Este documento presenta un resumen sobre sistemas de ecuaciones lineales de dos variables. Explica qué son las ecuaciones y sistemas lineales, y los diferentes casos que pueden presentarse al resolver un sistema (solución única, infinitas soluciones, sin solución). También describe cuatro métodos para resolver sistemas: gráfico, eliminación, igualación y determinantes.

1. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE FILOSOFIA, LETRAS Y CIENCIAS
DE LA EDUCACION
CARRERA DE PEDAGOGIA EN CIENCIAS EXPERIMENTALES,
MATEMÁTICA Y FÍSICA
TEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
AUTORES:WILMER QUISPI
LISBETH MONTENEGRO
KEVIN NAVARRETE
ALEXANDER OYOS
ESTEBAN SINILIN

2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (22)
1. ECUACIÓN LINEAL CON DOS VARIBLES
Estas ecuaciones tienen la forma ax + by = c; donde a, b y c pertenecen a los números
reales, a y b tienen que ser diferentes de cero. Mientras que x e y son las variables que
tomaran valores reales.
Se llama ecuación lineal por el motivo de que las variables x e y tienen como exponente
el grado “1” y por ende sus graficas resultaran líneas rectas.
El conjunto solución de una ecuación lineal en dos variables es el conjunto de los puntos
que pertenecen a la recta o, lo que es lo mismo, el conjunto de pares ordenados (x, y) que
trasforman la ecuación en una proposición verdadera.
2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (22)
Se llama sistema de ecuaciones lineales (2*2), al conjunto formado por dos ecuaciones
lineales con dos variables. El sistema se llama lineal por que las dos ecuaciones son de
primer grado.
Eje. {
𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟐𝟏
𝟑𝒙 + 𝟕𝒚 = 𝟎
3. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (2*2)
Resolver un sistema de ecuaciones es hallar las soluciones o mostrar que no existen
dichas soluciones. Las soluciones son todos los valores que pueden asignarse a las
variables x e y; que, al sustituirlos en las ecuaciones dadas se una proposición verdadera.

3. Las rectas son intersecantes si:
𝑎1
𝑎2
≠
𝑏1
𝑏2
≠
𝑐1
𝑐2
Las rectas son coincidentes si:
𝑎1
𝑎2
=
𝑏1
𝑏2
=
𝑐1
𝑐2
Las rectas son paralelas si:
𝑎1
𝑎2
=
𝑏1
𝑏2
≠
𝑐1
𝑐2
Al resolver un sistema de ecuaciones se pueden presentar los siguientes casos:
4. MÉTODOS DE RESOLUCION DE UN SISTEMAS DE ECUACIONES
LINALES (2*2)
4.1 MÉTODO GRAFICO
En este método los resultados que se obtengan será aproximados, dependiendo de la
exactitud de la escala de la construcción de la gráfica. En dicho método se presentan
los siguientes casos:
 Solución Única: se da cuando tienen un solo punto común M(x;y), cuyas
coordenadas satisfacen a las dos ecuaciones. Se dice que las rectas son
intersecantes.
Sea: [1] 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1
[2] 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2
 Infinitas Soluciones: se da cuando las rectas son coincidentes, tienen infinito
número de puntos comunes que satisfacen las dos ecuaciones. Se dice que las
rectas son coincidentes.
Sea: [1] 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1
[2] 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2
 Sin Solución: se presenta cuando las rectas correspondientes son paralelas,
por lo tanto, no tienen un punto en común y es un sistema incompatible.
Sea: [1] 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1
[2] 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2
SISTEMA COMPATIBLE SISTEMA INCOMPATIBLE
Compatible Indeterminado: Existe
infinitas soluciones para el sistema.
Compatible Determinado: Existe una
única solución para el sistema.
No existen soluciones para el sistema.

4. {
{
Ejemplo 1: Resolver gráficamente el sistema.
[1]
[2]
Forma explicita
[1]
[2]
Las rectas se cortan en un punto M (-1, -2). La solución del sistema es x=-1; y = -2.
Ejemplo 2: Resolver gráficamente el sistema.
[1]
[2]
Forma explicita
[1]
[2]
Las rectas son paralelas, es decir no tienen punto en común alguno. El sistema no
tiene soluciones. Las ecuaciones son incompatibles.
4.2 MÉTODO DE ELIMINACIÓN (ADICIÓN O SUSTRACCIÓN)
El método de eliminación se basa en la siguiente propiedad de los números reales:
Si se suman miembro a miembro dos igualdades el resultado es otra igualdad:
U = R. a, b, c, d; a = b  c = d  a + c = b + d
Procedimiento:
1. Eliminar una de las variables en las dos ecuaciones; mediante la suma de
las ecuaciones dadas después de haberlas multiplicado, por números
convenientes.
2. Hallar el valor de la primera variable.
3. Sustituir, el valor de la variable anterior, en cualquiera de las ecuaciones
iniciales.
4. Hallar el valor de la segunda variable.
5. Verificar el resultado.
[1] [2]
x y x y
1 -6 1 0
2 -8 2 1
3 -10 3 2
[1] [2]
x y x y
1 0 1 3
2 1 2 4
3 2 3 5
{2x +y = -4
2x -2y = 2
y = -4 -2x
y = (2x – 2) / 2
{3x -3y = 3
x -y = -2
y = (3x – 3) /3
y = x + 2

