El documento trata sobre el concepto de valor límite de una función. Explica diferentes tipos de límites como límites laterales, trigonométricos e infinitos. También presenta ejemplos de cálculo de límites y la importancia de racionalizar cuando hay radiciales en el numerador o denominador. Finalmente, indica que los límites se usan para modelar fenómenos como la propagación de una enfermedad contagiosa entre una población a lo largo del tiempo.

1. VALOR LÍMITE
DE UNA FUNCIÓN
Docente:
Mo Broncano T. Juan C.

2. LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante comprende, calcula y
analiza el valor límite de una función de variable real para
representar y resolver problemas prácticos concernientes a su
carrera profesional.

3. Datos/Observaciones
Valor Límite de una Función.
1
Límites Laterales.
2
Límites Trigonométricos.
3
Límites Infinitos.
4
Límites al infinito.
5

4. Datos/Observaciones
Dada la función 𝑓 𝑥 =
2−𝑥
𝑥2−9
El valor de 𝑓 3 =
0
0
La representación simbólica:
𝑥 ⟶ 𝑎 significa: El valor 𝑥 es
un valor muy cercano al valor
𝑎 por ejemplo si 𝑎 = 1entonces
𝑥 = 0.97; 0.988; 0.999; … . .
Decir indeterminado no es
lo mismo que decir no
existe. Pues un valor
indeterminado no se puede
predecir.
El valor lim
𝑥⟶𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿 es único.
Es decir lim
𝑥⟶𝑎
𝑓(𝑥) no puede
tener dos valores diferentes
Decimos que lim
𝑥⟶𝑎
𝑓(𝑥) existe si
y solo si:
lim
𝑥⟶𝑎−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥⟶𝑎+
𝑓(𝑥)
Los límites indeterminados no
indican que el límite no exista. Se
tendrán que hacer operaciones
adicionales para eliminar la
indeterminación.
La representación simbólica:
𝑥 ⟶ 𝑎+
significa: El valor 𝑥 es
un valor muy cercano al valor
𝑎 por la derecha. Es decir 𝑥 > 𝑎
La representación simbólica:
𝑥 ⟶ 𝑎−
significa: El valor 𝑥 es
un valor muy cercano al valor
𝑎 por la izquierda. Es decir 𝑥 < 𝑎
V V V V
V V V V

5. Datos/Observaciones
¿Para qué me sirve estudiar el valor límite de
una función?

6. Cálculo de límites
 Debemos buscar el factor : t− −7 = 𝑡 + 7
 Factorizar:
 Reemplazar:
 Debemos buscar el factor : 𝑥 − −1 = 𝑥 + 1
 Factorizar: 𝑥3
− 4𝑥2
+ 𝑥 + 6
 Reemplazar:
 Debemos buscar el factor : 𝑢 − 1
 Factorizar: (2𝑢 − 2)3
= 23
(𝑢 − 1)3
 Reemplazar:
Cálculo de Límites
𝑡 + 7
𝑡 − 3
𝑡3
+ 4𝑡 − 21 = (𝑡 + 7)(𝑡 − 3)
(𝑡 + 7)(𝑡 − 3)
−10
1 − 4 + 1 + 6
𝑥 = −1
1
−1
−5
5
6
−6
0
Luego 𝑥3
− 4𝑥2
+ 𝑥 + 6 = (𝑥 + 1)(𝑥2
− 5𝑥 + 6)
= lim
𝑥⟶−1
(𝑥 + 1)(𝑥2
− 5𝑥 + 6)
𝑥 + 1
= 12
= lim
𝑢⟶1
8 𝑢 − 1 3
(3𝑢 + 4)
(𝑢 − 1)2
= 0

