programación Lineal

1. 1
Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua
Facultad Regional Multidisciplinaria FAREM – Carazo
Carrera: II Año de Ingeniería Industrial
Tema:
 Introducción a la programación lineal
 Construcción del modelo de programación
lineal.
 Solución gráfica del problema bidimensional

2. 2
Objetivos
 Conceptuales
 Determina los elementos de un modelo
de PL
 Procedimentales
 Plantea modelos de programación
lineal
 Actitudinales
 Reconoce la importancia de la
programación lineal en la toma de
decisiones.

3. 3
Actividad 1.


4. 4
 ¿Qué se obtiene al realizar la grafica ?
 ¿Qué podríamos decir sobre la región
donde se interceptan las graficas ?
 Veamos el grafico utilizando Geógebra

5. 5
 Los estudiantes se organizan en equipos
de cuatro .
 Luego a cada equipo se le proporcionan
una cantidad limitada de fichas de lego
Actividad 2

6. 6
Se le solicita a cada grupo resolver el siguiente
problema.
 se presenta el caso ficticio de la empresa
“Nicamuebles”. Esta empresa es la más importante
productora de muebles del país, y ha decidido
aumentar su portafolio de productos quedando
compuesto por mesas y camas.
A continuación se muestra un modelo icónico para dar
idea de la situación.
Cama Mesa

7. 7
Aquí se presenta el tipo y cantidad de fichas requeridas (las
fichas corresponden
a las piezas de un juego de LEGO) para construir cada tipo de
producto, con su respectiva utilidad.
Fichas Mesas Camas Fichas
disponibles
Ficha de ocho
botones
2 2 18
Ficha de cuatro
botones
1 3 21
Utilidad por
Producto
16 18

8. 8
 ¿Cuánto producir de cada mueble, si lo
que se pretende es maximizar la
utilidad total?
 ¿Cuál debería ser la producción
realmente óptima para maximizar la
utilidad?
 ¿Cuáles son los elementos que se deben
tomar en cuenta para determinar si la
propuesta de producción es la óptima?

9. 9
Actividad 3
 Formular el modelo de programación
lineal.
 Para formular este modelo debemos de
tener presente los elementos de un
Problema de PL.

10. Variables de
Decisión
x = nº de mesas
que se deben
producir por
cantidad de fichas
disponibles
y = nº de camas
que se deben
producir por
cantidad de fichas
disponibles
Función Objetivo. En cualquier
PPL, la decisión a tomar es
como maximizar (normalmente el
beneficio) o minimizar (el coste)
de alguna función de las
variables de decisión. Esta
función a maximizar o minimizar
se llama función objetivo.
Max z = 16x + 18y
El objetivo de Nicamuebles es
elegir valores de x e y para
maximizar 16x + 18y.
Usaremos la variable z para
denotar el valor de la función
objetivo. La función objetivo de
Nicamuebles es:
Este problema es un ejemplo típico de un problema de programación lineal (PPL).
Restricciones
Son desigualdades que
limitan los posibles
valores de las variables
de decisión.
En este problema las
restricciones vienen
dadas por la
disponibilidad de fichas
de lego disponibles
para la poduccion de las
mesas y camas y las
restricciones de signo o
no negatividad:
x ≥ 0
y ≥ 0

11. Restricción 1: no más de 18 fichas de lego de ocho botones .
Restricción 2: no más de 21 fichas de lego de cuatro botones
Estas dos restricciones pueden expresarse matemáticamente
por las siguientes desigualdades:
Cuando x e y crecen, la función objetivo de Nicamuebles también
crece. Pero no puede crecer indefinidamente porque, para
Nicamuebles, los valores de x e y están limitados por las siguientes
dos restricciones:
Restricciones

12. x ≥ 0 (restricción de signo)
y ≥ 0 (restricción de signo)
Mesa Cama
Beneficio 16 18
Ficha de
ocho
botones
2 2 ≤ 18
Ficha de
cuatro
botones
1 3 ≤ 21
Formulación matemática del PPL
Max z = 16x + 18y (función objetivo)
2 x + 2y ≤ 18
x +3y ≤ 21
Variables de Decisión x = nº de Mesas que se deben producir con las fichas disponibles
y = nº de camas que se deben producir con las fichas disponibles

