Topologia texto u.n

G
.RUBIANO
Topolog´ıa general
[un primer curso]

G
.RUBIANO
Topolog´ıa general
[un primer curso]
Gustavo N. Rubiano O.
Profesor titular
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Sede Bogot´a

G
.RUBIANO
vi, 284 p. : 3 il. 00
ISBN 978-958-719-442-5
1. Topolog´ıa general
Topolog´ıa general, 3a. edición
Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá
Facultad de Ciencias, 2010
Mathematics Subject Classification 2000: 00–00.
c Edición en castellano: Gustavo Nevardo Rubiano Ortegón
Universidad Nacional de Colombia.
Diagramación y diseño interior en LATEX: Gustavo Rubiano
Tercera edición, 2010
Impresión:
Editorial UN
Bogotá, D. C.
Colombia

G
.RUBIANO
Contenido
Prólogo IX
1. Conjuntos con topolog´ıa 1
1.1. Los reales —una inspiración— . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Abiertos básicos (generación de topolog´ıas) . . . . . . . . 8
1.3. Vecindades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4. Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio . . . . . . . . 22
2. Espacios métricos 28
2.1. Métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2. Espacios unitarios o euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1. Caracterización de los espacios euclidianos . . . . . 42
2.3. Topolog´ıa para una métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.1. Métricas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3. Bases y numerabilidad 57
3.1. 2-contable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2. 1-contable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4. Funciones —comunicaciones entre espacios— 64
4.1. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2. La categor´ıa Top . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3. Propiedades heredables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
v

G
.RUBIANO
vi CONTENIDO
5. Filtros, convergencia y continuidad 74
5.1. Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.1.1. Base de filtro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2. Ultrafiltros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.3. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6. Homeomorfismos –o geometr´ıa del caucho– 89
6.1. Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2. Invariantes topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7. Espacios de identificación –cociente– 102
7.1. Topolog´ıa cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.1.1. Descomposición canónica por una función . . . . . 105
8. La topolog´ıa producto 112
8.1. Definición sintética de producto entre conjuntos . . . . . . 112
8.2. La topolog´ıa producto –caso finito– . . . . . . . . . . . . . 113
8.3. La topolog´ıa producto —caso infinito— . . . . . . . . . . 115
8.4. Propiedades productivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.5. La topolog´ıa producto —en los métricos— . . . . . . . . . 123
8.6. Continuidad para el producto . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.7. Topolog´ıas al inicio y al final . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.7.1. La topolog´ıa inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.7.2. La topolog´ıa final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9. Posición de un punto respecto a un conjunto 133
9.1. Conjuntos cerrados y adherencia . . . . . . . . . . . . . . 133
9.1.1. Operadores de clausura . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.1.2. La adherencia es productiva . . . . . . . . . . . . . 140
9.2. Puntos de acumulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

G
.RUBIANO
CONTENIDO vii
9.2.1. Puntos aislados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
9.3. Interior – exterior – frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.4. Subconjuntos densos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.Compacidad 156
10.1. Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
10.2. Dos caracterizaciones de la compacidad . . . . . . . . . . 163
10.2.1. Compacidad v´ıa cerrados . . . . . . . . . . . . . . 163
10.2.2. Compacidad v´ıa filtros . . . . . . . . . . . . . . . . 165
10.2.3. Compacidad v´ıa ultrafiltros . . . . . . . . . . . . . 166
10.3. Producto de dos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
10.4. Teorema de Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
10.5. Compacidad y sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
10.6. Compacidad para métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
10.7. Ordinales como ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10.8. Compacidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
10.8.1. Compactación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
11.Espacios métricos y sucesiones —completez— 196
11.1. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
11.1.1. Filtros de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
11.2. Espacios de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
11.3. Completez de un espacio métrico . . . . . . . . . . . . . . 204
11.4. Espacios de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
12.Los axiomas de separación 210
12.1. T0, T1 y T2 o de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
12.2. Regulares, T3, Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
12.2.1. Inmersión en cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

G
.RUBIANO
viii CONTENIDO
12.3. Normales, T4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
12.4. Lema de Urysohn o existencia de funciones . . . . . . . . 227
12.5. Tietze o extensión de funciones . . . . . . . . . . . . . . . 232
13.Conexidad 238
13.1. La conexidad como invariante topológico . . . . . . . . . . 238
13.2. Subespacios conexos maximales . . . . . . . . . . . . . . . 246
13.3. El conjunto C de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
13.4. Conexidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
13.5. Conexidad por caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Bibliograf´ıa 264
Índice alfabético 266

G
.RUBIANO
Prólogo
El tema central de esta tercera edición es presentar un texto que
sirva como gu´ıa para un primer curso formal en topolog´ıa general o de
conjuntos. Se han hecho cambios importantes que justifican que se trate
de una nueva edición y no de una simple reimpresión de la anterior.
La mayor´ıa de las herramientas y conceptos utilizados en el estudio
de la topolog´ıa se agrupan en dos categor´ıas: invariantes topológicos y
construcciones de nuevos espacios a partir de los ya conocidos.
En la parte de invariantes, el énfasis en los espacios 1-contable o es-
pacios que satisfacen el primer axioma de enumerabilidad, como espacios
para los cuales las sucesiones son suficientes para describir la topolog´ıa,
justifica la introducción del concepto de filtro como una adecuada no-
ción de convergencia, que resulte conveniente para describir la topolog´ıa
en espacios más generales; de paso, este concepto nos proporciona una
manera cómoda para llegar al teorema de Tychonoff, imprescindible en
cualquier curso no trivial, teorema que corresponde a la parte de con-
strucciones.
Nuevos cap´ıtulos, secciones, demostraciones, gráficos y referencias
históricas han sido introducidos a fin de motivar al lector y presentar
de manera activa una de las áreas más prol´ıficas de la matemática y la
ciencia.
Como en casi todo libro de texto, poco o nada es original por parte del
autor, excepto posiblemente la manera de manejar la influencia de varios
clásicos sobre el tema o la introducción de algunos ejemplos nuevos.
Agradezco a la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de
Colombia, Sede Bogotá, el darme ese tiempo extra que siempre necesi-
tamos los docentes para plasmar de forma escrita la experiencia diaria.
ix

G
.RUBIANO
x CONTENIDO
gnrubianoo@unal.edu.co

G
.RUBIANO
1 Conjuntos con topolog´ıa
1.1. Los reales —una inspiración—
No hay nada más familiar a un estudiante de matemáticas que el
conjunto R de los números reales y las funciones f : R −→ R. Si única-
mente tuviéramos en cuenta la definición usual de función de R en R,
es decir, una colección de pares ordenados (x, y) ∈ R × R donde cada
elemento de R es la primera componente de una y de solo una pareja
ordenada, estar´ıamos desperdiciando el concepto de intervalo que cono-
cemos para los números reales y, aún más, el hecho de que en R podemos
decir quiénes son los vecinos de un punto x ∈ R.
En efecto, los vecinos al punto x en una distancia menor que un
ε > 0 son todos los y ∈ R tales que |x − y| < ε; es decir, el intervalo
(x−ε, x+ε) es la vecindad básica de x con radio ε. Cuando a una función
de R en R la obligamos a tener en cuenta el concepto anterior de vecindad
básica, lo que estamos exigiendo es que se satisfaga la definición ε, δ de
continuidad empleada en el cálculo.
Revisemos esta definición de continuidad. La función f : R −→ R se
dice continua en el punto c ∈ R si:
“Para cada número positivo ε, existe un número positivo δ tal que
|f(x) − f(c)| < ε siempre que |x − c| < δ”.
Pero |f(x)−f(c)| < ε significa f(x) ∈ (f(c)−ε, f(c)+ε); as´ı mismo,
|x − c| < δ significa x ∈ (c − δ, c + δ); luego la definición entre comillas
la podemos reescribir como
“Dado ε > 0 (ver fig. 1.1) se puede encontrar δ > 0 tal que
si x ∈ (c − δ, c + δ) entonces f(x) ∈ (f(c) − ε, f(c) + ε)”.
Hablando en términos de los intervalos abiertos como las vecindades
1

G
.RUBIANO
f(c)
c
2δ
2ε g(c)
c
Figura 1.1: La continuidad en R.
básicas, esta definición es:
“Dada una vecindad básica de radio ε alrededor de f(c), podemos
encontrar una vecindad básica de c y con radio δ tal que
si x ∈ (c − δ, c + δ) entonces f(x) ∈ (f(c) − ε, f(c) + ε)”.
Lo que de nuevo reescribimos como: “Dada una vecindad de f(c)
podemos encontrar una vecindad de c con la propiedad que, la imagen
por f de esta última se encuentra dentro de la vecindad de f(c)”.
Informalmente decimos que:
Un cambio ‘pequeño’ en c produce un cambio ‘pequeño’ en f(c).K
Hemos visto entonces que el concepto de continuidad en R está liga-
do esencialmente a la definición que podamos hacer de ‘vecindad’ para
un punto y la relación entre las imágenes de las vecindades. Luego, si
quisiéramos abstraer el concepto de continuidad para otros conjuntos que
no sean nuestros números reales usuales, debemos remitirnos a obtener
de alguna manera —pero con sentido— el concepto de ‘vecindad’ para
estos conjuntos.
Al definir un conjunto abierto en R como un conjunto que es unión
de intervalos abiertos —nuestras vecindades básicas— es fácil verificar
que:
1. ∅ es abierto —la unión de una familia vac´ıa—.
2. R es abierto.
3. La unión de una colección de abiertos es un abierto.
4. La intersección de un número finito de abiertos es un abierto.

G
.RUBIANO
1.1 Los reales —una inspiración— 3
Motivados por las anteriores propiedades damos la siguiente definición.
Definición 1.1. Una topolog´ıa1 para un conjunto X es una familia
T = {Ui : i ∈ I}, Ui ⊆ X
tal que:
1. ∅ ∈ T, X ∈ T.
2. i∈F Ui ∈ T para cada F subconjunto finito de I —F I—.
3. i∈J Ui ∈ T para cada J ⊆ I.
Esto es, T es una familia de subconjuntos de X cerrada tanto para
la unión arbitraria como para la intersección finita. La condición 1 es
consecuencia de 2 y 3 cuando tomamos como conjunto de ´ındices I = ∅.
Los elementos de T se llaman abiertos y el par (X, T) es por defini-
ción un espacio topológico. Brevemente lo notamos X cuando no es
necesario decir quién es T. Los elementos de X son los puntos del espa-
cio. Las condiciones en la definición anterior se llaman los axiomas de
una estructura topológica.
A menos que se especifique lo contrario, en este texto la palabra
espacio significará espacio topológico. Los complementos de los conjuntos
abiertos se llaman conjuntos cerrados.
EJEMPLO 1.1
Ru. En R definimos una topolog´ıa T conocida como la usual (el espacio
es notado Ru) definiendo U ∈ T si U es unión de intervalos abiertos.
O de manera equivalente, U ⊆ R es abierto si para cada punto x ∈ U
existe un intervalo (a, b) que contiene a x y está contenido en U.
1
Se le acuña la invención de la palabra topolog´ıa al matemático alemán de ascen-
dencia checa Johann B. Listing (1808-1882) en una carta dirigida a su viejo maestro
de escuela Müller.

G
.RUBIANO
EJEMPLO 1.2
Orden. El ejemplo 1.1 lo podemos generalizar a todo conjunto X que
sea linealmente —totalmente— ordenado por una relación ≤. Definimos
T≤ la topolog´ıa del orden o la topolog´ıa intervalo sobre (X, ≤)
tomando como abiertos todos los U ⊆ X que se pueden expresar como
unión de intervalos de la forma
1. (x, y) := {t : x < t < y} —intervalos abiertos acotados—.
2. (x, →) := {t : x < t} —colas a derecha abiertas—.
3. (←, y) := {t : t < y} —colas a izquierda abiertas—.
En el caso en que X no posea elementos máximo y m´ınimo, basta con-
siderar tan solo los intervalos acotados (x, y) —¿por qué?—.
EJEMPLO 1.3
Discreta: Dado un conjunto X definimos T = 2X —partes de X o
℘(X)—. Esta es la topolog´ıa discreta de X —permite que todo sea
abierto—. Es la topolog´ıa sobre X con la mayor cantidad posible de
abiertos.
Grosera: Contrario a lo anterior, dado un conjunto X definimos T =
{∅, X}, conocida como la topolog´ıa grosera de X —prácticamente no
permite la presencia de abiertos—. Es la topolog´ıa con la menor cantidad
posible de abiertos.
Nótese que toda topolog´ıa T para X se encuentra entre la topolog´ıa
grosera y la topolog´ıa discreta, i. e., {∅, X} ⊆ T ⊆ 2X.
EJEMPLO 1.4
Punto incluido. Sea X un conjunto y p un punto elegido en X. Definimos
la topolog´ıa punto incluido Ip como U ∈ Ip si p ∈ U, o, U = ∅.
La definición de esta topolog´ıa se puede extender a cualquier A ⊆ X y
la notamos como IA.

