SEXTA UNIDAD 2021.pdf

RESISTENCIA DE MATERIALES I
ING. MILAGROS GUILLÉN MÁLAGA
IV SEMESTRE

RESISTENCIA DE
MATERIALES I
6.1. Flexión pura y flexión no uniforme
6.2. Curvatura de una viga
6.3. Deformaciones unitarias longitudinales en
vigas
6.4. Esfuerzos normales longitudinales en vigas
6.5. Diseño de vigas para esfuerzos de flexión
6.6. Esfuerzos cortantes en vigas
SEXTA UNIDAD
ESFUERZOS EN VIGAS

6.1. FLEXIÓN PURA Y FLEXIÓN NO
UNIFORME
Para obtener las deformaciones en las vigas es necesario determinar
la diferencia entre flexión pura y flexión no uniforme.
Flexión no uniforme: se refiere a
la flexión en presencia de fuerzas
cortantes, lo que significa que el
momento flexionante varía a lo
largo del eje de la viga.
Flexión Pura: se refiere a la
flexión de una viga bajo un
momento flexionante constante, lo
que significa que V = 0.

6.2. CURVATURA DE UNA VIGA
Las cargas laterales que actúan sobre
una viga provocan que ésta se flexione,
deformándose el eje longitudinal de la
misma en una línea curva.
Las deformaciones unitarias y los
esfuerzos en la viga están relacionados
directamente con la curvatura de la
curva de deflexión.
Considerando dos puntos m1 y m2 sobre
la curva elástica, el punto m1 se localiza
a una distancia x del eje y, y el punto
m2 a una pequeña distancia ds de m1.
Se traza una normal a la tangente de la
curva elástica en cada uno de estos
puntos, las que se intersectan en el
centro de curvatura de la elástica O’.

Del cálculo y geometría analítica:


1

Donde:
ρ = radio de curvatura = distancia desde el centro de curvatura hasta
la curva misma.
κ = curvatura = recíproco del radio de curvatura.
De la geometría de la figura, se tiene:
ds
d
ds
d







Donde:
dθ = pequeño ángulo entre las normales
ds = distancia a lo largo de la curva
entre las normales

dx
ds 






1
1




dx
d
dx
d
ds
d
Si las deflexiones de la viga son pequeñas:
Por tanto, se tiene:
En general, la curvatura varía a lo largo del
eje de la viga, es decir, κ es función de x.
Convención de signos:
M (+)
Curvatura (-)
M (-)
Curvatura (+)

6.3. DEFORMACIONES UNITARIAS
LONGITUDINALES EN VIGAS
Las deformaciones internas en una
viga, consideran la curvatura de
la misma.
Dada la porción ab de una viga en
flexión pura, producida por
momentos Mo (-), las direcciones
de los momentos Mo producen
curvatura positiva de la viga
deformada. La viga se deforma en
el plano xy y su eje se flexiona a
una curvatura circular. Las
secciones transversales de la viga
mn y pq permanecen planas y
perpendiculares a las líneas
longitudinales o fibras de la viga.

Debido a las deformaciones por
flexión, las fibras longitudinales
del lado convexo de la viga se
alargan, pues trabajan a
tracción; mientras que las del
lado cóncavo se acortan, pues
se encuentran a compresión.
En algún lugar entre la parte
superior e inferior de la viga se
localiza una superficie en la que
las fibras longitudinales no
modifican su longitud, a la cual
se denomina superficie neutra
de la viga (ss) y su intersección
con cualquier plano normal se
llama eje neutro de la sección
transversal.

La distancia inicial dx entre los
planos mn y pq no varía en la
superficie neutra, por lo que ρ dθ =
dx. Las demás fibras longitudinales
se alargan o se acortan, originando
deformaciones longitudinales εx, que
deben evaluarse. Considerando una
fibra longitudinal típica ef,
localizada a una distancia y de la
superficie neutra, la longitud L1 de
esta fibra es:

 d
y
L )
(
1 



dx
d 
dx
y
dx
L



1
dx
d 
 


Como la longitud inicial de ef es dx,
su alargamiento es L1 – dx, o sea –
y dx / ρ. La deformación unitaria
εx correspondiente será:
y
y
dx
dx
y
dx
dx
L
x
x













 1
κ = curvatura
Ecuación que establece que las deformaciones longitudinales en la viga son
proporcionales a la curvatura y que varían linealmente con la distancia ”y”
desde la superficie neutra. Es válida independientemente del perfil del
diagrama esfuerzo-deformación del material, pues se dedujo de la
geometría de la viga deformada.

