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S053-Limite.pptx
- 1. VALOR LÍMITE DE UNAFUNCIÓN Docente: Mo Broncano T. Juan C.
- 2. LOGRO DE SESIÓN Alfinalizar la sesión, el estudiante comprende, calcula y analiza el valor límite de una función de variable real para representar y resolver problemas prácticos concernientes a su carrera profesional.
- 3. Datos/Observaciones Valor Límite deuna Función. 1 Límites Laterales. 2 Límites Trigonométricos. 3 Límites Infinitos. 4 Límites al infinito. 5
- 4. Datos/Observaciones Dada la función𝑓 𝑥 = 2−𝑥 𝑥2−9 El valor de 𝑓 3 = 0 0 La representación simbólica: 𝑥 ⟶ 𝑎 significa: El valor 𝑥 es un valor muy cercano al valor 𝑎 por ejemplo si 𝑎 = 1entonces 𝑥 = 0.97; 0.988; 0.999; … . . Decir indeterminado no es lo mismo que decir no existe. Pues un valor indeterminado no se puede predecir. El valor lim 𝑥⟶𝑎 𝑓 𝑥 = 𝐿 es único. Es decir lim 𝑥⟶𝑎 𝑓(𝑥) no puede tener dos valores diferentes Decimos que lim 𝑥⟶𝑎 𝑓(𝑥) existe si y solo si: lim 𝑥⟶𝑎− 𝑓(𝑥) = lim 𝑥⟶𝑎+ 𝑓(𝑥) Los límites indeterminados no indican que el límite no exista. Se tendrán que hacer operaciones adicionales para eliminar la indeterminación. La representación simbólica: 𝑥 ⟶ 𝑎+ significa: El valor 𝑥 es un valor muy cercano al valor 𝑎 por la derecha. Es decir 𝑥 > 𝑎 La representación simbólica: 𝑥 ⟶ 𝑎− significa: El valor 𝑥 es un valor muy cercano al valor 𝑎 por la izquierda. Es decir 𝑥 < 𝑎 V V V V V V V V
- 5. Datos/Observaciones ¿Para qué mesirve estudiar el valor límite de una función?
- 6. Cálculo de límites Debemos buscar el factor : t− −7 = 𝑡 + 7 Factorizar: Reemplazar: Debemos buscar el factor : 𝑥 − −1 = 𝑥 + 1 Factorizar: 𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 6 Reemplazar: Debemos buscar el factor : 𝑢 − 1 Factorizar: (2𝑢 − 2)3 = 23 (𝑢 − 1)3 Reemplazar: Cálculo de Límites 𝑡 + 7 𝑡 − 3 𝑡3 + 4𝑡 − 21 = (𝑡 + 7)(𝑡 − 3) (𝑡 + 7)(𝑡 − 3) −10 1 − 4 + 1 + 6 𝑥 = −1 1 −1 −5 5 6 −6 0 Luego 𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 + 1)(𝑥2 − 5𝑥 + 6) = lim 𝑥⟶−1 (𝑥 + 1)(𝑥2 − 5𝑥 + 6) 𝑥 + 1 = 12 = lim 𝑢⟶1 8 𝑢 − 1 3 (3𝑢 + 4) (𝑢 − 1)2 = 0