G
.RUBIANO
EJEMPLO 1.5
Extensión cerrada de (X, T). La anterior topolog´ıa permite la siguiente
generalización. Dado un espacio (X, T) y p /∈ X, definimos la extensión
X∗ = X ∪ {p} y T∗ = {V ∪ {p} : V ∈ T} ∪ {∅}. (X∗, T∗) es un espacio y
los cerrados de X∗ coinciden con los de X.
El ejemplo 1.4 es la extensión Y ∗ para el caso (Y = X − {p}, 2Y ).
EJEMPLO 1.6
Punto excluido. Sea X un conjunto y p un punto elegido en X. Definimos
la topolog´ıa punto excluido Ep como U ∈ Ep si U = X, o, p /∈ U.
EJEMPLO 1.7
Sierpinski. En X = {0, 1} construimos todas las posibles topolog´ıas:
1. J1 = {∅, X},
2. J2 = {∅, X, {0}},
3. J3 = {∅, X, {1}},
4. J4 = {∅, X, {0}, {1}, {0, 1}}.
•
•
•
•
J2
J1
J3
J4
El diagrama muestra cómo es la contenencia entre estas cuatro topolog´ıas,
as´ı que J2 y J3 no son comparables. J2 = {∅, X, {0}} se conoce como la
topolog´ıa de Sierpinski2. Es el espacio más pequeño que no es trivial
ni discreto.
2
En honor al matemático polaco Waclaw Sierpinski (Varsovia,1882-1969). En 1920,
Sierpinski, junto con Zygmunt Janiszewski y su ex alumno Stefan Mazurkiewicz,
fundaron una influyente revista matemática, Fundamenta Mathematica, especializada
en trabajos sobre teor´ıa de conjuntos. Durante este periodo, Sierpinski trabajó sobre
todo en teor´ıa de conjuntos, pero también en topolog´ıa de conjuntos y funciones de
una variable real. También trabajó en lo que se conoce actualmente como la curva de
Sierpinski.

G
.RUBIANO
EJEMPLO 1.8
Complementos finitosa. Dado un conjunto X, definimos la topolog´ıa
(T, cofinitos) como U ⊆ X es abierto si su complemento Uc es fini-
to, o U = ∅. En este ejemplo —como en cada ejemplo donde los abiertos
se definan en términos de cardinalidad— es interesante tener en cuen-
ta los tres casos, dependientes de que X sea finito, infinito contable, o
infinito no contable.
a
También conocida como la topolog´ıa de Zariski en honor al matemático bielorruso
Oscar Zariski (1899-1986).
EJEMPLO 1.9
Complementos enumerables. Dado un conjunto X, definimos la topolo-
g´ıa (T, coenumerables) como U ⊆ X es abierto si su complemento Uc es
enumerable o contable —finito o infinito—, además del ∅, por supuesto.
EJEMPLO 1.10
Espacio de Fort. Sea X un conjunto y p un punto en X. Definimos
U ∈ Eω
p si Uc es finito, o p /∈ U.
La colección Top(X) de todas las topolog´ıas sobre un conjunto X es un
conjunto parcialmente ordenado por la relación de inclusión: T1 ≤ T2
si T1 ⊆ T2, caso en el cual decimos que T2 es más fina que T1. Por
tanto, sobre Top(X) tiene sentido hacer referencia a todos los conceptos
relativos a conjuntos ordenados.
Dado un conjunto finito X con n elementos, notemos por T(n) el
conjunto de topolog´ıas definibles sobre X. Una pregunta natural y for-
mulada desde el inicio de la topolog´ıa es: ¿cuántas topolog´ıas existen
sobre X? o ¿quién es el cardinal |T(n)|? La pregunta es dif´ıcil de con-
testar y por ello se trata de un problema abierto; más aún, para este
problema de conteo no existe —a la fecha— ninguna fórmula cerrada ni
recursiva que dé una solución. Tampoco existe un algoritmo eficiente de
computación que calcule el total de T(n) para cada n ∈ N.
Para valores pequeños de n el cálculo de |T(n)| puede hacerse a mano;
por ejemplo, |T(1)| = 1, |T(2)| = 4, |T(3)| = 29. Pero el crecimiento
de T(n) es exponencial, como lo muestra la tabla 1.1. De hecho, ex-
isten 261492535743634374805066126901117203 posibles topolog´ıas para

G
.RUBIANO
n Número de topolog´ıas en T(n)
1 1
2 4
3 29
4 355
5 6.942
6 209.527
7 9.535.241
8 642.779.354
9 63.260.289.423
10 8.977.053.873.043
11 1816846038736192
12 519355571065774021
13 207881393656668953041
14 115617051977054267807460
15 88736269118586244492485121
16 93411113411710039565210494095
17 134137950093337880672321868725846
18 261492535743634374805066126901117203
Cuadro 1.1: Número de topolog´ıas para un conjunto de n elementos.
un conjunto con n = 18 elementos, y a la fecha este valor de n es el
mayor para el cual el número de topolog´ıas es conocido.
Ejercicios 1.1
1. ¿Cómo son los cerrados para los espacios de los ejemplos anteri-
ores?
2. Construya todas las topolog´ıas para X = {a, b, c}.
3. Muestre que, para un conjunto X, la intersección de topolog´ıas
sobre X es de nuevo una topolog´ıa.
4. Muestre que la unión de dos topolog´ıas sobre un conjunto X no
necesariamente es una topolog´ıa.
5. En cada uno de los ejemplos dados en esta sección, revise la per-
tinencia de la cardinalidad del conjunto X.

G
.RUBIANO
•• • •• • •• •
•• • •• • •• •
•• •
6. Muestre que (Top(X), ⊆) es un ret´ıculo completo. En particular,
para el caso de dos topolog´ıas T, I el sup ∨{T, I} está formado por
todas las posibles uniones de conjuntos de la forma
{U ∩ V : U ∈ T, V ∈ I}.
7. Revise el ejemplo 1.10 en términos del ejercicio anterior.
1.2. Abiertos básicos (generación de topolog´ıas)
Entre los abiertos de un espacio, algunas veces —casi siempre— es im-
portante resaltar algunos de ellos que en cierta manera generan o de-
scriben a los demás, i. e., toda la estructura topológica puede ser recu-
perada a partir de una parte de ella.
Definición 1.2. Si (X, T) es un espacio, una base para T es una sub-
familia B ⊆ T con la propiedad que: dados un abierto U y un punto
x ∈ U, existe un B ∈ B tal que x ∈ B ⊆ U.
Cada abierto en T es unión de elementos en B.
EJEMPLO 1.11
Los intervalos abiertos de R constituyen una base para la topolog´ıa en
Ru. Revise la definición de la topolog´ıa del orden.
Por supuesto, para un espacio (X, T), T en s´ı misma es una base de
manera trivial; la palabra trivial se justifica porque una de las cualidades

G
.RUBIANO
1.2 Abiertos básicos (generación de topolog´ıas) 9
más importantes para una base es exigir que su cardinalidad no sea muy
grande —espacio 2–contable—.
¿Cómo reconocer que una colección B de subconjuntos de X pueda
ser base para alguna topolog´ıa?
K
Teorema 1.3. Sea X un conjunto. B ⊆ ℘(X) es base de una topolog´ıa
para X si y solo si se cumple que
1. X = {B : B ∈ B}, i. e., B es un cubrimiento de X.
2. Dados cualesquiera U, V ∈ B y x ∈ U ∩ V , existe B en B con
x ∈ B ⊆ U ∩ V . Esto es, U ∩ V es unión de elementos de B para
todo par U, V de B.
Nótese que, en particular, un cubrimiento B ⊆ ℘(X) cerrado para
intersecciones finitas es una base.
Demostración. ⇒) 1) Supongamos que B es base para una topolog´ıa T
de X. Veamos que X = {B : B ∈ B}; en efecto, dado x ∈ X existe
U ∈ T tal que x ∈ U, y como B es base, existe B con x ∈ B ⊆ U —la
otra inclusión es obvia—. 2) Si U, V ∈ B entonces, dado x ∈ U ∩ V , por
ser B una base, existe B tal que x ∈ B ⊆ U ∩ V —U, V están en T, y
por tanto U ∩ V ∈ T—.
⇐) Construyamos una topolog´ıa T para la cual B es una base. Defin-
imos U ∈ T si U es unión de elementos de B. Por supuesto tanto X como
∅ están en T —∅ por ser la unión de la familia vac´ıa—. Si tomamos la
unión de una familia en T, ella finalmente es unión de elementos de B.
Ahora veamos que B es base de T. Si U, V ∈ T y x ∈ U ∩ V , por la
definición de T, existen BU , BV en B conteniendo a x y contenidos en
U y V respectivamente; por la condición 2 sobre B, existe B tal que
x ∈ B ⊆ BU ∩ BV ⊆ U ∩ V .
La topolog´ıa dada por el teorema anterior se conoce como la topolog´ıa
generada por la base B y la notamos T = B 3.
EJEMPLO 1.12
Si X es un conjunto y p ∈ X, una base de la topolog´ıa Ip del punto
incluido es B = {{x, p} : x ∈ X}.
3
Una misma topolog´ıa puede ser generada por bases diferentes.

G
.RUBIANO
EJEMPLO 1.13
Partición. Dada una partición R sobre un conjunto X —o lo que es igual
una relación de equivalencia R—, la colección R junto con el conjunto ∅ es
una base para una topolog´ıa sobre X. Un subconjunto de X es entonces
abierto si es unión de subconjuntos pertenecientes a la partición.
EJEMPLO 1.14
L´ınea de Khalinsky. En Z definimos la base
B = {{2n − 1, 2n, 2n + 1} : n ∈ Z} {{2n + 1} : n ∈ Z}.
En la topolog´ıa generada, cada entero impar es abierto y cada entero
par es cerrado.
EJEMPLO 1.15
Topolog´ıa a derecha. Para un conjunto (X, ≤) parcialmente ordenado, el
conjunto de las colas a derecha y cerradas
x ↑ := [x, →) := {t : x ≤ t},
es una base para una topolog´ıa ya que
[x, →) ∩ [y, →) =
z
[z, →) para z ∈ [x, →) ∩ [y, →).
La topolog´ıa generada se nota Td y se conoce como la topolog´ıa a
derecha —dualmente existe la topolog´ıa a izquierda—.
La anterior topolog´ıa es saturada o de Alexandroff4 en el sentido
que la intersección arbitraria de abiertos es de nuevo un abierto. Nótese
que las colas abiertas son también abiertos para esta topolog´ıa.
(a, →) =
b>a
[b, →).
4
En general una topolog´ıa se dice de Alexandroff o A–topolog´ıa si las intersec-
ciones arbitrarias de conjuntos abiertos son de nuevo un abierto. Fueron estudiadas
inicialmente por P. S. Alexandroff en 1937. Nótese que toda topolog´ıa finita es de
Alexandroff.

G
.RUBIANO
EJEMPLO 1.16
Una topolog´ıa puede tener diferentes bases. En R2 definamos dos bases
B1, B2 que nos conducen a una misma topolog´ıa: la usual.
B1: U ∈ B1 si U = {(x, y) : (x − u)2 + (y − v)2 1/2
< ε} para algún
ε > 0 y algún (u, v) en R2. U se acostumbra denotar como Bε((u, v))
—U es el interior de un disco en R2 de centro en (u, v) y radio ε—.
B2: V ∈ B2 si V = {(x, y) : |x − u| + |y − v| < ε} para algún ε > 0 y
algún (u, v) en R2 —V es el interior de un rombo en R2 con centro en
(u, v)—.
Es un ejercicio verificar que lo que se puede expresar como unión de
elementos de B1, lo puedo expresar tambiéncomo unión de elementos de
B2, con lo cual las dos topolog´ıas generadas coinciden.
EJEMPLO 1.17
De manera más general, en Rn definimos una base B de la manera si-
guiente:
B = {Bε(x) : ε > 0, x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn
}
donde,
Bε(x) =



(y1, . . . , yn) ∈ Rn
n
i=1
(xi − yi)2
1/2
< ε



.
Bε(x) es la bola abierta de centro en x con radio ε. La topolog´ıa gen-
erada por esta base se conoce como topolog´ıa usual de Rn y notamos
Rn
u.
No olvide en los dos ejemplos anteriores demostrar que efectivamente
estas bases satisfacen la condición para serlo, y hacer los gráficos respec-
tivos para las bolas abiertas en Ru y R2
u.

