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![12 CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS NATURALES
por lo tanto 1 ∈ S.
Falta probar que si n ∈ S entonces (n + 1) ∈ S.Supongamos que n ∈ S eso
significa que la fórmula
n (n + 1) (2n + 1)
12 + 22 + 32 + . . . + n2 =
6
es verdadera para n. Para demostrar que n + 1 ∈ S hay que probar que
(n + 1) (n + 2) (2(n + 1) + 1)
12 + 22 + 32 + . . . + n2 + (n + 1)2 =
6
Al observar el lado izquierdo de la igualdad se ve que la suma de los primeros n
términos se pueden sustituir por la suma de los primeros n términos
n (n + 1) (2n + 1)
12 + 22 + 32 + . . . + n2 + (n + 1)2 = + (n + 1)2
6
Efectuando la suma de quebradosn (n + 1) (2n + 1)+6 (n + 1)2 = 2n3 +9n2 +13n+6
n (n + 1) (2n + 1) + 6 (n + 1)2
=
6
(n + 1)[n(2n + 1) + 6n + 6]
=
6
(n + 1)(2n2 + 7n + 6)
=
6
(n + 1)(n + 2)(2n + 3)
=
6
por lo tanto
(n + 1) (n + 2) (2(n + 1) + 1)
12 + 22 + 32 + . . . + n2 + (n + 1)2 =
6
Como se cumplen ambas condiciones del Principio de Inducción esto implica que
S = N.Por lo tanto la fórmula es verdadera para todo número natural.
Proposition 44 La fórmula
1 + 3 + . . . + (2i − 1) + . . . + (2n − 1) = n2 .
es verdadera para todos los números naturales.
Proof. En este caso se define S = {k ∈ N |la fórmula es verdadera} .
Se probará que 1 ∈ S,se sustituye n = 1 en la fórmula y se obtiene la identidad
1 = 12
por lo tanto 1 ∈ S.
Falta probar que si n ∈ S entonces (n + 1) ∈ S.Supongamos que n ∈ S eso
significa que la fórmula
1 + 3 + . . . + (2i − 1) + . . . + (2n − 1) = n2
es verdadera para n. Para demostrar que n + 1 ∈ S hay que probar que
1 + 3 + . . . + (2i − 1) + . . . + (2n − 1) + (2n + 1) = (n + 1)2](https://image.slidesharecdn.com/algebrasuperiori-reyes-130207075522-phpapp02/85/Algebra-superior-i-reyes-16-320.jpg)
![3.8. FUNCIONES Y RELACIONES 19
Proof. Primero se demostrará que el principio del buen orden implica el prin-
cipio de inducción. Para ello consideremos un conjunto S ⊂ N, S = ∅ tal que 1 ∈ S
6
y si n ∈ S entonces n + 1 ∈ S. Sea S 0 = S c . Supongamos que S 0 6= ∅. Como S 0 ⊂ N
entonces S contiene un mínimo. Sea m el mínimo de S 0 . Esto implica que m − 1 ∈ S
porque m − 1 < m. Pero por hipótesis si n = m − 1 ∈ S entonces n + 1 = m ∈ S lo
que contradice que m ∈ S 0 . Por lo tanto S 0 = ∅.De donde S = N.
Remark 78 Un conjunto que satisface el principio del buen orden se llama bi-
en ordenado. El conjunto de los números naturales es bien ordenado y totalmente
ordenado.
Exercise 79 Encuentra subconjuntos de Q y R para los que no se cumpla el prin-
cipio del buen orden.
3.8. Funciones y relaciones
3.8.1. Dominio y contradominio
Definition 80 Una relación es un subconjunto R cualquiera de un producto carte-
siano A × B, .R ⊂ A × B.
Definition 81 Una función es una relación F de un producto cartesiano A × B
tal que si (a1 , b1 ) , (a2 , b2 ) ∈ F entonces b1 6= b2 =⇒ a1 6= a2 . Esto es equivalente a
decir a1 = a2 =⇒ b1 = b2 .
Example 82 ¶
µ Llamar I al intervalo [0, 1]. El subconjunto F de N×I dado por las
1
parejas n, es una función.
n
Exercise 83 Define una función de los enteros en los naturales tal que al 0 le
asocie el 1,al 1 el 2,al −1 el 3,al 2 el 4, · · · . De ser posible escribe las parejas.
1
Exercise 84 Define la función dada por la regla f (x) = con x ∈ R.
x
Exercise 85 Dado el conjunto F = {(x, y) | x ∈ R y y ∈ R, sea tal que (x − 2)2 +
y 2 = 36},determina el producto cartesiano al que pertenece y determina si es o no
función. Justifica tu respuesta.
Definition 86 Al conjunto A se le llama el dominio de la función F y al conjunto
B se le llama el codominio o contradominio de la función.
Notation 87 A = Dom (F ), B = Codom(F ).
Exercise 88 Determina, si es posible, el dominio de las funciones en los tres ejer-
cicios anteriores.
Definition 89 Al subconjunto de B para el cual existe un elemento a ∈ A tal que
(a, b) ∈ F se le llama la imagen de F.
Notation 90 Im F = {b ∈ B | ∃a ∈ A tal que (a, b) ∈ F }
Exercise 91 Determina, si es posible, la imagen de los ejercicios que corresponden
a la definición de función.
Definition 92 Se define la gráfica de la función F como el subconjunto de A × B
tal que b ∈ Im F.](https://image.slidesharecdn.com/algebrasuperiori-reyes-130207075522-phpapp02/85/Algebra-superior-i-reyes-23-320.jpg)
![3.11. FUNCIONES INVERSAS 23
3.11. Funciones inversas
Definition 122 Dada una función F ⊂ A×B se define la inversa de F a la función
G ⊂ B × A,si existe tal que G ◦ F = 1A y F ◦ G = 1B .
Notation 123 G se denota por F −1 .Se dice que F es invertible.
Example 124 La función inversa de f : Z →2Z definida por f (a) = 2a es f −1 (b) =
b
donde 2Z = {2a | a ∈ Z}.
2
π
Example 125 La función inversa de f : [0, ] → [0, 1] definida por f (x) = sen(x)
2
es f −1 (y) = arcsen(y).
Exercise 126 Encontrar, si es posible la función inversa de las siguientes fun-
ciones, en cada caso justificar la respuesta:
1. f : R → R, f (x) = x3 √
2. f : R+ → R− , f (x) = − x
3. f : R → R, f (x) = x6 .
4. f : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4} dada por la tabla
a f (a)
1 2
2 1
3 4
4 3
Theorem 127 Si una función F ⊂ A×B es invertible entonces la inversa es única.
Proof. Suponer que existe h : B → A tal que h ◦ f = 1A y f ◦ h = 1B .Para
demostrar que h y f −1 son la misma función primero se observa que las dos funciones
tienen como dominio a B y como contradominio a A.Finalmente se calcula h(b).
h(b) = (1A ◦ h)(b)
pero 1A = f −1 ◦ f al sustituir
h(b) = ((f −1 ◦ f ) ◦ h)(b)
por asociatividad
h(b) = (f −1 ◦ (f ◦ h))(b)
Como (f ◦ h)(b) = 1B (b) = b por hipótesis entonces
h(b) = f −1 (b) ∀b ∈ B.
De donde se concluye que las funciones h y f −1 son iguales. Por lo tanto la función
inversa de f es única.
Theorem 128 Una función F es invertible si y sólo si es inyectiva y suprayectiva.
Proof. Primero se demostrará que si es invertible entonces es inyectiva y suprayec-
tiva.
Supongamos que f : A → B es invertible. Entonces existe f −1 : B → A.tal que
f ◦ f −1 = 1B y f −1 ◦ f = 1A .
Para demostrar que f es inyectiva supongamos que f (a1 ) = f (a2 ) . Como existe
f −1 ,que es función, entonces f −1 (f (a1 )) = f −1 (f (a2 )).Por la definición de f −1 esto
implica que a1 = a2 . Por lo tanto f es inyectiva.](https://image.slidesharecdn.com/algebrasuperiori-reyes-130207075522-phpapp02/85/Algebra-superior-i-reyes-27-320.jpg)
![24 CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS NATURALES
Para demostrar que f es suprayectiva consideremos b¢∈ B. Como f −1 es una
¡
función entonces calculamos f −1 (b) = a. Como f f −1 (b) = f (a) = b entonces ya
se encontró una a ∈ A tal que f (a) = b para cualquier b ∈ B. Por lo tanto f es
suprayectiva.
Ahora se demostrará que si f es inyectiva y suprayectiva entonces es invertible.
Sea g : B → A la función definida como sigue:
g(b) = a
si a ∈ A es tal que f (a) = b. Esa a ∈ A existe para toda b ∈ B porque f es
suprayectiva.Además g es una función porque si b1 = b2 entonces existen a1 y a2 ∈ A
tales que f (a1 ) = b1 y f (a2 ) = b2 . La hipótesis se escribe como
f (a1 ) = f (a2 )
como f es inyectiva esto implica que
a1 = a2
que implica que
g (b1 ) = g (b2 )
por lo tanto g es una función tal que g ◦ f = 1B y f ◦ g = 1A .Como se demostro
antes que la inversa es única entonces g = f −1 .
Theorem 129 Sean A y B dos conjuntos finitos con el mismo número de elementos
y F una función en A × B. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes
(a) F es inyectiva.
(b) F es suprayectiva.
(c) F es invertible.
Proof. Basta demostrar que (a)⇔(b) porque (c)⇔(a) y (b).
Supongamos que F es suprayectiva pero no es inyectiva. Como no es inyectiva
esto implica que existen a1 y a2 , a1 6= a2 tales que f (a1 ) = f (a2 ). Esto implica que
el conjunto A tiene mas elementos que Im f. Pero Im f = B . Esto contradice la
hipótesis de que los conjuntos A y B tienen el mismo número de elementos. Por lo
tanto f es inyectiva.
Supongamos que f es inyectiva pero no es suprayectiva. Como no es suprayectiva
entonces Im f à B. Entonces existe b ∈ B tal que b ∈ Im f.Por ser f inyectiva el
/
número de elementos de Im f es igual al número de elementos de A. Esta conclusión
contradice la hipótesis de que A y B tienen el mismo número de elementos. Por lo
tanto f es suprayectiva.
Exercise 130 Dada una función f : A → B se define la preimagen de un subcon-
junto B1 ⊂ B como el subconjunto de A tal que f (a) ∈ B1 y se denota por f −1 (B1 ).
Para la función f : R → R, dada por (x, x2 ) calculen f −1 ([0, 4]).](https://image.slidesharecdn.com/algebrasuperiori-reyes-130207075522-phpapp02/85/Algebra-superior-i-reyes-28-320.jpg)
![40 CAPÍTULO 5. MATEMÁTICAS DISCRETAS
Definition 195 Dado un conjunto A y R una relación binaria sobre A se dice que
R es antisimétrica si aRb y bRa implica a = b.
Definition 196 Sean M = (mij ) y N = (nij ) ambas de orden m × n.Entonces se
dice que M ≤ N si mij ≤ nij para i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , m.
Con esta definición se van a reescribir las proposiciones anteriores como:
Proposition 197 Dado un conjunto A, finito de cardinalidad n, R una relación
binaria sobre A y MR la matriz asociada entonces
(a) R es reflexiva ⇔ In ≤ MR
t
(b) R es simétrica ⇔ MR = MR
2
(c) R es transitiva ⇔ MR ≤ MR
t
(d) R es antisimétrica ⇔ MR ∩ MR ≤ In
Transitividad
La transitividad es una propiedad de las gráficas dirigidas que es interesante
porque al realizar composición de relaciones binarias se obtiene el número de aristas
que hay que recorrer entre dos elementos cualesquiera y se obtiene una arista entre
el elemento inicial y el último. Una aplicación de este algoritmo se utiliza en la
detección de inconsistencia de datos en las bases de datos relacionales. Este error
normalmente ocurre cuando un usuario modifica los datos que no están protegidos.
La forma matricial de encontrar la cerradura transitiva de una relación R es
haciendo composiciones sucesivas (potencias de la matriz MR ) de la misma hasta
n n+1
que MR = MR para después tomar la disyunción de las matrices obtenidas.
MR∗ = MR ∨ MR2 ∨ · · ·
Este último paso se entiende mejor si se piensa a la relación R en la representación
como subconjunto del producto cartesiano y se ve que MR2 ≤ MR y que la digráfica
asociada a MR2 contiene a los caminos con al menos 3 vértices.
El algoritmo de Warshall, basado en la representación de digráfica de la relación,
simplifica este proceso.
Algoritmo de Warshall
Recordar la definición de camino o trayectoria en una digráfica:
Definition 198 Camino o trayectoria Un camino es una sucesión de vértices y
aristas que van de un vértice llamado inicial a un vértice llamado final.
Definition 199 Si a, v1 , v2 , . . . , vn , b es un camino en una digráfica R, con a 6= v1
y b 6= vn , n > 2 entonces los vértices v1 , v2 , . . . , vn se llaman vértices interiores de
este camino.
Definition 200 Dada la relación R se define T la matriz de alcance de R a la
matriz tal que tij = 1 si y sólo sí existe un camino de vi a vj .
El algoritmo de Warshall consiste en ir construyendo matrices de adyacencia
MR = W0 , W1 , . . . , Wn = T.
Notation 201 Al elemento en el renglón i y la columna j de la matriz Wk lo
denotaremos por Wk [i, j].](https://image.slidesharecdn.com/algebrasuperiori-reyes-130207075522-phpapp02/85/Algebra-superior-i-reyes-44-320.jpg)
![5.2. REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA RELACIÓN. 41
Se van a construir las matrices inductivamente:
W1 [i, j] = 1 si y sólo sí hay un camino de vi a vj tal que el subconjunto {v1 } es
un conjunto de vértices interiores del camino.
W2 [i, j] = 1 si y sólo sí hay un camino de vi a vj tal que el subconjunto {v1 , v2 }
es un conjunto de vértices interiores del camino.
Wk [i, j] = 1 si y sólo sí hay un camino de vi a vj tal que el subconjunto
{v1 , . . . , vk } es un conjunto de vértices interiores del camino.
Al escribir las matrices se procede como sigue:
Paso1: Se toma MR = Wo
Paso 2: Para construir W1 se copian los 1s de W0 .
´
Paso3: Se toma la columna 1y se hace una lista de todos los renglones r1 , r2 , . . . , rs
en los que la entrada sea 1.
Paso 4: Se toma el renglón 1 y se hace una lista de todas las columnas c1 , c2 , . . . , cs
en los que la entrada sea 1.
Paso 5: Escribir un 1 en la posición ri cj si no aparece en W0 .
Paso 6: Se procede a construir W2 a partir de W1 ,ahora tomando la columna 2 y
el renglón 2.
Se construye Wk a partir de Wk−1 y se toma la columna k y el renglón k.
El proceso termina cuando k = orden de la matriz.
Example 202 Considerar la relación binaria R con la siguiente matriz asociada
0 1 0 0
1 0 1 0
MR = 0 0 0
1
0 0 0 0
Encontrar su cerradura transiitiva.
Solution 203 El primer paso es llamar W0 a MR .
Para construir W1 primero se ponen los 1s en donde aparecen en W0
´
1
1 1
1
Se toma la primera columna. En el renglon 2 hay un 1.
Se toma el primer renglón. En la columna 2 hay un 1.Entonces en el lugar renglón
2 columna 2 se agrega un 1.
1
1 1 1
W1 =
1
Se continua el proceso pero ahora se toma la columna 2. En los renglones 1 y 2 hay
un 1.](https://image.slidesharecdn.com/algebrasuperiori-reyes-130207075522-phpapp02/85/Algebra-superior-i-reyes-45-320.jpg)
![46 CAPÍTULO 6. CONTEO
Solution 224 Se define como A al conjunto de pasajeros que les gusta el vino, B
al conjunto de pasajeros que les gutan las bebidas preparadas y C al que les gusta el
té helado. Primero con diagramas de VennN (A) = 48, N (B) = 78 y N (C) = 66.
Se inicia en A ∩ B ∩ C. Allí hay 24 personas. Hay tres partes que corrsponden a
exactamente dos de las preferencias y hay 36 personas entre todas, por lo tanto hay
12 personas en cada una. Si se suman las personas que están en A se deduce que
cualquiera que bebe vino también le gustan las bebidas preparadas o el té helado.
Solamente hay 30 personas a las que solamente les gustan las bebidas preparadas
y 66 − 48 = 18 a las que solamente les gusta el té helado. Al hacer la suma de
todos los conjuntos ajenos resulta 24 + 3 (12) + 18 + 30 = 108. Como en total eran
120 pasajeros hay 12 que no pertenecen a estos conjuntos. Se obtuvo la información
completa de como están distribuidos los pasajeros. La pregunta es ¿A cuántos les
gusta el té helado solamente? La respuesta es 30. y a la pregunta ¿A cuántos les
gustan exactamente dos bebidas? es 36 = 3 (12) .
La respuesta algebraica
N (A ∪ B ∪ C) = N (A) + N (B) + N (C) − [N (A ∩ B) + N (A ∩ C) + N (B ∩ C)] + N (A ∩ B ∩ C)
108 = 48 + 78 + 66 − 3(36) + 24
Además la respuesta a ¿cuántos les gusta el té helado? es
N (C − (A ∪ B))
Remark 225 Observar que estos problemas son de tres tipos diferentes. El primero
que se abordó es un proceso dinámico de algo que se va a realizar a futuro, el segundo
es un evento presente y el tercero es descripción de algo pasado. En los tres casos se
aplica la suma y resta para contar. En los tres casos el evento se puede representar
por conjuntos ajenos.
Summary 226 Si el evento se puede describir por conjuntos ajenos ya sea que
ocurrieron en el pasado, que sea la situación actual o que van a ocurrir en el futuro,](https://image.slidesharecdn.com/algebrasuperiori-reyes-130207075522-phpapp02/85/Algebra-superior-i-reyes-50-320.jpg)
![48 CAPÍTULO 6. CONTEO
Este hecho se utilizó para resolver algunos de los ejercicios anteriores. El empleo
de este resultado combinado con las leyes de DeMorgan permite resolver algunos
problemas más.
Las leyes de DeMorgan para conjuntos se enuncian
c
(A ∪ B) = Ac ∩ B c
c
(A ∩ B) = Ac ∪ B c
entonces al aplicar el resultado a la cardinalidad
N (Ac ∩ B c ) = N ((A ∪ B)c )
que al aplicar la igualdad del complemento
N ((A ∪ B)c ) = N (U ) − N (A ∪ B)
que finalmente es
N (Ac ∩ B c ) = N (U ) − N (A ∪ B)
Además
N (A ∪ B) = N (A) + N (B) − N (A ∩ B)
al sustituir se obtiene
N (Ac ∩ B c ) = N (U ) − [N (A) + N (B) − N (A ∩ B)]
N (Ac ∩ B c ) = N (U ) − [N (A) + N (B)] + N (A ∩ B)
Al aplicar las mismas fórmulas a tres conjuntos primero se obtiene
N (A ∪ B ∪ C) = [N (A) + N (B) + N (C)] − [N (A ∩ B) + N (A ∩ C) + N (B ∩ C)]
+ N (A ∩ B ∩ C)
por lo tanto al aplicar la ley de DeMorgan para el complemento de la unión .
N (Ac ∩ B c ∩ C c ) = N (U ) − [N (A) + N (B) + N (C)]
+ [N (A ∩ B) + N (A ∩ C) + N (B ∩ C)] − N (A ∩ B ∩ C)
Example 233 Número de enteros que no son divididos por ciertos primos. Calcular
el número de enteros entre 1 y 100 que no sean divisibles por 2, 3 y 5.
Solution 234 Entonces A1 es el conjunto de los enteros entre 1 y 100 que son
divisibles por 2, A2 es el conjunto de los que son divisibles por 3 y A3 los que son
divisibles por 5. Para resolver el problema es necesario calcular
N (Ac ∩ Ac ∩ Ac )
1 2 3
Al aplicar la fórmula del principio de inclusión exclusión
N (Ac ∩ Ac ∩ Ac ) = N (U ) − [N (A1 ) + N (A2 ) + N (A3 )]
1 2 3
+ [N (A1 ∩ A2 ) + N (A1 ∩ A3 ) + N (A2 ∩ A3 )]
−N (A1 ∩ A2 ∩ A3 )
Como N (U ) = 100 y
100
N (A1 ) = = 50
¹ 2º
100
N (A2 ) = = 33
3
100
N (A3 ) = = 20
5](https://image.slidesharecdn.com/algebrasuperiori-reyes-130207075522-phpapp02/85/Algebra-superior-i-reyes-52-320.jpg)
![6.2. PRINCIPIO DE INCLUSIÓN Y EXCLUSIÓN PARA DOS Y TRES CONJUNTOS49
además
¹ º
100
N (A1 ∩ A2 ) = = 16
6
100
N (A1 ∩ A3 ) = = 10
¹ 10 º
100
N (A2 ∩ A3 ) = =6
15
y ¹ º
100
N (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = =3
30
Por lo tanto
N (Ac ∩ Ac ∩ Ac ) = 100 − [50 + 33 + 20] + [10 + 16 + 6] − 3 = 26
1 2 3
son los enteros entre 1 y 100 que no son divisibles por 2, 3 y 5.
Exercise 235 Determinar el número de números enteros positivos n, 1 ≤ n ≤ 3000
que no son divisibles por 3, 5 y 7.
Exercise 236 Una persona va a comprar un automóvil de entre 15 que hay en la
tienda. Le dan la siguiente información
(a) Hay 6 que tienen aire acondicionado.
(b) Hay 6 que tienen quemacocos.
(c) Hay 6 que tienen CD con tocador de cinco discos.
(d) Hay 1 que tiene aire acondicionado y quemacocos.
(e) Hay 1 que tiene quemacocos y tocador CD de 5 discos.
(f ) Hay 2 que tienen aire acondicionado y tocador de 5 discos.
(g) No hay uno que tenga las tres cosas.
¿Cuántos tienen exactamente una de las tres cosas?
¿Cuántos no tienen ninguna de las tres cosas?
6.2.1. Producto y división para contar
Cuando el evento se puede dividir en al menos dos tiempos diferentes entonces
se utiliza el producto. Por ejemplo
Example 237 Se van a colocar en dos cajas 10 pelotas diferentes. El primer tiempo
es colocar una pelota en la primera caja. Esto se puede hacer de 10 formas diferentes.
El segundo tiempo es colocar otra pelota en la segunda caja. Como ya nada más nos
quedan 9 pelotas entonces hay 9 posibilidades. En total hay 10 × 9 = 90 posibilidades
de colocar las pelotas en dos cajas.
Example 238 Para una obra de teatro hay 6 hombres y 8 mujeres que aspiran
al papel principal de una pareja.¿De cuántas formas se puede elegir a la pareja
principal? La solución es 6 × 8 = 48. La elección de la pareja se hace en dos tiempos
diferentes. Primero se elige al hombre y después a la mujer.