5. Ejemplo 1: Resolver el sistema eliminando la variable y:
Proposiciones Razones
1. [1]
[2]
Dato
2. [1]*(-3)
[2]*(1)
a = b  c = d  a + c = b + d
Para eliminar la y se multiplica [1]*(-3)
3. x = 8 Despeje x en 2
4. 2(8) – y = 3  y = 13 Sustitución de 3 en [1] de 1
Comprobación: 2(8) - 13 = 3  3 = 3
Ejemplo 2: Resolver el sistema eliminando la variable y:
Proposiciones Razones
5. [1]
[2]
Dato
6. [1]*(-2)
[2]*(-1)
a = b  c = d  a + c = b + d
Para eliminar la y se multiplica [1]*(-3)
7. x = -1 Despeje x en 2
8. 2(-1) + 2y = 3  y = 5/2 Sustitución de 3 en [1] de 1
Comprobación: 2(-1) + 2(5/2) = 3  3 = 3
4.3 MÉTODO DE IGUALACIÓN
El método de igualación se basa en el axioma transitivo de la igualdad de los números
reales:
U = R. a, b, c, ; a = b  b = c  a = c
{ 2x - y = 3
5x – 3y = 1
{ 2x - y = 3
5x – 3y = 1
-6x + 3y = -9
5x – 3y = 1
-x = -8
{ 2x + 2y = 3
-5x + 4y = 15
{ 2x + 2y = 3
-5x + 4y = 15
-4x - 4y = -6
-5x + 4y = 15
-9x = 9

6. Procedimiento:
1. Despejar la variable x de la ecuación [1] y [2].
2. Igual los segundos miembros para hallar el valor de la variable y.
3. Sustituir el valor de y, en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales.
Ejemplo 1: Resolver es siguiente sistema por igualación.
Ejemplo 2: Resolver es siguiente sistema por igualación.
Proposiciones Razones
1. x =
3y + 8
4
Despejando x en la ecuación [1]
2. x =
69 − 6y
9
Despejando x en la ecuación [1]
3.
3𝑦+8
4
=
69 − 6y
9
Axi. Transitivo (=) 1 y 2
4. 27y + 72 = 276 − 24y T: a/c = b/c  a = b: c  0
5. 27y + 24y = 276 − 72 Trasposición de términos
6. 51y = 204 Términos semejantes
7. y =
204
51
 𝑦 = 4 Despeje, simplificación
8. −4x + 3(4) = −8 Sustitución 7 en [1]
9. −4x = −20 Trasposición de términos
10. x = 5 Despeje, simplificación
Proposiciones Razones
1. x =
y
0,3
Despejando x en la ecuación [1]
2. x =
12,4 − 0,4y
0,5
Despejando x en la ecuación [1]
3.
𝑦
0,3
=
12,4 − 0,4y
0,5
Axi. Transitivo (=) 1 y 2
4. 0,5y = 3,72 − 0,12y T: a/c = b/c  a = b: c  0
[1] -4x + 3y =-8
[2] 9x + 6y = 69{
[1] 0,3x - y = 0
[2] 0,5x + 0,4y = 12,4{

7. 4.4 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
El método de sustitución consiste en despejar una variable de alguna de las
ecuaciones, para sustituir en la otra. El procedimiento a seguir es el siguiente:
1. Despeje una de las variables de cualquier ecuación.
2. Sustituya la expresión encontrada en la otra ecuación restante.
3. Sustituya el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones iniciales.
Ejemplo 1: Resolver el sistema:

Comprobación: 5(2,2) – 6(1,5) = 2  2 = 2
5. 0,5y + 0,12y = 3,72 Trasposición de términos
6. 0,62y = 3,72 Términos semejantes
7. y =
3,72
0,62
 𝑦 = 6 Despeje, simplificación
8. 0,3x − 6 = 0 Sustitución 7 en [1]
9. 0,3x = 6 Trasposición de términos
10. x = 20 Despeje, simplificación
Proposiciones Razones
1. 𝑥 =
2+6𝑦
5
Despejando x de la ecuación [1]
2. 2 (
2+6𝑦
5
) − 3𝑦 = −0,1 Sustituyendo este valor de x en [2]
3.
4+12𝑦
5
− 3𝑦 = −0,1 Axi. Distributivo
4. 4 + 12𝑦 − 15𝑦 = −0,5 Resta de fracciones
5. −3𝑦 = −4,5 Términos semejantes
6. 𝑦 = 1,5 Despeje del valor de y
7. 5𝑥 − 6(1,5) = 2 Remplazo de y en la ecuación [1]
8. 𝑥 = 2,2 Despeje del valor de x
[1] 5x/2 - 3y = 1
[2] 2x - 3y = -0,1{
[1] 5x/2 - 3y = 1
[2] 2x - 3y = -0,1{ {[1] 5x - 6y = 2
[2] 2x - 3y = -0,1