G
.RUBIANO
Dado un conjunto X es posible obtener una cantidad de subfamilias de
partes de X, de tal manera que ellas cumplan los requisitos de ser base
para alguna topolog´ıa. Cuando dos bases generen una misma topolog´ıa
las vamos a identificar, es decir, establecemos un criterio de ‘igualdad’
acomodado por nosotros para nuestros intereses. En otras palabras,
definimos una relación de equivalencia y lo que llamamos equivalente
es esa ‘igualdad’ acomodada.
Definición 1.4. Sean X un conjunto y B1, B2 dos bases como en la
definición 1.2. Decimos que B1 ≡ B2 —son dos bases equivalentes—
si las topolog´ıas generadas son iguales, i. e., B1 = B2 .
Proposición 1.5. B1 ≡ B2 si y solo si dados B1 ∈ B1 y x ∈ B1 existe
B2 ∈ B2 tal que x ∈ B2 ⊆ B1, con lo cual B1 ⊆ B2 y viceversa.
Demostración. Ejercicio.
El lector debe verificar que esta relación es de equivalencia sobre el
conjunto de todas las posibles bases para un conjunto X fijo. As´ı que,
dada una topolog´ıa sobre X podemos escoger, de la clase de equivalencia
que representa esta topolog´ıa, el elemento base que mejor se acomode a
nuestro interés —canónico—.
Dado un cubrimiento D de X, es posible crear la menor topolog´ıa sobre
X que tenga entre sus abiertos la colección D. Para ello, creamos a
partir de esta colección una base y luego generamos la topolog´ıa.
K
Teorema 1.6. Dado un cubrimiento D de X, existe una única topolog´ıa
T para la cual los elementos de D son abiertos y cualquier otra topolog´ıa
H que contenga a D es más fina que T, esto es, T ⊆ H.
Demostración. Definimos la colección B como el conjunto de todas las
intersecciones finitas de elementos de D, es decir B ∈ B si B = n
i=1 Di
para Di ∈ D; B es una base de topolog´ıa y D ⊆ B.
Sea T = B . En otras palabras, un elemento U de T es aquel que
podemos expresar como una reunión de intersecciones finitas de ele-
mentos de D. Si H es una topolog´ıa para X tal que D ⊆ H , es claro
que todo elemento de T también es elemento de H por la definición de
topolog´ıa.
En general definimos una subbase de la manera siguiente.

G
.RUBIANO
Definición 1.7. Sea (X, T) un espacio. Una subbase para la topolog´ıa
T es una subcolección D ⊆ T con la propiedad que la familia formada
por las intersecciones finitas de elementos de D es una base para T.
EJEMPLO 1.18
Los intervalos de la forma (a, →), (←, b) con a, b ∈ R forman una subbase
para la topolog´ıa usual. Generalice a la topolog´ıa del orden.
EJEMPLO 1.19
Para un conjunto X la colección D = {X −{x} : x ∈ X} es una subbase
para la topolog´ıa de los cofinitos.
Ejercicios 1.2
1. (R2, verticales). Por cada x ∈ R sea Bx = {(x, y) : y ∈ R}.
Muestre que B = {Bx : x ∈ R} es base de una topolog´ıa para
R2 ¿Cómo son los abiertos?
2. (R2, triangulares). Dados a, b, c ∈ R, con a > 0, definimos la
región comprendida entre dos rectas
Da,b,c = {(x, y) : y ≥ ax + b y y ≥ −ax + c} ⊆ R2
.
Sea D = {Da,b,c : a > 0, b, c ∈ R}. D es una colección de regiones
triangulares infinitas. Muestre que D es base para una topolog´ıa.
3. Cuando tenemos un conjunto (X, ≤) totalmente ordenado y sin
elementos máximo ni m´ınimo, es posible definir otras topolog´ıas
diferentes de la usual para el orden. Consideremos las siguientes
familias de subconjuntos y verifiquemos que efectivamente se trata
de bases para nuevas topolog´ıas:
a) Bd = {x ↑= [x, →) : x ∈ X} genera la topolog´ıa Td de las
colas a derecha y cerradas, o topolog´ıa a derecha (ver ejemplo
1.15).
b) Bi = {x ↓= (←, x] : x ∈ X} genera la topolog´ıa Ti de las
colas a izquierda y cerradas. Al igual que la anterior, esta
topolog´ıa es de Alexandroff. También se dice que la topolog´ıa

G
.RUBIANO
b •
c •
Figura 1.2: Las regiones del ejercicio 2.
es generada por los inferiores x ↓ de cada elemento. En estos
dos casos no es necesario que el orden sea total, basta tener
una relación de orden parcial en X.
Bi también genera los intervalos de la forma
(←, a) =
b<a
(←, b],
con lo cual es inmediato ver que Tai ≤ Ti.
c) Bad = {(x, →) : x ∈ X} genera la topolog´ıa Tad de las colas a
derecha y abiertas. En este caso es necesaria la no existencia
del m´ınimo.
d) Bai = {(←, x) : x ∈ X} genera la topolog´ıa Tai de las colas
a izquierda y abiertas. Necesitamos de la no existencia de
máximos.
e) B+ = {[x, y) : x, y ∈ X} genera la topolog´ıa T+ de los in-
tervalos semiabiertos a derecha. En el caso X = R, T+ es

G
.RUBIANO
llamada topolog´ıa de Sorgenfrey o del l´ımite inferior5.
B+ genera: (a, b) =
t>a
[t, b),
[a, →) =
a<b
[a, b),
(a, →) =
a<b
(a, b),
(←, b) =
a<b
(a, b).
5
Introducida por R. H. Sorgenfrey (1915-1996) en 1947 para los n´umeros reales,
es una fuente de ´utiles contraejemplos.

G
.RUBIANO
f ) B− = {(x, y] : x, y ∈ X} genera la topolog´ıa T− de los inter-
valos semiabiertos a izquierda.
B− genera: (a, b) =
x<b
(a, x],
(←, a] =
b<a
(b, a],
(a, →) =
b<a
(a, b),
(←, b) =
a<b
(a, b).
Verifique el diagrama 1.3, el cual muestra la relación de con-
tenencia entre estas topolog´ıas y dice quiénes no son compa-
rables.
....................................................................................
................
......................................................................................................
................
....................................................................................
................
......................................................................................................
................
....................................................................................................
................
....................................................................................
................
....................................................................................
................
....................................................................................
................
....................................................................................
................
....................................................................................
................
Ji
J−
2X
J0
Jai Jad
J+
Jd
Figura 1.3: Contenencia entre topolog´ıas.
4. Sea B ⊆ ℘(X) un cubrimiento de X cerrado para las intersecciones
finitas —propiedad de la intersección finita PIF—. Muestre que B
es base para una topolog´ıa en X.
5. Dado el intervalo unidad I = [0, 1] ⊆ R, consideremos el conjunto
X = Mor(I, I) = {f | f : I −→ I}.
Por cada S ⊆ I, definimos
BS = {f ∈ X : f(x) = 0, para cada x ∈ S}.
La colección B = {BS}S⊆I es base para una topolog´ıa en X.

G
.RUBIANO
1.3 Vecindades 17
1.3. Vecindades
En la motivación de este cap´ıtulo utilizamos el término ‘vecindad’ en
el contexto de los números reales; hagamos la generalización a espacios
topológicos de acuerdo con la siguiente definición.
Definición 1.8. Sea (X, T) un espacio. Decimos que V ⊆ X es vecin-
dad6 de x ∈ X —la notamos Vx— si existe U ∈ T tal que x ∈ U ⊆ Vx.
Al conjunto de todas las vecindades del punto x lo notamos V(x).
................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Vx
x•
y
U
•
Figura 1.4: Propiedad 4 de la axiomatización de vecindad.
Proposición 1.9. Sean (X, T) un espacio y x ∈ X. El sistema V(x)
de vecindades de x ∈ X posee las siguientes propiedades:
1. Si V ∈ V(x) entonces x ∈ V .
2. Si V ∈ V(x) y V ⊆ W entonces W ∈ V(x).
3. Si V, W ∈ V(x) entonces V ∩ W ∈ V(x).
4. Para cada V ∈ V(x) existe U ∈ V(x) con U ⊆ V tal que V ∈ V(y)
para todo y ∈ U.
Demostración. La demostración se deja como ejercicio.
6
Fue el matemático alemán Felix Hausdorff quien en 1.914 introdujo la noción
de espacio topológico en Grunzuge der Mengenlehre, Leipzig, Veit and Co., 1914,
partiendo de una axiomatización del concepto de vecindad. También trabajó en teor´ıa
de conjuntos e introdujo el concepto de conjunto parcialmente ordenado.

G
.RUBIANO
En particular de 1, 2 y 3 podemos deducir que el sistema V(x) es un
filtro para cada x ∈ X —el concepto de filtro se define en el cap´ıtulo 5,
pág. 81—. Una manera informal de describir la propiedad 4 es decir que
Una vecindad de un punto x es también vecindad de los puntos sufi-
cientemente cercanos a x.
El siguiente teorema es interesante porque compara la axiomati-
zación de Hausdorff con la dada por N. Bourbaki7 un cuarto de siglo
más tarde, la cual es nuestra definición inicial de topolog´ıa.
Felix Hausdorff
Teorema 1.10. Sea X un conjunto. Supongamos que a cada x ∈ X se
le asigna un conjunto V(x) no vac´ıo de subconjuntos de X que cumple
1, 2, 3 y 4 de la proposición 1.9; entonces existe una única topolog´ıa T
para X tal que para cada x ∈ X la colección V(x) es precisamente el
sistema de vecindades de x en el espacio (X, T).
Demostración. Definimos U ∈ T si para cada x ∈ U se tiene que U ∈
V(x) —U es vecindad de cada uno de sus puntos—. Veamos que en efecto
T es una topolog´ıa. Por vacuidad, vac´ıo está en T. Por hipótesis, V(x) es
7
Un grupo de matemáticos, en su mayor´ıa franceses, quienes bajo este seudónimo
comenzaron a reunirse en 1930 con la intención de escribir de una manera unificada
la matemática existente.

G
.RUBIANO
1.3 Vecindades 19
diferente de vac´ıo para x ∈ X, y por tanto X ∈ V(x). Dado x ∈ U ∩ V
donde U, V ∈ T, tenemos U ∩ V ∈ V(x) ya que U, V ∈ V(x). Dada {Ui},
(i ∈ I) una familia en T y x ∈ U = {Ui : i ∈ I}, existe i ∈ I tal que
x ∈ Ui, y como Ui ∈ V(x), por la propiedad 2 tenemos U ∈ V(x).
Veamos ahora que V(x) = W(x) donde W(x) es el sistema de vecin-
dades de x en (X, T). Si Vx es una vecindad de x, existe U ∈ T tal que
x ∈ U ⊆ Vx. Como U ∈ T, significa que U ∈ V(x) y as´ı Vx ∈ V(x).
Mostremos finalmente que V(x) ⊆ W(x). Dada V ∈ V(x), definimos
U = {y ∈ V : V ∈ V(y)}; claramente x ∈ U ⊆ V , as´ı que solo resta
mirar que U ∈ T. Por definición, si y ∈ U entonces V ∈ V(y) y por
4 existe W en V(y) tal que V ∈ V(z) para cada z ∈ W, con lo cual
W ⊆ U, y por 2, U está en V(y), pero como esto se tiene para cada
y ∈ U, entonces U ∈ T por la definición de T.
Es un ejercicio verificar que la topolog´ıa T es única.
Definición 1.11. En un espacio (X, T) un SFV sistema fundamental
de vecindades para un punto x ∈ X, es una familia W = {Wi}i
de vecindades de x, tal que para cada vecindad Vx existe una Wi con
Wi ⊆ Vx.
Los elementos de un SFV son suficientemente finos para estar dentro
de cada vecindad.
Definición 1.12. Un espacio (X, T) se dice T1 si dado cualquier par de
puntos x, y ∈ X existen Vx, Vy tales que y /∈ Vx y x /∈ Vy.
Definición 1.13. Un espacio (X,T) se llama espacio de Hausdorff,
T2, o separado, si dado cualquier par de puntos x, y ∈ X existen vecin-
dades Vx, Vy con Vx ∩ Vy = ∅. Es decir, podemos separar los puntos por
medio de vecindades disyuntas.
El nombre de Hausdorff para esta propiedad se debe al hecho de
haber sido F. Hausdorff8 quién la introdujo como un axioma adicional
a los de la proposición 1.9.
8
F. Hausdorff (1868-1962) creció en la ciudad de Leipzig, Alemania, se graduó de
la Universidad de Leipzig y fue docente all´ı hasta 1910. Comenzó su carrera de genial
matemático como un astrónomo. Por su inmenso aporte es considerado como uno de
los padres de la topolog´ıa. También escribió poes´ıa y filosof´ıa. En 1942 prefirió cometer
suicidio (junto con su esposa) antes que ser deportado a un campo de concentración
nazi.

