Derivadas parciales

1. APLICACIONES
DE LA
DERIVADA

2. 
Para encontrar la recta tangente a la función 𝑦 = 𝑓(𝑥)
en un punto 𝑃(𝑥0; 𝑦0) utilizaremos la ecuación de la
recta que pasa por un punto: 𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒎. 𝒙 − 𝒙𝟎
𝑚 = 𝑓’(𝑥0) 𝐸𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑡𝑔
𝑦0 = 𝑓(𝑥0)
RECTA TANGENTE

4. 
Para encontrar la recta normal a la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) en
un punto 𝑃(𝑥0; 𝑦0) también utilizaremos la ecuación de
la recta que pasa por un punto: 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚. 𝑥 − 𝑥0 .
Dicha recta es una recta perpendicular a la recta
tangente. Por lo tanto, debemos tener en cuenta la
condición que deben cumplir dos rectas para que sean
perpendiculares.
RECTA NORMAL

5. Sean dos rectas:
𝑦1 = 𝑚1𝑥 + 𝑏1
𝑦2 = 𝑚2𝑥 + 𝑏2
𝑦1 ⊥ 𝑦2 ⇔ 𝑚1 = −
1
𝑚2

6.  Para diferenciar, llamaremos a la pendiente de la recta
tangente 𝑚𝑡𝑔 y a la pendiente de la recta normal 𝑚𝑁.
 Teniendo en cuenta que usaremos la ecuación de la recta
que pasa por un punto:
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚𝑁. 𝑥 − 𝑥0 (1)
 Como la recta normal es perpendicular a la recta
tangente: 𝑚𝑁 = −
1
𝑚𝑡𝑔
(2)
 Reemplazamos (2) en (1)
𝑦 − 𝑦0 = −
1
𝑚𝑡𝑔
. 𝑥 − 𝑥0

8. 
Ejemplo: Sea la función 𝑓 𝑥 =
1
4
𝑥2 − 1, encontrar la
recta tangente y normal en 𝑥0 = 4. Graficar
Recta tangente
𝑚 = 𝑓´ 𝑥0
𝑓´ 𝑥0 =
1
2
𝑥
𝑓´
4 =
1
2
. 4
𝑓´ 4 = 2 ⇒ 𝒎 = 𝟐
𝑦0 = 𝑓(𝑥0)
𝑓 4 =
1
4
.42 −1
𝑓 4 = 3 ⇒ 𝒚𝟎 = 𝟑
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚. 𝑥 − 𝑥0
𝑦 − 3 = 2. 𝑥 − 4
𝑦 − 3 = 2𝑥 − 8
𝑦 = 2𝑥 − 8 + 3
𝒓𝒕𝒈: 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟓

9. 
Recta normal
 𝑚𝑁 = −
1
𝑚𝑡𝑔
 𝑚𝑁 = −
1
2
 𝑦 − 3 = −
1
2
. 𝑥 − 4
 𝑦 − 3 = −
1
2
𝑥 + 2
 𝑦 = −
1
2
𝑥 + 2 + 3
 𝑟𝑁: 𝑦 = −
1
2
𝑥 + 5

10. 
FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE
 𝑓 𝑥 𝑒𝑠 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 ]𝑎; 𝑏[⇔ 𝑓´
𝑥 > 0 𝑒𝑛 ]𝑎; 𝑏[
 𝑓 𝑥 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 ]𝑐; 𝑑[⇔ 𝑓´ 𝑥 < 0 𝑒𝑛 ]𝑐; 𝑑[
 PUNTOS CRÍTICOS: Se llaman así a aquellos puntos donde la
derivada primera se hace cero (es nula) o no está definida.
𝑳𝒐𝒔 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒄𝒓í𝒕𝒊𝒄𝒐𝒔 𝒔𝒐𝒏 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒆𝒙𝒕𝒓𝒆𝒎𝒐𝒔 (𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐𝒔 𝒐 𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐𝒔)
ANÁLISIS DE FUNCIONES