Las deformaciones axiales εx se
acompañan por deformaciones laterales o
transversales εz por los efectos de la
relación de Poisson. Las deformaciones
εx positivas por encima de la superficie
neutra ss van acompañadas por
deformaciones transversales negativas,
mientras que bajo el eje neutro las
deformaciones transversales son
positivas.

Donde:
ν = módulo de Poisson
y
x
z 

 


O’’ = centro de curvatura de los lados
de la sección transversal deformada,
que se encuentra por arriba de la viga.
ρ1 = radio de curvatura transversal >
ρ en la misma proporción en que εx es
numéricamente mayor que εz.



 
1 
 
1
Donde κ1 = 1/ ρ1 es la
curvatura transversal.
En la figura, la curvatura longitudinal
en el plano xy es positiva, mientras
que la curvatura transversal en el
plano yz es negativa, adquiriendo la
superficie superior de la viga la
forma de una silla de montar.

Cuando una superficie tiene curvaturas
de signos opuestos, como en el caso de
la silla de montar se dice que tiene
curvatura anticlástica, mientras que si
las curvaturas son del mismo signo,
como en un domo o cúpula, la curvatura
es sinclástica.

6.4. ESFUERZOS NORMALES
A partir de las deformaciones normales εx
se puede obtener los esfuerzos σx que
actúan perpendiculares a la sección
transversal de una viga. Si el material
cumple la ley de Hooke, para esfuerzos
uniaxiales, se obtiene:
x
x E
  y
x 
 

y
E
x 

 

Es decir que los esfuerzos normales que actúan sobre la sección
transversal varían linealmente con la distancia y medida a partir de la
superficie neutra. Los esfuerzos son negativos (de compresión) por
debajo de la superficie neutra y positivos (de tracción) por arriba de
ella, cuando el momento Mo aplicado actúa en la dirección señalada.

Considérese un elemento de área dA
en la sección transversal de la viga a
una distancia y desde el eje neutro. La
fuerza que actúa sobre el elemento es
normal a la sección transversal y tiene
una magnitud σx dA. Como no actúa
ninguna fuerza normal a la sección
transversal, la integral de σx dA sobre
toda el área de la sección debe ser
nula. Así:
  


 ydA
E
dA
x 

0


  ydA
E
Como κ y E son constantes, entonces: 0


 dA
y
Que establece que el primer momento del área de la sección transversal
con respecto del eje z es cero, por lo que el eje z debe pasar por el
centroide de la sección transversal.

Se puede concluir que el eje neutro pasa a través del centroide del área
de la sección transversal, cuando el material de la viga cumple con la ley
de Hooke. Como el eje y es un eje de simetría, se puede afirmar que
también es un eje principal, por lo que los ejes y y z son ejes
centroidales principales.
Considerando el momento resultante
de los esfuerzos σx que actúan sobre
la sección transversal, la fuerza
elemental σx dA sobre el elemento
dA actúa en la dirección positiva del
eje x cuando σx es positivo, y
viceversa. Por tanto, su momento
respecto al eje z, que representa la
contribución infinitesimal de σx dA al
momento Mo es:
ydA
dM x


0

La integral de estos momentos elementales sobre toda el área de la
sección transversal debe conducir al momento total Mo:
Al tener en cuenta que el momento flexionante M = - Mo y al sustituir
σx, se obtiene:


 ydA
M x

0
Que puede expresarse de la siguiente forma:
EI
M
I
dA
y






2

 


 dA
y
E
ydA
M x
2



I = momento de inercia del área de la sección transversal con respecto
al eje z (esto es, con respecto al eje neutro).
La ecuación puede expresarse como:
Esta ecuación establece que la curvatura del eje longitudinal de una viga
es proporcional al momento flexionante M e inversamente proporcional a
la cantidad EI o rigidez a la flexión de la viga.
Se puede concluir que un momento flexionante positivo produce curvatura
negativa y un momento flexionante negativo produce curvatura positiva.
EI
M








1
1

Al sustituir la expresión para la curvatura en la expresión σx, se tiene:
I
My
EI
M
Ey
Ey
y
E
x
x
x
x












Esta ecuación, denominada fórmula de la
flexión, establece que los esfuerzos son
proporcionales al momento flexionante M
e inversamente proporcionales al
momento de inercia I de la sección
transversal.
Los esfuerzos varían linealmente con la distancia “y” desde el eje neutro.

Si sobre la viga actúa un momento flexionante positivo, los esfuerzos
son positivos (tracción) sobre la porción de la viga en la que “y” es
positiva. Si actúa un momento negativo, se producen esfuerzos
negativos (compresión) donde “y” es positiva.
Los esfuerzos máximos de tensión y compresión en la viga se
presentan en los puntos más alejados del eje neutro.

