Este documento presenta los conceptos fundamentales de la programación dinámica. Explica que la programación dinámica divide un problema en subproblemas más pequeños y usa las soluciones óptimas de los subproblemas para encontrar la solución óptima del problema original. También define elementos clave como etapas, estados, política y subpolítica, y describe cómo la programación dinámica resuelve problemas de manera recursiva considerando cada etapa de manera secuencial.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Instituto Politécnico Santiago Mariño
Extensión-Maracay
2do corte
Alumno:
Luis Cabanerio
C.I. 26.336.324
Sección SA

2. Introducción
Una subestructura óptima significa que se pueden usar soluciones óptimas
de subproblemas para encontrar la solución óptima del problema en su
conjunto. Por ejemplo, el camino más corto entre dos vértices de un Grafo se
puede encontrar calculando primero el camino más corto al objetivo desde
todos los vértices adyacentes al de partida, y después usando estas
soluciones para elegir el mejor camino de todos ellos. En general, se pueden
resolver problemas con subestructuras óptimas siguiendo estos tres pasos:
• Dividir el problema en subproblemas más pequeños.
• Resolver estos problemas de manera óptima usando este proceso de tres
pasos recursivamente.
• Usar estas soluciones óptimas para construir una solución óptima al
problema original.

3. Definiciones y etapas
En informática, la programación dinámica es un método para reducir el
tiempo de ejecución de un algoritmo mediante la utilización de subproblemas
superpuestos y subestructuras óptimas
Elementos que intervienen en un problema de programación dinámica:
1.- ETAPAS:
Se pueden definir como cada uno de los pasos que se deben seguir para
llegar al objetivo. Las representamos por líneas discontinuas.
2.- ESTADOS:
Son las diversas condiciones posibles en la que el sistema podría estar en
esa etapa del problema. Se representan por círculos.
3.- POLÍTICA:
Es cualquiera de los caminos que llevan de la primera a la última etapa.
4.- SUBPOLÍTICA:
Es un subconjunto de la política.

4. Características
1.- Una de las características esenciales es la toma de decisiones en
secuencia.
2.- El problema se puede dividir en etapas, las cuales requieren de una política
de decisión, en cada una de ellas.
3.- Es necesarios conocer pocos datos para describir el problema en cada
etapa.
4.- La dependencia del resultado de las decisiones de una pequeña cantidad
de variables.
5.- En cualquier etapa, el resultado de una decisión, altera los valores
numéricos de la pequeña cantidad de variables relacionadas con el problema.

5. Esquema de una etapa
ETAPA i
RESTO
E
S
T
A
D
O
S
Qi
X il
….
X ij
….
X iJ
Qi Variable de
estado en la
etapa i
Xij Uno d los
valore que
puede adoptar
la variable de
decisión XI en
la etapa i
XI* Decisión
optima de la
etapa i

6. Formulación y solución de
problemas
La programación dinámica no cuenta con una formulación matemática
estándar, sino que se trata de un enfoque de tipo general para la solución de
problemas, y las ecuaciones específicas que se usan se deben desarrollar
para que representen cada situación individual.
Comúnmente resuelve el problema por etapas, en donde cada etapa
interviene exactamente una variable de optimización (u optimizadora)

7. Para resolver problemas de
programación dinámica se
necesita:
• Un grado de creatividad
• Un buen conocimiento de la estructura general de los problemas de
programación dinámica para reconocer cuando un problema se puede
resolver por medio de estos procedimientos y como esto se puede llevar
a cabo.

8. Características de los
problemas de los programas de
programación dinámica:
• El problema se puede dividir en etapas que requieren una política de
decisión en cada una.
• Cada etapa tiene cierto número de estados asociados a ella.
• El efecto de la política de decisión en cada etapa es transformar el estado
actual en un estado asociado con la siguiente etapa.
• El procedimiento de solución esta diseñado para encontrar una política
óptima para el problema completo.

9. Recursividad
Existen dos formas de plantear la fórmula de recursividad en los
problemas de programación dinámica:
• Recursividad de Retroceso: el problema se resuelva partiendo de la
última etapa hacia la primera.
• Recursividad de Avance: el problema se resuelve partiendo de la
primera etapa hacia la última.
Las formulaciones de avance y retroceso son en realidad equivalentes en
términos de cálculo. Sin embargo, hay situaciones donde habría alguna
diferencia, en la eficiencia del cálculo, según la formulación que se utilice.
Esto sucede en particular en problemas donde intervine la toma de
decisiones conforme transcurre el tiempo. En esto caso las etapas se
designan con base en el estricto orden cronológico de los periodos que
ellas representan y la eficiencia de los cálculos dependerá de si se utiliza
formulación de avance o retroceso.

