POLINOMIOS CICLOTÓMICOS EN CUERPOS K[X] Y RAICES PRIMITIVAS MÓDULO N

Polinomios Ciclotómicos en
Cuerpos K[x]
y
Ra´ıces Primitivas Módulo n.
José Walter Ysique Quesquén
Bachiller en Matemáticas.
Agosto, 2006.

TESIS UNPRG. José Walter Ysique Quesquén.
Dedicatoria
A mis padres:
Carlos Walter Ysique Quesñay y
Mar´ıa Encarnación Quesquén Cumpa ,
por su indesmayable
esfuerzo en mi formación
personal y profesional.
i

Agradecimiento
El m´as sincero agradecimiento a todos
los que hicieron posible el desarrollo
de la presente tesis. Un reconocimiento
especial a la Dra. Gloria Mar´ıa Ort´ız
Basauri por valioso asesoramiento .
ii

Í
ndice general
0.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
1. Preliminares 1
1.1. Nociones de Grupos - Cuerpos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Polinomios e Identidad de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Funciones: Totient de Euler y Möbius. . . . . . . . . . . . . . 7
1.4. Factores Múltiples en Polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2. Polinomios Ciclotómicos 18
2.1. Definición y Primeros Resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2. Polinomios Ciclotómicos Con Coeficientes Impares . . . . . . . 21
2.2.1. Factorización sobre Zp[x] . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2. Caracterización De Los Polinomios Ciclotómicos Con
Coeficientes Impares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.3. Caracterización De Los Polinomios Ciclotómicos De
Littlewood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.4. Polinomios Ciclotómicos, Un Enfoque Adicional. . . . . 28
2.2.5. Ejemplos I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.6. Ejemplos II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.7. Mas Resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.8. Factorización de Φn(x) en Fp[x] con p n. . . . . . . 39
3. Ra´ıces Primitivas 41
3.1. Ra´ıces Primitivas en ZP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2. Ra´ıces Primitivas en Zpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3. Conteo de Ra´ıces Primitivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4. No Existencia De Ra´ıces Primitivas. . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5. Programa En Turbo C++ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4. Conclusiones 59
iii

0.1. Introducción
La presente tesis tiene por objeto de estudio a los polinomios ciclotómicos
y a las ra´ıces primitivas (generadores) del grupo multiplicativo Zx
n.
En el cap´ıtulo 1 citamos algunas definiciones y resultados referente a la teor´ıa
de grupos y cuerpos, necesarios para el desarrollo del cap´ıtulo 2 y 3.
En el cap´ıtulo 2, se define el n-ésimo Polinomio Ciclotómico como
Φn(x) =
Y
j=1
(j,n)=1
(x − ξjn
)
cuyas ra´ıces son precisamente las n-ésimas ra´ıces primitivas de la unidad; a
partir de esta damos otras equivalentes tales como:
a) Φn(x) =
Q
dn(xd − 1)μ(n
d ), donde μ(.) es la función de Möbius.
b) Inductivamente, a partir de Φ1(x) = x − 1,
Φn(x) =
xn − 1
m.c.m{xd − 1 con 0 < d < n, dn}
.
+−
Además, se presenta una caracterización de los polinomios ciclotómicos con
coeficientes impares. Entre estos, se encuentran los polinomios ciclotómicos
de Littlewood (i.e.,con coeficientes 1).
P.Borwein y K.K. Choi prueban el siguiente:
Teorema: Para N impar. Un polinomio de Littlewood, P(x), de grado N-1
es ciclotómico si y sólo s´ı
P(x) =+−
Φp1(+−
x)Φp2(+−
xp1)...Φpr (+−
xp1p2...pr−1),
donde N = p1p2...pr y los p′
is son primos, no necesariamente distintos.
Ellos además, conjeturan que este teorema también es válido para polinomios
de grado impar.
También, tratamos sobre la irreducibilidad o no de algunos polinomios ci-clot
ómicos en Fp[x] con p primo. En esta parte mostramos algunas factor-izaciones
usando MAPLE.
En el cap´ıtulo 3, empezamos mostrando que para K un cuerpo finito,
entonces Kx (los elementos invertibles de K ) es un grupo c´ıclico. Su de-mostraci
ón está basada en la aplicación de nuestros resultados de polinómios
ciclotómicos. En este cap´ıtulo centramos nuestro estudio en las condiciones
iv

que debe cumplir n en Zx
n para la existencia de ra´ıces primitivas, lo que a
su vez caracteriza cuando Zx
n es un grupo c´ıclico :
Si n no es 2, 4 ni de las formas pe, 2pe para un primo p impar ( e ∈ Z+),
entonces
no existe ra´ıces primitivas modn.
Incluimos tambi´en un algoritmo elaborado en Turbo C++ que nos permite
mostrar (en caso existen) las ra´ıces primitivas y la forma como se genera Zx
n .
Finalmente se expone las conclusiones del presente trabajo.
v

Cap´ıtulo 1
Preliminares
1.1. Nociones de Grupos - Cuerpos.
Definición 1.1.1 :
(1) Para a, b ∈ Z − {0}, existe un único entero positivo d, llamado
el máximo común divisor de a y b (o m.c.d de a y b), satisfaciendo:
• i) d a y d b (as´ı d es divisor común de a y b), y
• ii) si e a y e b, entonces e d (as´ı d es tal máximo divisor).
-El m.c.d de a y b es denotado por (a,b). Si (a,b)=1, decimos que a y b son
primos relativos.
(2) Para a, b ∈ Z − {0}, existe un único entero positivo l, llamado el
m´ınimo común múltiplo de a y b ( o m.c.m de a y b ), satisfaciendo:
• i) a l y b l (as´ı l es múltipo común de a y b ),
• ii) Si a m y b m entonces l m (as´ı l es el m´ınimo tal
múltiplo).
La conexión entre el d=m.c.d y l=m.c.m de los enteros a y b es dado por
d.l=a.b .
-Nota: - Una consecuencia del algoritmo de la divisón, la cual oportunamente
usaremos es :
Si a, b ∈ Z − {0}, entonces existe x, y ∈ Z tal que : (a, b) = ax + by.
Un grupo es un par ordenado (G, ∗ ) , donde G es un conjunto no vac´ıo y
1

es una operaci´on binaria en G (G ∗ G → G) satisfaciendo los siguientes
axiomas:
(i) (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), ∀ a, b, c ∈ G , i.e. ,* es asociativa.
(ii) ∃! elemento e ∈ G, llamado identidad de G, tal que ∀a ∈ G,
a ∗ e = e ∗ a = a,
(iii) para cada a ∈ G, ∃!a−1 ∈ G, llamado inverso de a, tal que
a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e.
El grupo (G, ∗ ) es llamado abeliano (o conmutativo) si a ∗ b = b ∗ a ∀ a ∈ G.
x9
Ejemplo 1.1.1 :
Z,Q,R y C son grupos bajo + con e=0 y a−1 = a, ∀a.
Decimos que b ∈ Zn es inverso multiplicativo de a ¯∈ Zn si a.b = 1.
Ejemplo 1.1.2 :
Para n=9 , Z9 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y Z= {1, 2, 4, 5, 7, 8} .
Pues : 2.5 = 10 = 1mod9.
4.7 = 28 = 1mod9.
8.8 = 64 = 1mod9.
1.1 = 1 = 1mod9.
El conjunto Zx
n = {y ∈ Zn : m.c.d(y, n) = 1} es el grupo multiplicativo o
grupo de unidades de Zn .
Sea G un grupo. El subconjunto H de G es un subgrupo de G si :
i) H6= ∅
ii) si x ∈ H ⇒ x−1 ∈ H
iii) si x, y ∈ H ⇒ xy ∈ H.
NOTACI´O
N: H ≤ G .
2

Ejemplo 1.1.3 :
Z ≤ Q y Q ≤ R con la operación de adición.
Un grupo H es c´ıclico si H puede ser generado por un sólo elemento, i.e. ,
existe algún elemento x ∈ H tal que H = {xn/n ∈ Z} ( donde como es
usual la operación es la multiplicación).
-En notación aditiva H es c´ıclico si H = {nx, n ∈ Z}.
-En ambos casos escribimos H = < x > y decimos H es generado por x
(x es generador de H ).
-Un grupo c´ıclico puede tener más de un generador . Por ejemplo, si H =< x >,
entonces también H =< x−1 > porque (x−1)n = x−n y n corre sobre los
enteros as´ı también -n, as´ı {xn : n ∈ Z} = {(x−1)n : n ∈ Z}.
Sea G un grupo y x ∈ G define el orden de x como el menor entero positivo
tal que xn = 1 y denotamos este entero por | x | . Si ninguna potencia
positiva de x es la identidad, el orden de x es infinito.
Proposición 1.1.1 :
Si H =< x >, entonces | H |=| x |.
(a) Si | H |= n < ∞, entonces xn = 1 y 1, x, x2, , ..., xn−1 son
todos los distintos elementos de H, y
(b) si | H |= ∞, entonces xn6= 1 para todo n6= 0 y xa6= xb
para todo a6= b en Z.
Teorema 1.1.1 (de Lagrange):
Si G es un grupo finito y H es un subgrupo de G, entonces el orden de H
divide al orden de G (i.e., |H| |G|) y el número de clases laterales de H en
G es igual a |G|
|H| .
Un cuerpo es una terna (K,+, .) tal que (K,+) es un grupo abeliano
(llame a su identidad 0) y (K − {0}, ·) es también un grupo abeliano, y la
siguiente ley distributiva se vale :
a.(b + c) = (a.b) + (a.c), para todo a, b, c ∈ K.
La caracter´ıstica de un cuerpo K es definido como el menor entero positivo
3

p tal que p · 1K = 0 si tal p existe y es definido por 0 en otros casos.
donde : p · 1K = |1K + 1K{+z ... + 1K}
p−veces
, 1K es la identidad en K.
La caracter´ıstica de un cuerpo K, es cero o un primo p. Si es p entonces
para cualquier α ∈ K ,
p.α = α| + α +{z... + α}
p−veces
= 0
Ejemplo 1.1.4 :
(a) Los cuerpos Q y R ambos tienen caracter´ıstica cero.
(b) El cuerpo Finito Zp tiene caracter´ıstica p, para cualquier primo p.
Un cuerpo K es perfecto si la caracter´ıstica de K es 0 (por ejemplo Q,R o C)
o si, en caracter´ıstica p > 0, existe una p-ésima ra´ız a1/p en K para cualquier
a ∈ K.
i.e) Para cada a ∈ K, ∃ b ∈ K tal que bp = a.
Si K es un cuerpo conteniendo al cuerpo F, entonces K es un cuerpo ex-tensi
ón (o simplemente una extensión) de F, denotado por K/F ( también
F ⊂ K ).
El grado (o grado relativo o ´ındice) de un cuerpo extensión K/F, denotado
por [K : F], es la dimensión de K como espacio vectorial sobre F (i.e.
[K : F] = dimFK). La extensión es finita si [K : F] es finito, caso contrario
se dice que es infinita.
Si K es generado por un sólo elemento α sobre F, K = F(α) entonces
K es una extensión simple de F y el elemento α es llamado un elemento
primitivo para la extensión.
El elemento α ∈ K es algebraico sobre F si α es una ra´ız de algún
polinomio no nulo f(x) ∈ F[x]. Si α no es algebraico sobre F (i.e., no es
4

la ra´ız de cualquier polinomio no nulo con coeficientes en F ) entonces α
es transcendente sobre F. La extensión K/F es algebraica si todo elemento
de K es algebraico sobre F.
El cuerpo E es llamado una clausura algebraica de F si E es algebraico
sobre F y si todo polinomio f(x) ∈ F[x] se descompone completamente
sobre E .
Teorema 1.1.2 (Sun-Ze)
Sea m y n enteros positivos relativamente primos. Sean r y s enteros tales
que
rm + sn = 1 .
Entonces la función
f : Zm × Zn −→ Zmn
definida por
f(x, y) = y.rm+ x.sn
es una biyección. La aplicación inversa
f−1 : Zmn −→ Zm × Zn
es
f−1(z) = (xmodm, ymodn).
Corolario 1.1.1 (Criterio de Eisenstein para Z[x])
Sea p primo en Z y sea f(x) = xn+an−1xn−1+...+a1x+a0 ∈ Z[x], n ≥ 1.
Suponga que p divide a ai para todo i ∈ {0, 1, ..., n−1} pero p2 no divide
a a0. Entonces f(x) es irreducible en Z[x] y Q[x].
* La prueba de los resultados dados es esta sección pueden ser averiguados
en muchos textos,ejm. [1],[2]o[3].
1.2. Polinomios e Identidad de Newton.
-El más básico e importante teorema referente a polinomios es el Teorema
Fundamental del Algebra, el cual nos dice que todo polinomio puede ser
factorizado completamente sobre los números complejos.
5

