El documento presenta un análisis detallado de la torsión mecánica en elementos prismáticos, describiendo cómo la aplicación de un momento de fuerza provoca deformaciones y tensiones tangenciales. Se abordan teorías como la de Coulomb y se introducen ecuaciones fundamentales para calcular el esfuerzo cortante y el ángulo de torsión en secciones circulares y no circulares. Además, se menciona la Ley de Hooke y conceptos relacionados, como el módulo de rigidez y el momento polar de inercia.

1. UNIDAD II
TORSIÓN
PRESENTADO POR:
ASTRID BARBOZA GONZÁLEZ # (42).
C.I: V-22.544.416.
MARACAIBO; JUNIO DEL 2020.
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA.
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
“SANTIAGO MARIÑO” AMPLIACIÓN MARACAIBO.
CÁTEDRA: RESISTENCIA DE LOS MATERIALES II.
PROF: VÍCTOR RAMÍREZ.

2. TORSIÓN
La torsión mecánica consiste en la aplicación de un momento de fuerza sobre el eje de
longitudinal de una pieza prismática.
La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela al eje de la pieza deja
de estar contenida en el plano formado inicialmente por las dos curvas. En lugar de eso una curva
paralela al eje se retuerce alrededor de él.
• Aparecen tensiones tangenciales a
la sección transversal. Si estas se
representan por un campo vectorial
sus líneas flujo "circulan" alrededor
de la sección.
• Cuando las tensiones anteriores no están
distribuidas adecuadamente, cosa que
sucede siempre a menos que la sección
tenga simetría circular, aparecen alabeos
seccionales que hacen que las secciones
transversales deformadas no sean planas.

3. Consideremos un sólido o prisma
mecánico con una sección
transversal circular como el de la
figura y que se comporta de
manera elástica, al que se le aplica
un par torsional:
Como resultado de lo anterior, sus
fibras y los ángulos que forman
entre ellas se van distorsionando,
tal y como se ve en la figura:
Además, considerando que de
manera general, tras aplicar un
esfuerzo cortante aparece una
distorsión angular:

4. Y ahora, sabiendo que el cortante máximo se da en el radio
y que por lo tanto el cociente entre el cortante máximo y
cortante es igual al cociente entre radio y radio variable
rho (oscilando rho de 0 a c), podemos determinar la
ecuación que proporciona el valor de la tensión tangencial
a cierta distancia del eje. Para ello integraremos el
“Torque” que es igual a la integral siguiente:
Combinando alguna también de las expresiones ya
vistas, podemos calcular el ángulo girado por la
barra.

5. TORSIÓN EN ELEMENTOS DE
SECCIONES CIRCULARES
La hipótesis la enunció por primera
vez CHARLES-AUGUSTIN DE COULOMB de
la forma siguiente: "las secciones transversales
circulares de una pieza permanecen planas
durante la torsión, girando como un todo rígido
alrededor del eje normal a la sección circular"
TORSIÓN RECTA
TEORÍA DE COULOMB

6. La teoría de Coulomb es aplicable a ejes
de transmisión de potencia macizos o huecos, debido
a la simetría circular de la sección no pueden existir
alabeos diferenciales sobre la sección. De acuerdo
con la teoría de Coulomb la torsión genera
una tensión cortante el cual se calcula mediante la
fórmula:
Ejemplo de solicitación
que produce un momento
torsor constante y torsión
recta sobre en una barra
de sección cilíndrica.

7. Un momento de torsión es aquel que
tiende a hacer girar un miembro
respecto a su eje longitudinal. Su
efecto es de interés primordial en el
diseño de ejes de transmisión,
utilizados ampliamente en vehículos y
maquinaria.
Se puede ilustrar qué ocurre
físicamente cuando un momento
detorsión se aplica a un eje circular
hecho de un material muy elástico,
como el hule, por ejemplo.
DEFORMACIONES EN UN EJE CIRCULAR

8. Cuando se aplica el momento torsor, las
secciones circulares se mantienen como
tales, experimentando una rotación en el
plano del momento. Las líneas
longitudinales se convierten en hélices
que interceptan siempre con el mismo
ángulo a los círculos transversales.
Extraemos a continuación una porción
cilíndrica y consideraremos un pequeño
elemento cuadrado que se encuentre en
la superficie de dicha porción. Luego de
aplicar el momento torsor, el elemento
diferencial considerado deja de ser
cuadrado y se convierte en un rombo, tal
como se muestra.

