Este documento presenta conceptos básicos sobre optimización de sistemas y funciones, incluyendo la programación lineal, funciones objetivo, restricciones, soluciones factibles y óptimas. También describe formas en que una función objetivo que involucra dos variables puede tener ninguna solución óptima, exactamente una solución óptima o una infinidad de soluciones óptimas. Además, presenta el procedimiento general para resolver problemas de optimización.

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
I.U.P. “Santiago Mariño”
Escuela de Sistemas
Autor:
Argenis León
C.I: 13.134.766
Maracay – Noviembre de 2016
Optimización de Sistemas y funciones

2. Conceptos Básicos
La programación lineal: Estudia las situaciones en las que se
exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a
determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.
Función objetivo: La programación lineal consiste en optimizar
(maximizar o minimizar) una función objetivo, que es una función
lineal de varias variables:
f(x,y) = ax + by.

3. Restricciones: La función objetivo está sujeta a una serie
de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales:
a1x + b1y ≤ c1
a2x + b2y ≤c2
anx + bny ≤cn
Solución factible: El conjunto intersección, de todos los
semiplanos formados por las restricciones, determina un recinto,
acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona
de soluciones factibles.
Conceptos Básicos

4. Conceptos Básicos
Solución óptima: El conjunto de los vértices del recinto
se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el
vértice donde se presenta la solución óptima se
llama solución máxima (o mínima según el caso).

5. Valor del programa lineal: El valor que toma la función
objetivo en el vértice de solución óptima se llama valor del
programa lineal.
Variables de decisión y parámetros: Las variables de decisión
son incógnitas que deben ser determinadas a partir de la solución
del modelo. Los parámetros representan los valores conocidos
del sistema o que se pueden controlar. Las variables de decisión
se representan por: X1, X2, X3,…, Xn ó Xi, i = 1, 2, 3,…, n.
Conceptos Básicos

6. Se tiene un alambre de 1 m de longitud y se desea dividirlo
en dos trozos para formar con uno de ellos un círculo y con el
otro un cuadrado. Determinar la longitud que se ha de dar a
cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del
círculo y del cuadrado sea mínima.
Formulación de un problema de Optimización

7. Formas de la Función Objetivo
Función Objetivo: La función objetivo es una relación matemática entre
las variables de decisión, parámetros y una magnitud que representa el
objetivo o producto del sistema. Es la medición de la efectividad del
Modelo formulado en función de las variables.
Determina lo que se va optimizar (Maximizar o Minimizar).
La solución ÓPTIMA se obtiene cuando el valor de la Función
Objetivo es óptimo (valor máximo o mínimo), para un conjunto
de valores factibles de las variables. Es decir, hay que reemplazar las
variables obtenidas X1, X2, X3,…, Xn; en la Función Objetivo Z
= f (C1X1, C2X2, C3X3,…, CnXn) sujeto a las restricciones del modelo
matemático.

8. Por ejemplo, si el objetivo es minimizar los costos de operación, la
función objetivo debe expresar la relación entre el costo y las
variables de decisión, siendo el resultado el menor costo de
las soluciones factibles obtenidas. Trazar la recta de la función
objetivo en la grafica nos permite identificar de forma más objetiva la
solución óptima del modelo de PL. Para obtener la solución óptima
se siguen los siguientes pasos:
Seleccionar cualquier punto dentro de la región factible, tomando en cuenta a la
ecuación de la función objetivo. Trazar la recta de la función objetivo a través del
punto elegido. Determinar el lado de mejora de la recta de la función objetivo.
Mover la recta de la función objetivo en forma paralela a sí misma en la dirección de
mejora hasta que la recta esté a punto de dejar la región factible. (El punto extremo
final es la solución óptima al modelo de PL..) Calcular los valores de las variables en
la solución óptima resolviendo las dos ecuaciones de las dos rectas que pasan por
ese punto.
Formas de la Función Objetivo

9. Un problema de programación lineal que involucra la optimización de
una función de dos variables puede tener:
Ninguna solución óptima
Exactamente una solución óptima
Una infinidad de soluciones óptimas
Formas de la Función Objetivo

10. Ninguna solución óptima: Se identifican infinidad de soluciones
factibles pero ningún punto como solución óptima, porque siempre habrá
una mejor solución por ser un problema no-acotado.
Formas de la Función Objetivo

11. No se identifica región de soluciones factibles por lo tanto tampoco
solución óptima. Es un problema que no tiene solución.
Formas de la Función Objetivo

12. Exactamente una solución óptima: Se identifican infinidad de
soluciones factibles pero solo un punto como solución óptima.
Formas de la Función Objetivo

13. Se identifica un punto y solo un punto como punto factible por lo tanto,
ese punto es la solución óptima.
Formas de la Función Objetivo

14. Una infinidad de soluciones óptimas: Se identifican infinidad de
soluciones factibles y además soluciones óptimas múltiples.
Formas de la Función Objetivo

15. Procedimiento General para Resolver un Problema de Optimización
Un problema de optimización puede ser representado de la siguiente
forma
Dada: una función f : A R.
Buscar: un elemento x0 en A tal que f(x0) ≤ f(x) para
todo x en A ("minimización") o tal que f(x0) ≥ f(x) para
todo x en A ("maximización").
Típicamente, A es algún subconjunto del espacio euclídeo Rn, con
frecuencia delimitado por un conjunto de restricciones, igualdades o
desigualdades que los elementos de A tienen que satisfacer.
El dominio A de f es llamado el espacio de búsqueda o el conjunto de
elección, mientras que los elementos de A son llamados soluciones
candidatas o soluciones factibles.

16. Procedimiento General para Resolver un Problema de Optimización
La función f es llamada, diversamente, función objetivo, función de
costo (minimización), función de utilidad (maximización), función de
utilidad indirecta (minimización), o, en ciertos campos, función de
energía, o energía funcional. Una solución factible que minimice (o
maximice, si este es el propósito) la función objetivo, es llamada
una solución óptima.
Por convenio, el formato estándar de un problema de optimización está
declarado en términos de minimización. Generalmente, a menos que
ambas, la función objetivo y la región factible sean convexas en un
problema de minimización, puede haber varios mínimos locales, donde
un mínimo local x* se define como un punto para el cual existe algún δ
> 0, donde para todo x tal que la expresión es verdadera.

17. Procedimiento General para Resolver un Problema de Optimización
Es decir, en alguna región alrededor de x* todos los valores de la
función son mayores que o iguales al valor en ese punto. El máximo
local se define de modo similar. Un gran número de algoritmos
propuestos para resolver problemas no-convexos – incluyendo a la
mayoría de los solucionadores disponibles comercialmente – no son
capaces de hacer una distinción entre soluciones óptimas locales y
soluciones óptimas rigurosas, y tratan a las primeras como soluciones
actuales del problema original.

18. Métodos de Optimización
Los métodos de optimización es una rama de las matemáticas que
consistente en el uso de modelos matemáticos, estadísticos y
algoritmos con objeto de realizar un proceso de toma de decisiones.
Frecuentemente trata del estudio de complejos sistemas reales, con la
finalidad de mejorar (u optimizar) su funcionamiento.