Teorema 1.2.1 (Teorema Fundamental del Algebra)
P(x) =
Xn
i=0
aixi, ai ∈ C, an6= 0,
entonces existe α1, α2, ..., αn ∈ C, tal que
P(x) = an
Yn
i=1
(x − αi) .
- Los números complejos α1, α2, ..., αn son llamados los ceros (o ra´ıces) de
P(x) as´ı que P(αi) = 0. La multiplicidad del cero en αi es el número de
veces que se repite. Por ejemplo,
(x − 2)5(x + i)3
es un polinomio de grado 8 con un cero de multiplicidad 5 en 2 y un cero de
multipicidad 3 en -i .
⋆ El polinomio
P(x) =
Xn
i=0
aixi, ai ∈ C, an6= 0,
es llamado mónico si su coeficiente principal, an , es igual a 1 .
-Sea Sk la suma de las k-ésimas potencias de todos los ceros de P(x).
A continuación se da la Identidad de Newton , la cual nos da la relación
entre los coeficientes y Sk.
Teorema 1.2.2 (Identidad de Newton)
Sea
(x − α1)(x − α2)...(x − αn) = xn − c1xn−1 + c2xn−2 − ... + (−1)ncn.
Para un entero no negativo k, definimos
Sk := αk
1 + αk
2 + ... + αkn
.
Tenemos
Sk = (−1)k+1kck + (−1)k+1
Xk−1
j=1
(−1)jck−jSj , (1.1)
para k ≤ n y
Sk = (−1)k+1
Xk−1
(−1)jck−jSj , (1.2)
j=k−n
6

para k > n. Por lo tanto una suma vac´ıa se entiende igual a 0 .
-La prueba, la cual omitiremos, está en muchos textos como por ejemplo:
Introduction to Algebra , A.L.Kostrikin.
1.3. Funciones: Totient de Euler y Möbius.
1 .p2
2 ...pk
Sea n un entero positivo, n puede ser escrito como n = p1
k ,
donde los p′
is, para i = 1, ..., k son números primos.
La función de Möbius, μ(n), es definido por
μ(n) :=

0, si p2i
n para algún i ;
(−1)k, en otros casos.
(1.3)
En otras palabras, μ(n) es diferente de cero sólo cuando n está libre de
cuadrados y si n = p1...pk para distintos primos pj entonces μ(n) = (−1)k.
La función de Möbius satisface la siguiente identidad
X
dn
μ(d) =

1, si n=1;
0, en otros casos.
donde
P
dn denota la suma sobre los divisores, d, de n.
Prueba:
Si n=1, entonces n no tiene divisores primos, as´ı μ(1) = (−1)0 = 1.
Para n 1, sea n = p1
1 ...pk
k la factorización única de n como un producto
de distintas potencias de primos. Sea N = p1...pk. Como μ(pi
i ) = 0 para
todo αi 1, i = 1, 2, ..., k, entonces
X
dn
μ(d) =
X
dN
μ(d).
Luego: X
dn
μ(d) =
X
dN
μ(p1...pk)
= μ(1) + |μ(p1) + {..z. + μ(pk})
k−términos
+μ(p1.p2) + ... + μ(p1...pk)
= 1 + k(−1)1 + Ck
2 (−1)2 + Ck
3 (−1)3 + ... + Ck
k (−1)k
=
Xk
r=0
Ck
r (−1)r =
Xk
r=0
(kr
)(−1)r =
Xk
r=0
(kr
)(1)k−r(−1)r
= (1 − 1)k = 0.
7

Una función aritmética f es una función compleja-valuada definida en los
números naturales.
* A continuación uno de los más importantes resultados referente a la función
de Möbius , nos referimos a la célebre fórmula de inversión de Möbius.
Teorema 1.3.1 (Fórmula de Inversión de Möbius):
Sean f(n) y g(n) son funciones aritméticas. Entonces, tenemos
(i)
f(n) =
X
dn
g(d)
si y sólo s´ı
g(n) =
X
dn
μ(d)f(n/d)
(ii)
f(n) =
Y
dn
g(d)
si y sólo si
g(n) =
Y
dn
f(n/d)μ(d)
Prueba:
Suponga que
f(n) =
X
dn
g(d) =⇒ f(n/d) =
X
e n
d
g(e);
luego : X
dn
μ(d)f(
n
d
) =
X
dn
μ(d)
X
e n
d
g(e)
=
X
(d.e ∧ e.d)n
μ(d)g(e)
=
X
en
g(e)
X
d n
e
μ(d) = g(n)μ(1) = g(n).
Puesto que , por proposición (1.3.1):
X
d n
e
μ(d) =

0, para todo n
e 1 ;
1, cuando n
e = 1,es decir cuando n=e .
8

Prueba de la rec´ıproca:
Supongamos que
g(n) =
X
dn
μ(d)f(n/d) =⇒ g(d) =
X
ed
μ(e)f(
d
e
).
Luego X
dn
g(d) =
X
dn
X
ed
μ(e)f(d/e)
=
X
(e.r ∧ r.e)n
μ(e)f(r) =
X
rn
f(r)
X
e n
r
μ(e) = f(n).
Para esto ´ultimo considere la proposici´on (1.3.1).
Para (ii) tenemos que
f(n) =
Y
dn
g(d).
Luego: Y
dn
f(n/d)μ(d) =
Y
dn
Y
[
e n
d
g(e)]μ(d)
=
Y
en
[g(e)]Pdne
μ(d) = g(n)μ(1) = g(n);
pues:
X
d n
e
μ(d) =

0, para todo n
e 1 ;
1, cuando n
e = 1.
De manera similar se prueba la rec´ıproca.
Ejemplo 1.3.1 :
Considere n=6.
X
d6
μ(d)f(
6
d
) =
X
d6
μ(d)
X
e 6
d
g(e)
= μ(1)[g(1) + g(2) + g(3) + g(6)]
+μ(2)[g(1) + g(3)]
+μ(3)[g(1) + g(2)]
+μ(6)[g(1)]
= g(1)[|μ(1) + μ(2) {+zμ(3) + μ(6})
o
]
9

+g(2)[|μ(1) {+zμ(3})
0
]
+g(3)[|μ(1) {+zμ(2})
0
]
+g(6)[μ(1)]
=
X
e6
g(e)
X
d 6
d
μ(d) = g(6)μ(1) = g(6)
Una función aritmetica f(n) es multiplicativa si
f(mn) = f(m)f(n)
siempre que el m.c.d(m,n)=1.
Lema 1.3.1 :
Si f(n) es multiplicativa, entonces la función
X
dn
f(d)
es una función multiplicativa de n.
Prueba:
Sea g(n) =
P
dn f(d). Supongamos que m.c.d(n,m)=1. Entonces :
g(mn) =
X
dmn
f(d) =
X
d1m
X
d2n
f(d1.d2)
(por ser f multiplicativa)
=
X
d1m
X
d2n
f(d1)f(d2) =
X
d1m
f(d1)
X
d2n
f(d2) = g(m)g(n).
Esto prueba el lema.
Lema 1.3.2 :
La función de Möbius μ(n) es multiplicativa.
10

Prueba:
Supongamos que m.c.d(m,n)=1 :
Si:
r2m ó q2n para algún r ó q ∈ Z
=⇒ r2mn ó q2mn
=⇒ μ(m)μ(n) = 0 = μ(mn).
Si :
r2 ∤ m y q2 ∤ n =⇒ n = p1...pk y m = q1...qs
donde los p′
is y los q′j
s son todos distintos
=⇒ nm = p1...pk.q1...qs
=⇒ μ(n)μ(m) = (−1)k(−1)s = (−1)k+s = μ(mn).
Por lo tanto, μ(n), es multiplicativa.
La función totient de Euler, ϕ(n), es el número de enteros positivos menores
y relativamente primos a n, es decir,
ϕ(n) :=
X
(j,n)=1
1≤j≤n
1 ,
recuerde que (j,n) denota el m.c.d(j,n).
-Cuando digamos función de Euler nos referiremos a la función totient de
Euler.
Ejemplo 1.3.2 :
Para n=6 :
ϕ(6) =
X
1≤l6
(l,6)=1
1 = |{1z}
l=1
+|{1z}
l=5
= 2 .
∴ ϕ(6) = 2
Para m y n primos relativos, ϕ(mn) = ϕ(m).ϕ(n) .
Para p primo y l un entero positivo
ϕ(pl) = (p − 1)pl−1 y
X
dn
d0
ϕ(d) = n .
11

Prueba:
Para m.c.d(m, n) = 1 ,
m.c.d(t,mn) = m.c.d(t, n).m.c.d(t,m)
as´ı, t es primo a mn si y sólo s´ı t es primo a m y n.
El m.c.d(m, n) es el menor entero positivo de la forma rm + sn. Por
teorema de Sun-Ze,
f : Zm ⊕ Zn −→ Zmn
(x, y)7−→ rm.y + sn.x
es una biyección, puesto que m y n son primos relativos(coprimos).
De rm+ sn = 1, rm = 1modn as´ı rm es primo a n, y de sn = 1modm,
sn es primo a m. Luego, rmy + snx tiene un factor común con m si y
sólo s´ı x tiene un factor común con m, rmy +snx tiene un factor común
con n si y sólo s´ı y tiene un factor común con n. As´ı, f da una biyección
{x : 1 ≤ x m, m.c.d(x,m) = 1} × {y : 1 ≤ y n, m.c.d(y, n) = 1}
−→ {z : 1 ≤ z mn, m.c.d(z,mn) = 1}
y ϕ(mn) = ϕ(m).ϕ(n).
Para p primo, ϕ(pe) = pe − #{(múltiplos de p) ≤ pe | {z }}
()
.......(∗)
= pe − #{p, 2p, 3p, ..., (pe−1)p}
= pe − pe−1 = (p − 1)pe−1 .
(∗) (pues m.c.d(pe, (α))= 61).
P
Para probar
dn
d0
ϕ(d) = n :
-Considere n = pe, con p primo, entonces
X
dpe
ϕ(d) =
X
0≤k≤e
ϕ(pk) = 1 +
X
1≤k≤e
ϕ(pk) = 1 +
X
(p − 1)pk−1
1≤k≤e
= 1 + (p − 1)
X
1≤k≤e
pk−1 = 1 + (p − 1)
pe − 1
p − 1
= pe
Sea n = pe1
1 .pe2
2 ...pet
t donde los pi son primos distintos . Entonces
X
dn
ϕ(d) =
Y
(
1≤i≤t
X
dp
ei
i
ϕ(d)),
12

(note que d empieza desde 1, as´ı las sumas empiezan de ϕ(1) = 1)
=
Y
(pei
1≤i≤t
i )
(por resultado anterior para n = pe )
= pe1
1 .pe2
2 ...pet
t = n
∴
X
dn
ϕ(d) = n
Esto prueba la identidad para ϕ .
Tenemos:
ϕ(n) = n
X
dn
μ(d)
d
= n
Y
pn
(1 −
1
p
), (1.4)
para p primo.
13

1.4. Factores Múltiples en Polinomios.
-Existe un simple artificio para detectar factores repetidos en un poli-nomio
con coeficientes en un cuerpo.
Sea K un cuerpo . Para un polinomio
f(x) = anxn + ... + a1x + a0
con coeficientes ai en K, se define la derivada(algebraica) Df(x) de
f(x) por
Df(x) = nanxn−1 + (n − 1)a(n−1)xn−2 + ... + 3a3x2 + 2a2x + a1 .
D es por definición una aplicación k-lineal D : K[x] −→ K[x] definida en
las k-bases {xn} por D(xn) = nxn−1 .
Lema 1.4.1 :
Para f, g en K[x], D(fg) = Df.g + f.Dg .
Comentario 1.4.1 :
Cualquier aplicación k-lineal T de una K-algebra R en s´ı misma, con la
propiedad que
T(rs) = T(r).s + r.T(s)
es una derivación k-lineal en R.
Prueba:
Garantizando la k-linealidad de T para probar la propiedad de derivación
D es suficiente considerar elementos bases xm, xn de K[x]. En un lado
D(xm.xn) = Dxm+n = (m + n)xm+n−1
En el otro lado ,
Df.g + f.Dg = mxm−1.xn + xm.nxn−1
= (m + n)xm+n−1
produciendo la regla del producto para monomios.
14