9. Observemos la figura. Si el ángulo es muy
pequeño, se puede establecer:
Donde AA’ es el arco que recorre el punto A al
deformarse la barra debido a torsión, θ es el
ángulo de giro (en radianes) entre dos
secciones transversales separadas una
longitud L, ρ es el radio de la porción
cilíndrica considerada y es la deformación
cortante, en radianes.

10. LEY DE
HOOKE
PARA
TORSIÓN
Siendo Delta L el alargamiento, L longitud
original, E: módulo de Young, A la sección
transversal de la pieza estirada. La ley se
aplica a un cuerpo elástico hasta un límite
denominado límite elástico.
En física, la ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke,
originalmente formulada para casos de estiramiento
longitudinal, establece que el alargamiento unitario que
experimenta un cuerpo elástico es directamente
proporcional a la fuerza aplicada sobre el mismo F:
Esta ley recibe su nombre del físico inglés
ROBERT HOOKE, contemporáneo de Isaac
Newton, y prolífico de la arquitectura. Esta ley
comprende numerosas disciplinas, siendo
utilizada en ingeniería y construcción, así como
en la ciencia de los materiales.

11. En el siglo XVII, al estudiar los resortes y la elasticidad, el
físico Robert Hooke observó que para muchos materiales la
curva de esfuerzo vs. deformación tiene una región lineal.
Dentro de ciertos límites, la fuerza requerida para estirar un
objeto elástico, como un resorte de metal, es directamente
proporcional a la extensión del resorte. A esto se le conoce como
la ley de Hooke, y comúnmente la escribimos así:
Donde F es la fuerza, x la longitud de
la extensión o compresión, según el
caso, y k una constante de
proporcionalidad conocida
como constante de resorte, que
generalmente está en N/m.
La forma más común de
representar
matemáticamente la Ley de
Hooke es mediante la
ecuación del muelle
o resorte,
LEY DE HOOKE
PARA LOS
RESORTES

12. ESFUERZOS
CORTANTES
El esfuerzo cortante se produce en un cuerpo cuando la
fuerza aplicada tiende a hacer que una parte del
cuerpo se corte o deslice con respecto a la otra.
Esta fuerza actúa en un plano paralelo a la
carga aplicada (y no perpendicular como en
el caso de los esfuerzos normales).
Donde:
t = Esfuerzo cortante.
P= Fuerza cortante.
A = Área sobre la que actúa la fuerza
cortante.

13. Si un miembro de sección circular está sujeto a cargas
de torsión, se producen fuerzas cortantes internas.
El producto de estas fuerzas cortantes por sus
respectivas distancias al eje de la flecha produce
momentos, cuya suma (o resultante) es el momento de
torsión interno.
Como estas fuerzas son tangentes a la superficie del
material, producen esfuerzos cortantes.
ESFUERZOS
CORTANTES
DEBIDO A
TOQUE.

14. En el caso elástico, los esfuerzos sobre cualquier punto localizado
a una distancia r a partir del eje, son directamente proporcionales
al esfuerzo máximo, que ocurre en el punto extremo.
RELACIÓN ENTRE TMÁX Y EL MOMENTO
QUE LO PRODUCE
• Se determina la fuerza total que actúa sobre un anillo localizado a una
distancia r a partir del eje.
• Se determina el momento de esta fuerza con respecto al centro de la
flecha.
• Se suman los momentos producidos por todos los anillos delgados
concéntricos en la flecha, para obtener el momento interno total.
Donde:
Pn = fuerza en el anillo
n.
tn = esfuerzo cortante en
el anillo n.
dA = área de ese anillo.

