En esta presentación se trabaja desde la idea intuitiva del límite, hasta el cálculo de las indeterminaciones y sus aplicaciones directas en cuanto al calculo de asíntotas y el estudio de la continuidad de funciones y especialmente de los tipos de discontinuidad

1. LÍMITES DE
FUNCIONES
Prof. Carlos A. Blanco

2. LÍMITES DE FUNCIONES
En esta presentación trataremos los siguientes apartados:
• Idea intuitiva de límite
• Límites laterales
• Límites infinitos y límites en el infinito
• Propiedades de los límites
• Cálculo de límites
• Indeterminaciones
• Asíntotas y ramas infinitas
• Continuidad

3. IDEA INTUITIVA DE LÍMITE
El límite de una función nos quiere dar una idea del
comportamiento de una función para valores de la variable
independiente próximos a un cierto valor.
Si el valor al que se va a acercar la variable independiente es
𝑥 = 𝑎 , entonces se estudiaran los valores de la variable
dependiente para valores de la variable independiente próximos a
dicho valor 𝑎.
Si la función es 𝑓 𝑥 =
1
𝑥+2
y queremos calcular el límite de
dicha función en 𝑥 = 0, elaboraremos una tabla de valores con
valores próximos a 0:
𝑥 0,1 -0,1 0,01 -0,01 0,001 -0,001
𝑦 0,47619 0,52631 0,49751 0,50251 0,49975 0,50025
Concluimos que el límite de dicha función en 𝑥 = 0 es 0,5

4. IDEA INTUITIVA DE LÍMITE
Si en la función anterior, por contra, queremos calcular el
límite en 𝑥 = −2, tendremos las siguientes tablas de valores:
Cuando una función tenga límite lo
escribiremos de la siguiente manera
lim
𝑥→0
1
𝑥 + 2
=
1
2
𝑥 -1,9 -1,99 -1,999 -1,9999 -1,99999
𝑦 10 100 1000 10000 100000
𝑥 -2,1 -2,01 -2,001 -2,0001 -2,00001
𝑦 -10 -100 -1000 -10000 -100000
Debemos concluir que no existirá el límite de dicha función
para 𝑥 = −2.

5. IDEA INTUITIVA DE LÍMITE
Completa la tabla para calcular lim
𝑥→5
𝑥+4
𝑥−2
, y deduce cuál debe ser el
límite
Dada la función en la gráfica adjunta, ¿cuál crees que será el límite
en 𝑥 = 2? ¿Podemos calcular el límite en 𝑥 = 3? ¿Y en 𝑥 = −2?
𝑥 4,9 5,1 4,99 5,01 4,999 5,001
𝑦
El límite debe ser 3.
𝑥 4,9 5,1 4,99 5,01 4,999 5,001
𝑦 3,068965 2,935483 3,006688 2,993355 3,000666 2,999333
El límite en 𝑥 = 2 es 2.
El límite en 𝑥 = 3 es 3.
No podemos calcular el límite
en 𝑥 = −2 porque no podemos
acercarnos a dicho número

6. IDEA DE LÍMITE Y LÍMITES LATERALES
Al calcular un límite en 𝑥 = 𝑎, nos importan los valores que va
tomando la función al acercarnos a dicho valor 𝑎.
No debemos tener en cuenta el valor que tome la función en
𝑥 = 𝑎, o si quiera si existe la función en dicho punto.
Por ejemplo, antes intentamos calcular el límite de la función
𝑓 𝑥 =
1
𝑥+2
en 𝑥 = −2, y ahí, la función no estaba definida.
Además, los valores que tomaba la función para valores
próximos a −2 y mayores que −2 (al acercarnos a −2 por la
derecha) eran cada vez mayores en valor absoluto y positivos.
Y los valores que tomaba la función para valores próximos a
− 2 y menores que −2 (al acercarnos a −2 por la izquierda) eran
cada vez mayores en valor absoluto y negativos.
Es el concepto de límites laterales:
lim
𝑥→−2+
1
𝑥 + 2
= +∞ lim
𝑥→−2−
1
𝑥 + 2
= −∞

7. IDEA DE LÍMITE Y LÍMITES LATERALES
Si existen los límites laterales en un punto y ambos coinciden,
entonces la función tiene límite en dicho punto y el valor del límite
es el valor de los límites laterales.
lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = 𝑙
lim
𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥 = 𝑙
⇒ lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑙
Si 𝑓 𝑥 =
1
𝑥2, vamos a observar los valores de la función para
valores próximos a 0:
𝑥 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001
𝑦 100 10000 1000000 1 · 108 1 · 1010
𝑥 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001
𝑦 100 10000 1000000 1 · 108
1 · 1010
lim
𝑥→0+
1
𝑥2
= lim
𝑥→0−
1
𝑥2
= lim
𝑥→0
1
𝑥2
= +∞