Sea f(x) ∈ K[x] con K un cuerpo, y P un polinomio irreducible en
K[x] .
a) Si Pe divide a f entonces Pe−1 divide al m.c.d(f,Df).
b) Si K es perfecto y (e − 1)6= 0 en K y Pe−1 f, Pe−1 Df
entonces Pef (reciproca de a) ) ( en particular vale si la caracter´ısti-ca
de K es 0 ).
Prueba:
a) Suponga f = Pe.g con e ≥ 2. Por regla del producto
Df = ePe−1DP.g + Pe.Dg
que evidentemente es un múltiplo de Pe−1.
b) Necesitamos que f = Pe.g = Pe−1.Pg
⇒
f
Pe−1 = Pg .
Luego, probaremos que P ( f
Pe−1 ) .
Escribimos : ( f
Pe−1 ) = Q.P + R con grado de R grado de P. Entonces
f = Q.Pe + R.Pe−1 ,
derivando :
Df = DQ.Pe + eQPe−1 + DR.Pe−1 + (e − 1).RPe−2DP .
Como por hipótesis Pe−1 Df , necesariamente
Pe−1 [(e − 1).RPe−2DP]
puesto que (e − 1)6= 0 en K, entonces P R ó P DP.
• Si P R ⇒ R = 0 (pues grad R grad P)
⇒ f/Pe−1 = Q.P ⇒ pe f ( hecho !) .
• Si P ∤ R ⇒ P DP. Puesto que grad DP grad P y si P DP ⇒ DP = 0. Esto requiere que los coeficientes no nulos (de DP) sean divididos
por la caracter´ıstica (p 0) del cuerpo. As´ı P es de la forma
P(x) = apmxpm+ap(m−1)xp(m−1)+ap(m−2)xp(m−2)+...+a2px2p+a1px1p+a0p .
Usando la hipótesis que K es un cuerpo perfecto, cada ai tiene una p-ésima
ra´ız en K, pues p es la caracter´ıstica de K, as´ı (a1 + a2 + ... + al)p =
15

ap
1 + ap
2 + ... + ap
l .
Esto indica que ∃ bk ∈ K tal que bp
k = akp , 0 ≤ k ≤ m .
Luego :
(bmxm + bm−1xm−1 + ... + b1 + b0)p = P(x) .
Si P es una p-ésima potencia, entonces P no es irreducible (contradicción
con hipótesis general que P es irreducible) . Por lo tanto, para P irreducible,
la DP6= 0 (0 ≡ polinomio nulo). Por lo tanto R = 0, lo cual implica que
pe f (ya se ha demostrado).
Lema 1.4.2 :
Para m, n dos enteros ( divisible por la caracter´ıstica del cuerpo o no ),
m.c.d(xm − 1, xn − 1) = xm.c.d(m,n) − 1 .
Prueba:
-Aplicamos inducción en el máximo de m y n. Si m = n, entonces xm−1 =
xn − 1 y la afirmación es cierta.
Si m n, haciendo un fragmento de la división, tenemos :
xm − 1 − xm−n(xn − 1) = xm−n − 1 . ....(∗)
Si P es un polinomio dividiendo a xm −1 y a xn −1 entonces P divide
a xm−n − 1.
Por inducción,
m.c.d(xm−n − 1, xn − 1) = xm.c.d(m−n,n) − 1 .
Pero m.c.d(m, n) = m.c.d(m − n, n)
( pues ∃ a, b ∈ Z tal que m.c.d(m, n) = am+ bn = a(m− n) + (a + b)n =
a(m − n) + cn = m.c.d(m − n, n) y xm − 1 = xm−n(xn − 1) + xm−n − 1 ).
Luego, de (∗):
m.c.d(xm − 1, xn − 1) = m.c.d(xm−n − 1, xn − 1)
= xm.c.d(m−n,n) − 1
Por hipótesis inductiva,
= xm.c.d(m,n) − 1 .
Si m n invertimos los roles de m y n y repetimos el argumento anterior.

Lema 1.4.3 :
Sea n un entero positivo no divisible por la caracter´ıstica del cuerpo K.
Entonces el polinomio xn − 1 no tiene factores repetidos.
16

Prueba:
Es suficiente verificar que el m.c.d de xn − 1 y su derivada nxn−1 es 1 .
Puesto que la caracter´ıstica del cuerpo no divide a n , n tiene un inverso
multiplicativo t en K. (i.e. n.t = 1K ). Entonces efectuando una división ,
(xn − 1) − (tx)(nxn−1) = −1 .
As´ı, el m.c.d(xn − 1 , nxn−1) = 1K
Nota:
-Si la caracte´ıstica p del cuerpo K divide a n (i.e. n = p.m , donde
m ∈ Z). Entonces:
• ) D(xn − 1) = D(xpm − 1) = pmxpm−1 = 0 .
Esto indica que ∀ α ∈ K, (x − α) es un factor de D(xn − 1), entonces
xn − 1 tiene factores múltiples.
Equivalentemente : xn − 1 = xpm − 1 = (xm − 1)p, evidentemente xn − 1
tiene factores múltiples. ///
17

Cap´ıtulo 2
Polinomios Ciclotómicos
2.1. Definición y Primeros Resultados.
- Una n-ésima ra´ız de la unidad es una solución de zn = 1 en C. Existen
precisamente n soluciones para zn = 1, es decir, e2i/n, e2i2/n, ...,
e2in/n = 1. Frecuentemente escribimos ξn para e2i/n as´ı que ξn, ξ2n
, ξn
n
son las n ra´ıces de zn = 1.
Decimos que una n-ésima ra´ız de la unidad es primitiva si es de la forma ξkn
con k y n relativamente primos, i.e., (k, n) = 1. Una n-ésima ra´ız de la
unidad primitiva, ξ, tiene la propiedad que no satisface cualquier ecuación
de la forma zm = 1 con m n, y ξk, 1 ≤ k ≤ n son todas las n-ésimas
ra´ıces de la unidad. Existen exactamente ϕ(n) n-ésimas ra´ıces primitivas de
la unidad. Las ra´ıces de la unidad forman un grupo c´ıclico (multipicativo)
de orden n y las ra´ıces primitivas corresponden a los generadores de este
grupo.
El n-ésimo polinomio ciclotómico es el polinomio mónico
Φn(x) =
Yn
j=1
(j,n)=1
(x − ξjn
)
cuyas ra´ıces son precisamente las n-ésimas ra´ıces primitivas de la unidad.
Ejemplo 2.1.1 :
Φ1(x) = x − 1 y Φ2(x) = x − (−1) = x + 1.
Φ3(x) = (x − (−1/2 + √3i/2)(x − (−1/2 − √3i/2)) = x2 + x + 1.
y Φ4(x) = x2 + 1.
18

Un polinomio ciclotómico es un polinomio mónico cuyas ra´ıces permanecen
en el c´ırculo unitario. Ver la figura :
−1 −0.5 0 0.5 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
Eje x
Eje Y
Círculo Unitario
Las Raices de la
unidad
están ubicadas
en el
Círculo Unitario.
⋆ Note que :
xn − 1 =
Y
dn
Y
1≤j≤n
(j,n)
(x − ξjn
) =
Y
dn
Φn
d
(x) =
Y
dn
Φd(x).
Aplicando la fórmula de inversión de Möbius, se infiere que
Φn(x) =
Y
dn
(xd − 1)μ(n
d ). (2.1)
Ejemplo 2.1.2 :
Hallar Φ6(x)
Φ6(x) =
Y
d6
(xd − 1)μ(6/d)
= (x − 1)μ(6).(x2 − 1)μ(3).(x3 − 1)μ(2).(x6 − 1)μ(1)
Pero μ(1) = 1, μ(2) = −1, μ(3) = −1 y μ(6) = 1
=⇒ Φ6(x) =
(x − 1)(x6 − 1)
(x2 − 1)(x3 − 1)
= x2 − x + 1 .
En vista de la definición (2.1.1), tenemos :
Corolario 2.1.1 :
Sea n 1 un entero y Φn(x) el n-ésimo polinomio ciclotómico. Entonces
x'(n)Φn(1/x) = Φn(x).
19

Una ecuación expl´ıcita para Φn(x), donde n no es un cuadrado simple, es
dado por
Φn(x) =
X'(n)
j=0
an,jx'(n)−j ,
donde an,j es calculado usando la relación de recurrencia :
an,j = −
μ(n)
j
Xj−1
m=0
am,nμ(m.c.d(n, j − m))ϕ(m.c.d(n, j − m)) ,
con an,0 = 1, donde μ(n) es la función de Möbius .
Ejemplo 2.1.3 :
Φ2(x) =
P'(2)
j=0 a2,jx'(2)−j =
P1
j=0 a2,jx1−j = a2,0x + a2,1 = 1.x + a2,1.
Luego:
a2,1 = −
μ(2)
1
.a2,0μ(m.c.d(2, 1)).ϕ(m.c.d(2, 1)) = −(−1),1.μ(1).ϕ(1) = 1 .
Por lo tanto: PΦ2(x) = x + 1 .
Φ3(x) =
2
j=0 a3,jx2−j , ϕ(3) = 2
= a3,0x2 + a3,1x + a3,2 = x2 + a3,1x + a3,2.
a3,1 = −
μ(3)
1
a3,0μ(m.c.d(3, 1)).ϕ(m.c.d(3, 1))
a3,1 = −
(−1)
1
,1.μ(1).ϕ(1) = 1
a3,2 = −
μ(3)
2
.
X1
m=0
a3,mμ(m.c.d(3, 2 − m)).ϕ(m.c.d(3, 2 − m))
= −
(−1)
2
.{[1.μ(1).ϕ(1)] + [1.μ(1).ϕ(1)]} = 1
Por lo tanto: Φ3(x) = x2 + x + 1 .
NOTA: La restricción a que n6= r2 para r ∈ Z, es porque según la definición
de la función de Möbius, μ(n) = μ(r2) = 0 y esto no sirve para hallar los
an,j en la relación de recurrencia.
20

2.2. Polinomios Ciclotómicos Con Coeficientes
Impares
2.2.1. Factorización sobre Zp[x]
-En esta sección se resumen algunos resultados sobre factorizacón de poli-nomios
ciclotómicos con coeficientes impares como un producto de polinomios
ciclotómicos irreducibles.
Lema 2.2.1 :
Sean n y m enteros positivos distintos, relativamente primos a p (p primo).
Entonces Φn(x) y Φm(x) son relativamente primos en Zp[x].
Prueba:
Suponga que e y f son los m´ınimos enteros positivos tales que
pe ≡ 1modn y pf ≡ 1modm.
Sea Fpk el cuerpo de orden pk. Luego |Fe| = pe − 1, donde Fe es xp
el
grupo de unidades de Fpe ,
Como pe ≡ 1modn =⇒ n(pe − 1) =⇒ n|Fe |.
xpxp
Luego; Fpe contiene elementos de orden n, esto indica que sobre Zp[x], Φn(x)
tiene factor irreducible de grado e. Como e es el m´ınimo entero positivo
y el gradΦn(x) = ϕ(n), se tiene que Φn(x) es un producto de ϕ(n)/e
factores irreducibles de grado e y cada factor irreducible es un polinomio
m´ınimo para un elemento en Fpe de orden n sobre Zp. As´ı Φn y Φm no
tienen un factor común en Zp[x] puesto que sus factores irreducibles son
polinomios m´ınimos de diferentes grados.
Para cada primo p, sea Tp el operador definido sobre todos los polinomios
mónicos en Z[x] por
Tp[P(x)] :=
YN
i=1
(x − αp
i )
para cada P(x) =
QN
i=1(x − αi) en Z[x].
El operador Tp[.] es extendido para ser definido sobre el cociente de dos
polinomios mónicos en Z[x] por
Tp[(P/Q)(x)] :=
Tp[P(x)]
Tp[Q(x)]
.
21

Este opeador toma un polinomio P(x) y lo lleva a otro cuyas ra´ıces son las
p-ésimas potencias de las ra´ıces de P(x). Cuando p = 2 es referido como
algoritmo de la ra´ız cuadrada de Graeffe.
Lema 2.2.2 :
Sea n un entero positivo relativamente primo a p e i ≥ 2. Entonces:
i) Tp[Φn(x)] = Φn(x);
ii) Tp[Φpn(x)] = [Φn(x)]p−1;
iii) Tp[Φpin(x)] = [Φpi−1n(x)]p.
Para cada p primo, sea Mp la proyección natural de Z[x] sobre Zp[x]. As´ı
Mp[P(x)] = P(x)(modp).
Cuando P(x) es ciclotómico, las iteraciones Tn
p [P(x)] converge en un
número finito de pasos a un punto fijo de Tp y definimos a este como el
punto fijo de P(x) con respecto a Tp.
Lema 2.2.3 :
Si P(x) es un polinomio ciclotómico mónico en Z[x], entonces
Mp[Tp[P(x)]] = Mp[P(x)] (2.2)
en Zp[x].
Prueba:
Puesto que Tp y Mp son ambos multiplicativos, es suficiente considerar
los polinomios ciclotómicos primitivos. Sea n un entero relativamente primo
a p. Entonces (2.2) es verdadero para P(x) = Φn(x) por (i) del lema 2.2.2.
Para P(x) = Φpn(x), tenemos :
Mp[Tp[Φpn]] = Mp[[Φ(x)]p−1]
por (ii) del lema 2.2.2, además Φnp(x) = [Φn(x)]p−1 en Zp[x] con p ∤ n.
O también
Mp[Φpn(x)] =
Mp[Φn(xp)]
Mp[Φn(x)]
(pues Φpn(x) =
Φn(xp)
Φn(x)
)
=
Mp[Φn(xp)]
Mp[Φn(x)]
= Mp[Φn(x)]p−1, en Zp .
22

As´ı: (2.2) es verdadero para P(x) = Φpn(x). Finalmente,
Si:
P(x) = Φpin(x) =⇒ Mp[Tp[Φpin(x)]] = Mp[Φpi−1n(x)]p
= Mp[Φpi−1n(xp)] = Mp[Φpin(x)], (por (iii) de lema (2,2,2)) .

