1. Números Aleatorios
y Pseudo Aleatorios

2. ¿Qué son?
Números aleatorios
Son obtenidos al azar es decir, son resultado de un proceso
en el cual su resultado no es predecible ya que todo número
tiene la misma probabilidad de ser elegido y la elección de
uno no depende de la elección del otro.
Aleatoriedad → carencia de propósito, causa, u orden.
Números pseudo aleatorios
Sus características son:
-Pseudo →falso
-Se forman a partir de algoritmos determinísticos
-Deben pertenecer a una distribución ~U(0, 1)

3. ¿Para qué sirven?
La función de los números pseudo aleatorios es que a partir
de ellos podemos generar:
Variables
aleatorias
Distribuciones
de
Comportamiento probabilidad
de materiales,
sucesos, personas

4. ¿Para qué y cómo se usan?
Se usan como una fuente confiable de variabilidad dentro de los
modelos de simulación fundamentalmente porque las sucesiones
de números pseudoaleatorios son más rápidas de generar que las
de números aleatorios.
Para simular el comportamiento de una o más variables
aleatorias es necesario contar con un conjunto suficientemente
grande de números aleatorios, pero generarlos resulta
complicado, es aquí donde entran los números pseudo aleatorios
ya que se pueden generar rápidamente aplicando alguno de los
algoritmos.

5. ¿Para qué y cómo se usan?
En forma resumida podemos decir que los números pseudo
aleatorios se usan de la siguiente manera:
1.- Primero, se generan mediante algún algoritmo determinístico.
2.-Se aplican las pruebas necesarias para comprobar que son
aptos (es decir, pueden mostrar aleatoriedad) para usarse en la
simulación.
3.- Con ellos se generan variables aleatorias para distribuciones
continuas o discretas (cada una conlleva una serie de pasos a
seguir). Con métodos como el de la transformada inversa.
4.- Las cuales se usan para describir el comportamiento de
materiales, sucesos, personas.

6. ¿Cómo se generan los números pseudo aleatorios
entre 0 y 1?
Los números pseudo aleatorios se generan mediante:
Algoritmos Parámetros de
que requieren como Semilla
Determinísticos arranque
Los algoritmos determinísticos se dividen en:
 Congruenciales
 No Congruenciales

7. ¿Cómo se generan los números pseudo aleatorios
entre 0 y 1?
No Congruencial Congruencial
Algoritmo de No Lineales Lineales
cuadrados medios
Algoritmo
Algoritmo de Algoritmo lineal
productos medios cuadrático
Algoritmo
Algoritmo de Algoritmo de multiplicativo
multiplicador Blum, Blum y
constante Shub
Algoritmo
aditivo

8. Propiedades que deben cumplir los números pseudo
aleatorios
Distribución
Uniforme
U (0, 1)
Indepen 1
Propiedades Media 𝜇= 2
dencia
Varianza
1
𝜎 2=
12

9. Generación de números pseudo aleatorios
 Mediante el algoritmo congruencial lineal.
Xi+1 = (a Xi + c) mod m i = 1, 2, 3…n
X0= semilla debe ser entero y X0 >0.
a = constante multiplicativa, a >0 y debe ser entero.
c = constante aditiva, c >0 y debe ser entero.
mod m = modulo, significa dividir lo anterior entre m y obtener solo el
residuo.
Condiciones para poder establecer un periodo de vida máximo N=m= 2g :
k =entero 4 X0 = 23
a=1+4k 17
g = entero 5
m= 2g = 25 32
c = primo a m 31
X1 = (17*23+31) mod (32) = 6 r1 = 6/31 = 0.1935

10.  Prueba de medias
𝐻0 : 𝜇 𝑟𝑖 = 0.5
𝐻1 : 𝜇 𝑟𝑖 ≠ 0.5
1 𝑛
𝑟= 𝑖=1 𝑟𝑖
𝑛
32
1
𝑟= (0.1935 + 0.1612 + 0.6451 + ⋯ + 𝑟 𝑛 ) = 0.500
32
𝑖=1
Límites de aceptación
1 1 1 1
𝐿𝐼 𝑟 = − 𝑧 𝛼/2 = − 1.96 = 0.3999
2 12𝑛 2 12 32
1 1 1 1
𝐿𝑆 𝑟 = + 𝑧 𝛼/2 = + 1.96 = 0.6000
2 12𝑛 2 12(32)
Se acepta la 𝐻0 .