1
1
1
S
M
I
Mc



2
2
2
S
M
I
Mc





Donde:
c1 y c2 son las distancias desde el eje neutro hasta las fibras
extremas en las direcciones y positiva y negativa , respectivamente.
1
1
c
I
S 
2
2
c
I
S 
S1 y S2 son los módulos de sección del
área transversal y tienen dimensiones
de longitud a la tercera potencia. Si el
momento flexionante M es positivo el
esfuerzo σ1 es de tracción y σ2 es de
compresión. Si el momento M es
negativo, los esfuerzos se invierten.

Si la sección transversal es simétrica respecto del eje z, entonces c1 =
c2 = c y los esfuerzos de tracción y compresión máximos son
numéricamente iguales.
I
Mc


 2
1 

S
M


 2
1 

Donde:
c
I
S 

En flexión no uniforme, la presencia
de fuerzas cortantes provoca alabeo
de las secciones transversales; así,
una sección que es plana antes de la
flexión no es del todo plana después
de ella.
El alabeo debido a cortante complica
enormemente el comportamiento de la
viga, pero análisis más laboriosos
demuestran que los esfuerzos normales
σx calculados con la fórmula de la
flexión no se alteran
significativamente por la presencia de
esfuerzos cortantes y el alabeo
respectivo.
I
My
x 

Fórmula de la Flexión

6.5. DISEÑO DE VIGAS PARA ESFUERZOS
DE FLEXIÓN
Para seleccionar una viga, es conveniente
determinar el módulo de sección requerido S,
tal que los esfuerzos reales en la viga no
excedan los esfuerzos permisibles, teniendo
en cuenta únicamente los esfuerzos por
flexión. El módulo de sección requerido S se
obtiene dividiendo el momento flexionante
máximo entre el esfuerzo permisible.
σperm = esfuerzo nominal máximo permisible,
basado en las propiedades del material y la
magnitud del factor de seguridad.
Para minimizar el peso de una viga y con ello
ahorrar material, es práctica común
seleccionar una viga que tenga no sólo el
módulo de sección requerido, sino también la
menor área transversal.
perm
máx
M
S



6.6. ESFUERZOS CORTANTES EN VIGAS
Cuando una viga se somete a flexión no uniforme, actúan
simultáneamente momentos flexionantes M y fuerzas cortantes V
sobre la sección transversal. Los esfuerzos normales σx asociados con
los momentos flexionantes se obtienen de la fórmula de la flexión.
Adicionalmente existirán esfuerzos cortantes asociados con la fuerza
cortante V.
2.3.6.1. Esfuerzos Cortantes en Vigas de Sección Rectangular:
Considerando una viga de sección
transversal rectangular de ancho b y
altura h, es posible suponer que
probablemente los esfuerzos
cortantes τ actúan paralelos a la
fuerza cortante V, y además que la
distribución de los esfuerzos
cortantes es uniforme a lo ancho de
la viga.

Recortando un pequeño elemento de la viga entre dos secciones
transversales adyacentes y entre dos planos paralelos a la superficie
neutra, tal como el elemento mn, los esfuerzos cortantes que actúan
sobre un lado del elemento se acompañan por esfuerzos cortantes de
igual magnitud que actúan sobre caras perpendiculares del elemento,
por lo que se presentan esfuerzos cortantes horizontales entre capas
horizontales de la viga, así como esfuerzos cortantes transversales
sobre las secciones transversales verticales. En algún punto de la viga
estos esfuerzos cortantes complementarios son iguales en magnitud.
Si se considera que el elemento mn se
sustrajo de la parte superior o de la
parte inferior de la viga, los esfuerzos
cortantes horizontales son nulos, porque
no se presentan esfuerzos sobre las
superficies externas de la viga. Por
tanto, el esfuerzo cortante vertical τ
también es nulo en las partes superior e
inferior de la viga, esto es, τ = 0 cuando
y = ± h / 2.

Para evaluar los esfuerzos cortantes horizontales existentes en una
viga, considérese el equilibrio de un elemento pp1 nn1 separadas por
una distancia dx. La cara inferior de este elemento es la superficie
inferior de la viga y está libre de esfuerzos. Su cara superior es
paralela a la superficie neutra y se ubica a una distancia arbitraria
y1 desde dicha superficie. La cara superior está sometida al esfuerzo
cortante τ existente en este nivel de la viga. Las caras extremas del
elemento están sometidas a los esfuerzos normales de flexión σx
producidos por los momentos flexionantes. Además existen esfuerzos
cortantes verticales sobre las caras extremas, pero estos esfuerzos
no intervienen en la ecuación de equilibrio del elemento en la dirección
horizontal, por lo que no se muestran en la figura.