G
.RUBIANO
EJEMPLO 1.20
En (X, discreta) el conjunto W(x) = {{x}} es un SFV de x. En Ru el
conjunto W(x) = {(x − 1
n , x + 1
n)}n∈N es un SFV de x ∈ R.
Ejercicios 1.3
1. Muestre que en un espacio X, U ⊆ X es abierto si y solo si es
vecindad de cada uno de sus puntos.
2. Muestre que en un espacio T1 los conjuntos unitarios {x} son cer-
rados.
3. ¿Cuáles espacios de los que hemos definido son T1?
4. ¿Cuáles de los espacios topológicos que hemos definido son Haus-
dorff?
5. B = {(a, b) : b − a ≤ 1} es base para la topolog´ıa usual de R.
6. ¿En (R2, verticales) quiénes forman a V((0, 0))?
7. Muestre la unicidad en el teorema 1.10.
8. Sea (X, T) un espacio. Muestre que la topolog´ıa T es de Alexandroff
o A–topolog´ıa si y solo si cada punto x ∈ X posee una vecindad
Ax m´ınima, i. e., Ax está contenida en cualquier otra Vx.
9. Muestre que toda topolog´ıa finita es de Alexandroff.
10. Lexicográfico. En R2 definamos el orden lexicográfico de la man-
era siguiente: (a, b) < (c, d) si a < c, o para el caso en que a = c
tenemos b < d. Los intervalos abiertos y acotados ((a, b), (c, d)) en
este espacio, resultan ser rectángulos infinitos hacia arriba y hacia
abajo, con parte de los lados verticales incluidos, según sea el caso
(ver figura).
Luego un abierto para la topolog´ıa generada será todo lo que logre-
mos expresar como unión de estos elementos básicos. Nótese que
esta definición puede extenderse a Rn y coincide con la manera
como ordenamos un diccionario.

G
.RUBIANO
1.3 Vecindades 21
a c
b
d
a) Dibuje al menos tres vecindades del
punto (0, 0) para la topolog´ıa in-
ducida por este orden.
b) ¿Cómo es geométricamente el in-
tervalo ((0, 0), (2, 3))?
c) ¿Qué relación existe entre la topo-
log´ıa usual y la topolog´ıa de orden
asociada al lexicográfico?
d) ¿Cómo puede usted generalizar es-
ta topolog´ıa a cualquier conjunto
ordenado?
e) Trate de observar cómo es esta topo-
log´ıa si el conjunto X es el cuadra-
do unidad I × I.
11. Muestre que B = {((a, b), (a, c)) : b < c} es también una base para
la topolog´ıa del orden lexicográfico.
12. La topolog´ıa del orden para N es la topolog´ıa discreta.
13. La topolog´ıa del orden para N × N con el orden lexicográfico no es
la topolog´ıa discreta.
14. La topolog´ıa del orden para Z × Z con el orden lexicográfico es la
topolog´ıa discreta.
15. Sea X un conjunto. En los siguientes numerales definimos para
cada x ∈ X un conjunto V(x). ¿En qué casos la colección de las
V(x) constituye un sistema de vecindades? ¿Cuál es la topolog´ıa
generada por este sistema?
a) V(x) = {A ⊆ X : x ∈ A}.
b) V(x) = {{x}}.
c) V(x) = {X}.
d) Sea X = N ∪ {ω} donde ω /∈ N. Por cada n ∈ N definamos
1) V(n) = {A ⊆ X : n ∈ A},
2) V(ω) = {A ⊆ X : ω ∈ A y Ac es finito}.
e) Sea X = (N × N) ∪ {ω} donde ω /∈ N × N. Por cada (m, n) ∈
N × N definamos:

G
.RUBIANO
1) V((m, n)) = {A ⊆ X : (m, n) ∈ A},
2) V(ω) = {A ⊆ X : ω ∈ A, donde A contiene casi todos los
puntos de casi todas las filas}.
En otras palabras, a cualquier fila le pueden faltar finitos
números, y solo a un número finito de filas le pueden faltar
infinitos números. La fila k-ésima es por definición el subcon-
junto N×{k} la cual notamos Nk. A ∈ V(ω) si ω ∈ A y existe
m ∈ N tal que Nk − A es finito para todo m < k.
La topolog´ıa generada es la de Arens-Fort9: un abierto con-
tiene a ω si únicamente un número finito de filas contienen
‘huecos significativos’. Revise el ejemplo 1.10.
1.4. Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio
Esta sección presenta una ‘máquina’ de construcción para nuevos
espacios a partir de espacios ya conocidos.
Dados un espacio (X, T) y A ⊆ X, A hereda una estructura topológi-
ca TA de manera natural con respecto a T.
Proposición 1.14. Sean (X, T) un espacio y A ⊆ X. La colección
TA := {U ∩ A | U ∈ T}
es una topolog´ıa sobre A.
TA se llama la topolog´ıa de subespacio inducida sobre A o la
topolog´ıa asociada al subespacio A.
Demostración. Claramente ∅ = ∅∩A y A = X ∩A son elementos de TA.
Si M, N ∈ TA entonces M = U ∩ A, N = V ∩ A para U, V ∈ T, con lo
cual (U ∩ A) ∩ (V ∩ A) = (U ∩ V ) ∩ A, y como U ∩ V ∈ T, tenemos que
M ∩ N ∈ TA. Por inducción esto es válido para cualquier intersección
finita de elementos de TA.
Si {Mi}, (i ∈ I) es una familia de elementos de TA, cada Mi = Vi ∩A
para un Vi ∈ T. As´ı que M = ∪i∈IMi = ∪i∈I(Vi ∩ A) = A ∩ (∪i∈IVi), y
como ∪i∈IVi ∈ T, tenemos M ∈ TA.
9
Marion K. Fort, Jr. (1921-1964) matemático estadounidense. Los espacios Fort y
Arens-Fort son llamados en su honor.

G
.RUBIANO
1.4 Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio 23
Los abiertos en A se obtienen de interceptar los de X con A.
EJEMPLO 1.21
1. Sea X = R2
u. Entonces cualquier subconjunto del plano puede ser
visto como un espacio topológico. En particular las figuras de la
geometr´ıa, como circunferencias, discos, pol´ıgonos, etc., pueden ser
ahora vistas como espacios.
Examinemos el caso de la recta real R = {(x, 0) : x ∈ R} ⊆ R2.
La topolog´ıa de subespacio es la topolog´ıa usual de R. En efecto,
dado M abierto de R, M = R ∩ V para V abierto de R2. Luego
V = ∪i∈IBi, donde cada Bi es una bola abierta; entonces
M = R ∩ (∪i∈IBi) = ∪i∈I(R ∩ Bi)
y cada R ∩ Bi es un intervalo abierto o el ∅, luego M es reunión
de intervalos abiertos, i. e., M es abierto de la topolog´ıa usual.
2. Lo mismo sucede en R3 y Rn con la topolog´ıa usual, cuando consid-
eramos alguno de sus subconjuntos. Por ejemplo, al dar topolog´ıa
a las esferas Sn.
La siguiente proposición dice cómo obtener una base para la topolog´ıa
inducida sobre A ⊆ X a partir de una base para la topolog´ıa en X.
Proposición 1.15. Si B = {Bi}i∈I es una base para (X, T) entonces
D = {Bi ∩ A : Bi ∈ B} es una base de TA.
Demostración. Veamos que tenemos un cubrimiento. Si x ∈ A entonces
x ∈ Bi para algún i y por tanto x ∈ Bi ∩ A. De otra parte, si x ∈
(Bi ∩ A) ∩ (Bj ∩ A), existe Bk ⊆ Bi ∩ Bj lo que implica x ∈ (Bk ∩ A) ⊆
(Bi ∩ A) ∩ (Bj ∩ A).

G
.RUBIANO
Un subconjunto abierto en (A, TA) no tiene por qué serlo en (X, T).
Un subespacio A ⊆ X cuya topolog´ıa de subespacio es la discreta se
llama subespacio discreto de X. Esto es equivalente a decir que para
cada punto a ∈ A existe un subconjunto abierto en X cuya intersección
con A es solo el punto a.
EJEMPLO 1.22
En Ru, la topolog´ıa inducida sobre los enteros es la discreta; {n} es
ahora abierto en Z, pero no lo era en R. Por tanto, debemos tener cierta
discreción cuando hablamos de abiertos en el contexto de espacios o
subespacios.
As´ı, Z es un subespacio discreto de R, mientras que Q pareciera que
también lo es ya que entre cada par de racionales existe un número
irracional; sin embargo, no lo es; de hecho, este subespacio es un ejemplo
de un espacio con propiedades interesantes.
EJEMPLO 1.23
Sea A = [0, 2] ∪ [3, 7) subconjunto de R y consideremos la topolog´ıa
inducida de Ru. El subconjunto [3, 7) es abierto en TA pero no lo es en
Ru.
EJEMPLO 1.24
Si B = { 1
n : n ≥ 1}, la topolog´ıa inducida de Ru es la discreta. Si
agregamos a B el punto 0 ya no obtenemos la discreta.
EJEMPLO 1.25
En R3
u consideremos el siguiente subconjunto T llamado el toro (ver fig.
1.6). Dados a > b, dos reales positivos, T está formado por todas las
triplas de la forma
((a + b · cosφ)cosθ, (a + b · cosφ)senθ, b · senφ)
cuando φ, θ var´ıan en el intervalo [0, 2π].
Nótese que la parte
(a + b · cosφ, b · senφ) = (x(φ), y(φ))

G
.RUBIANO
parametriza la circunferencia centrada en (a, 0) y radio b y enseguida lo
que hacemos es rotar esta circunferencia en torno al eje z, por medio de la
ecuación (x(φ)cosθ, x(φ)senθ, y(φ)), la cual da una vuelta de radio x(φ)
para cada φ. Los elementos de la base para la topolog´ıa de T inducida
por la usual de R3, serán las intersecciones de las esferas sin borde de
R3 con T (ver fig. 1.6).
Figura 1.5: Parametrizaciones interrumpidas para θ y para φ respectivamente.
Figura 1.6: Un abierto básico del toro.
EJEMPLO 1.26
Sea M3×3 o M3(R) el conjunto de todas las matrices reales de tamaño
3×3. Usando las 9 entradas (ai,j) en cada matriz como coordenadas para
un vector, podemos identificar M3×3 con R9. El subconjunto GL(3, R) ⊆
R9 de las matrices invertibles es un espacio con la topolog´ıa de subespacio
(ver ejemplo 2.7).

G
.RUBIANO
EJEMPLO 1.27
Aunque en R la topolog´ıa inducida por el orden usual coincide con la
topolog´ıa usual, esto no sucede para los subespacios.
El conjunto A = (5, 7) ∪ [8, 10) tiene el orden ≤ usual de los números
y la topolog´ıa T≤ inducida por este orden es diferente a la topolog´ıa
‘usual’ TA inducida del orden usual de R. Por ejemplo, [8, 9) = (7, 9)∩A
es un abierto en la ‘usual’, pero no lo es en la inducida por el orden
de A porque no corresponde a ningún ‘intervalo’ de A, pues no existe
8 ∈ (a, b) ⊆ [8, 9).
EJEMPLO 1.28
Sobre el cuadrado A = I × I = [0, 1] × [0, 1] podemos considerar y
comparar tres topolog´ıas:
La topolog´ıa TI×I inducida por la usual de R2.
La topolog´ıa T¢ inducida por su orden ¢ lexicográfico.
La topolog´ıa T¢
I×I inducida del espacio (R2, T¢) donde T¢ es la
inducida por el orden ¢ lexicográfico de R2.
(a) (b)
p
•
p
•
Figura 1.7: (a) un abierto en T¢
I×I, (b) un abierto en T¢.
Estudie la contenencia entre estas tres topolog´ıas (ver fig. 1.7).

G
.RUBIANO
Los anteriores ejemplos motivan la siguiente pregunta: ¿cuándo los
abiertos de un subespacio son también abiertos para el espacio?
Proposición 1.16. Sean (X, T) un espacio y A ⊆ X. Entonces TA ⊆ T
si y solo si A es abierto.
Demostración. Sea M ∈ TA es decir M = V ∩ A donde V ∈ T. Como
A ∈ T tenemos V ∩ A ∈ T.
Ejercicios 1.4
1. ¿Cómo es la topolog´ıa de subespacio para S1 ⊆ R2?
2. En (R2, verticales), pág. 13 ej. 1, ¿cómo son las topolog´ıas induci-
das sobre R × {0} y {0} × R?
3. En Ru ¿cómo son las topolog´ıas heredadas para Q y para A =
{1/n | n ∈ N} ∪ {0}?
4. En (R2, lexicográfico) ¿cómo es la topolog´ıa inducida sobre la recta
real y sobre I × I?
5. Sean (X, T) un espacio y A ⊆ X. Muestre que F ⊆ A es cerrado
en (A, TA) si y solo si F es la intersección de A con un subconjunto
cerrado de X.
6. En X = {1, 2} × N con el lexicográfico, todo unitario es abierto
excepto uno; ¿de qué punto se trata?
7. Y ⊆ (X, ≤) se dice convexo si para todo a, b ∈ Y con a < b el
intervalo (a, b) ⊆ Y . Muestre que en este caso las topolog´ıas T¢
Y y
TY
¢ coinciden (ver ejemplo 1.28).