15. tn puede expresarse en función de tmáx
(por triángulos semejantes).
Sustituyendo la ecuación anteriores.
El momento dT de esta fuerza alrededor del eje de la
flecha es:
El momento interno total es la suma de cada uno de
los anillos concéntricos de la flecha.

16. En una sección transversal dada, tmáx y c son constantes, entonces:
Depende sólo de la geometría de la flecha. Representa el momento polar
de inercia del área de la sección transversal. El símbolo de este valor es J.
Finalmente, le ecuación final se puede expresar como:
Donde:
tmáx = esfuerzo cortante máximo en
la flecha.
T = momento de torsión.
c = radio de la flecha.
J = momento polar de inercia.
El esfuerzo sobre cualquier punto interno situado a una distancia
r a partir del eje de la flecha es:

17. Para una sección transversal circular:
J se determina mediante un área en forma de anillo
diferencial donde dr = anchura 2pr = circunferencia
dA = 2prdr.
Por lo tanto:

18. DEFORMACIÓN
Los cambios en las dimensiones de un cuerpo
ocasionados por el esfuerzo se llaman deformaciones.
Bajo tensión se llaman también elongaciones o
alargamientos y bajo compresión se les llama también
contracciones.
Deformación total (d).-Deformación unitaria (e).-
Cambio total de longitud del
cuerpo.
Deformación por unidad de
longitud.
La deformación unitaria se
conoce generalmente sólo
como deformación.

19. DEFORMACIÓN
ANGULAR EN
LA TORSION
Las deformaciones observadas experimentalmente en
las barras sometidas a torsión muestran un giro de las
secciones rectas respecto al eje de la barra. Si se dibuja
una malla sobre la barra se aprecia una deformación
equivalente a la deformación en el cizallamiento puro.
La deformación angular de las
generatrices g está relacionada
con el giro de las
secciones q según la expresión:
Esta deformación angular es mayor en la
periferia y nula en el centro, existiendo un
valor de deformación para cada posición
radial r, que crece linealmente con el radio:

20. Teniendo en cuenta que el módulo
de elasticidad relaciona la
deformación transversal angular
con la tensión cortante, se puede
escribir el ángulo girado por las
secciones separadas una distancia
L, como:

21. MÓDULO DE RIGIDEZ AL
CORTE
“La relación entre el esfuerzo cortante y el desplazamiento por unidad de
longitud de muestra (esfuerzo cortante)”. El módulo de rigidez se puede
determinar experimentalmente a partir de la pendiente de una curva de tensión-
deformación creada durante las pruebas de tracción realizadas en una muestra
del material.
Es una constante elástica que caracteriza
el cambio de forma que experimenta un
material elástico (lineal e isótropo)
cuando se aplican esfuerzos cortantes.
Definición de MÓDULO DE RIGIDEZ:

22. Experimentalmente el módulo elástico transversal
(o módulo cortante) puede medirse de varios modos,
conceptualmente la forma más sencilla es considerar
un cubo y someterlo a una fuerza cortante, para
pequeñas deformaciones se puede calcular la razón
entre la tensión y la deformación angular:

23. MOMENTO POLAR DE INERCIA
Es una cantidad usada para describir la resistencia a la torsión de deformación
(flexión), en objetos cilíndricos (o segmentos de objeto cilíndrico) con un
invariante sección transversal y no la deformación significativa o fuera de plano de
deformación. Es un constituyente del segundo momento de área, enlazados a través
del teorema de eje perpendicular .
•Se utiliza para calcular el desplazamiento angular de un objeto
sometido a un par.
•Es análogo a la zona de momento de inercia que caracteriza la
capacidad de un objeto para resistir la flexión.
•Momento polar de inercia no debe confundirse con el momento de
inercia, que caracteriza a un objeto de la aceleración angular debido a
la torsión.
•En el SI la unidad de momento polar de inercia, como el momento
en la zona de la inercia, es metro a la cuarta potencia (^4m).

