Este documento trata sobre el álgebra lineal y sistemas de ecuaciones. Explica conceptos clave como vectores, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Luego clasifica diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares, nulas y más. Finalmente, describe métodos para resolver sistemas de ecuaciones como igualación, reducción y sustitución.

1. Sistema de Ecuaciones
Algebra Lineal
Edwin Santiago Laguna Murillo
Codigo:14 Grado:11.01
Jornada Mañana
Francisco Góngora Tafur
Ins. Edu. Tecnica Alberto Santofimio Caicedo
Universidad Del Tolima
2017

2. El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia conceptos tales
como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en su enfoque de manera más
formal, espacios y sus transformaciones lineales.
Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro
y fuera de las matemáticas, como el análisis funcional,
las ecuaciones diferenciales, la investigación de operaciones, las
gráficas por computadora, la ingeniería, etc.
La historia del álgebra lineal moderna se remonta a 1843,
cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del
término vector) creó los cuaterniones; y a 1844, cuando Hermann
Grassmann publicó su libro Die lineale Ausdehnungslehre (La
teoría lineal de extensión).
Clasificación de matrices
Matriz fila
Una matriz fila está constituida por una sola fila.
Matriz columna
La matriz columna tiene una sola columna
Matriz rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión
mxn.
Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.

3. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.
Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
Matriz triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros.
Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros.
Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal
principal son nulos.
Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales.
Matriz identidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1.

4. Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
Matriz simétrica
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = At.
Matriz antisimétrica o hemisimétrica
Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = -At.
Igualación
1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía
despejada la otra incógnita.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
1 Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:

5. 2 Igualamos ambas expresiones:
3 Resolvemos la ecuación:
4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos
despejada la x:
5 Solución:
Ejercicios
1

6. 2

7. 3
4

8. 5
Reducción
En líneas generales, lo que buscamos al poner en marcha este método, es que
mediante la multiplicación de cada ecuación, por un factor elegido convenientemente,
los coeficientes de una misma incógnita sean números opuestos, es decir que al
sumarlos, se anulen entre sí.
De este modo obtendremos una ecuación en una sola incógnita que resolveremos

9. como lo hacemos habitualmente. Cuando tengamos ese valor, lo sustituimos en
cualquiera de las ecuaciones para hallar la otra incógnita. Posteriormente verificamos
los resultados obtenidos y ambas ecuaciones deberán probar que son igualdades.
Como habitualmente hacemos, te propongo resolver el sistema de ecuaciones
simultánea que hemos tomado como modelo, esta vez aplicando el método de
reducción. Paso a paso, como siempre.
El sistema de ecuaciones simultáneas elegido es:
1) Observamos los coeficientes de una de las incógnitas con suma atención y
elegiremos la pareja que nos parezca más sencilla para el propósito que
perseguimos., supongamos la “x”. La manera más sencilla de lograr que tengan el
mismo coeficiente es cruzarlos entre ellos, pero cuidando de que uno de los dos
productos finales quede negativo. En este caso, nos conviene multiplicar la primera
ecuación por 4 y la segunda por -3; el coeficiente en ambos casos tendrá un valor
absoluto de 12, pero cómo elegimos -3 en vez de 3, la segunda ecuación quedará con
coeficiente negativo en el término en x. Observa:
2) El siguiente paso, en realidad, ya lo
has observado en la imagen anterior: una vez que logras que los coeficientes de una
misma incógnita sean dos números opuestos(en este caso +12 y -12), debes sumar
ambas ecuaciones miembro a miembro. De este modo, los términos en “x” se reducen
(por eso el método se llama método de reducción) y sólo nos queda una ecuación en
“y”. La resolvemos y se llega a hallar su valor, en este caso, 1.
3) Sustituye el valor hallado de “y” (es decir el 1 en este caso), en cualquiera de las
ecuaciones del sistema; quedará una ecuación sólo en “x”. Resuelve esa ecuación y
hallarás la otra incógnita. Por ejemplo yo elijo hacer este procedimiento en la primera
de ellas y quedará así:
3x + 2 (1) = 8
3x + 2 = 8
3 x = 6
x = 6 / 3
x = 2

10. 4) Por último hemos de proceder a la verificación de las dos ecuaciones simultáneas. Si
todo está correcto, deben verificarse las dos igualdades. Vamos paso a paso como
en el ítem anterior.
Primera verificación:
a) 3 x + 2 (1) = 8
3 (2) + 2 (1) = 8
6 + 2 = 8
8 = 8
Segunda verificación:
b) 4 x – 3 (1) = 5
4 (2) – 3 (1) = 5
8 – 3 = 5
5 = 5
Cabe señalar, por último, que es posible realizar este mismo método también
dividiendo coeficientes; lo que sucede es que no siempre es tan probable que todos los
coeficientes de la ecuación sean múltiplos de un mismo número, o sea que puedas
elegir un divisor común a todos ellos de modo que los coeficientes (preferentemente)
queden enteros
Ejercicios
1

11. 2
3
4

12. 5
Sustitución

14. ejercicios
1

15. 2
3

16. 4
5
Determinantes
A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante
de A, denotado por |A| o por del (A).
|A| =
Determinante de orden uno

