L2 errores

Errores de Cálculo en computadoras
Justo Rojas
Laboratorio de Simulación Computacional de Materiales
Facultad de Ciencias Fı́sicas
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Mayo,2021
Curso Fı́sica Computacional II, Semestre 2021-I
Justo Rojas (GMCAN) FCII- L2 Mayo,2021 1 / 43

1 Introducción
Conceptos generales
2 Error de truncamiento
Series de Taylor
Aproximación de funciones
Derivación numérica
3 Error de redondeo
Representación de números en la computadora
Tipos de datos numéricos con punto flotante
Epsilon de máquina
Errores metodológicos
Minimización de errores
4 Estabilidad
Estabilidad numérica

Resultados de aprendizaje
Conocer las fuentes de errores de cálculo
Saber identificar las fuentes de errores que surgen en cada problema
concreto
Analizar la estabilidad del proceso

Plan
1 Introducción
Conceptos generales
Series de Taylor
3 Error de redondeo
4 Estabilidad

Introducción
El objetivo del calculo es la comprensión, no los números
R.W. Hamming

Introducción
Errores
Error de medición
Error de cálculo
Definición 1 Sea x un número real y x∗ su aproximación o resultado del
cómputo.
Error absoluto
El error absoluto en la aproximación x ≈ x∗ se define como ∆ = |x∗ − x|.
Error relativo
se define como:
δ =
|x∗ − x|
x
=
∆
x
.

Introducción: Conceptos
Exactitud: indica la proximidad de los resultados de la
medición o cálculo con respecto al valor verdadero

Precisión: Indica el grado de dispersión de la medida

Precisión: Indica el grado de dispersión de la medida
Cifras significativas: Aquellas cifras que aportan
información significativa acerca de una determinada medida
o cálculo. Está relacionado con el error
Ejemplo. Al calcular el área de una superficie cuadrada, si el
lado fue medido como 2,361 ± 0,001, el resultado
(5,574321 ± 0,001)
contiene 4 cifras significativas 5.574

Introducción
Tener presente que existen dos tipos de errores que casi siempre se
manifiestan en los cálculos mediante las computadoras:
(a) El error de truncamiento o metodológico
(b) El error de redondeo
El primer tipo de error, a es debido a las aproximaciones utilizadas en la
formula matemática del modelo y el error de redondeo (b) está asociado al
número limitado de dı́gitos con que se representan los números en la
computadora.

Plan
1 Introducción
Conceptos generales
Series de Taylor
3 Error de redondeo
4 Estabilidad

Serie de Taylor y error de truncamiento
El error de truncamiento ocurre cuando cierto proceso infinito se
aproxima con proceso finito
f (x) ≈ a0f (x0) + a1f (x1) + a2f (x2)

El error de truncamiento ocurre cuando cierto proceso infinito se
aproxima con proceso finito
f (x) ≈ a0f (x0) + a1f (x1) + a2f (x2)
Muchas de las operaciones numéricas básicas se basan en la
aproximación de funciones analı́ticas f (x) en cierto punto x por medio
de polinomios o funciones mas sencillas.

Ejemplos de series comunes
ex
= 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ ... =
∞
X
k=o
xk
k!
(1)
sin(x) = x −
x3
3!
+
x5
5!
− ... =
∞
X
k=o
(−1)k x2k+1
(2k + 1)!
(2)
ln(1 + x) = x −
x2
2
+
x3
3
− ... =
∞
X
k=1
(−1)k−1 xk
k
, (−1 < x ≤ 1) (3)
En cada caso la serie representa la función dada y converge en cierto
intervalo

Teorema de Taylor
Teorema de Taylor
Si la función f (x) tiene derivadas continuas de ordenes hasta (n+1) en el
intervalo cerrado I=[a-b], entonces para cualquier a y x en I,
f (x) =
n
X
k=0
f (k)(a)
k!
(x − a)k
+ En+1 (4)
donde el término resto En+1 puede estar dado en la forma
En+1 =
f (n+1)(ξ)
(n + 1)!
(x − a)n+1
(5)
aqui ξ es un punto que se encuentra entre a y x.

Plan
1 Introducción
Conceptos generales
Series de Taylor
3 Error de redondeo
4 Estabilidad

Aproximación de la función f (x) = sin(x) ≈ x − x3
3! + x5
5! − ...

Error de Truncamiento
En la practica es necesario truncar la serie. Una serie se considera truncada
si despreciamos todos los términos después de un término dado. Por
ejemplo, la serie exponencial truncada a 5 términos es,
ex
≈ 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+
x4
4!
La serie truncada debe aproximar a ex . Aquı́ es necesario el teorema de
Taylor para estimar la diferencia entre una función f y su serie de Taylor.
ex
= 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+
x4
4!
+ E6
La formula dada para el resto o error es válida cuando suponemos que
existe f n+1 en cda punto del intervalo considerado. Notar que esta función
se debe evaluar en punto diferente que a. Dificultades para determinar el
valor apropiado de ξ

Ejemplo
Consideremos la expansión de Taylor de la función ex
ex
= 1 + x +
x2
2!
+ ... +
xn
n!
+ ..
Si esta formula se usa para calcular f = e0,1 obtenemos:
f = 1 + 0,1 +
(0,1)2
2!
+
(0,1)3
3!
+ .. (6)
Si truncamos la serie a 5 términos
f ≈ 1 + 0,1 +
(0,1)2
2!
+
(0,1)3
3!
+
(0,1)4
4!
= f ∗
= 1,10517083
El error absoluto de truncamiento ET
ET = f ∗
− f = −
(0,1)5
5!
−
(0,1)6
6!
− ...