11. 
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥3
+ 3𝑥2
𝐷𝑓 = ℝ
𝑓´
𝑥 = 3𝑥2
+ 6𝑥
3𝑥2 + 6𝑥 = 0
𝑥. 3𝑥 + 6 = 0
𝑥 = 0 ∨ 3𝑥 + 6 = 0
3𝑥 = −6
𝑥 = −2
Los puntos críticos son 𝑥 = 0 y 𝑥 = −2
Ejemplo

12. b) 𝑔 𝑥 =
3
𝑥 − 2 𝐷𝑔 = ℝ
𝑔 𝑥 = 𝑥 − 2
1
3
𝑔´ 𝑥 =
1
3
𝑥 − 2
−2
3
𝑔´ 𝑥 =
1
3
.
1
𝑥 − 2
2
3
𝑔´ 𝑥 =
1
3
3
𝑥 − 2 2
La derivada no está definida para 𝑥 = 2, ya que este valor
anula el denominador. Por lo tanto; 𝑥 = 2 es un punto
crítico.

13. 
 𝑓 𝑥 𝑒𝑠 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 ]𝑎; 𝑏[⇔ 𝑓´´
𝑥 >
0 𝑒𝑛 ]𝑎; 𝑏[
 𝑓 𝑥 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑎 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 ]𝑎; 𝑏[⇔ 𝑓´´
𝑥 <
0 𝑒𝑛 ]𝑎; 𝑏[
Punto de inflexión: Se llama punto de inflexión, a aquel
punto donde la curva cambia el sentido de concavidad.
Es decir, pasa de ser cóncava a ser convexa, o bien, de
ser convexa a ser cóncava.
FUNCIÓN CÓNCAVA Y
CONVEXA

14. 
 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎:
∗ 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑦 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
∗ 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 (𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠)
 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎:
∗ 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑎
∗ 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛
Resumen

15. 
 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 4𝑥3 + 4𝑥2 𝐷𝑓 = ℝ
Intervalos de crecimiento, decrecimiento y extremos
𝑓´ 𝑥 = 4𝑥3 − 12𝑥2 + 8𝑥
Puntos críticos:
4𝑥3 − 12𝑥2 + 8𝑥 = 0
𝑥(4𝑥2 − 12𝑥 + 8) = 0
𝑥 = 0 ∨ 4𝑥2
− 12𝑥 + 8 = 0
𝑥1,2 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑎 = 4, 𝑏 = −12, 𝑐 = 8
𝑥1,2 =
−(−12)± (−12)2−4.4.8
2.4
⇒ 𝑥1 = 1; 𝑥2 = 2
Ejemplo

16. 
Para analizar los intervalos de crecimiento, decrecimiento y
los extremos en el caso de que existan utilizamos un gráfico
auxiliar.
𝐿𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛: 𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = 2

17. Para analizar los intervalos de crecimiento y decrecimiento
elegimos cuatro valores arbitrariamente: 𝑥 = −1; 𝑥 = 0,5; 𝑥 =
1,5; 𝑥 = 2,5
𝑓´
−1 = 4(−1)3
−12 −1 2
+ 8 −1 = −24
𝑓´
−1 < 0 ⇒ 𝑓 𝑥 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜.
𝑓´ 0,5 = 4(0,5)3−12 0,5 2 + 8 0,5 = 1,5
𝑓´
0,5 > 0 ⇒ 𝑓 𝑥 𝑒𝑠 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜.
𝑓´ 1,5 = 4(1,5)3−12 1,5 2 + 8 1,5 = −1,5
𝑓´ 1,5 < 0 ⇒ 𝑓 𝑥 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜.
𝑓´ 2,5 = 4(2,5)3−12 2,5 2 + 8 2,5 = 7,5
𝑓´ 2,5 > 0 ⇒ 𝑓 𝑥 𝑒𝑠 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜.

