Este documento presenta varios métodos de optimización como el método de Lagrange, la matriz jacobiana y las condiciones de Kuhn-Tucker. Explica el método de Lagrange y cómo usarlo para encontrar el área máxima de un rectángulo dado su diagonal. También presenta un ejemplo numérico de cómo aplicar las condiciones de Kuhn-Tucker para maximizar las ganancias de un negociante que produce dos productos con restricciones en los recursos.

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
CATEDRA: OPTIMIZACIÓN DE SISTEMAS Y FUNCIONES
REALIZADO POR:
TENJO V. JHOAN M
C.I: 20326602
MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN
Porlamar, Junio del
2014

2. MÉTODO DE LAGRANGE
Este método consiste en reducir el problema restringido en n variables en uno sin restricciones de n +
1 variables cuyas ecuaciones pueden ser resuelta
EJERCICIO DE MÉTODO DE
LAGRANGEEncontrar el área máxima que puede tener un rectángulo si la longitud de su diagonal es 6
primero se representa un rectángulo con lados x e y, base y altura respectivamente
longitud es 6, fíjese que se forma un triangulo rectángulo
Función a optimizar: maximizar en este caso: Área
Área del rectángulo: A = X.Y
Condición a cumplir: 6 = √𝑥2
+ 𝑦2
:
De una manera mas fácil
36 = 𝑥2
+ 𝑦2
Al tener idénticas la función y la condición, se determinan los gradientes.
∇A = (Ax, Ay) = (y, x)
∇g = (gx, gy) = (2x, 2y)

3. Así las ecuaciones de LaGrange son
y = λ(2x) …(1)
X = λ(2y) …(2)
𝑥2
+ 𝑦2
= 6… (3)
Al resolver el sistema, una de las formas puede ser:
Multiplicar la ecuación (1) por x,y también la ecuación (2) por y,
xy = λ(2𝑥2
) …(4)
Yx = λ(2𝑦2
) ….(5)
Se igualan las ecuaciones (4) y (5)
λ(2x) = λ(2y) al simplificar queda:
𝑥2
+ 𝑦2
; queda y ± x
Luego una variable se expresa en función de la otra y se sustituye en la ecuación (3)
Si y = x
36 = 𝑥2
(𝑥2
)
36 = 2𝑥2
X = ± √18
Como estamos midiendo distancias, x solo puede tomar valores no negativos, así que se tiene un único punto que es para
X = √18 , la altura y también vale
Así se concluye que las dimensiones de un rectángulo corresponden con un cuadrado de lado √18. su área será: A = √18 * √18 = 18

4. MATRIZ JACOBIANA
Es la matriz de todos los derivados parciales de primer orden de una función vectorial o con valores escalares con
respecto a otro vector.
Sea A un subconjunto de R, a un punto de A y sea f : A → R un campo escalar. Se dice que f tiene gradiente en a si
admite las q derivadas parciales en a, en cuyo caso definimos el vector gradiente de f en a por:
EJERCICIO DE UNA MATRIZ JACOBIANA
Supongamos F: RN → RM es una función que va del espacio euclidiano n-dimensional a otro espacio euclidiano m-
dimensional. esta función está determinada por m funciones reales: y1(x1,..., xn),..., ym(x1,..., xn).
las derivadas parciales de estas (si existen) pueden ser organizadas en una matriz m por n, la matriz jacobiana de F
∂y1
∂x1
…….
∂y1
∂x 𝑛
. .
. .
∂y 𝑚
∂x1
…….
∂y 𝑚
∂x 𝑛
Esta matriz es notada por
JF (x1,…… xn) o como
∂(y1,...𝑦𝑚)
∂(x1,..𝑥𝑛)

5. BIEN AHORA CONSIDEREMOS LAS ECUACIONES
X = 𝑇2
- 2T, Y = T +1 CON T € R SE TIENE QUE CADA VALOR DE T, LE CORRESPONDE UN PUNTO (X,Y) DEL PLANO, EL
CONJUNTO DE LOS CUALES DETERMINA UNA RELACIÓN R
LA SIGUIENTE TABLA DE VALORES
t -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x 24 15 8 3 0 -1 0 3 8
y -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