G
.RUBIANO
2 Espacios métricos
En este cap´ıtulo vemos los espacios métricos como una clase par-
ticular de espacios topológicos. Por supuesto que los espacios métri-
cos, en s´ı mismos, son extremadamente importantes y dentro de la
matemática merecen su propio espacio y por supuesto su propio tex-
to. La presentación que aqu´ı hacemos es con la finalidad de prepararnos
—motivarnos, dar ejemplos— para las futuras definiciones en topolog´ıa
concernientes a las nociones de cercan´ıa y l´ımite, pero no pretendemos
hacer una exposición tan siquiera incompleta.
Estos espacios —el concepto— fueron introducidos por el matemático
francés Maurice René Fréchet (1878–1973) en 1906 y constituyeron uno
de los pasos decisivos en la creación de la Topolog´ıa general. Se trataba
de definir el concepto de ‘distancia’ de la manera más general posible
para objetos matemáticos de naturaleza no espec´ıfica —no necesaria-
mente puntos de Rn, curvas o funciones—. Con tan pocas condiciones
(ver siguiente definición) Fréchet pudo introducir de nuevo todas las
nociones topológicas introducidas hasta ese entonces para Rn, esto es,
l´ımites, continuidad, vecindades para un punto, conjuntos abiertos, con-
juntos cerrados, puntos de acumulación, compacidad, conexidad, etc.
2.1. Métrica
Definición 2.1. Una métrica d para un conjunto X es una función
d : X × X −→ R≥0 = [0, ∞) —toma valores en los números reales
positivos— que satisface las siguientes condiciones para todo x, y, z ∈ X:
1. d(x, y) = 0 si y solo si x = y,
2. d(x, y) = d(y, x),
28

G
.RUBIANO
2.1 Métrica 29
3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
El número d(x, y) se llama la distancia entre x y y. El par (X, d) se llama
un espacio métrico.
La desigualdad en 3, llamada la desigualdad triangular, nos re-
cuerda el hecho de que la distancia más corta entre dos puntos es la
que se toma directamente entre ellos —claro que el sentido del término
distancia es algo que nosotros hemos definido por medio de d, a nuestro
antojo—.
Una consecuencia inmediata de 3 es
|d(x, y) − d(z, y)| ≤ d(x, z) (2.1)
puesto que d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) implica d(x, y) − d(z, y) ≤ d(x, z)
e, intercambiando el papel de x por el de z, tenemos d(z, y) − d(x, y) ≤
d(z, x), con lo cual
−d(x, z) ≤ d(x, y) − d(z, y) ≤ d(x, z). (2.2)
Dados (X, d), x ∈ X y > 0, el conjunto de puntos y tales que d(x, y) <
lo llamamos la bola abierta B (x). (Ver definición 2.8).
EJEMPLO 2.1
El conjunto R de los números reales, con la función d(x, y) = |x − y| es
un espacio métrico. Este ejemplo incluye su curso de cálculo I en este
texto.
La desigualdad triangular es en este caso |x − y| ≤ |x − z| + |z − y|.
Al reemplazar a = x − z, b = z − y tenemos la clásica desigualdad
|a + b| ≤ |a| + |b|.
EJEMPLO 2.2
Sea X el conjunto de pueblos en un mapa vial escogido; si definimos
d(x, y) como la longitud del camino más corto entre todas las rutas que
comunican a x con y, tenemos que d es una métrica.

G
.RUBIANO
EJEMPLO 2.3
Métrica discreta. Si X es un conjunto cualquiera, la métrica discreta
se define como: para x, y ∈ X
d(x, y) :=
1 si x = y,
0 si x = y.
EJEMPLO 2.4
Dados x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) dos puntos en Rn defin-
imos
d2(x, y) = |x−y| = ((x1 −y1)2
+(x2 −y2)2
+· · ·+(xn −yn)2
)1/2
. (2.3)
Esta métrica se llama distancia euclidiana —la manera de medir usu-
al—. Para verificar la desigualdad triangular basta recordar las desigual-
dades de:
Minkowski,
n
i=1
(xi + yi)2
1
2
≤
n
i=1
xi
2
1
2
+
n
i=1
yi
2
1
2
(2.4)
Bunjakovski-Cauchy-Schwartz,
n
i=1
|xiyi| ≤
n
i=1
xi
2
1
2 n
i=1
yi
2
1
2
(2.5)
Para obtener la desigualdad triangular, aplicamos la desigualdad de
Minkowski:
d(x, y) + d(y, z) = |x − y| + |y − z|
≥ |(x − y) + (y − z)| = |x − z|
= d(x, z).
Podemos generalizar del ejemplo anterior y definir una métrica dp en Rn
para cada número real p ≥ 1 —no necesariamente p = 2, i. e., tenemos
una colección infinita de métricas— (ver fig. 2.4).

G
.RUBIANO
2.1 Métrica 31
dp(x, y) :=
n
i=1
|xi − yi|p
1
p
, p ≥ 1, (x, y ∈ Rn
).
El espacio métrico resultante es notado por algunos autores como ln
p ,
de suerte que para el caso p = 2, que es la manera usual de medir en
Rn, notamos ln
2 .
EJEMPLO 2.5
El espacio l∞ de todas las sucesiones acotadas. Sea l∞ el conjunto
de todas las sucesiones acotadas de números reales, i. e., las sucesiones
x = (x1, x2, ...) = (xn) tales que supn |xn| < ∞. Si x = (xn), y = (yn) ∈
l∞, definimos la métrica
d∞(x, y) = sup
n
|xn − yn|.
Verifiquemos la desigualdad triangular. Si z = (zn) ∈ l∞, entonces
|xn − yn| ≤ |xn − zn| + |zn − yn|
≤ sup
n
|xn − zn| + sup
n
|zn − yn|
= d∞(x, y) + d∞(y, z).
Por tanto,
d∞(x, y) = sup
n
|xn − yn| ≤ d∞(x, z) + d∞(z, y).
EJEMPLO 2.6
Sea C([0, 1], R) el conjunto de todas las funciones continuas de [0, 1] en
R, y definamos la métrica d2 como
d2(f, g) =
1
0
(f(x) − g(x))2
dx
1
2
.
Si tomamos el conjunto de todas las funciones, no necesariamente con-
tinuas, la fórmula anterior no define una métrica ¿por qué?. K

G
.RUBIANO
EJEMPLO 2.7
Grupo lineal general GLn o GL(n, R). Denotemos por Mn(R) el con-
junto de las matrices de tamaño n × n con entradas en R (ver ejemplo
1.26).
Si cada matriz A = (aij) se identifica con el punto
(a11, . . . , a1n, a21, . . . , a2n, . . . , an1, . . . , ann) ∈ Rn2
entonces GL(n, R) queda identificado con Rn2
y por tanto lo podemos
ver como un espacio métrico.
Una matriz A es invertible (multiplicación) si existe una matriz B
tal que AB = I = BA (donde I es la matriz identidad) o de manera
equivalente Det(A) = 0 (determinante distinto de cero).
En Mn(R) se distingue el subconjunto GL(n, R) o GLn(R) de las
matrices invertibles. Por su sigla lo llamamos grupo lineal general.
Recordemos que At denota la transpuesta de A, donde las filas de
At son las columnas de A, esto es, (At)ij = Aji. Cada matriz define una
función A : Rn → Rn como A(x) = Ax.
Una matriz A se llama ortogonal si es invertible con A−1 = At, i.
e., AAt = I.
EJEMPLO 2.8
On o O(n, R). El subconjunto On ⊆ GLn de las matrices ortogonales,
se llama grupo ortogonal y corresponde a las transformaciones lineales
de Rn que preservan la longitud de los vectores, o de manera equivalente
a las isometr´ıas de Rn que fijan el origen.
Si A ∈ On, entonces det(A) ∈ {1, −1} puesto que
det(A)2
= det(A)det(At
) = det(AAt
) = det(I) = 1.
EJEMPLO 2.9
El subconjunto SOn ⊆ On de las matrices A ∈ On con det(A) = 1
se llama grupo ortogonal especial y corresponde a las matrices que
tienen determinante 1 y cuya inversa corresponde a su transpuesta. Este
subconjunto coincide con las rotaciones de Rn alrededor del origen.

G
.RUBIANO
2.1 Métrica 33
Para el caso 2–dimensional n = 2 tenemos SO2. Dado un ángulo θ
definimos las matrices
Rθ =
cos θ −sen θ
sen θ cos θ
Sθ =
cos θ sen θ
sen θ −cos θ
.
Estas matrices son ortogonales y det(Rθ) = 1, det(Sθ) = −1. Por
tanto Rθ ∈ SO2 y Sθ ∈ O2 − SO2. Pero mucho más, cualquier matriz
A ∈ SO2 es de la forma Rθ para algún θ y cualquier matriz A ∈ O2−SO2
es de la forma Sθ para algún θ.
Rθ representa una rotación de medida θ en sentido contrario a las
manecillas del reloj.
Sθ representa una reflexión por la l´ınea que pasa por el origen en
ángulo θ/2 con respecto al eje x.
Una isometr´ıa de Rn es una función f : Rn → Rn de la forma
f(x) = Ax + a para alguna matriz ortogonal A ∈ On y algún vector a ∈
Rn. Denotamos por Isomn el conjunto de tales funciones. Como lo indica
su nombre, una isometr´ıa f preserva distancias, esto es, d(f(x), f(y)) =
d(x, y) para todo x, y ∈ Rn. De manera rec´ıproca, para cualquier función
f : Rn → Rn que preserva distancias existen A ∈ On y a ∈ Rn tal que
f(x) = Ax + a para todo x ∈ Rn.
Ejercicios 2.1
1. Dados (X, d),(Y, m) dos espacios métricos muestre que para
x = (x1, y1), y = (x2, y2) con x, y ∈ X × Y las siguientes fun-
ciones definen métricas sobre X × Y :
a)
d2(x, y) := (d(x1, x2)2
+ m(y1, y2)2
)
1
2 . (2.6)
Sugerencia: para la desigualdad triangular apóyese en la sigu-
iente desigualdad: Si a, b, c, x,y, z son números reales no neg-
ativos con a ≤ b + c, x ≤ y + z, entonces (a2 + x2)1/2 ≤
(b2 + y2)1/2 + (c2 + z2)1/2.
b)
d∞(x, y) := máx {d(x1, x2), m(y1, y2)}. (2.7)

G
.RUBIANO
c)
d(x, y) := d(x1, x2) + m(y1, y2). (2.8)
2. Generalice las métricas del ejemplo anterior para un producto fini-
to de espacios métricos.
3. La métrica del mensajero. En el espacio euclidiano R2, defini-
mos la métrica m del mensajero como m(p, q) := d2(0, p)+d2(0, q)
donde 0 = (0, 0), p, q ∈ R2. Si p = q definimos m(p, q) = 0.
El mensajero reparte en p, vuelve a la oficina en 0 y sale nueva-
mente a repartir en q (figura 2.1). ¿Cómo es B1(p), i.e., qué puntos
pertenecen a esta bola?
p
q
•
•
•
Figura 2.1: La métrica del mensajero.
4. Sea X un conjunto no vac´ıo. En XN definimos d, la métrica
primeriza o de Baire como: dadas dos sucesiones x = (x1, x2, . . .),
y = (y1, y2, . . .) en X,
d(x, y) := 1/k, si xn = yn para todo n < k y xk = yk.
Es decir, k es la coordenada donde por primera vez las dos suce-
siones difieren. Si xn = yn para todo n ∈ N, definimos d(x, y) = 0.
Muestre que (XN, d) es un espacio métrico.
En el caso en que X = N obtenemos la colección de todas las sucesiones
de números naturales (el cual tiene la misma cardinalidad que R) y,
como curiosidad, este espacio no es más que otra manera de describir
al conjunto de los números irracionales v´ıa ‘fracciones continuas’.
5. De acuerdo con el ejercicio anterior, el conjunto {0, 1}N de todas las
cuerdas o palabras infinitas formadas con el alfabeto {0, 1} es un

G
.RUBIANO
2.1 Métrica 35
espacio métrico. La distancia está dada en términos de la longitud
k del primer prefijo que comparten.
Algunos autores prefieren tomar para este caso concreto {0, 1}N la
distancia d(x, y) :=
1
2k
.
Veamos la desigualdad triangular para esta nueva métrica. Sean
a, b, c sucesiones y mostremos que
d(a, b) ≤ max{d(a, c), d(c, b)}.
Sea k la longitud del mayor prefijo común entre a y c, y sea m la
longitud del mayor prefijo común entre c y b. Si n = m´ın{k, m},
sabemos que las primeras n letras de a coinciden con las primeras
n letras de c; y que las primeras n letras de c coinciden con las
primeras n letras de b. As´ı, las primeras n letras de a coinciden
con las primeras n letras de b. Luego, el prefijo común entre a y
b tiene longitud al menos n.
Por tanto,
d(a, b) ≤ (1/2)n
= (1/2)m´ın{k,m}
(2.9)
= máx{(1/2)k
, (1/2)m
} (2.10)
= máx{d(a, c), d(c, b)}. (2.11)
Esta última ultra–desigualdad implica la desigualdad triangular ya
que
máx{d(a, c), d(c, b)} ≤ d(a, c) + d(c, b).
6. Un espacio ultramétrico X es un espacio métrico (X, d) en el
cual la métrica d satisface la ultra-desigualdad triangular:
d(x, z) ≤ máx{d(x, y), d(y, z)}.
a) Muestre que los dos ejercicios anteriores son ejemplos de es-
pacios ultramétricos.
b) En un espacio ultramétrico cualquier punto de una bola (ver
definición 2.8) puede ser su centro, i. e., si y ∈ Bε(x) entonces
Bε(x) = Bε(y). Deduzca que dos bolas abiertas no disyuntas
son comparables por la inclusión.
c) Una bola cerrada es un conjunto abierto. K
d) Una bola abierta es un conjunto cerrado.

