Este documento trata sobre los errores y problemas numéricos en matemática numérica. Explica conceptos como fuentes de error, definiciones de error absoluto y relativo, la noción de índice y su uso para medir la sensibilidad de funciones. También analiza problemas como la propagación del error, pérdida de cifras significativas y mal condicionamiento de sistemas de ecuaciones lineales. El objetivo final es desarrollar algoritmos eficientes para resolver problemas numéricamente de manera aproximada.

1. C1 Errores y problemas
numéricos
Dra. Lucía Argüelles Cortés

2. Sumario
1.1 Objeto de estudio de la Matemática
Numérica
1.2 Objetivo de la Matemática Numérica
1.3 Fuentes de error, definiciones,
relaciones y estimaciones
1.4 Noción de índice, definición formal y
ejemplos
1.5 Problemas de la matemática numérica

3. 1. 1 Objeto de estudio de la
Matemática Numérica
• La construcción de
algoritmos eficientes que
permitan la solución
numérica de un problema

4. 1.2 Objetivo de la Matemática
Numérica
• Calcular una magnitud
aproximada de una
generalmente
desconocida.

5. 1.3 Fuentes de error
Redondeo
• Truncamiento
• Otras reglas
Método
• Teóricamente exacto
(inherentes a la modelación,
como mediciones,
simplificación de hipótesis
reales)
• Aproximado
(inherentes al proceso de
convergencia)

6. 1.3 Definiciones
(para magnitudes reales)
• Error: e = x – x*;
x es exacto ;
x* aproximado.
• Error absoluto:
EA = │e│ = │x – x*│
• Error relativo:
ER = │e│ / │x│; x ≠0
• Error relativo práctico: ERP = │e│
/│x*│; x*≠0

7. 1.3 Relación entre ER y ERP

8. Interpretación
Debido a que
𝑎∗
= 𝑎
1
1 − 𝑎
Cuando 𝑎 es pequeño
𝑎∗
≈ 𝑎

9. 1.3 Estimación práctica del
error
• Sabiendo que x ∈ [a, b]
tomar:
x* = (a+b)/2
Entonces
EA = │x – x*│ ≤ (b – a)/2
ERP ≤ (b – a)/(2 │x*│)

10. 1.4 Noción de índice
• Su propósito es medir el efecto de
realizar una operación (designada
por f(x) )
• Pretende constituir un indicador
de sensibilidad de la función
(operación) f(x) a cambios en el
argumento x

11. 1.4 Definición de índice
• Dado por la razón:
I = |f(x) – f(x*) / f(x*)| / | (x – x*) / x*|
= (|f(x) – f(x*)| | x*| )/ (| f(x*)| | x – x*|)

12. 1.4 Caso particular
• Si f(x) es diferenciable,
f(x) – f(x*) ≈
f’(x) (x – x*)
si x ≈ x*, por lo que
sustituyendo
I = (|f’(x)| |x|)/ |f(x)|

13. 1.4 Ejemplos
• F(x) = √(x)
I =
| [1 /2√(x)] x)/√(x)|
= ½
Bien
condicionada
• F(t) = b – t
I = |t| /I b-t |
grande si t ≈ b
Mal condicionada

14. 1.4 Procesos inestables
• Los procesos asociados a
operaciones mal
condicionadas se denominan
numéricamente inestables y
pueden conducir a
soluciones inaceptables

15. 1.5 PROBLEMAS MÁS
SIGNIFICATIVOS QUE
PRESENTA LA MATEMÁTICA
NUMÉRICA

16. 1.5.1. Error relativo grande
X = 200000
X* = 200100
Números “grandes”
• EA = 100
• ER =
100 / 200000
= 0.0005
Error relativo
«pequeño»
X = 0.0005
X* = 0.0007
Números
“pequeños”
• EA = 0.0002
• ER =
0.0002 / 0.0005 = 0.4
Error relativo
“grande”.