7. Cuando hay radicales en el denominador se
debe racionalizar
lim
𝑥⟶1
𝑥 − 1
𝑥 − 1
= lim
𝑥⟶1
𝑥 − 1
𝑥 − 1
×
𝑥 + 1
𝑥 + 1
= lim
𝑥⟶1
(𝑥 − 1)( 𝑥 + 1)
𝑥 − 1
= 2
Cuando hay radicales en el numerador se debe
racionalizar
lim
𝑥⟶4
1 + 2𝑥 − 3
𝑥 − 4
= lim
𝑥⟶4
1 + 2𝑥 − 3
𝑥 − 4
×
1 + 2𝑥 + 3
1 + 2𝑥 + 3
= lim
𝑥⟶4
1 + 2𝑥 − 9
(𝑥 − 4)( 1 + 2𝑥 + 3)
= lim
𝑥⟶4
2𝑥 − 8
(𝑥 − 4)( 1 + 2𝑥 + 3)
= lim
𝑥⟶4
2(𝑥 − 4)
(𝑥 − 4)( 1 + 2𝑥 + 3)
=
2
6
=
1
3
Cuando hay radicales se debe racionalizar
lim
𝑥⟶3
2𝑥 + 3 − 3
𝑥 + 1 − 2
= lim
𝑥⟶3
2𝑥 + 3 − 3
𝑥 + 1 − 2
×
2𝑥 + 3 + 3
2𝑥 + 3 + 3
= lim
𝑥⟶3
(2𝑥 + 3) − 9
( 𝑥 + 1 − 2)( 2𝑥 + 3 + 3)
= lim
𝑥⟶3
2(𝑥 − 3)
( 𝑥 + 1 − 2)( 2𝑥 + 3 + 3)
×
𝑥 + 1 + 2
𝑥 + 1 + 2
= lim
𝑥⟶3
2(𝑥 − 3)( 𝑥 + 1 + 2)
(𝑥 + 1) − 4 ( 2𝑥 + 3 + 3)
= lim
𝑥⟶3
2(𝑥 − 3)( 𝑥 + 1 + 2)
𝑥 − 3 ( 2𝑥 + 3 + 3)
=
8
6
=
4
3
Cálculo de límites

8. lim
𝑥⟶2
(𝑓𝑜𝑔)(𝑥 + 2)
(𝑔𝑜𝑓)(𝑥 + 1)
= lim
𝑥⟶2
𝑓(𝑔 𝑥 + 2 )
𝑔(𝑓 𝑥 + 1 )
= lim
𝑥⟶2
𝑔(𝑥 + 2)
3𝑓 𝑥 + 1 + 1
⟹ lim
𝑥⟶1
𝑥3
− 2𝑎2
𝑥 + 𝑎𝑥2
+ 2𝑎𝑥 + 𝑥2
2𝑎𝑥 + 𝑥2
= 0
⟹ lim
𝑥⟶1
𝑥3
+ 𝑥2
𝑎 + 1 + 2𝑎 − 2𝑎2
𝑥
2𝑎𝑥 + 𝑥2
= 0
⟹ 1 + 𝑎 + 1 + 2𝑎 − 2𝑎2
= 0
Es claro que el factor (𝑥 − 1) no aparece en el numerador
ni en el denominador para cualquier valor que se le asigna
a la variable 𝑎. Por lo tanto debemos evaluar el límite en
𝑥 = 1 y notar que la única posibilidad es que el numerador
sea cero para que se cumpla la igualdad.
⟹ 2𝑎2
− 3𝑎 − 2 = 0 ⟹ (𝑎 − 2)(2𝑎 + 1) = 0
⟹ 𝑎 = 2 ∨ 𝑎 = −1/2
Como:
lim
𝑥⟶1
𝑥3
− 2𝑎2
𝑥 + 𝑎𝑥2
2𝑎𝑥 + 𝑥2
= −1 ⟹ lim
𝑥⟶1
𝑥3
− 2𝑎2
𝑥 + 𝑎𝑥2
2𝑎𝑥 + 𝑥2
+ 1 = 0
= lim
𝑥⟶2
3 𝑥 + 2 + 1
3 𝑥 + 1 + 1
= lim
𝑥⟶2
3𝑥 + 7
3𝑥 + 4
Es claro que el factor (𝑥 − 2) no aparece en el numerador
ni en el denominador. Por lo tanto debemos evaluar el
límite en 𝑥 = 2
lim
𝑥⟶2
(𝑓𝑜𝑔)(𝑥 + 2)
(𝑔𝑜𝑓)(𝑥 + 1)
=
13
10
Cálculo de límites

9. lim
𝑥⟶𝑎
𝑓2 𝑥 + 𝑔2(𝑥) = lim
𝑥⟶𝑎
𝑓(𝑥)
2
+ lim
𝑥⟶𝑎
𝑔(𝑥)
2
= 10
lim
𝑥⟶𝑎
2𝑓 𝑥 − 3𝑔(𝑥)
lim
𝑥⟶𝑎
𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥)
=
2 lim
𝑥⟶𝑎
𝑓 𝑥 − 3 lim
𝑥⟶𝑎
𝑔(𝑥)
lim
𝑥⟶𝑎
𝑓 𝑥 + lim
𝑥⟶𝑎
𝑔(𝑥)
=
9
2
lim
𝑥⟶𝑎
(𝑓 𝑥 − 3)
4
= lim
𝑥⟶𝑎
𝑓 𝑥 − 3
4
= 0
Cálculo de límites