G
.RUBIANO
7. Sean (X, d) un espacio métrico y A ⊆ X. Muestre que la función
d restringida a A × A define una métrica dA para A. Al espacio
(A, dA) lo llamamos subespacio métrico.
8. En X = ℘(N) defina d(A, B) = 0 si A = B, de lo contrario defina
d(A, B) =
1
k
donde k = m´ın{n : n ∈ (A ∪ B) − (A ∩ B)}.
Sugerencia: d(A, B) <
1
m
si y solo si A ∩ [1, m] = B ∩ [1, m].
2.2. Espacios unitarios o euclidianos
Recordemos que los espacios euclidianos Rn con la suma usual de
vectores y el producto por escalar no son más que elementos canónicos
de espacios vectoriales normados de dimensión finita.
Definición 2.2. Un espacio vectorial —lineal— real es un conjunto
V no vac´ıo —los elementos de V se llaman vectores— sobre el cual
está definida una operación binaria + llamada la adición de vectores, y
una multiplicación escalar —multiplicación de un vector por un número
real— que satisfacen las siguientes propiedades: para x, y, z ∈ V y α, β ∈
R tenemos
1. x + y = y + x.
2. x + (y + z) = (x + y) + z
3. Existe un único 0 ∈ V —llamado el elemento cero— tal que x+0 =
x para todo x.
4. A cada x corresponde un único elemento −x ∈ V —llamado el
inverso aditivo de x— tal que x + (−x) = 0.
Hasta aqu´ı, de 1, 2, 3 y 4 tenemos una estructura de grupo.
5. α(βx) = (αβ)x.
6. (α + β)x = αx + βx.
7. α(x + y) = αx + αy.

G
.RUBIANO
2.2 Espacios unitarios o euclidianos 37
8. 1x = x.
Definición 2.3. Sea X un espacio vectorial real. Una norma para X es
una función : X −→ [0, ∞) que a cada vector x le asocia el número
real positivo x con las siguientes propiedades:
1. x = 0 si y solo si x = 0 —el vector módulo—.
2. λx = |λ| x , para todo x ∈ X, λ ∈ R —homogeneidad absoluta–
.
3. x + y ≤ x + y , para x, y ∈ X —subaditiva o triangular—.
Al par (X, ) lo llamamos espacio —vectorial— normado.
Como consecuencia de la subaditividad 3 tenemos
x − y ≤ x − y ,
al tomar
x = x − y + y ≤ x − y + y
y = y − x + x ≤ y − x + x
con lo cual
− x − y ≤ x − y ≤ x − y .
Teorema 2.4. Si (X, ) es un espacio vectorial normado, la fórmula
d(x, y) := y − x
define una métrica para X.
Demostración. 1, 2 y 3 de la definición de métrica son inmediatas. Para
la desigualdad triangular notemos que
d(x, y) + d(y, z) = y − x + z − y
≥ (y − x) + (z − y) = z − x = d(x, z).
Decimos que la métrica es inducida por una norma.

G
.RUBIANO
Cada espacio normado es de manera intr´ınseca un espacio métrico.
Esta métrica es invariante por traslaciones, i. e.,
d(x, y) = d(a + a, y + a) para todo vector x, y, a.
Por geometr´ıa, los vectores de Rn también poseen un producto escalar
o punto; es decir, no son más que ejemplos de espacios vectoriales con
producto interior.
Definición 2.5. Un producto interior —o un producto escalar— para
un espacio vectorial real X es una función , : X × X −→ R que a
cada par (x, y) le asocia el número real x, y y satisface:
1. x, x ≥ 0, y x, x = 0 si y solo si x = 0 —definido positivo—.
2. x, y = y, x —simetr´ıa—.
3. λx + µy, z = λ x, z + µ y, z , para x, y, z ∈ X, λ, µ ∈ R.
Al par (X, , ) lo llamamos espacio unitario o euclidiano o espacio
pre-Hilbert.
Teorema 2.6. Sea (X, , ) un espacio unitario. La fórmula
x := x, x
define una norma para X.
Demostración. Para la demostración basta verificar las siguientes dos
desigualdades clásicas (Bunjakovski-Cauchy-Schwartz)
| x, y |2
≤ x, x y, y , (2.12)
| x, y | ≤ x y . (2.13)
Decimos en este caso que la norma es inducida por el producto interior.
EJEMPLO 2.10
En Rn veamos las siguientes normas y sus respectivas métricas inducidas:

G
.RUBIANO
1. La métrica d1 conocida como métrica del taxista y definida por
d1(x, y) = |x1 − y1| + |x2 − y2| + · · · + |xn − yn|;
la norma en este caso es
x 1 = |x1| + |x2| + · · · + |xn|.
2. La métrica euclidiana d2 inducida por la norma
x 2 = (x2
1 + x2
2 + · · · x2
n)1/2
,
la cual proviene del producto interior
x, y = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn,
con lo cual
d2(x, y) = ((x1 − y1)2
+ (x2 − y2)2
+ · · · + (xn − yn)2
)1/2
.
3. Los sub´ındices 1, 2 de las anteriores métricas d1, d2 no son en man-
era alguna fortuitos, son casos particulares de la siguiente defini-
ción más general. Para cada número real p ≥ 1 definimos
x p := (|x1|p
+ · · · + |xn|p
)1/p
.
Esta norma nos induce la métrica dp definida por (ver definición
de la pág. 31)
dp(x, y) :=
n
i=1
|xi − yi|p
1
p
, (x, y ∈ Rn
).
4. La métrica d∞ del sup definida como —¿por qué el s´ımbolo ∞?—
d∞(x, y) = máx{|x1 − y1|, |x2 − y2|, . . . , |xn − yn|}
la cual es a su vez inducida por la norma
x ∞ := máx{|x1|, |x2|, . . . , |xn|}.

G
.RUBIANO
EJEMPLO 2.11
El espacio l∞ de todas las sucesiones acotadas (ejemplo 2.5) es un
espacio vectorial con la suma usual (xn)n + (yn)n = (xn + yn)n y multi-
plicación por escalar α(xn)n = (αxn)n. Si para x ∈ l∞ definimos
x = sup
n
|xn|
entonces la métrica d∞ es inducida por esta norma.
El siguiente espacio métrico es un clásico de la topolog´ıa y del análisis
funcional; por esto, lo discutimos de manera amplia y reiterada.
EJEMPLO 2.12
El espacio de Hilbert H, también notado como l2:
Si en RN —el espacio vectorial formado por el conjunto de todas las
sucesiones en R con las operaciones usuales de suma de sucesiones y
multiplicación por escalar— quisiéramos definir una métrica modelando
la métrica euclidiana para el caso finito Rn, tendr´ıamos que dadas dos
sucesiones x = (x1, x2, . . .), y = (y1, y2, . . .), la suma infinita
∞
i=1
(xi − yi)2
1
2
(2.14)
debe ser un número real y, por tanto, debemos restringirnos a un sub-
conjunto H de RN.
El espacio de Hilbert1 H está formado por el conjunto de todas
las sucesiones x = (xn) de números reales tales que ∞
n=1 x2
n < ∞.
H provisto de la adición y del producto escalar para sucesiones es un
espacio vectorial real de dimensión infinita —subespacio de RN—.
1
El nombre dado a estos espacios es en honor al matemático alemán David Hilbert
(1862, Königsbergl-1943, Göttingen, Alemania), quien los utilizó en su estudio de
las ecuaciones integrales. Hilbert invitó a Einstein a Göttingen para que impartiera
una semana de lecciones entre junio y julio de 1915 sobre relatividad general y su
teor´ıa de la gravedad en desarrollo. El intercambio de ideas llevó a la forma final de
las ecuaciones de campo de la Relatividad General. Aunque Einstein y Hilbert no
llegaron nunca a una disputa pública sobre prioridad, ha habido discusión sobre a
quién corresponde el mérito del descubrimiento de las ecuaciones de campo.

G
.RUBIANO
La función , : H ×H −→ R definida para x = (xn), y = (yn) ∈ H
como
(x, y) → x, y =
∞
k=1
xkyk (2.15)
es simétrica, bilineal y definida positivamente, luego es un producto inte-
rior sobre H. Para verificar la buena definición, esto es, que efectivamente
la serie correspondiente a x, y es un número, basta tomar l´ımites en
la desigualdad (2.4) para los espacios Rn y obtenemos la siguiente de-
sigualdad, la cual asegura que la serie converge absolutamente
x, y ≤
∞
k=1
|xk||yk| ≤
∞
k=1
x2
k
1/2 ∞
k=1
y2
k
1/2
. (2.16)
Por tanto, el par (H, , ) es un espacio euclidiano de dimensión infinita
—será de Hilbert cuando demostremos que es completo—.
De otra parte, tenemos canónicamente asociada a este espacio una
métrica d inducida por la norma asociada a este producto interior
d(x, y) = x − y =
∞
k=1
(xk − yk)2
1/2
(2.17)
Hablamos de el espacio de Hilbert —un espacio euclidiano, completo,
separable y de dimensión infinita— en honor a David Hilbert; la uni-
cidad por cuanto este espacio es único salvo isomorfismo. Este último
hecho no es trivial, pues aunque todo espacio euclidiano n-dimensional
siempre es isomorfo a Rn, no es verdad que todo par de espacios eu-
clidianos infinito-dimensionales lo sea.
Por ejemplo, el espacio (C2([0, 1], R), m) con m definida como
m(f, g) :=
1
0
[f(t) − g(t)]2
dt
1
2
no es isomorfo a l2 pues el primero no es completo mientras que el
segundo s´ı lo es.

G
.RUBIANO
...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
................
.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ................
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................................
................
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ................
..............................................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
f − g
f + g
Figura 2.2: La ley del paralelogramo.
2.2.1. Caracterización de los espacios euclidianos
Dado V un espacio vectorial —lineal— real y normado, miremos bajo
qué circunstancias V es euclidiano —posee un producto escalar—. En
otras palabras, buscamos condiciones adicionales sobre la norma de V
que nos garanticen que dicha norma es inducida por cierto producto
escalar definido en V .
Teorema 2.7. Una condición necesaria y suficiente para que un espacio
lineal normado V sea euclidiano es que
f + g 2
+ f − g 2
= 2 ( f 2
+ g 2
) (2.18)
para cada f, g ∈ V .
Demostración. Si pensamos en f + g y f − g como las diagonales del
paralelogramo en V con lados f y g la igualdad (2.18) puede ser inter-
pretada como el análogo de la familiar propiedad del paralelogramo en el
plano: ‘la suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo
es igual a la suma de los cuadrados de sus lados’.
La necesidad de (2.18) es clara, ya que si V es euclidiano entonces
f + g 2
+ f − g 2
= f + g, f + g + f − g, f − g
= f, f + 2 f, g + g, g + f, f − 2 f, g + g, g
= 2 ( f 2
+ g 2
). (2.19)
Para probar que (2.18) es suficiente, definamos
f, g =
1
4
f + g 2
− f − g 2
(2.20)

G
.RUBIANO
y mostremos que si (2.18) se tiene, entonces (2.20) posee las propiedades
de un producto escalar —la igualdad en (2.20) se tiene en todo espacio
con producto interior y expresa el producto en términos de la norma—.
Por (2.20) tenemos
f, f =
1
4
2f 2
+ f − f 2
= f 2
(2.21)
lo cual muestra que este producto escalar efectivamente genera la norma.
De (2.20) y (2.21) tenemos que
1. f, f ≥ 0 donde f, f = 0 si y solo si f = 0,
2. f, g = g, f .
La demostración de las propiedades de linealidad
f + g, h = f, h + g, h
αf, g = α f, g
requiere de más trabajo y se deja como ejercicio de consulta.
EJEMPLO 2.13
En C([0, 1], R) definimos la distancia d∞ entre dos funciones f, g por
d∞(f, g) = sup {|f(x) − g(x)| : x ∈ I}.
Lo que es equivalente a definir en C(I) la norma
f ∞ = sup{|f(x)| : x ∈ I}.
d∞ es conocida como la distancia uniforme.
La desigualdad triangular
d∞(f, h) ≤ d∞(f, g) + d∞(g, h) (2.22)
se sigue del hecho que para cada x ∈ I se tiene
|f(x) − h(x)| ≤ |f(x) − g(x)| + |g(x) − h(x)| (2.23)