- 7. Cuando hay radicalesen el denominador se debe racionalizar lim 𝑥⟶1 𝑥 − 1 𝑥 − 1 = lim 𝑥⟶1 𝑥 − 1 𝑥 − 1 × 𝑥 + 1 𝑥 + 1 = lim 𝑥⟶1 (𝑥 − 1)( 𝑥 + 1) 𝑥 − 1 = 2 Cuando hay radicales en el numerador se debe racionalizar lim 𝑥⟶4 1 + 2𝑥 − 3 𝑥 − 4 = lim 𝑥⟶4 1 + 2𝑥 − 3 𝑥 − 4 × 1 + 2𝑥 + 3 1 + 2𝑥 + 3 = lim 𝑥⟶4 1 + 2𝑥 − 9 (𝑥 − 4)( 1 + 2𝑥 + 3) = lim 𝑥⟶4 2𝑥 − 8 (𝑥 − 4)( 1 + 2𝑥 + 3) = lim 𝑥⟶4 2(𝑥 − 4) (𝑥 − 4)( 1 + 2𝑥 + 3) = 2 6 = 1 3 Cuando hay radicales se debe racionalizar lim 𝑥⟶3 2𝑥 + 3 − 3 𝑥 + 1 − 2 = lim 𝑥⟶3 2𝑥 + 3 − 3 𝑥 + 1 − 2 × 2𝑥 + 3 + 3 2𝑥 + 3 + 3 = lim 𝑥⟶3 (2𝑥 + 3) − 9 ( 𝑥 + 1 − 2)( 2𝑥 + 3 + 3) = lim 𝑥⟶3 2(𝑥 − 3) ( 𝑥 + 1 − 2)( 2𝑥 + 3 + 3) × 𝑥 + 1 + 2 𝑥 + 1 + 2 = lim 𝑥⟶3 2(𝑥 − 3)( 𝑥 + 1 + 2) (𝑥 + 1) − 4 ( 2𝑥 + 3 + 3) = lim 𝑥⟶3 2(𝑥 − 3)( 𝑥 + 1 + 2) 𝑥 − 3 ( 2𝑥 + 3 + 3) = 8 6 = 4 3 Cálculo de límites
- 8. lim 𝑥⟶2 (𝑓𝑜𝑔)(𝑥 + 2) (𝑔𝑜𝑓)(𝑥+ 1) = lim 𝑥⟶2 𝑓(𝑔 𝑥 + 2 ) 𝑔(𝑓 𝑥 + 1 ) = lim 𝑥⟶2 𝑔(𝑥 + 2) 3𝑓 𝑥 + 1 + 1 ⟹ lim 𝑥⟶1 𝑥3 − 2𝑎2 𝑥 + 𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑥2 2𝑎𝑥 + 𝑥2 = 0 ⟹ lim 𝑥⟶1 𝑥3 + 𝑥2 𝑎 + 1 + 2𝑎 − 2𝑎2 𝑥 2𝑎𝑥 + 𝑥2 = 0 ⟹ 1 + 𝑎 + 1 + 2𝑎 − 2𝑎2 = 0 Es claro que el factor (𝑥 − 1) no aparece en el numerador ni en el denominador para cualquier valor que se le asigna a la variable 𝑎. Por lo tanto debemos evaluar el límite en 𝑥 = 1 y notar que la única posibilidad es que el numerador sea cero para que se cumpla la igualdad. ⟹ 2𝑎2 − 3𝑎 − 2 = 0 ⟹ (𝑎 − 2)(2𝑎 + 1) = 0 ⟹ 𝑎 = 2 ∨ 𝑎 = −1/2 Como: lim 𝑥⟶1 𝑥3 − 2𝑎2 𝑥 + 𝑎𝑥2 2𝑎𝑥 + 𝑥2 = −1 ⟹ lim 𝑥⟶1 𝑥3 − 2𝑎2 𝑥 + 𝑎𝑥2 2𝑎𝑥 + 𝑥2 + 1 = 0 = lim 𝑥⟶2 3 𝑥 + 2 + 1 3 𝑥 + 1 + 1 = lim 𝑥⟶2 3𝑥 + 7 3𝑥 + 4 Es claro que el factor (𝑥 − 2) no aparece en el numerador ni en el denominador. Por lo tanto debemos evaluar el límite en 𝑥 = 2 lim 𝑥⟶2 (𝑓𝑜𝑔)(𝑥 + 2) (𝑔𝑜𝑓)(𝑥 + 1) = 13 10 Cálculo de límites
- 9. lim 𝑥⟶𝑎 𝑓2 𝑥 +𝑔2(𝑥) = lim 𝑥⟶𝑎 𝑓(𝑥) 2 + lim 𝑥⟶𝑎 𝑔(𝑥) 2 = 10 lim 𝑥⟶𝑎 2𝑓 𝑥 − 3𝑔(𝑥) lim 𝑥⟶𝑎 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) = 2 lim 𝑥⟶𝑎 𝑓 𝑥 − 3 lim 𝑥⟶𝑎 𝑔(𝑥) lim 𝑥⟶𝑎 𝑓 𝑥 + lim 𝑥⟶𝑎 𝑔(𝑥) = 9 2 lim 𝑥⟶𝑎 (𝑓 𝑥 − 3) 4 = lim 𝑥⟶𝑎 𝑓 𝑥 − 3 4 = 0 Cálculo de límites
- 10. 𝑥 tiende ala izquierda significa 𝑥 < 1 𝑥 tiende a la derecha significa 𝑥 > 1 Si los limites laterales son diferentes, entonces el valor limite de la función no existe. Límites Laterales Dado el gráfico de la función 𝑓 determine el valor: Límites laterales 0 4 −1 2 0 −3