Example 239 Dado un producto de dos factores (x − 1) (x + 3) ¿cuántas formas
posibles hay para los signos de los factores? Para el primer factor hay dos posibil-
idades, positivo y negativo y similarmente para el segundo factor. En total hay 4
formas posibles para los signos de estos dos factores.](https://image.slidesharecdn.com/algebrasuperiori-reyes-130207075522-phpapp02/85/Algebra-superior-i-reyes-53-320.jpg)
![6.2. PRINCIPIO DE INCLUSIÓN Y EXCLUSIÓN PARA DOS Y TRES CONJUNTOS51
Solution 251 El primer lugar se puede llenar de n formas diferentes, el segundo
se puede llenar de n − 1 formas diferentes, hasta el r-ésimo lugar se puede llenar de
n − (r − 1) formas diferentes entonces en total hay n (n − 1) . . . (n − r + 1) formas
diferentes de llenar los r lugares. Algebraicamente el producto es igual a
n!
n (n − 1) . . . (n − r + 1) =
(n − r)!
Notation 252 Como cada uno de los resultados posibles tiene un orden diferente
entonces al número de resultados posibles se les llama ordenaciones de n elementos
tomados en grupos de r y se denota por
r
On = O (n, r)
Algunos autores le llaman a cada una de las posibilidades de un grupo de los r
objetos una permutación y lo denotan por P (n, r).
Case 253 (2) Otra forma de ver el mismo problema es considerar que hay n lugares
en donde se van a colocar r simbolos diferentes.
Solution 254 El primer símbolo se puede colocar en n lugares, una vez colocado
el primer símbolo quedan (n − 1) lugares donde se puede colocar el segundo símbolo,
así sucesivamente hasta cuando se va a colocar el símbolo r -ésimo hay [n − (r − 1)]
lugares posibles donde es posible colocarlo- Es decir hay
n (n − 1) . . . (n − r + 1)
formas diferentes de colocar r símbolos en los n lugares.
Exercise 255 Se van a escoger 5 personas de un grupo de30 para ocupar los cargos
de la mesa directiva de la Sociedad de Alumnos. En el orden en que se elijan van a
ocupar los diferentes cargos.¿De cuántas formas se pueden escoger?
Exercise 256 ¿De cuántas formas se pueden ordenar las letras de la palabra mur-
ciélago?
Combinaciones de n elementos en grupos de r
Una forma de ver las combinaciones es cuando se van a escoger n elementos en
grupos de r pero el orden no es importante entonces se habla de combinaciones de n
objetos tomados de r en r. Por ejemplo de un grupo de 36 alumnos se van a elegir 5
para explicar un problema. El primer lugar se puede ocupar de 36 formas diferentes,
el segundo de 35, asi sucesivamente, el quinto lugar se puede ocupar de 32 formas.
Pero como no importa si la persona A fue escogida en el primer lugar o en el último
entonces hay que dividir por el número de permutaciones de 5 elementos,
36 35 34 33 32
5!
que algebraicamente es igual a
36!
(36 − 5)!5!
que se denota por µ ¶
36
5
En general µ ¶
n n!
=
r (n − r)!r!](https://image.slidesharecdn.com/algebrasuperiori-reyes-130207075522-phpapp02/85/Algebra-superior-i-reyes-55-320.jpg)
![54 CAPÍTULO 6. CONTEO
Combinaciones con repetición o Distribuciones
Suponer que se van a colocar n + 1 unos y r ceros en línea con la condición de
que debe haber 1 uno en cada uno de los extremos de la línea. ¿De cuántas maneras
se pueden ordenar los restantes unos y ceros?
En primer lugar hay (n + 1) + r − 2 lugares posibles porque dos de los lugares
quedan fijos con un 1. Si los objetos fueran diferentes habría
((n + 1) + r − 2)! = (n + r − 1)!
ordenaciones. Como de esos hay n − 1 unos iguales y r ceros iguales entonces hay
(n + r − 1)!
(n − 1)!r!
posibles formas de ordenar (n + 1) unos y r ceros.
Otra forma de abordar el problema es contar el número de formas que se pueden
escoger de cuatro símbolos A, B, C, D, tres de ellos, sin importas el orden. Por
ejemplo, es lo mismo la terna A; A; B que la terna A; B; A que B; A; A. Una forma
sería enumerar todas las posibilidades.
A, A, A A, A, B A, A, C A, A, D aparece AA
A, B, B A, B, C A, B, D aparece AB
A, C, C A, C, D A, D, D aparece AC o AD
B, B, B B, B, C B, B, D aparece BB
B, C, C B, C, D B, D, D aparece BC
C, C, C C, C, D C, D, D aparece CC o CD
D, D, D aparece DD
por lo tanto hay 20 combinaciones con repetición de cuatro elementos tomados de
tres en tres.
Otra forma de contar las combinaciones con repetición de 4 objetos tomados en
grupos de 3 es imaginar a los cuatro objetos como categorías separadas con algún
marcador, por ejemplo el marcador | . Por ejemplo, la distribución
categoría 1 categoría 2 categoría 3 categoría 4
| xx | | x 2 de categoría 2 y 1 cat 4
En este caso hay un máximo de 4 categorías y 3 marcadores. Como solamente se
van a tomar tres objetos de las cuatro categorías entonces se van a llenar 6 lugares
con dos objetos diferentes, un elemento de la categoría o un marcador, es decir
µ ¶ µ ¶
6×5×4 6 4+3−1
= = = 20
3! 3 3
Definition 274 Una combinación con repetición de un conjunto X = {x1 , . . . , xn }de
n elementos diferentes tomados de r en r es una selección {xi1 , . . . , xir } de r ele-
mentos, sin importar el orden, tal que cada xij se puede repetir r veces y xij ∈ X.
El número de combinaciones con repetición de n elementos tomados en grupos de
r es
µ ¶
n+r−1 (n + r − 1)! (n + r − 1)!
= =
r [(n + r − 1) − r]!r! (n − 1)!r!
µ ¶
(n + r − 1)! n+r−1
= =
(n − 1)! [(n + r − 1) − (n − 1)]! n−1
Example 275 A un lugar donde venden hamburguesas, hot dogs y pizzas llegan
siete personas.¿De cuántas formas diferentes pueden ordenar?](https://image.slidesharecdn.com/algebrasuperiori-reyes-130207075522-phpapp02/85/Algebra-superior-i-reyes-58-320.jpg)
![62 CAPÍTULO 7. LOS NÚMEROS ENTEROS.
Proposition 323 El 1 en los enteros es único.
Proposition 324 Ley de la cancelación: Si a + b = c + b entonces a = c.
Proposition 325 −(−a) = a
Proposition 326 El inverso aditivo es único.
Proposition 327 ∀a ∈ Z , a0 = 0.
Proposition 328 (−a)(−b) = ab
Proof.
[ab + a (−b)] + (−a) (−b) = ab + [a (−b) + (−a) (−b)]
= ab + [a + (−a)] (−b)
= ab + 0 (−b)
= ab
Por otro lado
[ab + a (−b)] + (−a) (−b) = a [b + (−b)] + (−a) (−b)
= a0 + (−a)(−b)
= 0 + (−a)(−b)
= (−a)(−b)
Por transitividad
ab = (−a)(−b)
Theorem 329 La ley de la cancelación para la multiplicación de enteros es equiv-
alente a demostrar que si ab = 0entonces a = 0 ó b = 0.
Proof. Primero probaremos que la ley de la cancelación implica que si ab =
0entonces a = 0 ó b = 0.
Supongamos que ab = 0. Esto implica que
ab = 0 = a0
como la ley de la cancelación se cumple entonces b = 0.
Inversamente, si a 6= 0 y ab = ac entonces ab − ac = 0
a(b − c) = 0
como a 6= 0 entonces b − c = 0, por lo tanto b = c.
Exercise 330 Demuestra las proposiciones enunciadas para los números enteros.
7.3. Divisibilidad
.
En la antigüedad se medían distancias con cuerdas con nudos. La longitud de
algo era por ejemplo tres nudos. Cuando se tenía un problema en concreto se trataba
de medir con el menor número posible de nudos. Si una longitud cabía un número
entero de veces en otra se podía cambiar de unidad para medir tomando la más
grande y si se tenía que medir parte de una unidad si la longitud era un divisor de
la original entonces se podía tomar la parte como nueva unidad para medir. Por esta
razón toda la teoría de divisibilidad en los enteros esta relacionada con la geometría.](https://image.slidesharecdn.com/algebrasuperiori-reyes-130207075522-phpapp02/85/Algebra-superior-i-reyes-66-320.jpg)
![7.3. DIVISIBILIDAD 67
Theorem 355 Si d = (a, b) y d = ma + nb entonces (m, n) = 1.
Proof. Como d = (a, b) , d | a y d | b. Entonces existen q1 y q2 tales que dq1 = a
y dq2 = b. Sustituyendo
d = mdq1 + ndq2
= d(mq1 + nq2 )
1 = mq1 + nq2
Como 1 es el mínimo entero positivo entonces (m, n) = 1.
Exercise 356 Demuestra que si (a, m) = (b, m) = 1 entonces (ab, m) = 1
Exercise 357 Demuestra que si (a, c) = d, a | b y c | b entonces ac | bd.
Definition 358 Dados dos números enteros a y b, a un número m > 0 se le llama
mínimo común múltiplo(m.c.m.) de a y b si
(i) a | m y b | m.
(ii) si a | m0 y b | m0 entonces m | m0 .
Notation 359 Al m.c.m. m de a y b se le denota por m = [a, b].
Theorem 360 Si (a, b) = 1 entonces [a, b] = ab.
Proof. Sea m = [a, b]. Como ab es un múltiplo común de a y de b, m | ab. Por
tanto m ≤ ab.
Si (a, b) = 1 entonces existen m y n ∈ Z tales que
1 = ra + sb.
Como m = [a, b] entonces existen q1 y q2 tales que aq1 = m y bq2 = m. Al multiplicar
por m la igualdad y sustituirla de forma cruzada
m = mra + msb
= bq2 ra + aq1 sb
Agrupando y factorizando
m = ab(rq2 + sq1 )
Por tanto ab | m. De donde ab ≤ m. De ambas conclusiones se obtiene que m = [a, b].
Theorem 361 Si a, b ∈ Z entonces [a, b](a, b) = ab.
Remark 362 Este último teorema nos permite calcular el m.c.m. de dos números
utilizando el algoritmo de Euclides.
Exercise 363 Calcular el m.c.m. de
a) 365 y 280.
b) 1001 y 144..](https://image.slidesharecdn.com/algebrasuperiori-reyes-130207075522-phpapp02/85/Algebra-superior-i-reyes-71-320.jpg)
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Algebra superior i reyes
- 1. Álgebra Superior Araceli Reyes Septiembre 2003
- 2.
- 3. Índice general 1. Métodoaxiomático 1 1.1. Introducción al método axiomático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Axiomas y Teoremas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3. Deducciones y demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2. Conjuntos y Funciones 5 2.1. Terminología y notación de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2. Propiedades de las operaciones entre conjuntos. . . . . . . . . . . . . 6 2.3. Productos cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3. Los números naturales 9 3.1. Axiomas de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2. Propiedades de las operaciones entre naturales . . . . . . . . . . . . 9 3.3. Demostraciones por inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.4. Definiciones inductivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.5. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.6. Relación de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.6.1. Propiedades del orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.7. Principio del buen orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.8. Funciones y relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.8.1. Dominio y contradominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.9. Clasificación de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.10. Composición de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.11. Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4. Relaciones binarias 25 4.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.2. Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5. Matemáticas discretas 29 5.1. Relaciones entre conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.1.1. Gráfica dirigida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.2. Representación matricial de una relación. . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.2.1. Definiciones del álgebra matricial en general . . . . . . . . . . 34 5.2.2. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.2.3. Operaciones entre relaciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.2.4. Propiedades de las relaciones y estructura de las matrices . . 39 6. Conteo 43 6.1. Principios básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6.1.1. Suma y resta para contar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6.2. Principio de inclusión y exclusión para dos y tres conjuntos . . . . . 47 6.2.1. Producto y división para contar . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 iii
- 4. iv ÍNDICE GENERAL 6.2.2. Integración de los principios de suma y producto . . . . . . . 56 6.2.3. Miscelánea de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 7. Los números enteros. 61 7.1. El anillo de los números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 7.2. Propiedades de las operaciones entre enteros. . . . . . . . . . . . . . 61 7.3. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 7.3.1. Algoritmo de la división . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 7.3.2. Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 7.4. Números primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7.5. Teorema de factorización única . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 8. Congruencias 71 8.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 8.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 8.3. Teorema chino del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 9. Bibliografía 75
- 5. Capítulo 1 Método axiomático 1.1. Introducción al método axiomático El conocimiento matemático prácticamente nació con la cultura humana. Los primeros temas de los que se tiene noticia que había algún conocimiento matemáti- co son de geometría. Los Babilonios y los Egipcios descubrieron una gran cantidad de relaciones geométricas, como el teorema de Pitágoras, que se siguen utilizan- do hasta nuestros días, para desde resolver problemas muy prácticos de ingeniería hasta aspectos muy teóricos de las matemáticas modernas. La manera como se descubrieron esos conocimientos fue empíricamente. Del conocimiento del que hay información de esa época, sabemos que algunos de los resultados a los que ellos llegaron eran erróneos. Sirva como ejemplo la fórmula que utilizaban los babilonios para calcular el área de un cuadrilátero cuyos lados consecutivos miden a, b, c y d que es incorrecta (a + c) (b + d) K= 4 Muchos conocimientos obtenidos empíricamente durante este periodo fueron incor- rectos. Sirva esta afirmación para reflexionar acerca de como podemos descubrir nuevo conocimiento matemático. Claramente transcurrieron miles de años con esta situación y fue hasta alrededor del año 624 A.C. con Tales de Mileto que planteó el primer estudio sistemático de la geometría y se cuestionó sobre la veracidad de los resultados. Tales fue el primero en hacer una demostración. Pasaron cerca de 300 años, hasta Euclides (325−265 A.C.) que escribió sus Elementos que contienen una cadena de 465 afirmaciones ligadas lógicamente por deducción. Entre estos dos matemáticos vivió Pitágoras (569 − 475 A.C.) que tuvo como mérito escribir formalmente y demostrar el famoso teorema que conocemos. Con Euclides nace el método utilizado en las matemáticas para su construcción: el método axiomático. La base del método axiomático es el silogismo o como lo conocemos coloquialmente la deducción. En conclusión, experimentar y jugar con los objetos matemáticos, llámense fig- uras geométricas o símbolos, nos permite descubrir relaciones para entenderlas. Este juego o experimentación se inicia normalmente con el propósito de resolver algún problema. La formulación de una afirmación que suponemos correcta no es suficiente para incorporarla al conocimiento matemático. Para tener certeza de la veracidad de la proposición es necesario que se pueda deducir de un conjunto de afirmaciones probadas como verdaderas anteriormente. Para tener un punto de partida y poder fundamentar las afirmaciones se parte de un conjunto de afirmaciones que no se demuestran y que conocemos como axiomas. Las reglas del álgebra se sistematizaron posteriormente con Descartes(1596 − 1650 A.C.) que estaba buscando un método general para resolver los problemas 1
- 6. 2 CAPÍTULO 1. MÉTODO AXIOMÁTICO intrincados de la geometría a los que habían llegado. Muchas de estas reglas tiene su fundamentación en la geometría. 1.2. Axiomas y Teoremas. Los axiomas son afirmaciones matemáticas que no se demuestran y que son el punto de partida de un conjunto de conocimientos matemáticos. Por ejemplo se manejan axiomas de los números reales que sirven de base para demostrar las demás propiedades de los números reales. Euclides escribió sus libros basado en cinco axiomas o postulados que utilizó como base para deducir el resto de los 465 teoremas que demostró en sus libros. A los matemáticos a los que les tocó darle solidez lógica al conocimiento matemáti- co vivieron a finales del siglo XIX y principios del XX. Entre ellos esta Bertrand Rus- sell, Alfred North Whitehead, Kurt Gödel y muchos mas que llegaron a la conclusión que un concepto básico para las matemáticas es el de conjunto . La matemática se reformuló completamente utilizando el concepto de conjunto como básico. Un teorema es una afirmación que se puede deducir de axiomas o afirmaciones anteriores que han sido demostradas como verdaderas previamente . Con la comprensión de esta relación lógica entre axiomas y teoremas fue posi- ble cuestionar la veracidad incontrovertible de los axiomas y jugar a cambiar al- guno para realizar deducciones diferentes a las ya obtenidas. Al primer sistema de conocimientos matemáticos al que se le aplicó este cuestionamiento fue a la geometría. El quinto postulado de Euclides se cambió y esto dió origen a las geometrías no euclidianas. Esta nueva visión acerca del conocimiento matemático se prestó a que muchas personas pensaran que las matemáticas solamente eran una relación lógica entre afirmaciones y pretendieron olvidarse de sus orígenes empíricos y el propósito de este conocimiento, que es resolver problemas. El objetivo del trabajo de un matemático es producir afirmaciones verdaderas basadas en conocimiento anterior. Los axiomas son afirmaciones que nos parecen verdaderas en las circunstancias y para los fines que se formulan, pero los axiomas no son inamovibles ni absolutos. Hay varias formas de descubrir nuevos teoremas, entendiendo las relaciones lóg- icas o jugando con los objetos matemáticos o desarrollando cierta intuición acerca de los objetos. Una vez que casi estamos seguros de que un resultado es verdadero solamente es cuestión de encontrar la cadena de afirmaciones que a partir de afirmaciones que sabemos verdaderas nos lleva a la primera afirmación que supusimos verdadera. Esto se llama hacer una demostración de una conjetura. La conjetura es el resultado o afirmación que suponemos verdadero pero que no estamos ttalmente seguros que sea verdadero Podremos afirmar su veracidad cuando se haya deducido. Un corolario es una afirmación que se deduce inmediatamente de un teorema. Un lema es una afirmación intermedia, que se vuelve importante por si misma, en la cadena de demostración de un teorema. En general, solamente se escriben afirmaciones verdaderas en matemáticas, por eso a veces las matemáticas nos parecen rígidas y difíciles, pero si recordamos que para llegar a escribir de esa forma el matemático tuvo que equivocarse y corregir será mas fácil intentar resolver problemas.
- 7. 1.3. DEDUCCIONES YDEMOSTRACIONES 3 1.3. Deducciones y demostraciones Todos los seres humanos pensantes utilizamos las deducciones a diario. Todos sabemos sacar conclusiones a partir de ciertas afirmaciones. En ocasiones nos equiv- ocamos al formular nuestras primeras afirmaciones pero todos sabemos deducir. Por ejemplo: Primera afirmación: Estamos en época de lluvias. Segunda afirmación: El cielo esta nublado y las nubes son negras. ¿Cuál sería nuestra conclusión casi inmediata? Nuestra vida cotidiana esta llena de estos ejemplos. También hemos escrito demostraciones matemáticas sin ser concientes de ello. Por ejemplo: Theorem 1 La ecuación x2 − x − 2 = 0 tiene como solución a 2 y −1. Proof. La expresión x2 − x − 2 se factoriza como x2 − x − 2 = (x − 2) (x + 1) por lo tanto los valores x = 2 y x = −1 son solución de la ecuación. Lo mas seguro es que hayamos escrito: x2 − x − 2 = (x − 2) (x + 1) ∴ x = 2, x = −1 o bien que hayamos aplicado la fórmula de la ecuación de segundo grado A = 1, B = −1, C = −2 2 p √ ½ (−1) ± 1 − 4 (1) (−2) 1± 9 1±3 2 x= = = = 2 2 2 −1 o utilizando cualquier otro método para reolver la ecuación de segundo grado. Lo importante es que se han escrito demostraciones sencillas de matemáticas. El propósito de este curso es revisar conocimientos sobre los números que se han adquirido a través de los años en la escuela pero se vean a través de la óptica de los conjuntos y las deducciones de propiedades a partir de ciertas afirmaciones sobre ellos que se van a considerar axiomas y se refieren a las propiedades de cada uno de los sistemas que se van a considerar: naturales, enteros, racionales. Exercise 2 Demuestra que −2 es una raíz de la ecuación x2 + 2x = 0. Exercise 3 Enuncia el teorema de Pitágoras. Exercise 4 A partir de la conocida propiedad que afirma que la suma de los tres ángulos internos de un triángulo es 180o , demuestra que en un triángulo rectángulo los otros dos ángulos son complementarios. (suman 90o ).