G
.RUBIANO
y por tanto,
sup
x
|f(x) − h(x)| ≤ sup
x
|f(x) − g(x)| + sup
x
|g(x) − h(x)| (2.24)
ya que sup(A + B) ≤ sup A + sup B.
EJEMPLO 2.14
C([0, π/2], R) con la norma ∞ no es euclidiano. Consideremos el par
de funciones f(t) = cos(t) y g(t) = sen(t). Entonces
f ∞ = g ∞ = 1,
f + g ∞ = max0≤t≤π/2 : cos(t) + sen(t) :=
√
2,
f − g ∞ = max0≤t≤π/2 : cos(t) − sen(t) :=
√
1,
con lo cual
f + g 2
∞ + f − g 2
∞ = 2( f 2
∞ + g 2
∞).
Por lo tanto, la norma no puede ser generada por ningún producto es-
calar. Lo mismo es cierto para el espacio (C[a, b], R) para cada a < b.
EJEMPLO 2.15
De manera más general: sean (Y, d) un espacio métrico con una métrica
acotada d y J un conjunto cualquiera no vac´ıo. Sobre el conjunto Y J =
Hom(X, Y ) = j∈J Y de todas las funciones de J en Y definimos la
métrica uniforme d∞(f, g) = sup{d(f(j), g(j)) : j ∈ J}.
Ejercicios 2.2
1. Un segmento de recta ab en R2 puede ser descrito como
{x : d2(a, x) + d2(x, b) = d2(a, b)}.
¿Cómo luce esta definición, i. e. este conjunto, si la métrica involu-
crada es d1? Haga la misma reflexión con la definición de circun-
ferencia, elipse, parábola, etc.
2. Muestre que una métrica d en un espacio vectorial real X proviene
de una norma si y solo si es compatible con la estructura lineal del
espacio, esto es, si se satisface:

G
.RUBIANO
2.3 Topolog´ıa para una métrica 45
a) d(x + a, y + a) = d(x, y), para todo a, x, y ∈ X (invarianza
por traslación).
b) d(λx, λy) = |λ|d(x, y) para λ ∈ R, x, y ∈ X (homogeneidad).
Sugerencia: Defina x = d(x, 0). Por supuesto no toda métrica
en un espacio vectorial proviene de una norma; ¿por qué?
Por lo anterior, dado un espacio vectorial, entre las normas ar-
bitrarias y los espacios métricos homogéneos e invariantes por
traslación, existe una correspondencia biun´ıvoca natural.
3. Rn
p o ln
p no es euclidiano si p = 2 —la norma no puede ser generada
por un producto escalar—.
Sugerencia: considere el par de vectores u = (1, 1, 0, . . . , 0) y v =
(1, −1, 0, . . . , 0).
4. El siguiente ejercicio generaliza los ejemplos 2.5 y 2.13. Sea X
conjunto. La colección
E = {f | f : X −→ R, acotada}
es un espacio vectorial con las operaciones usuales de suma de
funciones y multiplicación por escalar. Para cada f ∈ E definimos
f = sup
x∈X
|f(x)|. (2.25)
Muestre que en efecto se trata de una norma y dé una genera-
lización.
5. Hilbert generalizado. Para cada p ≥ 1 definimos el conjunto lp de
todas las sucesiones de números reales, x = (x1, x2, ...) = (xn)n
tales que la serie ∞
n=1 |xn|p < ∞. Si x, y ∈ lp, muestre que
x − y ∈ lp y que la función dp es una métrica en lp, donde
dp
(x, y) =
∞
n=1
|xn − yn|p
1
p
.
2.3. Topolog´ıa para una métrica
Dado un espacio métrico (X, d), existen unos subconjuntos relevantes
de él, capaces de describir a los vecinos de un punto controlando la

G
.RUBIANO
distancia —grado de cercan´ıa— y que además serán los encargados de
definirnos la topolog´ıa inherente a la métrica.
Definición 2.8. Sean x ∈ (X, d) y ε > 0 un número real. Los conjuntos
Bε(x) = {y : d(x, y) < ε}, (2.26)
Bε(x) = {y : d(x, y) ≤ ε}, (2.27)
Sε(x) = {y : d(x, y) = ε} (2.28)
son respectivamente, la bola abierta, la bola cerrada y la esfera de
centro en x y de radio ε en el espacio (X, d).
• • •
Figura 2.3: Bola abierta, bola cerrada y esfera en R2
.
Figura 2.4: B1((0, 0)) para p = 1, 2, 7 en R3
p.
EJEMPLO 2.16
En R3
2 una bola tiene efectivamente la forma de una ‘bola usual’; pero
esto está bien lejos de suceder cuando utilizamos en R2 otras métricas
diferentes a la usual, como en R3
1 y R3
7 (fig. 2.4) donde una bola puede
tener otras formas, pero al fin bolas.

G
.RUBIANO
EJEMPLO 2.17
En el espacio (C([0, 1]), d∞) (ejemplo 2.13) las bolas abiertas toman
una forma muy especial (fig. 2.5), son franjas abiertas llenas de todos
los segmentos continuos imaginables —no se alza la mano del papel al
trazarlos— i. e., dados ε > 0 y f ∈ C(I, R), la bola Bε(f) consiste
de todas las funciones que permanecen estrictamente dentro del área
acotada por las funciones f − ε, f + ε.
f + ε
f − ε
f
Figura 2.5: Bola abierta en la métrica d∞ para C([0, 1], R).
Contrario al caso anterior, para la métrica
d1(f, g) =
1
0
|f(x) − g(x)|dx (2.29)
sobre [0, 1], las bolas son muy dif´ıciles de imaginar.
Teorema 2.9. Si (X, d) es un espacio métrico, entonces el conjunto
B = {Bδ(x) : x ∈ X, δ > 0} (2.30)
de todas las bolas abiertas es base para una topolog´ıa en X.
Demostración. Sean Bδ(x), Bε(y) dos bolas y p ∈ Bδ(x) ∩ Bε(y). Si
r > 0 es tal que r < m, donde m = m´ın{δ − d(p, x), ε − d(p, y)}, la bola
Br(p) está contenida en la intersección de las dos bolas dadas (fig. 2.6).
En efecto, veamos primero que Br(p) ⊆ Bδ(x); a partir de la desigualdad
triangular tenemos que si d(t, p) < r entonces
d(t, x) ≤ d(t, p) + d(p, x)
< r + d(p, x)
≤ δ − d(p, x) + d(p, x) ≤ δ.

G
.RUBIANO
•
•
•δ
x
p
•
εy
◦
Figura 2.6: Las bolas en un espacio métrico forman una base.
De manera similar se muestra la otra contenencia.
Definición 2.10. La topolog´ıa T asociada a la base formada por la to-
talidad de las bolas abiertas se llama topolog´ıa inducida o generada
por la métrica d, y la notamos T = d .
La definición anterior nos permite crear una clase muy especial de
espacios topológicos. Cuando un espacio topológico (X, T) tiene una
topolog´ıa tal que T = d para alguna métrica d, decimos que el espacio
(X, T) es metrizable, o que su topolog´ıa proviene de una métrica.
Las preguntas obligadas son:
1. ¿Todo espacio topológico es metrizable?
2. ¿Pueden métricas diferentes inducir la misma topolog´ıa?
3. ¿Cómo saber cuándo un espacio es metrizable?
2.3.1. Métricas equivalentes
Una métrica induce una base, as´ı que la pregunta 2 puesta en térmi-
nos de bases nos conduce a la siguiente definición.
Definición 2.11. Dos métricas d, m en un conjunto X se dicen topoló-

G
.RUBIANO
gicamente equivalentes —notamos d ≡ m— si generan la misma
topolog´ıa; esto es, d = m .
La primera contenencia d ⊆ m de la igualdad d = m implica
que cada bola en d se puede expresar como una unión de bolas en m, y
lo rec´ıproco para la otra contenencia.
ε
y
x
En términos más expl´ıcitos, dada Bd
ε (x)
—una bola ‘cuadrada’ en d— y un punto y
con y ∈ Bd
ε (x), es posible encontrar una bola
Bm
δ (y) —‘redonda’ en m y de centro en y—
de tal manera que
y ∈ Bm
δ (y) ⊆ Bd
ε (x).
También debemos tener lo rec´ıproco para la otra contenencia. ¿Por
qué podemos escoger la bola Bm
δ (y) de suerte que resulte centrada en y?
Más aún, para la equivalencia topológica entre dos métricas nos pode-
mos reducir a la respectiva contenencia de bolas centradas en el mismo
punto; esto es, para cada x ∈ X dada Bd
ε (x) existe Bm
δ (x) ⊆ Bd
ε (x) y
viceversa.
Definición 2.12. Un espacio métrico (X, d) es acotado si la función
d es acotada. De manera más general, dado A ⊆ (X, d) definimos el
diámetro de A como
diam(A) := sup{d(x, y) : x, y ∈ A}.
En caso que diam(A) < ∞ decimos que A es acotado.
El diámetro de A es la distancia entre los puntos más distantes en A
(si tales puntos existen). Por ejemplo, en R si A = [0, 1) su diámetro es
1 sin que tales puntos de A existan.

G
.RUBIANO
EJEMPLO 2.18
Dado el espacio métrico (X, d), definimos dos nuevas métricas:
1. e(x, y) := m´ın{1, d(x, y)}.
2. f(x, y) :=
d(x, y)
1 + d(x, y)
.
Tanto e como f son métricas acotadas por 1, y lo que es aún más intere-
sante, d ≡ e y d ≡ f. En efecto, dada la métrica d y la métrica asociada
e = m´ın{1, d} tenemos que para la bola Bd
r (x) —radio r en la métrica
d— al tomar s = m´ın{1, r} se satisface Be
s(x) ⊆ Bd
r (x). La otra inclusión
es obvia. Para el caso f =
d
1 + d
es fácil verificar que
Bf
r
1+r
(x) ⊆ Bd
r (x) y Bd
r
1−r
(x) ⊆ Bf
r (x), r < 1.
Por tanto, toda métrica es topológicamente equivalente a una
métrica acotada.
El ejemplo anterior muestra que el espacio topológico asociado a X
por medio de las métricas d y e es el mismo. Luego la propiedad de aco-
tamiento es exclusivamente métrica, que la perdemos cuando pasamos a
estructuras más generales, como es el caso de la topológica.
Definición 2.13. Decimos que dos métricas d, m para un mismo conjun-
to X, son métricamente equivalentes o fuertemente equivalentes
(ver teorema 2.14) si existen dos números reales positivos s, t tales que
para todo par de puntos x, y ∈ X se satisface
d(x, y) ≤ s m(x, y) , m(x, y) ≤ t d(x, y). (2.31)
Teorema 2.14. Ser métricamente equivalentes implica ser topológica-
mente equivalentes.
Demostración. Sean d, m dos métricas que son métricamente equiva-
lentes; por lo tanto, existen dos números s, t que satisfacen la definici-
ón 2.13. Dada la bola abierta Bd
ε (x) tenemos que Bm
ε/s(x) ⊆ Bd
ε (x) lo
cual muestra d ⊆ m . Similarmente Bd
ε/t(x) ⊆ Bm
ε (x) y por tanto
m ⊆ d .

G
.RUBIANO
EJEMPLO 2.19
El rec´ıproco del teorema anterior no es cierto. Sabemos que toda métri-
ca d es topológicamente equivalente a la métrica e = m´ın{1, d}; pero
claramente d, e no tienen por qué serlo métricamente. Por ejemplo, en el
caso de Rn
u no es posible encontrar s > 0 que satisfaga d(x, y) ≤ se(x, y)
para todo par de puntos x, y ∈ Rn
u. Sin embargo, la métrica e es métrica-
mente equivalente a la métrica f =
d
1 + d
pues tenemos la desigualdad
f ≤ e ≤ 2f.
Normas equivalentes. Para el caso de un espacio vectorial normado,
decimos que dos normas 1, 2 son topológicamente o métricamente K
equivalentes si las respectivas métricas asociadas lo son. De otra parte,
decimos que ellas son equivalentes si existen s, t ∈ R>0 tales que,
1 ≤ s 2 y 2 ≤ t 1 —las notamos 1 ≡ 2—.
En este caso de los espacios normados no tenemos necesidad de distin-
guir, como pasaba en los espacios métricos, entre distintas formas de
equivalencia ya que estas tres definiciones de equivalencia son iguales,
con lo cual podemos utilizar simplemente el adjetivo normas equiv-
alentes. Más aún, es posible demostrar que en un espacio vectorial
normado de dimensión finita, todas las normas son equivalentes.
EJEMPLO 2.20
Las métricas ln
1 , ln
2 y ln
∞ son topológicamente equivalentes. Para esto,
basta mostrar la desigualdad
B∞
r/
√
2
(x) ⊆ B1
r (x) ⊆ B2
r (x) ⊆ B∞
r (x).
Para el caso del plano, al graficar las bolas B1((0, 0)) para cada una de
las métricas dp, obtenemos la figura 2.7 donde, en la medida en que p
crece, obtenemos una deformación continua del rombo de d1 al cuadrado
de d∞, en que la circunferencia en d2 no es más que un paso en el
camino.
La justificación de la notación d∞ para la métrica del sup la obtenemos
del siguiente lema.