En este caso concreto es fácil de estimar el error de truncación
|ET| =
(0,1)5
5!

1 +
0,1
6
+
(0,1)2
6 × 7
+
(0,1)3
6 × 7 × 8
+ ..

= ≤
(0,1)5
5!

1 + 0, 1 +
(0,1)2
1 × 2
+
(0,1)3
1 × 2 × 3
+ ..

= ≤
(0,1)5
5!
e0,1
≈
0,00001
120
× 1,10517083 ≈ 10−7
Notar que el error hallado es aproximadamente igual que el siguiente
término de truncado, es decir
(0,1)5
5!
= 0,8 × 10−7

Plan
1 Introducción
Conceptos generales
Series de Taylor
3 Error de redondeo
4 Estabilidad

Aproximación de la derivada de la función f (x) = x2 en x =1.
f 0
≈
(x + h)2 − x2
h

Error de redondeo
El error de redondeo es la diferencia entre el resultado producido
por un algoritmo dado usando aritmética exacta y el resultado
producido por el mismo algoritmo usando aritmética redondeada de
precisión finita.

Error de redondeo
precisión finita.
Los errores de redondeo se deben a la inexactitud en la representación
de números reales y las operaciones aritméticas realizadas con ellos.

Error de redondeo
precisión finita.
Durante la ejecusión de una secuencia de operaciones de cálculo, los
errores pueden acumularse, principalmente en los problemas mal
acondicionados.

Error de redondeo
precisión finita.
Durante la ejecusión de una secuencia de operaciones de cálculo, los
errores pueden acumularse, principalmente en los problemas mal
acondicionados.
Siempre tener presente 2 aspectos importantes
I Las computadoras tienen limitada capacidad de representar números
reales
I Ciertas manipulaciones numéricas son muy sensibles a los errores de
redondeo.

Plan
1 Introducción
Conceptos generales
Series de Taylor
3 Error de redondeo
4 Estabilidad

Error de redondeo: Números en la computadora
Los datos se presentan en dos tipos básicos
* Números
- Enteros (1,-7,0,26)
- Reales/Punto flotante(4/5, 3.14,-25.63)
* Letras
- Caracteres (g,#,/);simbolos tipográficos
- Lógicos (TRUE,FALSE)

Tipos de datos
Representación de datos en C/C++ y F90
Tipo en C/C++ y F90/95 bits Rango
char/CHARACTER 8 -128 a 127
int/INTEGER(2) 16 -32768 a 32767
int/long int/INTEGER(4) 32 -2147483648 a 2147483647
float/REAL(4) 32 3,4e−38a3,4e+38
double/REAL(8) 64 1,7e−308a1,7e+308

Plan
1 Introducción
Conceptos generales
Series de Taylor
3 Error de redondeo
4 Estabilidad

Números con punto flotante
Se utilizan para representar magnitudes fı́sicas que tienen carácter
continua (temperatura, velocidad, etc)
Se usa para representar números que tienen parte fraccional.
Las computadoras digitales representan a los puntos flotantes como
valores discretos, no como valores continuos.
Debido a la naturaleza finita de las maquinas, el número con punto
flotante no siempre pueden ser representados exactamente. En la
figura 1 se presenta esquemáticamente la representación de los
números con punto flotante
De la figura se aprecia que:
- Overflow - número demasiado grande para presentar
- Underflow - número demasiado pequepara presentar
- Redondeo - debido a la insuficiente precisión

Error de redondeo
Figura: Representación esquemática de los números reales mediante el punto
flotante

Notación cientı́fica
El formato para los números reales difiere del software y hardware.
En el formato normalizado y notación cientı́fica, el número real con
coma flotante se representa
En base 10
x = ±0.d1d2d3d4 . . . × 10n
donde d1 6= 0
Análogamente en base 2
±0.d1d2d3d4 . . . × 2n
donde d1 siempre es 1.