- 8. 4 CAPÍTULO 1. MÉTODO AXIOMÁTICO
- 9. Capítulo 2 Conjuntos yFunciones Los conceptos que no se van a definir en teoría de conjuntos son: conjunto, elemento y pertenencia. 2.1. Terminología y notación de conjuntos . Las letras mayúsculas se utilizarán para denotar a los conjuntos, las letras minús- culas se utilizarán para denotar a los elementos. El símbolo ∈se utilizará para perte- nencia. Por ejemplo a ∈ A se lee, el elemento a está en el conjunto A. Definition 5 Un conjunto A es subconjunto de un conjunto B si todos los elemen- tos del conjunto A pertenecen al conjunto B. Simbólicamente: para todo elemento a ∈ A se tiene que a ∈ B. Notation 6 A ⊂ B denota que el conjunto A es subconjunto del conjunto B. Example 7 Si A = Z y B = Q entonces Z ⊂ Q. Example 8 También Q ⊂ R. Example 9 N ⊂ Z. Exercise 10 Escribe en notación de conjuntos: Todo número entero es un número real. Exercise 11 Escribe en palabras N ⊂ Q. Definition 12 Dos conjuntos A y B son iguales si A ⊂ B y B ⊂ A. Notation 13 A = B denota que los conjuntos son iguales o tienen los mismos elementos. Example 14 Sea A = {a, e, i, o, u} y B = {vocales del alfabeto latino }. Entonces A = B. Example 15 Sea A = {a ∈ Z |a = 2n + 1 para alguna n ∈ Z}y sea B = {b ∈ Z | b es impar} entonces A = B. Exercise 16 Describe de dos formas diferentes al conjunto de números enteros pares. 5
- 10. 6 CAPÍTULO 2. CONJUNTOS Y FUNCIONES Exercise 17 Describe de dos formas diferentes al conjunto de parejas de enteros 1 cuyo cociente es igual al racional . 4 Definition 18 El conjunto universal es el conjunto que contiene a todos los con- juntos. Definition 19 El conjunto vacío es el conjunto que no tiene elementos. Notation 20 Se denota por U al conjunto universal y por ∅ al conjunto vacío. Remark 21 Dado un conjunto A cualquiera A ⊂ U y ∅ ⊂ A. 2.2. Propiedades de las operaciones entre conjun- tos. Las operaciones básicas entre dos conjuntos son la unión y la intersección. Definition 22 Dados dos conjuntos A y B se dice que el conjunto formado por los elementos que están en A o están en B es la unión de ambos. Simbólicamente A ∪ B = {x ∈ U |x ∈ A ó x ∈ B } Remark 23 A ⊂ A ∪ B y B ⊂ A ∪ B. Definition 24 Dados dos conjuntos A y B se dice que el conjunto intersección es el conjunto formado por los elementos que están en A y están en B. Simbólicamente A ∩ B = {x ∈ U | x ∈ A y x ∈ B} Remark 25 A ∩ B ⊂ A y A ∩ B ⊂ B. La operación sobre un conjunto solamente es el complemento. Definition 26 Dado un conjunto A se define el complemento de A como el conjun- to de los elementos que están en el universo U pero no están en A. Simbólicamente Ac = {x ∈ U | x ∈ A} / Theorem 27 A ∪ Ac = U Proof. Primero se demostrará que A ∪ Ac es un subconjunto de U. Como U es el conjunto universal entonces A ⊂ U y Ac ⊂ U. Por lo tanto A ∪ Ac ⊂ U. Ahora se demostrará que U es un subconjunto de A ∪ Ac . Sea u ∈ U. Hay dos posibilidades solamente u ∈ A o u ∈ A. Si u ∈ A entonces U ⊂ A ∪ Ac .Si u ∈ A / / entonces u ∈ Ac ,por lo tanto U ⊂ A ∪ Ac . Theorem 28 A ∩ Ac = ∅ Proof. Para demostrar la igualdad de conjuntos hay que demostrar ambas contenciones:∅ ⊂ A ∩ Ac y A ∩ Ac ⊂ ∅. Como el ∅ es subconjunto de todos los conjuntos entonces ∅ ⊂ A ∩ Ac . Supongamos x ∈ A ∩ Ac .Esto significa que x ∈ A y x ∈ Ac .Que quiere decir x ∈ A y x ∈ A, lo cual es una contradicción. Por tanto, no existe x ∈ A ∩ Ac . Por / tanto A ∩ Ac = ∅. Theorem 29 A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
- 11. 2.3. PRODUCTOS CARTESIANOS 7 Proof. Para demostrar la igualdad de conjuntos hay que demostrar que A ∩ (B ∪ C) ⊂ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) y que (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊂ A ∩ (B ∪ C) . Para demostrar la primera parte considerar x ∈ A ∩ (B ∪ C) .Esto significa que x ∈ A y x ∈ B ∪ C. Esto quiere decir que x ∈ A y (x ∈ B o x ∈ C).Hay dos posibilidades (x ∈ A y x ∈ B) o (x ∈ A y x ∈ B). Esto quierde decir que x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) . Para demostrar la segunda parte considerar x ∈ (A∩B)∪(A ∩ C) . Esto significa que x ∈ (A ∩ B) o x ∈ (A ∩ C).En el caso de que x ∈ (A ∩ B) entonces x ∈ A y x ∈ B. Los siguientes dos teoremas se conocen como las Leyes de De Morgan. c Theorem 30 (A ∪ B) = Ac ∩ B c Theorem 31 (A ∩ B)c = Ac ∪ B c Exercise 32 Demostrar los últimos dos teoremas. 2.3. Productos cartesianos El concepto de función surge primero relacionado con el Cálculo Diferencial e Integral. De hecho cuando se trabaja en ese tema casi todas las funciones que se manejan son funciones que tienen una gráfica asociada y que se dibujan en el plano cartesiano R × R. En este contexto no se hace énfasis en el dominio y el contradominio de la función. Al generalizar el concepto de función donde en lugar del conjunto de los números reales se toma cualquier conjunto como el dominio y otro como el contradominio hay que dar una definición general de producto cartesiano. Definition 33 Dados dos conjuntos cualesquiera A y B se define el producto carte- siano de ambos como el conjunto formado por las parejas de elementos (a, b) tales que a ∈ A y b ∈ B. Notation 34 A × B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B} Example 35 Tomar como el primer conjunto al conjunto de los números naturales N y como segundo conjunto al conjunto de los números racionales positivos entre 0 y 1, que se denotará por I. N×I = {(n, x) | n ∈ N, x ∈ I}. Example 36 Tomar como primer conjunto a todas las letras del alfabeto en español y como segundo conjunto a los números naturales del 1 al 27. El producto cartesiano son todas las parejas formadas con una letra y un número natural entre 1 y 27. Example 37 Tomar como primero y segundo conjunto al conjunto de los números reales R. El producto cartesiano son todas las parejas ordenadas de números reales que normalmente denotamos como R2 . Exercise 38 Calcula los siguientes productos cartesianos: 1. A = N y B = Q 2. A = N y B = N 3. A = Z y B = Z 4. A = {a, b, c, ..., z} y B = {1, 2, ..., 30} 5. A = {x | x es mexicano en el 2020 } y B = {x ∈ Q+ |x es el peso en kilogramos de una persona }
- 12. 8 CAPÍTULO 2. CONJUNTOS Y FUNCIONES
- 13. Capítulo 3 Los númerosnaturales Los números naturales se utilizan para contar. Hay dos formas de abordarlos, a través de los axiomas de Peano o a través de los axiomas para las propiedades de las operaciones. En este curso se van a abordar de ambas formas porque para ambas hay una aplicación importante. Con los axiomas de Peano se entiende el Principio de Inducción y la aplicación en las demostraciones de fórmulas que son válidas para los números naturales. Las propiedades de las operaciones entre números naturales nos ayudará a entender el concepto de estructura algebraica que se abordará en el segundo curso de álgebra. Estrictamente los números naturales no incluyen al 0.En estas notas lo vamos a incluir por algunas razones técnicas. 3.1. Axiomas de Peano 1. 0 ∈ N 2. Existe una función, llamada sucesor, ϕ : N → N tal que ϕ(n) = n + 1 la función es inyectiva e Im ϕ = N− {0} 3. Si S ⊂ N es tal que satisface las siguientes condiciones a) 0 ∈ S b) n ∈ S =⇒ ϕ(n) ∈ S entonces S = N. Este último axioma se llama el Principio de Inducción y se aplica para demostrar que una afirmación es verdadera para todos los números naturales. 3.2. Propiedades de las operaciones entre natu- rales Para los números naturales N hay dos operaciones, suma + y producto ×.Las propiedades son las siguientes: 1. El conjunto de los números naturales es cerrado bajo la operación suma,es decir si ∀a ∈ N, ∀b ∈ N entonces a + b ∈ N 9
- 14. 10 CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS NATURALES 2. La suma es asociativa, ∀a ∈ N, ∀b ∈ N, ∀c ∈ N se cumple que a + (b + c) = (a + b) + c. 3. Existe un número llamado cero, 0 tal que ∀a ∈ N, a + 0 = a 4. La suma es conmutativa, es decir ∀a ∈ N, ∀b ∈ N se cumple que a + b = b + a. 5. El conjunto de los números naturales es cerrado bajo la operación producto, es decir si ∀a ∈ N, ∀b ∈ N entonces a × b ∈ N. 6. El producto es asociativo, ∀a ∈ N, ∀b ∈ N, ∀c ∈ N se cumple que a × (b × c) = (a × b) × c. 7. Existe un número llamado uno,1 tal que ∀a ∈ N, a × 1 = a. 8. El producto es conmutativo, es decir ∀a ∈ N, ∀b ∈ N se cumple que a×b = b×a. 9. La suma distribuye al producto, es decir ∀a ∈ N, ∀b ∈ N, ∀c ∈ N, a × (b + c) = a × b + a × c. Se van a demostrar algunas de las propiedades que ya se conocen para los números naturales. Esto tiene como propósito ejercitar la lógica. Proposition 39 El elemento 0 es único. Proof. Supongamos que existe z ∈ N tal que ∀a ∈ N, a + z = a. Como 0 ∈ N, 0+z =0 0=0+z Por la propiedad reflexiva de la igualdad z+0=z por el axioma 3 0+z =z por el ax. 4 y la transitividad de la igualdad 0=z por transitividad entre renglón 2 y 4. Exercise 40 Demuestren que el 1 es único. Exercise 41 Justifica cada uno de los siguientes pasos en la demostración de la proposición a0 = 0. 0+0=0 a (0 + 0) = a0 a(0 + 0) = a0 + a0 a0 + a0 = a0 a0 = 0 + a0 a0 + a0 = 0 + a0 a0 = 0 3.3. Demostraciones por inducción Se va a aplicar el Principio de Inducción para demostrar que algunas fórmulas son verdaderas para todos los números naturales.
- 15. 3.3. DEMOSTRACIONES PORINDUCCIÓN 11 Proposition 42 La fórmula n (n + 1) 1 + 2 + ... + n = 2 es verdadera para todos los números naturales. Proof. Para aplicar el principio de inducción y demostrar que la fórmula es ver- dadera para todos los naturales se va a construir el conjunto S = {k ∈ N |la fórmula es verdadera} . Para aplicar el Principio de Inducción se tiene que probar que S satisface las dos condiciones. Al satisfacer S ambas condiciones se concluye que S = N. En primer lugar 0 ∈ S porque al sustituir 0 en la fórmula se obtiene la identidad 0 = 0. Para avanzar mas se sustituye 1 en la fórmula y en este caso el lado izquierdo tiene valor 1 y el derecho 1 (2) =1 2 por lo tanto se tiene una identidad. De estas dos conclusiones se obtiene que 0, 1 ∈ S. Ahora se probará que si n ∈ S entonces n + 1 ∈ S. Como n ∈ S esto implica que la fórmula n (n + 1) 1 + 2 + ... + n = 2 es verdadera. Se va a mostrar que n + 1 ∈ S, es decir se va a probar que (n + 1) (n + 2) 1 + 2 + . . . + n + (n + 1) = 2 pero al observar el lado izquierdo de esta expresión se pueden sustituir los n primeros sumandos por la fórmula para nsumandos n (n + 1) 1 + 2 + . . . + n + (n + 1) = + (n + 1) 2 Al efectuar la suma de quebrados en el lado izquierdo de esta igualdad se tiene que n (n + 1) n(n + 1) + 2(n + 1) + (n + 1) = 2 2 n2 + 3n + 2 = 2 (n + 1) (n + 2) = 2 Por lo tanto (n + 1) (n + 2) 1 + 2 + . . . + n + (n + 1) = 2 Proposition 43 La fórmula n (n + 1) (2n + 1) 12 + 22 + 32 + . . . + n2 = 6 es verdadera para todos los números naturales. Proof. En este caso se define S = {k ∈ N |la fórmula es verdadera} . Se probará que 1 ∈ S,se sustituye n = 1 en la fórmula y se obtiene la identidad 1(2)(3) 12 = 6
- 16. 12 CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS NATURALES por lo tanto 1 ∈ S. Falta probar que si n ∈ S entonces (n + 1) ∈ S.Supongamos que n ∈ S eso significa que la fórmula n (n + 1) (2n + 1) 12 + 22 + 32 + . . . + n2 = 6 es verdadera para n. Para demostrar que n + 1 ∈ S hay que probar que (n + 1) (n + 2) (2(n + 1) + 1) 12 + 22 + 32 + . . . + n2 + (n + 1)2 = 6 Al observar el lado izquierdo de la igualdad se ve que la suma de los primeros n términos se pueden sustituir por la suma de los primeros n términos n (n + 1) (2n + 1) 12 + 22 + 32 + . . . + n2 + (n + 1)2 = + (n + 1)2 6 Efectuando la suma de quebradosn (n + 1) (2n + 1)+6 (n + 1)2 = 2n3 +9n2 +13n+6 n (n + 1) (2n + 1) + 6 (n + 1)2 = 6 (n + 1)[n(2n + 1) + 6n + 6] = 6 (n + 1)(2n2 + 7n + 6) = 6 (n + 1)(n + 2)(2n + 3) = 6 por lo tanto (n + 1) (n + 2) (2(n + 1) + 1) 12 + 22 + 32 + . . . + n2 + (n + 1)2 = 6 Como se cumplen ambas condiciones del Principio de Inducción esto implica que S = N.Por lo tanto la fórmula es verdadera para todo número natural. Proposition 44 La fórmula 1 + 3 + . . . + (2i − 1) + . . . + (2n − 1) = n2 . es verdadera para todos los números naturales. Proof. En este caso se define S = {k ∈ N |la fórmula es verdadera} . Se probará que 1 ∈ S,se sustituye n = 1 en la fórmula y se obtiene la identidad 1 = 12 por lo tanto 1 ∈ S. Falta probar que si n ∈ S entonces (n + 1) ∈ S.Supongamos que n ∈ S eso significa que la fórmula 1 + 3 + . . . + (2i − 1) + . . . + (2n − 1) = n2 es verdadera para n. Para demostrar que n + 1 ∈ S hay que probar que 1 + 3 + . . . + (2i − 1) + . . . + (2n − 1) + (2n + 1) = (n + 1)2
- 17. 3.3. DEMOSTRACIONES PORINDUCCIÓN 13 Al observar el lado izquierdo de la igualdad se ve que la suma de los primeros n términos se pueden sustituir por la suma de los primeros n términos 1 + 3 + . . . + (2i − 1) + . . . + (2n − 1) + (2n + 1) = n2 + (2n + 1) Efectuando la suma 1 + 3 + . . . + (2i − 1) + . . . + (2n − 1) + (2n + 1) = (n + 1)2 Como se cumplen ambas condiciones del Principio de Inducción esto implica que S = N.Por lo tanto la fórmula es verdadera para todo número natural. Hay una forma alternativa para el principio de inducción que es útil para probar que una fórmula o desigualdad se cumple a partir de cierto valor n > 1. Theorem 45 Sea S ⊂ N. Sean n0 , n1 ∈ N tales que n0 ≤ n1 . Si S satisface las condiciones a) n0 , . . . , n1 ∈ S y b) n0 , . . . , k ∈ S implica que k + 1 ∈ S entonces n ∈ S si n ≥ n0. Proof. Esta demostración se hace considerando S 0 = {n ∈ N | n − n0 ∈ S}y aplicando el principio de inducción a S 0 . Proposition 46 La desigualdad n2 − n n−2< 12 es verdadera para todo número natural n > 10. Proof. Sea S = {k ∈ N |k > 10 y tal que la desigualdad es verdadera} . El primer natural mayor que 10 es 11.Se probará que 11 ∈ S. Primero n−2=9 ahora 2 (11) − 11 121 − 11 = 12 12 110 = 12 ≈ 9,1667 . . . por lo tanto se cumple para n = 11. Supongamos que n ∈ S, i.e. la proposición es verdadera para n ≥ 11. Es decir n2 − n n−2< 12 Se va a demostrar para (n + 1) ∈ S.Para demostrar que la desigualdad es verdadera para n + 1 hay que demostrar que (n + 1)2 − (n + 1) (n + 1) − 2 < 12 n2 + n n−1< 12
- 18. 14 CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS NATURALES Para hacer la demostración escribir (n + 1) − 2 = (n − 2) + 1y utilizar que n ∈ S n2 − n n − 1 = (n − 2) + 1 < +1 12 pero 12 − n ≤ 1,por lo tanto n2 − n n2 − n + 12 n2 + n +1= < 12 12 12 Por transitividad de <se tiene que n2 + n n−1< 12 De donde (n + 1) ∈ S.Por tanto S = N. Exercise 47 Demostrar por inducción las siguientes proposiciones: Proposition 48 La fórmula 1 1 1 n + + ··· + = 1·2 2·3 n (n + 1) n+1 es verdadera para todo número natural. Proposition 49 La fórmula n2 (n + 1)2 13 + 23 + · · · + n3 = 4 es verdadera para todo número natural. Proposition 50 La fórmula n (2n − 1) (2n + 1) 12 + 32 + . . . + (2n − 1)2 = 3 es verdadera para todo número natural. Proposition 51 La fórmula n (n + 1) (2n + 7) 1 · 3 + 2 · 4 + . . . + n(n + 2) = 6 es verdadera para todo número natural. Proposition 52 La desigualdad 2n < n! para n > 3.es verdadera. Proposition 53 La desigualdad n2 < 2n para n > 4.es verdadera.
- 19. 3.4. DEFINICIONES INDUCTIVAS 15 3.4. Definiciones inductivas Cuando se tiene una definición para cualquier número natural se utiliza la defini- ción por inducción o la definición recurrente. Example 54 Por ejemplo se quiere definir xn donde x ∈ R y n ∈ N. Solution 55 Se definen x1 = x, x2 = x · x, . . . , xn = xn−1 · x. Esto significa que para calcular xn hay que calcular primero xn−1 y el resultado multiplicarlo por x. Example 56 Se quiere definir Rn . Solution 57 Se define R1 = R, R2 = R × R, . . . , Rn+1 = Rn × R. Example 58 Se quiere definir n!. Solution 59 Se define 1! = 1, 2! = 1 · 2 = 2, . . . , n! = (n − 1)! · n.Para calcular 10! se tiene que conocer 9! y el resultado multiplicarlo por 10. Example 60 Se quiere definir la sucesión de números an , conocida como la serie de Fibonacci, 1, 1, 2, 3, 5, . . . Solution 61 Se define a0 = 1, a1 = 1, . . . , an+1 = an + an−1 . Para calcular a6 hay que conocer a5 y a4 .Se calculan a2 = a0 + a1 =1+1=2 a3 = a2 + a1 =2+1=3 a4 = a3 + a2 =3+2=5 a5 = a4 + a3 =5+3=8 a6 = a5 + a4 = 5 + 8 = 13 Exercise 62 Definir inductivamente A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An . Exercise 63 Definir la asociatividad de la suma inductivamente. 3.5. Cardinalidad Contar es comparar dos conjuntos. Los conjuntos pueden tener un número finito o un número infinito de elementos. La noción básica de contar el número de elementos de un conjunto A consiste en establecer una función biyectiva entre un subconjunto de los números naturales y el conjunto A.Algebraicamente definimos esta forma de contar con encontrar f : A → N.de tal forma que f sea inyectiva Remark 64 Normalmente, cuando contamos, se toma como el primer valor de la función al 1 y se continúa sucesivamente con el sucesor. El conjunto de los números naturales tiene un número infinito de elementos, al número de naturales se le denomina ℵ0 (alef cero) y es la cardinalidad de los números naturales. Cuando existe una biyección g entre la Im f $ N y el conjunto {1, 2, . . . , n} se dice que el conjunto es finito y al número de elementos de Im f se le llama cardinalidad de A.
- 20. 16 CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS NATURALES Notation 65 Para un conjunto finito A la cardinalidad de A se denota por |A| o N (A) o #A o m(A). Hay conjuntos como los números reales que tienen también un número infinito de elementos, pero que no se pueden contar con los números naturales. Es decir no existe forma de comparar al conjunto de los números naturales con el conjunto de los números reales. Dicho de otra forma no hay una función biyectiva entre los números naturales y los números reales. Definition 66 Dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si existe una biyección entre los dos conjuntos. Theorem 67 Los números naturales N y los enteros Z tienen la misma cardinali- dad. Proof. Para demostrar esto basta construir una biyección entre los naturales y los enteros. Se define f : Z → N como ½ 2z, si z > 0 f (z) = 2 |z| + 1, si z ≤ 0 Esta función es una biyección porque si f (z1 ) = f (z2 ), hay cuatro posibilidades: (i) Si z1 > 0 y z2 > 0, 2z1 = 2z2 por lo tanto z1 = z2. (ii) Si z1 es negativo y z2 < 0 f (z1 ) = −2z1 + 1 = −2z2 + 1, z1 = z2 . (iii) Si z1 > 0 y z2 < 0 entonces f (z1 ) = 2z1 y f (z2 ) = −2z2 + 1,pero uno es par y el otro impar por lo tanto no pueden ser iguales. Esto contradice la hipótesis. (iv) El último caso se descarta de manera semejante. Además para cualquier natural n existe z tal que f (z) = n,porque si n es par existe el entero positivo q tal que 2q = n,si n es impar existe un entero positivo p tal que n = 2p + 1, −p es negativo y f (−p) = n.Por lo tanto f es suprayectiva. También se puede demostrar que hay una biyección entre los números racionales y los naturales.Basta arreglar los racionales como cociente de dos enteros en un arreglo de renglones y columnas poniendo el numerador el número de la columna y en el denominador el del renglón. Se cuentan recorriendo los elementos en diago- nal. Esta demostración no se hará formalmente pero se puede enunciar el siguiente teorema. Theorem 68 Los números racionales Q tienen la misma cardinalidad que los nat- urales N. Remark 69 Se observa que N $ Z, además Z = N ∪ N− . De aquí se podría deducir que la cardinalidad de Z es el doble que la cardinalidad de N pero vemos que es la misma. Se concluye que la aritmética para los números finitos no se aplica para los infinitos. Además aquella afirmación de que el todo es mayor que sus partes tampoco se aplica en este caso. La forma como podemos intuir que los números reales no tiene la misma car- dinalidad que los naturales es percatándonos que el intervalo [0, 1) tiene la misma cardinalidad que toda la recta real. Eso se visualiza fácilmente en la siguiente figu- ra, si se considera que la circunferencia es el intervalo [0, 1) y dejando fijo,el punto de intersección del eje Y y la circunferencia se trazan rectas. A cada punto de la circunferencia le corresponde un punto en la recta real y viceversa:
- 21. 3.6. RELACIÓN DEORDEN 17 A la cardinalidad de los números reales se le llama ℵ1 (alef uno). Exercise 70 Calcula la cardinalidad de los siguientes conjuntos: a) A = {6, 7, 8, 9} b) A = {a, b, . . . , w, x, y, z} , B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} , A × B. Nota: consideren un alfabeto de 26 letras. c) Z × Z Exercise 71 Sea A = {1, 2, 3, 4} . Considerar al conjunto F de todas las funciones inyectivas f : A → A. Calcular la cardinalidad de F. Exercise 72 Sea U = {a, b, . . . , w, x, y, z} y A = {a, b, c, d, e} , B = {c, d, e, f, g, h, i} , C = {x, y, z} Calcular la cardinalidad de los siguientes conjuntos: a) A b) B c) C d) A ∪ B e) A ∪ C f) A ∩ B g) Ac h) Ac ∩ B i) B c ∩ A i) Comparando estos resultados ¿qué igualdades se pueden formar? 3.6. Relación de orden Definition 73 Si m y n ∈ N se dice que m < n si existe s ∈ N tal que m + s = n. 3.6.1. Propiedades del orden. Sean k, m y n ∈ N.Entonces 1. Se cumple una de las siguientes tres cosas: m < n, m = n ó m > n. Esta propiedad se llama de tricotomía. 2. Si k < m y m < n entonces k < n.Transitividad. 3. Si k < m entonces k + n < m + n. 4. Si k < m entonces k · n < m · n.
