Este documento describe la programación no lineal, que involucra optimizar funciones no lineales sujetas a restricciones. Explica que la programación no lineal es más general que la programación lineal y puede modelar problemas del mundo real con mayor precisión. También resume varios métodos para resolver problemas de programación no lineal, como el uso de algoritmos de programación lineal, ramificación y poda, y condiciones de Karush-Kuhn-Tucker.

1. Programación No Lineal
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la Educación Superior
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Optimización de sistemas y funciones
Integrante
Fernando Yepez

2. INTRODUCCIÓN
La Programación no Lineal (PNL) es una
parte de la Investigación Operativa cuya
misión es proporcionar una serie de
resultados y técnicas tendentes a la
determinación de puntos óptimos para una
función (función objetivo) en un
determinado conjunto (conjunto de
oportunidades), donde tanto la función
objetivo, como las que intervienen en las
restricciones que determinan el conjunto de
oportunidades pueden ser no lineales.

3. Estructura Del Problema
Los problema puede ser
muy variada, según las funciones
que en él intervengan (a
diferencia de la Programación
Lineal (PL) donde la forma
especial del conjunto de
oportunidades y de la función
objetivo permiten obtener
resultados generales sobre las
posibles soluciones y facilitan los
tratamientos algorítmicos de los
problemas

4. Programación No Lineal
• Definición
Proceso de resolución de un sistema de
igualdades y desigualdades sujetas a un
conjunto de restricciones sobre un conjunto de
variables reales desconocidas, con un función
objetivo a maximizar (o minimizar), cuando
alguna de las restricciones o la función objetivo
no son lineales.

5. Formulación matemática del problema
• El problema de programación no lineal puede
enunciarse de una forma muy simple:
Maximizar una función objetivo
•
Minimizar una función objetivo (de coste)
Donde

6. Métodos de resolución del problema
• Si la función objetivo f es lineal y el espacio
restringido es un politopo, el problema es de
Programación lineal y puede resolverse utilizando
alguno de los bien conocidos algoritmos de
programación lineal.
• Si la función objetivo es cóncava (problema de
maximización), o convexa (problema de
minimización) y el conjunto de restricciones es
convexo, entonces se puede utilizar el método
general de Optimización convexa

7. Métodos de resolución del problema
• Existe una variedad de métodos para resolver problemas
no convexos. Uno de ellos consiste en utilizar formulaciones
especiales de problemas de programación lineal.
• Otro método implica el uso de técnicas de Ramificación y
poda, cuando el problema se divide en subdivisiones a
resolver mediante aproximaciones que forman un límite
inferior del coste total en cada subdivisión.
• Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker proporcionan las
condiciones necesarias para que una solución sea óptima.

8. Tipos de problemas de programación
no lineal
Optimización no restringida.
Optimización linealmente restringida.
Programación cuadrática
Programación convexa.
Programación separable.
Programación no convexa.
Programación geométrica.
Programación fraccional.
Problema de complementariedad.

9. Programación Nolineal
(Non Linear Programming NLP)
• NLP: Conjunto de técnicas para optimizar funciones no-lineales sujetas a
restricciones de igualdad o desigualdad. Tanto las funciones como las
restricciones pueden ser de una o más variables
Formulación general de un problema de optimización
• Encontrar x tal que
se minimice una función objetivo f(x)
sujeto a restricciones: gi(x) = bi (i=1,…, m)
gj(x)  bj (j=m,…, k)
Donde
x es un vector de n variables independientes

10. Tipos de Problemas No-lineales
• Sin restricciones • Con restricciones
Tamaño de los Problemas
• Una forma de medir la complejidad de los problemas es en función del
número de variables o del número de restricciones
• Pequeña Escala: hasta 5 variables y restricciones  puede ser
resuelto a mano
• Escala intermedia: de 5 a 100 variables y restricciones 
Computador Personal o Servidor de Propósito General
• Gran Escala: más de 100 y quizás 1000 variables y restricciones 
Mainframe para cálculo científico (cray), explotando la estructura del
problema con algoritmos paralelos