Notación cientı́fica
Eligiendo adecuadamente n se hace que d1 6= 0
- El número de dı́gitos en la mantisa especifica la precisión
- El número de dı́gitos en el exponente determina el rango
La mantisa es d1d2d3d4 . . . y n el exponente, que es número entero
Ejemplo,
El número fraccionario
0.110 = 0.00011001100110011001100...2
= 1.11001100110011x2−4

Representacion de números reales
En una computadora particular la mantisa se representa mediante un
número finito k dı́gitos
x̃ = ±.d1d2d3d4 . . . dk−1
ˆ
dk × 2n
Los dı́gitos que no se pueden representar se puede hacer mediante
trunacamiento simple o redondeo.
Ejemplo: En una máquina hipotética con k = 4 dı́gitos de precisión, el
número
π = 3,141592... se puede presentar:
Truncamiento: 3.141
Redondeo: 3.142

Mediante el punto flotante de precisión simple, el primer bit se usa
para el signo de la mantisa, los siguientes 7 bits para el exponente y
los restantes 24 bits para la mantisa. De tal manera se puede
representar los números en el intervalo
2−127
≈ 10−38
≤ |x| ≤ 2127
≈ 1038
y permite representar con precisión del orden 7 dı́gitos decimales

Mediante el punto flotante de precisión doble (aritmética de 64
bits),para exponente se utiliza 10 dı́gitos y los restantes 53 para la
mantisa.
2−1023
≈ 10−308
≤ |x| ≤ 21023
≈ 10308
En este caso se puede representar los números con precisión de
aproximadamente 15 dı́gitos decimales.
Masa (Kg)
Sol 1,989x1030
Tierra 5,972x1024
Electron 9,1x10−31

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1 Introducción
Conceptos generales
Series de Taylor
3 Error de redondeo
4 Estabilidad

Error de redondeo y epsilon de maquina
El epsilon de máquina es un valor de punto flotante dependiente de la
máquina que proporciona el lı́mite superior en el error relativo debido al
redondeo en la aritmética de punto flotante.
El error relativo:
Truncamiento
δ = |
x − fl(x)
x
| ≤ 2−p+1
(7)
Redondeo
δ = |
x − fl(x)
x
| ≤
1
2
2−p+1
(8)

Epsilon de la maquina
El error relativo para la máquina que usa p dı́gitos binarios para la
representación de la mantisa.
El número
δ = = 2−p+1
que encierra el error relativo en la conversión de los números reales en
números de máquina, se llama unidad de error de redondeo para
cierta computadora.
También es conocido como El epsilon de la maquina .
Matemáticamente, para cada tipo de coma flotante, es equivalente a
la diferencia entre 1.0 y el valor representable más pequeńo que es
mayor que 1.0
1.0 + = 1.0

Epsilon de la maquina
Debido al error de redondeo el número de máquina se representa mediante
fl(x) = x(1 + δ)
Significa, en cualquier operación, por ejemplo multiplicación de 2 números
a(1 + δa) = b(1 + δb) ∗ c(1 + δc)
de aquı́
δa = δb + δc
el resultado puedes ser mayor o menor que el error individual.
En el caso de operación de sustracción a = b − c
δa = δb
b
a
− δc
c
a

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Conceptos generales
Series de Taylor
3 Error de redondeo
4 Estabilidad

Error metodológico y de redondeo
Como el caso considerado de la derivación numérica, en varios caso puede
estar presenta ambos tipos de errores: truncamiento y redondeo
Considerando el problema de hallar las raices de una ecuación cudrática
ax2
+ bx + c = 0 (9)
Las soluciones
x1 =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
(10)
Dependiendo de los valores de los coeficientes y del signo de b, puede
ocurrir perdida de precisión debido a la sustracción de valores cercanos.

Error metodológico y de redondeo
Una alternativa es realizar una transformación equivalente
x1 =
−b +
√
b2 − 4ac
2a
−b −
√
b2 − 4ac
−b −
√
b2 − 4ac
=
2c
−b −
√
b2 − 4ac
(11)
x2 =
−b −
√
b2 − 4ac
2a
−b +
√
b2 − 4ac
−b +
√
b2 − 4ac
=
2c
−b +
√
b2 − 4ac
(12)
Por o tanto, si b 0 se debe utilizar ((??)) para hallar x1 y ((??))para
calcular x2 cuando b 0

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Conceptos generales
Series de Taylor
3 Error de redondeo
4 Estabilidad

Estrategias de minimización de errores
Usar variables de mayor precisión

Agrupamiento

Agrupamiento
Desarrollo de Taylor

Agrupamiento
Rescritura de la ecuación para evitar restas

Agrupamiento
Rescritura de la ecuación para evitar restas
Eliminar totalmente los errores en general no es posible

Plan
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Conceptos generales
Series de Taylor
3 Error de redondeo
4 Estabilidad

Estabilidad de solución
Durante el análisis de los métodos numéricos en la solución de problemas,
junto con los errores de truncamiento y de redondeo, existe un tercer
factor importante, la estbilidad de la solución
Estabilidad
Se dice que un algoritmo, ecuación o, en general, un proceso, es inestable
cuando pequeńos cambios en la entrada causa cambios drásticos en la
salida

Estabilidad de solución
Consideremos la solución de un sistema de ecuaciones
x1 + x2 = 2,0
x1 + 1,01x2 = 2,01
(13)
La solución es x1 = 1 y x2 = 1
Haciendo un cambio pequeńo en el término libre de la segunda ecuación
x1 + x2 = 2,0
x1 + 1,01x2 = 2,02
(14)
La nueva solución es x1 = 0 y x2 = 2. De donde se nota que una variación
de apenas 0.5 % en la entrada genera una variación de 100 % en la salida.

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