- 22. 18 CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS NATURALES Cuando un conjunto como el conjunto de los números naturales satisface la tricotomía se dice que es totalmente ordenado. Exercise 74 Demostrar que si k + n < m + n entonces k < m. Exercise 75 Demostrar que kn < mn implica k < m. 3.7. Principio del buen orden Para los números naturales se cumple el principio del buen orden. Este principio implica al principio de inducción. El principio del buen orden dice que todo subconjunto S 6= ∅ de los números naturales tiene un elemento m tal que m ≤ s ∀s ∈ S.Dicho de otra manera S ⊂ N, S 6= ∅contiene un elemento mínimo. Los números enteros no son bien ordenados porque el subconjunto {x ∈ Z |x < 0} es diferente del vacío y no contiene un mínimo. Proposition 76 El principio del buen orden se cumple para los números naturales. Proof. PRIMERA DEMOSTRACIÓN(Sin utilizar explícitamente el Principio de Inducción) Ahora se demostrará el principio del buen orden. Para ello consideremos un subconjunto S 6= ∅ de los números naturales. Si S es finito,supongamos que S = {n1 , n2 , . . . , nk } Por la propiedad de tricotomía, se puede escoger un elemento ni tal que ni ≤ nj ∀j = 1, . . . , k. Por lo tanto S tiene un mínimo. Si S es infinito como es diferente del conjunto vacío entonces contiene un ele- mento a. Sea S0 = {n ∈ S | n ≤ a} . El conjunto S0 contiene a lo más a los naturales 1, 2, . . . , a. pero no necesariamente a todos. Como S0 es finito y a ∈ S0 entonces S0 contiene un mínimo m. El mínimo m de S0 es elemento de S y m ≤ a. Ahora se probará que m es un mínimo de S. Para ello considerar una n ∈ S. Por la definición de S0 hay dos posibilidades n ∈ S0 o n ∈ S0 . Si n ∈ S0 entonces m ≤ n porque m / es el mínimo de S0 . Si n ∈ S0 entonces n > a,pero a ≥ m. Por lo tanto n > m. En / cualquiera de los dos casos m es el mínimo de S. Proof. SEGUNDA DEMOSTRACIÓN(Utilizando el Principio de Inducción) Consideremos un subconjunto S 6= ∅ del conjunto N. Supongamos que S no tiene mínimo. Sea S 0 = {n ∈ N |n < a∀a ∈ S} . Primero que nada S 0 es un subconjunto de N y S 0 ⊂ S c porque si n ∈ S 0 , n < a para a ∈ S. Además S 0 satisface las condiciones del principio de inducción: (i) 1 ∈ S 0 porque 1 ∈ S. Si 1 ∈ S entonces S tendría un mínimo. / (ii) Supongamos que n ∈ S 0 . Se va a demostrar que n + 1 ∈ S 0 . La demostración se hará por reducción al absurdo. Si n + 1 ∈ S 0 entonces n + 1 ≥ a.para alguna / a ∈ S De esta afirmación y de que n < a implica que n + 1 ≤ a se concluye que n + 1 = a ∈ S.Por tanto n + 1 es un mínimo de S. Lo que contradice que Sno tiene un mínimo. Por lo tanto n + 1 ∈ S 0 . Por el principio de inducción esto significa que S 0 = N. Por lo tanto, S = ∅. Esta afirmación es una contradicción pues se había supuesto que S es diferente del vacío. Proposition 77 El principio del buen orden implica el principio de inducción.
- 23. 3.8. FUNCIONES YRELACIONES 19 Proof. Primero se demostrará que el principio del buen orden implica el prin- cipio de inducción. Para ello consideremos un conjunto S ⊂ N, S = ∅ tal que 1 ∈ S 6 y si n ∈ S entonces n + 1 ∈ S. Sea S 0 = S c . Supongamos que S 0 6= ∅. Como S 0 ⊂ N entonces S contiene un mínimo. Sea m el mínimo de S 0 . Esto implica que m − 1 ∈ S porque m − 1 < m. Pero por hipótesis si n = m − 1 ∈ S entonces n + 1 = m ∈ S lo que contradice que m ∈ S 0 . Por lo tanto S 0 = ∅.De donde S = N. Remark 78 Un conjunto que satisface el principio del buen orden se llama bi- en ordenado. El conjunto de los números naturales es bien ordenado y totalmente ordenado. Exercise 79 Encuentra subconjuntos de Q y R para los que no se cumpla el prin- cipio del buen orden. 3.8. Funciones y relaciones 3.8.1. Dominio y contradominio Definition 80 Una relación es un subconjunto R cualquiera de un producto carte- siano A × B, .R ⊂ A × B. Definition 81 Una función es una relación F de un producto cartesiano A × B tal que si (a1 , b1 ) , (a2 , b2 ) ∈ F entonces b1 6= b2 =⇒ a1 6= a2 . Esto es equivalente a decir a1 = a2 =⇒ b1 = b2 . Example 82 ¶ µ Llamar I al intervalo [0, 1]. El subconjunto F de N×I dado por las 1 parejas n, es una función. n Exercise 83 Define una función de los enteros en los naturales tal que al 0 le asocie el 1,al 1 el 2,al −1 el 3,al 2 el 4, · · · . De ser posible escribe las parejas. 1 Exercise 84 Define la función dada por la regla f (x) = con x ∈ R. x Exercise 85 Dado el conjunto F = {(x, y) | x ∈ R y y ∈ R, sea tal que (x − 2)2 + y 2 = 36},determina el producto cartesiano al que pertenece y determina si es o no función. Justifica tu respuesta. Definition 86 Al conjunto A se le llama el dominio de la función F y al conjunto B se le llama el codominio o contradominio de la función. Notation 87 A = Dom (F ), B = Codom(F ). Exercise 88 Determina, si es posible, el dominio de las funciones en los tres ejer- cicios anteriores. Definition 89 Al subconjunto de B para el cual existe un elemento a ∈ A tal que (a, b) ∈ F se le llama la imagen de F. Notation 90 Im F = {b ∈ B | ∃a ∈ A tal que (a, b) ∈ F } Exercise 91 Determina, si es posible, la imagen de los ejercicios que corresponden a la definición de función. Definition 92 Se define la gráfica de la función F como el subconjunto de A × B tal que b ∈ Im F.
- 24. 20 CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS NATURALES Notation 93 Graf (F ) = {(a, b) | a ∈ A y b ∈ Im F } Remark 94 Utilizando la notación usual de funciones la imagen de una función son los elementos de b ∈ B tales que existe a ∈ A tal que f (a) = b. Remark 95 La gráfica de la función es el conjunto de puntos (a, f (a)) ∈ A × B. Remark 96 Dos funciones F y G son iguales si tienen el mismo dominio, el mismo codominio y F = G. Exercise 97 Determina, si es posible, la gráfica de las funciones del inciso de definición. Exercise 98 Dadas F ⊂ R × R y G ⊂ R × R+ dadas por las parejas (x, x2 ) ¿son iguales? Justifica tu respuesta. Exercise 99 Dadas las funciones F ⊂ (R − {2}) × R y G ⊂ R × R la primera µ ¶ x2 − 4 dada por las parejas x, y la segunda por (x, x + 2) justifica porque son x−2 funciones diferentes. 3.9. Clasificación de funciones Las funciones se clasifican: Por su regla de asociación en inyectivas o no inyectivas. Por la comparación entre su imagen y codominio como en suprayectivas y no suprayectivas. Definition 100 Una función F es inyectiva si cada vez que (a1 , b1 ) , (a2 , b2 ) ∈ F y b2 = b1 entonces a1 = a2 . Remark 101 A las funciones inyectivas también se les llama uno a uno y biunívo- cas. Remark 102 Otra forma de expresar que una función es inyectiva es decir que si a1 6= a2 entonces b1 6= b2 . Remark 103 En la notación usual del cálculo (a1 , b1 ) ∈ F si f (a1 ) = b1 . Definition 104 Una función F ⊂ A × B es suprayectiva si Im F = B. Remark 105 A las funciones suprayectivas se les llama sobres. Example 106 ¡Una función no inyectiva y no suprayectiva es F ⊂ R × R definida ¢ por las parejas x, x2 . Example 107√Una función inyectiva y no suprayectiva es F ⊂ R+ ×R definida por las parejas (x, x).
- 25. 3.10. COMPOSICIÓN DEFUNCIONES 21 Example 108 Una función no inyectiva y suprayectiva es F ⊂ R × R definida por las parejas (x, x3 − 2x2 − 5x + 6). Esta función tiene como gráfica la siguiente y 50 x -5 -2.5 0 2.5 5 0 -50 -100 Example 109 Una función inyectiva y suprayectiva es F ⊂ R × R definida por las parejas (x, 2x). Exercise 110 Da un ejemplo de cada una de las cuatro posibilidades de funciones. En cada caso justifica tus respuestas y da de forma explicita el dominio, codominio, calcula la imagen y la gráfica. 3.10. Composición de funciones Definition 111 Dadas dos funciones F ⊂ A × B y G ⊂ B × C se define la función composición como la función en A × C formada por el conjunto de puntos (a, c) tales que exista b ∈ B tal que (a, b) ∈ F y (b, c) ∈ G. Notation 112 G ◦ F = {(a, c) | ∃b ∈ B tal que (a, b) ∈ F y (b, c) ∈ G}. Notation 113 La función 1A ⊂ A×A se define como 1A (a) = a ∀a ∈ A y se llama la función identidad de A. Example 114 Sean F ⊂ R × R y G ⊂ R × R+ dadas por las parejas (x, 2x + 5) y ¡ ¢ x, x4 .La composición es un subconjunto de R × R4 tales que (x, (2x + 5)4 ) √ Example 115 Sean F ⊂ R × R y G ⊂ R+ × R− dadas por (x, x2 ), (x, − ´ ³ x) − p respectivamente. La función G ◦ F ⊂ R × R esta dada por las parejas x, − |x| . Exercise 116 Calcula el dominio, codominio, parejas, imagen y gráfica de cada una de las siguientes composiciones: 1. Sean F, G ⊂ Z × Z definidas por las parejas (x, x − 1) ∈ F y (x, 3x) ∈ G. Calcula G ◦ F. 2. Para las mismas funciones del primer inciso calcula F ◦ G. 3. Si H ⊂ Z × Z esta definida por (x, 0) si x es par (x, 1) si x es impar Calcula H ◦ G y G ◦ H. Theorem 117 Sean F ⊂ A × B y G ⊂ B × C dos funciones 1. Si F y G son inyectivas entonces G ◦ F es inyectiva. 2. Si F y G son suprayectivas entonces G ◦ F es suprayectiva.
- 26. 22 CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS NATURALES Proof. Se demostrará la primera parte. Para ello supongamos que (g ◦ f ) (a1 ) = (g ◦ f ) (a2 ) .Esto implica que g(f (a1 )) = g(f (a2 )) Como Ges inyectiva entonces f (a1 ) = f (a2 ) Como F es inyectiva esto implica que a1 = a2 .Por lo tanto la composición es inyec- tiva. Para demostrar la segunda parte se demostrará que C = Im(G ◦ F ). Como Im(G ◦ F ) ⊂ C basta demostrar que C ⊂ Im(G ◦ F ). Sea c ∈ C. Como G es sobre entonces existe b ∈ B tal que g(b) = c (otra forma de expresar que (b, c) ∈ G ). Como F es sobre, para b ∈ B existe a ∈ A tal que f (a) = b. Por lo tanto c = g(f (a)).De donde c ∈ Im(G ◦ F ). Theorem 118 La composición de funciones es asociativa. Proof. Supongamos que se tienen tres funciones f : A → B, g : B → C y h : C → D tales que se pueden hacer las composiciones g◦f, h◦g y las composiciones h◦(g◦f ) y (h ◦ g)◦f. El que se puedan hacer las primeras dos composiciones significa que Im f = B, Im g = C, el que se puedan hacer las otras dos composiciones significa que Im(g ◦ f ) = Dom(h) = C y que Im f = Dom (h ◦ g) = A. Ahora bien el Dom(h ◦ (g ◦ f )) = A y el Dom( (h ◦ g) ◦ f ) = A. El Codom( (h ◦ g) ◦ f ) = Codom(h ◦ (g ◦ f )) = D. Además para toda a ∈ A se tiene que (h ◦ (g ◦ f ))(a) = (h(g ◦ f ))(a) = h(g(f (a))) Por otro lado ((h ◦ g) ◦ f )(a) = (h ◦ g)(f (a)) = h(g(f (a))) Por lo tanto, por transitividad (h ◦ (g ◦ f ))(a) = ((h ◦ g) ◦ f )(a) ∀a ∈ A De estas tres afirmaciones se concluye la igualdad de funciones. Exercise 119 Para las funciones del ejercicio anterior calculen h ◦ g ◦ f. ¿Porqué se escribe sin paréntesis? Exercise 120 Dadas f : R+ → R por f (x) = ln(x) y g : R → R+ , por g(x) = ex entonces calcular el dominio, contradominio y la regla de g ◦ f y f ◦ g. Demostrar que ambas composiciones son biyectivas. 1 Exercise 121 Dada f : R − {0} → R− {0} por f (x) = ,calcular el dominio, x codominio y regla de f ◦ f. Demostrar que la composición es biyectiva.
- 27. 3.11. FUNCIONES INVERSAS 23 3.11. Funciones inversas Definition 122 Dada una función F ⊂ A×B se define la inversa de F a la función G ⊂ B × A,si existe tal que G ◦ F = 1A y F ◦ G = 1B . Notation 123 G se denota por F −1 .Se dice que F es invertible. Example 124 La función inversa de f : Z →2Z definida por f (a) = 2a es f −1 (b) = b donde 2Z = {2a | a ∈ Z}. 2 π Example 125 La función inversa de f : [0, ] → [0, 1] definida por f (x) = sen(x) 2 es f −1 (y) = arcsen(y). Exercise 126 Encontrar, si es posible la función inversa de las siguientes fun- ciones, en cada caso justificar la respuesta: 1. f : R → R, f (x) = x3 √ 2. f : R+ → R− , f (x) = − x 3. f : R → R, f (x) = x6 . 4. f : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4} dada por la tabla a f (a) 1 2 2 1 3 4 4 3 Theorem 127 Si una función F ⊂ A×B es invertible entonces la inversa es única. Proof. Suponer que existe h : B → A tal que h ◦ f = 1A y f ◦ h = 1B .Para demostrar que h y f −1 son la misma función primero se observa que las dos funciones tienen como dominio a B y como contradominio a A.Finalmente se calcula h(b). h(b) = (1A ◦ h)(b) pero 1A = f −1 ◦ f al sustituir h(b) = ((f −1 ◦ f ) ◦ h)(b) por asociatividad h(b) = (f −1 ◦ (f ◦ h))(b) Como (f ◦ h)(b) = 1B (b) = b por hipótesis entonces h(b) = f −1 (b) ∀b ∈ B. De donde se concluye que las funciones h y f −1 son iguales. Por lo tanto la función inversa de f es única. Theorem 128 Una función F es invertible si y sólo si es inyectiva y suprayectiva. Proof. Primero se demostrará que si es invertible entonces es inyectiva y suprayec- tiva. Supongamos que f : A → B es invertible. Entonces existe f −1 : B → A.tal que f ◦ f −1 = 1B y f −1 ◦ f = 1A . Para demostrar que f es inyectiva supongamos que f (a1 ) = f (a2 ) . Como existe f −1 ,que es función, entonces f −1 (f (a1 )) = f −1 (f (a2 )).Por la definición de f −1 esto implica que a1 = a2 . Por lo tanto f es inyectiva.
- 28. 24 CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS NATURALES Para demostrar que f es suprayectiva consideremos b¢∈ B. Como f −1 es una ¡ función entonces calculamos f −1 (b) = a. Como f f −1 (b) = f (a) = b entonces ya se encontró una a ∈ A tal que f (a) = b para cualquier b ∈ B. Por lo tanto f es suprayectiva. Ahora se demostrará que si f es inyectiva y suprayectiva entonces es invertible. Sea g : B → A la función definida como sigue: g(b) = a si a ∈ A es tal que f (a) = b. Esa a ∈ A existe para toda b ∈ B porque f es suprayectiva.Además g es una función porque si b1 = b2 entonces existen a1 y a2 ∈ A tales que f (a1 ) = b1 y f (a2 ) = b2 . La hipótesis se escribe como f (a1 ) = f (a2 ) como f es inyectiva esto implica que a1 = a2 que implica que g (b1 ) = g (b2 ) por lo tanto g es una función tal que g ◦ f = 1B y f ◦ g = 1A .Como se demostro antes que la inversa es única entonces g = f −1 . Theorem 129 Sean A y B dos conjuntos finitos con el mismo número de elementos y F una función en A × B. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes (a) F es inyectiva. (b) F es suprayectiva. (c) F es invertible. Proof. Basta demostrar que (a)⇔(b) porque (c)⇔(a) y (b). Supongamos que F es suprayectiva pero no es inyectiva. Como no es inyectiva esto implica que existen a1 y a2 , a1 6= a2 tales que f (a1 ) = f (a2 ). Esto implica que el conjunto A tiene mas elementos que Im f. Pero Im f = B . Esto contradice la hipótesis de que los conjuntos A y B tienen el mismo número de elementos. Por lo tanto f es inyectiva. Supongamos que f es inyectiva pero no es suprayectiva. Como no es suprayectiva entonces Im f à B. Entonces existe b ∈ B tal que b ∈ Im f.Por ser f inyectiva el / número de elementos de Im f es igual al número de elementos de A. Esta conclusión contradice la hipótesis de que A y B tienen el mismo número de elementos. Por lo tanto f es suprayectiva. Exercise 130 Dada una función f : A → B se define la preimagen de un subcon- junto B1 ⊂ B como el subconjunto de A tal que f (a) ∈ B1 y se denota por f −1 (B1 ). Para la función f : R → R, dada por (x, x2 ) calculen f −1 ([0, 4]).
- 29. Capítulo 4 Relaciones binarias 4.1. Definición Definition 131 Una relación se llama binaria sobre el conjunto A cuando se trata de una relación R ⊂ A × A. Example 132 Si A = R una relación binaria es la igualdad definida por el sub- conjunto R = {(x, y) | x, y ∈ R y x = y} Example 133 Si A = N una relación binaria es el menor o igual definido por el subconjunto M = {(a, b) | a, b ∈ N y a ≤ b} Example 134 Si A = Z × Z una relación binaria entre parejas de enteros es que a c dos parejas (a, b) y (c, d) están en relación si = . b d Example 135 Si A = N × N una relación binaria entre parejas de naturales es que dos parejas (n1 , m1 ) y (n2 , m2 ) están en relación si n1 − m1 = n2 − m2 . Exercise 136 Determina sobre que conjunto se define la siguiente relación binaria: {(a, b) | a, b ∈ Z y a divide a b}y describe la forma que tienen las parejas que estan en la relación. Exercise 137 Sea A = {a, b, c, d, e}. Al conjunto de todos los subconjuntos forma- dos por los elementos de A se le llama conjunto potencia de A.y se le denota por P (A). Determina si la contención de conjuntos es una relación binaria en P (A). 4.2. Relaciones de equivalencia Definition 138 Una relación binaria R sobre A es de equivalencia si satisface las siguientes propiedades: 1. (a, a) ∈ R∀a ∈ A. Esta propiedad se llama reflexiva. 2. Si (a, b) ∈ R entonces (b, a) ∈ R.Propiedad simétrica. 3. Si (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R entonces (a, c) ∈ R. Propiedad transitiva. Notation 139 También se escribe aRb si (a, b) ∈ R. Example 140 La igualdad en los números reales es una relación de equivalencia. R = {(a, a) | a ∈ R} ⊂ R × R. Es una relación de equivalencia porque un número real es igual a si mismo por lo tanto R cumple la propiedad reflexiva. También se cumple la propiedad simétrica porque si a = b entonces b = a y la transitiva, si a = b y b = c entonces a = c. 25
- 30. 26 CAPÍTULO 4. RELACIONES BINARIAS Example 141 Consideremos el conjunto A = N × N. y se define una relación R sobre A de tal forma que (n1 , m1 ) m (n2 , m2 ) si y sólo si n1 + m2 = n2 + m1 . Para probar que es una relación de equivalencia hay que demostrar que cumple con las tres condiciones. Para demostrar que (n, m) m (n, m) hay que corroborar que n + m = n + m para cualesquiera dos naturales n y m. Pero esto es cierto ya que la igualdad es reflexiva. La reflexividad se sigue inmediatamente de la reflexividad de la igualdad entre nat- urales ya que si (n1 , m1 ) m (n2 , m2 ) esto implica que n1 + m2 = n2 + m1 .Como la igualdad entre naturales es reflexiva entonces n2 + m1 = n1 + m2 . Esta igualdad significa que (n2 , m2 ) m (n1 , m1 ). La transitividad se cumple ya que si (n1 , m1 ) m (n2 , m2 ) y (n2 , m2 ) m (n3 , m3 ) esto implica que n1 + m2 = n2 + m1 y que n2 + m3 = n3 + m2 respectivamente. Al sumar ambas igualdades se obtiene (n1 + m2 ) + (n2 + m3 ) = (n2 + m1 ) + (n3 + m2 ) Aplicando la asociatividad de la suma de naturales y la cancelación se tiene que n1 + m3 = m1 + n3 como la suma de naturales es conmutativa entonces n1 + m3 = n3 + m1 Por lo tanto R es una relación de equivalencia en donde R = {((n1 , m1 ) , (n2 , m2 )) ∈ A × A | n2 + m1 = n1 + m2 } . Example 142 Consideremos el conjunto A = Z × Z y se define la relación R sobre A de tal forma que (a, b) ≈ (c, d) si y sólo si ad = bc. Esta relación es de equivalencia. Theorem 143 Una relación de equivalencia R sobre A parte en conjuntos ajenos a A. Proof. Se va a demostrar que A = ∪Ra donde Ra = {x ∈ A | aRx} . Para demostrar la igualdad de dos conjuntos hay que demostrar las dos contenciones. La contención ∪Ra ⊂ A siempre es verdadera ya que todos los subconjuntos Ra ⊂ A,por lo tanto su unión también. Para demostrar la otra contención se considera a ∈ A. Como para toda a ∈ A se tiene que aRa entonces el conjunto Ra contiene al menos un elemento, a. Ahora se va a demostrar que Ra ∩ Rb = ∅ si (a, b) ∈ R o que Ra ∩ Rb = Ra = Rb / si (a, b) ∈ R.Supongamos que (a, b) ∈ R.y supongamos que existe x ∈ Ra ∩ Rb . Esto / implica que xRa y que xRb. Por reflexividad y transitividad esto implica que aRb lo que contradice la hipótesis acerca de que (a, b) ∈ R. Por lo tanto Ra y Rb son / ajenos si (a, b) ∈ R. / Definition 144 Al conjunto Ra = {x ∈ A | xRa} se le llama la clase de equiva- lencia del elemento a de A. Al elegir un elemento de la clase de equivalencia Ra se dice que se toma un representante de la clase. Example 145 En el plano cartesiano R2 considere los puntos. Se define un vector como el representante de la clase de equivalencia de parejas de puntos cuyas difer- encias son iguales. El representante que se elige es el vector que sale del origen y termina en el punto. Example 146 En el plano euclidiano se dice que dos segmentos son congruentes cuando tienen la misma longitud. Esta relación es de equivalencia.
- 31. 4.2. RELACIONES DEEQUIVALENCIA 27 Exercise 147 Describir las clases de equivalencia del espacio vectorial representa- do en R2 .Demostrar que un vector es un representante de una clase de equivalencia Exercise 148 Demuestra que la semejanza de triángulos definida cuando los tres lados correspondientes son proporcionales es una relación de equivalencia. Exercise 149 Demostrar que la relación definida en el ejemplo(101) es una relación de equivalencia. Exercise 150 Demostrar que la relación binaria sobre R no es una relación de equivalencia.