8. Ejemplo 1: Resolver el sistema:

Comprobación: 5(-3) + 3(20) = 45  45 = 45
4.5 MÉTODO DE DETERMINANTES (CRAMER)
Determinante: se llama así a la expresión numérica de un conjunto de números,
escritos entre barras en forma de cuadrado. Se representa por: det(A) o A; siendo
A el conjunto de números.
Det(A) = A= |
𝑎1 𝑏1
𝑎2 𝑏2
|
Donde 𝑎1, 𝑎2, 𝑏1 𝑦 𝑏2 se llaman elementos del determinante. Los elementos 𝑎1 𝑦 𝑎2
formas la primera columna y los elementos 𝑏1 𝑦 𝑏2 la segunda columna. Del mismo
modo 𝑎1 𝑦 𝑏1 forman la primera fila y 𝑎2 𝑦 𝑏2 la segunda fila. La diagonal principal
la conforman los elementos 𝑎1 𝑦 𝑏2 mientras que la diagonal secundaria la forman
𝑎2 𝑦 𝑏1.
Para evaluar una determinante de orden dos se usa el siguiente desarrollo, llamado
forma polinómica:
Det(A) = A= |
𝑎1 𝑏1
𝑎2 𝑏2
| = 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1
Proposiciones Razones
1. 𝑦 = 14 − 2x Despejando y de la ecuación [2]
2. 5𝑥 + 3(14− 2𝑥) = 45 Sustituyendo este valor de y en [1]
3. 5𝑥 + 42 − 6𝑥 = 45 Axi. Distributivo
4. −𝑥 = 3 Despeje de la variable x
5. 𝑥 = −3 Multiplicación por (-1)
6. 5(−3) + 3𝑦 = 45 Sustitución del valor de x en [1]
7. 3𝑦 = 45 + 15 Trasposición de termino ]
8. 𝑦 = 20 Despeje del valor de y
{ {
[1] x/3 + y/5 = 3
[2] x/2 + y/4 = 4,25{
[1] x/3 + y/5 = 3
[2] x/2 + y/4 = 4,25
[1] 5x + 3y = 45
[2] 2x + y = 14

9. Método de Cramer: es un método utilizado para resolver sistemas de ecuaciones por
determinantes. Se realiza el siguiente procedimiento:
1. Ordenar el sistema de ecuaciones de modo que en el primer miembro
aparezcan las variables y en el segundo los términos independientes.
2. Se escribe cada solución (x e y) como el cociente de dos determinantes.
3. Evaluar cada uno de los determinantes de las variables.
Ejemplo 1: Resolver el siguiente sistema por determinantes:
𝑥 =
|
18 −4
15 −4
|
|2 −4
3 −4
|
𝑦 =
|
2 18
3 15
|
|2 −4
3 −4
|
𝑥 =
18(−4)−15(−4)
2(−4)−3(−4)
= −3 𝑦 =
2.15−3.18
2(−4)−3(−4)
= −6
Comprobación: 2(-3) – 4(-6) = 18  18 = 18
Ejemplo 2: Resolver el siguiente sistema por determinantes:
𝑥 =
|
95 −7
21 −9
|
|10 −7
−4 −9
|
𝑦 =
|
10 95
−4 21
|
|10 −7
−4 −9
|
𝑥 =
95(−9)−21(−7)
10(−9)−(−4)(−7)
= 6 𝑦 =
10∗21−(−4)∗95
10(−9)−(−4)(−7)
= −5
Comprobación: 10(6) – 7(-5) = 95  95 = 95
[1] 2x - 4y = 18
[2] -4y + 3x = 15{
{[1] 2x - 4y = 18
[2] 3x – 4y= 15
{[1] 10x - 7y = 95
[2] -4x – 9y= 21
[1] 10x/2 - 7y/2 = 95/2
[2] -4x – 9y = 21
{

10. Bibliografía
 Bastidas, P y otros. Teoría de Ecuaciones. Ediciones Ecuafuturo. Quito-
Ecuador.
 Gonzales, M y Mancil, J. Algebra Elemental Moderna (I Y II). Buenos Aires.
Edititorial Kapelusz, Arnentina,