El documento trata sobre matemáticas discretas y programación lineal. Las matemáticas discretas estudian estructuras cuyos elementos pueden contarse de forma individual, como conjuntos finitos. La programación lineal busca asignar recursos limitados de forma óptima mediante modelos matemáticos lineales para maximizar beneficios o minimizar costos, sujetos a restricciones.

1. MATEMÁTICA DISCRETA
* UNIVERSIDAD TÉCNICA DEL
NORTE
EDU ALMEIDA RIERA
SEXTO NIVEL FÍSICA Y MATEMÁTICA

2. Las matemáticas discretas son un área de las
matemáticas encargadas del estudio de los
conjuntos discretos: finitos.
la matemáticas discretas estudian estructuras
cuyos elementos pueden contarse uno por uno
separadamente.
La matemática discreta surge como una disciplina
que unifica diversas áreas tradicionales de las
Matemáticas (combinatoria, probabilidad,
geometría de polígonos, aritmética, grafos,...),
como consecuencia de, entre otras cosas, su
interés en la informática y las telecomunicaciones:
la información se manipula y almacena en los
ordenadores en forma discreta (palabras formadas
por ceros y unos)
*MATEMÁTICA DISCRETA

3. Definición de desigualdad.
Solución gráfica de una
desigualdad
Solución gráfica de un
sistema de desigualdades
lineales
DESIGUALDADES Y SISTEMAS
DE DESIGUALDADES LINEALES

4. La programación lineal es una clase de
modelos de programación matemática
destinaos a una asignación eficiente de los
recursos limitados en actividades conocidas,
con el objetivo de satisfacer las metas
deseadas (maximizar beneficios o minimizar
costos). La característica distintiva de los
modelos de PL es que las funciones que
representan el objetivo y las restricciones
son lineales, o sea inecuaciones o
ecuaciones de primer grado
*PROGRAMACIÓN LINEAL

5. La PL tuvo sus orígenes a raíz de la segunda guerra
mundial, cuando George Dantzin realizó
investigaciones y aplicaciones en distintos casos de
operación aéreo–militar.
Leonfiel aportó principalmente en relaciones
interindustriales a través de su matriz insumo-
producto.
Koopmans, incursionó profundamente en aplicaciones
microeconómicas, resolviendo casos de producción,
asignación de recursos, maximización de beneficios y
minimización de costos, entre otras aplicaciones
*PROGRAMACIÓN LINEAL

6. La PL es un modelo sistemático y
matemático de enfocar determinado
problema para lograr una solución
óptima o la mejor posible, empleando
una ecuación objetivo (propósito del
problema), un conjunto de
restricciones lineales (desigualdades) y
una condición de eliminar valores
negativos (condición de no negatividad)
*PROGRAMACIÓN LINEAL

7. Se llama programación lineal al conjunto de
técnicas matemáticas que pretenden resolver
la situación siguiente: Optimizar (maximizar o
minimizar) una función objetivo, función
lineal de varias variables, sujeta a:
una serie de restricciones, expresadas por
inecuaciones lineales.
*PROGRAMACIÓN LINEAL

8. El objetivo básico de la PL es encontrar soluciones
mediante métodos matemáticos, utilizando
sistemas lineales, a problemas de carácter tecno-
económicos que se presentan por la limitación de
recursos.
A través de la PL se pueden resolver problemas
como: combinación óptima de mezclas de
producción, disposición interna de procesos,
maximización de beneficios, localización,
asignación de recursos, minimización de costos,
transporte, industrias, agricultura, construcción,
entre otros.
* OBJETIVOS Y APLICACIONES

9. Linealidad.- Todo proceso, actividad o relación lineal se
identifica con la cantidad unitaria de cada uno de los
factores con respecto a los demás y a las cantidades de
cada uno de los productos.
Divisibilidad.- los procesos pueden utilizarse en
extensiones positivas divisibles mientras se disponga de
recursos.
Finitud.- tanto el número de procesos identificados cuanto
los recursos disponibles, deberán corresponder a
cantidades finitas.
Algoritmos.- utiliza métodos mediante aproximaciones
sucesivas, ensayos, intentos que reciben el nombre de
algoritmos o interacciones según las cuales se determina
pasos o etapas hasta obtener el objetivo planteado
* CONCEPTOS BÁSICOS

10. Los problemas de PL se presentan por la limitación de
recursos que se tratan de distribuir de la mejor forma, de
allí que es necesario distribuirlos adecuadamente en
forma equilibrada y armónica entre los factores que
intervienen, a fin de encontrar las mejores alternativas de
uso, cumpliendo con el objetivo planteado.
Un problema de PL trae implícitamente el sentido de
función, propósito o meta, recursos disponibles y
habilidad o forma para seleccionar, comprar y decidir la
mejor alternativa (decisión).
Los problemas de PL planteados y resueltos por
cualquiera de los métodos deberán cumplir cuatro
condiciones necesarias y suficientes:
* EL PROBLEMA GENERAL DE
LA PROGRAMACIÓN LINEAL