- 11. Si los limiteslaterales son diferentes, entonces el valor limite de la función no existe. Límites laterales
- 12. Límites laterales Se sabepor definición de valor absoluto 1 − 𝑥 = 𝑥 − 1 = 𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 − 1 > 0 ⟹ 𝑥 > 1 −𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 − 1 < 0 ⟹ 𝑥 < 1 Luego, cuando hay un valor absoluto se debe hallar los límites laterales lim 𝑥⟶1+ 𝑥 + 𝑥 − 1 𝑥2 + 1 = lim 𝑥⟶1+ 𝑥 + 𝑥 − 1 𝑥2 + 1 = lim 𝑥⟶1+ 2𝑥 − 1 𝑥2 + 1 = 1 2 lim 𝑥⟶1− 𝑥 + 1 − 𝑥 𝑥2 + 1 = lim 𝑥⟶1+ 1 𝑥2 + 1 Como los límites laterales son iguales se concluye que lim 𝑥⟶1+ 𝑥 + 𝑥 − 1 𝑥2 + 1 = 1 2 Se sabe por definición de valor absoluto 𝑥 − 1 = 𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 − 1 > 0 ⟹ 𝑥 > 1 −𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 − 1 < 0 ⟹ 𝑥 < 1 Luego, cuando hay un valor absoluto se debe hallar los límites laterales lim 𝑥⟶1+ 𝑥2 − 1 𝑥 − 1 = lim 𝑥⟶1+ 𝑥2 − 1 𝑥 − 1 = lim 𝑥⟶1+ (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) 𝑥 − 1 = 2 lim 𝑥⟶1− 𝑥2 − 1 𝑥 − 1 = lim 𝑥⟶1+ (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) −𝑥 + 1 = lim 𝑥⟶1+ (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) −(𝑥 − 1) =−2 Como los límites laterales son diferentes se concluye que lim 𝑥⟶1 𝑥2−1 𝑥−1 no existe 𝑥 tiende a 𝑏 por la izquierda significa 𝑥 < 𝑏 𝑥 tiende a 𝑏 por la derecha significa 𝑥 > 𝑏 lim 𝑥⟶1+ 𝑥 − 1 = 0 lim 𝑥⟶1− −𝑥 + 1 = 0 lim 𝑥⟶1 𝑔(𝑥) = 0 𝑔 1 no está definido lim 𝑥⟶2+ 5 − 𝑥2 = 1 lim 𝑥⟶2− (𝑥 − 1) = 1 lim 𝑥⟶2 𝑔(𝑥) = 1
- 13. Límites laterales Como sepide que lim 𝑥⟶3 𝑔(𝑥) exista se debe cumplir: lim 𝑥⟶3+ 𝑔 𝑥 = lim 𝑥⟶3− 𝑔(𝑥) lim 𝑥⟶3+ 𝑔 𝑥 = lim 𝑥⟶3+ 𝑥2 − 8𝑥 + 16 = 1 lim 𝑥⟶3− 𝑔 𝑥 = lim 𝑥⟶3+ 𝑎𝑥 + 11 = 3𝑎 + 11 3𝑎 + 11 = 1 𝑎 = −10/3
- 14. Una persona secontagia con el coronavirus y entra en contacto con varias personas que a su vez se contagian y estas contagian a aquellas con las que se cruzaron. Con ayuda de la representación algebraica de límite ¿Cómo se representará la cantidad de personas contagiadas de la enfermedad en un tiempo muy prolongado?.