8. LÍMITES INFINITOS
Decimos que el límite de una función en 𝑥 = 𝑎 es ∞, si al
aproximarnos al valor 𝑎, los valores de la función se hacen
indefinidamente grandes; es decir, son mayores que un valor 𝑀,
sea cual sea dicho valor.
El límite de una función en 𝑥 = 𝑎 es −∞, si los valores de la
función se hacen indefinidamente grandes en valor absoluto y
negativos; es decir, son menores que un valor 𝑁, sea cual sea.
Ejemplo: calculamos lim
𝑥→3
𝑥+1
𝑥−3 2
Al tomar valores próximos a 3 observamos que el numerador
se acerca a 4, mientras que el denominador se acerca a 0 (con
valores positivos)
De este modo, el cociente se hace tan grande como se quiera y
por tanto no se aproxima a ningún número:
lim
𝑥→3
𝑥 − 3 2
= 0 ⟹lim
𝑥→3
𝑥 + 1 = 4 lim
𝑥→3
𝑥 + 1
𝑥 − 3 2
= ∞

9. LÍMITES EN EL INFINITO
Consisten en observar los valores de la función para valores
indefinidamente grandes de la variable independiente (𝑥).
Ejemplo: calculamos lim
𝑥→∞
𝑥2
𝑥+1
−
𝑥2
𝑥−1
A valores cada vez más grandes de 𝑥 se obtienen valores como
los de la tabla abajo.
Concluimos que el límite es −2.
𝑥 10 100 1000 10000 100000
𝑦 -2,02020 -2,00020 -2,000002 -2,00000001 -2,0000000002

10. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
Si lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑙 y lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = 𝑚, entonces se tiene que:
• lim
𝑥→𝑎
𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑙 + 𝑚
• lim
𝑥→𝑎
𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑙 − 𝑚
• lim
𝑥→𝑎
𝑓 · 𝑔 𝑥 = 𝑙 · 𝑚
• lim
𝑥→𝑎
𝑓/𝑔 𝑥 = 𝑙/𝑚, si 𝑚 ≠ 0
• lim
𝑥→𝑎
𝑘 · 𝑓 𝑥 = 𝑘 · 𝑙
• lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥
= 𝑙 𝑚
Las operaciones anteriores son ciertas siempre que tengan
sentido.

11. CÁLCULO DE LÍMITES
Para la mayor parte de funciones, calcular el límite de la
función se reducirá simplemente a sustituir la variable por el valor
y operar:
El problema llega cuando al cambiar la variable por el valor se
obtiene alguna operación que no tiene sentido. En ese caso
hablaremos de indeterminaciones. Dichas indeterminaciones se
irán resolviendo con diferentes técnicas.
lim
𝑥→2
5𝑥 − 10 = 5 · 2 − 10 = 10 − 10 = 0
lim
𝑥→2
𝑥2
− 3𝑥 + 2 = 22
− 3 · 2 + 2 = 4 − 6 + 2 = 0
lim
𝑥→2
𝑥 + 3 = 2 + 3 = 5
lim
𝑥→2
𝑥2
− 1
𝑥
=
22
− 1
2
=
4 − 1
2
=
3
2

12. CÁLCULO DE LÍMITES
Calcula los límites:
a) lim
𝑥→−3
𝑥2
− 2𝑥 = −3 2
− 2 · −3 = 9 + 6 = 15
b) lim
𝑥→2
4𝑥 + 1 = 4 · 2 + 1 = 8 + 1 = 9 = 3
c) lim
𝑥→4
𝑥+2
𝑥−3
=
4+2
4−3
=
6
1
= 6
d) lim
𝑥→2
3𝑥−1
𝑥+4
=
3·2−1
2+4
=
6−1
6
=
5
6
e) lim
𝑥→−1
5𝑥+2
𝑥2 =
5· −1 +2
−1 2 =
−5+2
1
= −3
f) lim
𝑥→−2
𝑥2+1
𝑥+5
=
−2 2+1
−2+5
=
4+1
3
=
5
3
a) lim
𝑥→−3
𝑥2
− 2𝑥 c) lim
𝑥→4
𝑥+2
𝑥−3
e) lim
𝑥→−1
5𝑥+2
𝑥2
b) lim
𝑥→2
4𝑥 + 1 d) lim
𝑥→2
3𝑥−1
𝑥+4
f) lim
𝑥→−2
𝑥2+1
𝑥+5