11.  Prueba de varianza
𝐻0 : 𝜎 2 = 1/12
𝑟𝑖
2
𝐻1 : 𝜎 𝑟𝑖 ≠ 1/12
𝑛
− 𝑟 )2 2.8263
1=𝑖(𝑟𝑖
𝑉 𝑟 = = = 0.0911
𝑛−1 31
Límites de aceptación
𝑋 2 α/2,𝑛−1 48.232
𝐿𝐼 𝑉 𝑟 = = = 0.1296
12(𝑛 − 1) 372
𝑋 21− 𝛼,𝑛−1 17.539
2
𝐿𝑆 𝑉 𝑟 = = = 0.0471
12(𝑛 − 1) 372
Se acepta la 𝐻0 .

12.  Prueba de Uniformidad
*Chi-cuadrada
*Kolmogorov-Smirnov
H0: ri ~U (0,1)
H1: ri no son uniformes
si X20 < 𝑥 2
𝛼/𝑛−1 se acepta la H0
Oi 𝑛
Intervalo Ei = (𝐸𝑖 − 𝑂𝑖)2
𝑚
𝐸𝑖
(0.00 – 0.166) 6 5.6569 0.0209222
(0.166 – 0.33) 5 5.6569 0.0760848
(0.33 – 0.5) 5 5.6569 0.0760848
(0.5 – 0.666) 5 5.6569 0.0760848
(0.666 – 0.833) 5 5.6569 0.0760848
(0.833 – 1) 6 5.6569 0.0209222
0.3461838

13.  Prueba de uniformidad
𝑚
𝐸𝑖−𝑂𝑖 2
X20 = = 0.3461838
𝑖=1 𝐸𝑖
2
𝑥2
𝛼,𝑛−1 = 𝑥0.05,5 = 11.07
Por lo tanto, se puede aceptar que los números pseudo aleatorios
generados siguen una distribución uniforme entre 0 y 1.

14.  Prueba de independencia
*Prueba de corrida arriba y abajo
*Prueba de corrida arriba y debajo de la media
*Prueba póker
*Pruebas de series
*Prueba de huecos
H0: los números de los conjuntos ri son independientes
H1: los números de los conjuntos ri no son independientes
si Z0< Zα/2 se acepta la H0.
2𝑛−1 16𝑛−29
µCo = 𝜎2 =
𝐶𝑜
3 90
𝐶𝑜− µ 𝐶𝑜
Z0 =
𝜎2
𝐶𝑜

15.  Prueba de independencia
0.1935 0.1612 0.6451 0.6129 0.0645 0.0322 0.5161 0.4838
0.9677 0.9354 0.3870 0.3548 0.8387 0.8064 0.2850 0.2258
0.7096 0.6778 0.1290 0.0967 0.5806 0.5483 0 1
0.4516 0.4193 0.9032 0.8709 0.3225 0.2903 0.7741 0.7419
S = {0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 1 0 0 0 1 0}
Co = 19
2 32 −1
µ 𝐶𝑜 = = 21
3
16(32)−29
𝜎2 =
𝐶𝑜 = 5.3666
90
19 − 21
Z0 =
5.3666
= - 0.8634 𝑧 𝛼/2 = 𝑧0.025 = 1.96
-0.8634 < 1.96, se acepta la H0.

16. Variables Aleatorias

17. ¿A qué se le llama variable aleatoria?
Son mediciones cuyos valores se obtienen de algún tipo de
experimento aleatorio.
Los experimentos aleatorios presentan un tratamiento
matemático, en el cual se deben cuantificar los resultados
de modo que se asigne un número real a cada uno de
los resultados posibles del experimento.
Las variables aleatorias son
aquellas que tienen un
comportamiento
probabilístico de la realidad.