- 15. Conclusión Para determinar elvalor límite de una función se debe buscar la forma indeterminada. Además las formas indeterminadas que suelen aparecer son: 0/0 ; ∞ ± ∞ ; ∞/∞ ; 1∞ La expresión: lim 𝑥→𝑎+ 𝑓 𝑥 significa que nos aproximamos al valor limite de 𝑓 por valores 𝑥 > 𝑎 La expresión: lim 𝑥→𝑎− 𝑓 𝑥 significa que nos aproximamos al valor limite de 𝑓 por valores 𝑥 < 𝑎 Los limites laterales se usan para analizar funciones por partes, funciones con valor absoluto y función signo Para determinar la existencia de cierto valor limite por ejemplo: lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) es necesario que los limites laterales existan y sean iguales es decir: lim 𝑥→𝑎+ 𝑓 𝑥 = lim 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥)
- 16. Límites trigonométricos Límites Trigonométricos 5𝜃 5𝜃 2𝜃 2𝜃 5𝜃 2𝜃 5 2 tsecttsect cost cost cost 3t 3t 1 7 Se sabe 1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = (1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥) Por lo tanto: lim 𝑥⟶0 1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 2𝑥2 = lim 𝑥⟶0 (1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) 2𝑥2 = lim 𝑥⟶0 (1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑥2 × (1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) 2 = 1 2 × (1 + 1) 2 = 1 2
- 17. lim 𝑥→0 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥+ 𝑠𝑒𝑛𝑥 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 = lim 𝑥→0 (1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 (1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 lim 𝑥→0 1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = = lim 𝑥⟶0 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 + lim 𝑥⇢0 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 lim 𝑥⟶0 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 − lim 𝑥⟶0 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 = −1 lim 𝑥→0 3𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 = lim 𝑥→0 3𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 = lim 𝑥⟶0 3𝑥 lim 𝑥⟶0 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑥 lim 𝑥⟶0 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 = 0 Límites trigonométricos
- 18.
- 19. Se debe dehacer el cambio de variable: 𝑦 = 𝑥 − 𝜋 → 𝑥 = 𝑦 + 𝜋 Luego si reemplazamos en: lim 𝑦→0 𝑠𝑒𝑛𝑦𝑐𝑜𝑠𝜋 + 𝑐𝑜𝑠𝑦𝑠𝑒𝑛𝜋 𝑦 = lim 𝑦→0 −𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑦 = −1 Se debe de hacer el cambio de variable: 𝑦 = 𝑥 − 1 ⟹ 𝑥 = 𝑦 + 1 Luego si reemplazamos en: lim 𝑦→0 −𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑦 + 1 − 1 lim 𝑥→1 𝑠𝑒𝑛(1 − 𝑥) 𝑥 − 1 = × 𝑦 + 1 + 1 𝑦 + 1 + 1 = lim 𝑦→0 −𝑠𝑒𝑛𝑦( 𝑦 + 1 + 1) 𝑦 = lim 𝑦→0 −𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑦 × lim 𝑦⟶0 ( 𝑦 + 1 + 1) = −2 Límites trigonométricos
- 20. Límites al infinito Lasuma de los primeros números impares es: 1 + 3 + ⋯ … + (2𝑛 − 1) = 𝑛2 lim 𝑥→∞ 𝑘 𝑥 = 0 , ∀𝑘 ∈ ℝ Se sabe: lim 𝑥→∞ 5𝑥2+3𝑥−1 4𝑥3+5𝑥−10 = lim 𝑥→∞ 5𝑥2 4𝑥3 = lim 𝑥→∞ 5 4𝑥 Se sabe: lim 𝑥→∞ 15𝑥5+3𝑥−1 4𝑥3+5𝑥−10 = lim 𝑥⟶∞ 15𝑥5 4𝑥3 Se sabe: lim 𝑥→∞ (2𝑥−1)(2𝑥−1+1) 2 𝑥2 = lim 𝑥⟶∞ (2𝑥−1)(2𝑥) 2𝑥2 La suma de los n-ésimos números naturales: 1 + 2 + 3 + ⋯ . . +𝑛 = 𝑛(𝑛+1) 2 = 0 = lim 𝑥→∞ 15𝑥2 4 = ∞ = lim 𝑥⟶∞ 2𝑥 − 1 𝑥 = lim 𝑥⟶∞ (2 − 1 𝑥 ) = 2 Límites al infinito