El lema (2.2.3) muestra que si
Tp[P(x)] = Tp[Q(x)] =⇒ Mp[P(x)] = Mp[Q(x)].
El proximo teorema muestra que la rec´ıproca también es cierta.
Teorema 2.2.1 :
Sean P(x) y Q(x) polinomios ciclotómicos mónicos en Z[x].
Mp[P(x)] = Mp[Q(x)] en Zp[x] si y sólo s´ı P(x) y Q(x) tienen el mismo
punto fijo con respecto a la iteración de Tp .
Prueba:
Suponga que
P(x) =
Y
d ∈ L
d (x)Φe(pd)
pd (x)...Φe(pkd)
Φe(d)
pkd (x)
y
Q(x) =
Y
d ∈ L
Φe(d)′
d (x)Φe(pd)′
pd (x)...Φe(pkd)′
pkd (x)
donde k, e(j), e(j)′ ≥ 0 y
L = {n ∈ Z+/m.c.d(n, p) = 1}
Usando el hecho que Tp[.] es multiplicativo y el lema 2.2.2, tenemos que
para l ≥ k
Tlp
[P(x)] =
Y
d∈ L
Φd(x)g(d) y Tlp
[Q(x)] =
Y
d∈ L
Φd(x)g(d)′
(2.3)
donde
g(d) = e(d) + (p − 1)
Xk
j=1
pj−1e(pjd) y
g(d)′ = e(d)′ + (p − 1)
Xt
j=1
pj−1e(pjd)′ .
23

Luego por el lema 2.2.3 y considerando que Mp[.] es multiplicativa, se tiene:
Y
d∈ L
Mp[Φd(x)]g(d) =
Y
d∈ L
Mp[Φd(x)]g(d)′ .
Sin embargo, considrando el lema 2.2.1, Mp[Φd(x)] y Mp[Φd′ (x)] son relati-vamente
primos si d6= d′ .
As´ı tenemos que g(d) = g(d′) ∀d ∈ L y por lo tanto de (2.3), P(x) y Q(x)
tienen el mismo punto fijo con respecto a Tp .
Sea f(x) = a0 + a1x + ... + anxn ∈ Z[x], para p primo, se define f(x) =
a0 + a1x + ... + anxn ∈ Zp[x], donde: ai = ai + p.Z .
Si p ∤ an y f(x) es irreducible sobre Zp[x], entonces f(x) es irreducible
sobre Q.
El siguiente lema nos dice cuales Φm(x) pueden ser factores de polinomios
con coeficientes impares.
Lema 2.2.4 :
Suponga que P(x) es un polinomio con coeficientes impares de grado N −1.
Si Φm(x) divide a P(x), entonces m divide a 2N .
Prueba:
Puesto que Φm(x) divide a P(x), entonces Φm(x) también divide a P(x)
en Z2[x] (ver proposición 2.2.1). En Z2[x], P(x) = xN−1 + ... + x + 1 y
puede ser factorizado como
P(x) = [Φ1(x)]−1
Y
dM
[Φd(x)]2t
(2.4)
donde N = 2tM, t ≥ 0 y M es impar.
Por el lema 2.2.1, Φd1(x) y Φd2(x) son relativamente primos en Z2[x] si
d1 y d2 son enteros impares diferentes.
Si m es impar, Φm(x) es un factor de P(x), luego m=d para algún dM. En
el caso que m es par y m = 2lm′, donde l ≥ 1 y m′ impar,
Φm(x) = Φ2lm′(x) =
x2lm′ Q − 1
d2lm′
d2lm′
Φd(x)
=
(x2l−1)2m′ − 1 Q
d2m′
d2m′
Φd(x2l−1)
= Φ2m′ (x2l−1
) = [Φm′ (x2l−1
)]2−1 = Φm′ (x2l−1
)
= [Φm′(x)]2l−1
(2.5)
en Z2[x]. As´ı, tenemos m′ = d para dM y l ≤ t + 1.
Por lo tanto, en ambos casos, m divide a 2N = 2t+1M .
24

2.2.2. Caracterización De Los Polinomios Ciclotómicos
Con Coeficientes Impares.
En esta sección se caracteriza los polinomios ciclotómicos con coeficientes
impares, esto se muestra en el corolario (2.2.2) .
Del lema (2.2.4), se tiene que todo polinomio ciclotómico, P(x), con coefi-cientes
impares de grado N-1 puede ser escrito como
P(x) =
Y
d2N
[Φe(d)
d (x)] (2.6)
donde e(d) ≥ 0 .
En seguida caracterizamos los polinomios ciclotómicos mónicos por su imagen
sobre Zp[x] v´ıa la proyección Mp. Todos ellos tienen el mismo punto fijo
bajo Tp .
Si p=2, tenemos:
Corolario 2.2.1 :
Todos los polinomios ciclotómicos mónicos con coeficientes impares de grado
N-1 tienen el mismo punto fijo bajo la iteración de T2. Especificamente, si
N = 2tM donde t ≥ 0 y m.c.d(2,M) = 1 entonces el punto fijo ocurre en
el (t+1)-ésimo paso de la iteración e igual a
(xM − 1)2t
(x − 1)−1 .
Prueba:
La primera parte se sigue del teorema (2.2.1) y el hecho que
M2[P(x)] = 1 + x + ... + xN−1
en Z2[x] si P(x) es un polinomio mónico con coeficientes impares de grado
N-1. Si N = 2tM, entonces de (2.6),
P(x) =
Y
dM
d (x)Φe(2d)
2d (x)...Φe(2t+1d)
Φe(d)
2t+1d .
Sobre Z2[x],
1 + x + ... + xN−1 = [Φ1(x)]−1
Y
dM
Φ2t
d (x) ,
as´ı
f(d) = e(d) +
Xt+1
i=1
2i−1e(2id) = {2t para dM, d1 ;
2t−1 para d=1 . (2.7)
25

Por lo tanto, de la ecuación (2.7) y del lema (2.2.2), tenemos
Tt+1
2 [P(x)] =
Y
dM
Φf(d)
d (x)
= [Φ1(x)]−1
Y
dM
Φ2t
d (x)
= (xM − 1)2t
(x − 1)−1 .

En el corolario (2.2.1), cuando N es impar (t=0), se muestra que T2[P(x)]
es igual a 1+x+...+xN−1 para todo polinomio ciclotómico con coeficientes
impares y de las ecuaciones (2.6) y (2.7), tenemos la siguiente carac-terizaci
ón de polinomios ciclotómicos con coeficientes impares.
Corolario 2.2.2 :
Sea N = 2tM con t ≥ 0 y m.c.d(2,M)=1. Un polinomio, P(x), con
coeficientes impares de grado N-1 es ciclotómico si y sólo s´ı
P(x) =
Y
dM
Φe(d)
2d (x)...Φe(2t+1d)
d (x)Φe(2d)
2t+1d (x) ,
y los e(d) satisfacen la condición (2.7). Además, si N es impar, entonces
cualquier polinomio, P(x), con coeficientes impares de grado par N-1 es ci-clot
ómico si y sólo s´ı
P(x) =
Y
dN
d1
Φe(d)
d (+−x) (2.8)
donde los e(d) son enteros no negativos.
2.2.3. Caracterización De Los Polinomios Ciclotómicos
De Littlewood .
Entre todos los polinomios ciclotómicos, se encuentran los polinomios de
Littlewood, i.e.,con coeficientes +−
1. En esta sección, consideramos la car-acterizaci
ón de tales polinomios. P. Borwein y K.K.Choi (en su texto On
Cyclotomic Polynomials with +−
1 Coefficients, Experiment. Math. 9(2000),
no1, 153-158), prueban el Teorema (2.2.2) .
26

Teorema 2.2.2 :
Sea N impar. Un polinomio de Littlewood, P(x), de grado N-1 es ciclotómico
si y sólo s´ı
P(x) =+−
Φp1(+−
x)Φp2(+−
xp1)...Φpr (+−
xp1p2...pr−1) , (2.9)
donde N = p1p2...pr y los p′
is son primos, no necesariamente distintos .
Corolario 2.2.3 :
Sea N impar. Entonces P(x) es un polinomio ciclotómico de Littlewood de
grado N-1 si y sólo s´ı
P(x) =+−
Yt
i=1
xNi + (−1)+i
xNi−1 + (−1)+i (2.10)
donde ε = 0 ó 1, N0 = 1, Ni−1 es un divisor propio de Ni−1 para
i = 1, 2, ..., t .
Prueba:
Del teorema (2.2.2) P(x) es un polinomio ciclotómico de Littlewood si y sólo
s´ı
P(x) = Φp1(+−
x)Φp2(+−
xp1)...Φpr (+−
xp1p2...pr−1)
= Φp1(x)...Φpn1
(xp1...pn1−1)Φpn1+1(−xp1...pn1 )...Φpn2
(−xp1...pn2−1)
...Φpnt+1((−1)t−1xp1...pnt−1) (2.11)
donde N = p1...pnt . Puesto Φp(x) = xp−1
x−1 , (2.14) se convierte en
P(x) =
Yt
i=1
xNi + (−1)i
xNi−1 + (−1)i
donde N0 = 1 y Ni = p1...pn1 para i = 1, .., t. Esto prueba el corolario.
P. Borwein y K.K.Choi conjeturan que el Teorema (2.2.2) también es
válido para polinomios de grado impar.
Conjetura:
Un polinomio de Littlewood, P(x), de grado N − 1 es ciclotómico si y sólo
s´ı
P(x) =+−
Φp1(+−
x)Φp2(+−
xp1)...Φpr (+−
xp1p2...pr−1) , (2.12)
donde N = p1p2...pr y todos los p′
is son primos, no necesariamente distintos
.
27

2.2.4. Polinomios Ciclotómicos, Un Enfoque Adicional.
Sea K un cuerpo, el exponente de K es el menor entero positivo n tal
que bn = 1 ∀ b ∈ K . Pero bd6= 1 para 0 d n (si tal entero n no
existe, el exponente de K es ∞ ).
En otras palabras, b es una ra´ız del polinomio xn−1 pero no de xd−1 para
0 d n . Construimos polinomios Φn(x) ∈ Z[x] tal que Φn(b) = 0 si
y sólo s´ı b tiene exponente n .
Estos polinomios Φn son llamados Polinomios Ciclotómicos..
Se define el n-ésimo polinomio ciclotómico Φn(x) por
Φ1(x) = x − 1
y para n 1, inductivamente ,
Φn(x) =
xn − 1
m.c.m{xd − 1 con 0 d n, d n}
con el m´ınimo común múltiplo mónico.
Teorema 2.2.3 :
Sean m y n enteros, ninguno de los cuales es divisible por la
caracter´ıstica del cuerpo K. Entonces :
• Φn es un polinomio mónico con coeficientes enteros.
• Para α en el cuerpo K , Φn(α) = 0 si y sólo s´ı αn = 1 y αt6= 1 ∀t
con 0 t n .
• m.c.d(Φm(x),Φn(x)) = 1 para n m .
• El grado de Φn(x) es ϕ(n) (función de Euler).
• Existe una más eficiente descripción de Φn(x) :
Φn(x) =
xn − 1
Π1≤dn,
dn
Φd(x)
.
• El polinomio xn − 1 se factoriza como
xn − 1 = Π1≤d≤n,
dn
Φd(x)
Prueba:
• En primer lugar verificamos que el m.c.m de xd − 1 con d n y d n
divide a xn − 1 . Se sabe que si d n (y d 0 ) implica que xd − 1
28

divide a xn − 1 (por algebra elemental o por el lema 1.4.2 ). Por lo tanto,
usando factorización única de polinomios con coeficientes en un cuerpo, se
sigue que
m.c.m{xd − 1 tal que (xd − 1) (xn − 1) con d n}
también divide a xn − 1 .
Luego, la afirmación que Φn es mónico se sigue de esta definición, puesto
que Φn(x) es el cociente del polinomio mónico xn − 1 por el m.c.m de
polinomios mónicos.
• Para α ∈ K, (x − α) Φn(x) ⇔ Φn(α) = 0 . Y αt = 1 si y sólo
s´ı (x − α) (xt − 1) .
La definición :
Φn(x) =
xn − 1
m.c.m{xd − 1 con 0 d n, d n}
muestra que si Φn(α) = 0 ⇒ αn = 1 .
También, si αt = 1 para t n con t n, entonces (x − α) (xt − 1) y
as´ı (x − α) divide al m.c.m {xd − 1 con 0 d n, d n}.
Esto obligar´ıa a que xn − 1 = (x − α)rH(x) para algún r ∈ Z, r 1. Lo
cual es una contradicción pues xn − 1 no tiene factores repetidos.
Por lo tanto αt6= 1 para 0 t n.
• Para determinar el m.c.d(Φm,Φn), primero observe que Φm(x) xm − 1
y Φn(x) xn − 1, as´ı
m.c.d(Φm,Φn) m.c.d(xm − 1, xn − 1).
En el lema 1.4.2 calculamos que
m.c.d(xm − 1, xn − 1) = xm.c.d(m,n) − 1 .
=⇒ m.c.d(Φm,Φn) (xm.c.d(m,n) − 1)
De la definición
Φm(x) =
xm − 1
m.c.m{xd − 1 con 0 d m, d m}
tenemos que :
Φm(x)
xm − 1
xd − 1
29