13. Max z = 16x + 18y (función objetivo)
Sujeto a (s.a:)
2 x +2 y ≤ 18 (restricción de fichas de ocho botones)
x + 3y ≤ 21 (restricción de fichas de cuatro botones)
x ≥ 0 (restricción de signo)
y ≥ 0 (restricción de signo)
Para el problema de Nicamuebles , combinando las
restricciones de signo x ≥ 0 e y ≥ 0 con la función objetivo y las
restricciones, tenemos el siguiente modelo de optimización:
Formulación matemática del PPL

14. 14
Actividad 4
 En la hoja de papel milimetrado
proporcionada por el docente graficar
las restricciones del modelo de PL.
 Identificar la región donde se
interceptan los puntos solución de cada
restricción .
 A partir de analizar los puntos dentro y
la frontera de la región encontrada, que
podemos concluir sobre lo obtenido al
evaluar los puntos en Z.

15. De lo anterior podemos decir que:
x = 2 e y = 4 está en la región
factible porque satisfacen todas
las restricciones de Nicamuebles
Sin embargo, x = 9, y = 3 no está
en la región factible porque este
punto no satisface la restricción
de fichas grandes
[18 + 6 > 18].
Restricciones de Nicamuebles
2x + 2y ≤ 18 (fichas grandes )
x + 3y ≤ 21 (fichas pequeñas)
x ≥ 0 (restricción signo)
y ≥ 0 (restricción signo)
La región factible de un PPL es el conjunto de todos los puntos
que satisfacen todas las restricciones. Es la región del plano
delimitada por el sistema de desigualdades que forman las
restricciones.

16. Solución óptima
La mayoría de PPL tienen solamente una solución
óptima. Sin embargo, algunos PPL no tienen
solución óptima, y otros PPL tienen un número
infinito de soluciones.
Más adelante veremos que la solución del PPL de
Nicamuebles es x = 3 e y = 6. Esta solución da un
valor de la función objetivo de:
z = 16x + 18y = (16)·(3) + (18)·(6) = $156
Cuando decimos que x = 3 e y = 6 es la solución óptima, estamos
diciendo que, en ningún punto en la región factible, la función
objetivo tiene un valor (beneficio) superior a $156.
Para un problema de maximización, una solución
óptima es un punto en la región factible en el cual
la función objetivo tiene un valor máximo. Para un
problema de minimización, una solución óptima es
un punto en la región factible en el cual la función
objetivo tiene un valor mínimo.
Se puede demostrar
que la solución
óptima de un PPL
está siempre en la
frontera de la región
factible, en un
vértice (si la
solución es única) o
en un segmento
entre dos vértices
contiguos (si hay
infinitas soluciones)

17. Representación Gráfica de las restricciones
2x + y = 18
Cualquier PPL con sólo dos
variables puede resolverse
gráficamente.
Por ejemplo, para representar
gráficamente la primera
restricción, 2x + 2y ≤ 18 :
Dibujamos la recta 2x + 2y = 18
2
2 4 6 8
4
6
8
10
Y
X
Elegimos el semiplano que
cumple la desigualdad: el
punto (0, 0) la cumple
(2·0 +2 .0 ≤ 18),
así que tomamos el
semiplano que lo contiene.
(0,9)
(9,0) 8
10

18. Dibujar la región factible
Puesto que el PPL de Nicamuebles tiene dos variables, se puede
resolver gráficamente. La región factible es el conjunto de todos los
puntos que satisfacen las restricciones:
2 x + 2y ≤ 18 (restricción de fichas grandes )
x + 3y ≤ 21 (restricción de fichas pequeñas )
x ≥ 0 (restricción de signo)
y ≥ 0 (restricción de signo)
Vamos a dibujar la región factible que satisface estas restricciones.