13. INDETERMINACIONES
En los ejemplos anteriores, obteníamos expresiones que
tenían sentido en ℝ. Se tenían límites determinados.
Si obtuviéramos alguna expresión que no tiene sentido en ℝ,
puede ser que el límite fuera 0 o ∞, o bien una indeterminación:
∞ 𝑘 lim
𝑥→∞
𝑥4 = ∞4 = ∞
𝑘∞, 𝑘 > 1 lim
𝑥→∞
5 𝑥
= 5∞
= ∞
𝑘∞, 0 < 𝑘 < 1 lim
𝑥→∞
0,1 𝑥 = 0,1∞ = 0
𝑘 · ∞ lim
𝑥→∞
5𝑥 = 5 · ∞ = ∞
∞ + 𝑘 lim
𝑥→∞
𝑥 + 1 = ∞ + 1 = ∞
𝑘
∞
lim
𝑥→∞
3
𝑥 = 3
∞ = 0
∞ · ∞ lim
𝑥→∞
𝑥2 · 2 𝑥 = ∞ · ∞ = ∞
∞∞ lim
𝑥→∞
𝑥 𝑥 = ∞∞ = ∞
∞ + ∞ lim
𝑥→∞
𝑥2
+ 𝑥 = ∞ + ∞ = ∞
∞
∞
lim
𝑥→∞
3𝑥+2
2𝑥+1
0
0
lim
𝑥→2
𝑥2−4
𝑥−2
𝑘
0
lim
𝑥→1
𝑥
𝑥−1
0 · ∞ lim
𝑥→∞
𝑥2 · 𝑒−𝑥
∞ − ∞ lim
𝑥→∞
𝑥2
𝑥−1 − 𝑥2
𝑥+1
1∞ lim
𝑥→∞
𝑥+1
𝑥−1
𝑥
∞0 lim
𝑥→3
1
𝑥2−9
𝑥−3
00 lim
𝑥→0
𝑥 𝑥

14. INDETERMINACIÓN
∞
∞
Empecemos ahora resolviendo cada una de las
indeterminaciones anteriores. Comenzamos por las
indeterminaciones tipo cociente, y entre ellas, por
∞
∞
.
Cuando estas indeterminaciones vienen de un límite en el
infinito de un cociente de polinomios, dividiremos todos los
términos del límite por la potencia de mayor grado:
lim
𝑥→∞
2𝑥3 + 𝑥
3𝑥 + 2
= lim
𝑥→∞
2𝑥3
𝑥3 +
𝑥
𝑥3
3𝑥
𝑥3+
2
𝑥3
= lim
𝑥→∞
2+
1
𝑥2
3
𝑥2+
2
𝑥3
=
2
0
= ∞
lim
𝑥→∞
2𝑥2 − 1
3𝑥2 + 2
= lim
𝑥→∞
2𝑥2
𝑥2 −
1
𝑥2
3𝑥2
𝑥2 +
2
𝑥2
= lim
𝑥→∞
2−
1
𝑥2
3+
2
𝑥2
=
2
3
lim
𝑥→∞
2𝑥 + 1
3𝑥2 + 2
= lim
𝑥→∞
2𝑥
𝑥2+
1
𝑥2
3𝑥2
𝑥2 +
2
𝑥2
= lim
𝑥→∞
2
𝑥
+
1
𝑥2
3+
2
𝑥2
=
0
3
= 0

15. INDETERMINACIÓN
∞
∞
Calcula los siguientes límites:
a) lim
𝑥→∞
6𝑥2−5𝑥
2𝑥2+3
=
∞
∞
= lim
𝑥→∞
6𝑥2
𝑥2 −
5𝑥
𝑥2
2𝑥2
𝑥2 +
3
𝑥2
= lim
𝑥→∞
6−
5
𝑥
2+
3
𝑥2
=
6−0
2+0
=
6
2
= 3
b) lim
𝑥→∞
2−3𝑥2
4𝑥+1
=
∞
∞
= lim
𝑥→∞
2
𝑥2−
3𝑥2
𝑥2
4𝑥
𝑥2+
1
𝑥2
= lim
𝑥→∞
2
𝑥2−3
4
𝑥
+
1
𝑥2
=
0−3
0+0
= −∞
c) lim
𝑥→−∞
1−𝑥3
2−𝑥2 =
∞
∞
= lim
𝑥→−∞
1
𝑥3−
𝑥3
𝑥3
2
𝑥3−
𝑥2
𝑥3
= lim
𝑥→−∞
1
𝑥3−1
2
𝑥3−
1
𝑥
=
0−1
0+0
= −∞
d) lim
𝑥→−∞
𝑥+1
𝑥2+1
=
∞
∞
= lim
𝑥→−∞
𝑥
𝑥2+
1
𝑥2
𝑥2
𝑥2+
1
𝑥2
= lim
𝑥→−∞
1
𝑥
+
1
𝑥2
1+
1
𝑥2
=
0+0
1+0
= 0
a) lim
𝑥→∞
6𝑥2−5𝑥
2𝑥2+3
c) lim
𝑥→−∞
1−𝑥3
2−𝑥2
b) lim
𝑥→∞
2−3𝑥2
4𝑥+1
d) lim
𝑥→−∞
𝑥+1
𝑥2+1