Puesto que n m:
a)-Si n m ⇒ m.c.d(m, n) = n, as´ı
Φm(x) (
xm − 1
xm.c.d(m,n) − 1
)
b)-Si m.c.d(m, n) = 1 y puesto que d también toma el valor de 1, en este
caso también
Φm(x) (
xm − 1
xm.c.d(m,n) − 1
) .
As´ı, m.c.d(Φm(x),Φn(x)) también divide a
xm − 1
xm.c.d(m,n) − 1
.
Puesto que xm−1 no tiene factores repetidos, entonces Φm(x) y xm.c.d(m,n)− 1 no tienen factores en comun ´(el m.c.d(m, n) se toma como d, ver a) y
b) ).
Por lo tanto del hecho que m.c.d(Φm(x),Φn(x)) divide a
(xm.c.d(m,n) − 1) y también divide a (xm−1)
, concluimos que
(xm.c.d(m,n)−1) m.c.d(Φm(x),Φn(x)) = 1 .
• Luego, probamos que
xn − 1 =
Y
1≤d≤n
dn
Φd(x) .
De la definición de Φn(x), tenemos
xn − 1 = Φn(x).(m.c.m{xd − 1 : d n, 0 d n}) ,
ya hemos probado que Q
para m= 6n el m.c.d(Φm,Φn) = 1, as´ı m.c.m{xd−1 :
d n, 0 d n} =
dn
Φd(x) .
dn
Por lo tanto, xn − 1 = Φn(x).
Q
dn
dn
Φd(x) como necesitamos.
• La afirmación acerca del gradΦn(x) se sigue de la identidad (probada en
la sección 1.3) para la función de Euler
X
dn
d0
ϕ(d) = n ,
además de xn−1 =
Q
Φd(x) se tiene que n = ΣgradΦd(x). Por lo tanto
X
dn
1≤d≤n
dn
gradΦd(x) =
X
dn
ϕ(d)
30

gradΦn(x) = ϕ(n) .
Esto completa la prueba del teorema.
2.2.5. Ejemplos I .
Ejemplos : (en Z[x])
a) Para p primo, xp − 1 =
Q
dp Φd(x)
=⇒ xp − 1 = Φ1(x).Φp(x) = (x − 1)Φp(x)
=⇒ Φp(x) =
xp − 1
x − 1
= xp−1 + xp−2 + ... + x + 1
b) Para n = 2p , p ≡ primo impar:
Φ2p(x) =
x2p − 1
Φ1(x).Φ2(x).Φp(x)
=
x2p − 1
Φ2(x)(xp − 1)
=⇒ Φ2p(x) =
xp + 1
x + 1
, Φ2(x) = x + 1
=⇒ Φ2p(x) = xp−1 − xp−2 + ... − x + 1
c) Para n = p2 con p primo :
Φp2(x) =
xp2 − 1
Φ1(x).Φp(x)
=
xp2 − 1
xp − 1
=
(xp)p − 1
xp − 1
=⇒ Φp2(x) = xp(p−1) + xp(p−2) + ... + xp + 1 = Φp(xp)
d) En forma general para n = pe, p primo y e ≥ 1
Φpe(x) = Φp(xpe−1
) = xpe−1(p−1) + xpe−1(p−2) + ... + xpe−1
+ 1
e) Para n = 2m (con m impar 1) demostraremos que
Φ2m(x) = Φm(−x)
Note que, Φ2(−x) = −x + 1 = −Φ1(x) .
Probaremos por inducci´on :
x2m − 1 =
Y
d2m
d2m
Φd(x).Φ2m(x)
31

=⇒ Φ2m(x) =
x2m Q − 1
d2m
d2m
Φd(x)}...(∗)
En (∗) note que { los divisores de 2m } 2m (con m impar), son todos
los divisores de m y los números de la forma 2{divisores de m } (menos
el 2m que no lo estamos considerando).
As´ı :
Φ2m(x) =
x2m − 1
Q
dm Φd(x).
Qdm
dmΦ2d(x)
=
x2m − 1
(xm − 1).
Q
dm
dm
Φ2d(x)
Por hipótesis inductiva : Φ2d(x) = Φd(−x), puesto que d es divisor de m
(impar), entonces d es impar.
=⇒ Φ2m(x) =
x2m − 1
(xm − 1)Πdm
dm
Φd(−x)
=⇒ Φ2m(x) =
Q(xm + 1)Φm(−x)
dm
dm
Φd(−x).Φm(−x)
=
(xQm + 1)Φm(−x)
dm Φd(−x)
=
(xm + 1)Φm(−x)
((−x)m − 1)(−1)
= Φm(−x)
donde el (-1) en el denominador es porque Φ2(x) = −Φ1(−x), además
(−1)m = −1 pues m es impar.
Ejemplos de aplicación de los anteriores resultados:
Φ1(x) = x − 1
Φ2(x) = x + 1 ........................................ caso a) con p = 2.
Φ3(x) = x2 + x + 1 .................................. caso a) con p = 3.
Φ4(x) = x2 + 1 .................................... caso c) con p = 2.
Φ5(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1............................. caso a) con p = 5.
Φ6(x) = Φ3(−x) = x2 − x + 1............................. caso e) con p = 3.
Φ7(x) = x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1................. caso a) con p = 7.
Φ8(x) = x4 + 1 .
Φ9(x) = Φ32(x) = x6 + x3 + 1.......................... .. caso c) con p = 3 .
Φ10(x) = Φ2(5)(x) = Φ5(−x) = x4 − x3 + x2 − x + 1 .
Φ11(x) = x10 + x9 + x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 .
Φ18(x) = Φ2(9)(x) = Φ9(−x) = x6 − x3 + 1 .
Para n = pq con p y q primos distintos, por ejemplo n = 15 = 3 · 5
Φ15(x) =
x15 − 1
Φ1(x).Φ3(x).Φ5(x)
=
x15 − 1
Φ3(x)(x5 − 1)
=
x10 + x5 + 1
x2 + x + 1
32

Φ15(x) = x8 − x7 − x5 − x4 − x3 + x + 1 .
+−
Migotti (1883) mostró que los coficientes de Φpq(x) para p y q primos
distintos pueden ser sólo 0,1 .
Φ30(x) = Φ15(−x) = x8 + x7 − x5 − x4 − x3 + x + 1 .
Para p primo Φp(x) = Σp−1
k=0xk, es decir, los coeficientes son todos 1.
El primer polinomio ciclotómico que tiene coeficientes además de 0 y +−
1
+−
es Φ105(x), +−
+−
el cual tiene coeficiente -2 para x7 y x41. Pues 105 es el
primer numero ´que tiene tres primos impares distintos como factores, i.e.,
105 = 3 · 5 · 7 . Los valores de n para los cuales Φn(x) tiene uno o más
coeficientes 1,2,3, ... son 105, 385, 1365, 1785, 2805, 3135, 6545, 10465,
11305, ... .
35
30
25
20
15
10
5
0
−5
−10
PRIMEROS POLINOMIOS CICLOTÓMICOS
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
−5 0 5
Eje X
P1
P2
P3
P4
0
2.2.6. Ejemplos II.
Ejemplos Elaborados.
1) Verificar que el polinomio x4 + x3 + x2 + x + 1 es irreducible en F3[x].
p
Usando la fórmula recursiva
Φn(x) =
xn − 1
Πdn
dn
Φd(x)
El polinomio dado es Φ5(x). Usamos el hecho que la caracter´ıstica del cuerpo
33

K no divide a n, entonces Φn(α) = 0 si y solo s´ı α es de orden n en Kx .
Si Φ5(x) tiene un factor lineal (x−α) con α ∈ F3, entonces Φ5(α) = 0, α es
de orden 5 en F3
x . Pero F3
x es de orden 2, as´ı no tiene elementos de orden
5 (por el Teorema de Lagrange). Por lo tanto Φ5(x) no tiene factor lineal en
F3.
Si Φ5(x) tiene un factor cuadrático irreducible en F3[x] , esto es equivalente a
decir que existe un elemento α de orden 5 en F32
x . Pero | F32
x |= 32−1 = 8,
el cual no es divisible por 5 , as´ı (por T. de Lagrange) Fx
32 no tiene elemeto
de orden 5.
Φ5(x) no tiene factor cúbico irreducible en F3[x], ya que si lo tuviese también
tendr´ıa un factor cuadrático o dos lineales, y ya comprobamos que no los
tiene.
Por lo tanto Φ5(x) es irreducible en F3[x]. m
2) Verificar que el polinomio x6 + x3 + 1 es irreducible en F5[x] .
En efecto:
Usamos la fórmula recursiva :
Φn(x) =
xn − 1
Πdn
dn
Φd(x)
x5
x5
El polinomio dado es Φ9(x). Usamos el hecho que la caracter´ıstica del cuerpo
K no divide a n , Φn(α) = 0 si y sólo s´ı α es de orden n en Kx.
Si Φ9(x) tiene factor lineal (x−α) con α ∈ F5 , entonces Φ9(x) = 0, α es de
orden 9 en F. Pero Fes de orden 4, as´ı no tiene elemento de orden 9 (por
Teorema de Lagrange). Por lo tanto Φ9(x) no tiene factor lineal en F5[x].
Supongamos que Φ9(x) tiene un factor cuadrático irreducible en F5[x], esto
es equivalente a decir que existe un elemento α de orden 9 en Fx
52 . Pero
|Fx
52 | = 52−1 = 24, el cual no es divisible por 9, as´ı (por T. de Lagrange) no
tiene elemento de orden 9. Por lo tanto Φ9(x) no tiene factor cuadrático
irreducible en F5[x].
Supongamos que Φ9(x) tiene un factor cúbico irreducible en F5[x], esto
es equivalente a decir que existe un elemento α de orden 9 en Fx
53 . Pero
|Fx
53 | = 53 − 1 = 124, el cual no es divisible por 9, as´ı ( por T.Lagrange
) no tiene elemento de orden 9. Por lo tanto Φ9(x) no tiene factor cúbico
irreducible en F5[x].
Se deduce que Φ9(x) no tiene factor de grado 4 en F5[x], pues si lo tuviese
esto implicar´ıa que tiene un factor cuadrático o dos lineales y ya sabemos
que no es el caso. Analogamente Φ9(x) no tiene factor irreducible de grado
5.
34