19. Y
X
2
2 4 6 8
4
6
8
10
2x +2 y = 18
Restricciones
2 x + 2 y ≤ 18
x + 3y ≤ 21
x ≥ 0
y ≥ 0
Dibujar la región factible
Teniendo en
cuenta las
restricciones de
signo (x ≥ 0, y ≥ 0),
nos queda:
21
10

20. Y
X
2
2 4 6 8
4
6
8
10
x +3y = 21
Restricciones
2 x + 2y ≤ 18
x +3 y ≤ 21
x ≥ 0
y ≥ 0
Dibujar la región factible
10

21. Y
X
2
2 4 6 8
4
6
8
10
2x + 2y = 18
x + 3y = 21
La intersección
de todos estos
semiplanos
(restricciones)
nos da la región
factible
Dibujar la región factible
Región
Factible
10

22. Y
X
2
2 4 6 8
4
6
8
10
2x + 2y = 18
x + 3y = 21
Región
Factible
La región factible (al
estar limitada por
rectas) es un polígono.
En esta caso, el
polígono ABCD.
A
B
C
D
Como la solución
óptima está en alguno
de los vértices (A, B, C,
o D ) de la región
factible, calculamos
esos vértices.
Vértices de la región factible
Z=16x+18y
Sujeto a
2 x + 2y ≤18
x + 3 y ≤ 21
x ≥ 0
y ≥ 0
10

23. Vértices de la región factible
Los vértices de la región factible
son intersecciones de dos
rectas. El punto C es la
intersección de las rectas
2x +2y = 18
x + 3y = 21
La solución del sistema x =3,
y = 6 nos da el punto C.
B es solución de
x = 9
y = 0
D es solución de
x = 0
y= 7
A es solución trivial
x=0
y = 0
Y
X
2
2 4 6 8
4
6
8
10
2x + 2y = 18
x + 3y = 21
Región
Factible
A
B
C
D
Restricciones
2 x + 2y ≤18
x + 3 y ≤ 21
x ≥ 0
y ≥ 0
10

24. (0, 0)
Max z = 16x + 18y
z = 0
z = 144
z = 126
Para hallar la
solución óptima,
dibujamos las
rectas en las
cuales los puntos
tienen el mismo
valor de z.
La figura muestra
estas lineas para
z = 0, z = 144, z =
126 y z=156
Resolución gráfica
Y
X
2
2 4 6 8
4
6
8
10
2x + 2y = 18
x + 3y = 21
Región
Factible
A
B
C
D
Restricciones
2 x + 2y ≤18
x + 3 y ≤ 21
x ≥ 0
y ≥ 0
10
(0,7)
(3,6)
(9,0) z = 156

25. Max z = 16x + 18y
La última recta de
z que interseca
(toca) la región
factible indica la
solución óptima
para el PPL. Para
el problema de
Nicamuebles esto
ocurre en el
punto C (x = 3, y
= 6, z = 156).
Resolución gráfica
(0, 0)
z = 0
z = 144
z = 126
Y
X
2
2 4 6 8
4
6
8
10
2x + 2y = 18
x + 3y = 21
Región
Factible
A
B
C
D
Restricciones
2 x + 2y ≤18
x + 3 y ≤ 21
x ≥ 0
y ≥ 0
10
(0,7)
(3,6)
(9,0) z = 156

26. Max z = 16x + 18y
También podemos encontrar la
solución óptima calculando el
valor de z en los vértices de la
región factible.
Vértice z = 16x + 18y
(0, 0) z = 16·0+18·0 = 0
(9, 0) z = 16·9+18·0 = 144
(3, 6) z = 16·3+18·6 = 156
(0, 7) z = 16·0+18·7 = 126
La solución óptima es:
x = 3 mesas
y = 6 camas
z = $156 de beneficio
Resolución analítica
(0, 0)
Y
X
2
2 4 6 8
4
6
8
10
2x + 2y = 18
x + 3y = 21
Región
Factible
A
B
C
D
Restricciones
2 x + 2y ≤18
x + 3 y ≤ 21
x ≥ 0
y ≥ 0
10
(0,7)
(3,6)
(9,0)

27. Hemos identificado la región factible para
el problema de Nicamuebles y buscado
la solución óptima, la cual era el punto en
la región factible con el mayor valor
posible de z.
Veamos el proceso solución por el
método grafico utilizando Geógebra

28. Recuerda que:
• La región factible en cualquier PPL
está limitada por segmentos (es un
polígono, acotado o no).
• La región factible de cualquier PPL
tiene solamente un número finito de
vértices.
• Cualquier PPL que tenga solución
óptima tiene un vértice que es óptimo.

29. 29
Tarea
 Para la próxima sección de clase se
orienta al estudiante leer la guía de
estudio elaborada por el docente con el
fin de afianzar lo aprendido en clase.
 Feliz Día y Muchas Gracias