- 21. Se debe desimplificar: 𝑥2−1 𝑥+3 − 𝑥+2 2 = 2 𝑥2−1 −(𝑥+3)(𝑥+2) 2(𝑥+3) = 𝑥2−5𝑥−9 2𝑥+6 Luego: lim 𝑥→+∞ ( 𝑥2 − 1 𝑥 + 3 − 𝑥 + 2 2 ) = lim 𝑥→+∞ 𝑥2 − 5𝑥 − 9 2𝑥 + 6 = lim 𝑥→+∞ 𝑥2 2𝑥 = lim 𝑥→+∞ 2𝑥 𝑥2 + 2𝑥 + 𝑥 La expresión 𝑥 → +∞ significa que nos estamos acercamos por valores muy grandes desde la derecha La expresión 𝑥 → −∞ significa que nos estamos acercamos por valores muy grandes desde la izquierda 𝑥2 + 2𝑥 − 𝑥2 = lim 𝑥→+∞ 2𝑥 𝑥 𝑥2 + 2𝑥 𝑥 + 𝑥 𝑥 = lim 𝑥→+∞ 2 𝑥2 + 2𝑥 𝑥2 + 1 = lim 𝑥→+∞ 2 1 + 2 𝑥 + 1 = 1 = lim 𝑥→+∞ 𝑥 2 = ∞ Límites al infinito
- 22. Escribimos: lim 𝑥→∞ (1 + 1 0,01𝑥 )𝑥 = lim 𝑥→∞ (1+ 1 0,01𝑥 )0,01𝑥 1 0,01 lim 𝑥→∞ (1 + 1 0,01𝑥 )𝑥 = lim 𝑥→∞ 5𝑥+1 + 3𝑥+1 3𝑥 + 5𝑥 = lim 𝑥→∞ 5𝑥+1 1 + 3 5 𝑥+1 5𝑥 1 + 3 5 𝑥 La fracción: 𝑎 𝑏 𝑥 = 0 Cuando 𝑥 → ∞ y 𝑎 < 𝑏 = lim 𝑥→∞ 5𝑥+1 5𝑥 × lim 𝑥⟶∞ 1 + 3 5 𝑥+1 1 + 3 5 𝑥 = 5 𝑒 1 0.01 = 𝑒100 Límites al infinito
- 23. Límites infinitos Si 𝑔𝑡 = 𝑡2 y 𝑓 𝑡 = 9 − 𝑡2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: lim 𝑡⟶3− 𝑔 𝑡 = 9 > 0 𝑦 lim 𝑡⟶3− 𝑓(𝑡) = 0 Geométricamente significa que 𝑡 = 3 es una asíntota vertical. Además se puede Representar de la siguiente manera: 3 lim 𝑥→5− 𝑥2 (𝑥 − 5)(𝑥 − 3) = −∞ Geométricamente significa que x = 5 es una asíntota vertical. Además se puede Representar de la siguiente manera: Límites infinitos lim 𝑡⟶3− 𝑡2 9 − 𝑡2 = −∞ Si 𝑔 𝑥 = 𝑥2 y 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 5 𝑥 − 3 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: lim 𝑡⟶5− 𝑔 𝑥 = 25 > 0 𝑦 lim 𝑡⟶5− 𝑓(𝑥) = 0 5
- 24. Si 𝑔 𝑡= 𝑡2 + 9 y 𝑓 𝑡 = 𝑡 + 3 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: lim 𝑡⟶−3+ 𝑔 𝑡 = 18 > 0 𝑦 lim 𝑡⟶−3+ 𝑓(𝑡) = 0 lim 𝑡⟶−3+ 𝑡2 + 9 𝑡 + 3 = +∞ Geométricamente significa que 𝑡 = −3 es una asíntota vertical. Además se puede Representar de la siguiente manera: −3
- 25. El volumen deagua en una piscina varia respecto al tiempo 𝑡 (en minuto) según la función: 𝑉 = 2− 𝑡−3 𝑡2−49 𝑚3 ¿A que valor se aproxima el volumen cundo el tiempo se aproxima a 7 minutos?
- 26. Conclusión Los límites infinitosson aquellos en los que las imágenes f(x) aumentan o disminuyen sin límite cuando x se aproxima a un valor a. Existen varios casos de límites infinitos, veamos algunos ejemplos, ejercicios resueltos y aplicaciones. La expresión en el infinito significa que se está intentando determinar si una función posee un límite cuando se deja que el valor de 𝑥 disminuya o aumente. Para determinar el valor limite de funciones trigonométricas se deben usar las siguientes propiedades:
- 27. IMPORTANTE En esta sesiónse ha visto 1. Valor limite de una función 2. Limites laterales 3. Limites trigonométricos 4. Limites infinitos 5.Limites al infinito Excelente tu participación Siempre hay un nuevo reto para mantenerme motivado. UTP Ésta sesión quedará grabada para tus consultas. PARATI 1. Realiza los ejercicios propuestos de ésta sesión y práctica con la tarea . 2. Consulta en el FORO tus dudas.