Si la viga está en flexión pura, el esfuerzo cortante τ será igual a
cero.
En el caso general de un
momento flexionante variable,
se denota por M y M + dM
los momentos flexionantes
que actúan en las secciones
transversales mn y m1n1,
respectivamente.
Considerando un elemento de
área dA a una distancia y del
eje neutro, la fuerza normal
que actúa sobre este
elemento es σx dA, siendo σx
el esfuerzo normal obtenido
de la fórmula de la flexión.
Si el elemento de área está
localizado en la cara
izquierda pn del elemento, la
fuerza normal es:
dA
I
My
dA
x 

Sumando estas fuerzas elementales
sobre el área de la cara pn del
elemento macizo, se obtiene la fuerza
horizontal total F1 que actúa sobre
esta cara.
dA
I
My
F 

1
Integrando sobre el área sombreada
de la sección transversal: desde y =
y1 hasta y = h/2, se determina la
fuerza total F1 que actúa sobre la
cara izquierda pn del elemento macizo.

Integrando sobre el área sombreada
de la sección transversal: desde y =
y1 hasta y = h/2, se determina la
fuerza total F2 que actúa sobre la
cara derecha p1n1 del elemento
macizo.
dA
I
y
dM
M
F 


)
(
2
Finalmente, la fuerza F3 que actúa
sobre la cara superior pp1 del
elemento es:
dx
F b
3 

Donde b dx es el área de la cara superior.

Las fuerzas F1, F2 y F3 están en
equilibrio estático, por lo que la suma
de fuerzas en la dirección x será:
1
2
3 F
F
F 


 

 dA
I
My
dA
I
y
dM
M
dx
)
(
b
 dA
y
Ib
dx
dM








1

Al sustituir V = dM / dx se obtiene:
dA
y
Ib
V



La integral en esta ecuación representa el primer momento de la
porción sombreada de la sección transversal con respecto al eje
neutro. Si se denota el primer momento por Q, la ecuación será:

Ecuación conocida como fórmula
del cortante, empleada para
determinar el esfuerzo cortante
τ en cualquier punto de la
sección transversal.
El primer momento Q para el área sombreada se obtiene al multiplicar el
área por la distancia comprendida desde el centroide del área hasta el
eje neutro:
2
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1 



































 y
h
y
h
b
y
h
y
y
h
b
Q









 2
1
2
4
2
y
h
b
Q
Ib
VQ

 Fórmula del cortante










 2
1
2
4
2
y
h
I
V

Al sustituir Q en la fórmula del cortante, se tiene:
En una sección rectangular, el esfuerzo es
cero cuando y1 = ± h / 2 y tiene su valor
máximo en el eje neutro, donde y1 = 0:


















4
2
12
4
2
2
3
2
h
bh
V
h
I
V
máx

A
V
I
Vh
máx
2
3
8
2




2.3.6.2. Esfuerzos Cortantes en el Alma de Vigas con Patines:
Cuando una viga de patín o ala ancha se
somete a una fuerza cortante V, se
desarrollan esfuerzos cortantes en su
sección transversal. Debido a su perfil, la
distribución de estos esfuerzos es más
complicada que en el caso de una viga
rectangular.
   
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
8
8
2
2
/
2
2
2
/
2
/
2
2
2
2
2
2
y
h
t
h
h
b
Q
y
h
y
y
h
t
h
h
h
h
h
b
Q
y
h
t
A
h
h
b
A
w
f









 














 


























Reemplazando en el esfuerzo cortante τ:
   
 
2
1
2
1
2
1
2
4
8
y
h
t
h
h
b
It
V
It
VQ






El momento de inercia será:
 
 
3
1
3
1
3
3
1
3
12
1
12
12
th
bh
bh
I
h
t
b
bh
I






Reemplazando el valor del momento de inercia I, se obtiene:
   
 
 
3
1
3
1
3
2
1
2
1
2
1
2
4
2
3
th
bh
bh
y
h
t
h
h
b
t
V








Para y1=0, τ = τmáx
 
 
3
1
3
1
3
2
1
2
1
2
2
3
th
bh
bh
th
bh
bh
t
V
máx






Para
2
1
h
y 
 τ = τmín
 
 
3
1
3
1
3
2
1
2
2
3
th
bh
bh
h
h
t
Vb
mín






GRACIAS
Ing. Milagros Guillén Málaga
F.A.I.C.A.
Escuela Profesional de Ingeniería Civil

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