- 32. 28 CAPÍTULO 4. RELACIONES BINARIAS
- 33. Capítulo 5 Matemáticas discretas 5.1. Relaciones entre conjuntos finitos Las relaciones entre conjuntos finitos tienen una gran cantidad de aplicaciones. Por ejemplo se aplican en el diseño de bases de datos, en la optimización de tiempos para actividades complejas, en el diseño de lenguajes de computación, en encontrar caminos cortos u óptimos, en el diseño de redes de carreteras, de ductos de agua o cualquier otro fluído y en muchas otras cosas. El primer concepto para entender la multiplicidad de aplicaciones es el paso entre diversas representaciones de las relaciones. La primera, que ya fue estudiada anteriormente es la representación de una relación como un conjunto. Hay que recordar que una relación R es un subconjunto de un producto cartesiano de dos conjuntos A y B. Utilizando la notación usual R ⊂ A × B. Recordar también que una relación se llama binaria cuando A = B. En este caso además se agregará que N (A) < ∞, i.e. A es un conjunto finito. 5.1.1. Gráfica dirigida. Representación geométrica de una relación. Una relación binaria sobre un conjunto finito A se puede representar gráfica- mente como un conjunto de vértices o puntos que serán los elementos de A y flechas de un elemento a ∈ A en el elemento b ∈ A si (a, b) ∈ R. Por otro lado existen las definiciones de gráfica (grafo) y gráfica dirigida, digrá- fica(digrafo) que se desarrollo a partir de un problema planteado por Euler. Definition 151 Una gráfica (grafo) G consiste de dos conjuntos V, los vértices de la gráfica y E las aristas de la gráfica que se representan con parejas de puntos. Example 152 Dada la relación binaria R sobre A = {a, b, c} donde R = {(a, b) , (b, b) , (c, b) , (c, a)} la gráfica dirigida asociada a la relación es V = A = {a, b, c} y E = {(a, b) , (b, b) , (c, b) , (c, a)}, el dibujo asociado a la gráfica es de mucha utilidad. A continuación se muestra. 29
- 34. 30 CAPÍTULO 5. MATEMÁTICAS DISCRETAS Figura 5.1: Example 153 Diagrama de Hasse o representación gráfica de una relación de or- den. Una relación binaria de contención de entre conjuntos se representa con una gráfica sin flechas escribiendo el conjunto menor en la parte inferior. Por ejemplo para el conjunto potencia del conjunto A = {a, b.c} se toman todos los subconjuntos de A : ∅, {a} , {b} , {c} , {a, b} , {a, c} , {b, c} , A. y se colocan en una gráfica como la siguiente. Hay algunas definiciones y lenguaje que se utiliza en teoría de gráficas que nos van a se útiles para resolver problemas de optimización, la aplicación del algoritmo
- 35. 5.1. RELACIONES ENTRECONJUNTOS FINITOS 31 de Dijkstra. A continuación se presentan. Definition 154 Camino o trayectoria Un camino es una sucesión de vértices y aristas que van de un vértice llamado inicial a un vértice llamado final. Example 155 En el ejemplo de la gráfica un camino es a, (a, b), b, (b, b)b. Un camino se puede denotar por sus vértices solamente. En este ejemplo abb. Definition 156 Ciclo Un ciclo es un camino que inicia y termina en el mismo vértice. También se llama camino cerrado. Definition 157 Lazo Un lazo es un ciclo que contiene una sola arista. Definition 158 Camino simple Un camino es simple cuando no pasa dos veces por el mismo vértice. En teoría de gráficas en ocasiones la dirección de una arista no es importante. En ese caso se utiliza una gráfica. El ejemplo clásico es el de los puentes de Könisberg planteado por Euler. Este problema consiste en encontrar una manera de caminar entre dos islas sin pasar dos veces por el mismo punto y recorrer todos los puentes en la ciudad de Königsberg. La gráfica para el problema es la siguiente:
- 36. 32 CAPÍTULO 5. MATEMÁTICAS DISCRETAS Otra representación gráfica de una relación Una relación también se puede representar por un conjunto de puntos en un plano cartesiano A × B donde el conjunto finito A se coloca horizontal y el conjunto B se coloca vertical. Example 159 Dada la relación binaria R sobre A = {a, b, c} donde R = {(a, b) , (b, b) , (c, b) , (c, a)} la gráfica cartesiana es: Exercise 160 Dadas las siguientes relaciones trazar las gráficas dirigida y carte- siana. a) A = {a, b, c, d, e} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , R = {(a, 1) , (b, 3) , (b, 4) , (c, 5) , (d, 2) , (d, 6) , (e, 3) , (e, 5) , (e, 6)} b) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y la relación binaria R = {(1, 2) , (1, 3) , (2, 5) , (2, 4) , (3, 1) , (3, 3) , (3, 5) , (4, 6) , (5, 2) , (5, 5) , (6, 4) , (6, 6)} . Exercise 161 Dadas las siguientes relaciones en forma gráfica encontrar el con- junto del producto cartesiano y la otra representación gráfica.
- 37. 5.1. RELACIONES ENTRECONJUNTOS FINITOS 33 a) b) Exercise 162 Hacer una gráfica que refleje que en un torneo de fútbol en donde están inscritos 5 equipos y cada equipo va a jugar contra dos equipos. ¿Cómo sirve esta representación para asignarles días consecutivos de juego a los partidos de tal manera que ningún equipo juegue dos días consecutivos? Exercise 163 Trazar la gráfica dirigida de la relación binaria “divide a” sobre A = {1, 2, . . . 12} . Exercise 164 ¿Cómo se ve la gráfica dirigida de una relación que es (a) reflexiva? (b) simétrica? (c) transitiva?
- 38. 34 CAPÍTULO 5. MATEMÁTICAS DISCRETAS 5.2. Representación matricial de una relación. 5.2.1. Definiciones del álgebra matricial en general Una matriz es un arreglo de mn números aij en m renglones y n columnas donde el índice i corresponde al renglón i y el índice j corresponde a la columna j. Si los números pertenecen al conjunto de los números reales se dice que es una matriz sobre R.Una matriz es a11 a12 · · · a1n a a22 · · · a2n A = 21 ··· am1 am2 · · · amn Notation 165 A = (aij )m×n . Example 166 Una matriz sobre los racionales es 1 1 −1 0 3 −2 0 5 1 7 2 −5 −1 8 El elemento del segundo renglón y tercera columna a23 = 5. Definition 167 Si la matriz tiene m renglones y n columnas se dice que es de orden m × n, se lee m por n. Example 168 La matriz del ejemplo es 3 × 4, se lee tres por cuatro. Definition 169 Si m = n entonces se dice que la matriz es cuadrada. Definition 170 Al conjunto de los elementos aii se le llama diagonal principal de la matriz. Definition 171 La matriz cuadrada de orden n tal que ½ 1 si i = j aij = 0 si i 6= j se le denota por In . Example 172 Para n = 4 1 0 0 0 0 1 0 0 I4 = 0 0 1 0 0 0 0 1 Definition 173 Dada una matriz A de orden m × n se define la matriz traspuesta de A como la matriz B que tiene como renglones las columnas de A. Notation 174 B = At o B = Atr o B = tras(A). Remark 175 Si A es de orden m × n entonces At es de orden n × m. Remark 176 Si A = (aij )m×n entonces At = (aji )n×m . Definition 177 Si A = At entonces se dice que A es una matriz simétrica.
- 39. 5.2. REPRESENTACIÓN MATRICIALDE UNA RELACIÓN. 35 Producto de matrices Dadas dos matrices Am×n y Bn×r se define la matriz producto C de orden m×r a la matriz formada por los elementos cij = ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + ain bnj donde i = 1, . . . , m y j = 1, . . . , r. Example 178 Sean las matrices 2 −3 A= 4 6 −1 3 µ ¶ 8 B= −7 dos matrices. Para poder efectuar el producto AB hay que verificar que el número de columnas de la primera matriz, A sea igual al número de renglones de la segunda matriz B. En este caso este número es 2 por tanto si es posible hacer el producto, se obtiene una matriz de orden 3 × 1. 2 −3 µ ¶ 2(8) + (−3)(−7) 4 8 6 = 4(8) + 6(−7) −7 −1 3 (−1)8 + 3(−7) 37 = −10 −29 5.2.2. Relaciones La forma de representar una relación R entre dos conjuntos finitos A y B es en un arreglo matricial en donde se ponen como renglones los elementos del primer conjun- to A y como columnas los elementos del segundo conjunto B, A = {a1 , a2 , . . . , am } y B = {b1 , b2 , . . . , bn } Cuando un elemento (ai , bj ) ∈ R se coloca un 1 en el renglón i y la columna j. En los lugares donde no hay un tal elememento se pone un 0. Example 179 Para la relación R del producto cartesiano entre A = {a, b, c, d, e} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} tal que R = {(a, 1) , (b, 3) , (b, 4) , (c, 5) , (d, 2) , (d, 6) , (e, 3) , (e, 5) , (e, 6)} se representa con la matriz 1 2 3 4 5 6 a 1 0 0 0 0 0 b 0 0 1 1 0 0 MR = c 0 0 0 0 1 0 d 0 1 0 0 0 1 e 0 0 1 0 1 1 A esta matriz se le llama matriz de adyacencia ya que al representarla gráfica- mente cada 1 corresponde a una arista de la gráfica.
- 40. 36 CAPÍTULO 5. MATEMÁTICAS DISCRETAS Para una relación binaria sobre un conjunto A queda como en el siguiente: Example 180 Si A = {1, 2, 3, 4} y la relación dada como conjunto es R = {(1, 1) , (1, 3) , (1, 4) , (2, 1) , (2, 4) , (3, 4) , (4, 1)} entonces la matriz es 1 0 1 1 1 0 0 1 MR = 0 0 0 1 1 0 0 0 y la gráfica Las matrices de adyacencia se utilizan para representar una relación en la computa- dora. Aún más las operaciones usuales entre relaciones se pueden realizar con las operaciones usuales entre matrices y las reglas del álgebra booleana. En la siguiente sección se da la correspondencia entre operaciones entre matrices y operaciones entre relaciones.
- 41. 5.2. REPRESENTACIÓN MATRICIALDE UNA RELACIÓN. 37 Exercise 181 Dadas las siguientes relaciones encontrar las otras tres representa- ciones a) A = {a, b, c, d, e, f, g}, R una relación binaria sobre A definida por R = {(a, b) , (a, d) , (a, f ) , (a, g) , (b, a) , (b, b) , (b, f ) , (b, g) , (c, e) , (d, e) , (d, g) , (e, f ) , (f, g) , (g, c)} . b) A = {1, 2, 3}y una relación binaria definida por la matriz 1 1 1 MR = 1 1 1 1 1 1 c) d) 5.2.3. Operaciones entre relaciones: Una función es un caso particular de relación. Es posible pensar en las mismas operaciones para las relaciones que las que hay entre funciones. Dos de ellas son componer las relaciones y encontrar la inversa de una relación. Las otras dos opera- ciones que se exploran en estas notas son una consecuencia de ver a las relaciones como conjuntos.
- 42. 38 CAPÍTULO 5. MATEMÁTICAS DISCRETAS Composición La composición de relaciones R1 ⊂ A × B y R2 ⊂ B × C es la relación R1 ◦ R2 = {(a, c) | ∃b tal que ((a, b) ∈ R1 ) ∧ (b, c) ∈ R2 } Remark 182 La notación utilizada es diferente a la de funciones porque al llevar la relación a una matriz el orden de multiplicación es MR1 MR2 . El + se sustituye por la operación booleana ∨ (o) y × por la operación booleana ∧ (y). Las reglas son 1+1=1=1+0=0+1 0+0=0 1×1=1 1×0=0×1=0×0=0 Algunos autores utilizan el mismo orden que para funciones i.e. R2 ◦ R1 . Example 183 La relación R1 “toma clase de” es un subconjunto del producto cartesiano {estudiantes del Itam} × {cursos del Itam} . La relación R2 es “tiene clase en” es un subconjunto del producto cartesiano {cursos del Itam}×{salones del Itam} . La composición es la relación R1 ◦ R2 “tiene clase en” que es un subconjunto del producto cartesiano {estudiantes del Itam} × {salones del Itam} . Definition 184 Dada la relación binaria R sobre A se define por inducción la potencia de R R2 = R ◦ R y Rn = Rn−1 ◦ R. Exercise 185 Sea R la relación “padre de”.¿Cuál es la relación R ◦ R? Exercise 186 Sea R1 = {(0, a) , (0, c) , (1, a) , (1, c) , (2, b)} ⊂ {0, 1, 2, 3} × {a, b, c} y R2 = {(a, d) , (a, e) , (a, f ) , (b, c) , (c, f )} ⊂ {a, b, c} × {d, e, f } . Calcular R1 ◦ R2 . Escribir las matrices asociadas a R1 , R2 y a R1 ◦ R2 , MR1 , MR2 .y MR1 ◦R2 . Efectuar el producto de matrices MR1 MR2 sustituyendo + por la operación booleana ∨ (o) y × por la operación booleana ∧ (y) Comparar con la matriz asociada a la composición. Inversión. Si R es una relación de A × B entonces R−1 es la relación de B × A tal que (b, a) ∈ R−1 si (a, b) ∈ R. La matriz asociada a R−1 es la traspuesta de MR . La gráfica dirigida asociada a R−1 es la misma gráfica que R con las flechas en sentido opuesto. Exercise 187 Dada la relación binaria R sobre A = {0, 1, 2, 3} por la matriz 0 1 1 0 1 0 1 1 MR = 1 1 0 0 0 1 0 1 Calcular la matriz de R ◦ R,trazar las gráficas para R y para R2 . Escribir el subconjuto del producto cartesiano A × A.
- 43. 5.2. REPRESENTACIÓN MATRICIALDE UNA RELACIÓN. 39 Complemento de una relación. Dada una relación R ⊂ A × B se define el complemento de R considerando a A × B como el universo.Se denota Rc Exercise 188 Calcular el complemento de la relación binaria R sobre A = {0, 1, 2, 3} dada por {(0, 1) , (0, 2) , (1, 0) , (1, 2) , (1, 3) , (2, 0) , (2, 1) , (3, 1) , (3, 3)} . Escribir la relación y su complemento en forma matricial. ¿Qué operación hay que hacer sobre MR para obtener la matriz del complemento? Unión o Suma booleana Dadas dos relaciones R y S de A × B se define la suma booleana R ⊕ S como la unión de los subconjutos del producto cartesiano.i.e. R⊕S =R∪S Exercise 189 Describir como se obtiene la matriz de R⊕S a partir de las matrices de R y S. 5.2.4. Propiedades de las relaciones y estructura de las ma- trices En capítulos anteriores se dieron como ejemplos diferentes tipos de relaciones y a cada una se le dió un nombre de acuerdo a las propiedades que tiene. Por ejemplo una relación binaria es de equivalencia si es: reflexiva, simétrica y transitiva.¿Cómo se traduce cada una de estas propiedades de la relación para la representación matricial? Proposition 190 Dado un conjunto A una relación binaria R sobre A tiene una matriz asociada MR que tiene el mismo número de renglones que de columnas, i.e. MR es cuadrada. Una relación R es reflexiva si aRa ∀a ∈ R Proposition 191 Si R es reflexiva .entonces la matriz asociada a esta relación tiene 1s en la diagonal principal. Dicho de otra manera si MR = (mij ) y R es ´ reflexiva entonces mii = 1. Inversamente si mii = 1 entonces R es reflexiva. Una relación R es simétrica si aRb implica bRa ∀a, b ∈ A. t Proposition 192 La relación R es simétrica si y sólo sí mij = mji , i.e. MR = MR , i.e. MR es simétrica. Una relación R es transitiva si aRb y bRc implica que aRc ∀a, b, c ∈ A. Proposition 193 La relación R es transitiva si y sólo sí la matriz asociada MR es tal que mij = 1 y mjk = 1 implica que mik = 1 ∀i, j, k. 2 Proposition 194 Si MR = MR entonces R es transitiva. Una relación de orden como ≤ en el conjunto de los números enteros es una relación binaria sobre el mismo conjunto pero no es de equivalencia. Esta relación tiene la propiedad de que a ≤ b y b ≤ a implica a = b.A esta propiedad se le llama antisimétrica.
- 44. 40 CAPÍTULO 5. MATEMÁTICAS DISCRETAS Definition 195 Dado un conjunto A y R una relación binaria sobre A se dice que R es antisimétrica si aRb y bRa implica a = b. Definition 196 Sean M = (mij ) y N = (nij ) ambas de orden m × n.Entonces se dice que M ≤ N si mij ≤ nij para i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , m. Con esta definición se van a reescribir las proposiciones anteriores como: Proposition 197 Dado un conjunto A, finito de cardinalidad n, R una relación binaria sobre A y MR la matriz asociada entonces (a) R es reflexiva ⇔ In ≤ MR t (b) R es simétrica ⇔ MR = MR 2 (c) R es transitiva ⇔ MR ≤ MR t (d) R es antisimétrica ⇔ MR ∩ MR ≤ In Transitividad La transitividad es una propiedad de las gráficas dirigidas que es interesante porque al realizar composición de relaciones binarias se obtiene el número de aristas que hay que recorrer entre dos elementos cualesquiera y se obtiene una arista entre el elemento inicial y el último. Una aplicación de este algoritmo se utiliza en la detección de inconsistencia de datos en las bases de datos relacionales. Este error normalmente ocurre cuando un usuario modifica los datos que no están protegidos. La forma matricial de encontrar la cerradura transitiva de una relación R es haciendo composiciones sucesivas (potencias de la matriz MR ) de la misma hasta n n+1 que MR = MR para después tomar la disyunción de las matrices obtenidas. MR∗ = MR ∨ MR2 ∨ · · · Este último paso se entiende mejor si se piensa a la relación R en la representación como subconjunto del producto cartesiano y se ve que MR2 ≤ MR y que la digráfica asociada a MR2 contiene a los caminos con al menos 3 vértices. El algoritmo de Warshall, basado en la representación de digráfica de la relación, simplifica este proceso. Algoritmo de Warshall Recordar la definición de camino o trayectoria en una digráfica: Definition 198 Camino o trayectoria Un camino es una sucesión de vértices y aristas que van de un vértice llamado inicial a un vértice llamado final. Definition 199 Si a, v1 , v2 , . . . , vn , b es un camino en una digráfica R, con a 6= v1 y b 6= vn , n > 2 entonces los vértices v1 , v2 , . . . , vn se llaman vértices interiores de este camino. Definition 200 Dada la relación R se define T la matriz de alcance de R a la matriz tal que tij = 1 si y sólo sí existe un camino de vi a vj . El algoritmo de Warshall consiste en ir construyendo matrices de adyacencia MR = W0 , W1 , . . . , Wn = T. Notation 201 Al elemento en el renglón i y la columna j de la matriz Wk lo denotaremos por Wk [i, j].
- 45. 5.2. REPRESENTACIÓN MATRICIALDE UNA RELACIÓN. 41 Se van a construir las matrices inductivamente: W1 [i, j] = 1 si y sólo sí hay un camino de vi a vj tal que el subconjunto {v1 } es un conjunto de vértices interiores del camino. W2 [i, j] = 1 si y sólo sí hay un camino de vi a vj tal que el subconjunto {v1 , v2 } es un conjunto de vértices interiores del camino. Wk [i, j] = 1 si y sólo sí hay un camino de vi a vj tal que el subconjunto {v1 , . . . , vk } es un conjunto de vértices interiores del camino. Al escribir las matrices se procede como sigue: Paso1: Se toma MR = Wo Paso 2: Para construir W1 se copian los 1s de W0 . ´ Paso3: Se toma la columna 1y se hace una lista de todos los renglones r1 , r2 , . . . , rs en los que la entrada sea 1. Paso 4: Se toma el renglón 1 y se hace una lista de todas las columnas c1 , c2 , . . . , cs en los que la entrada sea 1. Paso 5: Escribir un 1 en la posición ri cj si no aparece en W0 . Paso 6: Se procede a construir W2 a partir de W1 ,ahora tomando la columna 2 y el renglón 2. Se construye Wk a partir de Wk−1 y se toma la columna k y el renglón k. El proceso termina cuando k = orden de la matriz. Example 202 Considerar la relación binaria R con la siguiente matriz asociada 0 1 0 0 1 0 1 0 MR = 0 0 0 1 0 0 0 0 Encontrar su cerradura transiitiva. Solution 203 El primer paso es llamar W0 a MR . Para construir W1 primero se ponen los 1s en donde aparecen en W0 ´ 1 1 1 1 Se toma la primera columna. En el renglon 2 hay un 1. Se toma el primer renglón. En la columna 2 hay un 1.Entonces en el lugar renglón 2 columna 2 se agrega un 1. 1 1 1 1 W1 = 1 Se continua el proceso pero ahora se toma la columna 2. En los renglones 1 y 2 hay un 1.