10. El problema de la diligencia
Un caza fortunas de Missouri decide irse al oeste a unirse a la fiebre del oro
en California . Tiene que hacer el viaje en diligencia a través de territorios sin
ley donde existían serios peligros de ser atacados por merodeadores. Aún
cuando su punto de partida y destino eran fijos, tenia muchas opciones en
cuanto a que estados debía elegir como puntos intermedios. Se desea
estimar la ruta mas segura , como el costo de la póliza para cualquier jornada
de la diligencia esta basada en una evaluación de seguridad del recorrido, la
ruta mas segura debe ser aquella que tenga el costo total mas barato.
¿Cuál es la ruta que minimiza el costo total de la póliza ?

11. Sistema de caminos y los
costos del problema de la
diligencias
A
B
C
C
E
F
G
H
I
J
Missouri
California
2
4
3
5
1
4
4
6
3
7 1
4
6
3
3
3
3
4
Costos de
transición
2 4 3A
B C D
7 4 6
3 2 4
4 1 5
E F G
B
C
D
1 4
6 3
3 3
H I
E
F
G
3
4
H
I
J

12. Arboles binarios de búsqueda
óptimos
Sea A un árbol binario de raíz R e hijos izquierdo y derecho
(posiblemente nulos) HI y HD , respectivamente.
Decimos que A es un árbol binario de búsqueda (ABB) si y solo si se
satisfacen las dos condiciones al mismo tiempo:
• "HI es vacío" {displaystyle lor } lor ("R es mayor que todo
elemento de HI" {displaystyle land } land "HI es un ABB").
• "HD es vacío" {displaystyle lor } lor ("R es menor que todo
elemento de HD" {displaystyle land } land "HD es un ABB").
Donde " {displaystyle land } land" es la conjunción lógica "y", y "
{displaystyle lor } lor" es la disyunción lógica "o".

13. El problema del vendedor
viajero
El problema del vendedor viajero, problema del vendedor ambulante,
problema del agente viajero o problema del viajante (TSP por sus siglas en
inglés (Travelling Salesman Problem)), responde a la siguiente pregunta:
dada una lista de ciudades y las distancias entre cada par de ellas, ¿cuál
es la ruta más corta posible que visita cada ciudad exactamente una vez y
al finalizar regresa a la ciudad origen? Este es un problema NP-Hard
dentro en la optimización combinatoria, muy importante en investigación
operativa y en ciencias de la computación.
El problema fue formulado por primera vez en 1930 y es uno de los
problemas de optimización más estudiados. Es usado como prueba para
muchos métodos de optimización. Aunque el problema es
computacionalmente complejo, se conoce gran cantidad de heurísticas y
métodos exactos, así que es posible resover planteamientos concretos del
problema desde cien hasta miles de ciudades.

14. Estructura de la programación
dinámica
Todo problema de programación dinámica debe reunir los siguientes
pasos:
a.- El problema se divide en etapas, con una política de decisión
requerida en cada etapa.
b.- Cada etapa tiene algunos estados asociados.
c.- Cada problema debe tener una variable de estado; la cual nos
dice todo lo que necesitamos saber sobre el sistema, a fin de tomar
decisiones.
d.- Cada estado debe contar con una decisión, la cual es una
oportunidad para cambiar las variables de estado en una forma
probabilística.
e.- El efecto de una decisión a cada etapa es transformar el estado
corriente (actual), en uno asociado con la próxima etapa.
f.- Dado el estado corriente, la política óptima para las etapas que
quedan es independiente a la política adoptada en etapas
anteriores. En este caso “etapa anterior”, significa tiempo

15. Conclusión
Un problema de optimización que se pueda dividir en etapas y que
sea dinámico en el tiempo puede resolverse por programación
dinámica.
Las soluciones se pueden ver de manera parcial.
Si es posible se validan los resultados usando otros métodos de
solución como programación lineal, no lineal, entera o teoría de redes