24. El momento polar de inercia aparece en
las fórmulas que describen torsión al la
tensión y el desplazamiento angular.
Donde T es el par, r es la distancia desde el centro y Jz es el momento
polar de inercia. En un eje circular, el esfuerzo cortante es máxima en
la superficie del eje (ya que es donde el par es máximo):
Un esquema que muestra cómo
el momento polar de inercia se
calcula para una forma
arbitraria alrededor de un eje .
Donde es la distancia radial al
elemento .O rho dA

25. TORSION EN ELEMENTOS NO
CIRCULARES
En algunas estructuras, podemos encontrarnos
que existe un par torsor aplicado sobre una viga
de sección transversal no circular.
La deducción de las ecuaciones que describen la
distribución de esfuerzos cortantes debido a torsión en
estas barras no es sencilla. Nuestro interés radica
principalmente en conocer expresiones que permitan
relacionar las características geométricas de la barra y el
torque ejercido sobre ella, con el esfuerzo cortante máximo
que se produce y su respectiva deformación.
Estas expresiones podemos hallarlas tabuladas;
presentamos a continuación algunos ejemplos.

26. SECCIÓN ELÍPTICA SECCIÓN TRIANGULAR
EQUILÁTERA

27. SECCIÓN CUADRADA

28. TORSIÓN EN SECCIONES
CIRCULARES VARIABLES
Consideremos: una sección recta de una pieza esta dividida en
varias zonas Ωi, cada una de las cuales corresponde a un
material que tiene un módulo de rigidez transversal Gi.
Consideremos también que un material de referencia, que
puede o no ser igual a uno de los materiales componentes
de la pieza, y que tiene un módulo de rigidez transversal 𝐺̅.
Las consideraciones geométricas que conducen a la hipótesis de Coulomb y su expresión de las
distorsiones angulares 𝛾 = 𝜌𝜃 son también aplicables en estos casos. Así de acuerdo con la Ley de
Hooke, la tensión tangencial en un punto de la sección es proporcional a las deformaciones, de la
forma:
Para cada material de la sección se puede definir un coeficiente de
equivalencia con el material de referencia de la forma 𝑛𝑖 = ̅ 𝐺 𝑖̅̅ 𝐺 .

29. El momento resultante de las tensiones tangenciales debe ser igual al momento torsor
Mt:
El momento polar de inercia mecánica de la sección circular. Es el
giro de torsión por unidad de longitud del ángulo:

30. Sustituyendo las expresiones anteriores
obtenemos:
La distribución correspondiente las tangenciales,
es lineal a trozos se muestra la distribución para
una sección compuesta de dos materiales lo
mostramos a continuación:

31. ANGULO DE GIRO A LA
TORSION
Si se aplicara un par de torsión T, al extremo libre de un eje circular,
unido a un soporte fijo en el otro extremo, el eje se torcerá al
experimentar un giro en su extremo libre, a través de un Angulo, al que
llamamos ángulo de giro, cuando el eje es circular, el ángulo es
proporcional al par de torsión aplicado al eje.
∅: Ángulo de giro de una sección “B” respecto a una sección “A”.
T: Par torsor al que está sometido la barra circular.
J: Momento polar de inercia de la sección transversal.
G: Módulo de rigidez del material LAB: Longitud de la barra entre las
secciones “A” y “B”.
Este ángulo se denomina “ángulo de torsión” y resulta ser
la suma de todos los ángulos específicos de torsión entre
todas las tajadas elementales de la pieza. Si analizamos un
elemento diferencial del interior de una barra circular
torsionada encontraremos un estado de corte puro.

32. TABLA RESUMEN DE TORSIÓN
ECUACIONES Y PARAMETROS UTILIZADOS

33. BIBLIOGRAFÍA
• https://es.wikipedia.org/wiki/Torsi%C3%B3n_mec%C3%A1nica
• http://resistenciadelosmaterialeseip445.blogspot.com/2012/12/capitulo-
5.html
• https://mecanicausach.mine.nu/media/uploads/Apuntes_curso_RMA_clase_
3_arreglando.pdf
• http://ing.unne.edu.ar/mecap/Apuntes/Estabilidad_2/Cap05-Torsion.pdf
• https://portal.camins.upc.edu/materials_guia/250120/2012/Resistencia%20d
e%20materiales%20y%20estructuras.pdf