- 46. 42 CAPÍTULO 5. MATEMÁTICAS DISCRETAS En el renglón 2,en las columnas 1, 2 y 3 hay un 1. Si no existen hay que agregar 1s en los lugares (1, 1), (1, 2) , (1, 3) , (2, 1) , (2, 2) , (2, 3) ´ y esto es W2 1 1 1 1 1 1 W2 = 1 Para construir W3 se toma la columna 3 de W2 . Hay 1s en los renglones 1, 2. ´ En el renglón 3, hay 1s en la columna 4. ´ Para construir W3 hay que agregar 1s en ´ los lugares (1, 4) , (2, 4) . 1 1 1 1 1 1 1 1 W3 = 1 Para construir W4 ,en la columna 4, hay 1s en ´ los renglones 1, 2, 3 y en el renglón 4 no hay 1s. Entonces W3 = W4. P orlo tanto ´ 1 1 1 1 1 1 1 1 T = 0 0 0 1 0 0 0 0 Exercise 204 Construir la cerradura transitiva utilizando el algoritmo de Warshall de la relación binaria R dada por la matriz y dibujar las digráficas asociadas a R y a T. a) 0 1 0 0 1 0 1 0 MR = 1 0 0 1 0 1 0 0 b) 0 1 0 MR = 1 1 0 0 0 1 Exercise 205 Para la relación del inciso (b) del ejercicio anterior construir T como T = I3 ∨ MR ∨ . . . Contar el número de operaciones que se tienen que realizar para obtener el resultado y comparar con los pasos del ejercicio anter
- 47. Capítulo 6 Conteo El problema de conteo es tan antiguo como el inicio del conocimiento humano. Los números se inventaron para contar. Sin embargo, el problema moderno de con- teo va más allá de la escritura y utiliza el conocimiento de la teoría de conjuntos como base para contar elementos de un conjunto de posibilidades que no se pueden enumerar por la cardinalidad tan grande. Es de este tipo de problemas de los que los cursos de álgebra se ocupan en la actualidad. La teoría de probabilidad, la es- tadística.y la computación del siglo XX nos obligan a conocer las nuevas técnicas de conteo abstracto y general. Los libros de Matemáticas discretas que se han escrito para enseñar estas técnicas a los futuros ingenieros y actuarios son una muestra del gran avance que han tenido estas técnicas durante los últimos siglos. Como siempre es en el curso de álgebra donde se explican los métodos generales y proporcionan las habilidades de contar antes de entrar en los problemas de aplicación dentro de la probabilidad y la computación. 6.1. Principios básicos Para precisar los conceptos a los que se van a hacer referencia primero se va a distinguir un fenómeno determinístico de uno probabilístico. Un fenómeno deter- minístico es aquel del que siempre se esta seguro de cual va a ser el resultado. Por ejemplo, si se suelta un objeto a cierta distancia del piso se esta seguro que éste va a estar sujeto a la fuerza de gravedad y va a llegar al piso. El fenómeno probabilístico es aquel que tiene muchas posibilidades de resultados. Por ejemplo, si se compra un billete de lotería no se sabe cual va a ser el número premiado. En resumen se puede decir: Definition 206 Un fenómeno probabilístico o evento es un proceso físico que tiene un número de posibles resultados. Example 207 De una colección de objetos tomar uno para colocarlo en una caja. Example 208 Dado un número n de objetos colocar cierto número en m cajas. Example 209 Asignar oficina a un cierto número de profesores. Example 210 Llenar una boleta de carreras de caballos con un posible resultado para los dos primeros lugares. En este capítulo se abordarán algunas técnicas para contar el número de posibles resultados del fenómeno probabilístico. En los problemas simples de conteo siempre están presentes las operaciones de suma y producto. Se iniciará con problemas simples de suma. 43
- 48. 44 CAPÍTULO 6. CONTEO 6.1.1. Suma y resta para contar Se iniciará por una aplicación simple de la teoría de conjuntos y los diagramas de Venn. Suponer que dado un universo U y dos conjuntos A y B ⊂ U ajenos, es decir A ∩ B = ∅. Se denotará por N (A) a la cardinalidad del conjunto A. La siguiente igualdad es verdadera N (A ∪ B) = N (A) + N (B) Se demuestran, con teoría de conjuntos, los siguientes resultados: Proposition 211 Dado un universo U y dos conjuntos cualesquiera de ese univer- so, A y B entonces los conjuntos A − B, A ∩ B y B − A son ajenos por parejas. Proposition 212 Dado un universo U y dos conjuntos cualesquiera de ese univer- so, A y B entonces A = (A − B) ∪ (A ∩ B) . Proposition 213 Dado un universo U y dos conjuntos cualesquiera de ese univer- so, A y B entonces A ∪ B = (A − B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B − A) A A int B B . A partir de estos tres resultados y del primero enunciado es posible demostrar Theorem 214 Dado un universo U y dos conjuntos cualesquiera de ese universo, A y B entonces N (A ∪ B) = N (A) + N (B) − N (A ∩ B) Proof. Por la segunda proposición A = (A − B) ∪ (A ∩ B) ∅ = (A − B) ∩ (A ∩ B) entonces N (A) = N (A − B) + N (A ∩ B)
- 49. 6.1. PRINCIPIOS BÁSICOS 45 al despejar N (A − B) = N (A) − N (A ∩ B) Análogamente N (B − A) = N (B) − N (A ∩ B) Por la tercera proposición y el resultado inicial N (A ∪ B) = N (A − B) + N (A ∩ B) + N (B − A) Al sustituir las últimas igualdades N (A ∪ B) = N (A) − N (A ∩ B) + N (A ∩ B) + N (B) − N (A ∩ B) N (A ∪ B) = N (A) + N (B) − N (A ∩ B) Exercise 215 Demostrar las tres proposiciones de teoría de conjuntos. Exercise 216 ¿Cuántos conjuntos ajenos hay en un universo cuando se trata de tres conjuntos que no son ajenos entre sí? Exercise 217 Esribir el resultado para tres conjuntos. Es decir calcular N (A ∪ B ∪ C) . Exercise 218 ¿Cuántos conjuntos ajenos se establecen en un universo cuando hay cuatro conjuntos que no son ajenos entre sí? ¿Cuántos cuando hay n conjuntos no ajenos entre sí? Example 219 Un representante del personal académico de una Universidad se va a escoger de entre los profesores que pertenecen al departamento de Filosofía que son 40 y los que pertenecen al departamento de Física que son 35. Solution 220 El primer evento es elegir del conjunto A, que es el conjunto de personas que pertenecen al departamento de Filosofía y el segundo evento es elegir del conjunto B, que es el conjunto de los que pertenecen al departamento de Física. Entonces N (A) = 40 y N (B) = 35, como A ∩ B = ∅ por lo tanto N (A ∪ B) = N (A) + N (B) = 40 + 35 = 75. Example 221 En un grupo de 50 estudiantes de computación se tiene que 25 están estudiando C++, 30 estudian Visual Basic y 10 estudian ambos.¿Cuántos estudian un lenguaje de computación? Solution 222 En primer lugar se identifican los conjuntos. Sea U el universo el conjunto de los 50 estudiantes de computación. El conjunto A los que estudian C++ y el conjunto B los que estudian Visual Basic. La pregunta es ¿cuál es la cardinalidad de A ∪ B? El otro dato es que N (A ∩ B) = 10. Una forma directa de resolver el problema con diagramas de Venn es escribir en la intersección 10, en el conjunto A hay 25 entonces en A − B hay 15. Análogamente, en el conjunto B hay 30 entonces en B − A hay 20. Al sumar los tres números la respuesta es 45. Todavía se puede agregar que 5 no estudian lenguaje alguno. La forma algebraica es aplicar la fórmula N (A ∪ B) = N (A) + N (B) − N (A ∩ B) N (A ∪ B) = 25 + 30 − 10 = 45 Example 223 En una encuesta a 120 pasajeros de una aerolínea se obtuvieron las siguientes respuestas.A 48 les gusta el vino con sus alimentos, a 78 les gustan bebidas preparadas y a 66 té helado. Además a 36 les gustan cualesquiera dos de las bebidas y a 24 cualquiera de las tres.¿A cuántos pasajeros solamente les gusta el té? ¿A cuántos pasajeros les gustan exactamente dos de las tres bebidas?
- 50. 46 CAPÍTULO 6. CONTEO Solution 224 Se define como A al conjunto de pasajeros que les gusta el vino, B al conjunto de pasajeros que les gutan las bebidas preparadas y C al que les gusta el té helado. Primero con diagramas de VennN (A) = 48, N (B) = 78 y N (C) = 66. Se inicia en A ∩ B ∩ C. Allí hay 24 personas. Hay tres partes que corrsponden a exactamente dos de las preferencias y hay 36 personas entre todas, por lo tanto hay 12 personas en cada una. Si se suman las personas que están en A se deduce que cualquiera que bebe vino también le gustan las bebidas preparadas o el té helado. Solamente hay 30 personas a las que solamente les gustan las bebidas preparadas y 66 − 48 = 18 a las que solamente les gusta el té helado. Al hacer la suma de todos los conjuntos ajenos resulta 24 + 3 (12) + 18 + 30 = 108. Como en total eran 120 pasajeros hay 12 que no pertenecen a estos conjuntos. Se obtuvo la información completa de como están distribuidos los pasajeros. La pregunta es ¿A cuántos les gusta el té helado solamente? La respuesta es 30. y a la pregunta ¿A cuántos les gustan exactamente dos bebidas? es 36 = 3 (12) . La respuesta algebraica N (A ∪ B ∪ C) = N (A) + N (B) + N (C) − [N (A ∩ B) + N (A ∩ C) + N (B ∩ C)] + N (A ∩ B ∩ C) 108 = 48 + 78 + 66 − 3(36) + 24 Además la respuesta a ¿cuántos les gusta el té helado? es N (C − (A ∪ B)) Remark 225 Observar que estos problemas son de tres tipos diferentes. El primero que se abordó es un proceso dinámico de algo que se va a realizar a futuro, el segundo es un evento presente y el tercero es descripción de algo pasado. En los tres casos se aplica la suma y resta para contar. En los tres casos el evento se puede representar por conjuntos ajenos. Summary 226 Si el evento se puede describir por conjuntos ajenos ya sea que ocurrieron en el pasado, que sea la situación actual o que van a ocurrir en el futuro,
- 51. 6.2. PRINCIPIO DEINCLUSIÓN Y EXCLUSIÓN PARA DOS Y TRES CONJUNTOS47 pero todo en una sola etapa entonces el número de posibilidades se calcula como la suma de las cardinalidades de los conjuntos ajenos. En los siguientes ejercicios primero identificar los conjuntos ajenos para aplicar la regla de la suma. Exercise 227 Un estudiante tiene dinero para comprar solamente un libro de texto en una librería. Las dos materias de las que encuentra textos son computación y álgebra. Encuentra 40 títulos de álgebra y 50 de computación. ¿De cuántas maneras puede elegir el texto? Exercise 228 Un profesor le va a prestar un libro a un alumno para que aprenda a programar. El profesor tiene el mismo número de libros de C++, de Visual Basic, Maple y MathLab, 5 de cada uno. Solamente le va a prestar un libro. ¿De cuántas formas lo puede hacer? Exercise 229 Un distribuidor de computadoras tiene 100 PC´s en el almacén. De esas 25 son Pentium II, 40 tienen CD, 10 tienen monitor de 25 pulgadas y CD, 55 tienen monitor de 35 pulgadas, 15 tienen Pentium II y CD y 5 tienen Pentium II con monitor de 35 pulgadas sin CD. ¿Cuántas son Pentium II que tienen CD y monitor de 25 pulgadas?¿Cuántas tiene CD, tienen monitor de 35 pulgadas y no son Pentium II?¿Cuántas tienen CD o monitor de 25 pulgadas y no son Pentium II? Exercise 230 En una universidad hay 512 estudiantes de computación y todos tiene computadora. De éstos 281 tienen además impresora, 167 tienen internet, 98 tienen CD y 75 tienen impresora y CD.¿ Cuántos de los estudiantes tienen internet y no tienen impresora ni CD? Exercise 231 Una compuerta lógica AND de un chip tiene tres conectores: dos entradas(inputs) y una salida (output). Estos conectores pueden tener tres fallas posibles: F1: la primera entrada se traba en 0. F2:la segunda entrada se traba en 0. F3: la salida se traba en 1. Para una muestra de 100 de estas compuertas sean los conjuntos A, B y C los subconjuntos con la falla F1,F2 y F3 respectivamente. Hay 23 con la falla F1, 26 con F2 y 30 con F3. Hay 7 que tienen las fallas F1 y F2, 8 con las fallas F1 y F3 y 10 con las fallas F2 y F3. Ademas hay 3 que tienen las tres fallas.¿Cuántas de las compuertas tienen algún defecto? Exercise 232 El administrador de una universidad reporta que hay 1500 profe- sores. De éstos 1260 son hombres, 1080 ganan más de $300, 000 al año, 780 tienen más de 35 años, 560 son hombres mayores de 35 años, 710 tienen más de 35 años y ganan más de $300, 000 al año, 600 son hombre que ganan más de $300, 000 al año. ¿Son correctas estas cantidades? Si la respuesta es no justificar. Si la respuesta es si ¿cuántas mújeres ganan más de $300, 000 al año y tienen menos de 35 años? 6.2. Principio de inclusión y exclusión para dos y tres conjuntos Complemento de un conjunto Dado un conjunto universal U con cardinalidad N (U ) y unconjunto A ⊂ U se tiene la relación N (A) + N (Ac ) = N (U )
- 52. 48 CAPÍTULO 6. CONTEO Este hecho se utilizó para resolver algunos de los ejercicios anteriores. El empleo de este resultado combinado con las leyes de DeMorgan permite resolver algunos problemas más. Las leyes de DeMorgan para conjuntos se enuncian c (A ∪ B) = Ac ∩ B c c (A ∩ B) = Ac ∪ B c entonces al aplicar el resultado a la cardinalidad N (Ac ∩ B c ) = N ((A ∪ B)c ) que al aplicar la igualdad del complemento N ((A ∪ B)c ) = N (U ) − N (A ∪ B) que finalmente es N (Ac ∩ B c ) = N (U ) − N (A ∪ B) Además N (A ∪ B) = N (A) + N (B) − N (A ∩ B) al sustituir se obtiene N (Ac ∩ B c ) = N (U ) − [N (A) + N (B) − N (A ∩ B)] N (Ac ∩ B c ) = N (U ) − [N (A) + N (B)] + N (A ∩ B) Al aplicar las mismas fórmulas a tres conjuntos primero se obtiene N (A ∪ B ∪ C) = [N (A) + N (B) + N (C)] − [N (A ∩ B) + N (A ∩ C) + N (B ∩ C)] + N (A ∩ B ∩ C) por lo tanto al aplicar la ley de DeMorgan para el complemento de la unión . N (Ac ∩ B c ∩ C c ) = N (U ) − [N (A) + N (B) + N (C)] + [N (A ∩ B) + N (A ∩ C) + N (B ∩ C)] − N (A ∩ B ∩ C) Example 233 Número de enteros que no son divididos por ciertos primos. Calcular el número de enteros entre 1 y 100 que no sean divisibles por 2, 3 y 5. Solution 234 Entonces A1 es el conjunto de los enteros entre 1 y 100 que son divisibles por 2, A2 es el conjunto de los que son divisibles por 3 y A3 los que son divisibles por 5. Para resolver el problema es necesario calcular N (Ac ∩ Ac ∩ Ac ) 1 2 3 Al aplicar la fórmula del principio de inclusión exclusión N (Ac ∩ Ac ∩ Ac ) = N (U ) − [N (A1 ) + N (A2 ) + N (A3 )] 1 2 3 + [N (A1 ∩ A2 ) + N (A1 ∩ A3 ) + N (A2 ∩ A3 )] −N (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) Como N (U ) = 100 y 100 N (A1 ) = = 50 ¹ 2º 100 N (A2 ) = = 33 3 100 N (A3 ) = = 20 5
- 53. 6.2. PRINCIPIO DEINCLUSIÓN Y EXCLUSIÓN PARA DOS Y TRES CONJUNTOS49 además ¹ º 100 N (A1 ∩ A2 ) = = 16 6 100 N (A1 ∩ A3 ) = = 10 ¹ 10 º 100 N (A2 ∩ A3 ) = =6 15 y ¹ º 100 N (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = =3 30 Por lo tanto N (Ac ∩ Ac ∩ Ac ) = 100 − [50 + 33 + 20] + [10 + 16 + 6] − 3 = 26 1 2 3 son los enteros entre 1 y 100 que no son divisibles por 2, 3 y 5. Exercise 235 Determinar el número de números enteros positivos n, 1 ≤ n ≤ 3000 que no son divisibles por 3, 5 y 7. Exercise 236 Una persona va a comprar un automóvil de entre 15 que hay en la tienda. Le dan la siguiente información (a) Hay 6 que tienen aire acondicionado. (b) Hay 6 que tienen quemacocos. (c) Hay 6 que tienen CD con tocador de cinco discos. (d) Hay 1 que tiene aire acondicionado y quemacocos. (e) Hay 1 que tiene quemacocos y tocador CD de 5 discos. (f ) Hay 2 que tienen aire acondicionado y tocador de 5 discos. (g) No hay uno que tenga las tres cosas. ¿Cuántos tienen exactamente una de las tres cosas? ¿Cuántos no tienen ninguna de las tres cosas? 6.2.1. Producto y división para contar Cuando el evento se puede dividir en al menos dos tiempos diferentes entonces se utiliza el producto. Por ejemplo Example 237 Se van a colocar en dos cajas 10 pelotas diferentes. El primer tiempo es colocar una pelota en la primera caja. Esto se puede hacer de 10 formas diferentes. El segundo tiempo es colocar otra pelota en la segunda caja. Como ya nada más nos quedan 9 pelotas entonces hay 9 posibilidades. En total hay 10 × 9 = 90 posibilidades de colocar las pelotas en dos cajas. Example 238 Para una obra de teatro hay 6 hombres y 8 mujeres que aspiran al papel principal de una pareja.¿De cuántas formas se puede elegir a la pareja principal? La solución es 6 × 8 = 48. La elección de la pareja se hace en dos tiempos diferentes. Primero se elige al hombre y después a la mujer. Example 239 Dado un producto de dos factores (x − 1) (x + 3) ¿cuántas formas posibles hay para los signos de los factores? Para el primer factor hay dos posibil- idades, positivo y negativo y similarmente para el segundo factor. En total hay 4 formas posibles para los signos de estos dos factores.
- 54. 50 CAPÍTULO 6. CONTEO Example 240 Ahora para el producto de tres factores diferentes hay 8 posibilidades para los signos. Si nada mas interesa saber cuando el producto es negativo se divide por 2 y quedan 4 posibilidades. Exercise 241 Una fábrica de automóviles produce 4 marcas diferentes, en 12 col- ores, con 3 tamaños de motor y 2 tipos diferentes de transmisión. ¿Cuántos difer- entes tipos de automóvil se pueden producir? Exercise 242 Del menú del día de un restaurante se puede escoger una sopa de entre 3 posibles, un plato intermedio de 4 posibles, un plato fuerte de entre 5 posibles y un postre de entre 3 posibles. ¿ Cuántas combinaciones de platillos hay en el menú del restaurante? Exercise 243 En una taqueria se pueden pedir los tacos al pastor con o sin cebolla, con o sin cilantro, con o sin piña y con o sin salsa. ¿De cuántas formas se pueden ordenar los tacos? Exercise 244 ¿Cuántos casos posibles hay que considerar para resolver la desigual- (x + 5) (x − 3) (x − 6) dad ≥ 0? (x + 2) (x − 8) Exercise 245 Para ir de la Ciudad de México a Guadalajara se pasa por Irapu- ato. Para ir de México a Irapuato hay 2 caminos posibles, para ir de Irapuato a Guadalajara hay 6 alternativas. ¿De cuántas maneras se puede viajar de la Ciudad de México a Guadalajara? Exercise 246 En el ejercicio anterior hay además dos rutas directas que no pasan por Irapuato. ¿De cuántas maneras se puede ir de la Ciudad de México a Guadala- jara considerando estas nuevas rutas? Ordenaciones o permutaciones de n elementos Dados n objetos diferentes ¿De cuántas formas se pueden ordenar? A cada una de las formas como se ordenan los n elementos se le llama permutación porque se obtiene de la anterior permutando algunos elementos. El nombre de ordenación viene de que cada posibilidad tiene un orden diferente. Si son n elementos entonces el primer lugar se puede llenar de n formas diferentes, el segundo de n − 1 formas diferentes, así sucesivamente hasta el n -ésimo lugar de 1 forma. El resultado nos da n (n − 1) . . . 2 (1) Definition 247 Para simplificar a este producto n (n − 1) . . . 2 (1) se le llama n factorial y se denota por n!.P or conveniencia se define 0! = 1. Exercise 248 Haz una lista completa de las permutaciones de 3 símbolos difer- entes. Exercise 249 ¿Cuántas permutaciones de 8 símbolos diferentes hay? Ordenaciones de n elementos en grupos de r Este problema se puede plantear de dos formas: Case 250 (1) Hay n símbolos diferentes y se van a llenar r lugares. ¿De cuántas formas es posible llenar los r lugares?
- 55. 6.2. PRINCIPIO DEINCLUSIÓN Y EXCLUSIÓN PARA DOS Y TRES CONJUNTOS51 Solution 251 El primer lugar se puede llenar de n formas diferentes, el segundo se puede llenar de n − 1 formas diferentes, hasta el r-ésimo lugar se puede llenar de n − (r − 1) formas diferentes entonces en total hay n (n − 1) . . . (n − r + 1) formas diferentes de llenar los r lugares. Algebraicamente el producto es igual a n! n (n − 1) . . . (n − r + 1) = (n − r)! Notation 252 Como cada uno de los resultados posibles tiene un orden diferente entonces al número de resultados posibles se les llama ordenaciones de n elementos tomados en grupos de r y se denota por r On = O (n, r) Algunos autores le llaman a cada una de las posibilidades de un grupo de los r objetos una permutación y lo denotan por P (n, r). Case 253 (2) Otra forma de ver el mismo problema es considerar que hay n lugares en donde se van a colocar r simbolos diferentes. Solution 254 El primer símbolo se puede colocar en n lugares, una vez colocado el primer símbolo quedan (n − 1) lugares donde se puede colocar el segundo símbolo, así sucesivamente hasta cuando se va a colocar el símbolo r -ésimo hay [n − (r − 1)] lugares posibles donde es posible colocarlo- Es decir hay n (n − 1) . . . (n − r + 1) formas diferentes de colocar r símbolos en los n lugares. Exercise 255 Se van a escoger 5 personas de un grupo de30 para ocupar los cargos de la mesa directiva de la Sociedad de Alumnos. En el orden en que se elijan van a ocupar los diferentes cargos.¿De cuántas formas se pueden escoger? Exercise 256 ¿De cuántas formas se pueden ordenar las letras de la palabra mur- ciélago? Combinaciones de n elementos en grupos de r Una forma de ver las combinaciones es cuando se van a escoger n elementos en grupos de r pero el orden no es importante entonces se habla de combinaciones de n objetos tomados de r en r. Por ejemplo de un grupo de 36 alumnos se van a elegir 5 para explicar un problema. El primer lugar se puede ocupar de 36 formas diferentes, el segundo de 35, asi sucesivamente, el quinto lugar se puede ocupar de 32 formas. Pero como no importa si la persona A fue escogida en el primer lugar o en el último entonces hay que dividir por el número de permutaciones de 5 elementos, 36 35 34 33 32 5! que algebraicamente es igual a 36! (36 − 5)!5! que se denota por µ ¶ 36 5 En general µ ¶ n n! = r (n − r)!r!
- 56. 52 CAPÍTULO 6. CONTEO Otra forma de ver el problema es suponer que se tienen n lugares y se van a llenar con dos objetos diferentes. Del primer objeto se van a tomar r objetos y del segundo (n − r) . Como son n lugares hay n! posibles posiciones, además como r y (n − r) son iguales hay que dividir por r! (n − r)!. µ ¶ n n! = r (n − r)!r! n Si se recuerda este es el coeficiente del sumando r del binomio de Newton (a + b) porque cada término va a tener n factores con n − r del símbolo a y r factores que son el símbolo b. µ ¶ µ ¶ n n n−1 n (a + b) = an + a b + ... + abn−1 + bn 1 n−1 Exercise 257 Un estudiante presenta un examen con 10 preguntas pero el profesor le indica que solamente escoja 7 de las 10. ¿De cuántas maneras puede escoger las preguntas? Exercise 258 De los primeros dos años de secundaria se va a formar un equipo de volibol con 9 participantes. En primero de secundaria hay 28 personas y en segundo 25. ¿De cuántas maneras diferentes se puede integrar el equipo? Exercise 259 Un mazo de barajas consta de 52 cartas, 13 cartas desde el as hasta el rey, en cuatro palos diferentes: tréboles ♣, corazones rojos ♥, espadas o corazones negros ♠ y rombos ¨. Cada carta del mazo es diferente. El problema es ¿de cuántas formas se pueden elegir tres cartas del mazo de tal forma que no importe el orden? Exercise 260 Una persona va a invitar a 11 personas de un grupo de 20. ¿De cuántas maneras diferentes puede hacer los grupos para invitar a las 11 personas? Exercise 261 ¿Cuántos subconjuntos de 4 elementos se pueden formar a partir de un conjunto con 12 elementos? Exercise 262 De un mazo de 52 cartas ¿de cuántas formas se pueden elegir 5 cartas de tal forma que no haya cartas de corazones rojos ♥? (Recordar que hay 13 cartas del mismo palo). Exercise 263 ¿Cuántos términos hay en el binomio de Newton (a+b)10 que tengan a4 b6 ? Ordenaciones con repetición Con reemplazo Suponer que se tienen que escribir todas las cadenas de 10 letras tomando las letras del alfabeto con 26 símbolos diferentes. Aquí se va a suponer que el número de veces que se puede escoger cada letra es ilimitado, otra forma de verlo es pensar que el símbolo que se va utilizando se reemplaza para la siguiente elección. Como hay 10 lugares cada lugar se puede llenar de 26 formas diferentes entonces hay 2610 formas diferentes para escribir cadenas de 10 letras. En general si se quieren llenar r lugares con n símbolos diferentes donde el número de cada símbolo es ilimitado entonces el número de posibilidades es nr Example 264 Un byte es un conjunto de ocho posiciones en donde cada posición o recibe un pulso eléctrico 1 o no lo recibe 0.¿ Cuántos bytes diferentes se pueden formar?