17. |a11| = a11
Ejemplo
|5| = 5
Determinante de orden dos
= a 11 a 22 − a 12 a 21
Ejemplo
Determinante de orden tres
Consideremos una matriz 3x3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como
sigue:
=
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 −
− a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32.
Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la
matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con

18. signo negativo (cambian su signo).
Ejemplo
=
3 · 2 · 4 + 2 · (−5) · (−2) + 1 · 0 · 1 −
− 1 · 2 · (−2) − 2 · 0 · 4 − 3 · (−5) · 1 =
= 24 + 20 + 0 − (−4) − 0 − (−15) =
= 44 + 4 + 15 = 63
Ejercicios
1 Calcula el valor del determinante:

19. Aplicamos la regla de Sarrus
2[0 · (−6) · (−3) + 3 · (−9) . 20 + 1 · (76) · (−1) −
− 1 · (−6) ·20 − 3 · (76) · (−3) − 0 · (−1) · (−9)] = 376
2 Aplicandolas propiedades de los determinantes, calcular:

20. 3 Aplicandolas propiedades de los determinantes, calcular:

21. 4 Pasando a determinantes triangulares, calcular el valor de:
5 Calcularlos determinantes de Vandermonde:

22. Fórmula cuadrática
Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2
+ bx + c,
donde a, b, y c son números reales.

23. Ejemplo:
9x2
+ 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10
3x2
- 9x a = 3, b = -9, c = 0
-6x 2
+ 10 a = -6, b = 0, c = 10
Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las
ecuaciones cuadráticas:
1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática
Factorización Simple:
La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un
producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.
Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación
x2 + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8
(x ) (x ) = 0 [x ·x = x2
]

24. ( x + ) (x -
) = 0
(x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2
4 · -2 = -8
x + 4 = 0 x – 2 = 0
x + 4 = 0 x – 2 = 0
x = 0 – 4 x = 0 + 2
x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones.
Completando el Cuadrado:
En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y
siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.
Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que
despejar de la siguiente forma:
4x2
+ 12x –
8 = 0
4 4 4
4

25. x2
+ 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.
Ejemplo:
x2
+ 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.]
x2
+ 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.]
x2
+ 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]
x2
+ 2x + 1 = 8
+ 1
x2
+ 2x + 1 = 9
( ) ( ) = 9 Hay que factorizar.
Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.
( x + 1) (x +
1) = 9
(x + 1)2
= 9
(x + 1) =
±
x + 1 = ± 3
x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.]

26. x = -1 + 3 x = -1 – 3
x = 2 x = -4
Fórmula Cuadrática:
Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la
ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:
Ejemplo:
X2
+ 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8

27. x = -2 ± 6
2
X = -2 + 6 x = -2 - 6
2 2
x = 4 x = -8
2 2
x = 2 x = - 4
ejercicios
1 Representa gráficamente la función cuadrática:

28. y = -x² + 4x - 3
1. y = −x² + 4x − 3
1. Vértice
x v = − 4/ −2 = 2 y v = −2² + 4· 2 − 3 = 1 V(2, 1)
2. Puntos de corte con el eje OX.
x² − 4x + 3 = 0
(3, 0) (1, 0)
3. Punto de corte con el eje OY.
(0, −3)
2 Representa gráficamente la función cuadrática:

29. y = x² + 2x + 1
1. Vértice
x v = − 2/ 2 = −1 y v = (−1)² + 2· (−1) + 1= 0 V(− 1, 0)
2. Puntos de corte con el eje OX.
x² + 2x + 1= 0
Coincide con el vértice: (−1, 0)
3. Punto de corte con el eje OY.
(0, 1)
3 Representa gráficamente:
y = x² +x + 1
1. Vértice.

30. xv = −1/ 2 yv = (−1/ 2)² + (−1/ 2) + 1= 3/4
V(−1/ 2, 3/ 4)
2. Puntos de corte con el eje OX.
x² + x + 1= 0
1² − 4 < 0 No hay puntos de corte con OX.
3. Punto de corte con el eje OY.
(0, 1)
4 Halla el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas:
1 y = (x − 1)² + 1
V = (1, 1) x = 1
2 y = 3(x − 1)² + 1
V = (1, 1) x = 1

31. 3y = 2(x + 1)² − 3
V = (−1, −3) x = −1
4y = −3(x − 2)² − 5
V = (2, −5) x = 2
5y = x² − 7x −18
V = (7/2, −121/4) x = 7/2
6y = 3x² + 12x − 5
V = (−2 , −17 ) x = −2
5 Indica, sin dibujarlas, en cuantos puntos cortan al eje de abscisas las siguientes
parábolas:
1 y = x² − 5x + 3
b² − 4ac = 25 − 12 > 0 Dos puntos de corte
2y = 2x² − 5x + 4
b² − 4ac = 25 − 32 < 0 No hay puntos de corte
3y = x² − 2x + 4
b² − 4ac = 4 − 4 = 0 Un punto de corte
4y = −x² − x + 3
b² − 4ac = 1 + 12 > 0 Dos puntos de corte