1. Nombre del alumno:
Jesus A. Suarez B.
C.I.: 17898996

2. RETICULOS:RETICULOS:
Dado un conjunto X ≠ , una ley de composición interna en X u operación∅
interna en X es una aplicación de X × X en X, es decir,
∗ : X × X → X.
(a, b) |→ c = (a, b) = a b.∗ ∗
Un retículo es una terna (L, , ) donde L ≠ es un conjunto y , son dos∨ ∧ ∅ ∨ ∧
operaciones internas en L verificando las propiedades:
1. Asociativas1. Asociativas, a, b, c L∀ ∈
(a b) c = a (b c) y∨ ∨ ∨ ∨
(a b) c = a (b c)∧ ∧ ∧ ∧
2. Conmutativas2. Conmutativas, a, b L∀ ∈
a b= b a∨ ∨
y
a b=b a∧ ∧
3. Idempotencia3. Idempotencia, a L∀ ∈
a a=a∨
y
a a=a∧
4. Absorción4. Absorción, a, b L∀ ∈
a (a b) = a∨ ∧
y
a (a b) =a.∧ ∨
Notación:Notación: (L, , ) = (L, +, .)∨ ∧

3. Propiedades de los retículosPropiedades de los retículos
 Un retículo es acotado si posee máximo y mínimo. Se designa por 1 al máximo y por 0 al
mínimo
 Sea (A,£ ) un retículo acotado. Dado aÎ A se dice que a’Î A es complementario de a si aÚ a’=1 y
aÙ a’=0. Un retículo es complementario si todos sus elementos poseen complementario.
 Un retículo es distributivo si para cualesquiera a, b, c Î A se cumple que:
aÚ (bÙ c)= (aÚ b)Ù (aÚ c) aÙ (bÚ c)= (aÙ b)Ú (aÙ c)
 Los retículos P(X) y Bn son complementarios y distributivos. En cuanto a Dn es acotado y
distributivo, pero no es complementario para algunos valores de n (por ej., para n=12).

4. Sub-retículosSub-retículos
Sea (L;≤) un retículo, y L’ contenido en L un subconjunto de L. Entonces L’ es un
subretículo si para cualesquiera x,y L’ se verifica que x y L’ y x y L’.∈ ˅ ∈ ˄ ∈
También se puede decir que un subretículo es un conjunto cerrado bajo los operadopres
meet (operaciones de intersección) y join (operaciones de unión) del conjunto original.
Ejemplos:Sea L1(3,6,15,30), L2(1,2,3,5,15), L3(1,6,10,30) y L3(1,2,3,6,30)
6
30
15
3
2 3
15
5
1
6
30
2
3
10
1
30
6
1L1
L2
L3
L4

5. Entonces L1 y L4 son subretículos de D(30), mientras que L2 y L3 no lo son. L2 no es
subretículo porque el supremo de 2 y 3 es 6, que no pertenece a L2. L3 no es subretículo
porque el ínfimo de 6 y 10 vale 2, que no pertenece a L3. Nótese que L3, con el orden
que
hereda de D(30) es un retículo, pero no es subretículo de L3.
Retículos distributivosRetículos distributivos
Sea L un retículo. Se dice que L es distributivo si para cualesquiera x,y,z L se verifica∈
que sus operaciones son doblemente distributivas:
x (y z) = (x y) (x z)˅ ˄ ˅ ˄ ˅
x (y z) = (x y) (x z)˄ ˅ ˄ ˅ ˄
Se dice que en un retículo distributivo las operaciones de union (join) e intersección
(meet)
se distribuyen la una sobre la otra.
Ejemplos:
• El ejemplo típico es una colección de conjuntos donde los operadores quedan dados
por la unión e intersección de conjuntos.
• Los conjuntos totalmente ordenados con el máximo como join y el mínimos como
meet.
• Álgebra de Boole, Álgebra de Heyting, Espacio de Riesz y Retículo de Young.

6. Homomorfismo
Definición
Sean (G,*) , ( H , ) dos grupos. La función f : G → H es un homomorfismo del grupo G en el
grupo H si y sólo si:
∀a,b G; f(a* b) = f(a) f(b)∈
G
a b a*b
H
f(a) f(b) f(a*b)= f(a) f(b)
Ejemplo:
Un homomorfismo del grupo (R+, .) en el grupo (R, +) es la función logaritmo definida por:
log : R+ → R x log x ya que cualesquiera sean a, b R+ se verifica que∈
log(ab) = loga + logb
Proposición 1 Sean (G,*) , ( H , ) dos grupos. Si f : G → H es un homomorfismo, entonces la
imagen del elemento neutro de G es igual al elemento neutro de H. Esto es,
f(eG) = eH