17. 1.5.1 Precisión
Objetivo del concepto
• Caracterizar el
comportamiento del error
relativo
Definición
Una aproximación es más
precisa que otra si su
error relativo es menor

18. 1.5.1 Ejemplos de precisión
en las aproximaciones
• Sean las aproximaciones:
A1 = π
A1
* = 3.1416
A1
** = 22/7= 3.1428
• ¿Cuál de las aproximaciones de π es
más precisa?
Respuesta
ER (A1
*)= (│3.14159265 – 3.1416│)/3.14159265
= 0.000002339
ER (A1
**)
= (│3.14159265 – 3.1428 │)/3.14159265
0.0003843
A1
* es más precisa

19. 1.5.1 Comparación
La comparación puede involucrar
aproximaciones a distintos números
Ejemplo
¿Qué aproximación es más precisa?
o A1
* = 3.1416 de A1 = π
o
o A2
* = 3.1622 de A2 = √10

20. 1.5.2. Propagación del error
• El error se propaga debido a
la operatoria realizada con
los números.
• La forma de propagación
puede ser normal o
amplificadora

21. 1.5.2 Ejemplos de
propagación del error

22. 1.5.2 Ejemplo1
• Si │x – x*│ < δ y │y – y*│ < δ,
estimar │xy – x* y*│
Solución
│xy – x*y*│ = │xy - x*y + x*y – x*y*│
≤ │y││ x – x*│ + │ x*││y – y*│
Como │y│ ≤ │y – y*│ + │y*│ entonces
la estimación está dada por
(δ + │y*│) * δ + │x*│ * δ
= δ * (δ +│y*│+│x*│)

23. 1.5.2 Ejemplo 2
• Calcular el volumen de la
esfera
V = 4/3 * П * R3, con
R =(√2 – 1)/( √2 + 1)
• El análisis parte de obtener
formas equivalentes de R3

24. 1ra.forma Considerando la expresión
conjugada del denominador
R3 =
[(√2 – 1 /√2+ 1) *
(√2 – 1 / √2 - 1)]3
= (√2 - 1)6

25. 2da. Forma Considerando la
potencia
• R3 = [(√2 - 1)2] 3
= (3 - 2√2)3

26. 3ra forma. Efectuando la
potencia
R3 = 99 - 70√2

27. Aproximaciones
√2 (√2 - 1)6 99 - 70√2
7/5 = 1.4 0.005096 1

28. Justificación
Si se denotan:
• F1(x) = (x - 1)6
• F3(x) = 99 – 70x
• │ F3(x) - F3(x*) │
≈ │F’
3(x) ││x – x*│
= 70│x – x*│
(el error queda amplificado por el factor
70)

29. 1.5.2 Ejemplo 3
La diferencia finita se define así:
• ∆yn = yn+1- yn
• ∆ 2yn = ∆yn+1- ∆yn, etc.
Supongamos que se han calculado en una
tabla las diferencias finitas requeridas
hasta el quinto orden y que una entrada
tiene un error E. Entonces el error se
propaga en la forma que se señala

30. y ∆y ∆ 2
y ∆ 3
y ∆ 4
y ∆ 5
y
E
E
E -5E
E -4E
E -3E 10E
E -2E 6E
-E 3E -10E
E -4E
-E 5E
E
-E

31. EN EL CASO DE QUE LOS ERRORES
ALTERNEN EN SIGNO, LA SITUACIÓN
ES LA SIGUIENTE:

32. y ∆y ∆ 2
y ∆ 3
y ∆ 4
y
+e
-2e
-e +4e
+2e -8e
+e -4e +16e
-2e +8e
-e +4e
+2e
+e

33. 1.5.3 Pérdida de cifras
significativas
Definición de cifra
significativa
• Toda cifra exceptuando
los ceros a la izquierda
de la primera cifra
distinta de cero.
Ejemplos
• z1
(1) = 2.5039968
z2
(1) = 2.5019992
(8cifras significativas)
• Observación :
z(1) = z1
(1) - z2
(1)
= 0.0019976
(5cifras significativas)
Ha ocurrido pérdida de cifras
significativas

34. 1.5.3 Pérdida de cifras
significativas
• Caso frecuente de pérdida de
cifras significativas :
f (x) = b –x.
Si b ≈ x
Se pierden cifras significativas al
efectuar la diferencia de números
cercanos, por lo que se amplifica el
error
Se debe cambiar el esquema de
cálculo.