16. INDETERMINACIÓN
𝟎
𝟎
La siguiente indeterminación es del tipo
0
0
.
En este caso, si el límite es el de un cociente de polinomios, el
hecho de que la indeterminación sea
0
0
significa que el punto en el
que estamos calculando el límite es una raíz tanto del numerador
como del denominador. En ese caso, basta con descomponer
dichos polinomios y simplificar:
lim
𝑥→2
𝑥2
− 3𝑥 + 2
𝑥2 − 4
= lim
𝑥→2
𝑥 − 1 𝑥 − 2
𝑥 + 2 𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
𝑥 − 1
𝑥 + 2
=
1
4
lim
𝑥→5
𝑥 − 5
𝑥2 − 5𝑥
= lim
𝑥→2
𝑥 − 5
𝑥 𝑥 − 5
= lim
𝑥→2
1
𝑥
=
1
5

17. INDETERMINACIÓN
𝟎
𝟎
Calcula
a) lim
𝑥→1
𝑥2−𝑥
𝑥2+𝑥−2
=
0
0
= lim
𝑥→1
𝑥 𝑥−1
𝑥−1 𝑥+2
= lim
𝑥→1
𝑥
𝑥+2
=
1
1+2
=
1
3
b) lim
𝑥→−1
1−𝑥2
𝑥+1
=
0
0
= lim
𝑥→−1
1+𝑥 1−𝑥
𝑥+1
= lim
𝑥→−1
1−𝑥
1
=
1− −1
1
= 2
c) lim
𝑥→2
𝑥2−𝑥−2
4−𝑥2 =
0
0
= lim
𝑥→2
𝑥+1 𝑥−2
2+𝑥 2−𝑥
= lim
𝑥→2
−1· 𝑥+1
2+𝑥
=
−1· 2+1
2+2
=
−3
4
d) lim
𝑥→−3
𝑥+3
𝑥2+4𝑥+3
=
0
0
= lim
𝑥→−3
𝑥+3
𝑥+1 𝑥+3
= lim
𝑥→−3
1
𝑥+1
=
1
−3+1
=
1
−2
a) lim
𝑥→1
𝑥2−𝑥
𝑥2+𝑥−2
c) lim
𝑥→2
𝑥2−𝑥−2
4−𝑥2
b) lim
𝑥→−1
1−𝑥2
𝑥+1
d) lim
𝑥→−3
𝑥+3
𝑥2+4𝑥+3

18. INDETERMINACIÓN
𝒌
𝟎
Realmente
𝑘
0
no es exactamente una indeterminación, puesto
que si en una división el denominador se va haciendo cada vez más
pequeño, el cociente tiende a ser cada vez más grande, con lo que
el resultado será ∞.
La única cuestión es conocer el signo, y eso lo resolveremos
con límites laterales:
lim
𝑥→2
𝑥 + 2
𝑥2 − 4
=
4
0
⟹
lim
𝑥→2+
𝑥 + 2
𝑥2 − 4
=
4
0+ = +∞
lim
𝑥→2−
𝑥 + 2
𝑥2 − 4
=
4
0−
= −∞
0+
indica que el valor se acerca a cero con valores positivos y
0−
indica que el valor se acerca a cero con valores negativos

19. INDETERMINACIÓN
𝒌
𝟎
Calcula lim
𝑥→1
𝑥+2
1−𝑥2
lim
𝑥→1
𝑥 + 2
1 − 𝑥2
=
3
0
⟹
lim
𝑥→1+
𝑥 + 2
1 − 𝑥2
=
3
0−
= −∞
lim
𝑥→1−
𝑥 + 2
1 − 𝑥2
=
3
0+
= +∞
Calcula lim
𝑥→1
𝑥+2
𝑥−1 2
lim
𝑥→1
𝑥 + 2
𝑥 − 1 2 =
3
0
⟹
lim
𝑥→1+
𝑥 + 2
𝑥 − 1 2
=
3
0+
= +∞
lim
𝑥→1−
𝑥 + 2
𝑥 − 1 2
=
3
0+
= +∞
Calcula lim
𝑥→−3
𝑥+5
𝑥2−9
lim
𝑥→−3
𝑥 + 5
𝑥2 − 9
=
2
0
⟹
lim
𝑥→−3+
𝑥 + 5
𝑥2 − 9
=
2
0−
= −∞
lim
𝑥→−3−
𝑥 + 5
𝑥2 − 9
=
2
0+ = +∞

