. Así, la recta había dejado de ser una cuerda tensa y un rectángulo no era ya el contorno
de una parcela. Asimismo, parece totalmente seguro que fueron los filósofos griegos los primeros en
darse cuenta de que un enunciado matemático debía de ser demostrado mediante deducción lógica a
partir de ciertos hechos fundamentales llamados axiomas. Hasta entonces, las demostraciones
matemáticas se habían realizado a partir de la experimentación. El hecho de haber comprendido que
una proposición matemática no quedaba demostrada exhibiendo un número suficientemente grande
de casos en los que se verificaba, supuso un progreso de la máxima trascendencia en la historia de la
ciencia en general y de las matemáticas en particular.
Para poner de manifiesto la diferencia entre las matemáticas griegas y las anteriores (egipcia o
babilónico) bastará con recordar los tres problemas clásicos que tanto preocuparon a los griegos y a
generaciones posteriores; problemas que, sin embargo, hubieran resultado incomprensibles para las
civilizaciones basadas en la experimentación. Son problemas de carácter meramente intelectual,
planteados a partir de especulaciones teóricas profundas y que nada tenían que ver con las
necesidades prácticas. Estos problemas eran:
1. La duplicación del cubo. El problema consiste en calcular el lado de un cubo que tuviera doble
volumen que otro dado previamente. El lado que se buscaba debía ser obtenido a partir del
primitivo mediante la regla y el compás. Se ofrecieron soluciones parciales y aproximadas
que, evidentemente, contribuyeron al desarrollo de las matemáticas. Tuvieron que pasar
muchos siglos para poder probar que el problema no tenía solución en la forma en que lo
planteaban los griegos. En efecto, utilizando coordenadas cartesianas el problema se reduce

34. a resolver la ecuación x3
=2.
2. La trisección del ángulo. También en este caso hubo que esperar a la aparición de la
geometría de Descartes para poder resolver el problema algebraicamente.
3. La cuadratura del círculo utilizando sólo la regla y el compás. Sorprendía a los griegos que
dibujando, sólo con regla y compás, no se pudiese construir un cuadrado de área igual a la de
un círculo dado. Este problema preocupó a muchas generaciones de matemáticos. A veces
se ofrecieron soluciones aparentes, triviales y sin sentido. Hubo matemáticos que dedicaron
una gran parte de su vida a intentar resolver el problema de la cuadratura del círculo
(evidentemente sin conseguirlo). La imposibilidad de la cuadratura del círculo fue plenamente
probada por Lindemann a finales del siglo pasado, al haber demostrado la transcendencia del
número Pi; esto es, Pi no puede ser raíz de ninguna ecuación algebraica con coeficientes
enteros.
Estos problemas son la prueba evidente de la revolución que supuso para la historia del pensamiento
el paso de la matemática empírica, dedicada a resolver problemas prácticos, a la matemática como
estructura del pensamiento, con problemas puramente ideales, propios de filósofos y pensadores. A
pesar de su dificultad, estos problemas se difundieron por la sociedad, perduraron a través de los
siglos y sirvieron de estímulo para el desarrollo de las matemáticas y, por extensión, de toda la
ciencia.
Hermite
Charles Hermite (1822-1901) Matemático francés que desarrolló un método (de Hermite) para integrar
funciones racionales de factores cuadráticos múltiples.
Herón de Alejandría
Herón de Alejandría (s. I ó II d.C.) fue el inventor de la máquina de vapor. A partir del siglo XVIII
muchas máquinas empezaron a funcionar gracias a la energía que se obtiene del vapor de agua.
Diecisiete siglos antes, Herón de Alejandría ya utilizó las posibilidades energéticas del vapor. Su
"máquina de vapor" era una esfera hueca a la que se adaptaban dos tubos curvos. Cuando hervía el
agua en el interior de la esfera, ésta giraba a gran velocidad como resultado de la ley de acción y
reacción, que no fue formulada como tal hasta muchos siglos más tarde. Pero a nadie se le ocurrió
darle al invento más utilidad que la de construir unos cuantos juguetes. En su "Métrica" demostró la
fórmula de su nombre para el área de un triángulo, donde a, b y c representan sus tres lados y s su