- 57. 6.2. PRINCIPIO DEINCLUSIÓN Y EXCLUSIÓN PARA DOS Y TRES CONJUNTOS53 Solution 265 Este problema se puede abordar considerando 8 lugares en donde en cada lugar se puede llenar con un 0 o un 1. Entonces la respuesta es 28 = 256. Exercise 266 ¿Cuántas ordenaciones de 3 lugares se pueden hacer con las 5 vo- cales? Exercise 267 En la clave Morse que se utilizaba para el telégrafo solamente se podían transmitir dos tipos de señal: un pulso corto que se interpretaba como punto y un pulso largo que se interpretaba como raya. ¿Cuántas letras diferentes de 3 pulsos se pueden formar? ¿Cuántos pulsos mínimo se necesitan para tener una secuencia diferente para cada una de las 26 letras del alfabeto? Exercise 268 ¿Cuántas funciones hay entre los conjuntos A = {a1 , a2 , . . . , am } y B = {b1 , b2 , . . . , bn }? Sin reemplazo Suponer ahora que el número de símbolos es limitado, es decir los símbolos no se van reemplazando. Por ejemplo que solamente se pueden utilizar las letras de la palabra ladrillo. ¿De cuántas formas se pueden ordenar las letras de esta palabra? Esta palabra tiene 8 lugares. Si todas las letras fueran diferentes habría 8! maneras de ordenarlas. Como hay 3 eles entonces hay que dividir 8! por 3!. Hay 8! = 6720 3! formas de ordenar las letras de la palabra ladrillo. Cuando hay que llenar n lugares con s símbolos diferentes repetidos n1 , n2 , . . . , ns veces entonces hay n! permutaciones que hay que dividir por el producto n1 ! × n2 ! × . . . × ns ! entonces n! n1 ! × n2 ! × . . . × ns ! Example 269 Un maestro de educación física tiene que elegir 4 equipos de 9 ju- gadores cada uno de un grupo de 36 alumnos. ¿De cuántas formas se pueden elegir los cuatro equipos? Solution 270 Este problema se puede imaginar que a cada persona del grupo se le va a asignar un símbolo del 1 al 4. Cada uno de los 4 símbolos se repite 9 veces. Hay 36 lugares por lo tanto hay 36! 9!9!9!9! formas diferentes de hacer los equipos. Este problema también se puede pensar como una aplicación del producto de com- binaciones. En la siguiente sección se abordará de esa manera. Exercise 271 ¿Cuál es el coeficiente de x2 y 3 z 4 en el desarrollo (x + y + z)9 ? ¿Có- n mo es en general el coeficiente de un sumando de (x1 + x2 + . . . + xs ) ? Exercise 272 En un grupo de 25 alumnos se van a hacer 5 equipos de 5 personas para un laboratorio. ¿De cuántas formas se pueden hacer los equipos? Exercise 273 ¿Cuántas ordenaciones hay de las letras de la palabra Parangaricu- tirimícuaro?
- 58. 54 CAPÍTULO 6. CONTEO Combinaciones con repetición o Distribuciones Suponer que se van a colocar n + 1 unos y r ceros en línea con la condición de que debe haber 1 uno en cada uno de los extremos de la línea. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar los restantes unos y ceros? En primer lugar hay (n + 1) + r − 2 lugares posibles porque dos de los lugares quedan fijos con un 1. Si los objetos fueran diferentes habría ((n + 1) + r − 2)! = (n + r − 1)! ordenaciones. Como de esos hay n − 1 unos iguales y r ceros iguales entonces hay (n + r − 1)! (n − 1)!r! posibles formas de ordenar (n + 1) unos y r ceros. Otra forma de abordar el problema es contar el número de formas que se pueden escoger de cuatro símbolos A, B, C, D, tres de ellos, sin importas el orden. Por ejemplo, es lo mismo la terna A; A; B que la terna A; B; A que B; A; A. Una forma sería enumerar todas las posibilidades. A, A, A A, A, B A, A, C A, A, D aparece AA A, B, B A, B, C A, B, D aparece AB A, C, C A, C, D A, D, D aparece AC o AD B, B, B B, B, C B, B, D aparece BB B, C, C B, C, D B, D, D aparece BC C, C, C C, C, D C, D, D aparece CC o CD D, D, D aparece DD por lo tanto hay 20 combinaciones con repetición de cuatro elementos tomados de tres en tres. Otra forma de contar las combinaciones con repetición de 4 objetos tomados en grupos de 3 es imaginar a los cuatro objetos como categorías separadas con algún marcador, por ejemplo el marcador | . Por ejemplo, la distribución categoría 1 categoría 2 categoría 3 categoría 4 | xx | | x 2 de categoría 2 y 1 cat 4 En este caso hay un máximo de 4 categorías y 3 marcadores. Como solamente se van a tomar tres objetos de las cuatro categorías entonces se van a llenar 6 lugares con dos objetos diferentes, un elemento de la categoría o un marcador, es decir µ ¶ µ ¶ 6×5×4 6 4+3−1 = = = 20 3! 3 3 Definition 274 Una combinación con repetición de un conjunto X = {x1 , . . . , xn }de n elementos diferentes tomados de r en r es una selección {xi1 , . . . , xir } de r ele- mentos, sin importar el orden, tal que cada xij se puede repetir r veces y xij ∈ X. El número de combinaciones con repetición de n elementos tomados en grupos de r es µ ¶ n+r−1 (n + r − 1)! (n + r − 1)! = = r [(n + r − 1) − r]!r! (n − 1)!r! µ ¶ (n + r − 1)! n+r−1 = = (n − 1)! [(n + r − 1) − (n − 1)]! n−1 Example 275 A un lugar donde venden hamburguesas, hot dogs y pizzas llegan siete personas.¿De cuántas formas diferentes pueden ordenar?
- 59. 6.2. PRINCIPIO DEINCLUSIÓN Y EXCLUSIÓN PARA DOS Y TRES CONJUNTOS55 Solution 276 Hay tres categorías diferentes para llenar 7 lugares. Entonces hay 3 + 7 − 1 lugares que se van a llenar en grupos de r = 7 y n = 2 elementos iguales, µ ¶ 3+7−1 9! = 7 7!2! Example 277 Una persona va a tener 20 invitados y les va a ofrecer 4 bebidas diferentes. ¿De cuántas formas pueden distribuirse las bebidas? Solution 278 En este caso hay n = 4 categorías que se van a distribuir en grupos de r = 20 entonces hay µ ¶ 4 + 20 − 1 23! 23 × 22 × 21 = = = 1771 20 20!3! 3×2 Example 279 ¿Cuántas soluciones enteras no negativas tiene la ecuación x1 + x2 + x3 + x4 = 25? Solution 280 En este problema se puede pensar que cada variable xi es una cate- goría entonces n = 4 y se van distribuir en grupos de r = 25. Entonces hay µ ¶ 4 + 25 − 1 28 × 27 × 26 = = 3276 25 3×2 soluciones. Example 281 ¿Cuántas soluciones enteras no negativas tiene la ecuación x1 + x2 + x3 + x4 = 25 con la restricción de que xi ≥ 2? Solution 282 En cada categoría van dos objetos al menos, entonces nos restan r = 25 − 8 = 17 objetos que distribuir en n = 4 categorías. Entonces hay µ ¶ 4 + 17 − 1 20 × 19 × 18 = = 540 17 2×3 soluciones enteras mayores o iguales a 2. Example 283 ¿Cuántás soluciones enteras no negativas hay para la desigualdad x1 + x2 + . . . + x6 < 10? Solution 284 Para abordar el problema considerar una variable extra x7 > 0 y tranformar el problema a resolver x1 + x2 + . . . + x6 + x7 = 10 con xi ≥ 0 para 1 ≤ i ≤ 6, x7 > 0. Este último problema es equivalente a encontrar el número de soluciones enteras no negativas de y1 + y2 + . . . + y6 + y7 = 9 ¡7+9−1¢ con yi ≥ 0 al hacer xi = yi ,para 1 ≤ i ≤ 6, y y7 = x7 − 1. La solución es 9 = 5005. Exercise 285 ¿De cuántas formas se pueden distribuir 10 canicas idénticas en 6 cajas diferentes? Exercise 286 ¿De cuántas formas se pueden distribuir 10 monedas idénticas entre 5 niños? Exercise 287 ¿De cuántas formas se pueden distribuir 10 monedas idénticas entre 5 niños si cada niño obtriene al menos una moneda?
- 60. 56 CAPÍTULO 6. CONTEO Exercise 288 ¿De cuántas formas se pueden distribuir 10 monedas idénticas entre 5 niños si el mayor obtiene al menos dos monedas? Exercise 289 ¿De cuántas formas se pueden distribuir 15 monedas idénticas entre 5 niños si al más pequeño solamente le tocarán una o dos? Exercise 290 ¿De cuántas formas se pueden seleccionar 20 monedas de cuatro contenedores que tienen monedas con monedas de $1, $2, $5 $10? Cada contenedor tiene monedas de la misma clase. Exercise 291 Calcular el número de soluciones enteras de x1 + x2 + x3 + x4 = 32 donde a) xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ 4 b) xi > 0, 1 ≤ i ≤ 4 c) x1 , x2 ≥ 5, x3 , x4 ≥ 7 d) xi ≥ −2, 1 ≤ i≤4 Exercise 292 Calcular el número de soluciones enteras no negativas de x1 + x2 + x3 + x4 + x5 < 40 donde a) xi ≥ 0,para 1 ≤ i ≤ 5, b) xi ≥ −3,para 1 ≤ i ≤ 5. Exercise 293 ¿Cuántos términos diferentes, de la forma an1 bn2 hay en el desar- rollo de (a + b)n considerando que dos términos diferentes corresponden a una de- scomposición de n en dos sumandos, n1 + n2 = n con 0 ≤ ni ≤ n, i = 1, 2? Exercise 294 ¿Cuantos términos diferentes hay en el desarrollo de (a + b + c)10 ? 6.2.2. Integración de los principios de suma y producto Es claro que hay problemas que requieren del uso de una mezcla de los principios de suma y producto. En esta sección se van a resolver ejemplos con esta mezcla de principios. Example 295 Dado un conjunto de n elementos ¿cuántos subconjuntos se pueden formar? ¡ ¢ Solution 296 El número de subconjuntos ¡ ¢ 1 elemento se calcula como n , el con 1 número de subconjuntos de 2 elementos es n , , el número de¡subconjuntos de k ¡ ¢ 2 ¢ elementos es n . El número de subconjuntos de 0 elementos es n . Entonces hay k 0 X µn¶ n = (1 + 1)n = 2n i=0 i Example 297 Un estudiante en un examen tiene que responder 7 de las 10 pre- guntas, pero deben ser al menos 3 de las primeras 5. Solution 298 Hay tres casos a considerar. 1) El primer caso es que el estudiante responda exactamente 3 preguntas de las primeras 5 y 4 de las restantes 5. En este caso hay µ ¶µ ¶ 5 5 5×4 5 = × = 50 3 4 2 1 formas posibles de contestar el examen. 2) El segundo caso es que responda 4 preguntas de las primeras 5 y 3 de las restantes. µ ¶µ ¶ 5 5 = 50 4 3
- 61. 6.2. PRINCIPIO DEINCLUSIÓN Y EXCLUSIÓN PARA DOS Y TRES CONJUNTOS57 3) Finalmente, la última posibilidad es que responda las primeras 5 preguntas y escoja 2 de las 5 restantes µ ¶µ ¶ 5 5 5×4×3 = = 10 5 2 2×3 El número total de posibilidades es la suma de los tres casos 50 + 50 + 10 = 110 Example 299 ¿De cuántas formas se pueden elegir 5 cartas de un mazo de 52 de tal forma que haya al menos un corazón rojo ♥? Solution 300 Hay dos formas de resolver este problema. La primera es contando las formas que hay para elegir 1 corazón rojo, más las formas que hay para elegir 2 corazones rojos, más · · · , sumar hasta las formas de elegir que las 5 cartas sean corazón rojo. Las cartas que quedan quitando los 13 corazones rojos son 39. Entonces µ ¶µ ¶ µ ¶µ ¶ µ ¶µ ¶ µ ¶µ ¶ µ ¶µ ¶ 13 39 13 39 13 39 13 39 13 39 + + + + 1 4 2 3 3 2 4 1 5 0 son todas las formas posibles de elegir al menos una que sea un corazón rojo, da un total de 2, 023, 203 posibilidades. La otra forma de resolver el problema es al total de posibilidades de elegir 5 cartas del mazo de 52 restarle el número de posibilidades de que no contenga un corazón rojo. µ ¶ µ ¶ 52 39 − = 2, 023, 203 5 5 Example 301 Determinar el número de formas como se puede descomponer un número entero positivo n como suma de enteros en donde el orden es importante. Por ejemplo el número 3 se puede escribir como: 3, 1 + 2, 2 + 1, 1 + 1 + 1.Hay 4 formas como se puede descomponer un número. Para contar sin enumerar todas las posibilidades empecemos con n = 6. Solution 302 El primer caso es con un sumando 6 y para ese nada mas hay una forma de descomponerlo. Para dos sumandos n1 + n2 = 6 con n1 , n2 > 0 . Al reescribir esta condición con las variables x1 , x2 de tal forma que n1 = x1 + 1, n2 = x2 + 1 entonces n1 + n2 = x1 + 1 + x2 + 1 = 6 x1 + x2 = 6 − 2 = 4 x1 + x2 = 4, x1 , x2 ≥ 0 Hay µ ¶ µ ¶ 2+4−1 5 = 4 4 formas de descomponer 6 en dos sumandos. Para tres sumandos µ ¶ µ ¶ 3+3−1 5 = 3 3 Para cuatro sumandos µ ¶ µ ¶ 4+2−1 5 = 2 2
- 62. 58 CAPÍTULO 6. CONTEO Para cinco sumandos µ ¶ µ ¶ 5+1−1 5 = 1 1 Para 6 sumandos solamente hay una forma. Al sumar µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ 5 5 5 5 1+ + + + + 1 = 25 4 3 2 1 es el número de formas como se puede descomponer en sumandos el 6. En general el número n se puede descomponer en 2n−1 formas como suma de enteros positivos. Exercise 303 De un examen de 12 preguntas un estudiante debe elegir 8 preguntas al menos 5 de las primeras 7 preguntas ¿de cuántas formas puede hacerlo? Exercise 304 Para un juego de canasta se juntan dos mazos de 52 cartas y se agregan dos cartas llamadas jokers (juglares). A cada jugador se le dan 13 cartas. ¿De cuántas formas se le pueden dar a un jugador las cartas de tal forma que contenga al menos 5 tréboles ♣? Exercise 305 En computación se define una cadena c como una sucesión de sím- bolos tomados de un conjunto S de símbolos diferentes. La longitud de una cadena es el número de elementos de la sucesión. ¿Cuántas cadenas de longitud 5 se pueden formar con 3 símbolos diferentes? 6.2.3. Miscelánea de problemas Exercise 306 ¿Cuántas ordenaciones diferentes de las letras de la palabra resolver hay? Exercise 307 ¿De cuántas formas se pueden sentar 6 personas en una mesa cir- cular? Exercise 308 Diana tiene que elegir 5 revistas de 12 que tiene.¿De cuántas formas puede hacerlo? Exercise 309 Un comité de 8 personas será elegido entre 15 hombres y 15 mujeres. ¿De cuántas formas se puede hacer la elección? Exercise 310 En el comité del problema anterior debe haber 4 hombres y 4 mujeres. Exercise 311 En el comité del problema 4 debe haber un número par de mujeres. Exercise 312 En el comité del problema 4 debe haber al menos dos hombres. Exercise 313 Al ordenar la comida en la cafetería se pueden ordenar dos de tres sopas y tres de ocho verduras.¿De cuántas formas puede ordenar una persona su comida? Exercise 314 Una persona llega a una fiesta y encuentra que hay 20 personas. Si la persona que llega saluda a todos de mano ¿a cuántas personas saluda de mano? Exercise 315 ¿De cuántas formas se pueden repartir 10 bolas idénticas en cuatro recipientes diferentes de modo que a) ningún rescipiente quede vacío? b) en el cuarto recipiente haya un número par de bolas?
- 63. 6.2. PRINCIPIO DEINCLUSIÓN Y EXCLUSIÓN PARA DOS Y TRES CONJUNTOS59 Exercise 316 ¿De cuántas formas es posible recorrer el plano del punto (1, 1) al (8, 9) si cada movimiento es de cualquiera de los siguientes dos tipos h : (x, y) → (x + 1, y) v : (x, y) → (x, y + 1)? Exercise 317 En la fabricación de automóviles pueden aparecer tres tipos de de- fectos mayores y ocho tipos de defectos menores. ¿De cuántas formas se pueden presentar los defectos? Exercise 318 ¿Cuántos sumandos diferentes hay en el desarrollo de (a + b + c + d)12 ? Exercise 319 ¿Cuántos sumandos diferentes hay en el desarrollo de (x1 + x2 + . . . + xn )m ? Exercise 320 Una relación es un subconjunto de un producto cartesiano A × B, si N (A) = 3 y N (B) = 4 ¿Cuántas relaciones hay en A × B? Exercise 321 Para el caso en que N (A) = m y N (B) = n ¿cuántas relaciones hay de A en B? ¿Cuántas funciones hay de A en B?
- 64. 60 CAPÍTULO 6. CONTEO
- 65. Capítulo 7 Los númerosenteros. 7.1. El anillo de los números enteros Una parte importante del álgebra moderna es el estudio de las estructuras al- gebraicas. Los números enteros con sus operaciones tienen una estructura llamada anillo conmutativo con 1.En este momento es importante agrupar y ordenar las propiedades de las operaciones para utilizarlas. 7.2. Propiedades de las operaciones entre enteros. Para los números enteros Z hay dos operaciones, suma + y producto ×.Las propiedades son las siguientes: 1. El conjunto de los números enteros es cerrado bajo la operación suma,es decir si ∀a ∈ Z, ∀b ∈ Z entonces a + b ∈ Z 2. La suma es asociativa, ∀a ∈ Z, ∀b ∈ Z, ∀c ∈ Z se cumple que a + (b + c) = (a + b) + c. 3. Existe un número llamado cero, 0 tal que ∀a ∈ Z, a + 0 = a 4. Para todo número entero a existe un entero −a llamado el inverso aditivo de a tal que a + (−a) = 0. 5. La suma es conmutativa, es decir ∀a ∈ Z, ∀b ∈ Z se cumple que a + b = b + a. 6. El conjunto de los números enteros es cerrado bajo la operación producto, es decir si ∀a ∈ Z, ∀b ∈ Z entonces a × b ∈ Z. 7. El producto es asociativo, ∀a ∈ Z, ∀b ∈ Z, ∀c ∈ Z se cumple que a × (b × c) = (a × b) × c. 8. Existe un número llamado uno,1 tal que ∀a ∈ Z, a × 1 = a. 9. El producto es conmutativo, es decir ∀a ∈ Z, ∀b ∈ Z se cumple que a×b = b×a. 10. La suma distribuye al producto, es decir ∀a ∈ Z, ∀b ∈ Z, ∀c ∈ Z, a × (b + c) = a × b + a × c. Al igual que para los números naturales se pueden demostrar una serie de propiedades que son utilizadas en la resolución de ecuaciones con números enteros. Proposition 322 El 0 en los enteros es único. 61
- 66. 62 CAPÍTULO 7. LOS NÚMEROS ENTEROS. Proposition 323 El 1 en los enteros es único. Proposition 324 Ley de la cancelación: Si a + b = c + b entonces a = c. Proposition 325 −(−a) = a Proposition 326 El inverso aditivo es único. Proposition 327 ∀a ∈ Z , a0 = 0. Proposition 328 (−a)(−b) = ab Proof. [ab + a (−b)] + (−a) (−b) = ab + [a (−b) + (−a) (−b)] = ab + [a + (−a)] (−b) = ab + 0 (−b) = ab Por otro lado [ab + a (−b)] + (−a) (−b) = a [b + (−b)] + (−a) (−b) = a0 + (−a)(−b) = 0 + (−a)(−b) = (−a)(−b) Por transitividad ab = (−a)(−b) Theorem 329 La ley de la cancelación para la multiplicación de enteros es equiv- alente a demostrar que si ab = 0entonces a = 0 ó b = 0. Proof. Primero probaremos que la ley de la cancelación implica que si ab = 0entonces a = 0 ó b = 0. Supongamos que ab = 0. Esto implica que ab = 0 = a0 como la ley de la cancelación se cumple entonces b = 0. Inversamente, si a 6= 0 y ab = ac entonces ab − ac = 0 a(b − c) = 0 como a 6= 0 entonces b − c = 0, por lo tanto b = c. Exercise 330 Demuestra las proposiciones enunciadas para los números enteros. 7.3. Divisibilidad . En la antigüedad se medían distancias con cuerdas con nudos. La longitud de algo era por ejemplo tres nudos. Cuando se tenía un problema en concreto se trataba de medir con el menor número posible de nudos. Si una longitud cabía un número entero de veces en otra se podía cambiar de unidad para medir tomando la más grande y si se tenía que medir parte de una unidad si la longitud era un divisor de la original entonces se podía tomar la parte como nueva unidad para medir. Por esta razón toda la teoría de divisibilidad en los enteros esta relacionada con la geometría.
- 67. 7.3. DIVISIBILIDAD 63 Definition 331 Dados dos números a y b ∈ Z se dice que a divide a b si existe q ∈ Z tal que aq = b. Notation 332 a divide a b se denota por a | b. También se dice que b es un múltiplo de a. Remark 333 La divisibilidad es una relación binaria sobre Z pero no es de equiv- alencia ya que no es simétrica. Las propiedades de la relación binaria | son: 1. Si a | b entonces |a| ≤ |b| . 2. Si a | b y b | c entonces a | c. 3. Si a | b y a | c entonces a | b + c 4. Si a | b entonces ac | bc. 5. Si a | b y b | a entonces a = b o a = −b Exercise 334 Encuentra todos los divisores de 60. Investiga cuál era la base del sistema de numeración babilonio. Justifica porqué utilizaban esta base pensando en que básicamente era utilizada para medir ángulos y longitudes. Exercise 335 Demuestra las propiedades para la relación binaria | . Exercise 336 Da un ejemplo donde a | bc y a - b y a - c. 7.3.1. Algoritmo de la división Theorem 337 Dados dos números enteros a y b, b 6= 0, existen números q, r ∈ Z tales que a = bq + r con 0 ≤ r < |b| . Proof. Dados a, b ∈ Z,sea S = {s ∈ N |s = a − bq} . El conjunto S es un sub- conjunto de N. Además S 6= ∅ porque como b 6= 0 entonces |b| ≥ 1. En este caso hay dos posibilidades: (i)si b ≥ 1 entonces b |a| ≥ |a| a − b(− |a|) = a + b |a| ≥ a + |a| ≥ 0 De donde a − b(− |a|) ∈ S. (ii) Si b ≤ −1 entonces −b ≥ 1. De donde |a| (−b) ≥ |a| −b |a| ≥ |a| Por lo tanto a − b |a| ≥ a + |a| ≥ 0 de donde a − b |a| ∈ S. De estas dos posibilidades se concluye que S 6= ∅. Por el principio del buen orden S contiene un mínimo. Sea r ∈ S el mínimo de S. Como r ∈ S entonces r = a − bq para alguna q ∈ Z y r ≥ 0. Falta demostrar que r < |b| . Como b 6= 0, |b| ≥ 1. Otra vez hay dos posibilidades
- 68. 64 CAPÍTULO 7. LOS NÚMEROS ENTEROS. (i) Si b > 0 entonces b ≥ 1.De aquí se deduce que a − b(q + 1) = a − bq − b = r − b < r Por lo tanto a − b(q + 1) ∈ S porque r es el mínimo en S. Pero S contiene a todos / los enteros positivos de la forma a − bx. Por lo tanto a − b(q + 1) es negativo. De aqui se deduce que r = a − bq = a − bq − b + b = a − b(q + 1) + b < b = |b| ∴ r < |b| (ii) Si b < 0 entonces b ≤ −1. a − b(q − 1) = a − bq + b = r + b < r De la misma forma que antes, de aqui se deduce que a − b(q − 1) ∈ S.y que a − / b(q − 1) < 0.Por tanto r = a − bq = a − bq + b − b = a − b(q − 1) − b = a − b(q − 1) + |b| < |b| r < |b| De ambos caso se deduce que r < |b| . Ahora se demostrará que q y r son únicos. Supongamos que existen q 0 y r0 tales que a = bq 0 + r0 = bq + r con 0 ≤ r0 < |b| y 0 ≤ r < |b| . De esta igualdad se deduce que bq − bq 0 = r0 − r b(q − q 0 ) = r0 − r (7.1) Por lo tanto |b| | |r0 − r| . Como 0 ≤ r < |b| entonces al multiplicar por −1 esta desigualdad queda − |b| < −r ≤ 0 Al sumar esta última desigualdad y 0 ≤ r0 < |b| se obtiene − |b| < r0 − r < |b| De donde 0 ≤ |r0 − r| < |b| Sustituyendo |r0 − r| por |b| |q − q 0 | se obtiene |b| |q − q 0 | < |b| Por lo tanto 0 ≤ |q − q 0 | < 1 Como q y q 0 son números enteros entonces q − q 0 = 0.De donde q = q 0 y finalmente r = r0 .