10. 𝑥 tiende a la izquierda
significa 𝑥 < 1
𝑥 tiende a la derecha
significa 𝑥 > 1
Si los limites laterales son
diferentes, entonces el
valor limite de la función no
existe.
Límites Laterales
Dado el gráfico de la función 𝑓 determine el valor:
Límites laterales
0 4
−1
2
0
−3

11. Si los limites laterales son
diferentes, entonces el
valor limite de la función no
existe.
Límites laterales

12. Límites laterales
Se sabe por definición de valor absoluto
1 − 𝑥 = 𝑥 − 1 =
𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 − 1 > 0 ⟹ 𝑥 > 1
−𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 − 1 < 0 ⟹ 𝑥 < 1
Luego, cuando hay un valor absoluto se debe hallar los
límites laterales
lim
𝑥⟶1+
𝑥 + 𝑥 − 1
𝑥2 + 1
= lim
𝑥⟶1+
𝑥 + 𝑥 − 1
𝑥2 + 1
= lim
𝑥⟶1+
2𝑥 − 1
𝑥2 + 1
=
1
2
lim
𝑥⟶1−
𝑥 + 1 − 𝑥
𝑥2 + 1
= lim
𝑥⟶1+
1
𝑥2 + 1
Como los límites laterales son iguales se concluye que
lim
𝑥⟶1+
𝑥 + 𝑥 − 1
𝑥2 + 1
=
1
2
Se sabe por definición de valor absoluto
𝑥 − 1 =
𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 − 1 > 0 ⟹ 𝑥 > 1
−𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 − 1 < 0 ⟹ 𝑥 < 1
Luego, cuando hay un valor absoluto se debe hallar los
límites laterales
lim
𝑥⟶1+
𝑥2
− 1
𝑥 − 1
= lim
𝑥⟶1+
𝑥2
− 1
𝑥 − 1
= lim
𝑥⟶1+
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
𝑥 − 1
= 2
lim
𝑥⟶1−
𝑥2
− 1
𝑥 − 1
= lim
𝑥⟶1+
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
−𝑥 + 1
= lim
𝑥⟶1+
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
−(𝑥 − 1)
=−2
Como los límites laterales son diferentes se concluye que
lim
𝑥⟶1
𝑥2−1
𝑥−1
no existe
𝑥 tiende a 𝑏 por la izquierda
significa 𝑥 < 𝑏
𝑥 tiende a 𝑏 por la derecha
significa 𝑥 > 𝑏
lim
𝑥⟶1+
𝑥 − 1 = 0
lim
𝑥⟶1−
−𝑥 + 1 = 0
lim
𝑥⟶1
𝑔(𝑥) = 0
𝑔 1 no está definido
lim
𝑥⟶2+
5 − 𝑥2
= 1
lim
𝑥⟶2−
(𝑥 − 1) = 1
lim
𝑥⟶2
𝑔(𝑥) = 1

13. Límites laterales
Como se pide que lim
𝑥⟶3
𝑔(𝑥) exista se debe cumplir:
lim
𝑥⟶3+
𝑔 𝑥 = lim
𝑥⟶3−
𝑔(𝑥)
lim
𝑥⟶3+
𝑔 𝑥 = lim
𝑥⟶3+
𝑥2
− 8𝑥 + 16 = 1
lim
𝑥⟶3−
𝑔 𝑥 = lim
𝑥⟶3+
𝑎𝑥 + 11 = 3𝑎 + 11
3𝑎 + 11 = 1
𝑎 = −10/3

14. Una persona se contagia con el coronavirus y entra en contacto con
varias personas que a su vez se contagian y estas contagian a
aquellas con las que se cruzaron. Con ayuda de la representación
algebraica de límite ¿Cómo se representará la cantidad de personas
contagiadas de la enfermedad en un tiempo muy prolongado?.