6. El método de solución procede de la siguiente manera. cambiemos cada restricción de desigualdad gi ≤ 0 a una restricción de
igualdad introduciendo una variable si de la siguiente manera: gi ≤ 0 → gi + s 2 i = 0
De acuerdo a la técnica de los multiplicadores de LaGrange se construye la función:
F 𝑋, λ + 𝑆 = 𝐹 𝑥 + 𝑖=1
𝑚
λ𝑖 ∗ (𝑔 𝑖
+ 𝑆 2
𝑖
.
CONDICIONES KUHN-TUCKER
EJERCICIO DE CONDICIONES KUHN-TUCKER
Un negociante puede comprar hasta 20.25 onzas de un producto químico A a 10 dólares cada onza. Se puede convertir una onza d el producto
químico A en una onza del producto I a un costo de 4 dólares a onza. Asimismo, una onza del químico A se puede convertir en una onza del
producto II a un costo de 6 dólares la onza. Si se producen x1 onzas del producto I se venderá a 30 − x1 dólares la onza, mientras que si se
producen x 2 onzas del producto II se venderá a 50 − x 2 dólares la onza. Determine cómo el comerciante puede maximizar sus ganancias
Variables de decisión X1 = onzas del producto I producidas
X2 = onzas del producto II producidas
Objetivo Max z = x1 (30 – x1) + x2 (50 – x2) – 3x1 – 5x2 – 10(x1 + x2)
Restricciones X1 + x2 ≤ 17.25, 0 ≤ x1, 0 ≤ x2 Así f = x1 (30 – x1) + x2 (50 – x2) – 3x1 – 5x2 – 10(x1 + x2)
g1 = x1 + x2 – 17.25 ≤ 0
g2 = -x1 ≤ 0
g3 = -x2 ≤ 0

7. BLOQUE I
-
∂ 𝑓
∂x1
+ 𝑖=1
3
λ 𝑖
.
∂g𝑖
∂x1
= −17 +2 x1 +λ1 −λ 2 = 0
- -
∂ 𝑓
∂x2
+ 𝑖=1
3
λ 𝑖
.
∂g𝑖
∂x1
= −35 +4 x2 +λ1 −λ 3 = 0
BLOQUE II
λ1 .(g1) =λ1 (X1 + X2 – 17.25) = 0
λ2 . (g2) = λ2 X1 = 0
λ3 . (g3) = −λ3 x2 = 0

8. RESOLVIENDO EL SISTEMA ANTERIOR CON MAPLE OBTENEMOS LOS SIGUIENTES PUNTOS. EN LA TABLA SE TABULA CADA UNA DE
LAS RESTRICCIONES EVALUADA EN EL PUNTO CORRESPONDIENTE.
RECUERDE QUE LAS Λ S DEBEN SER NO NEGATIVAS Y LAS RESTRICCIONES DEBEN CUMPLIRSE
(GI ≤ 0 ):
POR CONSIGUIENTE, EL ÚNICO PUNTO SOBREVIVIENTE ES DEL REGIÓN 7: X1 =4.125 Y X2 = 13.125 CON UNA EVALUACIÓN DE
340.21875
x1 x2 λ1 λ2 λ3 G1(x) G2(x) G2(x) F(x)
0 0 0 -17 -35 -
17.25
0 0 0
8.50 0 0 0 -35 -8.75 -8.50 0 72.25
17.25 0 -
17.25
0 -52.5 0 -
17.25
0 -4.3125
0 17.5 0 -17 0 .25 0 -17.5 306.25
8.50 17.5 0 0 0 8.75 -8.50 -17.5 378.5
0 17.25 .500 -16.5 0 0 0 -17.25 306.1875
4.125 13.12
5
8.75 0 0 0 -
4.125
-
13.125
340.2187
5