20. INDETERMINACIÓN TIPO COCIENTE
Si calculamos un límite en el que hay raíces cuadradas y la
indeterminación es
∞
∞
, debemos tener en cuenta que el grado del
radicando se divide entre dos y que el exponente de 𝑥 se
multiplica por dos al entrar a la raíz:
Si calculamos un límite en el que hay raíces cuadradas y la
indeterminación es
0
0
, lo que haremos será multiplicar numerador y
denominador por el conjugado de la expresión radical:
lim
𝑥→∞
𝑥2 + 1
𝑥 + 1
= lim
𝑥→∞
𝑥2
𝑥2 + 1
𝑥2
𝑥
𝑥
+ 1
𝑥
= lim
𝑥→∞
1 + 1
𝑥2
1 + 1
𝑥
= 1
= lim
𝑥→2
4𝑥 + 1 − 9
𝑥 − 2 4𝑥 + 1 + 3
= lim
𝑥→2
4 𝑥 − 2
𝑥 − 2 4𝑥 + 1 + 3
lim
𝑥→2
4𝑥 + 1 − 3
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
4𝑥 + 1 − 3 4𝑥 + 1 + 3
𝑥 − 2 4𝑥 + 1 + 3
=
=
4
6

21. INDETERMINACIÓN TIPO COCIENTE
Calcula lim
𝑥→∞
3𝑥+2
𝑥2+1
lim
𝑥→∞
3𝑥 + 2
𝑥2 + 1
=
∞
∞
= lim
𝑥→∞
3𝑥
𝑥 +
2
𝑥
𝑥2
𝑥2 + 1
𝑥2
= lim
𝑥→∞
3 + 2
𝑥
1 + 1
𝑥2
= 3
Calcula lim
𝑥→3
𝑥−3
2− 𝑥+1
lim
𝑥→3
𝑥 − 3
2 − 𝑥 + 1
=
0
0
= lim
𝑥→3
𝑥 − 3 2 + 𝑥 + 1
2 − 𝑥 + 1 2 + 𝑥 + 1
=
= lim
𝑥→3
𝑥 − 3 2 + 𝑥 + 1
4 − 𝑥 + 1
= lim
𝑥→3
𝑥 − 3 2 + 𝑥 + 1
3 − 𝑥
=
= lim
𝑥→3
−1 · 2 + 𝑥 + 1 = −1 · 2 + 3 + 1 = −4

22. INDETERMINACIÓN 𝟎 · ∞
En estos casos, intentaremos reducir la indeterminación a una
del tipo cociente observando que:
En la mayor parte de las situaciones, basta con operar para
reducir la indeterminación a una del tipo cociente:
lim
𝑥→∞
𝑥 + 2
4
𝑥2 + 1
= lim
𝑥→∞
2 𝑥 + 2
𝑥2 + 1
= lim
𝑥→∞
2𝑥
𝑥
+
4
𝑥
𝑥2
𝑥2 + 1
𝑥2
= lim
𝑥→∞
2+
4
𝑥
1 + 1
𝑥2
= 2
𝑓 𝑥 · 𝑔 𝑥 =
𝑓 𝑥
1
𝑔 𝑥

23. INDETERMINACIÓN ∞ − ∞
Igual que en el caso anterior, hay que reducir esta
indeterminación a alguna de los tipos anteriores:
En la mayor parte de las situaciones, basta con operar:
Si en el límite hay raíces cuadradas, multiplicamos y dividimos
por el conjugado de la expresión radical:
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 · 1 −
𝑔 𝑥
𝑓 𝑥
=
𝑓 𝑥
1
1 − 𝑔 𝑥
𝑓 𝑥
lim
𝑥→1
1
𝑥 − 1
−
𝑥
𝑥2 − 1
= lim
𝑥→1
𝑥 + 1 − 𝑥
𝑥2 − 1
= lim
𝑥→1
1
𝑥2 − 1
⟹
lim
𝑥→1+
1
𝑥2 − 1
=
1
0+
= +∞
lim
𝑥→1−
1
𝑥2 − 1
=
1
0−
= −∞
lim
𝑥→∞
𝑥 + 1 − 𝑥 = lim
𝑥→∞
𝑥 + 1 − 𝑥 𝑥 + 1 + 𝑥
𝑥 + 1 + 𝑥
= lim
𝑥→∞
𝑥 + 1 − 𝑥
𝑥 + 1 + 𝑥
=
= lim
𝑥→∞
1
𝑥 + 1 + 𝑥
=
1
∞
= 0