18. Tipos de variables aleatorias
Discretas Continuas
Números
Números enteros enteros y
fraccionarios
Número de
Peso, estatura
hijos

19. Determinación del tipo de distribución al que pertenece el
siguiente conjunto de datos con la herramienta Stat: :Fit.
Objetivo:
Utilizar la herramienta Stat::Fit con la finalidad de determinar la
distribución de probabilidad a partir de un conjunto de datos.

20. Generación de variables aleatorias
Principales métodos:
*Método de la transformada inversa
*Método de convolución
*Método de composición
*Método de la transformada directa
*Método de aceptación y rechazo

21. Generación de variables aleatorias continuas
*Método de la transformada inversa
Distribución Exponencial
1) Definir la función de densidad F(x) = λe-λx para x≥ 0
−
𝑥 𝜆𝑥
2) Función acumulada F(x) = 0
𝜆𝑒 dx = 1-e-λx para x≥ 0
1
3) Despeje de la variable aleatoria Xi = - ln (1-ri)
𝜆
4) Función acumulada inversa Xi= -λln (1-ri)

22. Generación de variables aleatorias continuas
Ejemplo:
El tiempo, en minutos, que un alumno usa una terminal de
cómputo en una importante universidad sigue una distribución
exponencial de probabilidad, con promedio de 36 minutos.
Xi= -36Ln (1-ri)
Alumno ri Tiempo Alumno ri Tiempo
1 0.4849 23.882192 11 0.2917 12.4159517
2 0.5128 25.8869003 12 0.5088 25.5925405
3 0.2963 12.6505134 13 0.8877 78.716931
4 0.7793 54.3942348 14 0.8011 58.1383114
5 0.7306 47.2160885 15 0.1761 6.97342016
6 0.4068 18.8000521 16 0.1011 3.83700547
7 0.5486 28.6344509 17 0.0221 0.80452309
8 0.0961 3.63731559 18 0.4884 24.1276395
9 0.2352 9.65307302 19 0.8534 69.1217096
10 0.5319 27.3266399 20 0.1323 5.10873286

23. Generación de variables aleatorias discretas
*Método de la transformada inversa
Distribución de Bernoulli
1) Calcular todos los valores de la distribución de probabilidad
p(x) de la variable a modelar:
p(x)= px (1-p) 1-x para x=0, 1
2) Se calculan las probabilidades para x=0 y x=1 :
x 0 1
p(x) 1-p p
3) Calcular todos los valores de la distribución acumulada P(x).
x 0 1
P(x) 1-p 1
4) Comparar con el valor de P(x) y determinar qué valor de x
corresponde a P(x).
Si ri ∈ (0, 1 –p) x = 0
Si ri ∈ (1 –p, 1) x = 1

24. Generación de variables aleatorias discretas
Ejemplo:
La probabilidad de que un prospecto elegido al azar realice una
compra a un agente de ventas es 0.20 (x=1) y de 0.8 de que no
compre (x=0) en un dia determinado.
p(x)= (0.2)x (0.8) 1-x para x=0, 1
Cálculo de probabilidades puntuales y acumuladas para x=0 y x=1
X 0 1
p(x) 0.8 0.2
P(x) 0.8 1
Si ri ∈ (0 – 0.8) x=0
Si ri ∈ (0.8 - 1) x=1

25. Generación de variables aleatorias discretas
Persona ri Xi Evento: Compra
1 0.1935 0 No
2 0.1612 0 No
3 0.6451 0 No
4 0.6129 0 No
5 0.0645 0 No
6 0.0322 0 No
7 0.5161 0 No
8 0.4838 0 No
9 0.9677 1 Si
10 0.9354 1 Si
11 0.387 0 No
12 0.3548 0 No
13 0.8387 1 Si
14 0.8064 1 Si
15 0.285 0 No
16 0.2258 0 No
17 0.7096 0 No
18 0.6774 0 No
19 0.129 0 No
20 0.0967 0 No
21 0.5806 0 No
22 0.5483 0 No
23 0 0 No
24 1 1 Si
25 0.4516 0 No
26 0.4193 0 No
27 0.9032 1 Si
28 0.8709 1 Si
29 0.3225 0 No
30 0.2903 0 No
31 0.7741 0 No
32 0.7419 0 No