15. Conclusión
Para determinar el valor límite de una función se
debe buscar la forma indeterminada. Además las
formas indeterminadas que suelen aparecer son:
0/0 ; ∞ ± ∞ ; ∞/∞ ; 1∞
La expresión: lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 significa que nos aproximamos
al valor limite de 𝑓 por valores 𝑥 > 𝑎
La expresión: lim
𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥 significa que nos aproximamos
al valor limite de 𝑓 por valores 𝑥 < 𝑎
Los limites laterales se usan para analizar funciones
por partes, funciones con valor absoluto y función signo
Para determinar la existencia de cierto valor
limite por ejemplo: lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) es necesario que
los limites laterales existan y sean iguales es
decir:
lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥)

16. Límites trigonométricos
Límites Trigonométricos
5𝜃
5𝜃
2𝜃
2𝜃
5𝜃
2𝜃
5
2
tsect tsect
cost cost
cost
3t
3t 1
7
Se sabe 1 − 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 = (1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)
Por lo tanto:
lim
𝑥⟶0
1 − 𝑐𝑜𝑠2
𝑥
2𝑥2
= lim
𝑥⟶0
(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)
2𝑥2
= lim
𝑥⟶0
(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝑥2
×
(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)
2
=
1
2
×
(1 + 1)
2
=
1
2

17. lim
𝑥→0
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥
= lim
𝑥→0
(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝑥
+
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝑥
−
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
lim
𝑥→0
1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
=
=
lim
𝑥⟶0
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥
+ lim
𝑥⇢0
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
lim
𝑥⟶0
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥
− lim
𝑥⟶0
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
= −1
lim
𝑥→0
3𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
= lim
𝑥→0
3𝑥
𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
=
lim
𝑥⟶0
3𝑥 lim
𝑥⟶0
𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑥
lim
𝑥⟶0
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
= 0
Límites trigonométricos

18. Límites trigonométricos

19. Se debe de hacer el cambio de variable: 𝑦 = 𝑥 − 𝜋 → 𝑥 = 𝑦 + 𝜋
Luego si reemplazamos en:
lim
𝑦→0
𝑠𝑒𝑛𝑦𝑐𝑜𝑠𝜋 + 𝑐𝑜𝑠𝑦𝑠𝑒𝑛𝜋
𝑦
= lim
𝑦→0
−𝑠𝑒𝑛𝑦
𝑦
= −1
Se debe de hacer el cambio de variable: 𝑦 = 𝑥 − 1 ⟹ 𝑥 = 𝑦 + 1
Luego si reemplazamos en:
lim
𝑦→0
−𝑠𝑒𝑛𝑦
𝑦 + 1 − 1
lim
𝑥→1
𝑠𝑒𝑛(1 − 𝑥)
𝑥 − 1
= ×
𝑦 + 1 + 1
𝑦 + 1 + 1
= lim
𝑦→0
−𝑠𝑒𝑛𝑦( 𝑦 + 1 + 1)
𝑦
= lim
𝑦→0
−𝑠𝑒𝑛𝑦
𝑦
× lim
𝑦⟶0
( 𝑦 + 1 + 1)
= −2
Límites trigonométricos

20. Límites al infinito
La suma de los primeros
números impares es:
1 + 3 + ⋯ … + (2𝑛 − 1) = 𝑛2
lim
𝑥→∞
𝑘
𝑥
= 0 , ∀𝑘 ∈ ℝ
Se sabe:
lim
𝑥→∞
5𝑥2+3𝑥−1
4𝑥3+5𝑥−10
= lim
𝑥→∞
5𝑥2
4𝑥3
= lim
𝑥→∞
5
4𝑥
Se sabe:
lim
𝑥→∞
15𝑥5+3𝑥−1
4𝑥3+5𝑥−10
= lim
𝑥⟶∞
15𝑥5
4𝑥3
Se sabe:
lim
𝑥→∞
(2𝑥−1)(2𝑥−1+1)
2
𝑥2 = lim
𝑥⟶∞
(2𝑥−1)(2𝑥)
2𝑥2
La suma de los n-ésimos números
naturales:
1 + 2 + 3 + ⋯ . . +𝑛 =
𝑛(𝑛+1)
2
= 0
= lim
𝑥→∞
15𝑥2
4
= ∞
= lim
𝑥⟶∞
2𝑥 − 1
𝑥
= lim
𝑥⟶∞
(2 −
1
𝑥
) = 2
Límites al infinito