24. INDETERMINACIÓN ∞ − ∞
Calcula lim
𝑥→∞
𝑥2
𝑥−1
−
𝑥3
𝑥2−1
lim
𝑥→∞
𝑥2
𝑥 − 1
−
𝑥3
𝑥2 − 1
= ∞ − ∞ = lim
𝑥→∞
𝑥2 𝑥 + 1 − 𝑥3
𝑥2 − 1
=
= lim
𝑥→∞
𝑥3
+ 𝑥2
− 𝑥3
𝑥2 − 1
= lim
𝑥→∞
𝑥2
𝑥2 − 1
=
∞
∞
= lim
𝑥→∞
𝑥2
𝑥2
𝑥2
𝑥2 − 1
𝑥2
= lim
𝑥→∞
1
1 − 1
𝑥2
= 1
Calcula lim
𝑥→∞
𝑥2 + 5𝑥 − 𝑥2 − 3𝑥
lim
𝑥→∞
𝑥2 + 5𝑥 − 𝑥2 − 3𝑥 = ∞ − ∞ =
= lim
𝑥→∞
𝑥2 + 5𝑥 − 𝑥2 − 3𝑥 𝑥2 + 5𝑥 + 𝑥2 − 3𝑥
𝑥2 + 5𝑥 + 𝑥2 − 3𝑥
= lim
𝑥→∞
𝑥2 + 5𝑥 − 𝑥2 − 3𝑥
𝑥2 + 5𝑥 + 𝑥2 − 3𝑥
=
= lim
𝑥→∞
8𝑥
𝑥2 + 5𝑥 + 𝑥2 − 3𝑥
= lim
𝑥→∞
8𝑥
𝑥
𝑥2
𝑥2 + 5𝑥
𝑥2 + 𝑥2
𝑥2 − 3𝑥
𝑥2
= lim
𝑥→∞
8
1 + 5
𝑥 + 1 − 3
𝑥
= 4

25. INDETERMINACIÓN TIPO POTENCIA
Casi todas las indeterminaciones tipo potencia se pueden
reducir a la indeterminación 1∞. Para resolverlas necesitaremos
conocer un teorema:
Teorema: lim
𝑛→∞
1 +
1
𝑛
𝑛
= 𝑒
No damos la demostración del teorema, sino que simplemente
observaremos el comportamiento de la sucesión para algunos
valores de 𝑛:
𝑛
1 +
1
𝑛
𝑛
1 10000 100000
2
10 100 1000
2,5937 2,71812,7048 2,7169 2,7182
Se observa que la sucesión es creciente y acotada. El valor del
límite es el número 𝑒 = 2,7182818 …

26. INDETERMINACIÓN TIPO POTENCIA
Como consecuencia del teorema anterior, se tiene otro similar:
Teorema: Si lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = ∞ entonces lim
𝑥→𝑎
1 +
1
𝑓 𝑥
𝑓 𝑥
= 𝑒
De este modo, para resolver una indeterminación tipo
potencia, el objetivo es convertir la expresión inicial en una del
tipo de este teorema:
lim
𝑥→∞
𝑥 + 1
𝑥 − 1
2𝑥
= lim
𝑥→∞
1 +
𝑥 + 1
𝑥 − 1
− 1
2𝑥
= lim
𝑥→∞
1 +
𝑥 + 1 − 𝑥 + 1
𝑥 − 1
2𝑥
=
= lim
𝑥→∞
1 +
2
𝑥 − 1
2𝑥
= lim
𝑥→∞
1 +
1
𝑥 − 1
2
2𝑥
= lim
𝑥→∞
1 +
1
𝑥 − 1
2
𝑥−1
2
·
2
𝑥−1
·2𝑥
=
= lim
𝑥→∞
1 +
1
𝑥 − 1
2
𝑥−1
2
4𝑥
𝑥−1
= 𝑒
lim
𝑥→∞
4𝑥
𝑥−1 = 𝑒4

27. INDETERMINACIÓN TIPO POTENCIA
De la construcción anterior, se deduce que para resolver una
indeterminación tipo potencia, podemos usar la siguiente fórmula:
lim
𝑥→∞
𝑥 + 1
𝑥 − 1
2𝑥
= 𝑒
lim
𝑥→∞
𝑥+1
𝑥−1
−1 ·2𝑥
= 𝑒
lim
𝑥→∞
𝑥+1−𝑥+1
𝑥−1
·2𝑥
=
= 𝑒
lim
𝑥→∞
2
𝑥−1
·2𝑥
= 𝑒
lim
𝑥→∞
4𝑥
𝑥−1 = 𝑒
lim
𝑥→∞
4𝑥
𝑥
𝑥
𝑥−
1
𝑥 = 𝑒
lim
𝑥→∞
4
1−
1
𝑥 = 𝑒4
Si lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 1∞ ⟹ lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑒
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 −1 ·𝑔 𝑥