35. semiperímetro. La fórmula, que constituye el principal mérito matemático de Herón, es fácil de
demostrar con ayuda de trigonometría. En nuestros días, el renombre de Herón se debe, sobre todo,
a sus deliciosos tratados sobre autómatas griegos y juguetes hidráulicos, como la paradójica «fuente
de Herón», donde un chorro de agua parece desafiar la ley de la gravedad, pues brota más alta que
su venero.
Herón era, sobre todo, un ingeniero. Escribió tratados de mecánica en los que describía máquinas
sencillas (ruedas, poleas, palancas ... ).
IBM y HAL
Los lectores de la famosa novela "200l, una odisea del espacio", de Arthur C. Clarke, recordarán que
en ella interviene de forma muy activa HAL, el ordenador parlante de la nave espacial. Las siglas HAL
provienen de "computador heurísticamente programado y algorítmico"; pero si tomamos en el alfabeto
la siguiente a cada una de las letras que componen el nombre HAL resulta IBM. En el filme, el
logotipo de IBM es visible en los terminales de visualización de HAL, y todo el mundo supuso que
Clarke había desplazado las letras intencionadamente. Por su parte, Clarke asegura que tal hecho es
completamente accidental, y que él fue el primer sorprendido al enterarse.
Integrales
El origen de la integral definida se remonta a la época de Arquímedes (277-212 a.C.), matemático
griego de la antigüedad que obtuvo resultados importantes en el cálculo de áreas limitadas por
curvas. El proceso seguido en la definición de integral definida es, en esencia, el mismo que utilizó
Arquímedes: dada una región del plano, su área puede calcularse por medio de regiones poligonales
inscritas o circunscritas a la misma, tales que al aumentar el número de lados, el área de estos
polígonos tiende a aproximarse al área pedida. La integral definida es una generalización práctica y
sutil de este proceso. Los griegos ya consiguieron resolver algunos problemas relativos a áreas,
actualmente asociados a las integrales definidas de las funciones x y x2
. El cálculo efectivo en cada
uno de ellos dependía de algún procedimiento ingenioso, especialmente diseñado para ese problema
particular. El método arquimediano de aproximación ha adquirido nuevamente importancia, ya que el
cálculo de las integrales definidas puede hacerse con los ordenadores actuales con tanta precisión
como deseemos. Esto es útil cuando el cálculo de una primitiva resulta imposible o muy difícil y para
la mayoría de las aplicaciones científicas es más que suficiente.
El Yenri, o principio del círculo, es la primera forma de cálculo infinitesimal desarrollada en Japón. Se
atribuye tradicionalmente a Seki Kowa, un matemático del siglo XVII. Un dibujo, fechado en 1670, da

36. la superficie del círculo a partir de la suma de una serie de rectángulos inscritos en él.
La derivada apareció veinte siglos después de que Arquímedes sentara las bases del cálculo de
áreas y para resolver otros problemas que en principio no tenían nada en común con la integral
definida. El descubrimiento más importante del cálculo diferencial e integral creado por Barrow,
Newton y Leibniz es la íntima relación entre la función derivada y la integral definida. Una vez
conocida la conexión entre derivada e integral (teorema de Barrow), el cálculo de integrales definidas
se hace tan sencillo como el de las derivadas.
Hermite (v.) desarrolló un método para integrar funciones racionales de factores cuadráticos múltiples.
La notación fue propuesta por Fourier (v.) y adoptada definitivamente a partir de Cauchy.
Kepler
Kepler, en 1610, descubrió que los planetas giran alrededor del Sol de modo que sus trayectorias son
elipses (v. cónicas) y el Sol ocupa uno de los focos (el otro permanece vacío y no juega ningún papel
en el movimiento de los planetas alrededor del Sol). Las tres leyes de Kepler son:
1ª Ley: Los planetas describen una órbita elíptica alrededor del Sol, encontrándose éste en uno de los
focos de dicha elipse.
2ª Ley: Al moverse el planeta en su órbita, el radio vector, segmento que une el planeta con el Sol,
barre áreas iguales en tiempos iguales.
3ª Ley: La relación que existe entre el radio medio de la órbita elevado al cubo y el período elevado al
cuadrado es constante para todos los planetas.
Intentó primero inscribir y circunscribir en las órbitas polígonos regulares y después esferas y cubos;
pero no atinaba a dar una pauta que proporcionara las dimensiones correctas. De pronto le vino la
inspiración. Hay seis planetas, y por tanto, cinco espacios intermedios entre ellos. ¿Y no es cierto que
hay cinco y solamente cinco sólidos regulares convexos? Encajando uno dentro de otro los cinco
sólidos platónicos en un cierto orden, con esferas intermedias encargadas de traducir las
excentricidades de las órbitas elípticas de los planetas, obtuvo una estructura que se correspondía
aproximadamente con las que entonces se creía eran las distancias máxima y mínima de los planetas
al sol. Durante años, Johannes Kepler estuvo luchando en defensa de la circularidad de las órbitas