18. 𝑓 𝑥 𝑒𝑠 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜: ]0; 1 ∪ 2; +∞[
𝑓 𝑥 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜: ] − ∞; 0 ∪ 1; 2[
𝑇𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑛 1; 1
𝑇𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑛 0; 0 𝑦 (2; 0)

19. 
𝑓´´
𝑥 = 12𝑥2
− 24𝑥 + 8
12𝑥2
− 24𝑥 + 8 = 0
𝑥1,2 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1,2 =
−(−24)± (−24)2−4.12.8
2.12
⇒ 𝑥1 = 1,57; 𝑥2 = 0,42
Así como en la derivada primera utilizamos un gráfico
auxiliar para encontrar los intervalos de crecimiento y
decrecimiento. En la derivada segunda también lo haremos
para encontrar los intervalos de concavidad y los puntos de
inflexión. En este caso tomaremos tres valores arbitrarios:
𝑥 = 0; 𝑥 = 1; 𝑥 = 2
Concavidad

21.  𝑓´´
0 = 12.02
−24.0 + 8 = 8. 𝑓´´
0 > 0 ⇒ 𝑓 𝑥 𝑒𝑠 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎
 𝑓´´
1 = 12.12
−24.1 + 8 = −4. 𝑓´´
1 < 0 ⇒ 𝑓 𝑥 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑎.
 𝑓´´
2 = 12.22
−24.2 + 8 = 8. 𝑓´´
2 > 0 ⇒ 𝑓 𝑥 𝑒𝑠 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎.
 𝑓 𝑥 𝑒𝑠 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 𝑒𝑛 ] − ∞; 0,47 ∪ 1,57; +∞[
 𝑓 𝑥 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑎 𝑒𝑛 ]0,47; 1,57[

22. 
Gráfico

23. 
DEFINICION: La elasticidad puede interpretarse como la
variación porcentual de la cantidad demanda, ante una
variación del precio.
 Demanda Elástica 𝑛 > 1 : Es aquella en la cual el efecto
sobre la cantidad es proporcionalmente mayor que la
variación del precio.
 Demanda Unitaria 𝑛 = 1 : Es aquella en la cual el
efecto sobre la cantidad es idéntica, pero en sentido
contraria, a la variación de precio.
 Demanda Inelástica 𝑛 < 1 : Es aquella en la cual el
efecto sobre la cantidad es proporcionalmente menor
que la variación del precio
ELASTICIDAD

24. 
𝑛 =
𝐸𝑞
𝐸𝑝
=
𝑝
𝐷 𝑝
𝐷´ 𝑝
Ejemplo: Siendo la demanda 𝑞 = 20𝑒−0,5𝑝 , en toneladas de
un cierto producto, donde "𝑝" es el precio y “𝑞” la cantidad.
Determinar:
a) La función elasticidad de la demanda respecto al
precio.
b) Los valores de p para los cuales la demanda es
inelástica
FORMULA:

25. a) 𝑛 =
𝑝
𝐷 𝑝
𝐷´
𝑝
𝑞 = 20𝑒−0,5𝑝
𝒒´ = 20𝑒−0,5𝑝. (−0,5)
𝒒´ = −10𝑒−0,5𝑝
𝑛 =
𝑝
20𝑒−0,5𝑝
. −10𝑒−0,5𝑝
𝑛 = −
1
2
𝑝
𝑛 =
1
2
𝑝

26. 
La demanda es inelástica, si y solo si, 𝑛 < 1
1
2
𝑝 < 1
2.
1
2
𝑝 < 2.1
𝑝 < 2
𝐸𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑒𝑠
𝑖𝑛𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑠 0; 2
b) Encontrar el intervalo del precio para los
cuales la demanda es inelástica.