11. Programación Lineal Programación No Lineal
Variables elevadas al
exponente 1.
Elevadas al exponente n.
Número producto de
variables
Si hay productos de
variables
Proporcionalidad No siempre hay
proporcionalidad
Solución óptima es
factible
No siempre es factible
Aditividad
DIFERENCIAS ENTRE PROGRAMACIÓN LINEAL Y PROGRAMACIÓN
NO LINEAL

12. FORMA ESTANDAR DEL MÓDELO
Sujeta a las restricciones:
a11x1 + a12x2 +….+ a1nxn < b1
a21x1 + a22x2 +….+ a2nxn < b2
am1x1 + am2x2 +….+ amnxn < bm
X1 ³ 0, X2 ³0, …, Xn ³0.
En Datos necesarios para un modelo de
programación lineal que maneja la asignación
de recursos a actividades particular, este
modelo consiste en elegir valores de
x1,x2,….,xn
Para: Optimizar (maximizar o minimizar)
Z = c1x1 + c2x2 +….+ cnxn.
• FUNCIÓN CÓNCAVA:
Función cóncava: en ese punto si f”(x) <0.
Función estrictamente cóncava: si f”(x) <0.
Función cóncava: si f”(x) <= 0.
• EJEMPLO
Una compañía importa aceite de coco de su pueblo natal. Usa este
aceite para poder producir 2 clases de crema; tostado y quemado. El
precio por libra de lo que pueda vender depende de la cantidad que
produzca. En concreto si la compañía produce x1 Libras de tostado y x2
Libras de quemado, podrá vender todo lo que produzca a los
siguientes precios en dólares:
Precio/libra de tostado: = 80 -3 x1
Precio/libra de quemado:= 60-2×2
El costo de fabricación de x1 de pan tostado y x de quemado es: 12×1+
8×2+ 4×1+ x2
Suponiendo que puede vender todo lo que produzca, la compañía
desea determinar cuantas libras da cada crema debe programar el la
producción que maximice su ganancia.
Condiciones de Concavidad y Convexidad
• FUNCIÓN CONVEXA:
Función convexa: en ese punto si g”(x)>0.
Función estrictamente convexa: en ese punto si g”(x) <0.
Función convexa: si g´(x)>=0.

13. MÉTODO DE RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA
Si la función objetivo f
es lineal y el espacio
restringido es un poli
topo, el problema es
de Programación lineal
y puede resolverse
utilizando alguno de
los bien conocidos
algoritmos de
programación lineal.
Existe una variedad de métodos
para resolver problemas no
convexos. Uno de ellos consiste
en utilizar formulaciones
especiales de problemas de
programación lineal.
Otro método implica el
uso de técnicas de
Ramificación y poda,
cuando el problema se
divide en subdivisiones a
resolver mediante
aproximaciones que
forman un límite inferior
del coste total en cada
subdivisión. Mediante
subdivisiones sucesivas,
se obtendrá una solución
cuyo coste es igual o
inferior que el mejor
limite inferior obtenido
por alguna de las
soluciones aproximadas.
Esta solución es óptima, aunque posiblemente no sea
única. El algoritmo puede ser parado antes, con la
garantía de que la mejor solución será mejor que la
solución encontrada en un porcentaje acotado. Ello
se utiliza en concreto en problemas importantes y
especialmente difíciles y cuando el problema cuenta
con costes inciertos o valores donde la incertidumbre
puede ser estimada en un grado de fiabilidad
apropiado.
Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker
proporcionan las condiciones necesarias para que
una solución sea óptima.
Si la función objetivo es
cóncava (problema de
maximización), o convexa
(problema de
minimización) y el
conjunto de restricciones
es convexo, entonces se
puede utilizar el método
general de Optimización
convexa