35. 1.5.3 Ejemplo 1
• Cálculo de la raíz de
a x2 + b x + c = 0,
b > 0, dada por:
X1 = [ -b + √ (b2 – 4ac)] / 2a
cuando b2 >> 4ac
Observar que se produce la operación mal
condicionada de restar dos números
cercanos
• La eficiencia se logra multiplicando la
expresión anterior por la conjugada
-b - √ (b2 – 4ac), de modo que:
X1= ( -2c)/(b + √ (b2 – 4ac)
-

36. 1.5.3 Ejemplo 2
Las identidades trigonométricas ofrecen
vías para mejorar el esquema de cálculo de
1- cos(x) cuando x ≈ 0.
1ra. identidad
(1 – cos (x))[(1 + cos(x)) / (1 + cos(x)]
= sen2(x)/ (1 + cos(x))
2da. identidad
1 – cos(x) = 2 [1 – cos(x)] / 2
= 2 sen2(x/2)

37. 1.5.4 Mal condicionamiento
de un Sistema de Ecuaciones
Lineales (SEL)

38. 1.5.4 Ejemplo 1
• Resolución del sistema Ax = b

39. Comportamiento
• Se cumple la relación
X3 = 180b1 – 720b2 + 600b3
Para
b1 =1/2 b2 = 1/3 b3 = ¼,
se obtiene X3 = 0
Para modificaciones dadas por
b1 =(1/2)+ 𝓔
b2 =(1/3)- 𝓔
b3 = =(1/4)+ 𝓔
se obtiene X*3 = 1500 𝓔

40. Análisis
Consecuencia
| X3 – X*
3 | es
igual a 1500 |ε|
(se amplifica el
error absoluto)
Observación
Det (A) es igual a
0.0000230925759
(valor pequeño)

41. 1.5.4 Método de mejora
iterativa
Propuesta de tratamiento

42. Consideraciones preliminares
• Si hay una variación en el vector b,
se tiene la situación
A x = b y A x* = b*
• Restando:
A(x –x*) = b – b* = r (r: residuo)
• Hacer
x - x* = e (error de la solución)
• Sustituir para formar el sistema
A e = r

43. Método de mejora iterativa
Consideración
• Ax = b
• Ax* = b*
(Variación en el vector b)
• A(x –x*) = b – b* = r
(r: residuo)
x - x* = e
(e: error de la solución)
Sustituyendo : Ae = r
Inferencia
• Resolver
Ae = r
• Obtener la nueva
aproximación
x*
1 = x* + e

44. Resumen de problemas
significativos que aborda la
Matemática Numérica

45. Tipos de problemas
1.5.1 Análisis del comportamiento
del error relativo
1.5.2 Valoración de la propagación
del error
1.5.3 Cambio del esquema de
cálculo para enfrentar pérdida de
cifras significativas
1.5.4 Mejora de la solución de SEL
mal condicionados

46. Conclusiones
• La noción de error relativo es apropiada
para interpretar la significación del error,
por lo que el concepto de precisión cobra
importancia en la comparación de
estimaciones.
• La propagación del error puede ser muy
amplificadora , por lo que se requiere
realizar un análisis para determinar la
forma de propagación

47. Conclusiones (cont.)
• La Matemática Numérica
ofrece vías para enfrentar el
mal comportamiento
numérico (cambio de
esquema de cálculo, método
de mejora iterativa, etc.)

48. Preguntas de comprobación
1.
Sea x valor exacto y
x* una aproximación a x
1.1 ¿A qué llamamos error absoluto?
1.2 ¿A qué llamamos error relativo?
1.3 ¿Qué diferencia existe entre los valores
teórico y práctico de la noción de error
relativo ?

49. Preguntas de comprobación
2.
¿Cómo se obtendría de manera
práctica una estimación para
los errores?

50. Preguntas de comprobación
3.
Ejemplifique la pérdida de
significación.

51. Preguntas de comprobación
4.
¿Cómo se define el indicador
de la sensibilidad del valor
de f(x) a cambios del
argumento ?

52. Preguntas de comprobación
5.
¿Cuándo se dice que
un proceso es
inestable?

53. Preguntas de comprobación
6.
Explicar por qué hay pérdida de cifras
significativas y cómo contrarrestarla al
hallar la raíz de menor valor modular
de
x2 +bx+c = 0
Si b2 >> 4c (el signo
significa mucho mayor)
0
2


 b
a x
x
0
2


 b
a x
x

54. Preguntas de comprobación
7.
¿Por qué se requiere analizar
la forma de propagación del
error?

55. Preguntas de comprobación
8.
¿Qué signos indican la existencia
de mal condicionamiento de un
SEL?