11. Es la ecuación que expresa la cantidad que va a ser
maximizada o minimizada según el objetivo
planteado y es de la forma:
𝒁 = 𝑪𝟏𝑿𝟏 + 𝑪𝟐𝑿𝟐 + 𝑪𝟑𝑿𝟑 + 𝑪𝟒𝑿𝟒 + ⋯ 𝑪𝒏𝑿𝒏
𝒁 𝒎á𝒙 para los casos de maximización
𝒁 𝒎í𝒏 para los casos de minimización
𝑪𝟏, 𝑪𝟐, 𝑪𝟑, 𝑪𝟒, … … . , 𝑪𝒏 Coeficientes de la función
objetivo, pueden ser márgenes de beneficio, precios,
costos unitarios, otros.
𝑿𝟏, 𝑿𝟐, 𝑿𝟑, 𝑿𝟒, … … . , 𝑿𝒏 Variables del problema, lo que
queremos lograr.
*1° FUNCIÓN OBJETIVO

12. Es el conjunto de inecuaciones o ecuaciones que expresan
las condiciones finitas del problema, denominados
COEFICIENTES TÉCNICOS de producción, tecnológicos, de
transporte, entre otros según el caso.
𝑨𝟏𝟏𝑿𝟏 + 𝑨𝟏𝟐𝑿𝟐 + 𝑨𝟏𝟑𝑿𝟑 + ⋯ 𝑨𝟏𝒏𝑿𝒏 𝑻𝟏 𝒃𝟏
𝑨𝟐𝟏𝑿𝟏 + 𝑨𝟐𝟐𝑿𝟐 + 𝑨𝟐𝟑𝑿𝟑 + ⋯ 𝑨𝟐𝒏𝑿𝒏 𝑻𝟐 𝒃𝟐
𝑨𝟑𝟏𝑿𝟏 + 𝑨𝟑𝟐𝑿𝟐 + 𝑨𝟑𝟑𝑿𝟑 + ⋯ 𝑨𝟑𝒏𝑿𝒏 𝑻𝟑 𝒃𝟑
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
𝑨𝒎𝟏𝑿𝟏 + 𝑨𝒎𝟐𝑿𝟐 + 𝑨𝒎𝟑𝑿𝟑 + ⋯ 𝑨𝒎𝒏𝑿𝒏 𝑻𝒏 𝒃𝒏
Donde 𝑨𝟏𝟏, 𝑨𝟏𝟐, 𝑨𝟏𝟑, … 𝑨𝟏𝒏 son los coeficientes técnicos
𝑿𝟏, 𝑿𝟐, 𝑿𝟑, … 𝑿𝒏 son variables o incógnitas del problema
𝑻𝟏, 𝑻𝟐, 𝑻𝟑, … 𝑻𝒏 son signos o límites del sistema
≤ menor o igual que, ≥ mayor o igual que, = igual
𝒃𝟏, 𝒃𝟐, 𝒃𝟑, … 𝒃𝒏 son disponibilidades
* 2° LIMITACIONES Y RESTICCIONES

13. Es la resolución de los problemas
de PL, en ningún caso se
aceptarán resultados negativos en
las respuestas, pues, no se
concibe producción negativa,
gastos negativos, tendrán que ser
por lo menos igual o mayor que
cero 𝑿𝒏 ≥ 𝟎
* 3° NO NEGATIVIDAD

14. Se van obteniendo por aproximaciones
sucesivas
Solución factible.- es aquella que satisface
las limitaciones y restricciones del
problema
Solución básica factible.- es aquella que
satisface tanto las limitaciones o
restricciones como la función objetivo del
problema. (optimización)
* 4° CONDICIONES DE OPTIMIZACIÓN

15. La función f(x,y) = ax + by + c llamada función objetivo y que
es necesario optimizar. En esa expresión x e y son las variables
de decisión, mientras que a, b y c son constantes.
Las restricciones que deben ser inecuaciones lineales. Su
número depende del problema en cuestión. El carácter de
desigualdad viene impuesto por las limitaciones,
disponibilidades o necesidades, que son: inferiores a ... (
menores: < o ); como mínimo de ... (mayores: > o ) . Tanto si se
trata de maximizar como de minimizar, las desigualdades
pueden darse en cualquiera de los dos sentidos.
Al conjunto de valores de x e y que verifican todas y cada una
de las restricciones se lo denomina conjunto (o región )
factible. Todo punto de ese conjunto puede ser solución del
problema; todo punto no perteneciente a ese conjunto no
puede ser solución. En el apartado siguiente veremos como se
determina la región factible.
La solución óptima del problema será un par de valores (x0, y0)
del conjunto factible que haga que f(x,y) tome el valor máximo
o mínimo.
* EN LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
INTERVIENEN

16. Una región factible está acotada cuando la solución
gráfica de las inecuaciones forman un polígono
determinado por las intersecciones de las mismas,
cuando es acotado podemos obtener un máximo.
Cuando la región factible no está acotada la única
solución que podemos obtener es un mínimo.
La región factible incluye o no los lados y los vértices,
según que las desigualdades sean en sentido amplio ( o ) o
en sentido estricto (< o >).
* SOLUCIÓN ACOTADA Y NO ACOTADA

18. Construimos una tabla con los datos del enunciado
*
Región factible no acotada
Mayorista A Mayorista B Disponible
Naranjas 8 2 16
Plátanos 1 1 5
Manzanas 2 7 20
Distancia 150 300

19. * Expresamos con ecuaciones e inecuaciones
lineales la información descrita

20. *

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