21. Se debe de simplificar:
𝑥2−1
𝑥+3
−
𝑥+2
2
=
2 𝑥2−1 −(𝑥+3)(𝑥+2)
2(𝑥+3)
=
𝑥2−5𝑥−9
2𝑥+6
Luego:
lim
𝑥→+∞
(
𝑥2
− 1
𝑥 + 3
−
𝑥 + 2
2
) = lim
𝑥→+∞
𝑥2
− 5𝑥 − 9
2𝑥 + 6
= lim
𝑥→+∞
𝑥2
2𝑥
= lim
𝑥→+∞
2𝑥
𝑥2 + 2𝑥 + 𝑥
La expresión 𝑥 → +∞ significa que nos estamos
acercamos por valores muy grandes desde la derecha
La expresión 𝑥 → −∞ significa que nos estamos
acercamos por valores muy grandes desde la
izquierda
𝑥2
+ 2𝑥 − 𝑥2
= lim
𝑥→+∞
2𝑥
𝑥
𝑥2 + 2𝑥
𝑥 +
𝑥
𝑥
= lim
𝑥→+∞
2
𝑥2 + 2𝑥
𝑥2
+ 1
= lim
𝑥→+∞
2
1 +
2
𝑥
+ 1
= 1
= lim
𝑥→+∞
𝑥
2
= ∞
Límites al infinito

22. Escribimos:
lim
𝑥→∞
(1 +
1
0,01𝑥
)𝑥
= lim
𝑥→∞
(1 +
1
0,01𝑥
)0,01𝑥
1
0,01
lim
𝑥→∞
(1 +
1
0,01𝑥
)𝑥
=
lim
𝑥→∞
5𝑥+1
+ 3𝑥+1
3𝑥 + 5𝑥 = lim
𝑥→∞
5𝑥+1
1 +
3
5
𝑥+1
5𝑥 1 +
3
5
𝑥
La fracción:
𝑎
𝑏
𝑥
= 0
Cuando 𝑥 → ∞ y 𝑎 < 𝑏
= lim
𝑥→∞
5𝑥+1
5𝑥
× lim
𝑥⟶∞
1 +
3
5
𝑥+1
1 +
3
5
𝑥
= 5
𝑒
1
0.01 = 𝑒100
Límites al infinito

23. Límites infinitos
Si 𝑔 𝑡 = 𝑡2
y 𝑓 𝑡 = 9 − 𝑡2
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
lim
𝑡⟶3−
𝑔 𝑡 = 9 > 0 𝑦 lim
𝑡⟶3−
𝑓(𝑡) = 0
Geométricamente significa que 𝑡 = 3 es una
asíntota vertical. Además se puede
Representar de la siguiente manera:
3
lim
𝑥→5−
𝑥2
(𝑥 − 5)(𝑥 − 3)
= −∞
Geométricamente significa que x = 5 es una
asíntota vertical. Además se puede
Representar de la siguiente manera:
Límites infinitos
lim
𝑡⟶3−
𝑡2
9 − 𝑡2
= −∞
Si 𝑔 𝑥 = 𝑥2
y 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 5 𝑥 − 3 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
lim
𝑡⟶5−
𝑔 𝑥 = 25 > 0 𝑦 lim
𝑡⟶5−
𝑓(𝑥) = 0
5

24. Si 𝑔 𝑡 = 𝑡2
+ 9 y 𝑓 𝑡 = 𝑡 + 3 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
lim
𝑡⟶−3+
𝑔 𝑡 = 18 > 0 𝑦 lim
𝑡⟶−3+
𝑓(𝑡) = 0
lim
𝑡⟶−3+
𝑡2
+ 9
𝑡 + 3
= +∞
Geométricamente significa que 𝑡 = −3 es una
asíntota vertical. Además se puede
Representar de la siguiente manera:
−3

25. El volumen de agua en una piscina varia respecto al tiempo 𝑡 (en minuto) según la
función:
𝑉 =
2− 𝑡−3
𝑡2−49
𝑚3
¿A que valor se aproxima el volumen cundo el tiempo se aproxima a 7 minutos?

26. Conclusión
Los límites infinitos son aquellos en los que las
imágenes f(x) aumentan o disminuyen
sin límite cuando x se aproxima a un valor a.
Existen varios casos de límites infinitos, veamos
algunos ejemplos, ejercicios resueltos y
aplicaciones.
La expresión en el infinito significa que se está
intentando determinar si una función posee
un límite cuando se deja que el valor de 𝑥
disminuya o aumente.
Para determinar el valor limite de funciones
trigonométricas se deben usar las siguientes
propiedades:

27. IMPORTANTE
En esta sesión se ha visto
1. Valor limite de una función
2. Limites laterales
3. Limites trigonométricos
4. Limites infinitos
5.Limites al infinito
Excelente tu
participación
Siempre hay un
nuevo reto para
mantenerme
motivado.
UTP
Ésta sesión
quedará
grabada para tus
consultas.
PARATI
1. Realiza los
ejercicios
propuestos de ésta
sesión y práctica
con la tarea .
2. Consulta en el
FORO tus dudas.