G
.RUBIANO
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
Figura 2.7: B1((0, 0)) para p=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en R2
p.
Lema 2.15. Para cada x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn se tiene que
l´ım
p→∞
x p = máx{|x1|, . . . , |xn|} = x ∞.
Demostración. Es claro que
x p
∞ ≤ |x1|p
+ · · · + |xn|p
≤ n x p
∞. (2.32)
Si a cada lado de la desigualdad elevamos a la potencia 1/p, obtenemos
x ∞ ≤ x p ≤ n1/p
x ∞. (2.33)
Como n1/p → 1 cuando p → ∞, tenemos nuestro l´ımite. Notemos que la
desigualdad en 2.33 muestra que para cada p la norma p es equivalente
a ∞, con lo cual todas las p son equivalentes en Rn, esto es, inducen
la misma topolog´ıa.
En la definición de la métrica dp para los espacios Rn (ver recuadro
pág. 30) la condición p ≥ 1 no debe pasar desapercibida, puesto que en
el caso p < 1 no obtenemos una norma y por lo tanto no inducimos una
métrica. Por ejemplo, para p = 1/2 y n = 2 la desigualdad triangular
no se verifica en el caso de los puntos x = (1, 1), y = (0, 0), z = (1, 0)
pues d(x, y) = 4 mientras que d(x, z) = d(z, y) = 1.

G
.RUBIANO
EJEMPLO 2.21
Una máquina para construir métricas equivalentes. Dados un espacio
métrico (X, d) y una función f : R+ → R+ estrictamente creciente, con
f(0) = 0 y f(u + v) ≤ f(u) + f(v), la compuesta f ◦ d es una métrica. Si
además f es continua en 0, las dos métricas f y f ◦ d son topológicamente
equivalentes.
Verifiquemos, antes de todo, que m = f ◦ d definida como m(x, y) =
f(d(x, y)) es una métrica.
1. m(x, y) es positiva por la definición de f. Por ser f creciente ten-
emos que f(d(x, y)) = 0 implica d(x, y) = 0 con lo cual x = y.
Para la rec´ıproca de ésta afirmación recordemos que f(0) = 0.
2. La simetr´ıa en m es consecuencia de la simetr´ıa en d.
3. La desigualdad triangular,
m(x, z) = f(d(x, z)) ≤ f(d(x, y) + d(y, z))
≤ f(d(x, y)) + f(d(y, z))
= m(x, y) + m(y, z)).
Para verificar que las dos métricas nos llevan a la misma topolog´ıa,
debemos tener las contenencias entre las respectivas bolas.
Como f es continua en 0, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que x < δ implica
f(x) < ε. Por tanto d(x, y) < δ implica m(x, y) = f(d(x, y)) < ε, lo cual
no es más que contenencia entre bolas.
Por ser f creciente se verifica que si m(x, y) = f(d(x, y)) < f(ε) entonces
d(x, y) < ε, con lo cual tenemos la otra contenencia entre las bolas.
A manera de ejemplo, notemos que las funciones
αu (para α > 0),
u
1 + u
, log(1 + u), m´ın{1, u}, arctan u
satisfacen las condiciones para f. ¿Qué métricas son inducidas por estas
funciones?

G
.RUBIANO
1
x y
Para el caso X = R con la métri-
ca usual del valor absoluto, y la fun-
ción f(u) = arctan u tenemos que su
compuesta produce la métrica
f(d(x, y)) = | arctan x − arctan y|.
Esta nueva métrica mide el ángulo
(medido en radianes) entre las rec-
tas descritas por la figura —en este
caso se restan, pero si x y y tienen
diferente signo entonces se suman—. Es una métrica acotada por π, y
además resulta ser topológicamente equivalente con la usual ya que la
función f es continua en 0.
En el sentido contrario a como hemos desarrollado esta última sec-
ción, obtenemos una pregunta que ha influenciado el desarrollo de la
Topolog´ıa: dado un espacio topológico (X, T) ¿existe una métrica d para
X tal que la topolog´ıa T sea inducida por d? El estudio de la metriz-
abilidad, es decir, la búsqueda de condiciones necesarias y/o suficientes
para que una topolog´ıa provenga de una métrica, es un cap´ıtulo abierto
a la investigación con sus propios teoremas, algunos de ellos clásicos en
la literatura matemática.
Ningún espacio topológico (X, T) donde X es un conjunto finito y T no
es la discreta, es metrizable. En otras palabras, si (X, d) es métrico
con X finito, siempre tenemos que d = discreta.
Ejercicios 2.3
1. Muestre que la relación de equivalencia topológica para las métri-
cas es en efecto una relación de equivalencia.
2. ¿Cómo son las bolas en la métrica del mensajero? —ver pág. 34—.
3. A partir de la definición de elipse en la métrica usual, ¿cómo es una
elipse, una circunferencia, una recta para la métrica del taxista?
4. Dados dos espacios métricos (X, m), (Y, n) muestre que las métri-
cas d1, d2, d∞ (ejercicio 1 de 2.1) son equivalentes.

G
.RUBIANO
Sugerencia: para todo par de puntos x, y ∈ X × Y se verifica
d∞(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ d1(x, y) ≤ 2d∞(x, y).
5. Generalice el problema anterior para un producto finito cualquiera
de espacios métricos.
6. Muestre que toda métrica sobre un conjunto finito genera la topolog´ıa
discreta.
7. Dé un ejemplo de una métrica sobre un conjunto enumerable que
no genera la topolog´ıa discreta.
8. Ya hemos definido la métrica d∞ del sup para el conjunto de las
funciones continuas C([0, 1], R). Pero la notación nos lleva a con-
jeturar la existencia de toda la gama de métricas dp para p ≥ 1
—notamos Cp[0, 1] = ((C[0, 1], R), dp)— que mide la distancia en-
tre dos funciones f, g asignándoles el número
dp(f, g) :=
1
0
|f(x) − g(x)|p
1
p
.
El estudio de estas métricas se sale de las pretensiones de este
texto. Pero para el caso concreto de p = 1, 2 muestre que efectiva-
mente se trata de métricas y que
a) d∞ d2 .
b) d2 ⊆ d∞ .
c) d1 d∞ .
d) d∞ d1 .
Sugerencia caso a: Para la desigualdad triangular en d2 apóyese
en la desigualdad de Schwartz
b
a
f(t)g(t)dt
2
≤
b
a
f2
(t)dt
b
a
g2
(t)dt.
Para negar la contenencia considere la sucesión de funciones con-
tinuas {gn} —figura 1.5— definidas como
gn(x) =
1 − nx si 0 ≤ x ≤ 1
n
0 si 1
n ≤ x ≤ 1

G
.RUBIANO
1
n
1
4
1
3
1
2
1
1 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.............
.............
.............
.............
.............
.............
.............
.............
.............
.............
.............
............
x
y
Figura 2.8: Las funciones gn.
Note que cada gn tiene un segmento de recta en el eje X cada vez
más largo. Es fácil ver que
d2(0, gn) =
1
3n
mientras que d∞(0, gn) = 1. Luego la bola B1/2(0) en d∞ de centro
la función nula y con radio 1/2, no contiene a ninguna gn, con lo
cual, no existe en d2 alguna bola centrada en la función nula, que
pueda estar contenida en B1/2(0) ya que 1/3n → 0 cuando n → ∞.
Sugerencia caso c: tome δ = ε.
Sugerencia caso d: considere la sucesión de funciones continuas
{gn} definidas como
gn(x) =
−4nx + 4 si 0 ≤ x ≤ 1
2n
2 si 1
2n ≤ x ≤ 1.
Para la función constante f(x) = 2 verifique que cada gn ∈ B1
1
n
(f)
y gn /∈ B∞
1 (f).
Esta contenencia no se tiene, pues siempre podemos encontrar fun-
ciones g tales que su integral (área bajo la curva) sea tan pequeña
como queramos y sin embargo tengan una ‘punta’ tan larga como
queramos.

G
.RUBIANO
3 Bases y numerabilidad
Un espacio (X, T) puede poseer muchas bases, siendo la mayor de
todas la misma T. Cuando en un espacio tenemos en cuenta la cardinal-
idad de las bases, motivamos las siguientes definiciones, cuyos nombres
responden más a un carácter histórico que descriptivo.
3.1. 2-contable
Definición 3.1. Un espacio (X, T) se dice 2-contable si entre sus bases
existe alguna con un número enumerable —finito o infinito— de elemen-
tos.
Esta condición impone una cota al número de abiertos en la topolog´ıa
(ver ejercicio 12 de la pág. 63). También nos dice que la topolog´ıa
puede ser descrita en términos de un número contable de piezas de
información.
EJEMPLO 3.1
Ru es 2-contable. Por supuesto la base formada por todos los intervalos
abiertos no es enumerable, pero de ella podemos extraer la subfamilia
enumerable
B = {(p, q) : p < q, p, q ∈ Q}.
Esta subfamilia es de nuevo una base —verif´ıquelo!— y es enumerable
ya que su cardinal es el mismo de Q × Q.
EJEMPLO 3.2
(R, cofinitos) no es 2-contable.
57

G
.RUBIANO
58 Bases y numerabilidad
Supongamos que existiera una base enumerable B = {B1, B2, . . .}. Ca-
da Bn es un abierto y por tanto Bc
n es finito, con lo cual i=1 Bc
n =
( i=1 Bn)c es un conjunto enumerable, luego existe un elemento y ∈
n=1 Bn y como R − {y} es un abierto, debe existir un j ∈ N para el
cual Bj está contenido en él, pero esto es imposible ya que para todo
n ∈ N se tiene y ∈ Bn.
EJEMPLO 3.3
X = (RN, primeriza) no es 2-contable (ver ej. 4 de la pág. 34).
Recordemos que en este espacio lo que importa es el comportamiento
inicial de las sucesiones, a diferencia de lo ‘usual’ en sucesiones, donde
importa el comportamiento final. Si existiera una base B = {B1, B2, . . .},
por cada n ∈ N tomamos un elemento (i. e., una sucesión) tn = (tn
k )∞
k=1 ∈
Bn. As´ı, la sucesión {tn
1 }∞
n=1 está formada por la primera coordenada de
cada sucesión tn.
Construimos ahora una sucesión q = (qn) en la cual q1 = tn
1 para cada n,
con lo que la primera componente de q es diferente de la primera com-
ponente de cada una de las sucesiones tn, lo que implica tn /∈ B1/2(q)
para todo n, puesto que al diferir q y tn en su primera componente, ya
están lo más lejanas posible, esto es d(q, tn) = 1. As´ı que ninguna Bn
de la base puede estar contenida en B1/2(q).
EJEMPLO 3.4
El espacio H de Hilbert es 2-contable.
Definimos una base B enumerable de la manera siguiente.
Sea D = Dn, (n ∈ N) donde
Dn := {(xn) ∈ H, xn ∈ Q : si k > n entonces xk = 0}.
D está constituido de todas las sucesiones en H formadas por números
racionales y a la larga constantes a cero. D es enumerable. Definimos
B := {Br(d) : d ∈ D, r ∈ Q}.
B es enumerable. Para verificar que B es una base, probaremos que
cualquier abierto U ⊆ H es reunión de bolas en B. En efecto, dado

G
.RUBIANO
3.2 1-contable 59
t = (tk) ∈ U existe una bola Bε(t) ⊆ U. Ahora veamos que podemos
encontrar una bola Br(q) (q ∈ D, r ∈ Q) con la propiedad que t ∈
Br(q) ⊆ Bε(t). Como t ∈ H, sabemos que k=1 t2
k es convergente y por
tanto existe un término xN en la sucesión, a partir del cual la suma de
la serie es menor que ε2/9, esto es
k=N+1
t2
k < ε2
/9.
De otra parte, para cada k = 1, 2, . . . , N existe qk ∈ Q tal que
|qk − tk| <
ε2
9N
,
y por tanto q = {q1, q2, . . . , qN , 0, 0, 0, . . .} verifica que d(q, t) < ε/3.
Nótese que t ∈ B2ε/3(q) ⊆ Bε(t). Sea r ∈ Q con ε/3 < r < 2ε/3,
entonces t ∈ Br(q) ⊆ Bε(t), pues si d(z, q) < r entonces
d(z, t) ≤ d(z, q) + d(q, t) ≤ 2ε/3 + ε/3 = ε.
3.2. 1-contable
El concepto de base para un espacio lo podemos localizar en un punto
—tener una definición local— de la manera siguiente.
Definición 3.2. Sean (X, T) un espacio y x ∈ X. Decimos que Bx ⊆ T
es una base local para x si dado U ∈ T con x ∈ U, existe B ∈ Bx tal que
x ∈ B ⊆ U.
Los conceptos de base y base local están relacionados por la siguiente
proposición.
Proposición 3.3. Sea (X, T) un espacio. B ⊆ T es una base si y solo
si para cada x ∈ X el conjunto Bx = {B ∈ B : x ∈ B} es base local en
x.
Demostración. ⇒) Sea U ⊆ X un conjunto abierto con x ∈ U. Por la
definición de base, existe B ∈ B con x ∈ B ⊆ U, pero por la definición
de Bx tenemos B ∈ Bx.
⇐) B = x∈X Bx es una base.

Topologia texto u.n

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (12)

Similar a Topologia texto u.n

Similar a Topologia texto u.n (20)

Más de Raúl Monroy Pamplona

Más de Raúl Monroy Pamplona (7)

Último

Último (20)

Topologia texto u.n