Por lo tanto Φ9(x) = x6 + x3 + 1 es irreducible en F5[x]. m
3) Verificar que el polinomio x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 se factoriza
como el producto de dos polinomios cúbicos irreducibles en F11[x].
En efecto:
Vemos que el polinomio dado es Φ7(x) = x7−1
1(x) .
Si tuviese un factor lineal (x − α) en F11[x], entonces (puesto que la carac-ter
´ıstica = 11 no divide al orden 7 ) existe un elemento α de orden 7 en Fx 11 ,
pero |Fx 11| = 10 el cual no es divisible por 7, as´ı (por T. de Lagrange) no existe
tal elemento. Si tuviese un factor cuadrático irreducible en F11[x], entonces
existe un elemento de orden 7 en la extensión Fx
112 , pero |Fx
112 | = 120 el cual
no es divisible por 7, as´ı (por T. Lagrange) no existe tal elemento.
Supongamos que existe un polinomio cúbico irreducible f(x) ∈ F11[x] tal
que f(β) = 0, β ∈ E (E es la extensión cúbica de F11 ), [E : F11] = 3.
E tiene 113 = 1331 elementos , |Ex| = 113 − 1 = 1330,
β7 = 1 , βr6= 1, si 1 ≤ r ≤ 6.
Vemos que 7 (113−1) = (11−1)(112+11+1). Puesto que β ∈ E−F11, el
m´ınimo polinomio f(x) de β sobre F11 es cúbico. Mostraremos que en esta
circunstancia f(x) divide a Φ7(x).
En efecto:
Φ7(x) = x6+x5+x4+x3+x2+x+1 = Q(X).f(x)+R(x) con Q(x) ,R(x) ∈
F11[x] y grado R grado f. Entonces el grado de R es 1 ó 2 ó R = 0. Eval-uando
en α, 0 = Φ7(α) = Q(α).f(α) + R(α), lo que implica que R(α) = 0,
puesto que f(x) es el m´ınimo polinomio tal que f(α) = 0, entonces R = 0.
Por lo tanto Φ7(x) = Q(x).f(x), por lo anterior, Φ7(x) no tiene factor lineal
ni cuadrático irreducible en F11[x], lo que implica que Q(x) es cúbico irre-ducible
en F11[x].
-Usando Maple podemos hallar esta factorización ingresando:
Factor(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) mod 11;
obtenemos:
(x3 + 7x2 + 6x + 10)(x3 + 5x2 + 4x + 10) .
4) Explicar porqué x4 + 1 se factoriza propiamente en Fp[x] para cualquier
primo p.
Explicación:
Observamos que x4 + 1 es el polinomio ciclotómico Φ8(x).
Si p 8, es decir p = 2 , entonces Φ8(x) = x4 + 1 = (x − 1)4, pues
35

(x − 1)4 = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + 1 en caracter´ıstica 2 se reduce a x4 + 1.
Para p impar:
Si 8 |Fxp
| = (p − 1) es decir si p = 1mod8, entonces Fxp
(el cual es c´ıclico)
tiene un elemento de orden 8, as´ı x4 + 1 tiene un factor lineal en Fp[x]. Si
8 ∤ (p − 1) , es decir si p6= 1mod8 , escribimos p = 2m + 1 y notamos que
p2 − 1 = (2m + 1)2 − 1 = (2m)(2m + 2) = 4m(m + 1)
luego ,
si m es impar ⇒ m + 1 es par ⇒ 8 p2 − 1.
si m es par ⇒ 4m es m´ultiplo de 8 ⇒ 8 p2 − 1.
Por lo tanto para p impar, p2 − 1 es invariablemente divisible por 8. Esto
es, existe un α de orden 8 en Fp2. El polinomio m´ınimo para α, el cual es
cuadr´atico, divide a x4 + 1. m
-Veamos algunas de estas factorizaciones usando Maple :
Factor(x^4 + 1) mod 3;
(x2 + 2x + 2)(x2 + x + 2) ;
(x2 + 3)(x2 + 2) ;
(x2 + 3x + 1)(x2 + 4x + 1) ;
(x2 + 8x + 10)(x2 + 3x + 10) ;
36

2.2.7. Mas Resultados.
∗ Sea un primo p que no divide a m . Mostrar que en Fp[x]
Φmp(x) = [Φm(x)]p−1 .
En efecto:
p ∤ m. Usando fórmula recursiva tenemos:
Φpm(x) =
xpm Q − 1
dpm
dpm
Φd(x)
Observamos que {d : d pm} = {d : d m} ∪ {pd : d m ∧ d m}
⇒
Y
dpm
dpm
.Φd(x) =
Y
dm
Φd(x).
Y
dm
dm
Φpd(x)
⇒ Φpm(x) =
xpm Q − 1
dm Φd(x).
Q
dm
dm
Φpd(x)
Hipótesis inductiva, para d m , Φpd(x) = [Φx(x)]p−1
⇒ Φpm(x) =
xpm − 1
(xm − 1).
Q
dm
dm
Φpd(x)
Por ser p la caracter´ıstica del cuerpo, se tiene que
(xmp − 1) = (xm − 1)p
Y por hipótesis inductiva :
Φpm(x) =
(xm − 1)p
(xm − 1).
Q
dm
dm
[Φd(x)]p−1
= [
xm Q − 1
dm
dm
Φd(x)
]p−1 = [Φm(x)]p−1 .
Ejemplo 2.2.1 :
En F5[x]
Φ30(x) = Φ6·5(x) = [Φ6(x)]4 , (note que 5 ∤ 6)
Es decir :
Φ30(x) = x8 + x7 − x5 − x4 − x3 + x + 1
= (x2 − x + 1)4 = [Φ6(x)]4
37

Para p primo y para 1 ≤ e ∈ Z, el polinomio ciclotómico Φpe(x) es irreducible
en Q[x].
Prueba (de proposición):
-Usamos el criterio de Eisenstein para probar que Φpe(x) es irreducible en
Z[x], invocamos el lema de Gauss para asegurar que es irreducible en Q[x] .
Especificamente, sea
f(x) = Φpe(x + 1)
Si e = 1, estamos frente a un caso familiar. Puesto que p divide a los
coeficientes binomiales (p
i ) para 0 i p
Φp(x + 1) =
(x + 1)p − 1
(x + 1) − 1
=
Pp
k=0(p
k)xp−k − 1
x
0)xp−1 + (p
= (p
1)xp−2 + ... + (p
1) ,
por el criterio de Eisenstein este es irreducible.
Ahora considere e 1. Sea
f(x) = Φpe(x + 1) ,
sabemos que Φpe(x) = Φp(xpe−1) = xpe
−1
xpe−1−1
. También (x + 1)pe−1 = xpe−1 +
1modp .
Por lo tanto en Fp[x]
f(x) = Φp((x + 1)pe−1
) =
(x + 1)pe − 1
(x + 1)pe−1 − 1
=
(xpe + 1) − 1
(xpe−1 + 1) − 1
=
xpe
xpe−1 = xpe−1(p−1)
en Fp[x].
As´ı, todos los coeficientes de x de grado menor son divididos por p.
Para determinar el coeficiente constante de f(x), usamos otra vez Φpe(x) =
Φp(xpe−1) .
Para calcular :
Coeficiente constante de f = f(0) = Φpe(1) = Φp(1pe−1) = Φp(1) = p.
=⇒ f(x) = xpe−1(p−1) = xpe−1(p−1) + p (note que p ≡ 0modp) .
38

Como en el primer caso, p2 no divide al coeficiente constante de f. Entonces
aplicamos criterio de Eisenstein y lema de Gauss para obtener la irreductibil-idad.
2.2.8. Factorización de Φn(x) en Fp[x] con p n.
Teorema 2.2.4 :
Sea p un número primo, m ∈ Z con p ∤ m, y el entero e ≥ 1, en Fp[x] el
polinomio ciclotómico Φpem(x) es
Φpem(x) = [Φm(x)]'(pe) = [Φm(x)](p−1)(pe−1)
donde ϕ es la función de Euler.
Prueba: -De la fórmula recursiva :
Φpem(x) =
xpem − 1
Πdpem
0dpem
Φd(x)
=
xpem − 1
[Πdm
0≤f≤(e−1)
Φpf d(x)][Πdm
dm
Φped(x)]
=
xpem − 1
(xpe−1m − 1)Πdm
dm
Φped(x)
.
Por hipótesis inductiva , para d m
Φped(x) = [Φd(x)]'(pe) ,
además, por ser el cuerpo de caracter´ıstica p,
xpem − 1 = (xm − 1)pe
∧ xpe−1m − 1 = (xm − 1)pe−1
⇒ Φpem(x) =
(xm − 1)pe
(xm − 1)pe−1 .Πdm
dm
[Φd(x)]'(pe)
| {z }
(∗∗)
.
Tenemos que
(∗∗) =
(xm − 1)'(pe)
[Φm(x)]'(pe)
39

⇒ Φpem(x) =
(xm − 1)pe−1(p−1)[Φm(x)]'(pe)
(xm − 1)'(pe)
⇒ Φpem(x) = [Φm(x)]'(pe),
pues ϕ(pe) = pe−1(p − 1).
Ejemplo 2.2.2 :
Para Φ45(x) en Z3 tenemos que 45 = 32 · 5 entonces p = 3 , e = 2, y
m = 5, 3 ∤ 5 , e = 2 ≥ 1 .
⇒ Φ45(x) = Φ32·5(x) = [Φ5(x)]'(9) = (x4 + x3 + x2 + x + 1)6.
(Ya sabemos por ejercicio anterior que Φ5(x) es irreducible en F3[x]).
40

Cap´ıtulo 3
Ra´ıces Primitivas
Sea K un cuerpo. Un generador de Kx es llamado una ra´ız primitiva
para Kx .
Teorema 3.0.5 :
Sea K un cuerpo finito . Entonces Kx es un grupo c´ıclico.
Prueba:
Sea q el número de elementos en K. El grupo de unidades (nos referimos a
los elementos invertibles) Kx es un grupo. Por ser K un cuerpo, cualquier
b6= 0 tiene un inverso multiplicativo en K. As´ı el orden de Kx es (q −1).
Por resultados del teorema de Lagrange, para b6= 0,
b(q−1) = 1
Esto es, cualquier elemento no nulo de K es una ra´ız del polinomio f(x) =
x(q−1) − 1. Por otro lado, por el teorema fundamental del álgebra, este
polinomio tiene a lo más (q − 1) ra´ıces en K. Por lo tanto, se tiene
exactamente (q − 1) (distintas) ra´ıces en K.
-Sea p la caracter´ıstica de K. Luego p no puede dividir a (q − 1),
porque si lo divide entonces la derivada de f(x) = x(q−1) − 1 es cero,
as´ı m.c.d(f, f′) = f y f tiene ra´ıces múltiples. Pero ya tenemos notado
que f tiene (q − 1) ra´ıces distintas, as´ı esto no sucede.
Por lo tanto la caracter´ıstica de K no divide a (q − 1), luego podemos
aplicar los resultados anteriores sobre polinomios ciclotómicos. As´ı,
x(q−1) − 1 =
Y
d(q−1)
Φd(x)
41

Puesto que x(q−1)−1 tiene (q−1) ra´ıces en K, y los Φ′
ds aqu´ı son primos
relativos cada uno del otro, cada Φd con d (q −1) debe tener un número
de ra´ıces (en K) igual a este grado. Esto es, cada Φd con d (q−1) tiene
ϕ(d) ( 0) ra´ıces en K (función de Euler).
Finalmente, las ra´ıces de Φq−1(x) son los elementos del cuerpo tal que
b(q−1) = 1, una potencia positiva menor a (q − 1) no tiene esta propiedad.
Las ra´ıces primitivas son exactamente las ra´ıces de Φq−1(x). El polinómio
ciclotómico Φq−1(x) tiene ϕ(q − 1) ra´ıces.
Por lo tanto, existen ϕ(d) ( 0) ra´ıces primitivas. Esto es, el grupo Kx
tiene un generador, es decir, es c´ıclico.
3.1. Ra´ıces Primitivas en ZP
-Ahora verificamos que el grupo multiplicativo Zxp
del cuerpo finito Zp con
p primo es un grupo c´ıclico. Cualquier generador de este es llamado una ra´ız
primitiva para Zp.
Teorema 3.1.1 :
Sea K el cuerpo finito Zp con p primo. Entonces Zxp
es un grupo c´ıclico.
Prueba:
Por teorema 3.0.5 el grupo multiplicativo Kx de cualquier cuerpo finito K
es c´ıclico. Por lo tanto todo lo que se necesita es verificar que Zp sea un
cuerpo. Esto es, verificar que ∀b ∈ Zp, con b6= 0, ∃ b−1 ∈ Zp (inverso
multiplicativo).
En efecto: puesto que p es primo , b6= 0modp
⇒ m.c.d(b, p) = 1
⇒ ∃t, s ∈ Z talque tb + sp = 1
⇒ tb = 1modp
Por lo tanto t es un inverso multiplicativo para b en módulo p .
3.2. Ra´ıces Primitivas en Zpe.
-No es dif´ıcil probar que existe una ra´ız primitiva en Zpe para p primo impar
, si conocemos que existe una ra´ız primitiva para Zp. Una menor adaptación
se aplica también para Z2pe .
42