27. 
Ejemplo N°1: Suponga que el costo total, en miles de
dólares, de la fabricación de “𝑞”, unidades de cierto
producto está dado por la función 𝐶 𝑞 = 3𝑞2 − 18𝑞 + 48.
Determinar:
a) ¿Para qué valores de “q” es mínimo el costo?
b) ¿Cuál es el costo mínimo?
APLICACIONES A LA ECONOMIA

28. 
a) ¿Para qué valores de “𝑞” es mínimo el costo?
𝐶 𝑞 = 3𝑞2 − 18𝑞 + 48
𝐶´ 𝑞 = 6𝑞 − 18
Puntos críticos:
6𝑞 − 18 = 0
6𝑞 = 18
𝑞 = 3
𝐶´ 4 = 6. (4) − 18 ⇒ 𝐶´ 4 = 6
𝐶´ 2 = 6. 2 − 18 ⇒ 𝐶´ 2 = −6
𝑳𝒂 𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒒𝒖𝒆 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒎𝒊𝒛𝒂 𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒆𝒔
𝒒 = 𝟑

29. 
𝐶 3 = 3.32
−18.3 + 48
𝐶 3 = 21
𝐸𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑠 21 (𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠)
b) ¿Cuál es el costo mínimo?

30. Ejemplo N°2: Si la ecuación de la demanda de un
monopolista es 𝑝 = 400 − 2𝑞 y la función costo promedio
es 𝑐 = 0,2𝑞 + 4 +
400
𝑞
, donde 𝑞 es el número de unidades y
𝑝 el precio. (𝑝 y 𝑐 se expresan en miles de dólares).
a) Encontrar la función utilidad.
b) El nivel de producción que maximiza la utilidad.
c) La utilidad máxima.
d) El precio en el que ocurre la utilidad máxima

31. a) Encontrar la función utilidad.
𝑈 𝑞 = 𝐼 𝑞 − 𝐶(𝑞)
No tenemos el ingreso total y tampoco el costo total.
Sabiendo que:
𝐼 𝑞 = 𝑝. 𝑞 (𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑)
𝐼 𝑞 = 400 − 2𝑞 . 𝑞
𝐼 𝑞 = 400𝑞 − 2𝑞2
Usando la fórmula del costo medio podemos encontrar el
costo total
𝐶𝑚𝑒 𝑞 =
𝐶(𝑞)
𝑞
𝐶𝑚𝑒 𝑞 . 𝑞 = 𝐶(𝑞)
𝐶 𝑞 = 0,2𝑞 + 4 +
400
𝑞
. 𝑞
𝐶 𝑞 = 0,2𝑞2
+ 4𝑞 + 400

32. 𝑈 𝑞 = 𝐼 𝑞 − 𝐶(𝑞)
𝑈 𝑞 = 400𝑞 − 2𝑞2 − 0,2𝑞2 + 4𝑞 + 400
𝑈 𝑞 = 400𝑞 − 2𝑞2 − 0,2𝑞2 − 4𝑞 − 400
𝑈 𝑞 = −2,2𝑞2 + 396𝑞 − 400
b) El nivel de producción que maximiza la utilidad.
𝑈 𝑞 = −2,2𝑞2 + 396𝑞 − 400
𝑈´ 𝑞 = −4,4𝑞 + 396
Puntos críticos:
−4,4𝑞 + 396 = 0
−4,4𝑞 = −396
𝑞 = 90

33. 
Analizamos el entorno
𝑈´ 80 = −4,4. (80) + 396
𝑈´ 80 = 44⇒ 𝑈 𝑞 crece
𝑈´ 100 = −4,4. (100) + 396
𝑈´ 100 = −44 ⇒ 𝑈 𝑞 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒
La cantidad que produce la
utilidad máxima es 𝑞 = 90

34. c) La utilidad máxima.
𝑈 90 = −2,2 90 2
+ 396. (90) − 400
𝑈 90 = 17.420
𝐿𝑎 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑒𝑠 𝑑𝑒 17.420 (𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠)
d) El precio en el que ocurre la utilidad máxima.
𝐷: 𝑝 = 400 − 2𝑞
𝑝 = 400 − 2. (90)
𝑝 = 220