- 69. 7.3. DIVISIBILIDAD 65 Exercise 338 Encuentra q y r para 57 y 25.Expresa 57 como 25q + r. Exercise 339 Si a < b ¿cuáles son los valores de q y r en a = bq + r, 0 ≤ r < |b|? Exercise 340 A los divisores de 1 en Z se les llama unidades. Demuestra que las únicas unidades en Z son ±1. Definition 341 Dados dos números enteros a y b se dice que d es el máximo común divisor (m.c.d.) de a y b si (i) d > 0, d | a y d | b. (ii) Si existe d0 tal que d0 | a y d0 | b entonces d0 | d. Notation 342 Si d es el m.c.d. de a y b, se escribe d = (a, b). Lemma 343 Si d = (b, r) entonces d = (a, b),donde a = bq + r. Proof. Si d = (b, r) entonces existen s1 y s2 ∈ Z tales que ds1 = b y ds2 = r. Sustituyendo en la igualdad a = bq + r a = ds1 q + ds2 = d(s1 q + s2 ) De donde d divide a a. Por lo tanto, como ddivide a b si d0 = (a, b) entonces d | d0 , porque d0 es el máximo. Análogamente, como d0 | a y d0 | b entonces d0 | r. Como d = (b, r) entonces d | d. De ambas conclusiones se deduce que d = d0 . 0 7.3.2. Algoritmo de Euclides Theorem 344 Algoritmo de Euclides. Dados dos números enteros a y b, rn+1 el último residuo diferente de 0 en el proceso a = bq + r, 0 ≤ r < |b| b = rq1 + r1 0 ≤ r1 < r r = r1 q2 + r2 0 ≤ r2 < r1 r1 = r2 q3 + r3 0 ≤ r3 < r2 ··· rn−1 = rn qn+1 + rn+1 0 ≤ rn+1 < rn rn = rn+1 qn+2 es el m.c.d. de a y b. Proof. Como rn = rn+1 qn+2 entonces (rn , rn+1 ) = rn+1 . Por el lema (rn , rn+1 ) = (rn , rn−1 ) Si continuamos aplicando el lema rn = (rn , rn+1 ) = (rn , rn−1 ) = . . . = (b, r) = (a, b)
- 70. 66 CAPÍTULO 7. LOS NÚMEROS ENTEROS. Remark 345 Si d = (a, b) entonces d > 0. Definition 346 Dados dos números enteros a y b, a una expresión de la forma ma + nb, con m y n enteros, se llama combinación lineal de a y b. Notation 347 Si r = ma + nb entonces se denotará por r es c. . de a y b. Lemma 348 En el algoritmo de la división de a y b,donde a = bq + r 0 ≤ r < |b| r el residuo es una combinación lineal de a y b. Proof. La demostración es trivial ya que r = a + b (−q) . Lemma 349 Si rn+1 es c. . de rn y rn−1 y rn es c. .de rn−1 y rn−2 entonces rn+1 es c. . de rn−1 y rn−2 . Proof. Como rn−1 = rn qn+1 + rn+1 entonces rn+1 es combinación lineal de rn y rn−1 . rn+1 = rn−1 + rn (−qn+1 ) Análogamente rn es combinación lineal de rn−1 y rn−2 . rn = rn−2 + rn−1 (−qn ) Sustituyendo esta última igualdad en la anterior rn+1 = rn−1 + (rn−2 + rn−1 (−qn )) (−qn+1 ) = rn−1 (1 + qn qn+1 ) + rn−2 (−qn+1 ) De donde rn es combinación lineal de rn−1 y rn−2 . Theorem 350 Si d = (a, b) entonces d es la mínima combinación lineal de a y b. Proof. Utilizando sucesivamente el último lema se concluye que rn+1 = d = (a, b) es combinación lineal de a y b. Para probar que d es la mínima combinación lineal de a y b suponer que existe otra combinación lineal de a y b. d0 = ma + nb Por la definición de d, d | a y d | b. Entonces existen q1 y q2 tales que dq1 = a y dq2 = b. Sustituyendo d0 = mdq1 + ndq2 = d (mq1 + nq2 ) Por tanto d | d0 .De donde 0 ≤ d ≤ |d0 | . Exercise 351 Encuentra el m.c.d. de 315 y 28. Exprésalo como combinación lineal de los números. Exercise 352 Demuestra que si (a, c) = 1, a | m y c | m entonces ac | m. Exercise 353 Demuestra que si a > 0 entonces (ab, ac) = a(b, c). Definition 354 Dos números enteros a y b son primos relativos si (a, b) = 1.
- 71. 7.3. DIVISIBILIDAD 67 Theorem 355 Si d = (a, b) y d = ma + nb entonces (m, n) = 1. Proof. Como d = (a, b) , d | a y d | b. Entonces existen q1 y q2 tales que dq1 = a y dq2 = b. Sustituyendo d = mdq1 + ndq2 = d(mq1 + nq2 ) 1 = mq1 + nq2 Como 1 es el mínimo entero positivo entonces (m, n) = 1. Exercise 356 Demuestra que si (a, m) = (b, m) = 1 entonces (ab, m) = 1 Exercise 357 Demuestra que si (a, c) = d, a | b y c | b entonces ac | bd. Definition 358 Dados dos números enteros a y b, a un número m > 0 se le llama mínimo común múltiplo(m.c.m.) de a y b si (i) a | m y b | m. (ii) si a | m0 y b | m0 entonces m | m0 . Notation 359 Al m.c.m. m de a y b se le denota por m = [a, b]. Theorem 360 Si (a, b) = 1 entonces [a, b] = ab. Proof. Sea m = [a, b]. Como ab es un múltiplo común de a y de b, m | ab. Por tanto m ≤ ab. Si (a, b) = 1 entonces existen m y n ∈ Z tales que 1 = ra + sb. Como m = [a, b] entonces existen q1 y q2 tales que aq1 = m y bq2 = m. Al multiplicar por m la igualdad y sustituirla de forma cruzada m = mra + msb = bq2 ra + aq1 sb Agrupando y factorizando m = ab(rq2 + sq1 ) Por tanto ab | m. De donde ab ≤ m. De ambas conclusiones se obtiene que m = [a, b]. Theorem 361 Si a, b ∈ Z entonces [a, b](a, b) = ab. Remark 362 Este último teorema nos permite calcular el m.c.m. de dos números utilizando el algoritmo de Euclides. Exercise 363 Calcular el m.c.m. de a) 365 y 280. b) 1001 y 144..
- 72. 68 CAPÍTULO 7. LOS NÚMEROS ENTEROS. 7.4. Números primos . Definition 364 Un número entero positivo p = 1 es primo si sus únicos divisores 6 son ±1 y ±p. Theorem 365 Si p es primo y p | ab entonces p | a ó p | b. Proof. Suponer que p | ab y que p - a. Se probará que p | b. Como p divide ab entonces existe q ∈ Z tal que pq = ab. Como p - a y p es primo entonces (a, p) = 1; ya que si d = (a, p) entonces d | a y d | p pero los únicos divisores positivos de p son 1 y p,pero p - a.Por tanto d = 1. Como (a, p) = 1 entonces existen r, s ∈ Z tales que 1 = ar + ps Multiplicando por b esta igualdad b = abr + ps Sustituyendo ab = pq en la últim igualdad b = pqr + ps = p(qr + s) De donde se concluye que p | b. Corollary 366 Si c | ab y (c, a) = 1 entonces c | b. √ Proposition 367 Si p es primo entonces p no es racional. √ Proof. Suponer que p es racional. Esto quiere decir que existen a, b ∈ Z con (a, b) = 1 y tales que √ a p= b al elevar al cuadrado a2 p= b2 pb = a2 2 Esta última igualdad implica que p | a2 . Por el teorema p | a. Esto implica que pq = a. Sustituyendo en la última igualdad pb2 = (pq)2 = p2 q 2 Al simplificar b2 = pq 2 De donde p | b2 .Otra vez por el teorema p | b. Esto es una contradicción porque se √ había supuesto que (a, b) = 1.Por lo tanto p no es racional.
- 73. 7.5. TEOREMA DEFACTORIZACIÓN ÚNICA 69 7.5. Teorema de factorización única Theorem 368 Fundamental de la aritmética o de factorización única. Todo número entero a se puede descomponer de forma única, salvo el orden, como producto de números primos. Proof. Si a es primo entonces ya no hay nada que demostrar. Si a no es primo entonces a = bc donde b, c < a. Se utilizará el principio de inducción en su segunda forma.(incompleta) √ Theorem 369 Todo número compuesto a > 0 es divisible por un primo p ≤ a. Proof. Como a es compuesto entonces a = bc con b > 1 y c > 1. Es posible suponer que b ≤ c por la √ tricotomía. Supongamos que b > a. √ √ Como c√ b entonces c ≥ b > a. Por lo tanto c > a. ≥ √ √ √ De c > a y √> a se tiene que bc > a a = a,lo que contradice que a = bc. b Por lo tanto b ≤ a Exercise 370 Encontrar la descomposición en primos de los siguientes enteros: (i) 1001 (ii) −847 (iii) 923 (iv) 60 (v) Describir un procedimiento para encontrar el divisor primo más grande cuando nos dan un número entero. Exercise 371 Dados los números enteros positivos se define la media geométrica √ √ a y b al número ab. En la figura demuestra que el segmento P Q tiene longitud de ab El segmento AB. es el diámetro de la circunferencia. El punto P es el punto sobre la circunferenica ,|AQ| = a, |QB| = b a+b Demostrar que la media aritmética de a y b, es mayor o igual que su media 2 geométrica.
- 74. 70 CAPÍTULO 7. LOS NÚMEROS ENTEROS.
- 75. Capítulo 8 Congruencias 8.1. Definición Definition 372 Se define la relación binaria en Z, dos números enteros son con- gruentes módulo m, m > 0 y se escribe a ≡ b mod(m) si m | b − a. Theorem 373 La relación binaria sobre Z, ≡ mod(m) es una relación de equiva- lencia. Proof. La relación es reflexiva porque a ≡ a mod(m) porque m0 = a − a = 0. La relación es simétrica porque si m | b − a entonces existe q tal que mq = b − a. De donde m(−q) = a − b y por tanto b ≡ a mod(m). La relación es transitiva ya que si a ≡ b mod(m) y b ≡ c mod(m) entonces existen q1 y q2 tales que mq1 = b − a y mq2 = c − b. Al sumar ambas igualdades mq1 + mq2 = (b − a) + (c − b) m(q1 − q2 ) = c − a Por lo tanto a ≡ c mod(m). Como ≡ mod(m) satisface las tres propiedades que definen a una relación de equivalencia entonces es una relación de equivalencia. Como ≡ mod(m) es una relación de equivalencia sobre Z entonces parte en clases ajenas a Z. Para tener una idea de como son las clases de equivalencia respecto a esta relación hay que considerar que al dividir un número entero por m ∈ Z es posible obtener m residuos diferentes: 0, 1, . . . , (m − 1). Example 374 Considerar m = 4,los residuos posibles son 0, 1, 2, 3. Al tomar un número entero, por ejemplo 97 y dividirlo por 4 se obtiene 97 = 4(24) + 1 Esto implica que 97 ≡ 1 mod(4). Proposition 375 Dos números enteros a, b son congruentes mod(m) si y sólo si tienen el mismo residuo al dividirse por m. i.e. a = mq1 + r 0≤r<m b = mq2 + r 0≤r<m 71
- 76. 72 CAPÍTULO 8. CONGRUENCIAS Proof. Primero se mostrará que si son congruentes entonces dejan el mismo residuo. a ≡ b mod(m). Por el algoritmo de la división existe números enteros q1 , r1 , q2 , r2 tales que a = mq1 + r1 0 ≤ r1 < m b = mq2 + r2 0 ≤ r2 < m Esto implica que a ≡ r1 mod(m) b ≡ r2 mod(m) como a ≡ b mod(m),por transitividad de la relación de equivalencia r1 ≡ r2 mod(m) Como 0 ≤ r1 , r2 < m esto implica que r1 − r2 = m0 = 0, .de donde r1 = r2 . Inversamente, ahora suponer que a y bdejan el mismo residuo r al dividirse por m. Por lo tanto a ≡ r mod(m) b ≡ r mod(m) Por transitividad a ≡ b mod(m) Remark 376 Una clase de equivalencia respecto a ≡ mod(m) esta formada por todos los enteros que dejan el mismo residuo. Definir 0 = {z ∈ Z | z = mq para alguna q ∈ Z} 1 = {z ∈ Z | z = mq + 1 para alguna q ∈ Z} ··· m − 1 = {z ∈ Z | z = mq + (m − 1) para alguna q ∈ Z} © ª Definition 377 Se define Zn = 0, 1, . . . , n − 1 como el conjunto de clases de equivalencia módulo n. Example 378 Para m = 4 las clases de equivalencia son 0 = {múltiplos de 4} , 1, 2, 3.Las operaciones entre clases de equivalencia queda definida en las siguientes dos tablas + 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 × 1 2 3 1 1 2 3 2 2 0 2 3 3 2 1 Exercise 379 Construir las tablas de las operaciones de Z5 , Z9 . Exercise 380 Demostrar que Zn con las propiedades de + y × definidas para las clases de equivalencia tiene las mismas propiedades que los números enteros. Es decir (Zn , +, ×) es un anillo conmutativo con 1. Exercise 381 Para Z6 encuentra los divisores propios de 0.
- 77. 8.2. PROPIEDADES 73 8.2. Propiedades Theorem 382 La relación de equivalencia ≡ mod(m) tiene las siguientes propiedades (i) a ≡ b mod(m) ⇒ a + c ≡ b + c mod(m)∀c ∈ Z. (ii) a ≡ b mod(m) ⇒ ac ≡ bc mod(m)∀c ∈ Z (iii) a ≡ b mod(m) y c ≡ d mod(m) ⇒ a + c ≡ b + d mod(m) (iv) a ≡ b mod(m) y c ≡ d mod(m) ⇒ ac ≡ bd mod(m) (v) a ≡ b mod(m) ⇒ an ≡ bn mod(m) Proof. Las propiedades (i) y (ii) son inmediatas de la definición de ≡ mod(m) ya que si m | b − a entonces m | (b + c) − (a + c) y m | bc − ac. La propiedad (iii) es verdadera porque si m | b − a y m | d − c entonces existen q1 y q2 tales que mq1 = b − a mq2 = d − c Sumando ambas igualdades, factorizando y agrupando m(q1 − q2 ) = (b + d) − (a + c) Para demostrar la propiedad (iv), como m | b − a y m | d − c entonces mq1 = b − a mq2 = d − c Ahora bien bd − ac = (b − a)(d − c) + bc + ad − 2ac = (b − a)(d − c) + c(b − a) + a(d − c) = mq1 mq2 + cmq1 + amq2 = m(mq1 q2 + cq1 + aq2 ) Por lo tanto m | bd − ac De donde ac ≡ bd mod(m) Proposition 383 La congruencia ax ≡ 1 mod(m) tiene solución si y sólo si (a, m) = 1. Proof. Si la congruencia tiene solución entonces m | 1 − ax. Es decir, existe q tal que mq = 1 − ax De donde mq + ax = 1 Por lo tanto (a, m) = 1. Si (a, m) = 1 entonces 1 = mr + as de donde mr = 1 − as Por lo tanto as ≡ 1 mod(m).
- 78. 74 CAPÍTULO 8. CONGRUENCIAS Corollary 384 Si p es primo entonces en Zp todos los elementos tienen inverso multiplicativo. Corollary 385 La congruencia ax ≡ b mod(m) tiene solución si y sólo si (a, m) = 1. Exercise 386 En Z6 encontrar los elementos que tienen inverso multiplicativo. 8.3. Teorema chino del residuo El teorema chino del residuo es un teorema que se originó en las conversiones de un calendario lunar a uno solar. Este problema se resolvió en diferentes culturas pero en vista de que los chinos manejan hasta la época actual ambos calendarios entonces se le dió el nombre. Suponer que se quiere encontrar un valor de x tal que x ≡ b1 mod(m1 ) x ≡ b2 mod(m2 ) ··· x ≡ bs mod(ms ) La respuesta es que es posible encontrar una x que satisfaga todas las relaciones si mi y mj son primos relativos ∀i 6= j tales que i, j ∈ {1, 2, . . . , s} . Theorem 387 El sistema de congruencias x ≡ b1 mod(m1 ) x ≡ b2 mod(m2 ) ··· x ≡ bs mod(ms ) tiene solución única congruente mod(m1 m2 · · · ms ) si (mi , mj ) = 1 ∀i 6= j tales que i, j ∈ {1, 2, . . . , s} . Proof. Se define Mt como m1 m2 . . . ms = Mt mt ∀t ∈ {1, 2, . . . , s} . Sea Mt0 tal que Mt Mt0 ≡ 1 mod(mt ). Entonces Mt Mt0 bt ≡ bt mod(mt ). El número x0 = 0 0 M1 M1 b1 +. . .+Ms Ms bs es congruente con bi mod(mi ). Sea y ≡ x0 mod(m1 m2 · · · ms ). Exercise 388 Resolver el siguiente sistema de congruencias x ≡ 2(mod3) x ≡ 3(mod5) x ≡ 2(mod7) Exercise 389 Un problema de calendarios. Un mes lunar tiene aproximadamente 29,5 días. Si se tiene luna llena un lunes al atardecer ¿ Cuántos meses después se tendrá luna llena un miércoles a la misma hora aproximadamente? Exercise 390 Demostrar que si p es primo y a, b son enteros entonces (a + b)p ≡ ap + bp mod(p) Exercise 391 Generalizar el resultado anterior a n sumandos diferentes. Final- mente hacer a1 = a2 = · · · = an = 1 y enunciar el teorema. Este último teorema, ligeramente modificado, se llama el pequeño teorema de Fermat.
- 79. Capítulo 9 Bibliografía Beaumont, Ross A. and Pierce, Richard S. The Algebraic Foundations of Mathematics. Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 1963 USA. Birkhoff, Garrett; Mac Lane, Saunders. A survey of Modern Algebra. Fourth Edition. Macmillan Publishing Co Inc. New York. Collier Macmillan Publish- ers. 1977 USA. Cohn, P.M. Algebra, Volume 1 Second Edition. John Wiley & Sons.1995. Cohen, Arjeh M.; Cuypers, Hans; Sterk, Hans. Algebra Interactive! Learning Algebra in an exciting way. Springer Verlag Berlin Heidelberg, 1999. Epp, Susan. Discrete Mathematics with Applications. Second Edition. PWS. ITP An International Thomson Publishing Company 1995. Fletcher, Peter; Hoyle, Hughes; Patty, Wayne. Foundations of Discrete Math- ematics. PWS-Kent Publishing Company 1991. Gardner, Martin. A Gardner´s Workout. Training the Mind and Entertaining the Spirit. AK Peters Ltd. 2001. Canada. Grimaldi, Ralph P., Matemáticas discretas y combinatoria. Editorial Addison Wesley Longman, Tercera Edición. México 1998. Liu,Chung Laung. Elements of Discrete Mathematics.Second Edition. Mc Graw Hill International Editions.1985. Niven, Iván; Zuckerman, Herbert S., Montgomery, Hugh L. An Introduction to the Theory of Numbers.John Wiley & Sons Fifth Edition. USA 1991. Vinográdov, Iván Matvéevich. Fundamentos de la Teoría de Números. Edito- rial Mir Moscú. 1977. 75
- 80. Índice alfabético Algoritmo deEuclides Euclides, 3 Enteros, 69 axiomas, 3, 4 función, 21 axiomas de Peano, 11 función inversa, 25 función inyectiva buen orden uno a uno naturales, 20 biunívoca, 22 función suprayectiva camino sobre, 22 trayectoria, 35, 44 Fundamental de la aritmetica camino simple, 35 Factorizacion unica cardinalidad enteros, 73 conjunto, 17 ciclo Gráfica, 33 camino cerrado, 35 clase de equivalencia igualdad de conjuntos, 7 relacion de equivalencia, 28 imagen de una función, 21 combinacion lineal intersección de conjuntos, 8 enteros, 70 inversa de una relación complemento de un conjunto, 8 inversión, 42 complemento de una relacin, 43 inverso del inverso composición de funciones, 23 enteros, 66 composición de relaciones, 42 congruencia lazo, 35 enteros, 75 lema, 4 conjetura, 4 ley de la cancelacion conjunto, 4 enteros, 66 conjunto universal Leyes de De Morgan, 9 universo, 8 leyes de los signos conjunto vacío, 8 enteros, 66 conjuntos, 7 corolario, 4 método axiomático, 3 Matriz de adyacencia, 39 definición inductiva, 17 matriz de alcance, 44 demostración, 3 maximo comun divisor, 69 demostración por inducción minimo comun multiplo por inducción, 12 enteros, 71 Descartes, 3 Diagrama de Hasse número primo, 72 Hasse, 34 números enteros, 65 divisibilidad, 66 números naturales, 11 dominio de una función, 21 Operaciones entre relaciones, 41 elemento, 7 orden enteros modulo n, 76 naturales, 19 76
- 81. ÍNDICE ALFABÉTICO 77 Pitágoras, 3 potencia de una relación, 42 primos relativos enteros, 70 Principio de inducción Axiomas de Peano, 11 producto cartesiano, 9 Propiedades de la congruencia, 77 relación, 21 Relación binaria, 27 relación de equivalencia, 27 sistema de congruencias teorema chino del residuo, 78 subconjunto, 7 suma booleana de relaciones, 43 Tales de Mileto, 3 teorema, 4 teorema chino del residuo congruencias, 78 unión de conjuntos, 8 unicidad del 0 enteros, 65 unicidad del 1 enteros, 66 unicidad del inverso multiplicativo enteros, 66 unidades enteros, 69 vértices interiores de un camino, 44