28. INDETERMINACIÓN TIPO POTENCIA
Calcula lim
𝑥→∞
2𝑥+1
2𝑥−1
𝑥
lim
𝑥→∞
2𝑥 + 1
2𝑥 − 1
𝑥
= lim
𝑥→∞
1 +
2𝑥 + 1
2𝑥 − 1
− 1
𝑥
= lim
𝑥→∞
1 +
2
2𝑥 − 1
𝑥
=
= lim
𝑥→∞
1 +
1
2𝑥 − 1
2
𝑥
= lim
𝑥→∞
1 +
1
2𝑥 − 1
2
2𝑥−1
2
·
2
2𝑥−1
·𝑥
=
= lim
𝑥→∞
1 +
1
2𝑥 − 1
2
2𝑥−1
2
2𝑥
2𝑥−1
= 𝑒
lim
𝑥→∞
2𝑥
2𝑥−1 = 𝑒1 = 𝑒

29. ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS
Una rama infinita de una función es cualquier porción
continua de su gráfica que tenga longitud infinita. Las ramas
infinitas aparecen cuando las variables se hacen +∞ o −∞
Una asíntota es una recta hacia la que se aproxima una rama
infinita de una función.
• Si la recta es vertical hablamos de asíntotas verticales
• Si la recta es horizontal hablamos de asíntotas horizontales
• Si la recta es oblicua hablamos de asíntotas oblicuas.

30. CÁLCULO DE LAS ASÍNTOTAS
Asíntotas verticales: Las asíntotas verticales se encuentra en
puntos que no se encuentran en el dominio de la función. Más
concretamente, en la frontera de su dominio.
Para que una función tenga una asíntota vertical en un punto
𝑥 = 𝑎, debe suceder que:
Ejemplos: Busca las AV de 𝑓 𝑥 =
1
𝑥−1
y 𝑔 𝑥 =
𝑥2−1
𝑥−1
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = ±∞
lim
𝑥→1+
1
𝑥−1
= +∞
lim
𝑥→1−
1
𝑥−1
= −∞
lim
𝑥→1
𝑥2−1
𝑥−1
= 2

31. CÁLCULO DE LAS ASÍNTOTAS
Asíntotas horizontales: Para que una función tenga una
asíntota horizontal, debe suceder que:
Ejemplos: Busca las AH de 𝑓 𝑥 =
𝑥2+3
𝑥2+1
y 𝑔 𝑥 =
𝑥4+1
𝑥2+1
lim
𝑥→∞
𝑓 𝑥 = 𝑎 ∈ ℝ
lim
𝑥→∞
𝑥2+3
𝑥2+1
= 1 lim
𝑥→∞
𝑥4+1
𝑥2+1
= ∞

32. CÁLCULO DE LAS ASÍNTOTAS
Asíntotas oblicuas: Las asíntotas oblicuas son rectas oblicuas
que se aproximan a una de las ramas infinitas de la función.
La ecuación de dichas rectas será de la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛, con
lo que basta calcular la pendiente y la ordenada de dicha recta.
Para ello se usan las siguientes fórmulas:
Obviamente, ambos límites deben existir y ser números reales.
Ejemplo: Busca la AO de la función 𝑓 𝑥 =
𝑥2−1
𝑥
𝑚 = lim
𝑥→∞
𝑓 𝑥
𝑥
𝑛 = lim
𝑥→∞
𝑓 𝑥 − 𝑚𝑥
𝑚 = lim
𝑥→∞
𝑥2−1
𝑥2 = 1
𝑛 = lim
𝑥→∞
𝑥2−1
𝑥
− 𝑥 = lim
𝑥→∞
−1
𝑥
= 0
La asíntota oblicua es 𝑦 = 𝑥

33. CÁLCULO DE LAS ASÍNTOTAS
Calcula las asíntotas de 𝑓 𝑥 =
2−𝑥
𝑥2−4
• AV: El denominador se anula en 𝑥 = 2 y en 𝑥 = −2. Probamos:
lim
𝑥→2
2−𝑥
𝑥2−4
=
−1
4
no AV en 𝑥 = 2
lim
𝑥→−2+
2−𝑥
𝑥2−4
=
4
0− = −∞ y lim
𝑥→−2−
2−𝑥
𝑥2−4
=
4
0+ = +∞
Luego hay AV en 𝑥 = −2
• AH: Calculamos el límite en ∞
lim
𝑥→∞
2−𝑥
𝑥2−4
= lim
𝑥→∞
2
𝑥2−
𝑥
𝑥2
𝑥2
𝑥2−
4
𝑥2
= lim
𝑥→∞
2
𝑥2−
1
𝑥
1−
4
𝑥2
= 0 ⇒ Hay AH: 𝑦 = 2
• AO: Como hay AH no puede haber AO.
Las asíntotas de la función son 𝑥 = −2 y 𝑦 = 2.