x xp
Teorema 3.2.1 :
Para un primo impar p, Zpe y Z2pe tienen ra´ıces primitivas. Esto es, los
grupos multiplicativos Ze y Z2pe son c´ıclicos.
Corolario 3.2.1 (de prueba):
Para un entero g el cual es una ra´ız primitiva modp,entonces g es una ra´ız
primitiva modpe y mod2pe ∀e ≥ 1 , o de otro modo (1+p)g lo es.
En particular, si gp−16= 1modpe , entonces g es una ra´ız primitiva modpe
y mod2pe ∀e ≥ 1.
Sea p un primo impar. Para enteros 1 ≤ k ≤ e, y para enteros t con p ∤ t
, el orden de un elemento 1 + pkt en Zx
pe es pe−k. En particular, para
p ∤ t y k ≥ 1,
(1 + pkt)pl
= 1 + pk+ly,
con y = tmodp .
Prueba(de proposición):
Notemos que un primo p divide a los coeficientes binomiales (p
1), (p
2), ..., (p
p−1).
También la hipótesis que p 2 es esencial.
Primero calculamos:
1)pkt + (p
(1 + pkt)p = 1 + (p
2)p2kt2 + ... + (p
p−1)p(p−1)ktp−1 + ppktp
1 + pk+1 (t + (p
2)p2k−(k+1)t2 + ... + (p
p−1)p(p−1)k−(k+1)tp−1 + ppk−(k+1)tp) | {z }
y
Puesto que p divide a los coeficientes binomiales, la expresión y se diferencia
de t por un múltiplo de p , i.e y = tmodp.
Observando el último término ppk−(k+1)tp , notamos que para este trabajo es
necesario que pk−(k +1) ≥ 1.(Si pk−(k+1) = 0 ⇒ tendr´ıamos además del
término t a tp, luego fallar´ıa y = tmodp ) . También, conocemos que k ≥ 1,
entonces si en pk − (k + 1) ≥ 1 reemplazamos k = 1 (m´ınimo valor de
k), entonces p ≥ 3. Esta es la explicación porque el argumento falla para el
primo 2 . Por tanto tenemos probado que
(1 + pkt)p = 1 + pk+1y.................(∗)
y = tmop.
Por inducción probaremos que (1 + pkt)pl = 1 + pk+ly con y = tmodp .
En efecto:
(1 + pkt)pl
= [(1 + pkt)p(l−1)
]p
43

= [1 + pk+(l−1)y]p..........(H.Induct.)
= 1 + p(k+(l−1)+1)y............(por(∗))
= 1 + pk+ly ,
xp
con y = tmodp .
Por lo tanto hemos probado la fórmula afirmada en la proposición.
-Ahora vemos la afirmación respecto a los órdenes. Primero verificar que se
cumple el orden en Ze de elementos de la forma 1 + pt.
Primero, tenemos que m.c.d(1 + pt, p) = 1, luego es un elemento en Zpe .
Por otro lado, si 1 + pt = (1 + pt′)modpe
⇒ pe(1 + pt − 1 − pt′)
⇒ pe−1(t − t′),
luego 1 + pt = (1 + pt′) en Zxp
e solo si t = t′modpe−1.
As´ı, los pe−1 enteros t = 0, 1, 2, ..., (pe−1 − 1) dan todos los elementos de Zxp
e
expresables como 1 + pt.
Por lo tanto, el número de elementos en Zxp
e expresables como 1+pt es pe−1.
Por el teorema de Lagrange, el orden de cualquier elemento 1 + pt en Zxp
e
debe dividir a pe−1.
Luego, para p ∤ t, se tiene que (1 + pkt)pl = 1 + pk+ly con y = tmodp, de
esto ,
1 + pk+ly = 1modpe sólo para k + l ≥ e
⇒ l ≥ (e − k)
(tomando el m´ınimo)
⇒ l = e − k
Por lo tanto, el orden (multiplicativo) de (1 + pkt)modpe es pe−k.
Esto prueba la proposición.
(Prueba del teorema y corolario).
-La afirmación del corolario es fuerte para la demostración del teorema .
-Primero veamos como un entero g el cual es una ra´ız primitiva para Ze
p ,
también es ra´ız primitiva para Z2pe .
Notamos que para un primo impar p ,
ϕ(2pe) = (2 − 1)(p − 1)pe−1 = (p − 1)pe−1 = ϕ(pe).
44

Sea g una ra´ız primitiva modpe y l = ϕ(pe)
⇒ gl = 1modpe ∧ gr6= 1modpe
para 1 ≤ r l ,
⇒ gl = 1mod2pe,
xp
xp
pues pe2pe (as´ı, no existe r , con 1 ≤ r l que cumpla tal condición).
Por lo tanto, una ra´ız primitiva modpe también es una ra´ız primitiva mod2pe.
-Ahora el caso central, el de ra´ıces primitivas para Zpe . Esto es, necesitamos
mostrar que Ze = g para algun ´g ǫ Ze .
Sea g1 una rea´ız primitiva modp (el cual existe pues Zxp
es c´ıclico). Si
p−1 = 1 + pt, con p ∤ t, entonces mostrar que g1 es una ra´ız primitiva
modpe , ∀e ≥ 1. Por el Teorema de Lagrange, |g1|(ϕ(pe) = (p − 1)pe−1) en
Zxp
g1
e . Puesto que g1
l = 1modp con l = p− 1 y gr
16= 1modp con 1 ≤ r l
⇒ (p − 1)|g1| en Zxp
e . (resultados de subgrupos c´ıclicos).
Luego el orden de g1 puede ser cualquiera de la siguiente lista (p − 1), (p − 1)p, (p−1)p2,..., (p−1)pe−1 = ϕ(pe) ¿cuál es el menor positivo s ? tal que
g1
(p−1)ps
= 1modpe.
Como estamos asumiendo que g1
p−1 = 1 + pt con p ∤ t, entonces se debe
averiguar el menor positivo s tal que
(1 + pt)ps
= 1modpe ,
de la proposición, el menor entero positivo con esta propiedad es s = e−1.
As´ı, tenemos probado que g1 es una ra´ız primitiva modpe, ∀e ≥ 1.
-Ahora suponga que
g1
p−1 = 1 + pt
con p t . Entonces considere
g = (1 + p)g1 = g1 + pg1 = g1modp.
Tenemos que g es aún una ra´ız primitiva modp, porque g = g1modp.
Calculamos
(1 + p)p−1 = 1 + (p−1
1 )p + (p−1
2 )p2 + ... + (p−1
p−2)pp−2 + pp−1
= 1 + p [(p−1
1 ) + (p−1
2 )p + (p−1
3 )p2 | {z + ...}]
y
45

= 1 + py.
Puesto que (p−1
1 ) = p−1, vemos que y = (p−1)modp, de esto se tiene que
p ∤ y. As´ı,
(g)p−1 = ((1 + p)g1)p−1 = (1 + p)p−1.gp−1
1 = (1 + py)(1 + pt)
= 1 + p(y + t + pty).
Además, puesto que pt, entonces y + t + pty = ymodp. En particular
p ∤ (y + t + pty), sea z = y + t + pty , entonces gp−1 = 1 + pz con p ∤ z,
as´ı retornamos al primer caso en que ya sabemos que tal g es una ra´ız
primitiva modpe, ∀e ≥ 1. Esto concluye la prueba de existencia de ra´ıces
primitivas en Zpe para p primo impar. .
3.3. Conteo de Ra´ıces Primitivas.
-Después de probar existencia de ra´ıces primitivas, es al menos igual in-teresante
tener una idea ¿cuántas són? .
Teorema 3.3.1 :
Si Zn tiene una ra´ız primitiva, entonces son exactamente ϕ(ϕ(n)) ra´ıces
primitivas modn.(Este es phi Euler de phi Euler de n). Por ejemplo, son :
ϕ(ϕ(pe)) = ϕ(p − 1).(p − 1)pe−2
ra´ıces primitivas modpe para un primo impar p.
Prueba:
La hipótesis que Zn tiene una ra´ız primitiva quiere decir que Zx
n es c´ıclico.
Esto es,
Zx
n = g
para algún g (la ra´ız primitiva”).
Luego, |g| (el orden de g ) debe ser ϕ(n) (el orden de Zx
n).
Sabemos (por subgrupos c´ıclicos) que g = {g0, g1, g2, ...., g'(n)−1}. Además
|gk| = |g|
m.c.d(k, |g|)
.
As´ı los generadores para g son exactamente los elementos gk con
1 ≤ k |g| y m.c.d(k, |g|) = 1.
Por definición de ϕ−función de Euler, existen ϕ(|g|) de estos valores. As´ı,
puesto que |g| = ϕ(n), existen ϕ(ϕ(n)) ra´ıces primitivas.
46

Corolario 3.3.1 :
Para un primo impar p, se tiene que ϕ(p − 1)/p de los elementos de Zxp
e
son ra´ıces primitivas.
Prueba:
Del teorema,
#raices primitivas
ordenZxp
e
=
ϕ(ϕ(pe))
ϕ(pe)
=
ϕ(p − 1).(p − 1)pe−2
(p − 1)pe−1
=
ϕ(p − 1)
p
.
como deseamos.
Comentario 3.3.1 :
As´ı, tenemos que existen relativamente muchas ra´ıces primitivas modpe.
3.4. No Existencia De Ra´ıces Primitivas.
-Para enteros genéricos n, no existe ra´ız primitiva en Zn .
Teorema 3.4.1 :
Si n no es 2, 4 ni de las formas pe, 2pe para un primo p impar (e ∈ Z+),
entonces no existe ra´ıces primitivas modn.
Prueba:
Primero, analizamos que ocurre en Z2e con e ≥ 3. Cualquier b ∈ Zx2
e
puede ser escrito como b = 1 + 2x, ∀x ∈ Z (pues b es impar).
(1 + 2x)2 = 1 + 4x + 4x2 = 1 + 4x(1 + x).
Observamos que, ∀x ∈ Z,x(x + 1) es divisible por 2.
Pues si , x es par ⇒ x(x + 1) es par ∨ si x es impar ⇒
(x + 1) es par ⇒ x(x + 1) es par. As´ı, (1 + 2x)2 = 1mod8 (mejor aún
mod4)...............................(*)
Podemos probar por inducción que:
(1 + 8x)2e−3
= 1mod2e...................(∗∗)
47

En efecto:
Si e = 3 : (1 + 8x) = 1mod8 = 1mod23
Si e = h 3 : (1 + 8x)2h−3 = 1mod2h (Suponemos cierto)
⇒ (1 + 8x)2(h+1)−3 = [(1 + 8x)2h−3 ]2 = [1mod2h]2
= (1 + 2hk)2, k ∈ Z
= 1 + 2h+1k + 22hk2
= 1 + 2h+1k(1 + 2h−1k)
= 1mod2h+1
Por lo tanto (1 + 8x)2e−3 = 1mod2e.
Luego colocando juntos (∗) y (∗∗) tenemos:
[(1 + 2x)2]2e−3
= 1mod2e (note que 1 + 8x = 1mod8)
⇒ (1 + 2x)2e−2
= 1mod2e.
Pero 2e−2(= orden(1 + 2x = b)) 2e−1 = ϕ(2e). Esto es, no puede ser una
ra´ız primitiva mod2e con e 2.
-Ahora consideramos n no una potencia de 2. Entonces escribimos n = pem
con p primo impar y p ∤ m. Por teorema de Euler, se sabe que:
b'(pe) = 1modpe
b'(m) = 1modm
Sea M = m.c.m(ϕ(pe), ϕ(m)),
⇒ {bM=(b'(pe))
M
'(pe) =1
M
'(pe) =1modpe
bM=(b'(m))
M
'(m) =1
M
'(m) =1modm
As´ı, (consecuencia del Teorema Chino del Resto)
bM = 1modpem
bl = 1modpem , donde l = ϕ(pem) y
br6= 1modpem , con r ϕ(pem).
Por lo tanto , a menos que m.c.d(ϕ(pe), ϕ(m)) = 1, tenemos
m.c.d(ϕ(pe), ϕ(m)) ϕ(pe).ϕ(m) = ϕ(pem)
la cual niega la posibilidad que exista una ra´ız primitiva .
-Luego, necesitamos que m.c.d(ϕ(pe), ϕ(m)) = 1, como ϕ(pe) = (p−1)pe−1
48

y puesto que (p − 1) es par, entonces ϕ(m) debe ser impar. Si un primo
q divide a m,
⇒ m = qk , con k m
⇒ ϕ(m) = ϕ(qk) = ϕ(q).ϕ(k) = (q − 1).ϕ(k)
⇒ (q − 1) ϕ(m)
⇒ ϕ(m)
es par , lo cual es imposible.
Por lo tanto, ningún primo impar puede dividir a m. Luego, si cualquier
potencia de 2 mayor que 2 divide a m, entonces otra vez ϕ(m) es par, y
no puede existir ra´ız primitiva.
Por lo tanto , excepto para los casos donde ya tenemos probado que una
ra´ız primitiva ex´ıste, ella no es una ra´ız primitiva modn.
Ejemplo 3.4.1 :
-Los elementos de Zx 14 son las clases de congruencia de 1, 3, 5, 9, 11 y 13.
Entonces 3 es una ra´ız primitiva módulo 14, veamos :
32 = 9, 33 = 13, 34 = 11, 35 = 5 y 36 = 1mod14 .
Note que Zx 14 se puede expresar como Zx 2∗7, según teorema anterior es de la
forma Zx 2pe con e = 1 y p = 7 (primo impar), esto garantiza la existencia
de ra´ıces primitivas.
También, ϕ(ϕ(14)) = ϕ(6) = 2, esto es, existen 2 ra´ıces primitivas en Zx 14.
Si adaptamos el corolario para el caso Zx 2pe , tenemos que la razón entre el
número de ra´ıces primitivas y el total de elementos de Zx 2pe es:
ϕ(ϕ(14))
ϕ(7)
=
2
6
=
1
3
.
La otra ra´ız primitiva en Zx 14 es 5, pues
52 = 11, 53 = 13, 54 = 9, 55 = 3, 56 = 1 .
-La siguiente tabla contiene las menores ra´ıces primitivas para algunos val-ores
de n.
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
ra´ız primit. modn 1 2 3 2 5 3 - 2 3 2 - 2 3
49