14. PROGRAMACÓN NO LINEAL RESTRINGIDA
Los problemas de optimización no
restringida no tienen restricciones,
por lo que la función objetivo es
sencillamente
Maximizar f(x)
sobre todos los valores x=
(x1, x2,…,xn). Según el repaso del
apéndice 3, la condición necesa-
ria para que una solución específica
x = x* sea óptima cuando f(x) es
una función diferenciable es
Cuando f (x) es cóncava, esta
condición también es suficiente,
con lo que la obtención de x* se
reduce a resolver el sistema de
las n ecuaciones obtenidas al
establecer las n derivadas parciales
iguales a cero. Por desgracia,
cuando se trata de funciones no
lineales f (x), estas ecuaciones
suelen ser no lineales también, en
cuyo caso es poco probable que se
pueda obtener una solución
analítica simultánea.
¿QUÉ SE PUEDE HACER EN ESE CASO? Las
secciones 13.4 y 13.5 describen procedimientos
algorítmicos de búsqueda para encontrar x* primero
para n = 1 y luego para n > 1. Estos procedimientos
también tienen un papel importante en la solución de
varios tipos de problemas con restricciones, que se
describirán en seguida. La razón es que muchos algo-
ritmos para problemas restringidos están construidos de
forma que se adaptan a versiones no restringidas del
problema en una parte de cada iteración.
Cuando una variable Xj tiene una
restricción de no negatividad, x- >
0, la condición necesaria (y tal vez)
suficiente anterior cambia
ligeramente a
para cada j de este tipo. Esta
condición se ilustra en la figura
13.11, donde la solución óptima de
un problema con una sola variable
es x= 0 aun cuando la derivada ahí
es negativa y no cero. Como este
ejemplo tiene una función cóncava
para maximizar sujeta a una
restricción de no negatividad, el
que su derivada sea menor o igual
a 0 en # = 0, es una condición
necesaria y suficiente para
que x= 0 sea óptima.
Un problema que
tiene algunas
restricciones de no
negatividad y que no
tiene restricciones
funcionales es un
caso especial (m =
0) de la siguiente
clase de problemas.

15. EJEMPLOS DE PROGRAMACION NO LINEAL
 Respuesta: Si consideramos como variables de decisión
X e Y que correspondan a las respectivas coordenadas
de la bodega a instalar, se puede definir el siguiente
modelo de optimización no lineal sin restricciones,
donde la siguiente función objetivo de minimización de
distancia (Min f(x,y))
Existen múltiples aplicaciones típicas para modelos no lineales. A continuación se resume una
• Localización de Instalaciones: Considere
que una empresa distribuidora de
productos farmacéuticos requiere
determinar la localización de una bodega
que funcionará como centro de
distribución y abastecimiento para sus
locales en el país. En especial se busca
estar a la menor distancia de los 3
principales locales de venta al público
denominados A, B y C, respectivamente.
Las coordenadas geográficas de dichos
locales se presentan en el siguiente
gráfico:
Formule y resuelva un modelo de
optimización que permita determinar la
localización óptima de la bodega y que
minimize la distancia a los distintos locales
de la empresa. Asuma que la bodega puede
ser ubicada en cualquier coordenada o punto
del mapa.

16. Planteamiento de problemas de Programación no lineal y optimización
Una suposición importante de programación lineal es que todas sus funciones (Función
objetivo y funciones de restricción) son lineales. Aunque, en esencia, esta suposición se
cumple para muchos problemas prácticos, es frecuente que no sea así. De hecho, muchos
economistas han encontrado que cierto grado de no linealidad es la regla, y no la excepción,
en los problemas de planeación económica, por lo cual, muchas veces es necesario manejar
problemas de programación no lineal.
De una manera general, el problema de
programación no lineal consiste en
encontrar x=(x1,x2,…,xn) para
maximizar ƒ(x),
No se dispone de un algoritmo que resuelva
todos los problemas específicos que se ajustan
a este formato. Sin embargo, se han hecho
grandes logros en lo que se refiere a algunos
casos especiales, haciendo algunas
suposiciones sobre las funciones, y la
investigación sigue muy activa.