34. CÁLCULO DE LAS ASÍNTOTAS
Calcula las asíntotas de 𝑓 𝑥 =
𝑥2
𝑥−1
• AV: El denominador se anula en 𝑥 = 1. Probamos:
lim
𝑥→1+
𝑥2
𝑥−1
= +∞ y lim
𝑥→1−
𝑥2
𝑥−1
= −∞ ⇒ hay AV en 𝑥 = 1
• AH: Calculamos el límite en ∞
lim
𝑥→∞
𝑥2
𝑥−1
= lim
𝑥→∞
𝑥2
𝑥2
𝑥
𝑥2−
1
𝑥2
= lim
𝑥→∞
1
1
𝑥
−
1
𝑥2
= ∞ ⇒ no hay AH
• AO: Como no hay AH puede haber AO.
𝑚 = lim
𝑥→∞
𝑥2
𝑥2−𝑥
= lim
𝑥→∞
𝑥2
𝑥2
𝑥2
𝑥2−
𝑥
𝑥2
= lim
𝑥→∞
1
1−
1
𝑥
= 1
𝑛 = lim
𝑥→∞
𝑥2
𝑥−1
− 𝑥 = lim
𝑥→∞
𝑥2−𝑥2+𝑥
𝑥−1
= lim
𝑥→∞
𝑥
𝑥−1
= 1
⇒ hay AO 𝑦 = 𝑥 + 1
Las asíntotas de la función son 𝑥 = 1 y 𝑦 = 𝑥 + 1 .

35. CONTINUIDAD
Se tiene que una función es continua si se puede dibujar
“continuamente” sin levantar el lápiz del papel.
Esto se formaliza, a través de las nociones de límites
estudiadas hasta ahora, en que una función es continua en un
punto 𝑎, si cumple:
Observamos que deben cumplirse tres condiciones:
• La función debe estar definida en el punto (debe existir 𝑓 𝑎 )
• Debe existir el límite de la función en dicho punto.
• Ambos valores deben coincidir.
Si alguna de estas condiciones no se cumple, decimos que la
función presenta algún tipo de discontinuidad en el punto.
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎

36. CONTINUIDAD
Observamos los siguientes ejemplos:
Esta función es continua en todos sus puntos,
porque para todos ellos se tiene que:
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎
Esta función presenta una discontinuidad
evitable en 𝑥 = 1, puesto que
lim
𝑥→1
𝑓 𝑥 = −1
𝑓 1 = 1
⇒ lim
𝑥→1
𝑓 𝑥 ≠ 𝑓 1

37. CONTINUIDAD
Más ejemplos:
Esta función presenta una discontinuidad de
salto infinito en 𝑥 = 1, puesto que
lim
𝑥→1+
𝑓 𝑥 = ∞
lim
𝑥→1−
𝑓 𝑥 = −∞
La función no tiene límite en 𝑥 = 1, siendo los
límites laterales infinitos.
Esta función presenta una discontinuidad de
salto finito en 𝑥 = 1, puesto que
lim
𝑥→1+
𝑓 𝑥 = −1
lim
𝑥→1−
𝑓 𝑥 = 2
La función no tiene límite en 𝑥 = 1, siendo los
límites laterales finitos.

38. CONTINUIDAD
Estudia la continuidad de la función 𝑓 𝑥 =
𝑥+2
𝑥−1
Estudia la continuidad de la función 𝑓 𝑥 =
𝑥2
+ 1, 𝑠𝑖 𝑥 < 1
𝑥 − 3, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1
Puesto que es una función racional cuyo denominador se anula en
𝑥 = 1, la función no está definida en dicho punto y por tanto será
discontinua. Estudiamos el tipo de discontinuidad calculando el
límite:
lim
𝑥→1−
𝑥+2
𝑥−1
=
3
0− = −∞ y lim
𝑥→1+
𝑥+2
𝑥−1
=
3
0+ = +∞
La discontinuidad es de salto infinito.
Se trata de una función a trozos, siendo cada trozo una función
polinómica, y por tanto continuas en sus dominios de definición.
El único punto en el que se debe estudiar la continuidad es donde
se unen dichos trozos:
lim
𝑥→1−
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→1−
𝑥2 + 1 = 2 ≠ lim
𝑥→1+
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→1+
𝑥 − 3 = −2
La función tiene una discontinuidad de salto finito en 𝑥 = 1.