3.5. Programa En Turbo C++ .
-El siguiente algoritmo elaborado en Turbo C++, nos permite:
1)Verificar si el grupo multiplicativo Zx
n es c´ıclico.
2)Mostrar todos los elementos de Zx
n .
3)Mostrar cu´antas y cuales son las ra´ıces primitivas.
# include stdio.h
# include conio.h
# include math.h
# define Max 9999
void Presentacion()
{ clrscr();
textcolor(2);
gotoxy(1,1); cprintf(”* * * * * PROYECTO WALTER * * * * * ”);
for(int i=1; i 25 ;i++)
{g
otoxy(1,i); cprintf(”*”);
gotoxy(80,i); cprintf(”*”);
}g
otoxy(1,25); cprintf(”* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *”);
} void Inicia(int Clases[])
{f
or(int i=0; i Max; i++)
Clases[i]=0;
}
int Primo(int Num) int i,P=0;
for(i=2; i = Num/2; i++)
{ if ((Num%i)==0)
P=P+1;
} if(P==0)
return 0;
else
return 1;
}
50

int NdivisibleP(int N)
{ int i,P=1,y=1,Pr=0;
long double Pt;
Pr=Primo(i);
if(Pr==0)
return 0;
else{ for(i=3; i = N; i++)
{P=Primo(i);
if(P==0)
{Pt=pow(i,y);
while(Pt= N){ if(N==Pt || (N==2*Pt))
return 0;
else{ y=y+1;
Pt=pow(i,y);
}
} y=1;
}
}
} return 1;
}
int VerificaN(int N) { int V=1;
V=NdivisibleP(N);
if( (N==2) || N == 4) —— (V == 0))
{ textcolor(14);
gotoxy(4, 7); cprintf(”SI EXISTE RAICES PRIMITIV AS
EN ESTE GRUPO MULTIPLICATIV O”);
getch();
gotoxy(4, 7); printf(” ”);
return0;
51

}else{ return1;
}}v
oidmaximocomun(intN, int ph2, intsw, intClases[], int
y){inti,C, x = 0, d, P, n = 0;
textcolor(11);
if(sw == 1)
{gotoxy(5, 3); cprintf(”ELEMENTOSDELGRUPOMULTIPLICATIV O”);
}f
or(i = 1; i N; i + +)
{P = 0;
// getch();
for(intz = 1; z = i; z + +)
{{
if(((N %z) == 0)((i%z) == 0))
P = P + 1;
}} if(P == 1){ x = x + 5;
if(sw == 1){ if(x == 5){ if(y 22){
gotoxy(x + 5, y); printf(”%d”, i);
}else{
y = 2;
//Presentacion();
gotoxy(x + 5, y); printf(”%d”, i);
}} else{
if(x + 5 74){ if(y 22){
gotoxy(x + 5, y); printf(”, %d”, i);
}else{ y = 2;
}} else
52

{x = 5;
y = y + 1;
if(y 22){
}else{
y = 2;
}}}
Clases[n] = i;
}n = n + 1;
if((y == 21)((x + 5) == 70))
{ textcolor(15); gotoxy(30, 25); cprintf(”Presione una tecla para continuar... ”);
getch();
Presentacion();
}}} if(sw == 1){ textcolor(11);
gotoxy(5, y+1); cprintf(”EL GRUPO MULTIPLICATIVO TIENE% d EL-EMENTOS”,
n);
}
else{ gotoxy(5, y + 2);
cprintf(”EL N´ UMERO DE RA´ ICES PRIMITIVAS DEL GRUPO MULTI-PLICATIVO
ES%d”, n);
getch();
}p
h2 = n;
}
intBuscaRepetido(intRes[], intNumE)
{f
or(inti = 0; i NumE − 1; i + +)
{f
or(intj = i + 1; j NumE; j + +)
53

{ if(Res[i] == Res[j])
return1;
}}r
eturn0;
}voidMarco(){ Presentacion();
gotoxy(5, 2);
printf(”PRESENTACI`aN DE LAS RA´ ICES PRIMITIVAS”);
}v
oidRaicesPrimitivas(intN, intNumE, intPh2, intClases[ ])
{ intA, pos = 0, z = 1, sw = 0, yi = 12,Res[Max], y = 0, paso = 1,AP, sy =
0;
unsignedlongPtc;
Inicia(Res);
if(NumE 24)
{
Marco();
z = 2;
pos = 0;
yi = 2;
}f
or(int i = 0; i NumE; i + +)
{y = 0;A = 0;
Ptc = pow(Clases[i], (y + 1));
while(Ptc = N y NumE){ paso = 0;
Res[y] = Ptc;
Ptc = pow(Clases[i], (y + 2));
AP = Ptc;
y = y + 1;
}
while(y NumE){ if(Ptc = N)
A = Ptc;
else
A = (Ptc%N);
Res[y] = A;
AP = A;
54

Ptc = AP ∗ Clases[i];
y = y + 1;
}s
w = BuscaRepetido(Res,NumE);
if(sw! = 1){
if(yi 23){ textcolor(4); gotoxy(4 + pos, z + yi); cprintf(”A%d − ”, i + 1);
}f
or(intind = 0; ind NumE; ind + +)
{p
os = pos + 6;
if(pos 71)
{yi = yi + 1;
pos = 0;
}if(yi 22)
{textcolor(15); gotoxy(30, z +yi); cprintf(”Presione una tecla para contin-uar...
”);
getch();
Marco();
yi = 2;
pos = 0;
textcolor(4); gotoxy(4 + pos, z + yi); cprintf(”A%d − ”, i + 1);
pos = pos + 6;
} textcolor(15); gotoxy(4 + pos, z + yi); cprintf(”, %d”,Res[ind]);
}y
i = yi + 1;
}I
nicia(Res);
pos = 0;
} textcolor(15); gotoxy(30, z + yi); cprintf(”Presione una tecla para contin-uar...
”);
}v
oidProcesaN(intN, intClases[])
{intph1 = 0, ph2 = 0, sw, x, y = 4;
textcolor(11);
maximocomun(N, ph1, 1,Clases, y);
getch();
maximocomun(ph1, ph2, 2,Clases, y);
gotoxy(5, 11); cprintf(”EL N´ UMERO DE RA´ ICES PRIMITIVAS CON
55

RESPESTO AL TOTAL ES%d /%d”, ph2, ph1);
RaicesPrimitivas(N, ph1, ph2,Clases);
getch();
}charPregunta(){ charr;
Presentacion();
gotoxy(10, 22); cprintf(”DESEA INGRESAR OTRO N´ UMERO SI O NO?”);
do{
gotoxy(47, 22); scanf(”%c”, r);
}while(!(r ==′ S′ || r ==′ s′ || r ==′ N′ || r ==′ n′));
returnr;
}v
oidmain()
{intN,X,C, V = 1;
intClases[Max];
charRpta;
clrscr(); do{ Presentacion();
do{ textcolor(11);
gotoxy(10, 2); cprintf(”INGRESE UN N´ UMERO POSITIVO: ”);
gotoxy(40, 2); scanf(”%d”, N);
if(N 0)
{ textcolor(14);
gotoxy(5, 10); cprintf(”INGRESE SOLO N´ UMEROS POSITIVOS ENTEROS”);
getch();
}}
while(N 0);
V = V erificaN(N);
if(V == 0)
{I
nicia(Clases);
ProcesaN(N,Clases);
} else{ textcolor(14);
gotoxy(5, 6); cprintf(”NO EXISTEN RA´ ICES PRIMITIVAS EN ESTE GRUPO
MULTIPLICATIVO”);
56

getch();
}Rpta = Pregunta();
}while(Rpta ==′ S′ || Rpta ==′ s′); }
57

INGRESE UN NUMERO POSITIVO: 50
ELEMENTOS DEL GRUPO MULTIPLICATIVO
1 ,3 ,7 ,9 ,11 ,13 ,17 ,19 ,21 ,23,
27 ,29 ,31 ,33 ,37 ,39 ,41 ,43 ,47 ,49
EL GRUPO MULTIPLICATIVO TIENE 20 ELEMENTOS
EL NUMERO DE RA´ ICES PRIMITIVAS DEL GRUPO MULTIPLICA-TIVO
ES 8
EL NUMERO DE RA´ ICES PRIMITIVAS CON RESPESTO AL TOTAL
ES 8 / 20
A2− 3, 9 ,27 ,31 ,43 ,29 ,37 ,11 ,33 ,49,
47 ,41 ,23 ,19 ,7 ,21 ,13 ,39 ,17 ,1
A6− 13, 19 ,47 ,11 ,43 ,9 ,17 ,21 ,23 ,49 ,37, 31,3,
39 ,7 ,41 ,33 ,29 ,27 ,1
A7− 17 ,39 ,13 ,21, 7 ,19 ,23 ,41 ,47 ,49 ,33,
11 ,37 ,29 ,43 ,31 ,27 ,9 ,3 ,1
A10− 23 ,29, 17 ,41 ,43 ,39 ,47 ,31 ,13 ,49 ,27, 21,
33 ,9 ,7 ,11 ,3 ,19 ,37 ,1
A11− 27 ,29 ,33 ,41 ,7 ,39 ,3 ,31 ,37 ,49 ,23, 21 ,17,
9 ,43 ,11 ,47 ,19 ,13 ,1
A14− 33 ,39 ,37 ,21 ,43 ,19 ,27 ,41 ,3 ,49 ,17,
11 ,13 ,29 ,7 ,31 ,23 ,9,47,1
A15− 37 ,19 ,3 ,11 ,7 ,9 ,33 ,21 ,27 ,49 ,13, 31 ,47,
39 ,43 ,41 ,17 ,29 ,23 ,1
A19− 47 ,9 ,23 ,31 ,7 ,29 ,13 ,
11 ,17 ,49 ,3 41 ,27 ,19 ,43 ,21 ,37 ,39 ,33 ,1
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¿DESEA INGRESAR OTRO NUMERO SI O NO ? .
58

Cap´ıtulo 4
Conclusiones
• En R, Φn(x) es irreducible para todo entero n ≥ 1 . Por lo tanto,
para hallar el número de factores de xn − 1, basta hallar el número de
divisores de n. Esto por la identidad
xn − 1 =
Y
dn
Φd(x) .
• En Fp[x], con p primo, algunos polinomios Φn(x) son factorizables; por
ejemplo Φ8(x) en Fp[x] para todo p primo .
• No todos los polinomios ciclotómicos tienen como coeficientes sólo a 0,+1
y -1; por ejemplo Φ105(x), tiene como coeficiente a -2 para x7 y x41 .
• No todos los grupos multiplicativos Zx
son c´ıclicos.
n 59

Bibliograf´ıa
[1] Paul Garret ,
Abstract Algebra: Lectures and Worked Examples for a Graduate
Course- 2005.
http:www.math.umn.edu/ garrett/
[2] Robert B. Ash ,
Abstract Algebra: The Basic Graduate Year .
[3] David S. Dummit - Richard M. Foote
Abstract Algebra: 2da Edition-University of Vermont 1999.
[4] Shabnan Akntari
On The Cyclotomic Polynomials With +1 ´or -1 Coefficients: Sharitf
University of Technology 2002.
60

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